Regula pentru deschiderea parantezelor în înmulțire. Deschiderea parantezei: reguli și exemple (clasa a 7-a)

În această lecție, veți învăța cum să transformați o expresie care conține paranteze într-o expresie care nu conține paranteze. Veți învăța cum să deschideți paranteze precedate de un semn plus și un semn minus. Ne vom aminti cum să deschidem paranteze folosind legea distributivă a înmulțirii. Exemplele luate în considerare vor permite legarea materialelor noi și studiate anterior într-un singur întreg.

Subiect: Rezolvarea ecuațiilor

Lecția: Extinderea parantezelor

Cum să deschideți parantezele precedate de semnul „+”. Utilizarea legii asociative a adunării.

Dacă trebuie să adăugați suma a două numere la un număr, atunci puteți adăuga primul termen la acest număr și apoi al doilea.

În stânga semnului egal este o expresie cu paranteze, iar în dreapta este o expresie fără paranteze. Aceasta înseamnă că la trecerea din partea stângă a egalității în partea dreaptă, parantezele au fost deschise.

Luați în considerare exemple.

Exemplul 1

Lărgând parantezele, am schimbat ordinea operațiilor. Numărarea a devenit mai convenabilă.

Exemplul 2

Exemplul 3

Rețineți că în toate cele trei exemple, pur și simplu am eliminat parantezele. Să formulăm regula:

Cometariu.

Dacă primul termen dintre paranteze este nesemnat, atunci trebuie scris cu semnul plus.

Puteți urma exemplul pas cu pas. Mai întâi, adăugați 445 la 889. Această acțiune mentală poate fi efectuată, dar nu este foarte ușor. Să deschidem parantezele și să vedem că ordinea schimbată a operațiilor va simplifica foarte mult calculele.

Dacă urmați ordinea indicată a acțiunilor, atunci trebuie mai întâi să scădeți 345 din 512, apoi să adăugați la rezultat 1345. Prin extinderea parantezelor, vom schimba ordinea acțiunilor și vom simplifica foarte mult calculele.

Exemplu și regulă ilustrative.

Luați în considerare un exemplu: . Puteți găsi valoarea expresiei adunând 2 și 5, apoi luând numărul rezultat cu semnul opus. Primim -7.

Pe de altă parte, același rezultat poate fi obținut prin adăugarea numerelor opuse.

Să formulăm regula:

Exemplul 1

Exemplul 2

Regula nu se schimbă dacă nu sunt doi, ci trei sau mai mulți termeni între paranteze.

Exemplul 3

Cometariu. Semnele sunt inversate numai în fața termenilor.

Pentru a deschide parantezele, în acest caz, trebuie să reamintim proprietatea distributivă.

În primul rând, înmulțiți prima paranteză cu 2 și a doua cu 3.

Prima paranteză este precedată de semnul „+”, ceea ce înseamnă că semnele trebuie lăsate neschimbate. Al doilea este precedat de un semn „-”, prin urmare, toate semnele trebuie inversate

Bibliografie

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.
Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

Teste online de matematică ().
Le puteți descărca pe cele specificate în clauza 1.2. cărți ().

Teme pentru acasă

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vezi linkul 1.2)
Tema pentru acasă: nr. 1254, nr. 1255, nr. 1256 (b, d)
Alte sarcini: nr. 1258(c), nr. 1248

rezumatul altor prezentări

„Graficul funcției Grad 7” -). 1. Construiți un grafic al unei funcții prin puncte: 2. (. Exemple care duc la conceptul de funcție. Înmulțiți monomii: Funcție Graficul unei funcții. Nota 7. Prezentați expresiile ca monom vedere standard: Graficul funcției. variabilă dependentă. Variabila independenta.

„Polinom în algebră” - Cum se numește reducerea termenilor similari? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax - 6ax + 9a2x. Răspunde la întrebări: 17a4 + 8a5 + 3a - a3. Lecție de algebră în clasa a VII-a. munca orală. 1. Alegeți polinoame scrise în formă standard: 12а2b - 18ab2 - 30ab3. profesor de matematică, MOU „Școala Gimnazială Nr. 2” Tokareva Yu.I. Explicați cum să aduceți un polinom la forma standard.

„Polinoame de clasa a VII-a” - 1. 6. În urma înmulțirii unui polinom cu un polinom, se obține un polinom. 9. Multiplicatorul literal al unui monom scris în formă standard se numește coeficientul unui monom. 4. Ca urmare a înmulțirii unui polinom cu un monom, se obține un monom. 5. 5. Suma algebrică a mai multor monomii se numește polinom. - + + - + + - + +. 3. Lucrări orale. 2.

