Stabilność ściśniętych prętów naprężenia krytyczne Wzór Eulera. Wzór Eulera na siłę krytyczną

Wykład 7

STABILNOŚĆ PRĘTÓW SPRĘŻONYCH

Pojęcie stabilności ściśniętego pręta. Wzór Eulera. Zależność siły krytycznej od sposobu mocowania pręta. Granice stosowalności wzoru Eulera. Formuła Jasińskiego. Kalkulacja zrównoważonego rozwoju.

Pojęcie stabilności ściśniętego pręta

Rozważmy pręt o prostej osi obciążony podłużną siłą ściskającą F. W zależności od wielkości siły i parametrów pręta (materiału, długości, kształtu i wymiarów przekroju) jego prostoliniowy kształt równowagi może być stabilny lub niestabilny.

Aby określić rodzaj równowagi pręta, działajmy na niego z niewielkim obciążeniem poprzecznym Q. W rezultacie pręt przesunie się do nowego położenia równowagi z zakrzywioną osią. Jeżeli po zakończeniu obciążenia poprzecznego pręt powraca do swojego pierwotnego (prostoliniowego) położenia, to prostoliniowa forma równowagi jest stabilna (rysunek 7.1a). W przypadku, gdy po zakończeniu działania siły poprzecznej Q pręt nie powraca do swojego pierwotnego położenia, prostoliniowa postać równowagi jest niestabilna (rys. 7.1b).

Zatem stabilność jest zdolnością pręta, po pewnym odchyleniu od pierwotnego położenia w wyniku działania jakiegoś zakłócającego obciążenia, do spontanicznego powrotu do swojego pierwotnego położenia, gdy to obciążenie zostanie przerwane. Najmniejsza wzdłużna siła ściskająca, przy której prostoliniowy kształt równowagi pręta staje się niestabilny, nazywana jest siłą krytyczną.

Rozważany schemat działania centralnego ściśniętego pręta jest teoretyczny. W praktyce siła ściskająca może działać z pewnym mimośrodem, a pręt może mieć pewną (choć niewielką) krzywiznę początkową. Dlatego od samego początku podłużnego obciążenia pręta obserwuje się jego zginanie. Badania pokazują, że dopóki siła ściskająca jest mniejsza niż siła krytyczna, ugięcia pręta będą niewielkie. Gdy siła zbliża się do wartości krytycznej, ugięcia zaczynają rosnąć w nieskończoność. To kryterium (nieograniczony wzrost ugięć przy ograniczonym wzroście siły ściskającej) jest przyjmowane jako kryterium wyboczenia.

Utrata stabilności równowagi sprężystej występuje nie tylko podczas ściskania pręta, ale także podczas jego skręcania, zginania i bardziej złożonych rodzajów odkształceń.

Wzór Eulera

Rozważ pręt o prostej osi, zamocowany za pomocą dwóch wsporników zawiasowych (ryc. 7.2). Załóżmy, że wzdłużna siła ściskająca działająca na pręt osiągnęła wartość krytyczną, a pręt jest wygięty w płaszczyźnie najmniejszej sztywności. Płaszczyzna najmniejszej sztywności znajduje się prostopadle do tej głównej osi środkowej przekroju, względem której osiowy moment bezwładności przekroju ma wartość minimalną.

(7.1)

gdzie M jest momentem zginającym; I min to minimalny moment bezwładności przekroju.

Z ryc. 7.2 znajdź moment zginający

(7.2)

Na ryc. 7.2 moment zginający wywołany działaniem siły krytycznej jest dodatni, a ugięcie ujemne. W celu uzgodnienia akceptowanych znaków wstawiany jest znak minus (7.2).

Podstawiając (7.2) do (7.1), aby wyznaczyć funkcję ugięcia, otrzymujemy równanie różniczkowe

(7.3)

(7.4)

Z toku matematyki wyższej wiadomo, że rozwiązanie równania (7.3) ma postać

gdzie A, B są stałymi całkowania.

Aby określić stałe całkowania w (7.5), używamy warunków brzegowych

Dla wygiętego pręta współczynniki A i B nie mogą być jednocześnie równe zeru (w przeciwnym razie pręt nie zostanie wygięty). Więc

Równanie (7.6) i (7.4), znajdujemy

(7.7)

Praktyczne znaczenie ma najmniejsza niezerowa wartość siły krytycznej. Zatem podstawiając n=1 do (7.7), w końcu mamy

(7.8)

Zależność (7.8) nazywana jest formułą Eulera.

