Soluzione di compiti tipici. L'ambito delle funzioni nelle attività d'esame Come cercare un insieme di valori di funzione

La funzione è il modello. Definiamo X come un insieme di valori di una variabile indipendente // indipendente significa qualsiasi.

Una funzione è una regola per cui, per ogni valore della variabile indipendente dall'insieme X, si può trovare l'unico valore della variabile dipendente. // cioè. per ogni x c'è una y.

Dalla definizione consegue che ci sono due concetti: una variabile indipendente (che indichiamo con x e può assumere qualsiasi valore) e una variabile dipendente (che indichiamo con y o f (x) e viene calcolata dalla funzione quando sostituiamo x).

PER ESEMPIO y=5+x

1. Indipendente è x, quindi prendiamo qualsiasi valore, sia x = 3

2. e ora calcoliamo y, quindi y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y dipende da x, perché ciò che x sostituiamo, otteniamo tale y)

Diciamo che la variabile y è funzionalmente dipendente dalla variabile x e questa è indicata come segue: y = f (x).

PER ESEMPIO.

1.y=1/x. (chiamata iperbole)

2. y=x^2. (chiamata parabola)

3.y=3x+7. (chiamata linea retta)

4. y \u003d √ x. (detto ramo della parabola)

La variabile indipendente (che indichiamo con x) è chiamata argomento della funzione.

Ambito della funzione

L'insieme di tutti i valori che assume un argomento di funzione è chiamato dominio della funzione ed è indicato con D(f) o D(y).

Considera D(y) per 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) e (0;+∞) //l'intero insieme dei numeri reali tranne lo zero.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / tutti i molti numeri reali

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / tutti i molti numeri reali

4. D (y) \u003d. Trova il valore più grande e più piccolo della funzione su questo segmento.

La derivata è positiva per tutti X dall'intervallo (-1; 1) , cioè la funzione arcseno aumenta sull'intero dominio di definizione. Pertanto, prende il valore più piccolo a x=-1, e il più grande a x=1.

Abbiamo l'intervallo della funzione arcoseno .

Trova l'insieme dei valori delle funzioni sul segmento .

Soluzione.

Trova il valore più grande e più piccolo della funzione sul segmento dato.

Determiniamo i punti estremi appartenenti al segmento :

Molte attività ci portano a cercare un insieme di valori di funzione su un determinato segmento o sull'intero dominio di definizione. Tali compiti includono varie valutazioni delle espressioni, la soluzione delle disuguaglianze.

In questo articolo definiremo l'intervallo di una funzione, considereremo i metodi per trovarla e analizzeremo in dettaglio la soluzione di esempi da semplici a più complessi. Tutto il materiale verrà fornito con illustrazioni grafiche per chiarezza. Quindi questo articolo è una risposta dettagliata alla domanda su come trovare l'intervallo di una funzione.

Definizione.

L'insieme dei valori della funzione y = f(x) sull'intervallo X chiamato l'insieme di tutti i valori della funzione che prende durante l'iterazione su tutto.

Definizione.

L'intervallo della funzione y = f(x)è chiamato l'insieme di tutti i valori della funzione che assume durante l'iterazione su tutto x dal dominio di definizione.

L'intervallo della funzione è indicato come E(f) .

L'intervallo di una funzione e l'insieme di valori di una funzione non sono la stessa cosa. Questi concetti saranno considerati equivalenti se l'intervallo X nel trovare l'insieme dei valori della funzione y = f(x) coincide con il dominio della funzione.

Inoltre, non confondere l'intervallo della funzione con la variabile x per l'espressione sul lato destro dell'equazione y=f(x) . L'area dei valori consentiti della variabile x per l'espressione f(x) è l'area della definizione della funzione y=f(x) .

La figura mostra alcuni esempi.

I grafici delle funzioni sono mostrati con linee blu in grassetto, le linee rosse sottili sono asintoti, i punti rossi e le linee sull'asse Oy mostrano l'intervallo della funzione corrispondente.

Come puoi vedere, l'intervallo della funzione si ottiene proiettando il grafico della funzione sull'asse y. Può essere un numero singolo (primo caso), un insieme di numeri (secondo caso), un segmento (terzo caso), un intervallo (quarto caso), un raggio aperto (quinto caso), un'unione (sesto caso), ecc. .

