곱셈에서 괄호를 여는 규칙. 괄호 열기: 규칙 및 예(7학년)
이 단원에서는 괄호가 포함된 표현식을 괄호가 포함되지 않은 표현식으로 변환하는 방법을 배웁니다. 더하기 기호와 빼기 기호가 앞에 오는 대괄호를 여는 방법을 배웁니다. 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 대괄호를 여는 방법을 기억할 것입니다. 고려된 예를 통해 새롭고 이전에 연구된 자료를 단일 전체로 연결할 수 있습니다.
주제: 방정식 풀이
수업: 괄호 확장
"+" 기호가 앞에 오는 대괄호를 여는 방법. 덧셈의 연관 법칙의 사용.
두 숫자의 합을 숫자에 더해야 하는 경우 이 숫자에 첫 번째 항을 추가한 다음 두 번째 항을 추가할 수 있습니다.
등호 왼쪽에는 괄호가 있는 표현식이 있고 오른쪽에는 괄호가 없는 표현식이 있습니다. 즉, 평등의 왼쪽에서 오른쪽으로 전달할 때 브래킷이 열렸습니다.
예를 고려하십시오.
실시예 1 
대괄호를 확장하여 작업 순서를 변경했습니다. 계산이 더욱 편리해졌습니다.
실시예 2 
실시예 3
세 가지 예 모두에서 단순히 괄호를 제거했습니다. 규칙을 공식화합시다.
논평.
괄호 안의 첫 번째 용어가 부호가 없으면 더하기 기호로 작성해야 합니다.
단계별 예제를 따를 수 있습니다. 먼저 445를 889에 더하세요. 이 정신적인 행동은 할 수 있지만 쉽지는 않습니다. 대괄호를 열고 변경된 작업 순서가 계산을 크게 단순화하는지 봅시다.
표시된 작업 순서를 따르는 경우 먼저 512에서 345를 뺀 다음 결과에 1345를 추가해야 합니다.대괄호를 확장하면 작업 순서가 변경되고 계산이 크게 단순화됩니다.
예시와 규칙.
다음과 같은 예를 고려하십시오. 2와 5를 더한 다음 결과 숫자를 반대 부호로 취하여 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 -7을 얻습니다.
반대로 반대의 수를 더해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
규칙을 공식화합시다.
실시예 1 
실시예 2
괄호 안에 2개가 아닌 3개 이상의 용어가 있는 경우 규칙이 변경되지 않습니다.
실시예 3 
논평. 기호는 용어 앞에서만 반전됩니다.
이 경우 대괄호를 열려면 분배 속성을 기억해야 합니다.
먼저 첫 번째 괄호에 2를 곱하고 두 번째 괄호에 3을 곱합니다.
첫 번째 대괄호 앞에 "+" 기호가 옵니다. 이는 기호를 변경하지 않고 그대로 두어야 함을 의미합니다. 두 번째 기호 앞에는 "-" 기호가 있으므로 모든 기호를 반대로 해야 합니다.
서지
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
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- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에. - 계몽, 1989.
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- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. 수학 5-6. MEPhI 통신학교 6학년 학생들을 위한 매뉴얼입니다. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. 수학: 5-6학년을 위한 대담 교과서 고등학교. 수학 선생님의 도서관. - 계몽, 1989.
- 온라인 수학 시험().
- 1.2절에 명시된 것을 다운로드할 수 있습니다. 서적().
숙제
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (링크 1.2 참조)
- 숙제: 1254번, 1255번, 1256번 (b,d)
- 기타 과제: No. 1258(c), No. 1248
"함수 그래프 7급" -). 1. 점으로 함수의 그래프를 구성하십시오. 2. (. 함수의 개념으로 이어지는 예제. 곱하기 단항식: 함수의 함수 그래프. 7등급. 단항식으로 표현 제시 표준 보기: 함수의 그래프. 종속 변수. 독립 변수.
"대수학의 다항식" - 유사한 용어의 축소라고 하는 것은 무엇입니까? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax - 6ax + 9a2x. 질문에 답하십시오: 17a4 + 8a5 + 3a - a3. 7학년 대수학 수업. 구두 작업. 1. 표준 형식으로 작성된 다항식을 선택합니다: 12а2b - 18ab2 - 30ab3. 수학 교사, MOU "중등 학교 2 호" Tokareva Yu.I. 다항식을 표준 형식으로 만드는 방법을 설명합니다.
"7급 다항식" - 1. 6. 다항식에 다항식을 곱한 결과 다항식이 얻어진다. 9. 표준 형식으로 작성된 단항식의 리터럴 승수를 단항식의 계수라고 합니다. 4. 다항식에 단항식을 곱하면 단항식이 얻어진다. 5. 5. 여러 단항식의 대수합을 다항식이라고 합니다. - + + - + + - + +. 3. 구두 작업. 2.
