Twierdzenie Pitagorasa jest bezpośrednie. Różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa

Potencjał kreatywności przypisuje się zwykle naukom humanistycznym, pozostawiając naturalną analizę naukową, praktyczne podejście i suchy język formuł i liczb. Matematyki nie można zaliczyć do przedmiotów humanistycznych. Ale bez kreatywności w "królowej wszystkich nauk" daleko nie zajdziesz - ludzie wiedzieli o tym od dawna. Na przykład od czasów Pitagorasa.

Podręczniki szkolne niestety zwykle nie wyjaśniają, że w matematyce ważne jest nie tylko wkuwanie twierdzeń, aksjomatów i formuł. Ważne jest, aby zrozumieć i poczuć jego fundamentalne zasady. A jednocześnie staraj się uwolnić swój umysł od frazesów i elementarnych prawd – tylko w takich warunkach rodzą się wielkie odkrycia.

Do takich odkryć należy odkrycie, które dziś znamy jako twierdzenie Pitagorasa. Z jego pomocą postaramy się pokazać, że matematyka nie tylko może, ale powinna być zabawą. I że ta przygoda jest odpowiednia nie tylko dla kujonów w grubych okularach, ale dla każdego, kto jest silny w umyśle i silny duchem.

Z historii problemu

Ściśle mówiąc, chociaż twierdzenie to nazywa się „twierdzeniem Pitagorasa”, sam Pitagoras go nie odkrył. Trójkąt prostokątny i jego szczególne właściwości były badane na długo przed nim. W tej kwestii istnieją dwa biegunowe punkty widzenia. Według jednej wersji Pitagoras jako pierwszy znalazł kompletny dowód twierdzenia. Według innego dowód nie należy do autorstwa Pitagorasa.

Dziś nie można już sprawdzać, kto ma rację, a kto się myli. Wiadomo tylko, że dowód Pitagorasa, jeśli kiedykolwiek istniał, nie przetrwał. Jednakże istnieją sugestie, że słynny dowód z Elementów Euklidesa może należeć do Pitagorasa, a Euklides tylko go zapisał.

Wiadomo również dzisiaj, że problemy dotyczące trójkąta prostokątnego znajdują się w źródłach egipskich z czasów faraona Amenemheta I, na babilońskich tabliczkach glinianych z czasów panowania króla Hammurabiego, w starożytnym indyjskim traktacie Sulva Sutra i starożytnym dziele chińskim Zhou -bi suan jin.

Jak widać, twierdzenie Pitagorasa od czasów starożytnych zajmowało umysły matematyków. Około 367 różnych dowodów, które istnieją dzisiaj, służy jako potwierdzenie. Żadne inne twierdzenie nie może z nim konkurować pod tym względem. Do godnych uwagi autorów dowodów należą Leonardo da Vinci i dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych, James Garfield. Wszystko to świadczy o ogromnym znaczeniu tego twierdzenia dla matematyki: większość twierdzeń geometrii wywodzi się z niego lub w taki czy inny sposób jest z nim powiązana.

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Podręczniki szkolne w większości podają dowody algebraiczne. Ale istota twierdzenia tkwi w geometrii, więc najpierw rozważmy te dowody słynnego twierdzenia, które opierają się na tej nauce.

Dowód 1

Aby uzyskać najprostszy dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, musisz ustawić idealne warunki: niech trójkąt będzie nie tylko prostokątny, ale także równoramienny. Istnieją powody, by sądzić, że był to taki trójkąt, który był pierwotnie rozważany przez starożytnych matematyków.

Oświadczenie "kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów zbudowanych na jego odgałęzieniach" można zilustrować następującym rysunkiem:

Spójrz na trójkąt równoramienny ABC: Na przeciwprostokątnej AC możesz zbudować kwadrat składający się z czterech trójkątów równych pierwotnemu ABC. A na nogach AB i BC zbudowane na kwadracie, z których każdy zawiera dwa podobne trójkąty.

Nawiasem mówiąc, ten rysunek był podstawą wielu anegdot i karykatur poświęconych twierdzeniu Pitagorasa. Być może najbardziej znanym jest „Pitagorejskie spodnie są jednakowe we wszystkich kierunkach”:

Dowód 2

Metoda ta łączy algebrę i geometrię i może być postrzegana jako wariant starożytnego indyjskiego dowodu matematyka Bhaskariego.

Skonstruuj trójkąt prostokątny z bokami a, b i c(rys. 1). Następnie zbuduj dwa kwadraty o bokach równych sumie długości dwóch nóg - (a+b). W każdym z kwadratów wykonaj konstrukcje, jak na rysunkach 2 i 3.

W pierwszym kwadracie zbuduj cztery takie same trójkąty jak na rysunku 1. W rezultacie otrzymujemy dwa kwadraty: jeden z bokiem a, drugi z bokiem b.

W drugim kwadracie cztery podobne trójkąty zbudowane tworzą kwadrat o boku równym przeciwprostokątnej C.

Suma pól zbudowanych kwadratów na ryc. 2 jest równa powierzchni kwadratu, który zbudowaliśmy o boku c na ryc. 3. Można to łatwo zweryfikować, obliczając pola kwadratów na ryc. 2 według wzoru. I obszar wpisanego kwadratu na ryc. 3. przez odjęcie obszarów czterech równych trójkątów prostokątnych wpisanych w kwadrat od obszaru dużego kwadratu z bokiem (a+b).

Odkładając to wszystko, mamy: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Rozwiń nawiasy, wykonaj wszystkie niezbędne obliczenia algebraiczne i zdobądź to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Jednocześnie obszar wpisany na ryc.3. kwadrat można również obliczyć za pomocą tradycyjnego wzoru S=c2. Tych. a2+b2=c2 Udowodniłeś twierdzenie Pitagorasa.

Dowód 3

Ten sam starożytny dowód indyjski jest opisany w XII wieku w traktacie „Korona wiedzy” („Siddhanta Shiromani”), a jako główny argument autor posługuje się apelem skierowanym do matematycznych talentów i zdolności obserwacji uczniów i obserwujący: „Spójrz!”.

Ale przeanalizujemy ten dowód bardziej szczegółowo:

Wewnątrz kwadratu zbuduj cztery trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku. Zaznaczono bok dużego kwadratu, który jest jednocześnie przeciwprostokątną od. Nazwijmy nogi trójkąta ale I b. Zgodnie z rysunkiem bok wewnętrznego kwadratu to (a-b).

Użyj formuły kwadratowej S=c2 obliczyć powierzchnię zewnętrznego kwadratu. Jednocześnie oblicz tę samą wartość, dodając obszar wewnętrznego kwadratu i obszar czterech trójkątów prostokątnych: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Możesz użyć obu opcji, aby obliczyć powierzchnię kwadratu, aby upewnić się, że dają ten sam wynik. A to daje ci prawo do zapisania tego c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. W wyniku rozwiązania otrzymasz wzór twierdzenia Pitagorasa c2=a2+b2. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód 4

Ten ciekawy starożytny chiński dowód nazywany jest "Krzesłem Panny Młodej" - z powodu podobnej do krzesła figury, która wynika ze wszystkich konstrukcji:

Wykorzystuje rysunek, który już widzieliśmy na rysunku 3 w drugim dowodzie. A wewnętrzny kwadrat o boku c jest skonstruowany w taki sam sposób, jak w podanym powyżej starożytnym indyjskim dowodzie.

Jeśli odetniesz w myślach dwa zielone trójkąty prostokątne z rysunku na ryc. 1, przeniesiesz je na przeciwległe boki kwadratu o boku c i przymocujesz przeciwprostokątne do przeciwprostokątnych trójkątów liliowych, otrzymasz figurę zwaną „panną młodą”. krzesło” (ryc. 2). Dla jasności możesz zrobić to samo z papierowymi kwadratami i trójkątami. Zobaczysz, że „krzesło panny młodej” tworzą dwa kwadraty: małe z bokiem b i duże z boku a.

Konstrukcje te pozwoliły starożytnym chińskim matematykom i nam podążającym za nimi dojść do wniosku, że c2=a2+b2.

Dowód 5

To kolejny sposób na znalezienie rozwiązania twierdzenia Pitagorasa opartego na geometrii. Nazywa się to metodą Garfielda.

Skonstruuj trójkąt prostokątny ABC. Musimy to udowodnić BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Aby to zrobić, kontynuuj nogę AC i zbuduj segment Płyta CD, który jest równy nodze AB. Prostopadły dolny OGŁOSZENIE Sekcja ED. Segmenty ED I AC są równe. Połącz kropki mi I W, jak również mi I OD i zdobądź rysunek jak na poniższym obrazku:

Aby udowodnić wieżę, ponownie stosujemy metodę, którą już przetestowaliśmy: obszar wynikowej figury znajdujemy na dwa sposoby i przyrównujemy wyrażenia do siebie.