„Reducerea fracțiilor algebrice” - 3. Proprietatea principală a unei fracții se poate scrie astfel: , unde b? 0, m? 0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Lecție de algebră în clasa a VII-a „Fracțiuni algebrice. 1. O expresie a formei se numește fracție algebrică. „Călătorie în lume fracții algebrice". Călătorie în lumea fracțiilor algebrice. 2. Într-o fracție algebrică, numărătorul și numitorul sunt expresii algebrice. „Călătorie în lumea fracțiilor algebrice”. Reducerea fracțiilor ”Profesor al școlii secundare Stepninskaya Zhusupova A.B. Realizările pentru oamenii mari nu au fost niciodată ușoare!

„Paranteze de deschidere” - Paranteze de deschidere. c. Matematică. A. clasa a 7-a. b. S = a b + a c.

„Coordonatele planului” – Grila dreptunghiulară a fost folosită și de artiștii Renașterii. Cuprins Scurtă adnotare II. Când se joacă șah, se folosește și metoda coordonatelor. Concluzie V. Literatură VI. Axa y este ordonata y. Scopul lui Descartes a fost de a descrie natura în termeni de legi matematice. Cu ajutorul unei grile de coordonate, piloții și marinarii determină locația obiectelor. Sistem de coordonate dreptunghiular. Scurtă adnotare. Aplicație Colectarea sarcinilor. Terenul de joc a fost determinat de două coordonate - o literă și un număr. Introducere Relevanța subiectului.

Funcția principală a parantezelor este de a schimba ordinea acțiunilor la calcularea valorilor. de exemplu, în expresia numerică \(5 3+7\) se va calcula mai întâi înmulțirea, iar apoi adunarea: \(5 3+7 =15+7=22\). Dar în expresia \(5·(3+7)\), se va calcula mai întâi adunarea între paranteze și abia apoi înmulțirea: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplu. Extindeți paranteza: \(-(4m+3)\).
Decizie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplu. Extindeți paranteza și dați termeni similari \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decizie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplu. Extindeți parantezele \(5(3-x)\).
Decizie : Avem \(3\) și \(-x\) în paranteză și cinci în fața parantezei. Aceasta înseamnă că fiecare membru al parantezei este înmulțit cu \ (5 \) - vă reamintesc că semnul înmulțirii dintre un număr și o paranteză la matematică nu este scris pentru a reduce dimensiunea înregistrărilor.

Exemplu. Extindeți parantezele \(-2(-3x+5)\).
Decizie : Ca și în exemplul anterior, \(-3x\) și \(5\) dintre paranteze sunt înmulțite cu \(-2\).

Exemplu. Simplificați expresia: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decizie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Rămâne de luat în considerare ultima situație.

Atunci când înmulțiți paranteza cu paranteză, fiecare termen din prima paranteză este înmulțit cu fiecare termen din a doua:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplu. Extindeți parantezele \((2-x)(3x-1)\).
Decizie : Avem un produs de paranteze și poate fi deschis imediat folosind formula de mai sus. Dar pentru a nu ne încurca, să facem totul pas cu pas.
Pasul 1. Îndepărtați primul parantez - fiecare dintre membrii săi este înmulțit cu al doilea paranteză:

Pasul 2. Extindeți produsele suportului cu factorul descris mai sus:
- primul primul...

Apoi al doilea.

Pasul 3. Acum înmulțim și aducem termeni similari:

Nu este necesar să pictați toate transformările în detaliu, vă puteți înmulți imediat. Dar dacă doar înveți să deschideți paranteze - scrieți în detaliu, vor fi mai puține șanse să faceți o greșeală.

Notă la întreaga secțiune. De fapt, nu trebuie să vă amintiți toate cele patru reguli, trebuie să vă amintiți doar una, aceasta: \(c(a-b)=ca-cb\) . De ce? Pentru că dacă înlocuim unul în loc de c, obținem regula \((a-b)=a-b\) . Și dacă înlocuim minus unu, obținem regula \(-(a-b)=-a+b\) . Ei bine, dacă înlocuiți o altă paranteză în loc de c, puteți obține ultima regulă.

paranteză în paranteză

Uneori, în practică, există probleme cu parantezele imbricate în alte paranteze. Iată un exemplu de astfel de sarcină: pentru a simplifica expresia \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pentru a avea succes în aceste sarcini, trebuie să:
- înțelegeți cu atenție imbricarea parantezelor - care este în care;
- deschideți parantezele succesiv, începând, de exemplu, cu cel mai interior.

Este important la deschiderea unuia dintre suporturi nu atingeți restul expresiei, doar rescriindu-l așa cum este.
Să luăm ca exemplu sarcina de mai sus.

