Laipsnis yra paprasta trupmena. Algebrinės trupmenos pakėlimas į laipsnį: taisyklė, pavyzdžiai

Pamokoje bus nagrinėjama labiau apibendrinta trupmenų daugybos versija - tai yra eksponencija. Pirmiausia kalbėsime apie natūralų trupmenos laipsnį ir pavyzdžius, rodančius panašius veiksmus su trupmenomis. Pamokos pradžioje taip pat pakartosime sveikųjų reiškinių kėlimą iki natūralios galios ir pamatysime, kaip tai naudinga sprendžiant tolesnius pavyzdžius.

Tema: Algebrinės trupmenos. Aritmetiniai veiksmai su algebrinėmis trupmenomis

Pamoka: Statyba algebrinė trupmena iki laipsnio

1. Trupmenų ir sveikųjų skaičių reiškinių kėlimo į natūraliuosius laipsnius taisyklės su elementariais pavyzdžiais

Paprastųjų ir algebrinių trupmenų kėlimo į natūraliuosius laipsnius taisyklė:

Galite nubrėžti analogiją su sveikojo skaičiaus išraiškos laipsniu ir prisiminti, ką reiškia didinant jį į laipsnį:

1 pavyzdys .

Kaip matote iš pavyzdžio, trupmenos pakėlimas į laipsnį yra ypatinga byla trupmenų daugyba, kuri buvo nagrinėjama ankstesnėje pamokoje.

2 pavyzdys. a), b) - minusas išnyksta, nes mes pakėlėme išraišką iki lygių galių.

Kad būtų patogiau dirbti su laipsniais, primename pagrindines natūralios galios kėlimo taisykles:

- laipsnių sandauga;

- laipsnių skirstymas;

Laipsnio pakėlimas į galią;

Darbo laipsnis.

Pavyzdys 3. - tai mums žinoma nuo temos "Sveiko skaičiaus išraiškų pakėlimas", išskyrus vieną atvejį: jo nėra.

2. Paprasčiausi algebrinių trupmenų kėlimo į natūraliąsias laipsniai pavyzdžiai

4 pavyzdys. Padidinkite trupmeną iki laipsnio.

Sprendimas. Pakėlus iki lygios galios, minusas išnyksta:

5 pavyzdys. Padidinkite trupmeną iki laipsnio.

Sprendimas. Dabar mes naudojame laipsnio pakėlimo iki galios taisykles iš karto be atskiro grafiko:

Dabar apsvarstykite kombinuotas užduotis, kuriose turėsime pakelti trupmenas iki laipsnio, jas padauginti ir padalinti.

6 pavyzdys: atlikite veiksmus.

Sprendimas. . Toliau reikia sumažinti. Mes vieną kartą išsamiai apibūdinsime, kaip tai padarysime, o tada iš karto nurodysime rezultatą pagal analogiją:. Panašiai (arba pagal laipsnių skirstymo taisyklę). Mes turime: .

7 pavyzdys: atlikite veiksmus.

Sprendimas. . Sumažinimas atliekamas pagal analogiją su anksčiau aptartu pavyzdžiu.

8 pavyzdys: atlikite veiksmus.

Sprendimas. . IN šis pavyzdys dar kartą išsamiau apibūdinome galių mažinimo trupmenomis procesą, kad šis metodas būtų įtvirtintas.

3. Sudėtingesni pavyzdžiai, kaip algebrines trupmenas didinti iki natūraliųjų laipsnių (atsižvelgiant į ženklus ir terminus skliausteliuose)

9 pavyzdys: atlikite veiksmus .

Sprendimas. Šiame pavyzdyje jau praleisime atskirą trupmenų dauginimą, o iš karto panaudosime jų daugybos taisyklę ir užrašysime po vienu vardikliu. Tuo pačiu vadovaujamės ženklais – tokiu atveju trupmenos pakeliamos iki lyginių laipsnių, todėl minusai dingsta. Pabaigoje padarykime sumažinimą.

10 pavyzdys: atlikite veiksmus .

Sprendimas. Šiame pavyzdyje yra trupmenų padalijimas, atminkite, kad šiuo atveju pirmoji trupmena dauginama iš antrosios, bet apversta.

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba, ši operacija yra daugybinio skaičiaus savaime rezultatas. Pavaizduokime formulę: a1 * a2 * ... * an = an.

