직선 및 곡선 운동. 재료 점의 원주를 따른 직선 운동 및 운동

가속하면 재료 포인트항상 0과 같으면 이동 속도는 크기와 방향이 일정합니다. 이 경우의 궤적은 직선입니다. 공식화된 조건에서 재료 점의 운동을 균일 직선이라고 합니다. 직선 운동에서는 가속도의 구심 성분이 없고 운동이 균일하기 때문에 가속도의 접선 성분은 0입니다.

가속도가 시간()에서 일정하게 유지되면 움직임은 동일하게 가변적이거나 불균일하다고 합니다. 등가변 운동은 a > 0이면 균일하게 가속될 수 있고, a > 0이면 똑같이 느릴 수 있습니다.< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

여기서 v o - t=0에서의 초기 속도, v - 시간 t에서의 속도.

공식 (1.4)에 따르면 ds = vdt. 그 다음에

때문에 균일 운동 a = const, 그러면

(1.8)

공식 (1.7) 및 (1.8)은 균일하게 가변적인(비균일한) 직선 운동뿐만 아니라 다음에도 유효합니다. 자유 낙하몸과 위로 던져진 몸의 움직임을 위해. 마지막 두 경우에는 a \u003d g \u003d 9.81 m / s 2입니다.

균일한 직선 운동의 경우 v = v o = const, a = 0이고 공식 (1.8)은 s = vt 형식을 취합니다.

원형 운동은 곡선 운동의 가장 간단한 경우입니다. 원을 따라 물질 점이 움직이는 속도 v를 선형이라고 합니다. 일정한 모듈로 선형 속도에서 원의 운동은 균일합니다. 원을 따라 등속 운동하는 동안 재료 점의 접선 가속도가 없으며 t \u003d 0입니다. 이는 속도 계수에 변화가 없음을 의미합니다. 방향의 선형 속도 벡터의 변화는 수직 가속도와 n ¹ 0으로 특징지어집니다. 원형 궤적의 각 지점에서 벡터 a n은 반경을 따라 원의 중심으로 향합니다.

및 n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1.9)

Dt->0에서 Dj도 0(Dj->0)과 벡터가 되는 경향이 있고 원의 반지름을 따라 중심으로 향하기 때문에 결과 가속도는 실제로 구심(법선)입니다.

선형 속도 v와 함께 균일 운동원을 따라 있는 재료 점은 각속도를 특징으로 합니다. 각속도는 이 회전이 발생한 시간 간격에 대한 반경 벡터의 회전 각도 Dj의 비율입니다.

Rad/s (1.10)

고르지 않은 운동의 경우 순간 각속도의 개념이 사용됩니다.

재료 점이 원주 주위를 한 바퀴 완전히 회전하는 시간 간격 t를 회전 주기라고 하고 주기의 역수는 회전 주파수입니다. n \u003d 1 / T, s -1.

한 기간 동안 재료 점의 반경 벡터의 회전 각도는 2π rad이므로 Dt \u003d T, 여기서 회전 주기와 각속도는 회전 주기 또는 주파수의 함수입니다

원을 따라 재료 점의 등속 운동으로 이동 경로는 이동 시간과 선형 속도에 따라 달라지는 것으로 알려져 있습니다: s = vt, m 재료 점이 반경 R인 원을 따라 통과하는 경로 , 기간 동안은 2πR과 같습니다. 이에 필요한 시간은 회전 주기, 즉 t \u003d T와 같습니다. 따라서,

2πR = vT, m(1.11)

v = 2nR/T = 2πnR, m/s. 회전 기간 T 동안 재료 점의 반경 벡터의 회전 각도는 2π와 같으므로 (1.10)을 기반으로 Dt = T, . (1.11)에 대입하면 선형 속도와 각속도 사이의 관계를 얻을 수 있습니다.

각속도는 벡터량입니다. 각속도 벡터는 오른쪽 나사의 규칙에 따라 원의 평면에 수직인 선 속도 v로 재료 점이 이동하는 원의 중심에서 향합니다.