Znajdź obszar wielokąta ŁÓŻKO można to zrobić, dodając obszary trzech trójkątów, które go tworzą. I jeden z nich ERU, jest nie tylko prostokątny, ale także równoramienny. Nie zapominajmy też o tym AB=CD, AC=ED I BC=CE- pozwoli nam to uprościć nagranie i nie przeciążać go. Więc, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Jednocześnie oczywiste jest, że ŁÓŻKO jest trapezem. Dlatego jego powierzchnię obliczamy według wzoru: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Dla naszych obliczeń wygodniej i wyraźniej jest reprezentować segment OGŁOSZENIE jako suma odcinków AC I Płyta CD.

Zapiszmy obie metody obliczania powierzchni figury, umieszczając między nimi znak równości: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Używamy równości segmentów już nam znanej i opisanej powyżej, aby uprościć prawą stronę notacji: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A teraz otwieramy nawiasy i przekształcamy równość: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po zakończeniu wszystkich transformacji otrzymujemy dokładnie to, czego potrzebujemy: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Udowodniliśmy twierdzenie.

Oczywiście ta lista dowodów nie jest kompletna. Twierdzenie Pitagorasa można również udowodnić za pomocą wektorów, liczb zespolonych, równań różniczkowych, stereometrii i tym podobnych. A nawet fizycy: jeśli np. ciecz wlewa się do kwadratowych i trójkątnych objętości podobnych do tych pokazanych na rysunkach. Wlewając płyn, można w rezultacie udowodnić równość pól i samego twierdzenia.

Kilka słów o trójkach pitagorejskich

Ta kwestia jest mało lub nie jest badana w szkolnym programie nauczania. Tymczasem jest bardzo ciekawa i ma duże znaczenie w geometrii. Trójki pitagorejskie służą do rozwiązywania wielu problemów matematycznych. Ich pomysł może Ci się przydać w dalszej edukacji.

Czym więc są trójki pitagorejskie? Tak zwane liczby naturalne, zebrane w trójki, których suma kwadratów dwóch jest równa trzeciej liczbie do kwadratu.

Trójki pitagorejskie mogą być:

• prymitywne (wszystkie trzy liczby są względnie pierwsze);
• nieprymitywny (jeśli każda liczba trójki jest pomnożona przez tę samą liczbę, otrzymasz nową trójkę, która nie jest pierwotna).

Jeszcze przed naszą erą starożytni Egipcjanie byli zafascynowani manią liczby trójek pitagorejskich: w zadaniach uważali trójkąt prostokątny o bokach 3,4 i 5 jednostek. Nawiasem mówiąc, każdy trójkąt, którego boki są równe liczbom z trójki pitagorejskiej, jest domyślnie prostokątny.

Przykłady trójek pitagorejskich: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktyczne zastosowanie twierdzenia

Twierdzenie Pitagorasa znajduje zastosowanie nie tylko w matematyce, ale także w architekturze i budownictwie, astronomii, a nawet literaturze.

Po pierwsze, o konstrukcji: twierdzenie Pitagorasa jest w nim szeroko stosowane w problemach o różnym stopniu złożoności. Na przykład spójrz na okno romańskie:

Oznaczmy szerokość okna jako b, to promień wielkiego półokręgu można wyznaczyć jako r i wyrazić przez b: R=b/2. Promień mniejszych półokręgów można również wyrazić w postaci b: r=b/4. W tym problemie interesuje nas promień wewnętrznego okręgu okna (nazwijmy to P).

Twierdzenie Pitagorasa po prostu przydaje się do obliczenia r. Aby to zrobić, używamy trójkąta prostokątnego, który jest oznaczony na rysunku linią przerywaną. Przeciwprostokątna trójkąta składa się z dwóch promieni: b/4+p. Jedna noga to promień b/4, inne b/2-p. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa piszemy: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Następnie otwieramy nawiasy i dostajemy b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2 / 4-bp + p 2. Przekształćmy to wyrażenie w bp/2=b 2 /4-bp. A następnie dzielimy wszystkie terminy na b, dajemy podobne do zdobycia 3/2*p=b/4. I w końcu stwierdzamy, że p=b/6- czego potrzebowaliśmy.

Korzystając z twierdzenia, możesz obliczyć długość krokwi dla dachu dwuspadowego. Określ, jak wysoka jest wieża mobilna, aby sygnał dotarł do określonej osady. A nawet stale instaluj choinkę na rynku miejskim. Jak widać, twierdzenie to żyje nie tylko na kartach podręczników, ale często jest przydatne w prawdziwym życiu.

Jeśli chodzi o literaturę, twierdzenie Pitagorasa inspirowało pisarzy od starożytności i nadal to czyni. Na przykład dziewiętnastowieczny pisarz niemiecki Adelbert von Chamisso zainspirował się nią do napisania sonetu:

Światło prawdy nie zgaśnie szybko,
Ale po zaświeceniu jest mało prawdopodobne, aby się rozproszył
I, jak tysiące lat temu,
Nie spowoduje wątpliwości i sporów.

Najmądrzejszy, gdy dotknie oka
Światło prawdy, dzięki bogom;
I sto byków, dźgniętych, kłamie -
Dar zwrotny od szczęśliwego Pitagorasa.

Od tego czasu byki rozpaczliwie ryczą:
Na zawsze wzbudził plemię byków
wspomniane tutaj wydarzenie.

Myślą, że nadszedł czas
I znowu będą ofiarowani
Wielkie twierdzenie.

(przetłumaczone przez Wiktora Toporowa)

A w XX wieku sowiecki pisarz Jewgienij Weltistow w swojej książce „Przygody elektroniki” poświęcił cały rozdział dowodom twierdzenia Pitagorasa. I pół rozdziału opowieści o dwuwymiarowym świecie, który mógłby istnieć, gdyby twierdzenie Pitagorasa stało się podstawowym prawem, a nawet religią dla jednego świata. Byłoby o wiele łatwiej w nim żyć, ale też o wiele nudniej: na przykład nikt nie rozumie znaczenia słów „okrągły” i „puszysty”.

A w książce „Przygody elektroniki” autor ustami nauczyciela matematyki Taratary mówi: „Najważniejsze w matematyce jest ruch myśli, nowe idee”. To właśnie ten twórczy lot myśli generuje twierdzenie Pitagorasa – nie bez powodu ma ono tak wiele różnych dowodów. Pomaga wyjść poza to, co zwykle i spojrzeć na znajome rzeczy w nowy sposób.

Wniosek

Ten artykuł został stworzony, abyś mógł spojrzeć poza szkolny program nauczania w matematyce i nauczyć się nie tylko dowodów twierdzenia Pitagorasa, które są podane w podręcznikach „Geometria 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i „Geometria 7 -11”. ” (AV Pogorelov), ale także inne ciekawe sposoby udowodnienia słynnego twierdzenia. Zobacz także przykłady zastosowania twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym.

Po pierwsze, te informacje pozwolą ci uzyskać wyższe wyniki na lekcjach matematyki - informacje na ten temat z dodatkowych źródeł są zawsze wysoko cenione.

Po drugie, chcieliśmy pomóc Ci poczuć, jak interesująca jest matematyka. Dać się przekonać konkretnymi przykładami, że zawsze jest w nim miejsce na kreatywność. Mamy nadzieję, że twierdzenie Pitagorasa i ten artykuł zainspirują Cię do własnych badań i ekscytujących odkryć w matematyce i innych naukach.

Powiedz nam w komentarzach, czy zainteresowały Cię przedstawione w artykule dowody. Czy te informacje okazały się pomocne w twoich studiach? Daj nam znać, co myślisz o twierdzeniu Pitagorasa i tym artykule - z przyjemnością omówimy to wszystko z Tobą.

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Dom

Sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.

G. Glasera,
Akademik Rosyjskiej Akademii Edukacji, Moskwa

O twierdzeniu Pitagorasa i jak to udowodnić

Powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa sumie pól kwadratów zbudowanych na jego odgałęzieniach...

Jest to jedno z najbardziej znanych twierdzeń geometrycznych starożytności, zwane twierdzeniem Pitagorasa. Wciąż jest znany prawie każdemu, kto kiedykolwiek studiował planimetrię. Wydaje mi się, że jeśli chcemy, aby pozaziemskie cywilizacje dowiedziały się o istnieniu inteligentnego życia na Ziemi, to powinniśmy wysłać w kosmos obraz postaci pitagorejskiej. Myślę, że jeśli myślące istoty przyjmą tę informację, zrozumieją bez skomplikowanego dekodowania sygnału, że na Ziemi istnieje dość rozwinięta cywilizacja.