Pavyzdžiui, a=2, n=3: 2*2*2=2^3 = 8 .

Apskritai, eksponencija dažnai naudojama įvairiose matematikos ir fizikos formulėse. Ši funkcija turi daugiau mokslinio tikslo nei keturios pagrindinės: sudėjimas, atimtis, daugyba, padalijimas.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Padidinti skaičių iki laipsnio nėra sudėtinga operacija. Jis yra susijęs su daugyba, kaip ir tarp daugybos ir pridėjimo. Įrašas an – trumpas n-ojo skaičių „a“ skaičius, padaugintas vienas iš kito.

Labiausiai apsvarstykite eksponentiškumą paprasti pavyzdžiai pereinant prie sudėtingų.

Pavyzdžiui, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Keturi kvadratai (antrajai laipsniai) yra lygūs šešiolikai. Jei nesuprantate daugybos 4 * 4, perskaitykite mūsų straipsnį apie dauginimą.

Pažvelkime į kitą pavyzdį: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Penki kubeliai (iki trečios laipsnio) yra lygūs šimtui dvidešimt penkiems.

Kitas pavyzdys: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devyni kubeliai lygu septyniems šimtams dvidešimt devyniems.

Eksponentiškumo formulės

Norėdami teisingai padidinti iki galios, turite atsiminti ir žinoti toliau pateiktas formules. Čia nėra nieko daugiau nei natūralaus, svarbiausia suprasti esmę ir tada jie bus ne tik įsimenami, bet ir atrodys lengvi.

Monomo pakėlimas į laipsnį

Kas yra monomialas? Tai yra bet kokio kiekio skaičių ir kintamųjų sandauga. Pavyzdžiui, du yra monomialas. Ir šis straipsnis yra apie tokių monomijų pakėlimą į galią.

Naudojant eksponencijos formules, nebus sunku apskaičiuoti monomio laipsnį.

Pavyzdžiui, (3x^2y^3)^2= 3^2*x^2*2*y^(3*2) = 9x^4y^6; Jei pakeliate vienanarį laipsnį, tada kiekvienas monomio komponentas pakeliamas į laipsnį.

Didinant kintamąjį, kuris jau turi laipsnį, į laipsnį, laipsniai dauginami. Pavyzdžiui, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Pakėlimas į neigiamą galią

Neigiamas rodiklis yra skaičiaus atvirkštinė vertė. Kas yra abipusis? Bet kurio skaičiaus X atvirkštinė vertė yra 1/X. Tai yra X-1 = 1/X. Tai yra neigiamo laipsnio esmė.

Apsvarstykite pavyzdį (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Kodėl taip? Kadangi laipsnyje yra minusas, šią išraišką tiesiog perkeliame į vardiklį, o tada padidiname iki trečiosios laipsnio. Teisingai?

Didinimas iki trupmeninės galios

Pradėkime diskusiją nuo konkretus pavyzdys. 43/2. Ką reiškia galia 3/2? 3 – skaitiklis, reiškia skaičiaus (šiuo atveju 4) pakėlimą į kubą. Skaičius 2 yra vardiklis, tai yra antrosios skaičiaus šaknies ištraukimas (šiuo atveju 4).

Tada gauname kvadratinę šaknį iš 43 = 2^3 = 8 . Atsakymas: 8.

Taigi trupmeninio laipsnio vardiklis gali būti 3 arba 4, o iki begalybės bet koks skaičius, ir šis skaičius nustato laipsnį kvadratinė šaknis išgautas iš duotas numeris. Žinoma, vardiklis negali būti lygus nuliui.

Šaknies pakėlimas į galią

Jei šaknis pakeliama iki galios, lygios pačios šaknies galiai, atsakymas yra radikali išraiška. Pavyzdžiui, (√x)2 = x. Ir taip bet kokiu šaknies laipsnio ir šaknies pakėlimo laipsnio lygybės atveju.

Jei (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Norėdami patikrinti sprendimą, reiškinį verčiame į išraišką su trupmeniniu laipsniu. Kadangi šaknis kvadratas, tai vardiklis lygus 2. O jei šaknis pakelta į ketvirtą laipsnį, tai skaitiklis lygus 4. Gauname 4/2=2. Atsakymas: x = 2.

Šiaip ar taip geriausias būdas tiesiog konvertuokite išraišką į išraišką su trupmenine galia. Jei trupmena nesumažinama, toks atsakymas bus, jei nebus priskirta nurodyto skaičiaus šaknis.

