평균 수직의 정의. 삼각형의 네 가지 멋진 점

중간 수직 (중앙 수직또는 중재자)는 주어진 선분에 수직이고 그 중점을 지나는 직선입니다.

속성

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

여기서 아래 첨자는 수직선이 그려진 측면을 나타내며,

에스

는 삼각형의 넓이이며, 또한 변이 부등식으로 관련되어 있다고 가정합니다

a \geqslant b \geqslant c.

p_a\geq p_b

그리고

p_c\geq p_b.

즉, 삼각형의 경우 가장 작은 수직 이등분선은 중간 세그먼트를 나타냅니다.

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메모

수직 이등분선을 특징으로 하는 발췌

쿠투조프는 그만 씹다가 무슨 말인지 이해가 안 된다는 듯 놀란 눈으로 볼조겐을 쳐다보았다. Wolzogen은 des alten Herrn, [노신사(독일)]의 흥분을 눈치채고 미소를 지으며 말했습니다.
- 나는 내가 본 것을 당신의 영주에게서 숨길 자격이 없다고 생각했습니다 ... 군대가 완전히 무질서했습니다 ...
- 본 적 있어? 봤어? .. - Kutuzov는 인상을 찌푸리며 소리를 지르며 빠르게 일어나 Wolzogen을 향해 전진했습니다. "감히... 감히...!" 악수와 질식으로 위협적인 몸짓을 하며 소리쳤다. - 어떻게 감히 내 사랑하는 각하, 나에게 이런 말을 합니까? 당신은 아무것도 모릅니다. Barclay 장군에게 그의 정보는 올바르지 않으며 실제 전투 과정은 그보다 사령관인 나에게 더 잘 알려져 있다고 말해 주십시오.
Wolzogen은 무언가를 반대하고 싶었지만 Kutuzov가 그를 방해했습니다.
- 적은 왼쪽에서 격퇴하고 오른쪽에서 패배합니다. 당신이 잘 보지 못했다면, 친애하는 각하, 당신이 모르는 것을 말하지 마십시오. Barclay 장군에게 가서 내일 적을 공격하겠다는 나의 불가결한 의도를 그에게 전해주십시오.”라고 Kutuzov는 단호하게 말했습니다. 모두 침묵했고, 숨이 막히는 노장군의 거친 숨소리가 들렸다. - 나는 신과 우리의 용감한 군대에 감사드립니다. 적이 패배했고 내일 우리는 그를 신성한 러시아 땅에서 몰아낼 것입니다. - Kutuzov가 말했습니다. 그리고 갑자기 눈물을 보였다. Wolzogen은 어깨를 으쓱하고 입술을 비틀면서 uber diese Eingenommenheit des alten Herrn에 대해 궁금해하면서 조용히 옆으로 물러났습니다. [이 늙은 신사의 폭정에 대해. (독일 사람)]
"예, 여기 있습니다, 나의 영웅" Kutuzov는 당시 마운드에 들어가고 있던 통통하고 잘 생긴 흑발의 장군에게 말했습니다. 보로디노 들판의 본점에서 하루 종일 보낸 사람은 라예프스키였다.
Raevsky는 군대가 그들의 위치에 확고하게 있었고 프랑스군은 더 이상 감히 공격할 수 없다고 보고했습니다. 그의 말을 들은 후 Kutuzov는 프랑스어로 말했습니다.
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous 퇴직자? [그럼 다른 사람들처럼 후퇴해야 한다고 생각하지 않습니까?]

지침

원의 교차점을 통해 선을 그립니다. 주어진 선분에 수직 이등분선을 받았습니다.

이제 점과 선이 주어집니다. 이 지점에서 까지 수직으로 그려야 합니다. 바늘을 그 지점에 놓습니다. 반지름의 원을 그립니다(반경은 원이 두 점에서 선과 교차할 수 있도록 점에서 선까지여야 함). 이제 선에 두 개의 점이 있습니다. 이 점들은 선을 만듭니다. 위에서 논의한 알고리즘에 따라 세그먼트에 수직 이등분선을 구성하고 끝은 얻은 점입니다. 수직선은 시작점을 통과해야 합니다.

직선을 만드는 것은 기술 도면의 기초입니다. 이제 이것은 디자이너에게 큰 기회를 제공하는 그래픽 편집기의 도움으로 점점 더 많이 수행됩니다. 그러나 연필과 자를 사용하는 일부 구성 원칙은 고전 그림과 동일하게 유지됩니다.

필요할 것이예요

- 종이;
- 연필;
- 자;
- AutoCAD 소프트웨어가 설치된 컴퓨터.

지침

클래식 빌드로 시작하십시오. 선을 그릴 평면을 결정합니다. 이것을 종이 한 장의 평면이라고 하자. 문제의 조건에 따라 정렬합니다. 임의적일 수 있지만 좌표계가 제공될 수 있습니다. 임의의 포인트는 당신이 가장 좋아하는 곳에 두었습니다. A와 B에 레이블을 지정합니다. 자를 사용하여 연결합니다. 공리에 따르면 두 점을 지나는 직선은 항상 하나만 그릴 수 있습니다.