Zależność od siły krytycznej

od sposobu mocowania drążka

Wzór (7.8) uzyskano dla przypadku mocowania pręta za pomocą dwóch wsporników przegubowych umieszczonych na jego krawędziach. W przypadku innych metod mocowania pręta do wyznaczenia siły krytycznej stosuje się uogólniony wzór Eulera

(7.9)

gdzie μ jest współczynnikiem redukcji długości, biorąc pod uwagę sposób mocowania pręta.

Najczęstsze sposoby mocowania pręta i odpowiadające im współczynniki redukcji długości pokazano na ryc. 7.3.

Granice stosowalności wzoru Eulera. Formuła Yasinsky'ego

P Przy wyprowadzaniu wzoru Eulera zastosowano warunek, że prawo Hooke'a jest spełnione w momencie utraty stateczności. Naprężenie w pręcie w momencie wyboczenia jest równe

gdzie
- elastyczność pręta; A to pole przekroju poprzecznego pręta.

W momencie utraty stateczności prawo Hooke'a będzie spełnione pod warunkiem

gdzie σpc jest granicą proporcjonalności materiału pręta;
- pierwsza ostateczna elastyczność wędki. Dla stali St3 λ pr1 = 100.

Zatem formuła Eulera obowiązuje, gdy spełniony jest warunek (7.10).

Jeśli elastyczność pręta jest w przedziale
wówczas pręt straci stabilność w obszarze odkształceń sprężysto-plastycznych i nie będzie można zastosować wzoru Eulera. W tym przypadku siłę krytyczną określa eksperymentalna formuła Yasinsky

gdzie a, b są współczynnikami eksperymentalnymi. Dla stali St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

Druga ostateczna elastyczność wędki jest określona wzorem

gdzie σ t jest granicą plastyczności materiału pręta. Dla stali St3 λ pr2 = 60.

Gdy spełniony jest warunek λ ≤ λ pr2, naprężenie krytyczne (według Yasinsky'ego) przekroczy granicę plastyczności materiału pręta. Dlatego w tym przypadku do wyznaczenia siły krytycznej wykorzystuje się zależność

(7.12)

W jako przykład na ryc. 7.4 pokazuje zależność naprężenia krytycznego od elastyczności pręta dla stali St3.

Kalkulacja zrównoważonego rozwoju

Analiza stateczności jest przeprowadzana przy użyciu warunku stateczności

(7.13)

Dopuszczalne naprężenie przy obliczaniu stateczności;

- współczynnik stabilności.

Dopuszczalne naprężenie w obliczeniach stateczności oparte jest na dopuszczalnym naprężeniu w obliczeniach ściskania

(7.14)

gdzie φ jest współczynnikiem wyboczenia (lub redukcji głównego dopuszczalnego naprężenia). Ten współczynnik zmienia się w zakresie 0 ≤ φ ≤ 1.

Biorąc pod uwagę, że w przypadku tworzyw sztucznych

wzory (7.13) i (7.14) implikują

(7.15)

Wartości współczynnika wyboczenia w zależności od materiału i podatności pręta podane są w literaturze przedmiotu.

Najciekawsze są obliczenia projektowe z warunku stateczności. Przy tego typu obliczeniach znane są: schemat obliczeniowy (współczynnik μ), zewnętrzna siła ściskająca F, materiał (naprężenie dopuszczalne [σ]) i długość l pręta, kształt jego przekroju. Konieczne jest określenie wymiarów przekroju.

Trudność polega na tym, że nie wiadomo, jakim wzorem określić naprężenie krytyczne, ponieważ bez wymiarów przekroju nie można określić elastyczności pręta. Dlatego obliczenia wykonywane są metodą kolejnych przybliżeń:

1) Akceptujemy wartość początkową = 0,5. Określ pole przekroju poprzecznego

2) Według obszaru znajdujemy wymiary przekroju.

3) Wykorzystując uzyskane wymiary przekroju poprzecznego obliczamy podatność pręta, a przy podatności ostateczną wartość współczynnika wyboczenia .

4) Jeśli wartości się nie zgadzają oraz wykonaj drugie przybliżenie. Wartość początkowa φ w drugim przybliżeniu jest równa
. Itp.

Obliczenia powtarzamy, aż początkowa i końcowa wartość współczynnika φ różni się o nie więcej niż 5%. W odpowiedzi przyjmujemy wartości wymiarów uzyskanych w ostatnim przybliżeniu.

Aby znaleźć naprężenia krytyczne, konieczne jest obliczenie siły krytycznej, tj. najmniejszej osiowej siły ściskającej, która może utrzymać lekko zakrzywiony ściśnięty pręt w równowadze.

Ten problem został po raz pierwszy rozwiązany przez akademika Petersburskiej Akademii Nauk L. Eulera w 1744 roku.