Kompleksinio skaičiaus didinimas

Kas yra kompleksinis skaičius? Kompleksinis skaičius yra išraiška, kurios formulė a + b * i; a, b yra realieji skaičiai. i yra skaičius, kurį patraukus kvadratu, gaunamas skaičius -1.

Apsvarstykite pavyzdį. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Užsiregistruokite į kursą „Pagreit skaičiuoti mintis, NE protinę aritmetiką“, kad išmoktumėte greitai ir taisyklingai sudėti, atimti, dauginti, padalyti, kvadratuoti ir net įsišaknyti. Per 30 dienų išmoksite naudoti paprastus triukus, kad supaprastintumėte aritmetines operacijas. Kiekvienoje pamokoje pateikiamos naujos technikos, aiškūs pavyzdžiai ir naudingos užduotys.

Didinimas internete

Naudodamiesi mūsų skaičiuokle, galite apskaičiuoti skaičiaus didinimą iki laipsnio:

Didinimo laipsnis 7

Pakelti į valdžią moksleiviai pradeda praeiti tik septintoje klasėje.

Eksponentiškumas yra operacija, glaudžiai susijusi su daugyba, ši operacija yra daugybinio skaičiaus savaime rezultatas. Pavaizduokime formulę: a1 * a2 * … * an=an .

Pavyzdžiui, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Sprendimų pavyzdžiai:

Eksponentiškumo pristatymas

Pristatymas apie eksponentiškumą, skirtas septintokams. Pristatymas gali paaiškinti kai kuriuos nesuprantamus dalykus, tačiau mūsų straipsnio dėka tokių dalykų tikriausiai nebus.

Rezultatas

Atsižvelgėme į tik ledkalnio viršūnę, kad geriau suprastume matematiką – užsiregistruokite į mūsų kursą: Paspartinkite protinę aritmetiką – NE protinę aritmetiką.

Kurso metu ne tik išmoksite dešimtis supaprastinto ir greito daugybos, sudėties, daugybos, dalybos, procentų skaičiavimo gudrybių, bet ir išdirbsite jas specialiose užduotyse bei lavinamuosiuose žaidimuose! Protinis skaičiavimas taip pat reikalauja daug dėmesio ir susikaupimo, kurie aktyviai treniruojami spręsti įdomias problemas.

Instrukcija

Jei šaltinyje jis pateikiamas paprastosios trupmenos formatu, tada operacija turi būti atliekama dviem etapais. Jų seka rezultatui jokios įtakos neturės – pradėkite, pavyzdžiui, ištraukdami iš trupmenos vardiklyje nurodyto laipsnio šaknies skaičiaus. Pavyzdžiui, pakelti iki laipsnį⅔ šiame žingsnyje esantis skaičius 64 turi būti išskirtas iš jo: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Padidinkite pirmame žingsnyje gautą vertę iki laipsnį lygus trupmenos skaitiklyje esančiam skaičiui. Šios operacijos rezultatas bus skaičiaus padidinimas iki trupmenos laipsnį. Ankstesnio veiksmo pavyzdyje visą skaičiavimo procesą galima parašyti taip: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Nustatydami aukščiau aprašytų operacijų seką, ištraukdami šaknį ir padidindami iki laipsnį. Pavyzdžiui, jei to būtų reikalaujama tame pačiame laipsnį⅔ padidinti skaičių 8, tada pradedant nuo aštuonių kubo šaknies būtų , nes rezultatas būtų trupmena . Tokiu atveju geriau pradėti 8 kvadratu, o tada paimti trečiąją šaknį iš 64 ir taip išvengti trupmeninių tarpinių reikšmių: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Jei rodiklis šaltinio duomenyse pateikiamas dešimtainiu formatu, pradėkite konvertuodami jį į paprastąją trupmeną ir vadovaukitės aukščiau aprašytu algoritmu. Pavyzdžiui, norint padidinti skaičių iki laipsnį 0,75 paverskite šį skaičių į paprastąją trupmeną ¾, tada ištraukite ketvirtąją šaknį ir pakelkite rezultatą į kubą.

