복잡한 온라인 불평등의 해결책. 불평등을 해결하는 방법에 대한 몇 가지 요점

먼저, 인터벌 방식이 해결하는 문제에 대한 느낌을 얻기 위한 몇 가지 가사. 다음 부등식을 풀어야 한다고 가정합니다.

(x − 5)(x + 3) > 0

옵션은 무엇입니까? 대부분의 학생들이 가장 먼저 생각하는 것은 "더하기 더하기 더하기가 더하기" 및 "빼기 곱하기 빼기가 더하기를 만듭니다."라는 규칙입니다. 따라서 x − 5 > 0 및 x + 3 > 0과 같이 두 대괄호가 모두 양수인 경우를 고려하는 것으로 충분합니다. 그런 다음 두 대괄호가 음수인 경우도 고려합니다. x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

고급 학생들은 왼쪽에 그래프가 포물선인 2차 함수가 있다는 것을 (아마도) 기억할 것입니다. 더욱이, 이 포물선은 점 x = 5 및 x = -3에서 OX 축과 교차합니다. 추가 작업을 위해서는 브래킷을 열어야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

x 2 − 2x − 15 > 0

이제 포물선의 가지가 위쪽을 향하고 있음이 분명합니다. 계수 a = 1 > 0. 이 포물선의 다이어그램을 그려 보겠습니다.

함수는 OX 축 위를 통과하는 0보다 큽니다. 우리의 경우 이것은 구간(−∞ −3)과 (5; +∞)입니다. 이것이 답입니다.

사진은 정확히 보여줍니다 기능 다이어그램, 그녀의 일정이 아닙니다. 실제 그래프의 경우 좌표를 계산하고 오프셋 및 기타 쓰레기를 계산해야 하기 때문에 지금은 전혀 필요하지 않습니다.

이러한 방법이 비효율적인 이유는 무엇입니까?

따라서 동일한 불평등에 대한 두 가지 솔루션을 고려했습니다. 둘 다 매우 번거로운 것으로 판명되었습니다. 첫 번째 결정이 떠오릅니다. 생각해보세요! 불평등 시스템의 집합입니다. 두 번째 솔루션도 그리 쉽지는 않습니다. 포물선 그래프와 기타 여러 가지 작은 사실을 기억해야 합니다.

아주 단순한 불평등이었습니다. 승수는 2개뿐입니다. 이제 승수가 2개가 아니라 4개 이상이라고 상상해 보십시오. 예를 들면 다음과 같습니다.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

이러한 불평등을 해결하는 방법은 무엇입니까? 장단점의 가능한 모든 조합을 살펴보시겠습니까? 예, 우리는 해결책을 찾는 것보다 더 빨리 잠들 것입니다. 그래프를 그리는 것도 옵션이 아닙니다. 좌표 평면에서 이러한 기능이 어떻게 작동하는지 명확하지 않기 때문입니다.

이러한 불평등의 경우 오늘 고려할 특별한 솔루션 알고리즘이 필요합니다.

인터벌 방식이란

간격 방법은 f(x) > 0 및 f(x) 형식의 복잡한 부등식을 해결하도록 설계된 특수 알고리즘입니다.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. 방정식 f (x) \u003d 0을 풉니다. 따라서 부등식 대신 훨씬 더 풀기 쉬운 방정식을 얻습니다.
2. 좌표선에 얻은 모든 루트를 표시하십시오. 따라서 직선은 여러 간격으로 나뉩니다.
3. 가장 오른쪽 간격에서 함수 f(x)의 부호(더하기 또는 빼기)를 찾으십시오. 이렇게 하려면 f(x)에서 표시된 모든 근의 오른쪽에 있는 숫자를 대입하면 충분합니다.
4. 다른 간격에 표시를 합니다. 이렇게하려면 각 루트를 통과 할 때 부호가 변경된다는 것을 기억하면 충분합니다.

그게 다야! 그 후에는 우리에게 관심있는 간격을 작성하는 것만 남아 있습니다. 부등식의 형식이 f(x) > 0이면 "+" 기호로 표시되고, 부등식이 f(x) 형식이면 "-" 기호로 표시됩니다.< 0.

언뜻보기에 간격 방법은 일종의 주석처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 모든 것이 매우 간단합니다. 약간의 연습이 필요합니다. 그러면 모든 것이 명확해질 것입니다. 예제를 보고 직접 확인하십시오.

작업. 부등식 해결:

(x − 2)(x + 7)< 0

우리는 간격 방법을 연구합니다. 1단계: 부등식을 방정식으로 바꾸고 풀기:

(x − 2)(x + 7) = 0

요인 중 하나 이상이 0인 경우에만 곱은 0과 같습니다.

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = -7.

두 개의 뿌리를 얻었다. 2단계로 이동합니다. 이 루트를 좌표선에 표시합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

이제 3단계: 가장 오른쪽 간격(표시된 점 x = 2의 오른쪽)에서 함수의 부호를 찾습니다. 이렇게 하려면 숫자 x = 2보다 큰 임의의 숫자를 취해야 합니다. 예를 들어 x = 3을 취한다고 합시다(그러나 x = 4, x = 10, 심지어 x = 10,000을 취하는 것을 금지하는 사람은 아무도 없습니다). 우리는 다음을 얻습니다.

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

f(3) = 10 > 0이 되므로 가장 오른쪽 간격에 더하기 기호를 넣습니다.

우리는 마지막 지점으로 넘어갑니다-나머지 간격의 표시에 유의해야합니다. 각 루트를 통과할 때 부호가 변경되어야 함을 기억하십시오. 예를 들어, 루트 x = 2의 오른쪽에는 플러스가 있으므로(이전 단계에서 확인했음) 왼쪽에 마이너스가 있어야 합니다.

이 빼기는 전체 간격(-7; 2)으로 확장되므로 근 x = −7 오른쪽에 빼기가 있습니다. 따라서 근 x = −7의 왼쪽에 플러스가 있습니다. 좌표축에 이러한 기호를 표시해야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

다음과 같은 원래의 부등식으로 돌아가 보겠습니다.

(x − 2)(x + 7)< 0

따라서 함수는 0보다 작아야 합니다. 이것은 하나의 간격(-7; 2)에서만 발생하는 빼기 기호에 관심이 있음을 의미합니다. 이것이 답이 될 것입니다.

작업. 부등식 해결:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

1단계: 왼쪽을 0과 동일시합니다.

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1

기억하십시오: 요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 이것이 우리가 각 개별 브래킷을 0으로 만들 권리가 있는 이유입니다.

2단계: 좌표선에 모든 근을 표시합니다.

3단계: 가장 오른쪽 간격의 기호를 찾습니다. 우리는 x = 1보다 큰 수를 취합니다. 예를 들어 x = 10을 취할 수 있습니다.

f (x) \u003d (x + 9) (x-3) (1-x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

4단계: 나머지 표지판을 배치합니다. 각 루트를 통과할 때 기호가 변경됨을 기억하십시오. 결과적으로 우리의 그림은 다음과 같이 보일 것입니다.

그게 다야. 답을 쓰는 일만 남았습니다. 원래의 부등식을 다시 살펴보세요.

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

이것은 f(x) 형식의 부등식입니다.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

이것이 답이다.

기능 기호에 대한 참고 사항

연습에 따르면 간격 방법의 가장 큰 어려움은 마지막 두 단계에서 발생합니다. 표지판을 배치할 때. 많은 학생들이 헷갈리기 시작합니다. 어떤 숫자를 가져와야 하는지, 어디에 표시를 해야 하는지에 대한 것입니다.

마지막으로 간격 방법을 이해하려면 이 방법이 작성된 두 가지 설명을 고려하십시오.

1. 연속 함수는 점에서만 부호를 변경합니다. 0과 같은 곳. 이러한 점은 좌표축을 조각으로 나누며 그 안에서는 함수의 부호가 절대 변경되지 않습니다. 그래서 우리는 방정식 f (x) \u003d 0을 풀고 찾은 근을 직선에 표시합니다. 발견된 숫자는 플러스와 마이너스를 구분하는 "경계" 포인트입니다.
2. 임의의 구간에서 함수의 부호를 찾으려면 이 구간의 임의의 숫자를 함수로 대체하는 것으로 충분합니다. 예를 들어, 구간 (−5; 6)에 대해 원하는 경우 x = −4, x = 0, x = 4 및 x = 1.29374를 사용할 수 있습니다. 왜 중요 함? 예, 많은 학생들이 의심을 갉아먹기 시작하기 때문입니다. 예를 들어 x = −4에 대해 플러스를 얻고 x = 0에 대해 마이너스를 얻는다면 어떻게 될까요? 그런 일은 절대 일어나지 않을 것입니다. 같은 구간의 모든 점은 같은 부호를 나타냅니다. 이것을 기억.

이것이 간격 방법에 대해 알아야 할 전부입니다. 물론 가장 단순한 형태로 분해했습니다. 더 복잡한 불평등이 있습니다 - 엄격하지 않고 분수이며 반복되는 뿌리가 있습니다. 그들을 위해 인터벌 방법을 적용할 수도 있지만 이것은 별도의 큰 수업을 위한 주제입니다.

이제 간격 방법을 크게 단순화하는 고급 트릭을 분석하고 싶습니다. 보다 정확하게는 단순화는 세 번째 단계인 선의 가장 오른쪽 부분에 있는 기호 계산에만 영향을 줍니다. 어떤 이유로 이 기술은 학교에서 시행되지 않습니다(적어도 아무도 이에 대해 설명하지 않았습니다). 그러나 헛되이 - 실제로이 알고리즘은 매우 간단합니다.

따라서 함수의 부호는 숫자 축의 오른쪽 부분에 있습니다. 이 조각의 형식은 (a; +∞)이며, 여기서 a는 방정식 f(x) = 0의 가장 큰 근입니다. 우리의 두뇌를 날려 버리지 않기 위해 특정 예를 고려하십시오.

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x-1) (2 + x) (7-x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = -2;
7 - x = 0 ⇒ x = 7;

우리는 3개의 뿌리를 얻었다. 우리는 그것들을 오름차순으로 나열합니다: x = −2, x = 1 및 x = 7. 분명히 가장 큰 근은 x = 7입니다.

그래픽으로 추론하는 것이 더 쉽다고 생각하는 사람들을 위해 좌표선에 이 근을 표시하겠습니다. 무슨 일이 일어나는지 보자:

가장 오른쪽 구간에서 함수 f(x)의 부호를 찾아야 합니다. (7; +∞)에. 그러나 이미 언급했듯이 부호를 결정하기 위해이 간격에서 임의의 숫자를 가져올 수 있습니다. 예를 들어 x = 8, x = 150 등을 취할 수 있습니다. 그리고 지금 - 학교에서 가르치지 않는 동일한 기술: 무한대를 숫자로 간주합시다. 더 정확하게, 플러스 무한대, 즉. +∞.

"돌이 되었나? 어떻게 무한대를 함수로 대체할 수 있습니까? 아마도, 당신은 묻습니다. 하지만 생각해 보세요. 함수 자체의 값은 필요하지 않으며 기호만 있으면 됩니다. 따라서 예를 들어 값 f(x) = −1 및 f(x) = −938 740 576 215는 같은 의미입니다. 함수는 이 구간에서 음수입니다. 따라서 함수의 값이 아니라 무한대에서 발생하는 부호를 찾기만 하면 됩니다.

사실, 무한대를 대체하는 것은 매우 간단합니다. 우리의 기능으로 돌아가자:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

x가 매우 큰 숫자라고 상상해보십시오. 10억 또는 심지어 1조. 이제 각 괄호에서 무슨 일이 일어나는지 봅시다.

첫 번째 괄호: (x − 1). 10억에서 1을 빼면 어떻게 될까요? 결과는 10억과 크게 다르지 않은 숫자가 될 것이며 이 숫자는 양수일 것입니다. 두 번째 괄호와 유사하게: (2 + x). 10억에 2를 더하면 코펙으로 10억이 됩니다. 이것은 양수입니다. 마지막으로 세 번째 괄호: (7 − x ). 여기에는 마이너스 10억이 있는데, 그 중에서 7 형태의 비참한 조각이 "갉아먹었습니다". 저것들. 결과 숫자는 마이너스 10 억과 크게 다르지 않습니다. 음수입니다.