Quindi cosa devi fare per trovare l'intervallo della funzione.

Iniziamo con il caso più semplice: mostreremo come determinare l'insieme dei valori di una funzione continua y = f(x) sull'intervallo.

È noto che una funzione continua su un segmento raggiunge i suoi valori massimo e minimo su di esso. Pertanto, l'insieme di valori della funzione originale sul segmento sarà il segmento . Pertanto, il nostro compito si riduce a trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione sull'intervallo.

Ad esempio, troviamo l'intervallo della funzione arcoseno.

Esempio.

Specificare l'intervallo della funzione y = arcsinx .

Soluzione.

Il dominio di definizione dell'arcoseno è il segmento [-1; uno] . Trova il valore più grande e più piccolo della funzione su questo segmento.

La derivata è positiva per ogni x dell'intervallo (-1; 1) , cioè la funzione arcseno aumenta sull'intero dominio di definizione. Pertanto, assume il valore più piccolo in x = -1 e il più grande in x = 1.

Abbiamo l'intervallo della funzione arcoseno .

Esempio.

Trova l'insieme dei valori delle funzioni sul segmento.

Soluzione.

Trova il valore più grande e più piccolo della funzione sul segmento dato.

Definiamo i punti estremi appartenenti al segmento:

Calcoliamo i valori della funzione originale alle estremità del segmento e nei punti :

Pertanto, l'insieme dei valori della funzione sul segmento è il segmento .

Ora mostreremo come trovare l'insieme di valori di una funzione continua y = f(x) negli intervalli (a; b) , .

In primo luogo, determiniamo i punti estremi, gli estremi della funzione, gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione su un dato intervallo. Successivamente, calcoliamo alle estremità dell'intervallo e (o) i limiti all'infinito (ovvero, studiamo il comportamento della funzione ai confini dell'intervallo o all'infinito). Questa informazione è sufficiente per trovare l'insieme dei valori della funzione su tali intervalli.

Esempio.

Determina l'insieme dei valori della funzione sull'intervallo (-2; 2) .

Soluzione.

Troviamo i punti estremi della funzione che cadono sull'intervallo (-2; 2) :

Punto x = 0 è il punto massimo, poiché la derivata cambia segno da più a meno quando la attraversa e il grafico della funzione va da crescente a decrescente.

è il massimo corrispondente della funzione.

Scopriamo il comportamento della funzione quando x tende a -2 a destra e quando x tende a 2 a sinistra, cioè troviamo limiti unilaterali:

Cosa abbiamo ottenuto: quando l'argomento cambia da -2 a zero, i valori della funzione aumentano da meno infinito a meno un quarto (il massimo della funzione in x = 0 ), quando l'argomento cambia da zero a 2, la funzione i valori diminuiscono a meno infinito. Pertanto, l'insieme dei valori della funzione sull'intervallo (-2; 2) è .

Esempio.

Specificare l'insieme dei valori della funzione tangente y=tgx sull'intervallo.

Soluzione.

La derivata della funzione tangente sull'intervallo è positiva , che indica un aumento della funzione. Studiamo il comportamento della funzione sui limiti dell'intervallo:

Pertanto, quando l'argomento cambia da a, i valori della funzione aumentano da meno infinito a più infinito, ovvero l'insieme dei valori tangenti in questo intervallo è l'insieme di tutti i numeri reali.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione del logaritmo naturale y = lnx .

Soluzione.

La funzione del logaritmo naturale è definita per valori positivi dell'argomento . Su questo intervallo la derivata è positiva , questo indica un aumento della funzione su di esso. Troviamo il limite unilaterale della funzione poiché l'argomento tende a zero da destra e il limite come x tende a più infinito:

Vediamo che quando x cambia da zero a più infinito, i valori della funzione aumentano da meno infinito a più infinito. Pertanto, l'intervallo della funzione del logaritmo naturale è l'intero insieme di numeri reali.

Esempio.

Soluzione.

Questa funzione è definita per tutti i valori x reali. Determiniamo i punti estremi, nonché gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

Pertanto, la funzione diminuisce a , aumenta a , x = 0 è il punto massimo, il massimo corrispondente della funzione.

Diamo un'occhiata al comportamento della funzione all'infinito:

Pertanto, all'infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente allo zero.