Exemplu. Deschideți parantezele și dați termeni similari \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decizie:

Exemplu. Extindeți parantezele și dați termeni similari \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decizie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Acesta este un triplu cuib de paranteze. Începem cu cel mai interior (evidențiat cu verde). Există un plus în fața parantezei, așa că este pur și simplu eliminat.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Acum trebuie să deschideți al doilea parantez, intermediar. Dar înainte de asta, vom simplifica expresia prin apariția unor termeni asemănători din această a doua paranteză.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Acum deschidem al doilea parantez (evidențiat cu albastru). Există un multiplicator în fața parantezei - deci fiecare termen din paranteză este înmulțit cu acesta.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Și deschide ultima paranteză. Înainte de paranteză minus - deci toate semnele sunt inversate.

Deschiderea parantezei este o abilitate de bază în matematică. Fără această abilitate, este imposibil să ai o notă peste trei în clasele a 8-a și a 9-a. Prin urmare, recomand o bună înțelegere a acestui subiect.

A + (b + c) poate fi scris fără paranteze: a + (b + c) \u003d a + b + c. Această operație se numește extindere a parantezei.

Exemplul 1 Să deschidem parantezele din expresia a + (- b + c).

Decizie. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Dacă există un semn „+” înainte de paranteze, atunci puteți omite parantezele și acest semn „+”, păstrând semnele termenilor din paranteze. Dacă primul termen dintre paranteze este scris fără semn, atunci trebuie scris cu semnul „+”.

Exemplul 2 Să găsim valoarea expresiei -2,87+ (2,87-7,639).

Decizie. Deschizând parantezele, obținem - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.

Pentru a găsi valoarea expresiei - (- 9 + 5), trebuie să adăugați numerele-9 și 5 și găsiți numărul opus sumei primite: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Aceeași valoare poate fi obținută într-un mod diferit: mai întâi scrieți numerele opuse acestor termeni (adică schimbați-le semnele), apoi adăugați: 9 + (- 5) = 4. Astfel, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Pentru a scrie suma opusă sumei mai multor termeni, este necesară schimbarea semnelor acestor termeni.

Deci - (a + b) \u003d - a - b.

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 16 - (10 -18 + 12).

Decizie. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Pentru a deschide parantezele precedate de semnul „-”, trebuie să înlocuiți acest semn cu „+”, schimbând semnele tuturor termenilor din paranteze cu cele opuse, apoi deschideți parantezele.

Exemplul 4 Să găsim valoarea expresiei 9,36-(9,36 - 5,48).

Decizie. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Deschiderea parantezei și utilizarea proprietăților comutative și asociative adaosuri ușurează calculele.

Exemplul 5 Aflați valoarea expresiei (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Decizie. Mai întâi, deschidem parantezele, apoi găsim separat suma tuturor numerelor pozitive și separat suma tuturor numerelor negative și, în final, adunăm rezultatele:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Exemplul 6 Găsiți valoarea expresiei

Decizie.În primul rând, reprezentăm fiecare termen ca suma părților lor întregi și fracționale, apoi deschidem parantezele, apoi adăugăm întregul și separat fracționat părți și, în final, rezumă rezultatele:

Cum deschizi parantezele precedate de semnul „+”? Cum puteți găsi valoarea unei expresii care este opusă sumei mai multor numere? Cum se deschide parantezele precedate de semnul „-”?

1218. Extindeți parantezele:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Aflați valoarea expresiei:

1220. Extindeți parantezele:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Extindeți parantezele și găsiți valoarea expresiei:

1222. Simplificați expresia:

1223. Scrie Cantitate două expresii și simplificați-l:

a) - 4 - m și m + 6,4; d) a + b și p - b
b) 1,1+a şi -26-a; e) - m + n și -k - n;
c) a + 13 şi -13 + b; e)m - n și n - m.

1224. Scrieți diferența dintre două expresii și simplificați-o:

1226. Folosiți ecuația pentru a rezolva problema:

a) Pe un raft sunt 42 de cărți, iar pe celălalt 34. Mai multe cărți au fost scoase de pe al doilea raft, și câte au rămas pe al doilea din primul. După aceea, pe primul raft au rămas 12 cărți. Câte cărți au fost luate de pe al doilea raft?

b) La clasa I sunt 42 de elevi, cu 3 elevi mai puțin la a doua decât la a treia. Câți elevi sunt în clasa a treia dacă sunt 125 de elevi în aceste trei clase?

1227. Aflați valoarea expresiei:

1228. Calculați oral:

1229. Găsiţi cea mai mare valoare expresii:

1230. Introduceți 4 numere întregi consecutive dacă:

a) cel mai mic dintre ele este egal cu -12; c) cel mai mic dintre ele este egal cu n;
b) cea mai mare dintre ele este egală cu -18; d) cel mai mare dintre ele este egal cu k.

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților săi. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele expresiilor indicate par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.