전체 작업의 표시를 찾는 것이 남아 있습니다. 첫 번째 대괄호에는 플러스가 있고 마지막 대괄호에는 마이너스가 있으므로 다음 구성을 얻습니다.

(+) · (+) · (−) = (−)

마지막 기호는 마이너스입니다! 함수 자체의 값이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은이 값이 음수라는 것입니다. 가장 오른쪽 간격에는 빼기 기호가 있습니다. 간격 방법의 네 번째 단계인 모든 기호를 정렬하는 작업을 완료해야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

원래 불평등은 다음과 같습니다.

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

따라서 빼기 기호로 표시된 간격에 관심이 있습니다. 우리는 답을 씁니다.

x ∈ (−2, 1) ∪ (7, +∞)

그것이 내가 말하고 싶었던 모든 트릭입니다. 결론적으로, 무한대를 이용한 간격법으로 ​​해결되는 부등식이 하나 더 있습니다. 솔루션을 시각적으로 단축하기 위해 단계 번호와 자세한 설명을 작성하지 않습니다. 나는 실제 문제를 풀 때 꼭 필요한 것만 쓸 것이다.

작업. 부등식 해결:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

부등식을 방정식으로 바꾸고 해결합니다.

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = -4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

좌표선에 세 개의 루트를 모두 표시합니다(즉시 기호로).

좌표축의 오른쪽에 플러스가 있습니다. 기능은 다음과 같습니다.

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

무한대(예: 10억)를 대입하면 세 개의 양의 괄호가 생깁니다. 원래 표현식은 0보다 커야 하므로 플러스에만 관심이 있습니다. 답을 쓰는 것이 남아 있습니다.

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

그리고 오늘날 모든 사람이 합리적인 불평등을 해결할 수 있는 것은 아닙니다. 더 정확하게 말하면 모든 사람이 결정할 수 있는 것은 아닙니다. 할 수 있는 사람은 거의 없습니다.
ㅁ

이번 강의는 어려울 것입니다. 선택받은 자만이 그 끝에 도달할 수 있을 만큼 험난합니다. 따라서 읽기 전에 여성, 고양이, 임산부 및 ...

좋습니다. 실제로는 매우 간단합니다. 간격 방법을 마스터했으며(이를 마스터하지 않았다면 돌아가서 읽을 것을 권장합니다) $P\left(x \right) \gt 0$ 형식의 부등식을 푸는 방법을 배웠다고 가정합니다. 여기서 $P \left(x \right)$는 일부 다항식 또는 다항식의 곱입니다.

나는 당신이 예를 들어 그러한 게임을 해결하는 것이 어렵지 않을 것이라고 믿습니다 (그런데 워밍업을 위해 시도해보십시오).

\[\begin(정렬) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(정렬)\]

이제 작업을 약간 복잡하게 만들고 다항식뿐만 아니라 형식의 소위 유리 분수를 고려해 보겠습니다.

여기서 $P\left(x \right)$ 및 $Q\left(x \right)$는 $((a)_(n))((x)^(n))+( 형식의 동일한 다항식입니다. ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, 또는 그러한 다항식의 곱.

이것은 합리적인 불평등이 될 것입니다. 근본적인 요점은 분모에 변수 $x$가 있다는 것입니다. 예를 들어 합리적인 불평등은 다음과 같습니다.

\[\begin(정렬) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(정렬)\]

그리고 이것은 합리적이지 않지만 간격 방법으로 해결되는 가장 일반적인 불평등입니다.

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

앞을 내다보고 바로 말할 것입니다. 합리적인 불평등을 해결하는 방법은 적어도 두 가지가 있지만, 어떤 식으로든 모두 우리에게 이미 알려진 간격의 방법으로 축소됩니다. 따라서 이러한 방법을 분석하기 전에 오래된 사실을 기억합시다. 그렇지 않으면 새로운 자료에서 의미가 없습니다.

이미 알아야 할 사항

중요한 사실은 많지 않습니다. 우리는 정말로 4개만 필요합니다.

약식 곱셈 공식

예, 그렇습니다. 학교 수학 교과 과정 내내 우리를 괴롭힐 것입니다. 그리고 대학에서도요. 이러한 공식이 꽤 많이 있지만 다음만 필요합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\오른쪽); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\오른쪽). \\ \끝(정렬)\]

마지막 두 공식에 주의하십시오. 이것은 세제곱의 합과 차입니다(합이나 차이의 세제곱이 아닙니다!). 첫 번째 괄호의 부호가 원래 표현식의 부호와 같고 두 번째 괄호의 부호가 원래 표현식의 부호와 반대임을 알면 기억하기 쉽습니다.

선형 방정식

이들은 $ax+b=0$ 형식의 가장 간단한 방정식입니다. 여기서 $a$와 $b$는 일반 숫자이고 $a\ne 0$입니다. 이 방정식은 쉽게 풀 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \끝(정렬)\]

나는 우리가 $a\ne 0$이기 때문에 계수 $a$로 나눌 권리가 있음을 주목합니다. $a=0$를 사용하면 다음을 얻을 수 있으므로 이 요구 사항은 매우 논리적입니다.

첫째, 이 방정식에는 $x$ 변수가 없습니다. 이것은 일반적으로 말해서 우리를 혼란스럽게 해서는 안 되지만(예를 들어 기하학에서 그리고 아주 자주 발생함) 여전히 우리는 더 이상 선형 방정식이 아닙니다.

둘째, 이 방정식의 해는 계수 $b$에만 의존합니다. $b$도 0이면 방정식은 $0=0$입니다. 이 평등은 항상 참입니다. 따라서 $x$는 임의의 숫자입니다(보통 $x\in \mathbb(R)$로 작성됨). 계수 $b$가 0이 아닌 경우 $b=0$ 등식은 결코 충족되지 않습니다. 즉, 답이 없습니다($x\in \varnothing $로 작성하고 "솔루션 세트가 비어 있습니다"라고 읽음).

이러한 모든 복잡성을 피하기 위해 우리는 단순히 $a\ne 0$로 가정합니다. 이는 어떤 식으로든 추가 반영을 제한하지 않습니다.

이차 방정식

이것을 이차 방정식이라고 합니다.

여기 왼쪽에 2차 다항식이 있고 다시 $a\ne 0$입니다(그렇지 않으면 2차 방정식 대신 선형 방정식을 얻음). 판별식을 통해 다음 방정식을 풉니다.

1. $D \gt 0$이면 두 개의 다른 근을 얻습니다.
2. $D=0$인 경우 루트는 하나이지만 두 번째 다중성(이것이 어떤 종류의 다중성이며 이를 고려하는 방법 - 나중에 자세히 설명)의 하나가 됩니다. 또는 방정식에 두 개의 동일한 근이 있다고 말할 수 있습니다.
3. $D \lt 0$의 경우 근이 전혀 없으며 $x$에 대한 다항식 $a((x)^(2))+bx+c$의 부호는 계수 $a의 부호와 일치합니다. $. 그건 그렇고, 이것은 어떤 이유로 대수 수업에서 말하는 것을 잊어 버린 매우 유용한 사실입니다.

뿌리 자체는 잘 알려진 공식에 따라 계산됩니다.

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

따라서, 그건 그렇고, 판별자에 대한 제한입니다. 결국, 음수의 제곱근은 존재하지 않습니다. 뿌리에 관해서는 많은 학생들이 머리에 끔찍한 혼란을 겪고 있으므로 전체 수업을 특별히 녹음했습니다. 대수학의 뿌리는 무엇이며 계산하는 방법입니다. 나는 그것을 읽는 것이 좋습니다. :)

유리수 연산

위에 쓰여진 모든 것은 간격 방법을 연구했다면 이미 알고 있습니다. 그러나 우리가 지금 분석할 것은 과거에 유사점이 없었습니다. 이것은 완전히 새로운 사실입니다.

정의. 유리수는 다음 형식의 표현입니다.

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

여기서 $P\left(x \right)$ 및 $Q\left(x \right)$는 다항식입니다.

그러한 분수에서 부등식을 얻는 것이 쉽다는 것은 분명합니다. "보다 큼"또는 "보다 작음"기호를 오른쪽으로 돌리는 것으로 충분합니다. 그리고 조금 더 나아가 우리는 그러한 문제를 해결하는 것이 즐거움이며 모든 것이 매우 간단하다는 것을 알게 될 것입니다.

문제는 하나의 표현식에 이러한 분수가 여러 개 있을 때 시작됩니다. 그것들은 공통 분모로 축소되어야 합니다. 그리고 이 순간에 많은 공격적인 실수가 발생합니다.

따라서 합리적 방정식을 성공적으로 풀기 위해서는 두 가지 기술을 확실히 습득해야 합니다.

1. 다항식의 인수분해 $P\left(x \right)$;
2. 실제로, 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

다항식을 인수분해하는 방법? 매우 간단합니다. 다음 형식의 다항식을 갖자

0과 동일시합시다. $n$-번째 차수 방정식을 얻습니다.

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

이 방정식을 풀고 $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (걱정하지 마십시오. 대부분의 경우 이 루트 중 두 개 이상) . 이 경우 원래 다항식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \오른쪽) \end(정렬)\]

그게 다야! 참고: 선행 계수 $((a)_(n))$는 어디에도 사라지지 않았습니다. 대괄호 앞에 별도의 요소가 되며 필요한 경우 이러한 대괄호 중 하나에 삽입할 수 있습니다(연습 쇼 $((a)_ (n))\ne \pm 1$를 사용하면 거의 항상 근 사이에 분수가 있음).

작업. 식을 단순화합니다.

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

해결책. 먼저 분모를 살펴보겠습니다. 모두 선형 이항식이며 여기에서 인수분해할 것이 없습니다. 분자를 인수분해해 봅시다.

\[\begin(정렬) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3\오른쪽)\왼쪽(x-1\오른쪽); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \오른쪽)\왼쪽(2-5x \오른쪽). \\끝(정렬)\]

참고: 두 번째 다항식에서 수석 계수 "2"는 우리 계획에 따라 처음에 괄호 앞에 나타난 다음 분수가 나왔기 때문에 첫 번째 괄호에 포함되었습니다.

세 번째 다항식에서도 같은 일이 발생했으며, 용어의 순서도 혼동됩니다. 그러나 계수 "-5"는 결국 두 번째 괄호에 포함되었습니다(단 하나의 괄호에만 인수를 입력할 수 있음을 기억하십시오!). 이는 분수 근과 관련된 불편함을 덜어주었습니다.

첫 번째 다항식은 모든 것이 간단합니다. 그 근은 판별식을 통해 표준 방식으로 구하거나 Vieta 정리를 사용하여 구합니다.

원래 표현식으로 돌아가서 분자를 인수로 분해하여 다시 작성해 보겠습니다.

\[\begin(행렬) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \오른쪽)-\왼쪽(x-1 \오른쪽)-\왼쪽(2-5x \오른쪽)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \끝(행렬)\]

답: $5x+4$.

보시다시피 복잡한 것은 없습니다. 약간의 7-8학년 수학 그리고 그게 다야. 모든 변형의 요점은 복잡하고 무서운 표현을 간단하고 작업하기 쉬운 것으로 바꾸는 것입니다.

그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 이제 우리는 더 심각한 문제를 고려할 것입니다.

그러나 먼저 두 분수를 공통 분모로 가져오는 방법을 알아보겠습니다. 알고리즘은 매우 간단합니다.

1. 두 분모를 모두 인수분해합니다.
2. 첫 번째 분모를 고려하고 두 번째 분모에는 있지만 첫 번째 분모에는 없는 요소를 추가합니다. 결과 제품은 공통 분모가 됩니다.
3. 분모가 공통 분수와 같아지도록 원래 분수 각각에 부족한 요소를 찾으십시오.

아마도이 알고리즘은 "많은 글자"가있는 텍스트로 보일 것입니다. 그럼 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

작업. 식을 단순화합니다.

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \오른쪽)\]

해결책. 이러한 방대한 작업은 부분적으로 가장 잘 해결됩니다. 첫 번째 대괄호에 있는 내용을 작성해 보겠습니다.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

이전 문제와 달리 여기에서는 분모가 그렇게 간단하지 않습니다. 각각을 인수분해해 봅시다.

제곱 삼항 $((x)^(2))+2x+4$는 $((x)^(2))+2x+4=0$ 방정식에 근이 없기 때문에 인수분해할 수 없습니다(판별자는 음수임). . 우리는 그것을 변경하지 않고 그대로 둡니다.