"대수 분수의 축소"- 3. 분수의 주요 속성은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. , 여기서 b? 0, m? 0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). 7 학년 대수 수업 "대수 분수. 1. 형식의 표현을 대수 분수라고합니다. "세계로의 여행 대수 분수". 대수 분수의 세계로 여행. 2. 대수 분수에서 분자와 분모는 대수식. "대수 분수의 세계로의 여행." 분수의 감소 "Stepninskaya 중등 학교 Zhusupova A.B.의 교사 큰 사람들을 위한 성취는 결코 쉬운 일이 아닙니다!
"여는 대괄호" - 여는 대괄호. 씨. 수학. ㅏ. 7 학년. 비. S = b + a c.
"평면 좌표" - 직사각형 격자는 르네상스 예술가들도 사용했습니다. 목차 간략한 주석 II. 체스를 할 때 좌표 방법도 사용됩니다. 결론 V. 문헌 VI. y축은 y좌표입니다. 데카르트의 목표는 자연을 다음과 같이 설명하는 것이었다. 수학 법칙. 좌표 그리드의 도움으로 조종사와 선원은 물체의 위치를 결정합니다. 직사각형 좌표계. 간략한 주석. 작업의 응용 프로그램 컬렉션입니다. 경기장은 문자와 숫자의 두 좌표로 결정되었습니다. 소개 주제의 관련성.
대괄호의 주요 기능은 값을 계산할 때 동작 순서를 변경하는 것입니다. 예를 들어, 숫자 표현식 \(5 3+7\)에서 곱셈이 먼저 계산된 다음 추가가 계산됩니다. \(5 3+7 =15+7=22\). 그러나 \(5·(3+7)\) 식에서 괄호 안의 덧셈이 먼저 계산되고 곱셈이 다음에 계산됩니다. \(5·(3+7)=5·10=50\).
예시.
대괄호를 확장합니다: \(-(4m+3)\).
결정
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
예시.
대괄호를 확장하고 \(5-(3x+2)+(2+3x)\) 같은 용어를 제공합니다.
결정
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
예시.
대괄호 \(5(3-x)\)를 확장합니다.
결정
: 괄호 안에 \(3\) 및 \(-x\)가 있고 괄호 앞에 5가 있습니다. 이것은 대괄호의 각 요소에 \ (5 \)를 곱한다는 것을 의미합니다. 수학에서 숫자와 대괄호 사이의 곱셈 기호는 레코드 크기를 줄이기 위해 쓰지 않습니다..
예시.
대괄호 \(-2(-3x+5)\)를 확장합니다.
결정
: 앞의 예와 같이 괄호로 묶인 \(-3x\) 및 \(5\)에 \(-2\)를 곱합니다.
예시.
식을 단순화하십시오: \(5(x+y)-2(x-y)\).
결정
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
마지막 상황을 고려해야합니다.
괄호에 괄호를 곱할 때 첫 번째 괄호의 각 항에 두 번째 괄호의 모든 항을 곱합니다.
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
예시.
대괄호 \((2-x)(3x-1)\)를 확장합니다.
결정
: 브라켓 제품을 보유하고 있으며 위의 공식으로 바로 개봉이 가능합니다. 그러나 혼동하지 않기 위해 모든 것을 차근차근 합시다.
1단계. 첫 번째 대괄호를 제거합니다. 각 구성원에 두 번째 대괄호를 곱합니다.
2단계. 위에서 설명한 대로 브래킷의 제품을 요소로 확장합니다.
- 먼저 먼저...
그런 다음 두 번째.
3단계. 이제 다음과 같은 항을 곱하고 가져옵니다.
모든 변형을 자세히 칠할 필요는 없으며 즉시 곱할 수 있습니다. 그러나 대괄호 여는 법을 배우는 경우 - 자세히 작성하면 실수할 가능성이 줄어듭니다.
전체 섹션을 참고하세요.사실, 네 가지 규칙을 모두 기억할 필요는 없습니다. 하나만 기억하면 됩니다. \(c(a-b)=ca-cb\) 입니다. 왜요? c 대신 1로 대체하면 \((a-b)=a-b\) 규칙을 얻습니다. 마이너스 1을 대입하면 \(-(a-b)=-a+b\) 규칙을 얻습니다. 글쎄, c 대신 다른 대괄호로 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.
괄호 안의 괄호
때때로 실제로 다른 괄호 안에 중첩된 괄호에 문제가 있습니다. 다음은 이러한 작업의 예입니다. 식 \(7x+2(5-(3x+y))\)를 단순화합니다.
이러한 작업을 성공적으로 수행하려면 다음이 필요합니다.
- 괄호의 중첩을 주의 깊게 이해하십시오.
- 예를 들어 가장 안쪽부터 시작하여 브래킷을 순차적으로 엽니다.
