Apibrėžimas. Prizmė- tai daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose, o tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, ir visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumos lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Susidaro visi šoniniai veidai šoninis prizmės paviršius .

Visi prizmės šoniniai paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmė įstrižainė vadinama atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra viename iš jos paviršių (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia apėjimo tvarka nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viršūnės yra viename pagrinde yra žymimi raidėmis be rodyklės, o kitoje - su rodykle)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, esančioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle pagrindas yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet kadangi tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai yra prizmės pagrindai, 5 paviršiai yra lygiagretainiai, yra jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria privatus vaizdas: taisyklingos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Lygiagretaus vamzdžio

stačiakampis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

,

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a - aikštės pusė.

Prizmės idėją pateikia:

• įvairios architektūrinės konstrukcijos;
• Vaikiški žaislai;
• pakavimo dėžės;
• dizainerių dirbiniai ir kt.

Bendras ir šoninis prizmės paviršiaus plotas

S pilnas \u003d S pusė + 2S pagrindinis,

kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S pagrindinis- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė\u003d P pagrindinis * h,

kur S pusė yra tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h yra tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Apibrėžimas.

Tai yra šešiakampis, kurio pagrindai yra du lygūs kvadratai, o šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.

Šoninis šonkaulis yra dviejų gretimų šoninių paviršių bendroji pusė

Prizmės aukštis yra tiesės atkarpa, statmena prizmės pagrindams

Prizmė įstrižainė- segmentas, jungiantis dvi pagrindų viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui

Įstrižainė plokštuma- plokštuma, kuri eina per prizmės įstrižainę ir jos šonines briaunas

Įstrižainė pjūvis- prizmės ir įstrižainės plokštumos susikirtimo ribos. Įstrižainė teisinga keturkampė prizmė yra stačiakampis

Statmena pjūvis (stačiakampė pjūvis)- tai prizmės ir plokštumos, nubrėžtos statmenai jos šoninėms briaunoms, sankirta

Taisyklingosios keturkampės prizmės elementai

Paveiksle pavaizduotos dvi taisyklingos keturkampės prizmės, kurios pažymėtos atitinkamomis raidėmis:

• Bazės ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 yra lygios ir lygiagrečios viena kitai
• Šoniniai paviršiai AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ir CC 1 D 1 D, kurių kiekvienas yra stačiakampis
• Šoninis paviršius – visų prizmės šoninių paviršių plotų suma
• Bendras paviršius - visų pagrindų ir šoninių paviršių plotų suma (šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų suma)
• Šoniniai šonkauliai AA 1 , BB 1 , CC 1 ir DD 1 .
• Įstrižainė B 1 D
• Pagrindo įstrižainė BD
• Įstrižainė pjūvis BB 1 D 1 D
• Statmena pjūvis A 2 B 2 C 2 D 2 .

Taisyklingosios keturkampės prizmės savybės

• Pagrindai yra du vienodi kvadratai
• Pagrindai yra lygiagrečiai vienas kitam
• Šonai yra stačiakampiai.
• Šoniniai veidai yra lygūs vienas kitam
• Šoniniai paviršiai yra statmenai pagrindams
• Šoniniai šonkauliai yra lygiagrečiai vienas kitam ir lygūs
• Statmena pjūvis, statmena visoms šoninėms briaunoms ir lygiagreti pagrindams
• Statmens pjūvio kampai – dešinysis
• Taisyklingos keturkampės prizmės įstrižainė yra stačiakampis
• Statmena (stačiakampė pjūvis) lygiagreti pagrindams

Taisyklingos keturkampės prizmės formulės

Problemų sprendimo instrukcijos

Teisinga prizmė- prizmė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms. Tai reiškia, kad įprastos keturkampės prizmės pagrindas yra kvadratas. (žr. aukščiau taisyklingos keturkampės prizmės savybes) Pastaba. Tai dalis pamokos su geometrijos užduotimis (pjūvis kietoji geometrija – prizmė). Štai užduotys, kurios sukelia sunkumų sprendžiant. Jei jums reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra - parašykite apie tai forume. Nurodykite ištraukimo veiksmą kvadratinė šaknis simbolis naudojamas sprendžiant problemas√ .

Užduotis.