Zwróć uwagę, że samo sformułowanie problemu jest inne niż we wszystkich dotychczas rozważanych sekcjach kursu. Jeżeli wcześniej wyznaczyliśmy odkształcenie pręta pod zadanymi obciążeniami zewnętrznymi, to tutaj stawiamy problem odwrotny: biorąc pod uwagę krzywiznę osi ściskanego pręta, należy określić przy jakiej wartości osiowej siły ściskającej R takie zniekształcenie jest możliwe.

Rozważ prosty pręt o stałym przekroju, z zawiasami na końcach; jedna z podpór umożliwia ruch wzdłużny odpowiedniego końca pręta (rys. 3). Zaniedbujemy ciężar własny wędki.

Rys.3. Schemat obliczeniowy w „problemie Eulera”

Pręt obciążamy przyłożonymi centralnie wzdłużnymi siłami ściskającymi i nadajemy mu bardzo niewielką krzywiznę w płaszczyźnie najmniejszej sztywności; pręt jest trzymany w stanie wygiętym, co jest możliwe, ponieważ .

Zakłada się, że odkształcenie gięcia pręta jest bardzo małe, dlatego do rozwiązania problemu możemy użyć przybliżonego równania różniczkowego dla wygiętej osi pręta. Wybór początku współrzędnych w punkcie ALE a kierunek osi współrzędnych, jak pokazano na rys. 3, mamy:

(1)

Weź odcinek na odległość X od pochodzenia; rzędna zakrzywionej osi w tej sekcji będzie w, a moment zginający wynosi

Zgodnie z pierwotnym schematem moment zginający okazuje się ujemny, natomiast rzędne dla wybranego kierunku osi w okazują się pozytywne. (Gdyby pręt był zakrzywiony z wybrzuszeniem w dół, wtedy moment byłby dodatni i w- negatyw i .)

Podane właśnie równanie różniczkowe ma postać:

dzieląc obie strony równania przez EJ a oznaczając ułamek przez sprowadzamy go do postaci:

Całka ogólna tego równania ma postać:

To rozwiązanie zawiera trzy niewiadome: stałe całkowania a oraz b i wartość , ponieważ wielkość siły krytycznej jest nam nieznana.

Warunki brzegowe na końcach pręta dają dwa równania:

w punkcie A w x = 0 ugięcia w = 0,

W X= 1 w = 0.

Wynika to z pierwszego warunku (ponieważ cos kx =1)

Więc wygięta oś jest sinusoidą z równaniem

(2)

Stosując drugi warunek, podstawiamy do tego równania

w= 0 i X = ja

otrzymujemy:

Wynika z tego, że albo a lub kl są równe zeru.

Jeśli a jest równy zero, to z równania (2) wynika, że ​​ugięcie w dowolnym odcinku pręta jest równe zeru, czyli pręt pozostał prosty. Jest to sprzeczne z początkowymi przesłankami naszego wniosku. Dlatego grzech kl= 0, a wartość może mieć następujące nieskończone serie wartości:

gdzie jest dowolna liczba całkowita.

Stąd i od tego czasu

Innymi słowy, obciążenie, które może utrzymać lekko zakrzywiony pręt w równowadze, może teoretycznie mieć kilka wartości. Ponieważ jednak poszukuje się, co jest interesujące z praktycznego punktu widzenia, należy przyjąć najmniejszą wartość osiowej siły ściskającej, przy której możliwe staje się wyboczenie.

Pierwszy pierwiastek =0 wymaga, aby był równy zero, co nie odpowiada początkowym danym problemu; więc ten korzeń należy odrzucić, a wartość przyjąć jako najmniejszy pierwiastek. Następnie otrzymujemy wyrażenie na siłę krytyczną:

Zatem im więcej punktów przegięcia ma oś o zakrzywieniu sinusoidalnym pręta, tym większa powinna być siła krytyczna. Pełniejsze badania pokazują, że formy równowagi określone wzorami (1) są niestabilne; przechodzą w stabilne formy tylko w obecności podpór pośrednich w punktach W oraz Z(rys. 1).

Rys.1

W ten sposób zadanie jest rozwiązane; dla naszego pręta najmniejszą siłę krytyczną określa wzór

a oś zakrzywiona reprezentuje sinusoidę

Wartość stałej całkowania a pozostał nieokreślony; jego fizyczne znaczenie zostanie odkryte, jeśli dodamy równanie sinusoidalne; wtedy (tj. w połowie długości pręta) otrzyma wartość:

Znaczy, a- jest to ugięcie pręta w odcinku w połowie jego długości. Ponieważ przy krytycznej wartości siły R równowaga zakrzywionego pręta jest możliwa z różnymi odchyleniami od jego prostoliniowego kształtu, jeśli tylko te odchylenia były niewielkie, to jest naturalne, że ugięcie f pozostał nieokreślony.