Naudokite bet kurį, jei skaičiavimų eiga nesvarbi, bet svarbus tik rezultatas. Tai taip pat gali būti įterptas scenarijus Google paieškos sistema- su jo pagalba norimą vertę dar lengviau nei naudoti standartinį „Windows“ skaičiuotuvą. Pavyzdžiui, norėdami padidinti skaičių 15 iki laipsnį⅗ eiti į pagrindinis puslapis svetainę ir paieškos užklausos lauke įveskite 15^(3/5). „Google“ parodys skaičiavimo rezultatą iki 8 simbolių tikslumu, net nespausdama siuntimo užklausos mygtuko: 15 ^ (3 / 5) = 5,07755639.

Šaltiniai:

kaip padidinti iki trupmeninės galios

Laipsnis numeriai sutvarkyta mokykloje algebros pamokose. Gyvenime tokia operacija atliekama retai. Pavyzdžiui, apskaičiuojant kvadrato plotą arba kubo tūrį, naudojami eksponentai, nes ilgis, plotis ir kubo bei aukščio reikšmės yra vienodos. Priešingu atveju eksponencija dažniausiai yra taikomojo pramoninio pobūdžio.

Jums reikės

Popierius, rašiklis, inžinerinis skaičiuotuvas, laipsnių lentelės, programinės įrangos produktai (pavyzdžiui, Excel skaičiuoklių rengyklė).

Instrukcija

Dirbdami su neigiamu skaičiumi, turite būti atsargūs su ženklais. Reikia atsiminti, kad lyginis laipsnis (n) duos pliuso ženklą, nelyginis - ženklą.
Pavyzdžiui
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Nulinis laipsnis (n = 0) nuo bet kurio numeriai visada bus lygus vienam.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Jei n = 1, skaičiaus dauginti iš savęs nereikia.
valia
7^1 = 7
329^1 = 329

Jei n = 2, tai laipsnis yra kvadratas, jei n = 3, laipsnis vadinamas kubu. Apskaičiuoti kvadratą ir kubą iš pirmojo dešimtuko skaičių yra gana paprasta. Bet su padidėjimu numeriai pakeliama iki galios, o pačiai galiai didėjant, skaičiavimai tampa varginantys. Tokiems skaičiavimams buvo sukurtos specialios lentelės. Taip pat yra specialių inžinerinių ir internetinių skaičiuotuvų, programinės įrangos produktų. Kaip paprasčiausią programinę įrangą operacijoms su, galite naudoti skaičiuoklių rengyklę „Excel“.

Šaltiniai:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Sprendžiant kai kurias technines problemas, gali tekti paskaičiuoti šaknis trečias laipsnių. Kartais šis skaičius dar vadinamas kubo šaknimi. šaknis trečias laipsnių iš duoto skaičiaus vadinamas toks skaičius, kurio kubas (trečiasis laipsnis) lygus duotajam. Tai yra, jei y šaknis trečias laipsnių skaičiai x, tada turi būti įvykdyta tokia sąlyga: y?=x (x lygus y kubui).

Jums reikės

skaičiuotuvas arba kompiuteris

Instrukcija

Skaičiuoti šaknis laipsnių naudokite skaičiuotuvą. Pageidautina, kad tai būtų ne įprastas, o skaičiuotuvas, naudojamas inžineriniams skaičiavimams. Tačiau net ir ant jo nerasite specialaus mygtuko šaknims išgauti. trečias laipsnių. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki laipsnio, naudokite funkciją. Šaknies ištraukimas trečias laipsnių atitinka kėlimą iki 1/3 (trečdalio) galios.

Norėdami padidinti skaičių iki 1/3 laipsnio, įveskite patį skaičių skaičiuotuvo klaviatūra. Tada paspauskite "eksponentiškumo" klavišą. Toks mygtukas, priklausomai nuo skaičiuoklės tipo, gali atrodyti kaip xy (y – viršutinio indekso pavidalu). Kadangi dauguma skaičiuotuvų neturi galimybės dirbti su įprastais (ne dešimtainiais) skaičiais, vietoj skaičiaus 1/3 įveskite jo apytikslę reikšmę: 0,33. Norint gauti didesnį skaičiavimų tikslumą, reikia padidinti „trigubų“ skaičių, pavyzdžiui, surinkite 0.33333333333333. Tada paspauskite mygtuką "=".