Słynny grecki filozof i matematyk Pitagoras z Samos, od którego pochodzi nazwa twierdzenia, żył około 2,5 tysiąca lat temu. Informacje biograficzne dotyczące Pitagorasa, które do nas dotarły, są fragmentaryczne i dalekie od wiarygodnych. Z jego imieniem związanych jest wiele legend. Wiadomym jest, że Pitagoras dużo podróżował po krajach Wschodu, odwiedzał Egipt i Babilon. W jednej z greckich kolonii południowych Włoch założył słynną „szkołę pitagorejską”, która odegrała ważną rolę w życiu naukowym i politycznym starożytnej Grecji. To Pitagorasowi przypisuje się udowodnienie znanego twierdzenia geometrycznego. Opierając się na legendach rozpowszechnianych przez znanych matematyków (Proclus, Plutarch itp.), przez długi czas wierzono, że twierdzenie to nie było znane przed Pitagorasem, stąd nazwa - twierdzenie Pitagorasa.

Nie ma jednak wątpliwości, że twierdzenie to było znane na wiele lat przed Pitagorasem. Tak więc 1500 lat przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie wiedzieli, że trójkąt o bokach 3, 4 i 5 jest prostokątny, i wykorzystali tę właściwość (tj. Odwrotne twierdzenie Pitagorasa) do konstruowania kątów prostych podczas planowania działek i konstrukcji budynków. I nawet dzisiaj budowniczowie i stolarze wiejscy, kładąc fundament pod chatę, wykonując jej szczegóły, rysują ten trójkąt, aby uzyskać kąt prosty. To samo zrobiono tysiące lat temu przy budowie wspaniałych świątyń w Egipcie, Babilonie, Chinach i prawdopodobnie w Meksyku. W najstarszym chińskim dziele matematyczno-astronomicznym, jakie do nas dotarło, Zhou-bi, napisanym około 600 lat przed Pitagorasem, między innymi propozycjami związanymi z trójkątem prostokątnym, zawarte jest również twierdzenie Pitagorasa. Jeszcze wcześniej twierdzenie to było znane Hindusom. Pitagoras nie odkrył więc tej właściwości trójkąta prostokątnego, prawdopodobnie był pierwszym, który ją uogólnił i udowodnił, przenosząc ją tym samym z dziedziny praktyki na dziedzinę nauki. Nie wiemy, jak to zrobił. Niektórzy historycy matematyki zakładają, że mimo wszystko dowód Pitagorasa nie był fundamentalny, a jedynie potwierdzenie, weryfikację tej właściwości na kilku określonych typach trójkątów, poczynając od trójkąta równoramiennego, co oczywiście wynika z ryc. jeden.

OD Od czasów starożytnych matematycy znajdowali coraz więcej dowodów twierdzenia Pitagorasa, coraz więcej pomysłów na jego dowody. Znanych jest ponad półtora setki takich dowodów – mniej lub bardziej rygorystycznych, mniej lub bardziej wizualnych – ale zachowana została chęć zwiększenia ich liczby. Myślę, że samodzielne „odkrycie” dowodów twierdzenia Pitagorasa przyda się współczesnej młodzieży szkolnej.

Rozważmy kilka przykładów dowodów, które mogą sugerować kierunek takich poszukiwań.

Dowód Pitagorasa

„Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów zbudowanych na jego odgałęzieniach”. Najprostszy dowód twierdzenia uzyskuje się w najprostszym przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego. Prawdopodobnie od niego zaczęło się twierdzenie. Rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na układanie równoramiennych trójkątów prostokątnych, aby zobaczyć, że twierdzenie jest prawdziwe. Na przykład dla DABC: kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej UA, zawiera 4 początkowe trójkąty, a kwadraty zbudowane na nogach po dwa. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowody oparte na wykorzystaniu koncepcji równej powierzchni figur.

Jednocześnie możemy rozważyć dowód, w którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej danego trójkąta prostokątnego „składa się” z tych samych figur, co kwadraty zbudowane na nogach. Możemy również rozważyć takie dowody, w których użyto permutacji terminów liczb i uwzględniono szereg nowych pomysłów.

Na ryc. 2 przedstawia dwa równe kwadraty. Długość boków każdego kwadratu to a + b. Każdy z kwadratów podzielony jest na części składające się z kwadratów i trójkątów prostokątnych. Oczywiste jest, że jeśli odejmiemy poczwórną powierzchnię trójkąta prostokątnego z nogami a, b od kwadratu, wówczas pozostaną równe obszary, tj. c 2 \u003d a 2 + b 2. Jednak starożytni Hindusi, do których należy to rozumowanie, zwykle nie zapisywali go, ale dołączali do rysunku tylko jedno słowo: „patrz!” Jest całkiem możliwe, że Pitagoras przedstawił ten sam dowód.

dodatkowe dowody.

Dowody te opierają się na rozkładzie kwadratów zbudowanych na nogach na figury, z których można zsumować kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Tutaj: ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Udowodnij na własną rękę równość parami trójkątów uzyskaną przez rozdzielenie kwadratów zbudowanych na nogach i przeciwprostokątnej.

Udowodnij twierdzenie za pomocą tej partycji.

 Na podstawie dowodu al-Nairiziya dokonano kolejnego rozkładu kwadratów na pary równe cyfry (rys. 5, tutaj ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C).

 Kolejny dowód metodą rozkładu kwadratów na równe części, zwany "kołem z łopatkami", pokazany jest na ryc. 6. Tutaj: ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym C; O - środek kwadratu zbudowany na dużej nodze; linie przerywane przechodzące przez punkt O są prostopadłe lub równoległe do przeciwprostokątnej.

 Ta dekompozycja kwadratów jest interesująca, ponieważ jej równe w parach czworokąty można odwzorować na siebie przez translację równoległą. Za pomocą rozkładu kwadratów na liczby można przedstawić wiele innych dowodów twierdzenia Pitagorasa.

Dowody metodą rozszerzenia.

Istota tej metody polega na tym, że do kwadratów zbudowanych na nogach i do kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej przypisuje się równe liczby w taki sposób, aby uzyskać równe liczby.

Ważność twierdzenia Pitagorasa wynika z równej wielkości sześciokątów AEDFPB i ACBNMQ. Tutaj CEP, linia EP dzieli sześciokąt AEDFPB na dwa czworokąty o równym polu, linia CM dzieli sześciokąt ACBNMQ na dwa czworokąty o równym polu; obrót płaszczyzny o 90° wokół środka A odwzorowuje czworokątny AEPB w czworokątny ACMQ.

Na ryc. 8 Figura pitagorejska jest dopełniona prostokątem, którego boki są równoległe do odpowiednich boków kwadratów zbudowanych na nogach. Podzielmy ten prostokąt na trójkąty i prostokąty. Najpierw od otrzymanego prostokąta odejmujemy wszystkie wielokąty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pozostawiając kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Następnie od tego samego prostokąta odejmujemy prostokąty 5, 6, 7 i zacieniowane prostokąty, otrzymujemy kwadraty zbudowane na nogach.

Teraz udowodnijmy, że liczby odjęte w pierwszym przypadku są równe wielkością liczb odjętych w drugim przypadku.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = ok 2 ;

stąd c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebraiczna metoda dowodu.

	Ryż. 12 ilustruje dowód wielkiego indyjskiego matematyka Bhaskariego (słynnego autora Lilavati, X II wiek). Rysunkowi towarzyszyło tylko jedno słowo: PATRZ! Wśród dowodów twierdzenia Pitagorasa metodą algebraiczną pierwsze miejsce (być może najstarsze) zajmuje dowód wykorzystujący podobieństwo.
	Podajmy we współczesnej prezentacji jeden z takich dowodów, który należy do Pitagorasa.

h i ryc. 13 ABC - prostokąt, C - kąt prosty, CMAB, b 1 - rzut nogi b na przeciwprostokątną, a 1 - rzut nogi a na przeciwprostokątną, h - wysokość trójkąta narysowanego do przeciwprostokątnej.

Z faktu, że ABC jest podobny do ACM wynika z tego

b 2 \u003d cb 1; (jeden)

z faktu, że ABC jest podobny do BCM wynika z tego

a 2 = ca 1 . (2)

Dodając równości (1) i (2) wyraz po wyrazie, otrzymujemy a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jeśli Pitagoras rzeczywiście przedstawił taki dowód, to znał również szereg ważnych twierdzeń geometrycznych, które współcześni historycy matematyki zwykle przypisują Euklidesowi.