Abbiamo scoperto che quando l'argomento cambia da meno infinito a zero (punto massimo), i valori della funzione aumentano da zero a nove (fino al massimo della funzione) e quando x cambia da zero a più infinito, i valori della funzione decremento da nove a zero.

Guarda il disegno schematico.

Ora si vede chiaramente che l'intervallo della funzione è .

Trovare l'insieme dei valori della funzione y = f(x) sugli intervalli richiede studi simili. Non ci soffermeremo ora su questi casi in dettaglio. Li vedremo negli esempi seguenti.

Sia il dominio della funzione y = f(x) l'unione di più intervalli. Quando si trova l'intervallo di tale funzione, vengono determinati gli insiemi di valori su ciascun intervallo e viene presa la loro unione.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione.

Soluzione.

Il denominatore della nostra funzione non dovrebbe andare a zero, cioè .

Per prima cosa troviamo l'insieme dei valori della funzione sul raggio aperto.

Derivata di funzione è negativo su questo intervallo, cioè la funzione diminuisce su di esso.

Abbiamo scoperto che poiché l'argomento tende a meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente all'unità. Quando x cambia da meno infinito a due, i valori della funzione diminuiscono da uno a meno infinito, ovvero sull'intervallo considerato la funzione assume un insieme di valori. Non includiamo l'unità, poiché i valori della funzione non la raggiungono, ma tendono ad essa solo asintoticamente a meno infinito.

Agiamo in modo simile per una trave aperta.

La funzione diminuisce anche in questo intervallo.

L'insieme dei valori di funzione su questo intervallo è il set .

Pertanto, l'intervallo di valori della funzione desiderato è l'unione degli insiemi e .

Illustrazione grafica.

Separatamente, dovremmo soffermarci sulle funzioni periodiche. L'intervallo delle funzioni periodiche coincide con l'insieme dei valori sull'intervallo corrispondente al periodo di questa funzione.

Esempio.

Trova l'intervallo della funzione seno y = sinx .

Soluzione.

Questa funzione è periodica con un periodo di due pi. Prendiamo un segmento e definiamo l'insieme di valori su di esso.

Il segmento contiene due punti estremi e .

Calcoliamo i valori della funzione in questi punti e sui confini del segmento scegliamo i valori più piccoli e più grandi:

Di conseguenza, .

Esempio.

Trova l'intervallo di una funzione .

Soluzione.

Sappiamo che l'intervallo dell'arcoseno è il segmento da zero a pi, cioè o in un altro post. Funzione può essere ottenuto da arccosx spostando e allungando lungo l'asse x. Tali trasformazioni non influiscono sull'intervallo, pertanto, . Funzione viene da allungandosi tre volte lungo l'asse Oy, cioè . E l'ultima fase delle trasformazioni è uno spostamento di quattro unità verso il basso lungo l'asse y. Questo ci porta a una doppia disuguaglianza

Pertanto, l'intervallo di valori desiderato è .

Diamo una soluzione ad un altro esempio, ma senza spiegazioni (non sono obbligatorie, dato che sono del tutto simili).

Esempio.

Definisci intervallo di funzioni .

Soluzione.

Scriviamo la funzione originale nella forma . L'intervallo della funzione esponenziale è l'intervallo. Questo è, . Quindi

Di conseguenza, .

Per completare il quadro, dovremmo parlare di trovare l'intervallo di una funzione che non è continua nel dominio di definizione. In questo caso, il dominio di definizione è diviso per punti di interruzione in intervalli e su ciascuno di essi troviamo gli insiemi di valori. Combinando gli insiemi di valori ottenuti, otteniamo l'intervallo di valori della funzione originale. Consigliamo di ricordare 3 a sinistra, i valori della funzione tendono a meno uno, e quando x tende a 3 a destra, i valori della funzione tendono a più infinito.

Pertanto, il dominio di definizione della funzione è suddiviso in tre intervalli.

Sull'intervallo abbiamo la funzione . Da allora

Pertanto, l'insieme di valori della funzione originale sull'intervallo è [-6;2] .

Sul semiintervallo abbiamo una funzione costante y = -1 . Cioè, l'insieme dei valori della funzione originale sull'intervallo è costituito da un unico elemento.