Jednocześnie musi być na tyle mała, abyśmy mieli prawo zastosować przybliżone równanie różniczkowe osi zakrzywionej, czyli aby była jeszcze mała w stosunku do jedności.

Po uzyskaniu wartości siły krytycznej możemy od razu obliczyć wartość naprężenia krytycznego dzieląc siłę przez pole przekroju pręta F; ponieważ wartość siły krytycznej została określona z uwzględnieniem odkształceń pręta, na które miejscowe osłabienie pola przekroju ma niezwykle słaby wpływ, to wzór na obejmuje moment bezwładności, dlatego jest zwyczajowo przy obliczaniu naprężeń krytycznych, a także podczas kompilowania warunku stabilności, aby wprowadzić do obliczeń pełną, a nie osłabioną powierzchnię przekroju pręta. Wtedy będzie równy

Jeśli więc obszar ściśniętego pręta o takiej elastyczności zostałby wybrany tylko według warunku wytrzymałości, to pręt załamałby się z powodu utraty stabilności kształtu prostoliniowego.

Po raz pierwszy postawiono problem stabilności ściśniętych prętów. Euler wyprowadził wzór obliczeniowy na siłę krytyczną i wykazał, że jej wartość w znacznym stopniu zależy od sposobu mocowania pręta. Ideą metody Eulera jest ustalenie warunków, w których oprócz prostoliniowej możliwa jest również sąsiednia (tj. dowolnie zbliżona do pierwotnej) krzywoliniowa forma równowagi pręta pod stałym obciążeniem.

Załóżmy, że prosty pręt zawieszony na końcach, ściśnięty siłą P= Pk, został wytrącony z równowagi prostoliniowej przez pewną siłę poziomą i pozostał wygięty po usunięciu siły poziomej (ryc. 13.4). Jeżeli ugięcia pręta są małe, to przybliżone równanie różniczkowe jego osi będzie miało taką samą postać jak w przypadku poprzecznego zginania belki:

Łącząc początek współrzędnych ze środkiem dolnej części, kierujemy oś w w kierunku ugięć pręta i osi X- wzdłuż osi pręta.

W teorii wyboczenia zwyczajowo przyjmuje się, że siła ściskająca jest dodatnia. Dlatego wyznaczając moment zginający w bieżącym odcinku rozpatrywanego pręta otrzymujemy

Ale, jak wynika z ryc. 13.4, z wybranym kierunkiem osi w // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси w na odwrót, wtedy znaki zmienią się jednocześnie w oraz w// i znak minus po prawej stronie równania (13.2) pozostanie.

Dlatego równanie linii sprężystej pręta ma postać

.

Zarozumiały α 2 =Rk/EI, otrzymujemy liniowe jednorodne równanie różniczkowe

,

którego całka ogólna

Tutaj A oraz B- stałe całkowania, wyznaczone z warunków mocowania pręta, tzw. warunki brzegowe lub brzegowe.

Przemieszczenie poziome dolnego końca pręta, jak widać na ryc. 13.4, jest równy zero, czyli kiedy X=0 ugięcie w=0. Warunek ten zostanie spełniony, jeśli B=0. Dlatego wygięta oś pręta jest sinusoidą

.

Przemieszczenie poziome górnego końca pręta również wynosi zero, więc

.

Stały A, czyli maksymalne ugięcie pręta, nie może być równe zeru, ponieważ kiedy A=0, możliwa jest tylko prostoliniowa forma równowagi, a szukamy warunku, w którym możliwa jest również krzywoliniowa forma równowagi. Dlatego musi być grzechα ja=0. Wynika z tego, że krzywoliniowe formy równowagi pręta mogą istnieć, jeśli: α ja przyjmuje wartości π ,2π ,.nπ . Wartość α ja nie może być równy zero, ponieważ to rozwiązanie odpowiada przypadku

Zrównanie α ja= nπ i zastępowanie

dostajemy

.

Wyrażenie (13.5) nazywa się formułą Eulera. Może być używany do obliczania siły krytycznej Rk gdy pręt wygina się w jednej z dwóch głównych płaszczyzn, ponieważ tylko pod tym warunkiem obowiązuje równanie (13.2), a więc wzór (13.5).

Wyboczenie pręta następuje w kierunku najmniejszej sztywności, jeśli nie ma specjalnych urządzeń zapobiegających wyginaniu się pręta w tym kierunku. Dlatego we wzorze Eulera konieczne jest podstawienie Imin- najmniejszy z głównych centralnych momentów bezwładności przekroju poprzecznego pręta.

Wartość największego ugięcia pręta A w danym rozwiązaniu pozostaje nieokreślone, jest przyjmowane arbitralnie, ale zakłada się, że jest małe.