Dowód Möllmanna (ryc. 14). Pole tego trójkąta prostokątnego z jednej strony jest równe z drugiej, gdzie p jest półobwodem trójkąta, r jest promieniem wpisanego w niego okręgu Mamy:

stąd wynika, że ​​c 2 = a 2 + b 2 .

w sekundę

Przyrównując te wyrażenia, otrzymujemy twierdzenie Pitagorasa.

Połączona metoda

Równość trójkątów

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Porównując relacje (3) i (4) otrzymujemy, że

c 1 2 = c 2 lub c 1 = c.

Zatem trójkąty - dane i skonstruowane - są równe, ponieważ mają odpowiednio trzy równe boki. Kąt C 1 jest prawy, więc kąt C tego trójkąta jest również prawy.

Starożytne indyjskie dowody.

Matematycy starożytnych Indii zauważyli, że do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa wystarczy wykorzystać wnętrze starożytnego chińskiego rysunku. W traktacie „Siddhanta Shiromani” („Korona wiedzy”) napisanym na liściach palmowych przez największego indyjskiego matematyka XX wieku. Bha-skara umieścił rysunek (ryc. 4)

charakterystyczne dla indyjskich dowodów l słowo „patrz!”. Jak widać, trójkąty prostokątne są tutaj ułożone z przeciwprostokątną na zewnątrz i kwadratem od 2 przesunięty na „krzesło panny młodej” od 2 -b 2 . Zwróć uwagę, że szczególne przypadki twierdzenia Pitagorasa (na przykład konstrukcja kwadratu, którego pole jest dwukrotnie większe rys.4 obszar tego placu) znajdują się w starożytnym indyjskim traktacie „Sulva”

Rozwiązali trójkąt prostokątny i kwadraty zbudowane na jego odgałęzieniach, czyli figury złożone z 16 identycznych równoramiennych trójkątów prostokątnych i dlatego pasują do kwadratu. To lilia. niewielki ułamek bogactw ukrytych w perle starożytnej matematyki - twierdzeniu Pitagorasa.

Starożytne chińskie dowody.

Rozprawy matematyczne starożytnych Chin dotarły do ​​nas w wydaniu z II wieku. PNE. Faktem jest, że w 213 pne. Cesarz chiński Shi Huang-di, dążąc do wyeliminowania starych tradycji, nakazał spalić wszystkie starożytne księgi. W p.c. PNE. papier został wynaleziony w Chinach iw tym samym czasie rozpoczęto rekonstrukcję starożytnych ksiąg. Klucz do tego dowodu nie jest trudny do znalezienia. Rzeczywiście, na starożytnym chińskim rysunku są cztery równe trójkąty prostokątne z cewnikami a, b i przeciwprostokątną od ułożone w stos G) tak, aby ich kontur zewnętrzny tworzył rys. 2 kwadrat o bokach a + b, a wewnętrzna to kwadrat o boku c, zbudowany na przeciwprostokątnej (ryc. 2, b). Jeśli wycinamy kwadrat o boku c, a pozostałe 4 zacieniowane trójkąty umieszczamy w dwóch prostokątach (rys. 2, w), jasne jest, że wynikowa pustka z jednej strony jest równa OD 2 , a z drugiej - od 2 +b 2 , tych. c 2 \u003d  2 + b 2. Twierdzenie zostało udowodnione. Zauważ, że z takim dowodem konstrukcje wewnątrz kwadratu na przeciwprostokątnej, które widzimy na starożytnym chińskim rysunku (ryc. 2, a), nie są używane. Najwyraźniej starożytni chińscy matematycy mieli inny dowód. Dokładnie, jeśli w kwadracie z bokiem od dwa zacienione trójkąty (ryc. 2, b) odciąć i przymocować przeciwprostokątne do pozostałych dwóch przeciwprostokątnych (ryc. 2, G),łatwo to znaleźć

Wynikowa figura, czasami nazywana „krzesłem panny młodej”, składa się z dwóch kwadratów o bokach ale I b, tych. C 2 == a 2 +b 2 .

h Rysunek 3 odtwarza rysunek z traktatu "Zhou-bi ...". Tutaj twierdzenie Pitagorasa jest rozważane dla egipskiego trójkąta z odnogami 3, 4 i przeciwprostokątną 5 jednostek. Kwadrat na przeciwprostokątnej zawiera 25 komórek, a kwadrat wpisany w niego na większej nodze zawiera 16. Oczywiste jest, że pozostała część zawiera 9 komórek. To będzie kwadrat na mniejszej nodze.

1

Shapovalova L.A. (stacja Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Glazer G.I. Historia matematyki w klasach VII - VIII, przewodnik dla nauczycieli, - M: Edukacja, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Za kartkami podręcznika do matematyki” Podręcznik dla uczniów klas 5-6. – M.: Oświecenie, 1989.

3. Zenkiewicz I.G. „Estetyka lekcji matematyki”. – M.: Oświecenie, 1981.

4. Litzman V. Twierdzenie Pitagorasa. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. „Pitagoras”. - M., 1993.

6. Pichurin L.F. „Poza stronami podręcznika algebry”. - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. „Geometria w 10. klasie”. - M., 1986.

8. Gazeta „Matematyka” 17/1996.

9. Gazeta „Matematyka” 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Zbiór problemów z matematyki elementarnej”. - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. „Podręcznik matematyki”. - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. „Pitagorejska doktryna liczby i wielkości”. - Nowosybirsk, 1997.

13. „Liczby rzeczywiste. Wyrażenia irracjonalne» klasa 8. Wydawnictwo Uniwersytetu Tomskiego. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan MS „Geometria” klasa 7-9. – M.: Oświecenie, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

W tym roku akademickim zapoznałem się z ciekawym twierdzeniem, znanym, jak się okazało, od czasów starożytnych:

„Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach”.

Zwykle odkrycie tego stwierdzenia przypisuje się starożytnemu greckiemu filozofowi i matematykowi Pitagorasowi (VI wpne). Ale badanie starożytnych rękopisów wykazało, że stwierdzenie to było znane na długo przed narodzinami Pitagorasa.

Zastanawiałem się, dlaczego w tym przypadku wiąże się to z imieniem Pitagoras.

Trafność tematu: Twierdzenie Pitagorasa ma ogromne znaczenie: jest używane w geometrii dosłownie na każdym kroku. Uważam, że prace Pitagorasa są nadal aktualne, bo gdziekolwiek nie spojrzymy, wszędzie możemy zobaczyć owoce jego wspaniałych pomysłów, ucieleśnionych w różnych gałęziach współczesnego życia.

Celem moich badań było: dowiedzieć się, kim był Pitagoras i jaki ma on związek z tym twierdzeniem.

Studiując historię twierdzenia, postanowiłem dowiedzieć się:

Czy istnieją inne dowody tego twierdzenia?

Jakie jest znaczenie tego twierdzenia w życiu ludzi?

Jaką rolę odegrał Pitagoras w rozwoju matematyki?

Z biografii Pitagorasa

Pitagoras z Samos to wielki grecki naukowiec. Jego sława związana jest z nazwą twierdzenia Pitagorasa. Chociaż teraz już wiemy, że twierdzenie to było znane w starożytnym Babilonie 1200 lat przed Pitagorasem, a w Egipcie 2000 lat przed nim znany był trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5, nadal nazywamy to imieniem tego starożytnego naukowiec.

Prawie nic nie wiadomo o życiu Pitagorasa, ale wiąże się to z jego imieniem duża liczba legendy.

Pitagoras urodził się w 570 pne na wyspie Samos.

Pitagoras miał przystojny wygląd, nosił długą brodę i złoty diadem na głowie. Pitagoras to nie imię, ale przydomek, który filozof otrzymał za to, że zawsze mówił poprawnie i przekonująco, jak grecka wyrocznia. (Pythagoras - „mowa przekonująca”).

W 550 pne Pitagoras podejmuje decyzję i udaje się do Egiptu. Tak więc przed Pitagorasem otwiera się nieznany kraj i nieznana kultura. Bardzo zdziwiony i zaskoczony Pitagoras w tym kraju, a po kilku obserwacjach życia Egipcjan, Pitagoras zdał sobie sprawę, że droga do wiedzy, chroniona przez kastę kapłanów, prowadzi przez religię.

Po jedenastu latach studiów w Egipcie Pitagoras udaje się do swojej ojczyzny, gdzie po drodze wpada w niewolę babilońską. Tam zapoznaje się z nauką babilońską, bardziej rozwiniętą niż egipska. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania liniowe, kwadratowe i niektóre rodzaje równań sześciennych. Po ucieczce z niewoli nie mógł pozostać długo w ojczyźnie z powodu panującej tam atmosfery przemocy i tyranii. Postanowił przenieść się do Croton (greckiej kolonii w północnych Włoszech).