La funzione è definita per tutti i valori validi dell'argomento. Scopri gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione.

La derivata svanisce in x=-1 e x=3 . Segnaliamo questi punti sull'asse reale e determiniamo i segni della derivata sugli intervalli ottenuti.

La funzione diminuisce di , aumenta di [-1; 3] , x=-1 punto minimo, x=3 punto massimo.

Calcoliamo le corrispondenti funzioni minima e massima:

Verifichiamo il comportamento della funzione all'infinito:

Il secondo limite è stato calcolato da .

Facciamo un disegno schematico.

Quando l'argomento cambia da meno infinito a -1, i valori della funzione diminuiscono da più infinito a -2e, quando l'argomento cambia da -1 a 3, i valori della funzione aumentano da -2e a , quando l'argomento cambia da 3 a più infinito, i valori della funzione diminuiscono da zero, ma non raggiungono lo zero.

Spesso, nell'ambito della risoluzione di problemi, dobbiamo cercare un insieme di valori di una funzione sul dominio di definizione o su un segmento. Ad esempio, questo dovrebbe essere fatto quando si risolvono diversi tipi di disuguaglianze, si valutano espressioni, ecc.

Come parte di questo materiale, ti diremo qual è l'intervallo di una funzione, ti forniremo i metodi principali con cui può essere calcolata e analizzeremo problemi di vari gradi di complessità. Per chiarezza, le singole posizioni sono illustrate da grafici. Dopo aver letto questo articolo, avrai una comprensione completa dell'ambito di una funzione.

Cominciamo con le definizioni di base.

Definizione 1

L'insieme dei valori della funzione y = f (x) su un intervallo x è l'insieme di tutti i valori che questa funzione assume quando si itera su tutti i valori x ∈ X .

Definizione 2

L'intervallo di una funzione y = f (x) è l'insieme di tutti i suoi valori che può assumere durante l'iterazione su valori x dell'intervallo x ∈ (f) .

L'intervallo di alcune funzioni è solitamente indicato con E (f) .

Si noti che il concetto di insieme di valori di una funzione non è sempre identico all'area dei suoi valori. Questi concetti saranno equivalenti solo se l'intervallo di valori x quando si trova l'insieme di valori coincide con il dominio della funzione.

È anche importante distinguere tra l'intervallo e l'intervallo della variabile x per l'espressione sul lato destro y = f (x) . L'area dei valori accettabili x per l'espressione f (x) sarà l'area di definizione di questa funzione.

Di seguito è riportata un'illustrazione che mostra alcuni esempi. Le linee blu sono grafici di funzioni, quelle rosse sono asintoti, i punti rossi e le linee sull'asse y sono gli intervalli della funzione.

Ovviamente il range della funzione può essere ottenuto proiettando il grafico della funzione sull'asse O y . Allo stesso tempo, può essere un singolo numero o un insieme di numeri, un segmento, un intervallo, un raggio aperto, un'unione di intervalli numerici, ecc.

Considera i modi principali per trovare l'intervallo di una funzione.

Iniziamo definendo l'insieme di valori di una funzione continua y = f(x) su un determinato segmento, designato [a; b] . Sappiamo che una funzione continua su un certo intervallo raggiunge il suo minimo e massimo su di esso, cioè il massimo m a x x ∈ a ; b f (x) e il valore minimo m i n x ∈ a ; b f (x) . Quindi, otteniamo un segmento m i n x ∈ a ; bf(x) ; m un x x ∈ un ; b f (x) , che conterrà gli insiemi di valori della funzione originale. Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è trovare i punti minimo e massimo specificati su questo segmento.

Prendiamo un problema in cui è necessario determinare l'intervallo di valori dell'arcoseno.

Esempio 1

Condizione: trova l'intervallo y = a r c sin x .

Soluzione

Nel caso generale, il dominio di definizione dell'arcoseno si trova sull'intervallo [-1; uno ] . Abbiamo bisogno di determinare il valore più grande e più piccolo della funzione specificata su di esso.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Sappiamo che la derivata della funzione sarà positiva per tutti i valori x posti nell'intervallo [-1; 1 ] , cioè in tutto il dominio di definizione, la funzione arcseno aumenterà. Ciò significa che assumerà il valore più piccolo quando x è uguale a - 1 e il più grande - quando x è uguale a 1.

m io n x ∈ - 1 ; 1 un r c peccato x = un r c peccato - 1 = - π 2 m un x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Pertanto, l'intervallo della funzione arcoseno sarà uguale a E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Risposta: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Esempio 2

Condizione: calcola l'intervallo y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 sul segmento dato [ 1 ; quattro ] .