두 번째 분모인 3차 다항식 $((x)^(3))-8$은 자세히 살펴보면 큐브의 차이이며 약식 곱셈 공식을 사용하여 쉽게 분해할 수 있습니다.

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \오른쪽)\]

첫 번째 대괄호는 선형 이항식을 포함하고 두 번째 대괄호는 이미 우리에게 친숙한 구성을 포함하므로 다른 것은 인수분해할 수 없습니다.

마지막으로 세 번째 분모는 분해할 수 없는 선형 이항식입니다. 따라서 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

$\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ 가 공통 분모가 될 것이며 모든 분수를 이 값으로 줄이려면 첫 번째 분수를 $\left(x-2 \right)$에 곱하고 마지막 분수를 $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$에 곱해야 합니다. 그런 다음 다음을 가져 오는 것만 남아 있습니다.

\[\begin(행렬) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ 오른쪽))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ 왼쪽(((x)^(2))+2x+4 \오른쪽)). \\ \끝(행렬)\]

두 번째 줄에 주의하십시오. 분모가 이미 공통인 경우, 즉 세 개의 별도 분수 대신 하나의 큰 분수를 썼습니다. 즉시 대괄호를 제거해서는 안됩니다. 추가 줄을 작성하는 것이 더 낫습니다. 예를 들어 세 번째 분수 앞에 마이너스가 있다는 점에 유의하십시오. 아무데도 가지 않고 괄호 앞의 분자에 "매달" 것입니다. 이렇게 하면 많은 실수를 줄일 수 있습니다.

음, 마지막 줄에서 분자를 인수분해하는 것이 유용합니다. 또한 이것은 정확한 제곱이며 약식 곱셈 공식이 다시 도움이 됩니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

이제 같은 방식으로 두 번째 괄호를 처리해 보겠습니다. 여기에 나는 단순히 평등의 사슬을 작성할 것입니다:

\[\begin(행렬) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right) )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \끝(행렬)\]

우리는 원래 문제로 돌아가서 제품을 봅니다.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \오른쪽)\왼쪽(x+2 \오른쪽))=\frac(1)(x+2)\]

답: \[\frac(1)(x+2)\].

이 문제의 의미는 이전 문제와 동일합니다. 합리적 표현을 현명하게 변환에 접근하면 얼마나 단순화할 수 있는지 보여줍니다.

이제 이 모든 것을 알았을 때 오늘 수업의 주요 주제인 분수 합리적 부등식을 해결해 보겠습니다. 더욱이, 그러한 준비가 끝나면 불평등 자체가 너트처럼 클릭됩니다. :)

합리적인 불평등을 해결하는 주요 방법

합리적 불평등을 해결하는 방법에는 적어도 두 가지가 있습니다. 이제 우리는 학교 수학 과정에서 일반적으로 받아 들여지는 것 중 하나를 고려할 것입니다.

그러나 먼저 중요한 세부 사항에 주목합시다. 모든 불평등은 두 가지 유형으로 나뉩니다.

1. 엄격: $f\left(x \right) \gt 0$ 또는 $f\left(x \right) \lt 0$;
2. 비엄격: $f\left(x \right)\ge 0$ 또는 $f\left(x \right)\le 0$.

두 번째 유형의 불평등은 다음 방정식과 마찬가지로 첫 번째 유형으로 쉽게 축소됩니다.

이 작은 "추가" $f\left(x \right)=0$는 채워진 점과 같은 불쾌한 결과를 초래합니다. 우리는 이를 간격 방법에서 다시 만났습니다. 그렇지 않으면 엄격한 부등식과 비엄격한 부등식 간에 차이가 없으므로 범용 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

1. 부등호의 한쪽에 0이 아닌 모든 요소를 ​​수집합니다. 예를 들어 왼쪽에 있습니다.
2. 모든 분수를 공통 분모로 가져오고(이러한 분수가 여러 개 있는 경우) 비슷한 분수를 가져옵니다. 그런 다음 가능하면 분자와 분모로 인수분해합니다. 어떤 식으로든 $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ 형식의 부등식을 얻습니다. 여기서 눈금은 부등호입니다.
3. 분자를 0과 동일시: $P\left(x \right)=0$. 이 방정식을 풀고 $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... 분모가 0이 아니라는 것: $Q\left(x \right)\ne 0$. 물론 본질적으로 $Q\left(x \right)=0$ 방정식을 풀어야 하고 $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) 근을 얻습니다. $, $x_(3 )^(*)$, ... (실제 문제에서는 이러한 근이 3개 이상 없을 것입니다).
4. 이 모든 뿌리(별표가 있는 것과 없는 것 모두)를 하나의 숫자 줄에 표시하고 별이 없는 뿌리는 칠하고 별이 있는 뿌리는 펀칭합니다.
5. 더하기 및 빼기 기호를 배치하고 필요한 간격을 선택합니다. 부등식의 형식이 $f\left(x \right) \gt 0$이면 답은 "더하기"로 표시된 구간이 됩니다. $f\left(x \right) \lt 0$이면 "빼기"가 있는 간격을 봅니다.

연습에 따르면 포인트 2와 4는 유능한 변환과 오름차순으로 숫자의 올바른 배열과 같은 가장 큰 어려움을 야기합니다. 음, 마지막 단계에서 매우 조심하십시오. 우리는 항상 다음을 기반으로 표지판을 배치합니다. 방정식으로 이동하기 전에 작성된 마지막 부등식. 이것은 간격 방법에서 상속된 보편적인 규칙입니다.

그래서 계획이 있습니다. 연습하자.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

해결책. 우리는 $f\left(x \right) \lt 0$ 형식의 엄격한 부등식을 가지고 있습니다. 분명히 우리 계획의 포인트 1과 2는 이미 완료되었습니다. 불평등의 모든 요소는 왼쪽에 수집되며 공통 분모로 축소할 필요는 없습니다. 그럼 세 번째 요점으로 넘어가겠습니다.

분자를 0으로 설정합니다.

\[\begin(정렬) & x-3=0; \\ &x=3. \끝(정렬)\]

그리고 분모:

\[\begin(정렬) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \끝(정렬)\]

여기에서 많은 사람들이 막히게 됩니다. 이론상으로 ODZ에서 요구하는 대로 $x+7\ne 0$를 적어야 하기 때문입니다(0으로 나눌 수는 없습니다. 그게 전부입니다). 그러나 결국, 미래에 우리는 분모에서 나온 점을 지적할 것이므로 다시 한 번 계산을 복잡하게 해서는 안 됩니다. 모든 곳에 등호를 쓰고 걱정하지 마십시오. 아무도 이에 대해 점수를 차감하지 않습니다. :)

네 번째 요점. 얻은 뿌리를 숫자 줄에 표시합니다.

부등식이 엄격하기 때문에 모든 점에 구멍이 뚫립니다.

메모: 원래 부등식이 엄격하기 때문에 모든 점에 구멍이 뚫립니다.. 그리고 여기에서는 더 이상 중요하지 않습니다. 이 점들은 분자나 분모에서 왔습니다.

자, 표지판을 보세요. 임의의 숫자 $((x)_(0)) \gt 3$를 취하십시오. 예를 들어, $((x)_(0))=100$ (하지만 $((x)_(0))=3.1$ 또는 $((x)_(0)) = 1\000\000$). 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 모든 뿌리의 오른쪽에는 양의 영역이 있습니다. 그리고 각 루트를 통과할 때 기호가 변경됩니다(항상 그런 것은 아니지만 나중에 자세히 설명합니다). 따라서 우리는 다섯 번째 요점으로 진행합니다. 표지판을 배치하고 올바른 것을 선택합니다.

우리는 방정식을 풀기 전의 마지막 부등식으로 돌아갑니다. 실제로 이 작업에서 변환을 수행하지 않았기 때문에 원래 작업과 일치합니다.

$f\left(x \right) \lt 0$ 형식의 부등식을 푸는 것이 필요하므로 $x\in \left(-7;3 \right)$ 구간을 음영 처리했습니다. 빼기 기호로 표시됩니다. 이것이 답이다.

답: $x\in \left(-7;3 \right)$

그게 다야! 그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 사실 쉬운 작업이었습니다. 이제 임무를 조금 복잡하게 하고 좀 더 "멋진" 불평등을 고려해 보겠습니다. 그것을 해결할 때 나는 더 이상 그런 자세한 계산을하지 않을 것입니다. 나는 단순히 요점을 요약 할 것입니다. 일반적으로 우리는 독립적인 작업이나 시험에서 했던 방식으로 배열할 것입니다. :)

작업. 부등식 해결:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

해결책. 이것은 $f\left(x \right)\ge 0$ 형식의 비엄격 부등식입니다. 0이 아닌 모든 요소는 왼쪽에 수집되며 다른 분모는 없습니다. 방정식으로 넘어갑시다.

분자:

\[\begin(정렬) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\오른쪽 화살표 ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\오른쪽 화살표 ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \끝(정렬)\]

분모:

\[\begin(정렬) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \끝(정렬)\]

어떤 변태가 이 문제를 만들었는지는 모르겠지만, 뿌리가 잘 나오지 않았습니다. 숫자 줄에 배열하기가 어려울 것입니다. 그리고 루트 $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ (이것이 유일한 양수 - 오른쪽에 있음)로 모든 것이 다소 명확하면 $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ 및 $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$는 추가 연구가 필요합니다. 더 크다?

예를 들어 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

왜 숫자 분수 $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? 필요한 경우 분수로 작업을 수행하는 방법을 기억하는 것이 좋습니다.

그리고 우리는 숫자 라인에 세 개의 루트를 모두 표시합니다.

분자의 점은 음영 처리되고 분모의 점은 잘립니다.

우리는 표지판을 세웁니다. 예를 들어, $((x)_(0))=1$를 취하고 이 지점에서 부호를 찾을 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(정렬)\]

방정식 이전의 마지막 부등식은 $f\left(x \right)\ge 0$이므로 더하기 기호에 관심이 있습니다.

우리는 두 개의 세트를 얻었습니다. 하나는 일반 세그먼트이고 다른 하나는 숫자 라인의 열린 광선입니다.

답: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

가장 오른쪽 간격의 부호를 찾기 위해 대체하는 숫자에 대한 중요한 참고 사항입니다. 가장 오른쪽 루트에 가까운 숫자를 대체할 필요는 없습니다. 수십억 또는 "더하기 무한대"를 취할 수 있습니다. 이 경우 대괄호, 분자 또는 분모에 있는 다항식의 부호는 선행 계수의 부호에 의해서만 결정됩니다.

마지막 부등식에서 $f\left(x \right)$ 함수를 다시 살펴보겠습니다.

여기에는 세 개의 다항식이 포함됩니다.

\[\begin(정렬) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x\right)=11x+2; \\ & Q\왼쪽(x\오른쪽)=13x-4. \끝(정렬)\]

모두 선형 이항식이며 모두 양의 계수(숫자 7, 11 및 13)를 가집니다. 따라서 매우 큰 숫자를 대입할 때 다항식 자체도 양수가 됩니다. :)

이 규칙은 지나치게 복잡해 보일 수 있지만 처음에는 매우 쉬운 작업을 분석할 때만 가능합니다. 심각한 부등식에서 "+-무한대" 대체를 사용하면 표준 $((x)_(0))=100$보다 훨씬 빠르게 부호를 파악할 수 있습니다.

우리는 곧 그러한 도전에 직면하게 될 것입니다. 그러나 먼저 분수 합리적 부등식을 해결하는 다른 방법을 살펴보겠습니다.

대체 방법

이 기술은 제 학생 중 한 명이 제안했습니다. 나 자신은 그것을 사용한 적이 없지만 많은 학생들이 이런 방식으로 불평등을 해결하는 것이 훨씬 더 편리하다는 것을 실습을 통해 보여주었습니다.

따라서 원본 데이터는 동일합니다. 분수 합리적 부등식을 해결해야 합니다.

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

생각해 봅시다: 다항식 $Q\left(x \right)$가 다항식 $P\left(x \right)$보다 "더 나쁜" 이유는 무엇입니까? 왜 우리는 별도의 뿌리 그룹(별표가 있거나 없는)을 고려해야 하고, 펀치 포인트 등에 대해 생각해야 합니까? 간단합니다. 분수에는 분모가 0과 다를 때만 의미가 있는 정의 영역이 있습니다.