To w Krotonie rozpoczyna się najwspanialszy okres w życiu Pitagorasa. Założył tam coś w rodzaju bractwa religijno-etycznego lub tajnego zakonu, którego członkowie byli zobowiązani do prowadzenia tak zwanego pitagorejskiego stylu życia.

Pitagoras i pitagorejczycy

Pitagoras zorganizował w greckiej kolonii na południu Półwyspu Apenińskiego braterstwo religijne i etyczne, takie jak zakon monastyczny, który później nazwano Unią Pitagorasa. Członkowie związku musieli przestrzegać pewnych zasad: po pierwsze dążyć do tego, co piękne i chwalebne, po drugie, aby być użytecznym, a po trzecie, dążyć do wysokiej przyjemności.

System zasad moralnych i etycznych, pozostawiony przez Pitagorasa swoim uczniom, został złożony w rodzaj kodeksu moralnego pitagorejskich „Złotych wersetów”, które były bardzo popularne w epoce starożytności, średniowiecza i renesansu.

Pitagorejski system badań składał się z trzech części:

Nauki o liczbach - arytmetyka,

Nauki o figurach - geometria,

Nauki o budowie wszechświata - astronomia.

System edukacji ustanowiony przez Pitagorasa przetrwał wiele stuleci.

Szkoła Pitagorasa zrobiła wiele, aby nadać geometrii charakter nauki. Główną cechą metody pitagorejskiej było połączenie geometrii z arytmetyką.

Pitagoras dużo zajmował się proporcjami i progresjami oraz prawdopodobnie podobieństwem liczb, ponieważ przypisuje się mu rozwiązanie problemu: „Skonstruuj trzecią, równą wielkością jednej z danych i podobną do drugiej, na podstawie biorąc pod uwagę dwie cyfry.”

Pitagoras i jego uczniowie wprowadzili pojęcie liczb wielokątnych, przyjaznych, doskonałych i zbadali ich własności. Arytmetyka, jako praktyka liczenia, nie interesowała Pitagorasa i z dumą oświadczył, że „umieścił arytmetykę ponad interesami kupca”.

Członkowie Związku Pitagorasa byli mieszkańcami wielu miast Grecji.

Pitagorejczycy również przyjmowali kobiety do swojego społeczeństwa. Związek kwitł przez ponad dwadzieścia lat, a potem rozpoczęły się prześladowania jego członków, wielu studentów zostało zabitych.

Było wiele różnych legend o śmierci samego Pitagorasa. Ale nauki Pitagorasa i jego uczniów nadal żyły.

Z historii powstania twierdzenia Pitagorasa

Obecnie wiadomo, że twierdzenia tego nie odkrył Pitagoras. Jednak niektórzy uważają, że to Pitagoras jako pierwszy dał jej pełny dowód, podczas gdy inni odmawiają mu tej zasługi. Niektórzy przypisują Pitagorasowi dowód, który Euklides podaje w pierwszej księdze jego Elementów. Z drugiej strony, Proclus twierdzi, że dowód w elementach należy do samego Euklidesa. Jak widać, w historii matematyki nie ma prawie żadnych wiarygodnych, konkretnych danych na temat życia Pitagorasa i jego działalności matematycznej.

Zacznijmy nasz historyczny przegląd twierdzenia Pitagorasa od starożytnych Chin. Tutaj szczególną uwagę zwraca matematyczna księga Chu-pei. Ten esej mówi to o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5:

„Jeśli kąt prosty zostanie rozłożony na części składowe, to linia łącząca końce jego boków będzie wynosić 5, gdy podstawa ma 3, a wysokość 4”.

Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weź linę o długości 12 m i przywiąż do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Między bokami o długości od 3 do 4 metrów zostanie zamknięty kąt prosty.

Geometria wśród Hindusów była ściśle związana z kultem. Jest wysoce prawdopodobne, że twierdzenie o kwadracie przeciwprostokątnej znane było w Indiach już około VIII wieku p.n.e. Obok czysto rytualnych recept istnieją dzieła o charakterze teologicznym geometrycznie. W pismach tych, datowanych na IV lub V wiek p.n.e., spotykamy się z konstrukcją kąta prostego za pomocą trójkąta o bokach 15, 36, 39.

W średniowieczu twierdzenie Pitagorasa wyznaczało granicę, jeśli nie najwyższej możliwej, to przynajmniej dobrej wiedzy matematycznej. Charakterystyczny rysunek twierdzenia Pitagorasa, który obecnie czasami uczniowie zamieniają np. w cylinder ubrany w szatę profesora lub mężczyznę, był często używany w tamtych czasach jako symbol matematyki.

Na zakończenie przedstawiamy różne sformułowania twierdzenia Pitagorasa w tłumaczeniu z greki, łaciny i niemieckiego.

Twierdzenie Euklidesa brzmi (tłumaczenie dosłowne):

„W trójkącie prostokątnym kwadrat boku rozciągającego się pod kątem prostym jest równy kwadratom po bokach obejmujących kąt prosty”.

Jak widać, w różnych krajach i różnych językach istnieją różne wersje sformułowania znanego twierdzenia. Tworzone w różnym czasie i w różnych językach, odzwierciedlają istotę jednego wzorca matematycznego, którego dowód również ma kilka opcji.

Pięć sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa

starożytne chińskie dowody

Na starożytnym chińskim rysunku cztery równe trójkąty prostokątne z nogami a, b i przeciwprostokątną c są ułożone tak, że ich zewnętrzny kontur tworzy kwadrat o boku a + b, a wewnętrzny kwadrat o boku c, zbudowany na przeciwprostokątna

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dowód J. Gardfielda (1882)

Ułóżmy dwa równe trójkąty prostokątne tak, aby noga jednego z nich była kontynuacją drugiego.

Obszar rozpatrywanego trapezu określa się jako iloczyn połowy sumy podstaw i wysokości

Z drugiej strony powierzchnia trapezu jest równa sumie pól powstałych trójkątów:

Porównując te wyrażenia, otrzymujemy:

Dowód jest prosty

Dowód ten uzyskuje się w najprostszym przypadku równoramiennego trójkąta prostokątnego.

Prawdopodobnie od niego zaczęło się twierdzenie.

Rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na układanie równoramiennych trójkątów prostokątnych, aby zobaczyć, że twierdzenie jest prawdziwe.

Na przykład dla trójkąta ABC: kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej AC zawiera 4 trójkąty początkowe, a kwadraty zbudowane na nogach zawierają dwa. Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód starożytnych Hindusów

Kwadrat o boku (a + b) można podzielić na części tak jak na ryc. 12. a, lub jak na ryc. 12b. Oczywiste jest, że części 1, 2, 3, 4 są takie same na obu figurach. A jeśli równe są odjęte od równych (obszarów), to równe pozostaną, tj. c2 = a2 + b2.

Dowód Euklidesa

Przez dwa tysiąclecia najczęstszym był dowód twierdzenia Pitagorasa, wymyślonego przez Euklidesa. Umieszczono ją w jego słynnej książce „Początki”.

Euklides obniżył wysokość BH od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej i udowodnił, że jej przedłużenie dzieli kwadrat wypełniony na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty, których pola są równe polam odpowiednich kwadratów zbudowanych na nogach.

Rysunek użyty w dowodzie tego twierdzenia nazywa się żartobliwie „pitagorejskimi spodniami”. Przez długi czas uważany był za jeden z symboli nauk matematycznych.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Znaczenie twierdzenia Pitagorasa polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niego wyprowadzić lub za jego pomocą i wiele problemów można rozwiązać. Ponadto praktyczne znaczenie twierdzenia Pitagorasa i jego twierdzenia odwrotnego polega na tym, że można ich użyć do znalezienia długości odcinków bez mierzenia samych odcinków. To niejako otwiera drogę od linii prostej do płaszczyzny, od płaszczyzny do przestrzeni wolumetrycznej i dalej. Z tego powodu twierdzenie Pitagorasa jest tak ważne dla ludzkości, która stara się odkrywać więcej wymiarów i tworzyć technologie w tych wymiarach.

Wniosek

Twierdzenie Pitagorasa jest tak znane, że trudno wyobrazić sobie osobę, która o nim nie słyszała. Dowiedziałem się, że istnieje kilka sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa. Przestudiowałem szereg źródeł historycznych i matematycznych, w tym informacje z Internetu, i zdałem sobie sprawę, że twierdzenie Pitagorasa jest interesujące nie tylko ze względu na swoją historię, ale także dlatego, że zajmuje ważne miejsce w życiu i nauce. Świadczą o tym różne interpretacje tekstu tego twierdzenia podane przeze mnie w tym artykule oraz sposoby jego dowodu.