브래킷 중 하나를 열 때 중요합니다. 나머지 표현은 건드리지 마세요, 그대로 다시 쓰면 됩니다.
위의 작업을 예로 들어보겠습니다.
예시.
괄호를 열고 \(7x+2(5-(3x+y))\)와 같은 용어를 제공하십시오.
결정:
예시.
대괄호를 확장하고 \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\)와 같은 용어를 제공하십시오.
결정
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
이것은 괄호의 삼중 중첩입니다. 가장 안쪽(녹색으로 강조 표시됨)부터 시작합니다. 괄호 앞에 플러스가 있으므로 간단히 제거합니다. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
이제 두 번째 브래킷(중간)을 열어야 합니다. 그러나 그 전에 이 두 번째 괄호에 유사한 용어를 고스트하여 표현을 단순화합니다. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
이제 두 번째 브래킷(파란색으로 강조 표시됨)을 엽니다. 괄호 앞에 승수가 있으므로 괄호 안의 각 항에 곱합니다. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
그리고 마지막 괄호를 엽니다. 대괄호 빼기 전에 모든 기호가 반전됩니다. |
||
대괄호 열기는 수학의 기본 기술입니다. 이 스킬이 없으면 8, 9등급에서 3등급 이상을 가질 수 없다. 따라서 이 주제를 잘 이해하는 것이 좋습니다.
A + (b + c)는 대괄호 없이 쓸 수 있습니다. a + (b + c) \u003d a + b + c. 이 연산을 괄호 확장이라고 합니다.
실시예 1 a + (- b + c) 식의 괄호를 열어봅시다.
결정. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
대괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 대괄호와 이 "+" 기호를 생략할 수 있으며 대괄호 안에 있는 용어의 기호는 그대로 유지합니다. 괄호 안의 첫 번째 용어가 기호 없이 작성되면 "+" 기호로 작성해야 합니다.
실시예 2표현식 -2.87+(2.87-7.639)의 값을 찾아봅시다.
결정.대괄호를 열면 - 2.87 + (2.87 - 7.639) \u003d - - 2.87 + 2.87 - 7.639 \u003d 0 - 7.639 \u003d - 7.639가 됩니다.
표현식 - (- 9 + 5)의 값을 찾으려면 다음을 추가해야 합니다. 숫자-9와 5를 입력하고 받은 금액과 반대되는 숫자를 찾습니다. -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
동일한 값을 다른 방식으로 얻을 수 있습니다. 먼저 이 용어와 반대되는 숫자를 기록한 다음(즉, 부호 변경) 다음을 추가합니다. 9 + (- 5) = 4. 따라서 - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
여러 항의 합과 반대로 합을 쓰려면 이 항의 부호를 바꿔야 합니다.
그래서 - (a + b) \u003d - a - b.
실시예 3표현식 16 - (10 -18 + 12)의 값을 찾으십시오.
결정. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
"-" 기호가 앞에 오는 대괄호를 열려면 이 기호를 "+"로 바꾸고 대괄호에 있는 모든 용어의 기호를 반대 기호로 변경한 다음 대괄호를 열어야 합니다.
실시예 4표현식 9.36-(9.36 - 5.48)의 값을 찾아봅시다.
결정. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) == 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5.48.
대괄호 개방 및 교환 및 연관 속성의 사용 추가계산을 더 쉽게 만듭니다.
실시예 5(-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 식의 값을 찾습니다.
결정.먼저 대괄호를 연 다음 모든 양수 합계와 모든 음수 합계를 별도로 찾고 마지막으로 결과를 추가합니다.
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
실시예 6표현식의 값 찾기
결정.먼저 각 항을 정수와 소수 부분의 합으로 표시한 다음 대괄호를 연 다음 전체를 별도로 추가합니다. 분수마지막으로 결과를 요약합니다.
"+" 기호가 앞에 오는 괄호는 어떻게 여나요? 여러 숫자의 합과 반대되는 표현식의 값을 어떻게 찾을 수 있습니까? "-" 기호가 앞에 오는 대괄호를 여는 방법은 무엇입니까?
1218. 괄호 확장:
a) 3.4+(2.6+ 8.3); c) m+(n-k);
b) 4.57+(2.6 - 4.57); d) c+(-a + b).
1219. 표현식의 값을 찾으십시오.
1220. 괄호 확장:
a) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4.7 -17) + 7.5; e) -a + (m-2.6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. 대괄호를 확장하고 표현식의 값을 찾으십시오.
1222. 식을 단순화하십시오.
1223. 쓰기 양두 표현식을 단순화합니다.
a) - 4 - m 및 m + 6.4; d) a + b 및 p - b
b) 1.1+a 및 -26-a; e) - m + n 및 -k - n;
c) a + 13 및 -13 + b; e)m - n 및 n - m.