Soluzione

Tutto quello che dobbiamo fare è calcolare il valore più grande e più piccolo della funzione nell'intervallo dato.

Per determinare i punti estremi, è necessario eseguire i seguenti calcoli:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 e l e 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Ora troviamo i valori della funzione data alle estremità del segmento e ai punti x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 e 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 anni (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Ciò significa che l'insieme dei valori della funzione sarà determinato dal segmento 117 - 165 33 512 ; 32.

Risposta: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Passiamo a trovare l'insieme dei valori della funzione continua y = f (x) negli intervalli (a ; b) , e a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Iniziamo determinando i punti più grande e più piccolo, nonché gli intervalli di aumento e diminuzione in un determinato intervallo. Successivamente, dovremo calcolare i limiti unilaterali alle estremità dell'intervallo e/o i limiti all'infinito. In altre parole, dobbiamo determinare il comportamento della funzione in determinate condizioni. Per questo abbiamo tutti i dati necessari.

Esempio 3

Condizione: calcola l'intervallo della funzione y = 1 x 2 - 4 sull'intervallo (- 2 ; 2) .

Soluzione

Determina il valore più grande e più piccolo della funzione su un dato intervallo

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Abbiamo ottenuto il valore massimo pari a 0 , poiché è a questo punto che il segno della funzione cambia e il grafico inizia a decrescere. Vedi illustrazione:

Cioè, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sarà il valore massimo della funzione.

Definiamo ora il comportamento della funzione per una x che tende a -2 sul lato destro e + 2 sul lato sinistro. In altre parole, troviamo limiti unilaterali:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Abbiamo ottenuto che i valori della funzione aumenteranno da meno infinito a -1 4 quando l'argomento cambia da -2 a 0. E quando l'argomento cambia da 0 a 2, i valori della funzione diminuiscono verso meno infinito. Pertanto, l'insieme dei valori della funzione data sull'intervallo di cui abbiamo bisogno sarà (- ∞ ; - 1 4 ] .

Risposta: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Esempio 4

Condizione: indicare l'insieme dei valori y = t g x sull'intervallo dato - π 2 ; π 2 .

Soluzione

Sappiamo che, in generale, la derivata della tangente in - π 2; π 2 sarà positivo, cioè la funzione aumenterà. Definiamo ora come si comporta la funzione entro i limiti dati:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Abbiamo ottenuto un aumento dei valori della funzione da meno infinito a più infinito quando l'argomento cambia da - π 2 a π 2, e possiamo dire che l'insieme delle soluzioni di questa funzione sarà l'insieme di tutti i reali numeri.

Risposta: - ∞ ; + ∞ .

Esempio 5

Condizione: determinare qual è l'intervallo della funzione logaritmica naturale y = ln x .

Soluzione

Sappiamo che questa funzione è definita per valori positivi dell'argomento D(y) = 0 ; +∞ . La derivata sull'intervallo dato sarà positiva: y " = ln x " = 1 x . Ciò significa che la funzione sta aumentando su di esso. Successivamente, dobbiamo definire un limite unilaterale per il caso in cui l'argomento va a 0 (sul lato destro) e quando x va all'infinito:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Abbiamo scoperto che i valori della funzione aumenteranno da meno infinito a più infinito quando i valori di x cambiano da zero a più infinito. Ciò significa che l'insieme di tutti i numeri reali è l'intervallo della funzione del logaritmo naturale.

Risposta: l'insieme di tutti i numeri reali è l'intervallo della funzione del logaritmo naturale.

Esempio 6

Condizione: determinare qual è l'intervallo della funzione y = 9 x 2 + 1 .

Soluzione

Questa funzione è definita a condizione che x sia un numero reale. Calcoliamo i valori più grande e più piccolo della funzione, nonché gli intervalli del suo aumento e diminuzione:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Di conseguenza, abbiamo determinato che questa funzione diminuirà se x ≥ 0; aumenta se x ≤ 0 ; ha un punto massimo y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 quando la variabile è 0 .