~에 고르지 못한 움직임원을 따라 물질 점의 선형 및 각속도가 변경됩니다. 와 유추하여 선형 가속도이 경우 평균 각가속도 및 순시 개념이 도입됩니다. . 접선 가속도와 각가속도 사이의 관계는 다음 형식을 갖습니다.

이 수업을 통해 "직선 및 곡선 운동"이라는 주제를 독립적으로 공부할 수 있습니다. 모듈로 속도가 일정한 원 안의 물체의 운동. 먼저, 이러한 유형의 운동에서 속도 벡터와 신체에 가해지는 힘이 어떻게 관련되는지 고려하여 직선 및 곡선 운동을 특성화합니다. 다음으로 고려 특별한 경우몸체가 일정한 모듈로 속도로 원을 그리며 움직일 때.

이전 강의에서는 법과 관련된 문제를 살펴보았습니다. 중력. 오늘 수업의 주제는이 법칙과 밀접한 관련이 있습니다. 우리는 원에서 몸의 등속 운동으로 전환 할 것입니다.

앞서 우리는 말했다 모션 -이것은 시간이 지남에 따라 다른 물체에 비해 공간에서 물체의 위치 변화입니다. 움직임과 움직임의 방향은 무엇보다도 속도에 의해 특징지어집니다. 속도의 변화와 움직임의 유형 자체는 힘의 작용과 관련이 있습니다. 물체에 힘이 작용하면 물체의 속도가 바뀝니다.

힘이 몸의 움직임과 평행하게 향하면 그러한 움직임은 똑바로(그림 1).

쌀. 하나. 직선 운동

곡선몸체의 속도와 이 몸체에 가해지는 힘이 특정 각도에서 서로에 대해 지시될 때 그러한 움직임이 있을 것입니다(그림 2). 이 경우 속도는 방향을 변경합니다.

쌀. 2. 곡선 운동

그래서, 에 직선 운동속도 벡터는 몸체에 가해지는 힘과 같은 방향으로 향합니다. 하지만 곡선 운동속도 벡터와 몸체에 가해지는 힘이 서로 일정한 각도로 위치할 때의 움직임입니다.

몸이 절대값으로 일정한 속도로 원을 그리며 움직일 때 곡선 운동의 특별한 경우를 고려하십시오. 물체가 일정한 속도로 원을 그리며 움직일 때 속도의 방향만 바뀝니다. Modulo는 일정하게 유지되지만 속도의 방향은 변경됩니다. 이러한 속도의 변화는 신체의 가속도의 존재로 이어집니다. 구심.

쌀. 6. 곡선 경로를 따라 이동

몸의 운동 궤적이 곡선이면 그림 1과 같이 원호를 따라 움직이는 일련의 운동으로 나타낼 수 있습니다. 6.

무화과에. 도 7은 속도 벡터의 방향이 어떻게 변하는지를 보여준다. 이러한 이동 중 속도는 몸체가 이동하는 호를 따라 원에 접선 방향으로 향합니다. 따라서 그 방향은 끊임없이 변화하고 있습니다. 모듈로 속도가 일정하더라도 속도의 변화는 가속으로 이어집니다.

이 경우 가속원의 중심을 향하게 됩니다. 그래서 구심성이라고 합니다.

구심 가속도가 중심을 향하는 이유는 무엇입니까?

물체가 곡선 경로를 따라 움직이면 속도가 접선임을 기억하십시오. 속도는 벡터량입니다. 벡터에는 숫자 값과 방향이 있습니다. 몸이 움직이는 속도는 계속해서 방향을 바꿉니다. 즉, 직선 등속 운동과 달리 서로 다른 시점에서의 속도 차이는 0()과 같지 않습니다.

따라서 일정 기간 동안 속도 변화가 있습니다. 에 대한 관계는 가속도입니다. 속도가 절대값으로 변하지 않더라도 원 안에서 등속 운동을 하는 물체는 가속도가 있다는 결론에 도달합니다.