그렇지 않으면 분자와 분모 사이에 차이가 없습니다. 우리는 또한 그것을 0과 동일시하고 근을 찾은 다음 숫자 라인에 표시합니다. 그렇다면 분수 막대(사실, 나눗셈 기호)를 일반적인 곱셈으로 대체하고 DHS의 모든 요구 사항을 별도의 부등식으로 작성하지 않는 이유는 무엇입니까? 예를 들면 다음과 같습니다.

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

참고: 이 접근 방식을 사용하면 문제를 간격 방법으로 줄일 수 있지만 솔루션이 전혀 복잡해지지는 않습니다. 어쨌든, 우리는 다항식 $Q\left(x \right)$를 0으로 동일시할 것입니다.

실제 작업에서 어떻게 작동하는지 봅시다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

해결책. 이제 간격 방법으로 넘어 갑시다.

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\오른쪽 화살표 \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(정렬) \right.\]

첫 번째 부등식은 기본적으로 해결됩니다. 각 괄호를 0으로 설정하십시오.

\[\begin(정렬) & x+8=0\오른쪽 화살표 ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\오른쪽 화살표((x)_(2))=11. \\ \끝(정렬)\]

두 번째 부등식을 사용하면 모든 것이 간단합니다.

실제 선에 $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))$ 점을 표시합니다. 불평등이 엄격하기 때문에 모두 구멍이 뚫립니다.

올바른 지점은 두 번 뚫린 것으로 판명되었습니다. 이건 괜찮아.

$x=11$ 지점에 주의하십시오. "두 번 구멍이 뚫린" 것으로 밝혀졌습니다. 한편으로는 불평등의 심각성 때문에 구멍을 뚫고 다른 한편으로는 ODZ의 추가 요구 사항으로 인해 구멍을 냅니다.

어쨌든 그것은 단지 구멍 뚫린 지점이 될 것입니다. 따라서 우리는 부등식 $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - 방정식 풀이를 시작하기 전에 마지막으로 본 부등식에 대한 기호를 넣습니다.

우리는 $f\left(x \right) \gt 0$ 형식의 부등식을 풀기 때문에 양의 영역에 관심이 있고 색칠할 것입니다. 답을 쓰는 일만 남았습니다.

대답. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

이 솔루션을 예로 사용하여 초보 학생들 사이에서 흔히 발생하는 실수에 대해 경고하고 싶습니다. 즉, 부등식에서 괄호를 열지 마십시오! 반대로 모든 것을 고려하십시오. 이렇게 하면 솔루션이 단순화되고 많은 문제가 해결됩니다.

이제 더 어려운 것을 시도해 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

해결책. 이것은 $f\left(x \right)\le 0$ 형식의 엄격하지 않은 부등식이므로 여기에서 채워진 점을 주의 깊게 모니터링해야 합니다.

간격 방법으로 넘어 갑시다.

\[\left\( \begin(정렬) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

방정식으로 넘어 갑시다.

\[\begin(정렬) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\오른쪽 화살표 ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\오른쪽 화살표 ((x)_(3))=-2,2. \\ \끝(정렬)\]

우리는 추가 요구 사항을 고려합니다.

얻은 모든 뿌리를 숫자 줄에 표시합니다.

포인트가 동시에 펀치 아웃되고 채워지면 펀치 아웃으로 간주됩니다.

다시 말하지만, 두 점은 서로 "겹칩니다" - 이것은 정상이며 항상 그럴 것입니다. 펀치 아웃 및 채워진 것으로 표시된 포인트가 실제로 펀치 아웃 포인트라는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 저것들. "가우징"은 "덧칠하기"보다 더 강력한 동작입니다.

이것은 절대적으로 논리적입니다. 왜냐하면 구멍을 뚫어 함수의 부호에 영향을 미치는 점을 표시하지만 스스로 답에 참여하지는 않기 때문입니다. 그리고 어느 시점에서 숫자가 우리에게 적합하지 않으면(예: ODZ에 속하지 않음) 작업이 끝날 때까지 고려 대상에서 삭제합니다.

일반적으로 철학을 중단하십시오. 마이너스 기호로 표시된 간격에 기호를 정렬하고 페인트합니다.

대답. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

그리고 다시 이 방정식에 주의를 기울이고 싶었습니다.

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

다시 한 번: 그러한 방정식에서 괄호를 열지 마십시오! 당신은 당신 자신을 더 힘들게 할 뿐입니다. 기억하십시오: 요인 중 하나 이상이 0이면 제품은 0입니다. 결과적으로 이 방정식은 이전 문제에서 풀었던 몇 개의 더 작은 방정식으로 간단히 "분해"됩니다.

뿌리의 다양성을 고려하여

이전 문제에서 가장 어려운 것은 엄격하지 않은 불평등이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그 이유는 채워진 점을 추적해야 하기 때문입니다.

그러나 세상에는 더 큰 악이 있습니다. 이것은 불평등의 여러 뿌리입니다. 여기에서는 채워진 점을 따라가는 것이 이미 필요합니다. 여기에서 동일한 점을 통과할 때 부등호가 갑자기 변경되지 않을 수 있습니다.

우리는 이 단원에서 이와 같은 것을 아직 고려하지 않았습니다(비슷한 문제가 간격 방법에서 자주 발생했지만). 이제 새로운 정의를 소개하겠습니다.

정의. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ 방정식의 근은 $x=a$와 같으며 $n$th 다중도의 근이라고 합니다.

사실, 우리는 다중성의 정확한 값에 특별히 관심이 없습니다. 유일한 중요한 것은 바로 이 숫자 $n$이 짝수인지 홀수인지입니다. 왜냐하면:

1. $x=a$가 짝수 다중성의 근이면 함수를 통과할 때 함수의 부호가 변경되지 않습니다.
2. 그리고 그 반대의 경우 $x=a$가 홀수 다중성의 근이면 함수의 부호가 변경됩니다.

홀수 다중성의 근의 특별한 경우는 이 단원에서 고려된 모든 이전 문제입니다. 다중성은 모든 곳에서 1과 같습니다.

그리고 더. 문제 해결을 시작하기 전에 숙련된 학생에게는 분명해 보이지만 많은 초보자를 혼미하게 만드는 한 가지 미묘한 점에 주의를 기울이고 싶습니다. 즉:

다중성 루트 $n$는 전체 표현식이 $(\left(x-a \right))^(n))$가 아니라 $\left(((x)^( n))로 거듭제곱될 때만 발생합니다. )-a\오른쪽)$.

다시 한 번: 대괄호 $((\left(x-a \right))^(n))$는 다중성 $n$의 루트 $x=a$를 제공하지만 대괄호 $\left(((x)^( n)) -a \right)$ 또는 자주 발생하는 것처럼 $(a-((x)^(n)))$는 첫 번째 다중성의 루트(또는 $n$가 짝수인 경우 두 개의 루트)를 제공합니다. , $n$와 동일합니다.

비교하다:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\오른쪽 화살표 x=3\left(5k \right)\]

모든 것이 여기에서 명확합니다. 전체 대괄호가 5승으로 올라갔으므로 출력에서 ​​5도의 근을 얻었습니다. 그리고 지금:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\오른쪽 화살표 ((x)^(2))=4\오른쪽 화살표 x=\pm 2\]

우리는 두 개의 루트를 가지고 있지만 둘 다 첫 번째 다중성을 가지고 있습니다. 또는 여기 또 하나가 있습니다.

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\오른쪽 화살표 ((x)^(10))=1024\오른쪽 화살표 x=\pm 2\]

그리고 열 번째 학위로 혼동하지 마십시오. 가장 중요한 것은 10이 짝수이므로 출력에 두 개의 근이 있고 둘 다 다시 첫 번째 다중성을 갖는다는 것입니다.

일반적으로 주의: 다중성은 다음과 같은 경우에만 발생합니다. 차수는 변수뿐만 아니라 전체 대괄호에 적용됩니다..

작업. 부등식 해결:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7) \오른쪽))^(5)))\ge 0\]

해결책. 특정 제품에서 제품으로의 전환을 통해 대안적인 방법으로 문제를 해결해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(정렬 )\오른쪽.\]

간격 방법을 사용하여 첫 번째 부등식을 처리합니다.

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \오른쪽))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\오른쪽 화살표 x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\오른쪽 화살표 x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \끝(정렬)\]

또한 두 번째 부등식을 해결합니다. 사실 우리는 이미 해결했지만 리뷰어가 솔루션에 결함을 찾지 않도록 다시 해결하는 것이 좋습니다.

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\오른쪽 화살표 x\ne -7\]

마지막 부등식에는 다중도가 없습니다. 실제로: 숫자 줄에서 $x=-7$ 점을 몇 번이나 지우는 것이 무슨 차이가 있습니까? 적어도 한 번, 적어도 다섯 번 - 결과는 동일합니다. 즉, 구멍이 뚫린 지점입니다.

숫자 줄에 있는 모든 것을 기록해 보겠습니다.

내가 말했듯이 $x=-7$ 포인트는 결국 펀치 아웃됩니다. 다중도는 간격 방법에 의한 부등식의 해를 기반으로 정렬됩니다.

표지판을 배치하는 것이 남아 있습니다.

$x=0$ 점은 짝수 다중성의 근이므로 통과할 때 부호가 변경되지 않습니다. 나머지 점에는 이상한 다중도가 있으며 모든 것이 간단합니다.

대답. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

$x=0$에 다시 주의하십시오. 짝수 다중성으로 인해 흥미로운 효과가 발생합니다. 왼쪽에 있는 모든 것이 오른쪽에도 칠해지고 점 자체가 완전히 칠해집니다.

결과적으로 응답을 기록할 때 분리할 필요가 없습니다. 저것들. $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$와 같은 것을 작성할 필요는 없습니다(공식적으로는 그러한 대답도 정확하겠지만). 대신 $x\in \left[ -4;6 \right]$를 즉시 작성합니다.

이러한 효과는 짝수 다중성의 근에만 가능합니다. 그리고 다음 작업에서 우리는 이 효과의 역 "현현"을 만날 것입니다. 준비가 된?

작업. 부등식 해결:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

해결책. 이번에는 표준 계획을 따를 것입니다. 분자를 0으로 설정합니다.

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4)\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\오른쪽 화살표((x)_(2))=4. \\ \끝(정렬)\]

그리고 분모:

\[\begin(정렬) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\오른쪽 화살표 x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \끝(정렬)\]

$f\left(x \right)\ge 0$ 형식의 비엄격한 부등식을 풀기 때문에 분모(별표가 있는)의 근이 잘리고 분자의 근이 위에 그려집니다. .

우리는 기호를 정렬하고 "더하기"로 표시된 영역을 획합니다.

포인트 $x=3$이 격리됩니다. 이것은 답변의 일부입니다

최종 답변을 작성하기 전에 그림을 자세히 살펴보십시오.

1. $x=1$ 점은 짝수 다중성을 갖지만 자체적으로 구멍이 있습니다. 따라서 답에서 분리되어야 합니다. $x\in이 아니라 $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$라고 써야 합니다. \left(-\ infty ;2\right)$.
2. 포인트 $x=3$도 짝수 다중도를 가지며 음영 처리됩니다. 표지판의 배열은 포인트 자체가 우리에게 적합하지만 왼쪽과 오른쪽으로 한 걸음 있음을 나타내며 우리는 분명히 우리에게 적합하지 않은 영역에 있음을 발견합니다. 이러한 점을 고립이라고 하며 $x\in \left\( 3 \right\)$로 기록됩니다.

우리는 얻은 모든 조각을 공통 세트로 결합하고 답을 기록합니다.

답: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

정의. 부등식 해결 수단 모든 솔루션 세트 찾기, 또는 이 집합이 비어 있음을 증명합니다.

여기에서 이해할 수없는 것은 무엇입니까? 예, 문제의 사실은 세트가 다른 방식으로 지정될 수 있다는 것입니다. 마지막 문제에 대한 답을 다시 작성해 보겠습니다.

우리는 문자 그대로 쓰여진 것을 읽습니다. 변수 "x"는 4개의 개별 집합의 합집합(기호 "U")에 의해 얻은 특정 집합에 속합니다.