Vediamo come si comporta la funzione all'infinito:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Si può vedere dal record che i valori della funzione in questo caso si avvicineranno asintoticamente a 0.

Per riassumere: quando l'argomento cambia da meno infinito a zero, i valori della funzione aumentano da 0 a 9 . Poiché i valori dell'argomento vanno da 0 a più infinito, i valori della funzione corrispondente diminuiranno da 9 a 0 . Lo abbiamo rappresentato nella figura:

Mostra che l'intervallo della funzione sarà l'intervallo E (y) = (0 ; 9 ]

Risposta: E (y) = (0 ; 9 ]

Se dobbiamo determinare l'insieme dei valori della funzione y = f(x) sugli intervalli [a; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , allora avremo bisogno di eseguire esattamente gli stessi studi. Non analizzeremo ancora questi casi: li incontreremo più avanti nei problemi .

Ma cosa succede se il dominio di una certa funzione è l'unione di più intervalli? Quindi dobbiamo calcolare gli insiemi di valori su ciascuno di questi intervalli e combinarli.

Esempio 7

Condizione: determinare quale sarà l'intervallo di y = x x - 2 .

Soluzione

Poiché il denominatore della funzione non deve essere trasformato in 0 , allora D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Iniziamo definendo l'insieme dei valori delle funzioni sul primo segmento - ∞ ; 2, che è un raggio aperto. Sappiamo che la funzione su di essa diminuirà, cioè la derivata di questa funzione sarà negativa.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Quindi, nei casi in cui l'argomento cambia verso meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a 1 . Se i valori di x cambiano da meno infinito a 2, i valori diminuiranno da 1 a meno infinito, ad es. la funzione su questo segmento assumerà valori dall'intervallo - ∞ ; uno . Escludiamo l'unità dal nostro ragionamento, poiché i valori della funzione non la raggiungono, ma solo asintoticamente si avvicinano ad essa.

Per fascio aperto 2 ; + ∞ eseguiamo esattamente le stesse azioni. Anche la funzione su di esso sta diminuendo:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

I valori della funzione su questo segmento sono determinati dall'insieme 1 ; +∞ . Ciò significa che l'intervallo di valori della funzione specificata nella condizione di cui abbiamo bisogno sarà l'unione di insiemi - ∞; 1 e 1; +∞ .

Risposta: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Questo può essere visto sul grafico:

Un caso speciale sono le funzioni periodiche. La loro area di valore coincide con l'insieme di valori sull'intervallo che corrisponde al periodo di questa funzione.

Esempio 8

Condizione: determinare l'intervallo del seno y = sin x .

Soluzione

Seno si riferisce a una funzione periodica e il suo periodo è 2 pi. Prendiamo un segmento 0 ; 2 π e guarda quale sarà l'insieme di valori su di esso.

y " = (peccato x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Entro 0 ; 2 π la funzione avrà punti estremi π 2 e x = 3 π 2 . Calcoliamo a cosa saranno uguali i valori della funzione in essi, così come sui confini del segmento, dopodiché scegliamo il valore più grande e quello più piccolo.

y (0) = peccato 0 = 0 y π 2 = peccato π 2 = 1 y 3 π 2 = peccato 3 π 2 = - 1 y (2 π) = peccato (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Risposta: E (sinx) = - 1 ; uno .

Se hai bisogno di conoscere gli intervalli di funzioni come esponenziale, esponenziale, logaritmica, trigonometrica, trigonometrica inversa, allora ti consigliamo di rileggere l'articolo sulle funzioni elementari di base. La teoria che presentiamo qui ci permette di testare i valori ivi specificati. È auspicabile impararli, poiché sono spesso necessari per risolvere i problemi. Se conosci gli intervalli delle funzioni principali, puoi facilmente trovare gli intervalli di funzioni che si ottengono da quelle elementari usando una trasformazione geometrica.