Skaičiuoti šaknis trečias laipsnių, naudokite standartinį „Windows“ skaičiuotuvą. Procedūra yra visiškai panaši į aprašytą ankstesnėje instrukcijos pastraipoje. Vienintelis dalykas yra didinimo mygtukai. „Kompiuteriniame“ skaičiuoklėje jis atrodo kaip x ^ y.

Jeigu šaknis trečias laipsnių Jei turite tai daryti sistemingai, naudokite MS Excel. Skaičiuoti šaknis trečias laipsnių programoje „Excel“ įveskite „=“ ženklą bet kuriame langelyje, tada pasirinkite „fx“ – įterpkite funkciją. Atsidariusiame lange sąraše „Pasirinkti funkciją“ pasirinkite eilutę „LAIPS“. Spustelėkite mygtuką Gerai. Naujai pasirodžiusiame lange eilutėje „Skaičius“ įveskite numerio, iš kurio norite išgauti, reikšmę šaknis. Eilutėje „Laipsnis“ įveskite skaičių „1/3“ ir spustelėkite „Gerai“. Lentelėje atsiras norima kubo šaknies reikšmė iš pradinio skaičiaus.

Atliekant techninius skaičiavimus ir sprendžiant daugelį problemų, kartais to reikia šaknis, tai yra, suraskite skaičių, kurio kubas yra lygus pradiniam. Kubo šaknies vertei apskaičiuoti pakanka inžinerinio skaičiuotuvo. Tačiau net ir tokiame skaičiuoklėje nėra specialaus kubo šaknies skaičiavimo klavišo. Tačiau naudodami keletą paprastų gudrybių galite išsiversti be tokio mygtuko.

Jums reikės

inžinerinis skaičiuotuvas arba kompiuteris

Instrukcija

Norėdami rasti kubo šaknį naudodami skaičiuotuvą, paimkite inžinerinį numerį ir įveskite pradinį skaičių. Tada spustelėkite didinimo mygtuką. Dabar įveskite indikatoriaus vertę. Šiuo atveju jis (teoriškai) turėtų būti lygus 1/3. Tačiau kadangi paprastas trupmenas naudoti net inžineriniame skaičiuoklėje yra sunku, surinkite suapvalintą skaičiaus reikšmę 1/3, tai yra: 0,33. Tada spustelėkite mygtuką "=". Norima reikšmė bus rodoma skaičiuotuvo indikatoriuje. Norėdami gauti daugiau tiksli vertė, rinkti ne du trigubus, o, pavyzdžiui, 0.333333333333.

Norėdami apskaičiuoti kubo šaknį kompiuteryje, paleiskite skaičiuoklės programą. Jei atitinkamos piktogramos darbalaukyje nėra, atlikite šiuos veiksmus:
- paspauskite mygtuką "Pradėti";
- pasirinkite meniu elementą "Vykdyti";
- pasirodžiusiame lange įveskite eilutę „calc“ Jei darbalaukyje pasirodęs skaičiuotuvas yra normalios išvaizdos (panašus į „apskaitos skaičiuotuvą“), perjunkite jį į skaičiavimo režimą. Norėdami tai padaryti, pasirinkite eilutę "View" ir pasirinkite elementą "Inžinerija". Dabar įveskite numerį, iš kurio norite išgauti kubo šaknį. Tada paspauskite skaičiuotuvo mygtuką „x^y“. Tada surinkite, pavyzdžiui, 0,33. Norėdami gauti tikslesnį rezultatą, galite įvesti didesnę eksponento reikšmę, pavyzdžiui, 0,333333333333. Norėdami gauti tikslų rezultatą, skliausteliuose įveskite eksponentą „1/3“. Tai yra, paspauskite klavišus "(1/3)" iš eilės.

Skaičiavimas Excel programoje. Paleiskite pačią programą, paspauskite mygtuką "=" ir pasirinkite funkciją "DEGREE". Tada įveskite skaičių, iš kurio norite išgauti laipsnio šaknį. Tada kitame pasirodžiusiame lange įveskite trupmeną „1/3“ ir spustelėkite mygtuką „Gerai“.

Susiję vaizdo įrašai

Šaltiniai:

kaip skaičiuoti kubo šaknys

Sprendžiant aritmetinius ir algebrinius uždavinius, kartais reikia statyti trupmena in kvadratas. Lengviausias būdas tai padaryti, kai trupmena dešimtainis – pakanka paprasto skaičiuotuvo. Tačiau jei trupmena paprastas arba mišrus, tada keliant tokį skaičių iki kvadratas gali kilti tam tikrų sunkumų.