• $\left(-\infty ;1 \right)$ 간격은 문자 그대로 "1보다 작은 모든 숫자이지만 1 자체는 아닙니다"를 의미합니다.
• 간격은 $\left(1;2 \right)$입니다. "1과 2 사이의 모든 숫자, 그러나 숫자 1과 2 자체는 아닙니다";
• 단일 숫자로 구성된 $\left\( 3 \right\)$ 세트 - 3;
• $\left[ 4;5 \right)$ 구간은 4에서 5 사이의 모든 숫자와 4 자체를 포함하지만 5는 포함하지 않습니다.

여기서 세 번째 포인트가 흥미롭습니다. 무한한 숫자 집합을 정의하고 이러한 집합의 경계만 나타내는 간격과 달리 집합 $\left\( 3 \right\)$는 열거를 통해 정확히 하나의 숫자를 정의합니다.

집합에 포함된 특정 숫자를 나열하고 있음을 이해하기 위해(경계 또는 다른 것을 설정하지 않음) 중괄호를 사용합니다. 예를 들어, $\left\( 1;2 \right\)$ 표기법은 정확히 "1과 2의 두 숫자로 구성된 집합"을 의미하지만 1에서 2까지의 세그먼트가 아닙니다. 어떤 경우에도 이러한 개념을 혼동하지 마십시오. .

다중도 덧셈 규칙

자, 오늘 수업이 끝나면 Pavel Berdov의 작은 주석. :)

주의 깊은 학생들은 이미 스스로에게 다음과 같은 질문을 던졌을 것입니다. 분자와 분모에서 같은 뿌리가 발견되면 어떻게 될까요? 따라서 다음 규칙이 작동합니다.

동일한 루트의 다중이 추가됩니다. 항상. 이 근이 분자와 분모 모두에서 발생하더라도.

때로는 이야기하는 것보다 결정하는 것이 좋습니다. 따라서 다음 문제를 해결합니다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \오른쪽))\ge 0\]

\[\시작(정렬) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -넷. \\ \끝(정렬)\]

지금까지는 특별한 것이 없습니다. 분모를 0으로 설정합니다.

\[\begin(정렬) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\오른쪽 화살표 x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\오른쪽 화살표 x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \끝(정렬)\]

$((x)_(1))=-2$ 및 $x_(4)^(*)=-2$와 같은 두 개의 동일한 루트가 있습니다. 둘 다 첫 번째 다중성을 갖습니다. 따라서 우리는 그것들을 하나의 루트 $x_(4)^(*)=-2$로 대체하지만 다중도는 1+1=2입니다.

또한 $((x)_(2))=-4$ 및 $x_(2)^(*)=-4$와 같은 동일한 루트도 있습니다. 그들은 또한 첫 번째 다중도이므로 다중도 1+1=2의 $x_(2)^(*)=-4$만 남습니다.

참고: 두 경우 모두 "잘라낸" 뿌리는 그대로 두고 "덧칠한" 뿌리는 고려 대상에서 제외했습니다. 왜냐하면 수업이 시작될 때에도 우리는 동의했습니다. 한 점이 동시에 펀치 아웃되고 칠해진 경우에도 여전히 펀치 아웃된 것으로 간주합니다.

결과적으로 우리는 4개의 뿌리를 가지고 있으며 모두 도려낸 것으로 판명되었습니다.

\[\begin(정렬) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \끝(정렬)\]

우리는 다양성을 고려하여 숫자 라인에 표시합니다.

관심 영역에 표지판을 배치하고 페인트합니다.

모든 것. 고립된 지점 및 기타 변태가 없습니다. 답을 적을 수 있습니다.

대답. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

곱셈 규칙

때로는 훨씬 더 불쾌한 상황이 발생합니다. 여러 근을 가진 방정식 자체가 특정 거듭제곱으로 올라갑니다. 이것은 모든 원래 루트의 다중도를 변경합니다.

이것은 드물기 때문에 대부분의 학생들은 그러한 문제를 해결한 경험이 없습니다. 그리고 여기의 규칙은 다음과 같습니다.

방정식을 $n$의 거듭제곱으로 올리면 모든 근의 다중도 $n$만큼 증가합니다.

즉, 거듭제곱으로 올리면 다중도에 동일한 거듭제곱이 곱해집니다. 이 규칙을 예로 들어 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

해결책. 분자를 0으로 설정합니다.

요인 중 하나 이상이 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 첫 번째 승수로 모든 것이 명확합니다: $x=0$. 그리고 여기에서 문제가 시작됩니다.

\[\begin(정렬) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k\right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \ & ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(정렬)\]

보시다시피 $((x)^(2))-6x+9=0$ 방정식은 두 번째 다중도의 고유 근인 $x=3$를 갖습니다. 그러면 전체 방정식이 제곱됩니다. 따라서 루트의 다중도는 $2\cdot 2=4$가 됩니다.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\오른쪽 화살표 x=4\left(5k \right)\]

분모에도 문제가 없습니다.

\[\begin(정렬) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \끝(정렬)\]

총 5점을 얻었습니다. 2점은 펀치 아웃되고 3점은 채워졌습니다. 분자와 분모에 일치하는 근이 없으므로 숫자 라인에 표시하기만 하면 됩니다.

우리는 다양성을 고려하여 표지판을 배열하고 우리에게 관심있는 간격을 페인트합니다.

또 하나의 고립된 지점과 하나의 구멍이 뚫린

짝수 다중성의 뿌리 때문에 우리는 몇 가지 "비표준" 요소를 다시 받았습니다. 이것은 $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$이고 $x\in \left[ 0;2 \right)$가 아니며 또한 고립된 점 $입니다. x\in \left\( 3 \right\)$.

대답. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

보시다시피 모든 것이 그렇게 어렵지 않습니다. 가장 중요한 것은 주의력입니다. 이 과의 마지막 섹션은 처음에 논의한 바로 그 변환에 대해 설명합니다.

사전 전환

이 섹션에서 논의할 불평등은 복잡하지 않습니다. 그러나 이전 작업과 달리 여기에서는 합리적인 분수 이론의 기술(인수분해 및 축소)을 공통 분모에 적용해야 합니다.

우리는 오늘 수업의 맨 처음에 이 문제에 대해 자세히 논의했습니다. 내용을 이해했는지 확실하지 않은 경우 돌아가서 반복하는 것이 좋습니다. 분수 변환에서 "수영"하면 불평등을 해결하는 방법을 벼락치기에 의미가 없기 때문입니다.

그런데 숙제에는 비슷한 작업이 많이 있습니다. 그것들은 별도의 하위 섹션에 배치됩니다. 그리고 거기에서 매우 사소하지 않은 예를 찾을 수 있습니다. 그러나 이것은 숙제가 될 것이지만 이제 그러한 불평등 몇 가지를 분석해 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

해결책. 모든 것을 왼쪽으로 이동:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

우리는 공통 분모로 줄이고, 대괄호를 열고, 분자에 다음과 같은 용어를 제공합니다.

\[\begin(정렬) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ 오른쪽))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\end(정렬)\]

이제 우리는 그 해법이 더 이상 어렵지 않은 고전적인 분수 합리적 부등식을 가지고 있습니다. 간격 방법을 통해 대체 방법으로 해결할 것을 제안합니다.

\[\begin(정렬) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \끝(정렬)\]

분모에서 오는 제약을 잊지 마십시오.

우리는 번호 줄에 모든 숫자와 제한 사항을 표시합니다.

모든 루트에는 첫 번째 다중성이 있습니다. 문제 없어요. 표지판을 배치하고 필요한 영역에 페인트를 칠하기만 하면 됩니다.

그게 다야 답을 적을 수 있습니다.

대답. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

물론 이것은 매우 간단한 예였습니다. 그럼 이제 문제를 자세히 살펴보겠습니다. 그건 그렇고,이 작업의 수준은 8 학년에서이 주제에 대한 독립적이고 통제적인 작업과 매우 일치합니다.

작업. 부등식 해결:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

해결책. 모든 것을 왼쪽으로 이동:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

두 분수를 공통 분모로 가져오기 전에 이러한 분모를 인수로 분해합니다. 갑자기 같은 대괄호가 나오나요? 첫 번째 분모를 사용하면 쉽습니다.

\[((x)^(2))+8x-9=\왼쪽(x-1 \오른쪽)\왼쪽(x+9 \오른쪽)\]

두 번째는 조금 더 어렵습니다. 분수가 발견된 대괄호에 상수 승수를 자유롭게 추가하십시오. 기억하십시오: 원래 다항식에는 정수 계수가 있으므로 인수분해도 정수 계수를 가질 가능성이 매우 높습니다(사실 판별식이 비합리적일 때를 제외하고는 항상 그렇습니다).

\[\begin(정렬) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

보시다시피 $\left(x-1 \right)$라는 공통 대괄호가 있습니다. 우리는 부등식으로 돌아가 두 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ 왼쪽(3x-2\오른쪽))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\왼쪽(3x-2 \오른쪽))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \끝(정렬)\]

분모를 0으로 설정합니다.

\[\begin(정렬) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( 맞추다)\]

다중도 및 일치하는 뿌리가 없습니다. 우리는 직선에 네 개의 숫자를 표시합니다.

우리는 표지판을 배치합니다.

우리는 답을 적습니다.

답: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ 오른쪽)$.

모든 것! 그렇게 이 줄까지 읽었습니다. :)

기사에서 우리는 고려할 것입니다 불평등의 해결. 에 대해 솔직하게 이야기하자 불평등에 대한 솔루션을 구축하는 방법명확한 예와 함께!

예를 들어 부등식의 해결을 고려하기 전에 기본 개념을 다루겠습니다.

불평등 소개

불평등함수를 관계 기호 >, 로 연결한 식이라고 합니다. 부등식은 숫자와 알파벳 모두일 수 있습니다.
두 개의 관계 기호가 있는 부등식은 이중, 삼중 등으로 불립니다. 예를 들어:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) 기호 > 또는 또는 엄격하지 않은 기호를 포함하는 부등식.
불평등 솔루션이 부등식이 참인 변수의 값입니다.
"부등식 해결"는 모든 솔루션 세트를 찾아야 함을 의미합니다. 다양한 불평등을 해결하는 방법. 을 위한 불평등 솔루션무한한 숫자 라인을 사용하십시오. 예를 들어, 불평등 해결 x > 3은 3에서 +까지의 구간이고 숫자 3은 이 구간에 포함되지 않으므로 선 위의 점은 빈 원으로 표시됩니다. 불평등이 엄격하다.
+
답은 x(3; +)입니다.
x=3 값은 솔루션 세트에 포함되지 않으므로 괄호는 반올림됩니다. 무한대 기호는 항상 괄호로 묶입니다. 기호는 "소속"을 의미합니다.
부호가 있는 다른 예를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 고려하십시오.
x2
-+
x=2 값은 솔루션 세트에 포함되므로 대괄호와 선의 점은 채워진 원으로 표시됩니다.
답은 다음과 같습니다. x

모듈러스는 간단히 말해서 "빼기 없는 숫자"입니다. 그리고 그것은 이 이중성(원래 숫자로 아무 것도 할 필요가 없지만 어딘가에서 마이너스를 제거해야 하는 곳)에 있으며 초보자를 위한 모든 어려움이 있습니다.

기하학적 정의도 있습니다. 그것을 아는 것도 유용하지만 기하학적 접근이 대수적 접근보다 더 편리한 복잡하고 특별한 경우에만 언급할 것입니다(스포일러: 오늘은 아님).

정의. 점 $a$가 실제 선에 표시되도록 합니다. 그런 다음 모듈 $\left| x-a \right|$는 $x$ 지점에서 이 선의 $a$ 지점까지의 거리입니다.

그림을 그리면 다음과 같이 됩니다.

그래픽 모듈 정의

어떤 식 으로든 키 속성은 모듈 정의에서 즉시 따릅니다. 숫자의 계수는 항상 음수가 아닌 값입니다.. 이 사실은 오늘 우리의 전체 이야기를 관통하는 빨간 실이 될 것입니다.

불평등의 해결책. 간격 방법

이제 불평등을 처리합시다. 그 중 많은 것이 있지만 지금 우리의 임무는 최소한 그 중 가장 간단한 문제를 해결할 수 있는 것입니다. 선형 부등식과 간격 방법으로 축소된 것.

이 주제에 대한 두 가지 큰 자습서가 있습니다(그런데 매우, 매우 유용합니다. 공부하는 것이 좋습니다).