Wartość siły krytycznej, określona wzorem (13.5), zależy od współczynnika n. Poznajmy geometryczne znaczenie tego współczynnika.

Powyżej ustaliliśmy, że wygięta oś pręta jest sinusoidą, której równanie po podstawieniu α =π n/ja na wyrażenie (13.4) przyjmuje postać

.

Sinusoidy dla n=1, n=2 pokazano na rys. 13.5. Łatwo zauważyć, że wartość n reprezentuje liczbę półfal sinusoidy, wzdłuż których zgina się pręt. Oczywiście, pręt będzie zawsze zginał się zgodnie z najmniejszą liczbą półfal dozwoloną przez urządzenia podtrzymujące, ponieważ zgodnie z (13.5) najmniejsza n odpowiada najmniejszej sile krytycznej. Tylko ta pierwsza siła krytyczna ma rzeczywiste znaczenie fizyczne.

Na przykład pręt z zawiasowymi końcami zgina się, gdy tylko zostanie osiągnięta najmniejsza wartość siły krytycznej, odpowiadająca n=1, ponieważ urządzenia podporowe tego pręta pozwalają mu zginać się wzdłuż jednej półfali sinusoidy. Odpowiednie siły krytyczne n=2, n\u003d 3 i więcej można osiągnąć tylko wtedy, gdy istnieją podpory pośrednie (ryc. 13.6). W przypadku pręta z zawiasowymi wspornikami końcowymi bez mocowań pośrednich pierwsza siła krytyczna ma prawdziwe znaczenie

.

Wzór (13.5), jak wynika z jego wyprowadzenia, obowiązuje nie tylko dla pręta z końcami przegubowymi, ale także dla każdego pręta, który zgina się podczas wyboczenia wzdłuż całkowitej liczby półfal. Zastosujmy ten wzór np. do wyznaczania siły krytycznej dla pręta, którego urządzenia podporowe pozwalają jedynie na podłużne przemieszczenia jego końców (stojak z osadzonymi końcami). Jak widać na rysunku 13.7, liczba półfal osi zakrzywionej w tym przypadku n=2 i w konsekwencji siła krytyczna dla pręta z określonymi urządzeniami podporowymi

.

Załóżmy, że zębatka z jednym zaciśniętym, a drugim wolnym końcem (rys. 13.8) jest ściskana siłą R.

Jeśli siła P= Pk, wtedy oprócz prostoliniowej może istnieć również krzywoliniowa forma wagi zębatki (linia przerywana na ryc. 13.8).

Równanie różniczkowe wygiętej osi zębatki w pokazanym na ryc. 13.8 układ osi współrzędnych ma taką samą postać.

Ogólne rozwiązanie tego równania to:

Podporządkowanie tego rozwiązania oczywistym warunkom brzegowym: tak=0 w x=0 i tak/ =0 w x= ja, dostajemy B=0, Aα sałataα ja= 0.

Założyliśmy, że słupek jest zakrzywiony, więc wartość A nie może być równa zeru. Stąd, sałataα ja= 0. Najmniejszy niezerowy pierwiastek tego równania α ja= π /2 określa pierwszą siłę krytyczną

,

co odpowiada zgięciu pręta wzdłuż sinusoidy

.

Wartości α ja=3π /2, α ja=5π /2 itd., jak pokazano powyżej, odpowiadają dużym wartościom Pk i bardziej złożone formy zakrzywionej osi stojaka, które praktycznie mogą istnieć tylko w obecności podpór pośrednich.

Jako drugi przykład rozważ stojak z jednym ściśniętym i drugim końcem na zawiasach (rys. 13.9). Ze względu na krzywiznę osi pręta w P= Pk od strony wspornika zawiasowego powstaje pozioma siła reaktywna R. Dlatego moment zginający w bieżącym odcinku pręta

.α :

Najmniejszy pierwiastek tego równania określa pierwszą siłę krytyczną. To równanie rozwiązuje się metodą selekcji. Łatwo uwierzyć, że najmniejszy niezerowy pierwiastek tego równania α ja= 4.493=1.43 π .

Nabierający α ja= 1.43 π , otrzymujemy następujące wyrażenie na siłę krytyczną:

Tutaj μ =1/n- odwrotność liczby półfal n sinusoida, wzdłuż której zgina się pręt. Stały μ nazywa się współczynnikiem redukcji długości, a produkt μ ja- skrócona długość wędki. Zmniejszona długość to długość pół fali sinusoidy, wzdłuż której ten pręt jest wygięty.

Sprawa mocowania na zawiasach końców pręta nazywana jest sprawą główną. Z powyższego wynika, że ​​siłę krytyczną dla każdego przypadku mocowania pręta można obliczyć ze wzoru na główny przypadek, gdy rzeczywista długość pręta jest w nim zastąpiona jego zmniejszoną długością μ ja.