1224. 두 식의 차이를 쓰고 단순화하십시오.
1226. 방정식을 사용하여 문제를 풉니다.
a) 한쪽 선반에는 42권의 책이 있고 다른 쪽 선반에는 34권이 있는데, 두 번째 책장에서 여러 권의 책이 제거되고 첫 번째 책장에서 두 번째 책장에 남은 책만큼 남았습니다. 그 후 첫 번째 선반에는 12권의 책이 남았습니다. 두 번째 선반에서 몇 권의 책을 꺼냈습니까?
b) 1학년에 42명의 학생이 있고, 3학년보다 2학년에 3명이 적습니다. 3학년 학생이 125명이라면 3학년 학생은 몇 명입니까?
1227. 표현식의 값을 찾으십시오.
1228. 구두로 계산:
1229. 찾기 가장 높은 가치표현:
1230. 다음과 같은 경우 4개의 연속 정수를 입력하십시오.
a) 그들 중 더 작은 것은 -12와 같다. c) 그들 중 더 작은 것은 n과 같다.
b) 그 중 큰 값은 -18과 같습니다. d) 그들 중 더 큰 것은 k와 같다.
대수학에서 고려되는 다양한 표현들 중에서 단항식의 합이 중요한 위치를 차지한다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 구성원이라고 합니다. 단항식은 단항식을 한 구성원으로 구성된 다항식으로 간주하여 다항식이라고도 합니다.
예를 들어, 다항식
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
단순화할 수 있습니다.
우리는 모든 항을 표준 형식의 단항식으로 나타냅니다.
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
결과 다항식에서 유사한 항을 제공합니다.
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
결과는 다항식이며, 모든 구성원은 표준 형식의 단항식이며 그 중 유사한 것은 없습니다. 이러한 다항식을 표준 형식의 다항식.
뒤에 다항식 차수표준 형식은 구성원의 권한을 가장 많이 사용합니다. 따라서 이항 \(12a^2b - 7b \)는 3차이고, 삼항 \(2b^2 -7b + 6 \)는 2차입니다.
일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준 형식 다항식의 구성원은 지수의 내림차순으로 정렬됩니다. 예를 들어:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
여러 다항식의 합은 표준 형식 다항식으로 변환(단순화)될 수 있습니다.
때때로 다항식의 구성원은 그룹으로 나누어 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 괄호는 괄호의 반대이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 여는 규칙:
+ 기호가 대괄호 앞에 있으면 대괄호로 묶인 용어는 동일한 기호로 작성됩니다.
"-" 기호가 대괄호 앞에 있으면 대괄호로 묶인 용어는 반대 기호로 작성됩니다.
단항식과 다항식의 곱의 변환(단순화)
곱셈의 분배 속성을 사용하여 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(단순화)할 수 있습니다. 예를 들어:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.
이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.
단항식에 다항식을 곱하려면 이 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.
우리는 합을 곱하기 위해 이 규칙을 반복적으로 사용했습니다.
다항식의 곱입니다. 두 다항식 곱의 변환(단순화)
일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 항과 다른 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일하게 동일합니다.
일반적으로 다음 규칙을 사용합니다.
다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 항의 각 항을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.
약식 곱셈 공식. 합, 차, 차 제곱
대수 변환의 일부 표현식은 다른 표현식보다 더 자주 다루어야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현은 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 및 \(a^2 - b^2 \), 즉 합계의 제곱, 차이의 제곱, 차이의 제곱. 표시된 표현식의 이름이 불완전한 것처럼 보이므로 예를 들어 \((a + b)^2 \)는 물론 합계의 제곱이 아니라 합계의 제곱입니다. 그리고 나. 그러나 합과 b의 제곱은 그렇게 일반적이지 않으며 일반적으로 문자와 b 대신 다양하고 때로는 매우 복잡한 표현을 포함합니다.
표현식 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \)는 표준 형식의 다항식으로 변환(단순화)하기 쉽습니다. 사실, 다항식을 곱할 때 이미 그러한 작업을 만났습니다. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + 바 + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
결과 ID는 중간 계산 없이 기억하고 적용하는 데 유용합니다. 짧은 구두 공식이 이것을 돕습니다.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 합계의 제곱은 제곱과 이중 곱의 합과 같습니다.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 차의 제곱은 곱을 두 배로 하지 않은 제곱의 합입니다.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 제곱의 차이는 차이와 합계의 곱과 같습니다.
이 세 가지 ID를 사용하면 변환에서 왼쪽 부분을 오른쪽 부분으로 바꾸거나 그 반대로 오른쪽 부분을 왼쪽 부분으로 바꿀 수 있습니다. 이 경우 가장 어려운 점은 해당 표현식을 보고 그 안에 있는 변수와 b가 무엇으로 대체되는지 이해하는 것입니다. 약식 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
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