1. 부등식에 대한 간격 방법(특히 비디오 보기);
2. 분수-합리적 불평등은 매우 방대한 교훈이지만, 그 후에는 질문이 전혀 남지 않을 것입니다.

이 모든 것을 알고 있다면 "부등식에서 방정식으로 가자"라는 문구가 막연히 벽에 기대어 자살하고 싶지 않다면 준비가 된 것입니다. 수업의 주요 주제로 지옥에 오신 것을 환영합니다. :)

1. "기능보다 작은 모듈" 형식의 부등식

이것은 모듈에서 가장 자주 발생하는 작업 중 하나입니다. 다음 형식의 부등식을 푸는 데 필요합니다.

\[\왼쪽| f\오른쪽| \ltg\]

모든 것이 $f$ 및 $g$ 함수로 작동할 수 있지만 일반적으로 다항식입니다. 그러한 불평등의 예:

\[\begin(정렬) & \left| 2x+3\오른쪽| \ltx+7; \\ & \왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \왼쪽| ((x)^(2))-2\왼쪽| x \오른쪽|-3 \오른쪽| \lt 2. \\end(정렬)\]

그들 모두는 계획에 따라 문자 그대로 한 줄로 해결됩니다.

\[\왼쪽| f\오른쪽| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \맞아 맞아)\]

모듈을 제거했지만 대신 이중 부등식(또는 동일한 것, 두 부등식 시스템)이 발생한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 이 전환은 가능한 모든 문제를 절대적으로 고려합니다. 모듈 아래의 숫자가 양수이면 메서드가 작동합니다. 음수이면 여전히 작동합니다. $f$ 또는 $g$ 대신 가장 부적절한 기능을 사용하더라도 이 방법은 여전히 ​​작동합니다.

당연히 질문이 생깁니다. 더 쉽지 않습니까? 불행히도, 당신은 할 수 없습니다. 이것이 모듈의 요점입니다.

그러나 충분히 철학적입니다. 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| 2x+3\오른쪽| \ltx+7\]

해결책. 따라서 "모듈이 보다 작음" 형식의 고전적인 부등식이 있습니다. 변환할 항목도 없습니다. 우리는 알고리즘에 따라 작업합니다.

\[\begin(정렬) & \left| f\오른쪽| \lt g\오른쪽 화살표 -g \lt f \lt g; \\ & \왼쪽| 2x+3\오른쪽| \lt x+7\오른쪽 화살표 -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(정렬)\]

"빼기"가 앞에 오는 대괄호를 서두르지 마십시오. 서두르기 때문에 공격적인 실수를 범할 가능성이 큽니다.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(정렬) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(정렬) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

문제는 두 가지 기본 부등식으로 축소되었습니다. 우리는 평행 실제 라인에 대한 솔루션에 주목합니다.

많은 교차점

이 집합의 교차점이 답이 될 것입니다.

답: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

해결책. 이 작업은 조금 더 어렵습니다. 먼저 두 번째 항을 오른쪽으로 이동하여 모듈을 분리합니다.

\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

분명히 우리는 "모듈이 더 작다"라는 형식의 부등식을 다시 가지고 있으므로 이미 알려진 알고리즘에 따라 모듈을 제거합니다.

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

이제 주의를 기울이십시오. 누군가는 내가 이 모든 괄호를 가진 약간의 변태라고 말할 것입니다. 그러나 다시 한 번 우리의 주요 목표는 부등식을 올바르게 해결하고 답을 얻으십시오.. 나중에 이 단원에서 설명하는 모든 것을 완벽하게 마스터하면 대괄호 열기, 빼기 추가 등 원하는 대로 자신을 변태시킬 수 있습니다.

그리고 우선, 왼쪽에 있는 이중 빼기를 제거합니다.

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\왼쪽(x+1\오른쪽)\]

이제 이중 부등식의 모든 괄호를 열어 보겠습니다.

이중 불평등으로 넘어갑시다. 이번에는 계산이 더 심각해집니다.

\[\left\( \begin(정렬) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(정렬) \right.\]

\[\left\( \begin(정렬) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( 정렬)\오른쪽.\]

두 부등식은 모두 제곱이며 간격 방법으로 해결됩니다(그래서 내가 말하는 이유: 그것이 무엇인지 모른다면 아직 모듈을 사용하지 않는 것이 좋습니다). 첫 번째 부등식의 방정식을 전달합니다.

\[\시작(정렬) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\끝(정렬)\]

보시다시피, 출력은 기본적으로 해결되는 불완전한 이차 방정식으로 밝혀졌습니다. 이제 시스템의 두 번째 부등식을 다루겠습니다. 거기에서 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.

\[\begin(정렬) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\끝(정렬)\]

얻은 숫자를 두 개의 평행선에 표시합니다(첫 번째 부등식에 대해 분리되고 두 번째 부등식에 대해 분리됨).

다시 말하지만, 우리는 부등식 시스템을 풀기 때문에 음영 처리된 집합의 교집합에 관심이 있습니다. $x\in \left(-5;-2 \right)$. 이것이 답이다.

답: $x\in \left(-5;-2 \right)$

이 예제 후에 솔루션 계획이 매우 명확하다고 생각합니다.

1. 다른 모든 항을 부등식의 반대쪽으로 이동하여 모듈을 분리합니다. 따라서 우리는 $\left| 형식의 부등식을 얻습니다. f\오른쪽| \ltg$.
2. 위에서 설명한 대로 모듈을 제거하여 이 부등식을 해결하십시오. 어느 시점에서 이중 부등식에서 각각 이미 개별적으로 해결할 수 있는 두 개의 독립적인 표현의 시스템으로 이동해야 합니다.
3. 마지막으로, 이 두 개의 독립적인 표현의 해를 교차하는 것만 남아 있습니다. 그것이 전부입니다. 우리는 최종 답을 얻을 것입니다.

모듈러스가 함수보다 클 때 다음 유형의 부등식에 대해 유사한 알고리즘이 존재합니다. 그러나 몇 가지 심각한 "하지만"이 있습니다. 우리는 이제 이러한 "하지만"에 대해 이야기할 것입니다.

2. "모듈이 기능보다 크다" 형식의 부등식

그들은 다음과 같이 보입니다.

\[\왼쪽| f\오른쪽| \gt g\]

전작과 비슷한? 그것은 보인다. 그럼에도 불구하고 그러한 작업은 완전히 다른 방식으로 해결됩니다. 공식적으로 계획은 다음과 같습니다.

\[\왼쪽| f\오른쪽| \gt g\오른쪽 화살표 \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

즉, 다음 두 가지 경우를 고려합니다.

1. 첫째, 우리는 단순히 모듈을 무시합니다 - 우리는 일반적인 불평등을 해결합니다.
2. 그런 다음 실제로 빼기 기호가 있는 모듈을 연 다음 부등식의 두 부분에 부호를 사용하여 -1을 곱합니다.

이 경우 옵션은 대괄호와 결합됩니다. 두 가지 요구 사항이 결합되어 있습니다.

다시 주목하십시오. 우리 앞에는 시스템이 아니라 집합체이므로 대답에서 세트는 교차하지 않고 결합됩니다.. 이것은 이전 단락과의 근본적인 차이점입니다!

일반적으로 많은 학생들이 합집합과 교집합에 대해 많은 혼란을 겪고 있으므로 이 문제를 한 번에 살펴보겠습니다.

• "∪"는 연결 기호입니다. 실제로 이것은 영어에서 우리에게 온 양식화 된 문자 "U"이며 "Union"의 약어입니다. "협회".
• "∩"는 교차로 기호입니다. 이 쓰레기는 아무데서나 온 것이 아니라 "∪"에 대한 반대말로 나타났습니다.

더 쉽게 기억할 수 있도록 이 표지판에 다리를 추가하여 안경을 만드십시오.

집합의 교집합과 합집합의 차이점

러시아어로 번역하면 다음을 의미합니다. 결합(컬렉션)에는 두 세트의 요소가 모두 포함되므로 각 세트보다 작지 않습니다. 그러나 교차(시스템)에는 첫 번째 집합과 두 번째 집합에 모두 있는 요소만 포함됩니다. 따라서 집합의 교집합은 원본 집합보다 크지 않습니다.

그래서 더 명확해졌습니까? 그거 좋다. 실습을 진행해 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| 3x+1 \오른쪽| \gt 5-4x\]

해결책. 우리는 계획에 따라 행동합니다.

\[\왼쪽| 3x+1 \오른쪽| \gt 5-4x\오른쪽 화살표 \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ 오른쪽.\]

각 인구 불평등을 해결합니다.

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

각 결과 집합을 숫자 줄에 표시한 다음 결합합니다.

집합의 연합

분명히 대답은 $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$입니다.

답: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

해결책. 잘? 아니요, 다 똑같습니다. 모듈러스가 있는 부등식에서 두 부등식 세트로 전달합니다.

\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\오른쪽 화살표 \left[ \begin(정렬) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\end(정렬) \오른쪽.\]

우리는 각 불평등을 해결합니다. 불행히도 뿌리는 그다지 좋지 않을 것입니다.

\[\begin(정렬) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\끝(정렬)\]

두 번째 부등식에는 약간의 게임도 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\끝(정렬)\]

이제 이 숫자를 두 축에 표시해야 합니다. 각 부등식에 대해 한 축입니다. 그러나 정확한 순서로 점을 표시해야 합니다. 숫자가 클수록 점이 오른쪽으로 더 많이 이동합니다.

그리고 여기서 우리는 설정을 기다리고 있습니다. 모든 것이 숫자 $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$로 명확하다면 (첫 번째 분자의 항 분수는 두 번째 분자의 항보다 작으므로 합계도 더 작음), 숫자 $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ 또한 어려움이 없을 것입니다(양수는 분명히 더 음수입니다). 그러나 마지막 커플에서는 모든 것이 그렇게 간단하지 않습니다. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ 또는 $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ 중 어느 것이 더 큽니까? 숫자 선의 점 배열과 실제로 대답은이 질문에 대한 대답에 따라 다릅니다.

그럼 비교해보자:

\[\begin(행렬) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(행렬)\]

루트를 분리하고 부등식의 양쪽에 음수가 아닌 숫자를 얻었으므로 양쪽을 제곱할 권리가 있습니다.

\[\begin(행렬) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\end(행렬)\]

$4\sqrt(13) \gt 3$이므로 $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, 마지막으로 축의 점은 다음과 같이 정렬됩니다.

못생긴 뿌리의 경우

우리가 집합을 풀고 있다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 따라서 답은 음영 집합의 교집합이 아니라 합집합이 될 것입니다.

답: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

보시다시피, 우리의 계획은 간단한 작업과 매우 어려운 작업 모두에서 잘 작동합니다. 이 접근 방식의 유일한 "약점"은 무리수를 정확하게 비교해야 한다는 것입니다(그리고 저를 믿으십시오: 이것들은 단지 근이 아닙니다). 그러나 별도의(그리고 매우 진지한 교훈) 비교 질문에 할애할 것입니다. 그리고 계속 진행합니다.

3. 음이 아닌 "꼬리"가 있는 불평등

그래서 우리는 가장 흥미로운 것에 도달했습니다. 다음은 형식의 부등식입니다.

\[\왼쪽| f\오른쪽| \gt\왼쪽| g\오른쪽|\]

일반적으로 지금 이야기하려는 알고리즘은 모듈에만 해당됩니다. 왼쪽과 오른쪽에 음수가 아닌 표현식이 보장되는 모든 부등식에서 작동합니다.

이러한 작업을 어떻게 해야 합니까? 기억해라:

음수가 아닌 꼬리가 있는 부등식에서 양쪽은 모든 자연 거듭제곱으로 올릴 수 있습니다. 추가 제한은 없습니다.

우선, 우리는 제곱에 관심을 가질 것입니다 - 그것은 모듈과 루트를 태웁니다:

\[\begin(정렬) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\끝(정렬)\]

이것을 제곱근을 취하는 것과 혼동하지 마십시오.

\[\sqrt(((f)^(2)))=\왼쪽| f \오른쪽|\ne f\]

학생이 모듈을 설치하는 것을 잊었을 때 수많은 실수를 저질렀습니다! 그러나 이것은 완전히 다른 이야기(말하자면 비합리적인 방정식임)이므로 지금은 다루지 않겠습니다. 몇 가지 문제를 더 잘 해결해 보겠습니다.

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| x+2 \오른쪽|\ge \왼쪽| 1-2x \오른쪽|\]

해결책. 우리는 즉시 두 가지를 알아차립니다.