Taisyklingos prizmės įstrižainė susiformuoja su pagrindo įstriža ir prizmės aukščiu taisyklingas trikampis. Atitinkamai, pagal Pitagoro teoremą tam tikros taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižainė bus lygi:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atsakymas: 22 cm

Užduotis

Sprendimas.
Kadangi taisyklingos keturkampės prizmės pagrindas yra kvadratas, tada pagrindo kraštinė (žymima a) randama pagal Pitagoro teoremą:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tada šoninio paviršiaus aukštis (žymimas h) bus lygus:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Bendras paviršiaus plotas bus lygus šoninio paviršiaus ploto ir dvigubo pagrindinio ploto sumai

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4 √ (175/4)
S = 25 + 4 √ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atsakymas: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Matematikos šaka, tirianti įvairių formų (taškų, linijų, kampų, dvimačių ir trimačių objektų) savybes, jų dydžius ir santykinė padėtis. Mokymo patogumui geometrija skirstoma į planimetriją ir kietąją geometriją. Į…… Collier enciklopedija

Didesnių kaip trys erdvės geometrija; terminas taikomas toms erdvėms, kurių geometrija iš pradžių buvo sukurta trijų matmenų atveju ir tik tada apibendrinta iki matmenų skaičiaus n> 3, pirmiausia euklidinė erdvė, ... ... Matematinė enciklopedija

N dimensijos Euklido geometrija Euklido geometrijos apibendrinimas erdvėje daugiau matavimai. Nors fizinė erdvė yra trimatė, o žmogaus pojūčiai sukurti taip, kad suvoktų tris dimensijas, N yra matmenų ... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Pyramidatsu (reikšmės). Suabejota šios straipsnio dalies patikimumu. Būtina patikrinti šiame skirsnyje nurodytų faktų teisingumą. Pokalbių puslapyje gali būti paaiškinimų... Vikipedija

- (Constructive Solid Geometry, CSG) technologija naudojama modeliuojant kietosios medžiagos. Struktūrinė blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D grafikos ir CAD modeliavimo technika. Tai leidžia jums sukurti sudėtingą sceną arba ... Vikipedija

Konstruktyvioji kietųjų kūnų geometrija (CSG) yra kietųjų kūnų modeliavimo technologija. Struktūrinė blokų geometrija dažnai, bet ne visada, yra 3D grafikos ir CAD modeliavimo technika. Ji ... ... Vikipedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Taikymo sritis (reikšmės). Tūris yra papildoma aibės (mato) funkcija, apibūdinanti erdvės, kurią ji užima, talpą. Iš pradžių ji atsirado ir buvo taikoma be griežtų ... ... Vikipedijos

Kubo tipas Taisyklingas daugiakampis Veidas kvadratas Viršūnės Kraštai Veidai ... Vikipedija

Tūris yra papildoma aibės (mato) funkcija, apibūdinanti erdvės, kurią ji užima, talpą. Iš pradžių jis atsirado ir buvo taikomas be griežto apibrėžimo trimačių trimačių Euklido erdvės kūnų atžvilgiu. ... ... Wikipedia

Erdvės dalis, apribota baigtinio skaičiaus plokštuminių daugiakampių rinkinio (žr. GEOMETRIJą), sujungtų taip, kad kiekviena bet kurio daugiakampio kraštinė yra lygiai vieno kito daugiakampio (vadinamo ... ... Collier enciklopedija

Knygos

• Lentelių komplektas. Geometrija. 10 klasė. 14 lentelių + metodika, . Lentelės atspausdintos ant storo poligrafinio kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Brošiūra su Gairės už mokytoją. Studijų albumas iš 14 lapų...

Prizmė. Lygiagretaus vamzdžio

prizmė vadinamas daugiakampiu, kurio dvi briaunos yra lygios n kampams (pagrindas) , esantis lygiagrečiose plokštumose, o likusieji n paviršiai yra lygiagretainiai (šoniniai veidai) . Šoninis šonkaulis prizmė yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui.

Vadinama prizmė, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms tiesiai prizmė (1 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindų plokštumoms, vadinasi prizmė įstrižas . Teisingai Prizmė yra tiesi prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Aukštis prizmė vadinama atstumu tarp pagrindų plokštumų. Įstrižainė Prizmė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam paviršiui. įstrižainė Vadinamas prizmės pjūvis plokštumos, einančios per du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui. Statmenas pjūvis vadinamas prizmės pjūvis plokštuma, statmena prizmės šoninei briaunai.

Šoninio paviršiaus plotas prizmė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas vadinama visų prizmės paviršių plotų suma (t. y. šoninių paviršių ir pagrindų plotų suma).

Savavališkai prizmei formulės yra teisingos:

kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P

K

S pusė

S pilnas

S pagrindinis yra pagrindų plotas;

V yra prizmės tūris.

Tiesiai prizmei galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis.

Lygiagretaus vamzdžio Vadinama prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis. Vadinamas gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindams tiesioginis (2 pav.). Jeigu šoninės briaunos nėra statmenos pagrindams, vadinasi gretasienis įstrižas . Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampio formos. Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.

Vadinami gretasienio paviršiai, neturintys bendrų viršūnių priešingas . Vadinami briaunų ilgiai, išeinantys iš vienos viršūnės matavimai gretasienis. Kadangi dėžutė yra prizmė, pagrindiniai jos elementai apibrėžiami taip pat, kaip ir prizmėms.