Mes išsiaiškinome, koks apskritai yra skaičiaus laipsnis. Dabar turime suprasti, kaip teisingai jį apskaičiuoti, t.y. pakelti skaičius į galias. Šioje medžiagoje išanalizuosime pagrindines laipsnio skaičiavimo taisykles sveikojo skaičiaus, natūraliojo, trupmeninio, racionaliojo ir neracionaliojo rodiklio atveju. Visi apibrėžimai bus iliustruoti pavyzdžiais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eksponentiškumo samprata

Pradėkime nuo pagrindinių apibrėžimų formulavimo.

1 apibrėžimas

Eksponentiškumas yra kokio nors skaičiaus laipsnio reikšmės apskaičiavimas.

Tai yra, žodžiai „laipsnio vertės apskaičiavimas“ ir „eksponentiškumas“ reiškia tą patį. Taigi, jei užduotis yra "Pakelkite skaičių 0 , 5 iki penktojo laipsnio", tai turėtų būti suprantama kaip "apskaičiuokite laipsnio (0 , 5) reikšmę 5 .

Dabar pateikiame pagrindines taisykles, kurių reikia laikytis atliekant tokius skaičiavimus.

Prisiminkite, kokia yra skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia. Laipsniui, kurio bazė a ir rodiklis n, tai bus n-ojo faktorių skaičiaus sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Tai galima parašyti taip:

Norint apskaičiuoti laipsnio reikšmę, reikia atlikti daugybos operaciją, tai yra padauginti laipsnio bazes nurodytą skaičių kartų. Pati laipsnio su natūraliu rodikliu samprata remiasi gebėjimu greitai daugintis. Pateikime pavyzdžių.

1 pavyzdys

Būklė: Pakelkite - 2 iki 4 laipsnio.

Sprendimas

Naudodami aukščiau pateiktą apibrėžimą, rašome: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Toliau tereikia atlikti šiuos veiksmus ir gauti 16 .

Paimkime sudėtingesnį pavyzdį.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite reikšmę 3 2 7 2

Sprendimas

Šį įrašą galima perrašyti į 3 2 7 · 3 2 7 . Anksčiau nagrinėjome, kaip teisingai padauginti sąlygoje nurodytus mišrius skaičius.

Atlikite šiuos veiksmus ir gaukite atsakymą: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jei užduotis rodo, kad reikia neracionalius skaičius pakelti iki natūralios laipsnio, pirmiausia turėsime suapvalinti jų bazes iki skaitmens, kuris leistų gauti norimo tikslumo atsakymą. Paimkime pavyzdį.

3 pavyzdys

Atlikite skaičiaus π kvadratavimą.

Sprendimas

Pirmiausia suapvalinkime iki šimtųjų dalių. Tada π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jei π ≈ 3 . 14159, tada gausime tikslesnį rezultatą: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Atkreipkite dėmesį, kad poreikis skaičiuoti iracionaliųjų skaičių laipsnius praktikoje iškyla gana retai. Tada atsakymą galime parašyti kaip laipsnį (ln 6) 3 arba, jei įmanoma, konvertuoti: 5 7 = 125 5 .

Atskirai reikėtų nurodyti, kokia yra pirmoji skaičiaus laipsnė. Čia galite tiesiog prisiminti, kad bet koks skaičius, padidintas iki pirmosios laipsnio, liks pats:

Tai aišku iš įrašo. .

Tai nepriklauso nuo laipsnio pagrindo.

4 pavyzdys

Taigi, (− 9) 1 = − 9 , o 7 3 pakeltas į pirmą laipsnį, lieka lygus 7 3 .

Patogumo dėlei atskirai išanalizuosime tris atvejus: jei rodiklis yra teigiamas sveikasis skaičius, jei jis yra nulis ir jei jis yra neigiamas.

Pirmuoju atveju tai tas pats, kas kėlimas į natūraliąją laipsnį: juk teigiami sveikieji skaičiai priklauso natūraliųjų skaičių aibei. Aukščiau jau aprašėme, kaip dirbti su tokiais laipsniais.

Dabar pažiūrėkime, kaip tinkamai pakelti iki nulinės galios. Kai bazė yra ne nulis, šis skaičiavimas visada sukuria 1 išvestį. Anksčiau paaiškinome, kad a 0 laipsnį galima apibrėžti bet kuriai tikras numeris, nelygu 0, o a 0 = 1.