1. 이것은 엄격하지 않은 불평등입니다. 숫자 라인의 포인트는 펀치 아웃됩니다.
2. 부등식의 양쪽은 분명히 음수가 아닙니다(이것은 모듈의 속성입니다: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

따라서 부등식의 양쪽을 제곱하여 계수를 제거하고 일반적인 간격 방법을 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\끝(정렬)\]

마지막 단계에서 나는 약간의 속임수를 썼습니다. 계수의 패리티를 사용하여 용어의 순서를 변경했습니다(사실 $1-2x$ 표현식에 -1을 곱했습니다).

\[\begin(정렬) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ 오른쪽)\오른쪽)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\end(정렬)\]

우리는 간격 방법으로 해결합니다. 부등식에서 방정식으로 이동해 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\끝(정렬)\]

찾은 뿌리를 숫자 줄에 표시합니다. 다시 한 번: 원래 불평등이 엄격하지 않기 때문에 모든 점은 음영 처리됩니다!

모듈 기호 제거

특히 완고한 것을 상기시켜 드리겠습니다. 우리는 방정식으로 이동하기 전에 기록된 마지막 부등식에서 기호를 취합니다. 그리고 우리는 동일한 부등식에서 요구되는 영역 위에 페인트를 칠합니다. 이 경우 $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$입니다.

자, 이제 끝났습니다. 문제 해결됨.

답: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \오른쪽|\]

해결책. 우리는 모든 것을 똑같이 합니다. 나는 논평하지 않을 것입니다 - 다만 행동의 순서를 보십시오.

제곱해보자:

\[\begin(정렬) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \오른쪽))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ 오른쪽))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

간격 방법:

\[\begin(정렬) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ 오른쪽 화살표 x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\오른쪽 화살표 D=16-40 \lt 0\오른쪽 화살표 \varnothing . \\끝(정렬)\]

숫자 줄에는 루트가 하나만 있습니다.

답은 전체 범위입니다

답: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

마지막 작업에 대한 작은 메모. 제 학생 중 한 명이 정확하게 지적했듯이 이 부등식의 두 하위 모듈 표현은 분명히 양수이므로 건강에 해를 끼치지 않고 모듈러스 기호를 생략할 수 있습니다.

그러나 이것은 이미 완전히 다른 수준의 사고와 다른 접근 방식입니다. 조건부로 결과 방법이라고 할 수 있습니다. 그에 대해 - 별도의 수업에서. 그리고 이제 오늘 수업의 마지막 부분으로 넘어가서 항상 작동하는 보편적인 알고리즘에 대해 생각해 보겠습니다. 이전의 모든 접근 방식이 무력했을 때에도. :)

4. 옵션의 열거 방법

이 모든 트릭이 작동하지 않으면 어떻게 될까요? 부등식이 음이 ​​아닌 꼬리로 줄어들지 않는다면, 모듈을 분리하는 것이 불가능하다면, 고통-슬픔-그리움이 있다면?

그런 다음 모든 수학의 "중포병"이 현장에 들어갑니다. 즉, 열거 방법입니다. 계수와의 부등식과 관련하여 다음과 같이 보입니다.

1. 모든 하위 모듈 표현식을 작성하고 0과 동일시하십시오.
2. 결과 방정식을 풀고 찾은 근을 하나의 숫자 줄에 표시하십시오.
3. 직선은 여러 섹션으로 나뉘며 각 모듈에는 고정 부호가 있으므로 명확하게 확장됩니다.
4. 이러한 각 섹션의 부등식을 해결하십시오(신뢰성을 위해 단락 2에서 얻은 경계 근을 별도로 고려할 수 있음). 결과를 결합하십시오 - 이것이 답이 될 것입니다. :)

글쎄, 어떻게? 약한? 용이하게! 오랫동안 만. 실제로 보자:

작업. 부등식 해결:

\[\왼쪽| x+2 \오른쪽| \lt\왼쪽| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

해결책. 이 쓰레기는 $\left|와 같은 부등식으로 요약되지 않습니다. f\오른쪽| \lt g$, $\left| f\오른쪽| \gt g$ 또는 $\left| f\오른쪽| \lt\왼쪽| g \right|$, 계속 진행하겠습니다.

우리는 하위 모듈 표현식을 작성하고 0과 동일시하고 루트를 찾습니다.

\[\begin(정렬) & x+2=0\오른쪽 화살표 x=-2; \\ & x-1=0\오른쪽 화살표 x=1. \\끝(정렬)\]

전체적으로 숫자 라인을 세 부분으로 나누는 두 개의 루트가 있으며, 그 안에 각 모듈이 고유하게 표시됩니다.

하위 모듈 함수의 0으로 숫자 라인 분할

각 섹션을 별도로 고려해 보겠습니다.

1. $x \lt -2$로 하자. 그런 다음 두 하위 모듈 표현식은 모두 음수이고 원래 불평등은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[\begin(정렬) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(정렬)\]

상당히 간단한 제약 조건이 있습니다. $x \lt -2$라는 원래 가정과 교차해 보겠습니다.

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\end(align) \right.\오른쪽 화살표 x\in \varnothing \]

분명히 변수 $x$는 -2보다 작을 수는 없지만 1.5보다 클 수는 없습니다. 이 영역에는 솔루션이 없습니다.

1.1. 경계의 경우 $x=-2$를 별도로 고려해 보겠습니다. 이 숫자를 원래의 부등식에 대입하고 확인합시다. 유지되나요?

\[\begin(정렬) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \오른쪽|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\오른쪽 화살표 \varnothing . \\끝(정렬)\]

분명히, 일련의 계산이 우리를 잘못된 불평등으로 이끌었습니다. 따라서 원래 부등식도 거짓이고 $x=-2$는 답에 포함되지 않습니다.

2. 이제 $-2 \lt x \lt 1$로 하자. 왼쪽 모듈은 이미 "플러스"로 열리지만 오른쪽 모듈은 여전히 ​​"마이너스"로 열립니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

\[\begin(정렬) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\끝(정렬)\]

다시 원래 요구 사항과 교차합니다.

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\오른쪽 화살표 x\in \varnothing \]

그리고 다시, -2.5보다 작고 -2보다 큰 숫자가 없기 때문에 빈 솔루션 세트입니다.

2.1. 그리고 다시 특별한 경우: $x=1$. 우리는 원래의 부등식으로 대체합니다:

\[\begin(정렬) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \왼쪽| 3\오른쪽| \lt\왼쪽| 0 \오른쪽|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\끝(정렬)\]

이전의 "특수한 경우"와 마찬가지로 $x=1$라는 숫자는 답변에 분명히 포함되어 있지 않습니다.

3. 행의 마지막 부분: $x \gt 1$. 여기에서 모든 모듈은 더하기 기호로 확장됩니다.

\[\begin(정렬) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(정렬)\ ]

그리고 다시 찾은 세트를 원래 제약 조건과 교차시킵니다.

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\오른쪽 화살표 x\in \left(4,5;+\infty) \오른쪽)\]

드디어! 우리는 답이 될 간격을 찾았습니다.

답: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

마지막으로, 실제 문제를 해결할 때 어리석은 실수로부터 당신을 구할 수 있는 한 가지 참고 사항:

모듈이 있는 부등식의 솔루션은 일반적으로 숫자 라인의 연속 세트(간격 및 세그먼트)입니다. 고립 된 점은 훨씬 드뭅니다. 그리고 훨씬 더 드물게 솔루션의 경계(세그먼트의 끝)가 고려 중인 범위의 경계와 일치하는 경우가 있습니다.

따라서 경계(매우 "특별한 경우")가 답변에 포함되지 않으면 이러한 경계의 왼쪽-오른쪽 영역도 답변에 포함되지 않을 것이 거의 확실합니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 경계가 응답으로 입력되었습니다. 즉, 경계 주변의 일부 영역도 응답이 됩니다.

솔루션을 확인할 때 이 점을 염두에 두십시오.

변수의 부등식에 대한 초기 정보를 받은 후, 우리는 그들의 솔루션에 대한 질문으로 돌아갑니다. 하나의 변수로 선형 부등식의 솔루션을 분석하고 알고리즘과 예제를 통해 모든 솔루션을 분석해 보겠습니다. 변수가 하나인 선형 방정식만 고려됩니다.

선형 부등식이란 무엇입니까?

먼저 선형 방정식을 정의하고 표준 형식과 다른 형식과 어떻게 다른지 알아내야 합니다. 학교 과정에서 우리는 불평등에 근본적인 차이가 없기 때문에 몇 가지 정의를 사용해야 합니다.

정의 1

하나의 변수가 있는 선형 부등식 x는 부등호가 > 대신 사용될 때 x + b > 0 형식의 부등식입니다.< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

정의 2

불평등 a x< c или a · x >c , x는 변수이고 a와 c는 일부 숫자입니다. 하나의 변수가 있는 선형 부등식.

계수가 0과 같을 수 있는지 여부에 대해서는 언급되지 않았으므로 0 x > c 및 0 x 형식의 엄격한 부등식< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

차이점은 다음과 같습니다.

• 표기법 첫 번째에는 a · x + b > 0, 두 번째에는 a · x > c –입니다.
• 0 계수의 허용 가능성 a , a ≠ 0 - 첫 번째, 그리고 a = 0 - 두 번째.

부등식 a x + b > 0 및 a x ​​> c는 항을 한 부분에서 다른 부분으로 이동하여 얻어지기 때문에 동등하다고 믿어집니다. 부등식 0 · x + 5 > 0을 풀면 해결해야 한다는 사실이 나타나며 a = 0인 경우에는 작동하지 않습니다.

정의 3

한 변수 x의 선형 부등식은 다음 형식의 부등식으로 간주됩니다. x + b< 0 , a · x + b >0 , x + b ≤ 0그리고 x + b ≥ 0, 여기서 및 b는 실수입니다. x 대신 일반 숫자가 있을 수 있습니다.

규칙에 따라 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 를 선형이라고 합니다.

선형 부등식을 푸는 방법

이러한 부등식을 해결하는 주요 방법은 등가 변환을 사용하여 기본 부등식 x를 찾는 것입니다.< p (≤ , >, ≥) , p는 a ≠ 0에 대해 어떤 숫자이고 a 형식< p (≤ , >, ≥) a = 0 .

하나의 변수로 부등식을 해결하려면 간격 방법을 적용하거나 그래픽으로 나타낼 수 있습니다. 그들 중 어느 것이든 단독으로 사용할 수 있습니다.

등가 변환 사용

x + b 형식의 선형 부등식을 해결하려면< 0 (≤ , >, ≥), 부등식의 등가 변환을 적용할 필요가 있습니다. 계수는 0일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 두 경우를 모두 고려해 보겠습니다. 명확히하기 위해 프로세스의 본질, 알고리즘, 솔루션 자체의 3 점으로 구성된 계획을 고수해야합니다.

정의 4

선형 부등식을 푸는 알고리즘 x + b< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0에 대해

• 숫자 b는 반대 부호가 있는 부등식의 오른쪽으로 옮겨져 등가 x에 도달할 수 있습니다.< − b (≤ , > , ≥) ;
• 불평등의 두 부분은 0이 아닌 숫자로 나뉩니다. 또한 양수이면 부호가 남아 있고 음수이면 반대 방향으로 바뀝니다.

예제를 풀 때 이 알고리즘을 적용하는 것을 고려하십시오.

실시예 1

3 · x + 12 ≤ 0 형식의 부등식을 풉니다.

해결책

이 선형 부등식은 a = 3 및 b = 12 입니다. 따라서 x의 계수는 0이 아닙니다. 위의 알고리즘을 적용하여 풀어보자.

12라는 용어를 앞에 부호 변경이 있는 부등식의 다른 부분으로 옮겨야 합니다. 그런 다음 3 · x ≤ − 12 형식의 부등식을 얻습니다. 두 부분을 3으로 나눌 필요가 있습니다. 3은 양수이므로 부호는 변경되지 않습니다. 우리는 (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 을 얻습니다. 결과는 x ≤ − 4 입니다.

x ≤ − 4 형식의 부등식은 동일합니다. 즉, 3 x + 12 ≤ 0에 대한 해는 4보다 작거나 같은 실수입니다. 답은 부등식 x ≤ − 4 또는 (− ∞ , − 4 ] 형식의 숫자 간격으로 작성됩니다.