Teoremos.

1. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalija jį pusiau.

2. Stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai:

3. Visos keturios stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios viena kitai.

Savavališkam gretasieniui galioja šios formulės:

kur l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H- aukštis;

P yra statmenos pjūvio perimetras;

K– statmenos pjūvio plotas;

S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;

S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;

S pagrindinis yra pagrindų plotas;

V yra prizmės tūris.

Dešiniajam gretasieniui galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

l yra šoninio šonkaulio ilgis;

H yra dešiniojo gretasienio aukštis.

Stačiakampio gretasienio atveju galioja šios formulės:

(3)

kur p- pagrindo perimetras;

H- aukštis;

d- įstrižainė;

a,b,c– gretasienio išmatavimai.

Teisingos kubo formulės yra šios:

kur a yra šonkaulio ilgis;

d yra kubo įstrižainė.

1 pavyzdys Stačiakampio stačiakampio įstrižainė yra 33 dm, o jos išmatavimai susieti kaip 2:6:9. Raskite stačiakampio išmatavimus.

Sprendimas. Norėdami rasti gretasienio matmenis, naudojame formulę (3), t.y. tai, kad stačiakampio kampo kvadratas yra lygus jo matmenų kvadratų sumai. Pažymėti k proporcingumo koeficientas. Tada gretasienio matmenys bus lygūs 2 k, 6k ir 9 k. Problemos duomenims rašome formulę (3):

Sprendžiant šią lygtį k, mes gauname:

Vadinasi, gretasienio matmenys yra 6 dm, 18 dm ir 27 dm.

Atsakymas: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2 pavyzdys Raskite pasvirusios trikampės prizmės, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 8 cm, tūrį, jei šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei ir yra pasvirusi 60º kampu į pagrindą.

Sprendimas . Padarykime piešinį (3 pav.).

Norint rasti pasvirusios prizmės tūrį, reikia žinoti jos pagrindo plotą ir aukštį. Šios prizmės pagrindo plotas yra lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 8 cm, plotas. Apskaičiuokite:

Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų. Nuo viršaus BET 1 viršutinio pagrindo nuleidžiame statmeną apatinio pagrindo plokštumai BET 1 D. Jo ilgis bus prizmės aukštis. Apsvarstykite D BET 1 REKLAMA: kadangi tai yra šoninio šonkaulio pasvirimo kampas BET 1 BETį bazinę plokštumą BET 1 BET= 8 cm.. Iš šio trikampio randame BET 1 D:

Dabar apskaičiuojame tūrį pagal formulę (1):

Atsakymas: 192 cm3.

3 pavyzdys Taisyklingos šešiakampės prizmės šoninis kraštas yra 14 cm. Didžiausios įstrižainės pjūvio plotas yra 168 cm 2. Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (4 pav.)

Didžiausia įstrižainė dalis yra stačiakampis AA 1 DD 1 , nuo įstrižainės REKLAMA taisyklingas šešiakampis ABCDEF yra didžiausias. Norint apskaičiuoti prizmės šoninio paviršiaus plotą, būtina žinoti pagrindo kraštą ir šoninio briaunelės ilgį.

Žinodami įstrižainės pjūvio (stačiakampio) plotą, randame pagrindo įstrižainę.

Nes tada

Nuo tada AB= 6 cm.

Tada pagrindo perimetras yra:

Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą:

Įprasto šešiakampio, kurio kraštinė yra 6 cm, plotas yra:

Raskite bendrą prizmės paviršiaus plotą:

Atsakymas:

4 pavyzdys Dešiniojo gretasienio pagrindas yra rombas. Įstrižainių pjūvių plotai yra 300 cm 2 ir 875 cm 2. Raskite gretasienio šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.).

Pažymėkite rombo kraštą bet, rombo įstrižainės d 1 ir d 2, dėžutės aukštis h. Norint rasti tiesaus gretasienio šoninio paviršiaus plotą, pagrindo perimetrą reikia padauginti iš aukščio: (2 formulė). Bazinis perimetras p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, nes ABCD- rombas. H = AA 1 = h. Tai. Reikia surasti bet Ir h.

Apsvarstykite įstrižaines dalis. AA 1 SS 1 - stačiakampis, kurio viena kraštinė yra rombo įstrižainė AC = d 1 , antrasis šoninis kraštas AA 1 = h, tada

Panašiai ir skyrelyje BB 1 DD 1 gauname:

Naudodami lygiagretainio savybę, kad įstrižainių kvadratų suma būtų lygi visų jo kraštinių kvadratų sumai, gauname lygybę Gauname taip.