Tak więc twierdzenie Pitagorasa jest jednym z głównych i można powiedzieć, najważniejszym twierdzeniem geometrii. Jej znaczenie polega na tym, że większość twierdzeń geometrii można z niej wyprowadzić lub za jej pomocą. Twierdzenie Pitagorasa jest również niezwykłe, ponieważ samo w sobie nie jest wcale oczywiste. Na przykład właściwości trójkąta równoramiennego można zobaczyć bezpośrednio na rysunku. Ale bez względu na to, jak bardzo spojrzysz na trójkąt prostokątny, nigdy nie zobaczysz, że istnieje prosta relacja między jego bokami: c2 = a2 + b2. Dlatego często do udowodnienia tego używa się wizualizacji. Zaletą Pitagorasa było to, że dał pełny naukowy dowód tego twierdzenia. Interesująca jest osobowość samego naukowca, którego pamięć nie jest przypadkowo zachowana przez to twierdzenie. Pitagoras to wspaniały mówca, nauczyciel i wychowawca, organizator swojej szkoły, skupiony na harmonii muzyki i liczb, dobroci i sprawiedliwości, wiedzy i zdrowym stylu życia. Równie dobrze może służyć za przykład dla nas, dalekich potomków.

Link bibliograficzny

Tumanova S.V. KILKA SPOSOBÓW DOWODZENIA TWIERDZENIA PITAGOREA // Zacznij od nauki. - 2016 r. - nr 2. - str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (data dostępu: 21.02.2019).

Tych, którzy interesują się historią twierdzenia Pitagorasa, które jest badane w szkolnym programie nauczania, zaciekawi również taki fakt, jak opublikowanie w 1940 roku książki zawierającej trzysta siedemdziesiąt dowodów tego pozornie prostego twierdzenia. Ale intrygował umysły wielu matematyków i filozofów różnych epok. W Księdze Rekordów Guinnessa jest to zapisane jako twierdzenie z maksymalną liczbą dowodów.

Historia twierdzenia Pitagorasa

Związane z imieniem Pitagorasa twierdzenie znane było na długo przed narodzinami wielkiego filozofa. Tak więc w Egipcie podczas budowy konstrukcji uwzględniono stosunek boków trójkąta prostokątnego pięć tysięcy lat temu. Teksty babilońskie wspominają o tym samym stosunku boków trójkąta prostokątnego 1200 lat przed narodzinami Pitagorasa.

Powstaje pytanie, dlaczego wtedy historia mówi - pojawienie się twierdzenia Pitagorasa należy do niego? Odpowiedź może być tylko jedna - udowodnił stosunek boków w trójkącie. Zrobił to, czego ci, którzy po prostu używali proporcji i przeciwprostokątnej, ustalonej przez doświadczenie, nie zrobili wieki temu.

Z życia Pitagorasa

Przyszły wielki naukowiec, matematyk, filozof urodził się na wyspie Samos w 570 pne. W dokumentach historycznych zachowały się informacje o ojcu Pitagorasa, który był rzeźbiarzem kamieni szlachetnych, brak jest natomiast informacji o jego matce. O urodzonym chłopcu mówili, że był wybitnym dzieckiem, które od dzieciństwa przejawiało pasję do muzyki i poezji. Historycy przypisują Hermodamanta i Ferekidesa z Syros nauczycielom młodego Pitagorasa. Pierwsza wprowadziła chłopca w świat Muz, a druga, będąc filozofem i założycielem włoskiej szkoły filozofii, skierowała spojrzenie młodzieńca na logos.

W wieku 22 lat (548 pne) Pitagoras udał się do Naucratis, aby studiować język i religię Egipcjan. Co więcej, jego ścieżka wiodła w Memfis, gdzie dzięki kapłanom, po przejściu ich pomysłowych testów, zrozumiał geometrię egipską, co być może skłoniło dociekliwego młodzieńca do udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Historia później przypisze tę nazwę twierdzeniu.

Pojmany przez króla Babilonu

W drodze do domu do Hellady Pitagoras zostaje schwytany przez króla Babilonu. Ale przebywanie w niewoli przyniosło korzyść dociekliwemu umysłowi początkującego matematyka, musiał się wiele nauczyć. Rzeczywiście, w tamtych latach matematyka w Babilonie była bardziej rozwinięta niż w Egipcie. Spędził dwanaście lat studiując matematykę, geometrię i magię. I być może to geometria babilońska była zaangażowana w dowód stosunku boków trójkąta i historię odkrycia twierdzenia. Pitagoras miał na to wystarczająco dużo wiedzy i czasu. Ale że stało się to w Babilonie, nie ma udokumentowanego potwierdzenia ani obalenia tego.

W 530 rpne Pitagoras ucieka z niewoli do ojczyzny, gdzie mieszka na dworze tyrana Polikratesa w statusie półniewolnika. Takie życie nie pasuje do Pitagorasa, a on wycofuje się do jaskiń Samos, a następnie udaje się na południe Włoch, gdzie w tym czasie znajdowała się grecka kolonia Kroton.

Tajny zakon monastyczny

Na bazie tej kolonii Pitagoras zorganizował tajny zakon klasztorny, będący jednocześnie związkiem religijnym i towarzystwem naukowym. Społeczeństwo to miało swój statut, który mówił o przestrzeganiu szczególnego sposobu życia.

Pitagoras przekonywał, że aby zrozumieć Boga, człowiek musi znać takie nauki, jak algebra i geometria, znać astronomię i rozumieć muzykę. Praca badawcza sprowadzała się do poznania mistycznej strony liczb i filozofii. Należy zauważyć, że zasady głoszone wówczas przez Pitagorasa mają sens w naśladowaniu w chwili obecnej.

Wiele odkryć dokonanych przez uczniów Pitagorasa przypisywano mu. Krótko mówiąc, historia powstania twierdzenia Pitagorasa przez starożytnych historyków i biografów tamtych czasów jest bezpośrednio związana z imieniem tego filozofa, myśliciela i matematyka.

Nauki Pitagorasa

Być może historycy zainspirowali się stwierdzeniem wielkiego Greka, że ​​przysłowiowy trójkąt z nogami i przeciwprostokątną zakodował wszystkie zjawiska naszego życia. A ten trójkąt jest „kluczem” do rozwiązania wszystkich pojawiających się problemów. Wielki filozof powiedział, że trzeba widzieć trójkąt, wtedy możemy założyć, że problem jest rozwiązany w dwóch trzecich.

Pitagoras opowiadał o swoim nauczaniu tylko swoim uczniom ustnie, bez robienia żadnych notatek, zachowując to w tajemnicy. Niestety do dziś nie zachowały się nauki największego filozofa. Część z nich wyciekła, ale nie da się powiedzieć, ile w tym, co zostało poznane, jest prawdą, a ile fałszem. Nawet z historią twierdzenia Pitagorasa nie wszystko jest pewne. Historycy matematyki wątpią w autorstwo Pitagorasa, ich zdaniem twierdzenie to było używane wiele wieków przed jego narodzinami.

twierdzenie Pitagorasa

Może wydawać się to dziwne, ale nie ma faktów historycznych potwierdzających twierdzenie samego Pitagorasa - ani w archiwach, ani w żadnych innych źródłach. We współczesnej wersji uważa się, że należy do nikogo innego, jak do samego Euklidesa.

Istnieją dowody na istnienie jednego z największych historyków matematyki, Moritza Kantora, który odkrył na papirusie przechowywanym w Muzeum Berlińskim, napisanym przez Egipcjan około 2300 roku p.n.e. mi. równość, która brzmi: 3² + 4² = 5².

Krótko z historii twierdzenia Pitagorasa

Sformułowanie twierdzenia z „Początków” Euklidesa w tłumaczeniu brzmi tak samo, jak we współczesnej interpretacji. W jego odczytaniu nie ma nic nowego: kwadrat boku przeciwległego do kąta prostego jest równy sumie kwadratów boków przyległych do kąta prostego. Fakt, że starożytne cywilizacje Indii i Chin posługiwały się tym twierdzeniem, potwierdza traktat Zhou Bi Suan Jin. Zawiera informacje o trójkącie egipskim, który opisuje proporcje 3:4:5.

Nie mniej interesująca jest inna chińska książka matematyczna „Chu-pei”, w której wspomniano również o trójkącie pitagorejskim z wyjaśnieniem i rysunkami, które pokrywają się z rysunkami hinduskiej geometrii Baskhary. O samym trójkącie książka mówi, że jeśli kąt prosty można rozłożyć na jego części składowe, to linia łącząca końce boków będzie równa pięciu, jeśli podstawa ma trzy, a wysokość cztery.