Współczynniki redukcji μ dla niektórych stojaków podano na ryc. 17.10.

Pojęcie stabilności i siły krytycznej. Obliczenia projektowe i weryfikacyjne.

W konstrukcjach i konstrukcjach bardzo przydatne są części, które są stosunkowo długimi i cienkimi prętami, w których jeden lub dwa wymiary przekroju poprzecznego są małe w porównaniu do długości pręta. Okazuje się, że zachowanie takich prętów pod działaniem osiowego obciążenia ściskającego jest zasadniczo inne niż w przypadku ściskania krótkich prętów: gdy siła ściskania F osiąga pewną wartość krytyczną równą Fcr, prostoliniowy kształt równowagi długiego pręta okazuje się być niestabilny, a po przekroczeniu Fcr pręt zaczyna się intensywnie wyginać (wybrzuszać). W tym przypadku nowy (chwilowy) stan równowagi sprężystej długości staje się jakąś nową już krzywoliniową formą. Zjawisko to nazywa się utratą stabilności.

Ryż. 37. Utrata stabilności

Stabilność - zdolność ciała do utrzymania pozycji lub kształtu równowagi pod wpływem czynników zewnętrznych.

Siła krytyczna (Fcr) - obciążenie, którego przekroczenie powoduje utratę stabilności pierwotnego kształtu (położenia) ciała. Stan stabilności:

Fmax ≤ Fcr, (25)

Stabilność ściśniętego pręta. problem Eulera.

Przy wyznaczaniu siły krytycznej powodującej wyboczenie ściskanego pręta przyjmuje się, że pręt jest idealnie prosty, a siła F jest przyłożona ściśle centralnie. Problem obciążenia krytycznego ściskanego pręta, uwzględniający możliwość istnienia dwóch form równowagi przy tej samej wartości siły, rozwiązał L. Euler w 1744 r.

Ryż. 38. Pręt skompresowany

Rozważmy pręt podparty obrotowo na końcach, ściśnięty siłą wzdłużną F. Załóżmy, że z jakiegoś powodu pręt otrzymał niewielką krzywiznę osi, w wyniku czego pojawił się w nim moment zginający M:

gdzie y jest ugięciem pręta w dowolnej sekcji o współrzędnej x.

Aby określić siłę krytyczną, możesz użyć przybliżonego równania różniczkowego linii sprężystej:

(26)

Po przeprowadzeniu transformacji można zauważyć, że siła krytyczna przyjmie wartość minimalną przy n = 1 (jedna półfala sinusoidy mieści się na długości pręta) oraz J = Jmin (pręt jest wygięty o oś z najmniejszym momentem bezwładności)

(27)

To wyrażenie jest wzorem Eulera.

Zależność siły krytycznej od warunków mocowania pręta.

Wzór Eulera uzyskano dla tzw. przypadku podstawowego - zakładając przegubowe podparcie pręta na końcach. W praktyce zdarzają się inne przypadki mocowania drążka. W takim przypadku można uzyskać wzór na określenie siły krytycznej dla każdego z tych przypadków, rozwiązując, podobnie jak w poprzednim akapicie, równanie różniczkowe zgiętej osi belki z odpowiednimi warunkami brzegowymi. Ale możesz zastosować prostszą technikę, jeśli pamiętasz, że w przypadku utraty stabilności jedna półfala sinusoidy powinna zmieścić się na długości pręta.

Rozważmy kilka charakterystycznych przypadków mocowania pręta na końcach i uzyskajmy ogólny wzór na różne rodzaje mocowań.

Ryż. 39. Różne przypadki mocowania pręta

Ogólna formuła Eulera:

(28)

gdzie μ·l = l pr - zmniejszona długość pręta; l to rzeczywista długość pręta; μ jest współczynnikiem zmniejszonej długości, pokazującym, ile razy trzeba zmienić długość pręta, aby siła krytyczna dla tego pręta była równa sile krytycznej dla belki przegubowej. (Inna interpretacja współczynnika zredukowanej długości: μ pokazuje, na której części długości pręta dla danego typu mocowania pasuje jedna półfala sinusoidy w przypadku wyboczenia.)

Zatem ostateczny warunek stabilności przyjmuje postać

(29)

Rozważmy dwa rodzaje obliczeń stateczności prętów ściskanych - weryfikację i projektowanie.