Daugiakampis

Pagrindinis stereometrijos tyrimo objektas yra trimačiai kūnai. kūnas yra erdvės dalis, apribota kokiu nors paviršiumi.

daugiakampis Vadinamas kūnas, kurio paviršius susideda iš baigtinio skaičiaus plokštuminių daugiakampių. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra kiekvieno plokščio daugiakampio, esančio jo paviršiuje, plokštumos vienoje pusėje. Tokios plokštumos ir daugiakampio paviršiaus bendroji dalis vadinama kraštas. Išgaubto daugiakampio paviršiai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio briaunos, ir viršūnes daugiakampio viršūnės.

Pavyzdžiui, kubas susideda iš šešių kvadratų, kurie yra jo veidai. Jame yra 12 kraštinių (kvadratų kraštinės) ir 8 viršūnės (kvadratų viršūnės).

Paprasčiausios daugiakampės yra prizmės ir piramidės, kurias toliau tyrinėsime.

Prizmė

Prizmės apibrėžimas ir savybės

prizmė vadinamas daugiakampiu, susidedančiu iš dviejų lygiagrečiose plokštumose esančių plokščių daugiakampių, sujungtų lygiagrečiu vertimu, ir visų atkarpų, jungiančių atitinkamus šių daugiakampių taškus. Daugiakampiai vadinami prizmių pagrindai, o atkarpos, jungiančios atitinkamas daugiakampių viršūnes, yra šoniniai prizmės kraštai.

Prizmės aukštis vadinamas atstumu tarp jo pagrindų plokštumų (). Atkarpa, jungianti dvi prizmės viršūnes, nepriklausančias tam pačiam paviršiui, vadinama prizmės įstrižainė(). Prizmė vadinama n-anglys jei jo pagrindas yra n-kampis.

Bet kuri prizmė turi šias savybes, atsirandančias dėl to, kad prizmės pagrindai yra sujungti lygiagrečiu vertimu:

1. Prizmės pagrindai lygūs.

2. Prizmės šoninės briaunos lygiagrečios ir lygios.

Prizmės paviršių sudaro pagrindai ir šoninis paviršius. Prizmės šoninis paviršius susideda iš lygiagretainių (tai išplaukia iš prizmės savybių). Prizmės šoninio paviršiaus plotas yra šoninių paviršių plotų suma.

tiesi prizmė

Prizmė vadinama tiesiai jei jo šoninės briaunos yra statmenos pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama įstrižas.

Tiesios prizmės paviršiai yra stačiakampiai. Tiesios prizmės aukštis lygus jos šoniniams paviršiams.

viso paviršiaus prizmės yra šoninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų suma.

Teisinga prizmė vadinama stačiąja prizme, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis.

13.1 teorema. Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus prizmės perimetro ir aukščio sandaugai (arba lygiaverčiai šoniniam kraštui).

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, kurių pagrindai yra prizmės pagrinduose esančių daugiakampių kraštinės, o aukščiai yra prizmės šoniniai kraštai. Tada pagal apibrėžimą šoninio paviršiaus plotas yra:

,

kur yra tiesios prizmės pagrindo perimetras.

Lygiagretaus vamzdžio

Jei prizmės pagrinduose yra lygiagretainiai, tai vadinama gretasienis. Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai. Šiuo atveju priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.

13.2 teorema. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške, o susikirtimo taškas dalijamas pusiau.

Įrodymas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, dvi savavališkas įstrižaines ir . Nes gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, tada ir , o tai reiškia, kad pagal T apie dvi tieses, lygiagrečias trečiajai . Be to, tai reiškia, kad linijos ir yra toje pačioje plokštumoje (plokštumoje). Ši plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas ir išilgai lygiagrečių linijų ir . Taigi keturkampis yra lygiagretainis, o pagal lygiagretainio savybę jo įstrižainės ir susikerta, o susikirtimo taškas dalijamas per pusę, ką reikėjo įrodyti.

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis. Visi stačiakampio formos paviršiai yra stačiakampiai. Nelygiagrečių stačiakampio briaunų ilgiai vadinami jo linijiniai matmenys(išmatavimai). Yra trys dydžiai (plotis, aukštis, ilgis).

13.3 teorema. Statute bet kurios įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai (įrodyta du kartus pritaikius Pitagoro T).

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.

Užduotys

13.1 Kiek įstrižainių yra n- anglies prizmė

13.2 Pasvirusioje trikampėje prizmėje atstumai tarp šoninių kraštų yra 37, 13 ir 40. Raskite atstumą tarp didesnio šoninio paviršiaus ir priešingo šoninio krašto.

13.3 Per taisyklingos trikampės prizmės apatinio pagrindo kraštą nubrėžiama plokštuma, kuri kerta šoninius paviršius išilgai segmentų, kurių kampas yra . Raskite šios plokštumos pasvirimo kampą į prizmės pagrindą.