Esempio 9

Condizione: determinare l'intervallo y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Soluzione

Sappiamo che il segmento da 0 a pi è l'intervallo del coseno inverso. In altre parole, E (a r c cos x) = 0 ; π o 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Possiamo ottenere la funzione a r c cos x 3 + 5 π 7 dall'arcocoseno spostandolo e allungandolo lungo l'asse O x, ma tali trasformazioni non ci daranno nulla. Quindi, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

La funzione 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 può essere ottenuta dal coseno inverso a r c cos x 3 + 5 π 7 allungando lungo l'asse y, cioè 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . La trasformazione finale è uno spostamento lungo l'asse O y di 4 valori. Di conseguenza, otteniamo una doppia disuguaglianza:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Abbiamo ottenuto che l'intervallo di cui abbiamo bisogno sarà uguale a E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Risposta: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Scriviamo un altro esempio senza spiegazioni, perché è del tutto simile al precedente.

Esempio 10

Condizione: calcola quale sarà l'intervallo della funzione y = 2 2 x - 1 + 3 .

Soluzione

Riscriviamo la funzione data nella condizione come y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . Per una funzione di potenza y = x - 1 2 l'intervallo sarà definito sull'intervallo 0; + ∞ , cioè x - 1 2 > 0 . In questo caso:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Quindi E (y) = 3 ; +∞ .

Risposta: E (y) = 3 ; +∞ .

Vediamo ora come trovare l'intervallo di una funzione che non è continua. Per fare ciò, dobbiamo dividere l'intera area in intervalli e trovare gli insiemi di valori su ciascuno di essi, quindi combinare ciò che abbiamo. Per capire meglio questo, ti consigliamo di rivedere i principali tipi di breakpoint di funzione.

Esempio 11

Condizione: data una funzione y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calcola la sua portata.

Soluzione

Questa funzione è definita per tutti i valori x. Analizziamolo per continuità con i valori dell'argomento pari a -3 e 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Abbiamo una discontinuità irrecuperabile del primo tipo con il valore dell'argomento -3. Man mano che ti avvicini, i valori della funzione tendono a - 2 sin 3 2 - 4 e poiché x tende a - 3 sul lato destro, i valori tenderanno a - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Abbiamo una discontinuità inamovibile del secondo tipo al punto 3 . Quando la funzione tende ad esso, i suoi valori si avvicinano - 1, mentre tende allo stesso punto a destra - a meno infinito.

Ciò significa che l'intero dominio di definizione di questa funzione è diviso in 3 intervalli (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

Sul primo di essi, abbiamo ottenuto la funzione y \u003d 2 sin x 2 - 4. Poiché - 1 ≤ sin x ≤ 1 , otteniamo:

1 ≤ peccato x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Ciò significa che su questo intervallo (- ∞ ; - 3 ] l' insieme di valori della funzione è [ - 6 ; 2 ] .

Sul semiintervallo (- 3 ; 3 ] otteniamo una funzione costante y = - 1 . Di conseguenza, l'intero insieme dei suoi valori in questo caso sarà ridotto a un numero - 1 .

Sul secondo intervallo 3 ; + ∞ abbiamo una funzione y = 1 x - 3 . È decrescente perché y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Quindi, l'insieme dei valori della funzione originale per x > 3 è l'insieme 0; +∞ . Ora uniamo i risultati: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Risposta: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

La soluzione è mostrata nel grafico:

Esempio 12

Condizione: esiste una funzione y = x 2 - 3 e x . Determina l'insieme dei suoi valori.

Soluzione

È definito per tutti i valori di argomento che sono numeri reali. Determiniamo in quali intervalli questa funzione aumenterà e in quali diminuirà:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Sappiamo che la derivata diventerà 0 se x = - 1 e x = 3 . Posizioniamo questi due punti sull'asse e scopriamo quali segni avrà la derivata sugli intervalli risultanti.

La funzione diminuirà di (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) e aumenterà di [ - 1 ; 3]. Il punto minimo sarà -1, massimo -3.

Ora troviamo i valori delle funzioni corrispondenti:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Diamo un'occhiata al comportamento della funzione all'infinito:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Per calcolare il secondo limite è stata utilizzata la regola di L'Hopital. Tracciamo la nostra soluzione su un grafico.

Mostra che i valori della funzione diminuiranno da più infinito a -2 e quando l'argomento cambia da meno infinito a -1. Se cambia da 3 a più infinito, i valori diminuiranno da 6 e - 3 a 0, ma 0 non verrà raggiunto.

Quindi, E (y) = [ - 2 e ; +∞) .