위에서 설명한 전체 알고리즘은 다음과 같이 작성됩니다.

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12 ; x ≤ − 4 .

대답: x ≤ − 4 또는 (− ∞ , − 4 ] .

실시예 2

부등식 − 2 , 7 · z > 0 의 사용 가능한 모든 솔루션을 표시합니다.

해결책

조건에서 우리는 z에서의 계수가 -2, 7과 같고 b가 명시적으로 없거나 0임을 알 수 있습니다. 알고리즘의 첫 번째 단계를 사용할 수 없지만 즉시 두 번째 단계로 이동합니다.

방정식의 두 부분을 숫자 - 2, 7로 나눕니다. 숫자가 음수이므로 부등호를 반대로 변경해야 합니다. 즉, (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

전체 알고리즘을 짧은 형식으로 작성합니다.

- 2 , 7 z > 0 ; 지< 0 .

대답:지< 0 или (− ∞ , 0) .

실시예 3

부등식 풀기 - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

해결책

조건에 따라 -5와 같은 변수 x에 대한 계수 a와 분수 -15 22에 해당하는 계수 b를 사용하여 부등식을 해결할 필요가 있음을 알 수 있습니다. 알고리즘을 따라 부등식을 해결해야 합니다.

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

마지막 전환에서 오른쪽의 경우 부호가 다른 숫자를 나누는 규칙이 사용됩니다. \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

대답: x ≥ - 3 22 및 [ - 3 22 + ∞) .

a = 0인 경우를 고려하십시오. a x + b 형식의 선형 표현< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

모든 것은 부등식의 해에 대한 정의를 기반으로 합니다. x의 값에 대해 b 형식의 수치적 부등식을 얻습니다.< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

선형 부등식 0 x + b를 해결하기 위한 알고리즘 형태의 모든 판단을 고려합니다.< 0 (≤ , > , ≥) :

정의 5

형식 b의 수치적 부등식< 0 (≤ , >, ≥)가 참이면 원래 부등식에 모든 값에 대한 해가 있고 원래 부등식에 해가 없으면 거짓입니다.

실시예 4

부등식 0 · x + 7 > 0 을 풉니다.

해결책

이 선형 부등식 0 · x + 7 > 0은 임의의 값 x를 취할 수 있습니다. 그런 다음 7 > 0 형식의 부등식을 얻습니다. 마지막 부등식은 참으로 간주되므로 모든 숫자가 해가 될 수 있습니다.

대답: 간격(− ∞ , + ∞) .

실시예 5

부등식 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 에 대한 해를 구합니다.

해결책

임의의 숫자에 대해 변수 x를 대입하면 불평등이 − 12 , 7 ≥ 0 형식을 취한다는 것을 알 수 있습니다. 잘못된 것입니다. 즉, 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 에는 해가 없습니다.

대답:해결책이 없습니다.

두 계수가 모두 0인 선형 부등식의 해를 고려하십시오.

실시예 6

0 · x + 0 > 0 및 0 · x + 0 ≥ 0 에서 풀 수 없는 부등식을 결정합니다.

해결책

x 대신 임의의 숫자를 대입하면 0 > 0 및 0 ≥ 0 형식의 두 부등식이 발생합니다. 첫 번째는 올바르지 않습니다. 즉, 0 x + 0 > 0에는 해가 없고 0 x + 0 ≥ 0에는 무한한 수, 즉 임의의 수의 해가 있습니다.

대답: 부등식 0 x + 0 > 0에는 해가 없고 0 x + 0 ≥ 0에는 해가 있습니다.

이 방법은 학교 수학 과정에서 고려됩니다. 구간 방법은 선형 부등식을 포함하여 다양한 종류의 부등식을 해결할 수 있습니다.

간격 방법은 계수 x의 값이 0과 같지 않을 때 선형 부등식에 사용됩니다. 그렇지 않으면 다른 방법을 사용하여 계산해야 합니다.

정의 6

간격 방법은 다음과 같습니다.

• 함수의 도입 y = a x + b ;
• 정의 영역을 간격으로 분할하기 위해 0을 검색합니다.
• 간격에 대한 개념의 표시 결정.

선형 방정식 a x + b를 풀기 위한 알고리즘을 조립해 보겠습니다.< 0 (≤ , >, ≥) 간격 방법을 사용하여 ≠ 0에 대해:

• a · x + b = 0 형식의 방정식을 풀기 위해 함수 y = a · x + b의 영점을 찾습니다. a ≠ 0이면 해는 x 0이라는 지정을 받는 유일한 근이 됩니다.
• 좌표 x 0이있는 점의 이미지로 좌표선 구성, 엄격한 불평등으로 포인트는 펀치 아웃으로 표시되고, 엄격하지 않은 불평등은 음영 처리됩니다.
• 간격에서 함수 y = a x + b의 부호 결정, 이를 위해 간격의 지점에서 함수 값을 찾아야 합니다.
• 좌표선에 > 또는 ≥ 기호가 있는 부등식의 솔루션, 해칭이 양의 간격 위에 추가되고,< или ≤ над отрицательным промежутком.

간격 방법을 사용하여 선형 부등식을 푸는 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 6

부등식 − 3 · x + 12 > 0 을 풉니다.

해결책

알고리즘에서 먼저 방정식 − 3 · x + 12 = 0의 근을 찾아야 합니다. 우리는 − 3 · x = − 12 , x = 4 를 얻습니다. 점 4를 표시하는 좌표선을 묘사해야합니다. 불평등이 엄격하기 때문에 구멍이 뚫릴 것입니다. 아래 그림을 고려하십시오.

간격의 표시를 결정할 필요가 있습니다. 구간 (− ∞ , 4) 에서 이를 결정하려면 x = 3 에 대한 함수 y = − 3 · x + 12 를 계산해야 합니다. 여기에서 우리는 − 3 3 + 12 = 3 > 0 을 얻습니다. 간격의 기호는 양수입니다.

간격 (4, + ∞)에서 부호를 결정한 다음 값 x \u003d 5로 대체합니다. − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

> 기호로 부등식을 풀고 양의 간격에 대해 해칭을 수행합니다. 아래 그림을 고려하십시오.

원하는 솔루션이 (− ∞ , 4) 또는 x< 4 .

대답: (− ∞ , 4) 또는 x< 4 .

그래픽으로 표현하는 방법을 이해하려면 4개의 선형 부등식을 예로 들어야 합니다. 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 및 0 , 5 x − 1 ≥ 0 . 그들의 솔루션은 x< 2 , x ≤ 2 , x >2 및 x ≥ 2 . 이를 위해 아래에 선형 함수 y = 0 , 5 · x − 1 의 그래프를 그립니다.

그것은 분명하다

정의 7

• 부등식 0 , 5 x − 1의 해< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• 해 0 , 5 x − 1 ≤ 0은 함수 y = 0 , 5 x − 1 이 0 x 미만이거나 일치하는 구간입니다.
• 솔루션 0 , 5 x − 1 > 0은 함수가 O x 위에 있는 구간으로 간주됩니다.
• 해 0 , 5 x − 1 ≥ 0 은 그래프가 O x 보다 높거나 일치하는 구간입니다.

부등식의 그래픽 솔루션의 의미는 그래프에 표시되어야 하는 격차를 찾는 것입니다. 이 경우 왼쪽에는 y \u003d a x + b가 있고 오른쪽에는 y \u003d 0이 있으며 약 x와 일치합니다.

정의 8

함수 y = a x + b의 플로팅이 수행됩니다.

• 부등식 a x + b를 푸는 동안< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• 부등식 a x + b ≤ 0을 푸는 동안 그래프가 O x 축 아래에 표시되거나 일치하는 구간이 결정됩니다.
• 부등식 a x + b > 0을 푸는 동안 그래프가 O x 위에 표시되는 구간이 결정됩니다.
• 부등식 a x + b ≥ 0을 푸는 동안 그래프가 O x 이상이거나 일치하는 구간이 결정됩니다.

실시예 7

그래프를 사용하여 부등식 - 5 · x - 3 > 0을 풉니다.

해결책

선형 함수 - 5 · x - 3 > 0 의 그래프를 작성해야 합니다. 이 선은 x의 계수가 음수이기 때문에 감소합니다. O x - 5 · x - 3 > 0과의 교차점 좌표를 결정하기 위해 - 3 5 값을 얻습니다. 그래프로 나타내보자.

> 기호로 부등식을 풀면 O x 위의 간격에주의를 기울여야합니다. 우리는 비행기의 필요한 부분을 빨간색으로 강조 표시하고

필요한 간격은 빨간색의 O x 부분입니다. 따라서 열린 수 ray - ∞ , - 3 5 는 부등식의 해가 됩니다. 조건에 따라 엄격하지 않은 불평등이 있으면 점의 값 - 3 5도 불평등에 대한 해결책이 될 것입니다. 그리고 Ox와 일치합니다.

대답: - ∞ , - 3 5 또는 x< - 3 5 .

좌변이 함수 y = 0 x + b , 즉 y = b 에 해당할 때 그래픽 솔루션이 사용됩니다. 그런 다음 선은 O x와 평행하거나 b \u003d 0에서 일치합니다. 이러한 경우는 부등식에 해가 없을 수 있거나 임의의 숫자가 해가 될 수 있음을 보여줍니다.

실시예 8

부등식에서 결정 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

해결책

표현 y = 0 x + 7 은 y = 7 이며, O x 에 평행하고 O x 위의 직선이 있는 좌표 평면이 제공됩니다. 따라서 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

함수 y \u003d 0 x + 0의 그래프는 y \u003d 0으로 간주됩니다. 즉, 선은 O x와 일치합니다. 따라서 부등식 0 · x + 0 ≥ 0에는 많은 해가 있습니다.

대답: 두 번째 부등식에는 x 값에 대한 해가 있습니다.

선형 부등식

부등식의 해는 선형 부등식이라고 하는 선형 방정식의 해로 축소될 수 있습니다.

이러한 불평등은 불평등을 해결하는 특별한 경우이기 때문에 학교 과정에서 고려되었으며, 이에 따라 괄호를 열고 유사 용어를 줄였습니다. 예를 들어, 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x 라고 가정합니다.

위에 주어진 부등식은 항상 선형 방정식의 형태로 축소됩니다. 그 후, 대괄호가 열리고 유사한 용어가 제공되고 다른 부분에서 옮겨져 부호가 반대 방향으로 변경됩니다.

부등식 5 − 2 x > 0을 선형으로 줄이면 − 2 x + 5 > 0 형식이 되도록 표현하고 초를 줄이기 위해 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . 대괄호를 열고 같은 용어를 가져오고 모든 용어를 왼쪽으로 이동하고 같은 용어를 가져와야 합니다. 다음과 같이 보입니다.

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

이것은 선형 부등식에 대한 솔루션을 제공합니다.

이러한 불평등은 동일한 솔루션 원리를 가지고 있기 때문에 선형으로 간주되며 그 후에는 기본 불평등으로 줄일 수 있습니다.

이러한 종류의 부등식을 해결하려면 선형 부등식으로 줄여야 합니다. 다음과 같이 해야 합니다.

정의 9

• 열린 괄호;
• 왼쪽에 변수를 수집하고 오른쪽에 숫자를 수집합니다.
• 같은 조건을 가져오다;
• 두 부분을 x 의 계수로 나눕니다.

실시예 9

부등식 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 을 풉니다.

해결책

대괄호를 확장한 다음 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 형식의 부등식을 얻습니다. 유사한 항을 줄이면 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 입니다. 항을 왼쪽에서 오른쪽으로 이동한 후 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 을 얻습니다. 따라서 0 · x + 32 ≤ 0 계산에서 얻은 결과로부터 32 ≤ 0 형식의 부등식을 갖습니다. 부등식이 거짓임을 알 수 있습니다. 이는 조건에 의해 주어진 부등식에 해가 없음을 의미합니다.

대답: 해결책이 없습니다.

다른 종류의 부등식이 많이 있다는 점은 주목할 가치가 있으며, 이는 선형 또는 위에 표시된 종류의 부등식으로 축소될 수 있습니다. 예를 들어, 5 2 x − 1 ≥ 1 선형 솔루션 2 · x − 1 ≥ 0 으로 줄이는 지수 방정식입니다. 이러한 경우는 이러한 유형의 불평등을 해결할 때 고려됩니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.