Sprawdź obliczenia

Procedura sprawdzania stabilności wygląda następująco:

Na podstawie znanych wymiarów i kształtu przekroju oraz warunków mocowania pręta obliczamy elastyczność;

Zgodnie z tabelą referencyjną znajdujemy współczynnik redukcyjny dla naprężenia dopuszczalnego, następnie określamy naprężenie dopuszczalne dla stabilności;

Porównaj maksymalne naprężenie z dopuszczalnym naprężeniem stabilizującym.

Obliczenia projektowe

W obliczeniach projektowych (w celu wybrania przekroju dla danego obciążenia) we wzorze obliczeniowym występują dwie nieznane wielkości - pożądana powierzchnia przekroju A i nieznany współczynnik φ (ponieważ φ zależy od elastyczności pręta, a co za tym idzie na nieznanym obszarze A). Dlatego przy doborze przekroju zwykle konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń:

Zwykle przy pierwszej próbie przyjmuje się φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6, a pole przekroju określa się w pierwszym przybliżeniu

Na podstawie znalezionego obszaru A1 wybiera się przekrój i oblicza się podatność pręta w pierwszym przybliżeniu λ1. Znając λ, znajdź nową wartość φ′1;

Dobór materiału i racjonalny kształt przekroju.

Wybór materiału. Ponieważ tylko moduł Younga jest zawarty we wzorze Eulera dla wszystkich właściwości mechanicznych, nie zaleca się stosowania materiałów o wysokiej wytrzymałości w celu zwiększenia stabilności bardzo elastycznych prętów, ponieważ moduł Younga jest w przybliżeniu taki sam dla wszystkich gatunków stali.

W przypadku prętów o niskiej elastyczności zastosowanie stali wysokogatunkowych jest uzasadnione, gdyż wraz ze wzrostem granicy plastyczności takich stali wzrastają naprężenia krytyczne, a co za tym idzie margines stabilności.

Państwowa Wyższa Szkoła Transportu w Irkucku

Laboratorium #16

przez dyscyplinę "Wytrzymałość materiałów"

EKSPERYMENTALNE OKREŚLANIE SIŁ KRYTYCZNYCH

DO GIĘCIA WZDŁUŻNEGO

Departament PM

Laboratorium #16

Eksperymentalne wyznaczanie sił krytycznych przy wyboczeniu

Cel: badanie zjawiska wyboczenia ściskanego pręta stalowego w sprężystości,

gradacja. Eksperymentalne wyznaczanie wartości obciążeń krytycznych ściskanych

pręty z różnymi sposobami mocowania i porównywanie ich z teoretycznymi

wartości.

Postanowienia ogólne

Sprasowane pręty nie wystarczają do sprawdzenia wytrzymałości zgodnie z dobrze znanymi warunkami:

,

gdzie [σ] jest dopuszczalnym naprężeniem materiału pręta, P - siła ściskająca F - powierzchnia przekroju.

W praktyce inżynierowie mają do czynienia z prętami giętkimi poddanymi ściskaniu, cienkimi płytami ściskanymi, konstrukcjami cienkościennymi, których uszkodzenie spowodowane jest nie utratą nośności, ale utratą stateczności.

Utrata stabilności jest rozumiana jako utrata pierwotnej formy równowagi.

Odporność materiałów uwzględnia stabilność elementów konstrukcyjnych pracujących przy ściskaniu.

Rozważ długi cienki pręt (rys. 1) obciążony osiową siłą ściskającą P .

P< P kr P > P kr

Ryż. jeden. Pręt obciążony osiową siłą ściskającą P .

Dla małych wartości siły F pręt jest ściśnięty, pozostając prostym. Co więcej, jeśli pręt zostanie odchylony z tej pozycji przez małe obciążenie poprzeczne, to ugnie się, ale po wyjęciu pręt powraca do stanu prostoliniowego. Oznacza to, że dla danej siły P prostoliniowa forma równowagi pręta jest stabilna.

Jeśli nadal będziemy zwiększać siłę ściskającą P , następnie przy pewnej wartości prostoliniowa forma równowagi staje się niestabilna i powstaje nowa forma równowagi pręta - krzywoliniowa (ryc. 1, b) . W wyniku zginania pręta na jego odcinkach pojawi się moment zginający, który spowoduje dodatkowe naprężenia, a pręt może nagle się zawalić.

Nazywa się krzywiznę długiego pręta ściskanego siłą wzdłużną wyboczenie .

Największą wartość siły ściskającej, przy której prostoliniowa postać równowagi pręta jest stabilna, nazywa się krytyczny - P kr.

Po osiągnięciu obciążenia krytycznego następuje gwałtowna jakościowa zmiana pierwotnej formy równowagi, która prowadzi do uszkodzenia konstrukcji. Dlatego siła krytyczna jest uważana za obciążenie zrywające.