좌표계를 그립니다. 점 A(x1; y1)가 주어집니다. 이를 위해서는 x축을 따라 필요한 수를 따로 두고 표시된 점을 통해 y축과 평행한 직선을 그어야 합니다. 그런 다음 해당 축을 따라 y1과 같은 값을 플로팅합니다. 표시된 점에서 교차할 때까지 수직선을 그립니다. 그들의 교차점은 점 A가 될 것입니다. 같은 방식으로 좌표가 (x2; y2)로 표시 될 수있는 점 B를 찾으십시오. 두 점을 연결합니다.

AutoCAD에서는 여러 개로 직선을 작성할 수 있습니다. "by" 기능은 일반적으로 기본적으로 설정됩니다. 상단 메뉴에서 "홈" 탭을 찾습니다. 그리기 패널이 앞에 표시됩니다. 직선이 있는 버튼을 찾아 클릭합니다.

AutoCAD에서는 둘 다의 좌표를 설정할 수도 있습니다. 하단에 다이얼 명령줄(_xline). 엔터 키를 치시오. 첫 번째 점의 좌표를 입력하고 Enter 키도 누릅니다. 같은 방법으로 두 번째 점을 정의합니다. 커서를 위치에 놓고 마우스 클릭으로 지정할 수도 있습니다. 원하는 포인트화면.

AutoCAD에서는 두 점뿐만 아니라 경사각에 의해서도 직선을 그릴 수 있습니다. 그리기 상황에 맞는 메뉴에서 직선을 선택한 다음 각도 옵션을 선택합니다. 시작점은 앞의 방법과 같이 마우스 클릭이나 로 설정할 수 있습니다. 그런 다음 모서리 크기를 설정하고 Enter 키를 누릅니다. 기본적으로 선은 수평에 대해 원하는 각도로 배치됩니다.

삼각형의 중선의 교점

정리 1

삼각형의 중선의 교차점에서: 삼각형의 중선은 한 점에서 교차하고 정점에서 시작하여 $2:1$의 비율로 교차점을 나눕니다.

증거.

$(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$가 중앙값인 삼각형 $ABC$를 고려하십시오. 중앙값은 측면을 반으로 나눕니다. 중간 선 $A_1B_1$를 고려하십시오(그림 1).

그림 1. 삼각형의 중앙값

정리 1에 따르면 $AB||A_1B_1$ 및 $AB=2A_1B_1$, 따라서 $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$입니다. 따라서 삼각형 $ABM$ 및 $A_1B_1M$는 첫 번째에서 유사합니다. 유사성삼각형. 그 다음에

마찬가지로 다음과 같이 증명됩니다.

정리가 증명되었습니다.

삼각형의 이등분선의 교차점

정리 2

삼각형의 이등분선의 교차점에서: 삼각형의 이등분선은 한 점에서 교차합니다.

증거.

$AM,\ BP,\ CK$가 이등분선인 삼각형 $ABC$를 고려하십시오. 점 $O$를 이등분선 $AM\과\BP$의 교점이라고 하자. 이 점에서 삼각형의 변에 수직으로 그립니다(그림 2).

그림 2. 삼각형의 이등분선

정리 3

확장되지 않은 각의 이등분선의 각 점은 측면에서 등거리입니다.

정리 3에 따르면 $OX=OZ,\OX=OY$입니다. 따라서 $OY=OZ$입니다. 따라서 점 $O$는 각 $ACB$의 변에서 등거리에 있으므로 이등분선 $CK$에 있습니다.

정리가 증명되었습니다.

삼각형의 수직 이등분선의 교차점

정리 4

삼각형의 변의 수직 이등분선은 한 점에서 교차합니다.

증거.

삼각형 $ABC$가 주어지고 $n,\m,\p$가 그것의 수직 이등분선이라고 하자. 점 $O$를 수직 이등분선 $n\ 및\m$의 교점이라고 합니다(그림 3).

그림 3. 삼각형의 수직 이등분선

증명을 위해서는 다음 정리가 필요합니다.

정리 5

선분에 대한 수직 이등분선의 각 점은 주어진 선분의 끝에서 등거리에 있습니다.

정리 3에 따르면 $OB=OC,\OB=OA$가 있습니다. 따라서 $OA=OC$입니다. 이것은 점 $O$가 세그먼트 $AC$의 끝에서 등거리에 있고 따라서 수직 이등분선 $p$에 있음을 의미합니다.

정리가 증명되었습니다.

삼각형 고도의 교차점

정리 6

삼각형의 높이 또는 그 확장은 한 점에서 교차합니다.

증거.

$(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$가 높이인 삼각형 $ABC$를 고려하십시오. 꼭짓점 반대편에 평행한 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 선을 그립니다. 새로운 삼각형 $A_2B_2C_2$를 얻습니다(그림 4).

그림 4. 삼각형의 높이

$AC_2BC$와 $B_2ABC$는 한 변이 같은 평행사변형이므로 $AC_2=AB_2$, 즉 $A$는 변 $C_2B_2$의 중점입니다. 마찬가지로 $B$ 점은 $C_2A_2$ 변의 중점이고 $C$ 점은 $A_2B_2$ 변의 중점입니다. 구성에서 $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$가 있습니다. 따라서 $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$는 삼각형 $A_2B_2C_2$의 수직 이등분선입니다. 그런 다음 정리 4에 의해 높이 $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$이 한 점에서 교차합니다.