이 가속은 어디로 향합니까? 그림을 고려하십시오. 3. 일부 몸체는 곡선으로(호에서) 움직입니다. 점 1과 2에서 몸체의 속도는 접선입니다. 몸체는 균일하게 움직입니다. 즉, 속도의 모듈은 동일하지만 속도의 방향은 일치하지 않습니다.

쌀. 3. 원을 그리며 몸을 움직인다

에서 속도를 빼고 벡터를 얻습니다. 이렇게 하려면 두 벡터의 시작 부분을 연결해야 합니다. 동시에 벡터를 벡터의 시작 부분으로 이동합니다. 우리는 삼각형을 만듭니다. 삼각형의 세 번째 변은 속도 차이 벡터가 됩니다(그림 4).

쌀. 4. 속도차 벡터

벡터는 원을 향합니다.

속도 벡터와 차이 벡터에 의해 형성된 삼각형을 고려하십시오(그림 5).

쌀. 5. 속도 벡터에 의해 형성되는 삼각형

이 삼각형은 이등변입니다(속도 모듈은 같음). 따라서 밑면의 각도는 동일합니다. 삼각형의 각의 합에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다.

궤적의 주어진 지점에서 가속도가 향하는 위치를 찾으십시오. 이렇게하기 위해 우리는 점 2를 점 1에 더 가깝게 가져 오기 시작합니다. 그러한 무한한 근면으로 각도는 0이되고 각도는 -가됩니다. 속도 변화 벡터와 속도 벡터 자체 사이의 각도는 입니다. 속도는 접선 방향으로 향하고 속도 변화 벡터는 원의 중심을 향합니다. 이것은 가속도가 원의 중심을 향한다는 것을 의미합니다. 그래서 이 가속도라고 합니다. 구심.

구심 가속도를 찾는 방법?

몸이 움직이는 궤적을 고려하십시오. 이 경우 이것은 원호입니다(그림 8).

쌀. 8. 원을 그리며 몸을 움직인다

그림은 두 개의 삼각형을 보여줍니다. 하나는 속도에 의해 형성되는 삼각형이고, 다른 하나는 반지름과 변위 벡터에 의해 형성되는 삼각형입니다. 점 1과 2가 매우 가까우면 변위 벡터가 경로 벡터와 동일합니다. 두 삼각형은 꼭짓점 각도가 같은 이등변입니다. 따라서 삼각형은 비슷합니다. 이것은 삼각형의 대응하는 변의 비율이 동일함을 의미합니다.

변위는 속도와 시간의 곱과 같습니다. . 교체 이 공식, 구심 가속도에 대해 다음 식을 얻을 수 있습니다.

각속도표시된 그리스 문자오메가(ω)는 단위 시간당 신체가 회전하는 각도를 알려줍니다(그림 9). 이것은 일정 시간 동안 본체가 가로지르는 호의 크기(도)입니다.

쌀. 9. 각속도

경우에 유의하자. 단단한회전하면 이 몸체의 모든 점에 대한 각속도는 일정한 값이 됩니다. 점이 회전 중심에 더 가깝거나 더 멀습니다. 중요하지 않습니다. 즉, 반경에 의존하지 않습니다.

이 경우 측정 단위는 초당 도() 또는 초당 라디안()입니다. 종종 "라디안"이라는 단어는 작성되지 않고 단순히 작성됩니다. 예를 들어 지구의 각속도가 얼마인지 알아봅시다. 지구는 1시간 안에 완전히 회전하며 이 경우 각속도는 다음과 같다고 말할 수 있습니다.

또한 각속도와 선형 속도 사이의 관계에 주의하십시오.

선형 속도는 반경에 정비례합니다. 반경이 클수록 선형 속도가 커집니다. 따라서 회전 중심에서 멀어지면 선형 속도가 증가합니다.