5 pavyzdys

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – neapibrėžta.

Mums lieka tik laipsnio atvejis su neigiamu sveikuoju skaičiumi. Jau aptarėme, kad tokius laipsnius galima užrašyti kaip trupmeną 1 a z, kur a yra bet koks skaičius, o z yra neigiamas sveikasis skaičius. Matome, kad šios trupmenos vardiklis yra ne kas kita, kaip įprastas laipsnis su teigiamu sveikuoju skaičiumi, ir mes jau išmokome jį apskaičiuoti. Pateiksime užduočių pavyzdžių.

6 pavyzdys

Pakelkite 3 iki -2 galios.

Sprendimas

Naudodami aukščiau pateiktą apibrėžimą, rašome: 2 - 3 = 1 2 3

Apskaičiuojame šios trupmenos vardiklį ir gauname 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Tada atsakymas yra: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

7 pavyzdys

Pakelkite 1, 43 iki -2 galios.

Sprendimas

Performuluokite: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Apskaičiuojame kvadratą vardiklyje: 1,43 1,43. Dešimtainės dalys gali būti dauginamos tokiu būdu:

Dėl to gavome (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Mums belieka šį rezultatą parašyti paprastosios trupmenos forma, kuriai reikia jį padauginti iš 10 tūkstančių (žr. trupmenų konvertavimo medžiagą).

Atsakymas: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Atskiras atvejis yra skaičiaus didinimas iki minuso pirmojo laipsnio. Tokio laipsnio vertė yra lygi skaičiui, priešingam pradinei pagrindo vertei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

8 pavyzdys

Pavyzdys: 3–1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kaip pakelti skaičių iki trupmeninės laipsnio

Norėdami atlikti tokią operaciją, turime prisiminti pagrindinį laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu: a m n \u003d a m n bet kokiam teigiamam a, sveikasis skaičius m ir natūralusis n.

2 apibrėžimas

Taigi trupmeninio laipsnio skaičiavimas turi būti atliktas dviem etapais: didinant iki sveikojo skaičiaus laipsnio ir surandant n-ojo laipsnio šaknį.

Turime lygybę a m n = a m n , kuri, atsižvelgiant į šaknų savybes, dažniausiai naudojama uždaviniams spręsti formoje a m n = a n m . Tai reiškia, kad jei skaičių a padidinsime iki trupmeninės laipsnio m / n, tada pirmiausia iš a išskirsime n-ojo laipsnio šaknį, tada rezultatą padidinsime iki laipsnio su sveikuoju rodikliu m.

Iliustruojame pavyzdžiu.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite 8 - 2 3 .

Sprendimas

1 metodas. Pagal pagrindinį apibrėžimą tai galime pavaizduoti taip: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Dabar apskaičiuokime laipsnį po šaknimi ir iš rezultato išskirkime trečiąją šaknį: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

2 metodas. Paverskime pagrindinę lygybę: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Po to ištraukiame šaknį 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 ir rezultatą padalijame kvadratu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Matome, kad sprendimai yra identiški. Galite naudoti bet kokiu būdu.

Pasitaiko atvejų, kai laipsnis turi rodiklį, išreikštą mišriu skaičiumi arba dešimtaine trupmena. Kad būtų lengviau apskaičiuoti, geriau jį pakeisti įprasta trupmena ir skaičiuoti, kaip nurodyta aukščiau.

10 pavyzdys

Pakelkite 44,89 iki 2,5 laipsnio.

Sprendimas

Rodiklio reikšmę paverskime į paprastąją trupmeną – 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Ir dabar mes atliekame visus aukščiau nurodytus veiksmus eilės tvarka: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 =1 = 51070 13 501, 25107

Atsakymas: 13501, 25107.

Jei trupmeninio rodiklio skaitiklis ir vardiklis yra dideli skaičiai, tada tokių galių apskaičiavimas su racionalūs rodikliai- gana sunkus darbas. Paprastai tam reikia kompiuterinių technologijų.