Wzory Eulera i Jasińskiego

Problem określenia siły krytycznej ściśniętego pręta został po raz pierwszy rozwiązany przez członka Petersburskiej Akademii Nauk L. Eulera w 1744 roku. Wzór Eulera ma postać

(1)

gdzie mi – moduł sprężystości materiału pręta; J min- najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta (ponieważ zginanie pręta podczas wyboczenia następuje w płaszczyźnie najmniejszej sztywności, tj. przekroje pręta obracają się wokół osi, względem której moment bezwładności jest minimalna, tj. albo wokół osi x , lub wokół osi tak );

(μ· ja ) to zmniejszona długość pręta, jest to iloczyn długości pręta ja przez współczynnik μ, który zależy od sposobu mocowania końców pręta.

Współczynnik μ nazywa współczynnik redukcji długości ; jego wartość dla najczęstszych przypadków mocowania końców drążka pokazano na ryc. 2:

a- oba końce drążka są na zawiasach i mogą zbliżać się do siebie;

b- jeden koniec jest sztywno zaciśnięty, drugi wolny;

w- jeden koniec jest na zawiasach, drugi ma „uszczelkę pływającą krzyżowo”;

G - jeden koniec jest sztywno zaciśnięty, drugi ma „uszczelkę pływającą krzyżowo”;

d- jeden koniec jest sztywno zamocowany, a drugi jest podporą ruchomą na zawiasach;

mi- oba końce są sztywno zaciśnięte, ale mogą się do siebie zbliżać.

Z tych przykładów widać, że współczynnik μ jest odwrotnością liczby półfal linii sprężystej pręta podczas wyboczenia.

Ryż. 2. Współczynnik μ dla najczęściej

występujące przypadki mocowania końców pręta.

Naprężenie normalne w przekroju ściskanego pręta, odpowiadające krytycznej wartości siły ściskającej, nazywane jest również krytycznym.

Definiujemy to na podstawie wzoru Eulera:

(2)

Charakterystyka geometryczna przekroju i min, określone wzorem

nazywa promień bezwładności przekroju (w stosunku do osi c) J min). Do przekroju prostokątnego

Uwzględniając (3), wzór (2) przyjmie postać:

(4)

Stosunek zmniejszonej długości pręta do minimalnego promienia bezwładności jego przekroju, zgodnie z sugestią profesora Petersburskiego Instytutu Inżynierów Kolejnictwa F.S. Yasinsky (1856-1899) nazywa się elastyczność pręta i oznaczone literą λ :

Ta bezwymiarowa wielkość odzwierciedla jednocześnie następujące parametry: długość pręta, sposób jego mocowania oraz charakterystykę przekroju.

Na koniec zastępując (5) do wzoru (4) otrzymujemy

Wyprowadzając wzór Eulera założono, że materiał pręta jest elastyczny i zgodny z prawem Hooke'a. Dlatego wzór Eulera można zastosować tylko przy naprężeniach mniejszych niż granica proporcjonalności σ hc, czyli kiedy

Warunek ten określa granicę stosowalności wzoru Eulera:

Wielkość po prawej stronie tej nierówności nazywa się najwyższa elastyczność :

jego wartość zależy od właściwości fizycznych i mechanicznych materiału pręta.

Do stali miękkiej St. 3, dla których σ hc= 200 MPa, mi = 2· 10 5 MPa:

Podobnie można obliczyć wartość maksymalnej elastyczności dla innych materiałów: dla żeliwa λ zanim= 80, dla sosny λ zanim = 110.

Zatem wzór Eulera ma zastosowanie do wędek, których elastyczność jest większa lub równa elastyczności ostatecznej, tj.

λ ≥ λ zanim

Należy to rozumieć następująco: jeżeli podatność pręta jest większa niż podatność graniczna, to siła krytyczna musi być określona wzorem Eulera.

Na λ < λ zanim Wzór Eulera dla wędek nie ma zastosowania. W tych przypadkach, gdy elastyczność pręcików jest mniejsza niż graniczna, empiryczna Formuła Yasinsky'ego :

σ kr = a – b λ , (7)

gdzie a oraz b - eksperymentalnie wyznaczone współczynniki, które są stałe dla danego materiału; mają wymiar stresu.

Dla pewnej wartości elastyczności λ o naprężenie σ kr, obliczona ze wzoru (7), staje się równa ostatecznemu naprężeniu ściskającemu, tj. granicy plastyczności σ t dla materiałów ciągliwych lub wytrzymałości na ściskanie σ słońce- do materiałów kruchych. Pręty o niskiej elastyczności ( λ < λ o) nie licz na stabilność, ale na siłę przy prostym ściskaniu.

W związku z tym, w zależności od elastyczności, obliczenia ściskanych prętów pod kątem stabilności są przeprowadzane w różny sposób.