일정한 속도로 원을 그리며 움직이는 것은 특수한 경우라는 점에 유의해야 합니다. 그러나 원형 운동도 고르지 않을 수 있습니다. 속도는 방향이 변경될 뿐만 아니라 절대값이 동일하게 유지될 뿐만 아니라 값도 변경될 수 있습니다. 즉, 방향 변경 외에 속도 모듈에도 변경이 있습니다. 이 경우 우리는 소위 가속 원운동에 대해 이야기하고 있습니다.

라디안이란 무엇입니까?

각도 측정에는 도와 라디안의 두 가지 단위가 있습니다. 물리학에서는 원칙적으로 각도의 라디안 측정이 주요합니다.

길이의 호에 의존하는 중심각을 구성해 보겠습니다.

움직임은 위치의 변화이다
다른 사람에 비해 공간에 있는 몸
시간이 지남에 따라 시체. 움직임과
이동 방향은 다음과 같은 특징이 있습니다.
속도 포함. 변화
속도와 움직임 자체의 유형은 다음과 관련이 있습니다.
힘의 작용. 신체가 영향을 받는 경우
힘을 가하면 몸의 속도가 바뀝니다.

힘이 평행하면
한 방향으로 몸의 움직임, 다음
움직임은 직선일 것입니다.

그러한 움직임은 곡선일 것이고,
물체의 속도와 힘이 가해질 때
이 몸은 서로에 대해 지시됩니다.
어떤 각도에서 친구. 이 경우
속도가 변경됩니다
방향.

따라서 직선의 경우
움직임, 속도 벡터는
에 가해지는 힘과 같은 면
신체. 그리고 곡선
움직임은 움직임이다
속도 벡터와 힘이 작용할 때,
아래에 위치한 본체에 부착된
서로 약간의 각도.

구심 가속도

센트리필
가속
특별한 경우를 고려하십시오
몸의 곡선 운동
일정한 원을 그리며 움직인다
속도 모듈. 몸이 움직일 때
일정한 속도로 원을 그리면
속도의 방향만 바뀝니다. 에 의해
모듈로, 그것은 일정하게 유지되고,
속도의 방향이 바뀝니다. 그런
속도의 변화는
가속체,
구심성이라고.

몸의 궤적이 다음과 같다면
곡선, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
호를 따라 움직이는 세트
그림과 같이 원.
3.

무화과에. 4 방향이 어떻게 변하는지 보여줍니다
속도 벡터. 이 운동의 속도
호를 따라 원에 접선 방향으로
몸이 움직이는 것. 따라서 그녀의
방향은 끊임없이 변화하고 있다. 조차
모듈로 속도는 일정하게 유지되며,
속도의 변화로 인해 가속이 나타납니다.

이 경우 가속도는
원의 중심을 향합니다. 그렇기 때문에
구심성이라고 합니다.
다음을 사용하여 계산할 수 있습니다.
공식:

각속도. 각속도와 선형속도의 관계

각속도. 연결
코너와 라인
속도
운동의 몇 가지 특징
서클
각속도는 그리스어로 표시됩니다.
문자 오메가(w)는 다음을 나타냅니다.
각도는 단위 시간당 몸체를 회전시킵니다.
이것은 도 단위의 호의 크기입니다.
잠시 몸을 지나갔다.
강체가 회전하면
이 몸체의 모든 점에 대한 각속도
일정한 값이 됩니다. 가까운 지점
회전 중심을 향하거나 더 멀리 위치합니다.
그것은 중요하지 않습니다. 반경에 의존하지 않습니다.

이 경우 측정 단위는
초당 도 또는 라디안
잠깐만. 종종 "라디안"이라는 단어는 쓰지 않지만
그냥 c-1 쓰세요. 예를 들어 찾자
지구의 각속도는 얼마입니까? 지구
24시간 동안 360° 회전하며,
이런 경우에는 이렇게 말할 수 있다.
각속도는 같다.