Atskirai apsistojame ties laipsniu su nuline baze ir trupmeniniu rodikliu. 0 m n formos išraiškai gali būti suteikta tokia reikšmė: jei m n > 0, tai 0 m n = 0 m n = 0 ; jei m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kaip pakelti skaičių iki neracionalios galios

Poreikis apskaičiuoti laipsnio reikšmę, kurio rodiklyje yra neracionalus skaičius, nekyla taip dažnai. Praktiškai užduotis paprastai apsiriboja apytikslės reikšmės apskaičiavimu (iki tam tikro skaičiaus po kablelio). Tai dažniausiai apskaičiuojama kompiuteriu dėl tokių skaičiavimų sudėtingumo, todėl plačiau apie tai nekalbėsime, nurodysime tik pagrindines nuostatas.

Jei reikia skaičiuoti laipsnio a reikšmę su neracionaliuoju rodikliu a , tai imame dešimtainę laipsnio aproksimaciją ir skaičiuojame iš jos. Rezultatas bus apytikslis atsakymas. Kuo tikslesnis dešimtainis aproksimavimas, tuo tikslesnis atsakymas. Parodykime pavyzdžiu:

11 pavyzdys

Apskaičiuokite apytikslę reikšmę 21 , 174367 ....

Sprendimas

Mes apsiribojame dešimtainiu aproksimavimu a n = 1 , 17 . Atlikime skaičiavimus naudodami šį skaičių: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jeigu imsime, pavyzdžiui, aproksimaciją a n = 1 , 1743 , tai atsakymas bus kiek tikslesnis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Jums reikės

skaičiuotuvas, kompiuteris, excel programa.

Instrukcija

Norėdami pakelti dešimtainį skaičių trupmena in kvadratas, paimkite inžinerinį, surinkite jį statant kvadratas trupmena ir paspauskite didinimo klavišą. Daugumoje skaičiuotuvų šis mygtukas pažymėtas „x²“. Standartinėje „Windows“ skaičiuoklėje kėlimas į kvadratas atrodo kaip "x^2". Pavyzdžiui, kvadratas dešimtainė trupmena 3,14 bus lygi: 3,14² = 9,8596.

Pakelti iki kvadratas dešimtainis trupmenaįprastu (apskaitos) skaičiuotuvu padauginkite šį skaičių iš savęs. Beje, kai kuriuose skaičiuoklių modeliuose skaičių galima pakelti iki kvadratas net jei nėra specialaus mygtuko. Todėl pirmiausia perskaitykite konkretaus skaičiuotuvo instrukcijas. Kartais ant galinio viršelio arba ant skaičiuotuvo pateikiami „keblūs“ laipsniai. Pavyzdžiui, daugelyje skaičiuoklių, skirtų skaičiui padidinti iki kvadratas tiesiog paspauskite mygtukus "x" ir "=".

Erekcijai in kvadratas paprastoji trupmena (sudaryta iš skaitiklio ir vardiklio), kelti į kvadratas atskirai šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Tai yra, naudokite šią taisyklę: (h / z)² = h² / z², kur h yra trupmenos skaitiklis, z yra trupmenos vardiklis. Pavyzdys: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Jei pastatytas kvadratas trupmena- mišrus (susideda iš sveikosios dalies ir paprastosios trupmenos), tada pirmiausia įtraukite į įprasta išvaizda. Tai yra, taikykite šią formulę: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², kur ts yra sveikoji mišri frakcija. Pavyzdys: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Jei į kvadratas(ne) trupmenos yra pastovios, tada naudokite MS Excel. Norėdami tai padaryti, į vieną iš lentelių įveskite šią formulę: \u003d DEGREE (A2; 2) kur A2 yra langelio, į kurį bus įvedama didinama reikšmė, adresas kvadratas trupmena.Pasakyti programai, kad įvesties numeris turi būti tvarkomas kaip trupmena yu (t. y. nekonvertuokite į dešimtainį skaičių), įveskite prieš trupmena skaitmuo „0“ ir ženklas „tarpas“. Tai yra, norėdami įvesti, pavyzdžiui, trupmeną 2/3, turite įvesti: "0 2/3" (ir paspauskite Enter). Tokiu atveju įvesties eilutėje bus rodomas įvestos trupmenos dešimtainis vaizdas. Tiesiogiai esančios trupmenos vertė ir vaizdavimas bus išsaugotas pradine forma. Be to, naudojant matematines funkcijas, kurio argumentai yra paprastosios trupmenos, rezultatas taip pat bus pateikiamas kaip paprastoji trupmena. Vadinasi kvadratas trupmena 2/3 bus pavaizduota kaip 4/9.