Indyjski traktat „Sulva Sutra”, datowany na około VII-V wiek p.n.e. e., opowiada o budowie kąta prostego za pomocą trójkąta egipskiego.

Dowód twierdzenia

W średniowieczu uczniowie uważali udowodnienie twierdzenia za zbyt trudne. Słabi uczniowie nauczyli się twierdzeń na pamięć, nie rozumiejąc znaczenia dowodu. W związku z tym otrzymali przydomek „osły”, ponieważ twierdzenie Pitagorasa było dla nich przeszkodą nie do pokonania, jak most dla osła. W średniowieczu uczniowie wymyślili żartobliwy werset na temat tego twierdzenia.

Aby w najprostszy sposób udowodnić twierdzenie Pitagorasa, należy po prostu zmierzyć jego boki, bez używania pojęcia obszarów w dowodzie. Długość boku przeciwnego do kąta prostego wynosi c, a sąsiadujące z nim a i b, w wyniku czego otrzymujemy równanie: a 2 + b 2 \u003d c 2. To stwierdzenie, jak wspomniano powyżej, jest weryfikowane poprzez pomiar długości boków trójkąta prostokątnego.

Jeżeli dowód twierdzenia zaczniemy od rozpatrzenia pola prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta, możemy wyznaczyć pole całej figury. Będzie on równy powierzchni kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2 + 2ab + b2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , co miało zostać udowodnione.

Praktyczne znaczenie twierdzenia Pitagorasa polega na tym, że można go używać do znajdowania długości odcinków bez ich mierzenia. Podczas budowy konstrukcji obliczane są odległości, rozmieszczenie podpór i belek, określane są środki ciężkości. Twierdzenie Pitagorasa jest również stosowane we wszystkich nowoczesnych technologiach. Nie zapomnieli o twierdzeniu przy tworzeniu filmów w wymiarach 3D-6D, gdzie oprócz zwykłych 3 wartości brane są pod uwagę: wysokość, długość, szerokość, czas, zapach i smak. Pytasz, jak smaki i zapachy są powiązane z twierdzeniem? Wszystko jest bardzo proste - pokazując film, trzeba obliczyć, gdzie i jakie zapachy i smaki skierować na widownię.

To dopiero początek. Na dociekliwe umysły czekają nieograniczone możliwości odkrywania i tworzenia nowych technologii.

Po pierwsze, możesz być w stu procentach pewien, że na pytanie o kwadrat przeciwprostokątnej każdy dorosły śmiało odpowie: „Suma kwadratów nóg”. Twierdzenie to jest mocno zakorzenione w umysłach każdej wykształconej osoby, ale wystarczy poprosić kogoś o udowodnienie, a wtedy mogą pojawić się trudności. Dlatego pamiętajmy i rozważmy różne sposoby dowodzenia twierdzenia Pitagorasa.

Krótki przegląd biografii

Twierdzenie Pitagorasa jest znane prawie każdemu, ale z jakiegoś powodu biografia osoby, która je stworzyła, nie jest tak popularna. Naprawimy to. Dlatego przed zbadaniem różnych sposobów dowodzenia twierdzenia Pitagorasa należy krótko zapoznać się z jego osobowością.

Pitagoras - filozof, matematyk, myśliciel, pochodzący od Dziś bardzo trudno odróżnić jego biografię od legend, które rozwinęły się w pamięci tego wielkiego człowieka. Ale jak wynika z pism jego zwolenników, Pitagoras z Samos urodził się na wyspie Samos. Jego ojciec był zwykłym kamieniarzem, ale matka pochodziła ze szlacheckiej rodziny.

Według legendy narodziny Pitagorasa zostały przepowiedziane przez kobietę o imieniu Pythia, na cześć której nazwano chłopca. Według jej przepowiedni urodzony chłopiec miał przynieść ludzkości wiele korzyści i dobra. I właśnie to zrobił.

Narodziny twierdzenia

W młodości Pitagoras przeniósł się do Egiptu, aby tam spotkać się ze słynnymi egipskimi mędrcami. Po spotkaniu z nimi został przyjęty na studia, gdzie poznał wszystkie wielkie osiągnięcia egipskiej filozofii, matematyki i medycyny.

Prawdopodobnie to właśnie w Egipcie Pitagoras zainspirował się majestatem i pięknem piramid i stworzył swoją wielką teorię. Może to szokować czytelników, ale współcześni historycy uważają, że Pitagoras nie udowodnił swojej teorii. Ale swoją wiedzę przekazał tylko swoim zwolennikom, którzy później wykonali wszystkie niezbędne obliczenia matematyczne.

Tak czy inaczej, dziś znana jest nie jedna technika dowodzenia tego twierdzenia, ale kilka naraz. Dziś możemy tylko zgadywać, jak dokładnie starożytni Grecy dokonywali swoich obliczeń, więc tutaj rozważymy różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Zanim zaczniesz jakiekolwiek obliczenia, musisz dowiedzieć się, którą teorię udowodnić. Twierdzenie Pitagorasa brzmi tak: „W trójkącie, w którym jeden z kątów wynosi 90 o, suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej”.

Istnieje 15 różnych sposobów udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. To dość duża liczba, więc zwróćmy uwagę na najpopularniejsze z nich.

Metoda pierwsza

Najpierw zdefiniujmy, co mamy. Dane te będą również miały zastosowanie do innych sposobów dowodzenia twierdzenia Pitagorasa, więc należy od razu zapamiętać całą dostępną notację.

Załóżmy, że dany jest trójkąt prostokątny z nogami a, b i przeciwprostokątną równą c. Pierwsza metoda dowodu opiera się na fakcie, że kwadrat musi być narysowany z trójkąta prostokątnego.

Aby to zrobić, musisz narysować odcinek równy nodze do długości nogi a i na odwrót. Powinno więc pojawić się dwa równe boki kwadratu. Pozostaje tylko narysować dwie równoległe linie, a kwadrat jest gotowy.

Wewnątrz wynikowej figury musisz narysować kolejny kwadrat o boku równym przeciwprostokątnej pierwotnego trójkąta. Aby to zrobić, z wierzchołków ac i sv musisz narysować dwa równoległe segmenty równe c. W ten sposób otrzymujemy trzy boki kwadratu, z których jeden jest przeciwprostokątną pierwotnego trójkąta prostokątnego. Pozostaje tylko narysować czwarty segment.

Na podstawie otrzymanej liczby możemy stwierdzić, że powierzchnia kwadratu zewnętrznego wynosi (a + b) 2. Jeśli zajrzysz do środka figury, zobaczysz, że oprócz wewnętrznego kwadratu ma cztery trójkąty prostokątne. Powierzchnia każdego to 0,5 śr.

Dlatego obszar wynosi: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Stąd (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

A zatem z 2 \u003d a 2 + w 2

Twierdzenie zostało udowodnione.

Metoda druga: podobne trójkąty

Ten wzór na dowód twierdzenia Pitagorasa został wyprowadzony na podstawie stwierdzenia z działu geometrii o podobnych trójkątach. Mówi, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną do jego przeciwprostokątnej i odcinka przeciwprostokątnego wychodzącego z wierzchołka o kącie 90o.

Początkowe dane pozostają takie same, więc zacznijmy od razu od dowodu. Narysujmy odcinek CD prostopadle do boku AB. Na podstawie powyższego stwierdzenia, nogi trójkątów są równe:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak udowodnić twierdzenie Pitagorasa, należy udowodnić, podnosząc obie nierówności do kwadratu.

AC 2 \u003d AB * HELL i SV 2 \u003d AB * DV

Teraz musimy dodać powstałe nierówności.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), gdzie AD + DV \u003d AB

Okazuje się, że:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

I dlatego:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Dowód twierdzenia Pitagorasa i różne sposoby jego rozwiązania wymagają wszechstronnego podejścia do tego problemu. Jednak ta opcja jest jedną z najprostszych.

Inna metoda obliczeń

Opis różnych sposobów dowodzenia twierdzenia Pitagorasa może nic nie mówić, dopóki nie zaczniesz samodzielnie ćwiczyć. Wiele metod obejmuje nie tylko obliczenia matematyczne, ale także konstruowanie nowych figur z oryginalnego trójkąta.

W takim przypadku konieczne jest wykonanie kolejnego trójkąta prostokątnego VSD z nogi samolotu. Tak więc teraz są dwa trójkąty ze wspólną nogą BC.