또한 각도의 관계에 주목하십시오.
속도 및 라인 속도:
V = w. 아르 자형.
움직임에 주목해야 한다.
일정한 속도의 원은 몫
무브먼트 케이스. 그러나 원운동
고르지 않을 수도 있습니다. 속도 캔
방향을 바꾸고 유지하는 것 뿐만 아니라
모듈러스는 동일하지만 자체 방식도 변경됩니다.
즉, 방향을 바꾸는 것과는 별개로,
속도 계수의 변화도 있습니다. 입력
이 경우 우리는 소위 말하는
가속된 원운동.

궤적의 모양에 따라 움직임은 직선과 곡선으로 나눌 수 있습니다. 대부분의 경우 경로가 곡선으로 표시될 때 곡선 이동이 발생합니다. 이러한 유형의 움직임의 예로는 수평선에 비스듬히 던진 몸체의 경로, 태양 주위의 지구의 움직임, 행성 등이 있습니다.

그림 1 . 곡선 운동의 궤적 및 변위

정의 1

곡선 운동궤적이 곡선인 운동이라고 합니다. 몸체가 곡선 경로를 따라 이동하면 변위 벡터 s →는 그림 1과 같이 현을 따라 향하고 l은 경로의 길이입니다. 물체의 순간 속도의 방향은 궤적의 같은 지점에서 접선입니다. 여기서 이 순간그림 2와 같이 움직이는 물체가 위치합니다.

그림 2. 곡선 운동의 순간 속도

정의 2

재료 점의 곡선 운동속도 계수가 일정할 때(원의 운동) 균일(uniform)이라고 하고, 방향과 속도 계수(던지는 물체의 운동)의 변화에 따라 균일하게 가속됩니다.

곡선 운동은 항상 가속됩니다. 이것은 속도 계수가 변하지 않더라도 방향이 바뀌더라도 항상 가속도가 있다는 사실에 의해 설명됩니다.

재료 점의 곡선 운동을 조사하기 위해 두 가지 방법이 사용됩니다.

경로는 그림 3과 같이 직선으로 간주될 수 있는 별도의 섹션으로 나뉩니다.

그림 3. 곡선 운동을 병진 운동으로 분할

이제 각 섹션에 대해 직선 운동의 법칙을 적용할 수 있습니다. 이 원칙이 받아들여집니다.

가장 편리한 솔루션 방법은 그림 4와 같이 원호를 따라 여러 이동의 집합으로 경로를 나타내는 것으로 간주됩니다. 파티션 수는 이전 방법보다 훨씬 적으며 원 주위의 움직임은 이미 곡선입니다.

그림 4. 곡선 운동을 원호를 따라 운동으로 분할

비고 1

곡선의 움직임을 기록하려면 원을 따라 움직이는 것을 기술할 수 있어야 하고, 이 원의 호를 따라 움직이는 세트의 형태로 임의의 움직임을 나타낼 수 있어야 합니다.

곡선 운동 연구에는 이 운동을 설명하고 사용 가능한 초기 조건에서 운동의 모든 특성을 결정할 수 있는 운동 방정식의 편집이 포함됩니다.

실시예 1

그림 4와 같이 곡선을 따라 움직이는 물질 점이 주어집니다. 원 O 1 , O 2 , O 3 의 중심은 한 직선에 있습니다. 움직임을 찾아야 한다
s → 점 A에서 B로 이동하는 동안 경로 l의 길이.

해결책

조건에 따라 원의 중심은 하나의 직선에 속하므로 다음과 같습니다.

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

운동 궤적이 반원의 합이므로 다음과 같습니다.

내가 ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

답변: s → \u003d R 1 + 2 R 2 + R 3, l ~ A B \u003d π R 1 + R 2 + R 3.

실시예 2

시간에 대한 신체의 이동 경로의 의존성은 방정식 s (t) \u003d A + B t + C t 2 + D t 3 (C \u003d 0, 1 m / s 2, D \ u003d 0, 003m/s 3) . 운동 시작 후 얼마 후 몸의 가속도가 2m / s 2가 될 것인지 계산하십시오.

해결책