Wiedząc, że pola podobnych figur mają stosunek do kwadratów o podobnych wymiarach liniowych, wtedy:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (od 2 do 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

od 2 do 2 \u003d 2

c 2 \u003d 2 + w 2

Ponieważ ta opcja nie jest odpowiednia z różnych metod dowodzenia twierdzenia Pitagorasa dla klasy 8, możesz użyć następującej techniki.

Najprostszy sposób na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa. Opinie

Historycy uważają, że ta metoda została po raz pierwszy zastosowana do udowodnienia twierdzenia w starożytnej Grecji. Jest najprostszy, ponieważ nie wymaga absolutnie żadnych obliczeń. Jeśli poprawnie narysujesz obraz, dowód na stwierdzenie, że a 2 + b 2 \u003d c 2 będzie wyraźnie widoczny.

Warunki dla tej metody będą nieco inne niż poprzednie. Aby udowodnić twierdzenie, załóżmy, że trójkąt prostokątny ABC jest równoramienny.

Przyjmujemy przeciwprostokątną AC jako bok kwadratu i rysujemy jej trzy boki. Ponadto konieczne jest narysowanie dwóch ukośnych linii w powstałym kwadracie. Więc w środku masz cztery trójkąty równoramienne.

Do nóg AB i CB musisz również narysować kwadrat i narysować jedną ukośną linię w każdym z nich. Pierwszą linię rysujemy z wierzchołka A, drugą - z C.

Teraz musisz uważnie przyjrzeć się wynikowemu rysunkowi. Ponieważ na przeciwprostokątnej AC znajdują się cztery trójkąty, równe pierwotnemu trójkątowi i dwa na nogach, wskazuje to na prawdziwość tego twierdzenia.

Nawiasem mówiąc, dzięki tej metodzie dowodzenia twierdzenia Pitagorasa narodziło się słynne zdanie: „Pitagorejskie spodnie są równe we wszystkich kierunkach”.

Dowód J. Garfielda

James Garfield jest 20. prezydentem Stanów Zjednoczonych Ameryki. Oprócz tego, że jako władca Stanów Zjednoczonych odcisnął swoje piętno na historii, był także utalentowanym samoukiem.

Na początku swojej kariery był zwykłym nauczycielem w szkole ludowej, ale wkrótce został dyrektorem jednej z wyższych uczelni. Chęć samorozwoju pozwoliła mu zaproponować nową teorię dowodu twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie i przykład jego rozwiązania są następujące.

Najpierw musisz narysować dwa trójkąty prostokątne na kartce papieru, aby noga jednego z nich była kontynuacją drugiego. Wierzchołki tych trójkątów muszą być połączone, aby uzyskać trapez.

Jak wiadomo, powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.

S=a+b/2 * (a+b)

Jeśli uznamy wynikowy trapez za figurę składającą się z trzech trójkątów, to jego obszar można znaleźć w następujący sposób:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Teraz musimy wyrównać dwa oryginalne wyrażenia

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d 2 + w 2

O twierdzeniu Pitagorasa i sposobach jego udowodnienia można napisać więcej niż jeden tom podręcznika. Ale czy ma to sens, gdy tej wiedzy nie można zastosować w praktyce?

Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Niestety, współczesne programy szkolne przewidują zastosowanie tego twierdzenia tylko w zagadnieniach geometrycznych. Absolwenci wkrótce opuszczą mury szkoły, nie wiedząc, jak mogą wykorzystać swoją wiedzę i umiejętności w praktyce.

W rzeczywistości użyj twierdzenia Pitagorasa w swoim Życie codzienne każdy może. I to nie tylko w czynnościach zawodowych, ale także w zwykłych pracach domowych. Rozważmy kilka przypadków, w których twierdzenie Pitagorasa i metody jego dowodu mogą być niezwykle potrzebne.

Połączenie twierdzenia i astronomii

Wydawałoby się, jak gwiazdy i trójkąty można połączyć na papierze. W rzeczywistości astronomia jest dziedziną naukową, w której powszechnie stosuje się twierdzenie Pitagorasa.

Rozważmy na przykład ruch wiązki światła w przestrzeni. Wiemy, że światło porusza się w obu kierunkach z tą samą prędkością. Nazywamy trajektorię AB, wzdłuż której porusza się promień światła ja. Połowa czasu potrzebnego na przejście światła z punktu A do punktu B, zadzwońmy T. I prędkość wiązki - C. Okazuje się, że: c*t=l

Jeśli spojrzysz na tę samą wiązkę z innej płaszczyzny, na przykład z kosmicznego liniowca, który porusza się z prędkością v, to przy takiej obserwacji ciał zmieni się ich prędkość. W takim przypadku nawet nieruchome elementy będą poruszać się z prędkością v w przeciwnym kierunku.

Powiedzmy, że liniowiec komiksu płynie w prawo. Wtedy punkty A i B, pomiędzy którymi promień pędzi, przesuną się w lewo. Co więcej, gdy promień przesuwa się z punktu A do punktu B, punkt A ma czas na przemieszczenie się i odpowiednio światło dociera już do nowego punktu C. Aby znaleźć połowę odległości, o którą przesunął się punkt A, należy pomnożyć prędkość wkładki o połowę czasu przesuwu belki (t ").

Aby dowiedzieć się, jak daleko promień światła może się w tym czasie przebyć, musisz wyznaczyć połowę drogi nowego buka i uzyskać następujące wyrażenie:

Jeśli wyobrazimy sobie, że punkty światła C i B oraz liniowca są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, to odcinek od punktu A do liniowca podzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dlatego dzięki twierdzeniu Pitagorasa można znaleźć odległość, jaką może przebyć promień światła.

Ten przykład oczywiście nie jest najbardziej udany, ponieważ tylko nieliczni mogą mieć szczęście wypróbować go w praktyce. Dlatego rozważamy bardziej przyziemne zastosowania tego twierdzenia.

Zasięg transmisji sygnału komórkowego

Nie można już sobie wyobrazić współczesnego życia bez smartfonów. Ale ile by się przydały, gdyby nie mogli łączyć abonentów za pośrednictwem komunikacji mobilnej?!

Jakość komunikacji mobilnej zależy bezpośrednio od wysokości, na której znajduje się antena operatora komórkowego. Aby obliczyć, jak daleko od wieży mobilnej telefon może odebrać sygnał, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa.

Powiedzmy, że musisz znaleźć przybliżoną wysokość stacjonarnej wieży, aby mogła rozchodzić się sygnał w promieniu 200 kilometrów.

AB (wysokość wieży) = x;

BC (promień transmisji sygnału) = 200 km;

OS (promień kuli ziemskiej) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Stosując twierdzenie Pitagorasa dowiadujemy się, że minimalna wysokość wieży powinna wynosić 2,3 kilometra.

Twierdzenie Pitagorasa w życiu codziennym

Co dziwne, twierdzenie Pitagorasa może być przydatne nawet w codziennych sprawach, takich jak np. określanie wysokości szafy. Na pierwszy rzut oka nie ma potrzeby korzystania z tak skomplikowanych obliczeń, ponieważ pomiary można po prostu wykonać taśmą mierniczą. Ale wielu jest zaskoczonych, dlaczego pewne problemy pojawiają się podczas procesu montażu, jeśli wszystkie pomiary zostały wykonane z większą niż dokładnością.

Faktem jest, że szafa jest montowana w pozycji poziomej, a dopiero potem podnosi się i jest instalowana przy ścianie. Dlatego ściana boczna szafki podczas podnoszenia konstrukcji musi swobodnie przechodzić zarówno wzdłuż wysokości, jak i po przekątnej pomieszczenia.

Załóżmy, że jest szafa o głębokości 800 mm. Odległość od podłogi do sufitu - 2600 mm. Doświadczony producent mebli powie, że wysokość szafki powinna być o 126 mm mniejsza niż wysokość pomieszczenia. Ale dlaczego dokładnie 126 mm? Spójrzmy na przykład.

Przy idealnych wymiarach szafki sprawdźmy działanie twierdzenia Pitagorasa:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - wszystko się zbiega.

Powiedzmy, że wysokość szafki to nie 2474 mm, ale 2505 mm. Następnie:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Dlatego ta szafka nie nadaje się do montażu w tym pomieszczeniu. Ponieważ przy podnoszeniu go do pozycji pionowej może dojść do uszkodzenia jego ciała.

Być może, po rozważeniu różnych sposobów udowodnienia twierdzenia Pitagorasa przez różnych naukowców, możemy stwierdzić, że jest ono więcej niż prawdziwe. Teraz możesz wykorzystać otrzymane informacje w swoim codziennym życiu i mieć całkowitą pewność, że wszystkie obliczenia będą nie tylko przydatne, ale także poprawne.