Risposta: E (y) = [ - 2 e ; +∞)

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Il concetto di funzione e tutto ciò che ad essa è connesso è tradizionalmente complesso, non del tutto compreso. Un ostacolo speciale nello studio della funzione e nella preparazione all'esame è il dominio di definizione e l'intervallo di valori (cambiamenti) della funzione.
Spesso gli studenti non vedono la differenza tra il dominio di una funzione e il dominio dei suoi valori.
E se gli studenti riescono a padroneggiare i compiti di trovare il dominio di definizione di una funzione, allora i compiti di trovare un insieme di valori di una funzione causano loro notevoli difficoltà.
Lo scopo di questo articolo: familiarizzare con i metodi per trovare i valori di una funzione.
Come risultato della considerazione di questo argomento, è stato studiato materiale teorico, sono stati considerati metodi per risolvere i problemi di trovare insiemi di valori di funzione, è stato selezionato materiale didattico per il lavoro indipendente degli studenti.
Questo articolo può essere utilizzato da un insegnante per preparare gli studenti agli esami finali e di ammissione, quando studia l'argomento "Lo scopo di una funzione" in classi opzionali in corsi opzionali di matematica.

I. Determinazione dell'ambito della funzione.

L'area (insieme) di valori E(y) della funzione y = f(x) è l'insieme di tali numeri y 0 , per ognuno dei quali esiste un numero tale x 0 che: f(x 0) = si 0 .

Ricordiamo gli intervalli delle principali funzioni elementari.

Considera un tavolo.

Funzione	Molti valori
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcoseno x	E(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arco x	E(y) =
y = arctano x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcoctg x	E(y) = (0; π)

Si noti inoltre che l'intervallo di qualsiasi polinomio di grado pari è l'intervallo , dove n è il valore più grande di questo polinomio.

II. Proprietà della funzione utilizzate per trovare l'intervallo di una funzione

Per trovare con successo l'insieme dei valori di una funzione, è necessario avere una buona conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari di base, in particolare dei loro domini di definizione, degli intervalli di valori e della natura della monotonia. Presentiamo le proprietà delle funzioni differenziabili continue e monotone, che sono più spesso utilizzate per trovare l'insieme dei valori delle funzioni.

Le proprietà 2 e 3 sono solitamente utilizzate insieme alla proprietà di una funzione elementare di essere continua nel suo dominio. In questo caso, la soluzione più semplice e breve al problema di trovare l'insieme di valori di una funzione si ottiene sulla base della proprietà 1, se è possibile determinare la monotonia della funzione utilizzando metodi semplici. La soluzione del problema è ulteriormente semplificata se la funzione, inoltre, è pari o dispari, periodica, ecc. Pertanto, quando si risolvono problemi relativi alla ricerca di insiemi di valori di funzione, è necessario verificare e utilizzare le seguenti proprietà della funzione, se necessario:

• continuità;
• monotono;
• differenziabilità;
• pari, dispari, periodici, ecc.

I compiti semplici per trovare un insieme di valori di funzione sono per lo più orientati:

a) l'uso delle stime e dei vincoli più semplici: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, ecc.);

b) per selezionare un quadrato intero: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) per la trasformazione di espressioni trigonometriche: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) usando la monotonia della funzione x 1/3 + 2 x-1 aumenta di R.

III. Considera i modi per trovare gli intervalli di funzioni.

a) ricerca sequenziale di valori di argomenti di funzioni complesse;
b) metodo di valutazione;
c) utilizzare le proprietà di continuità e monotonia di una funzione;
d) uso di un derivato;
e) l'uso dei valori più grandi e più piccoli della funzione;
f) metodo grafico;
g) metodo di introduzione dei parametri;
h) metodo della funzione inversa.

Riveleremo l'essenza di questi metodi su esempi specifici.

Esempio 1: trova l'intervallo E(y) funzioni y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Risolviamo questo esempio trovando in sequenza i valori degli argomenti di funzioni complesse. Dopo aver selezionato il quadrato intero sotto il logaritmo, trasformiamo la funzione

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

E trova in sequenza gli insiemi di valori dei suoi argomenti complessi:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Denota t= 5 – (3 x +1) 2 , dove -∞≤ t≤4. Pertanto, il problema si riduce a trovare l'insieme dei valori della funzione y = log 0,5 t sul raggio (-∞;4) . Poiché la funzione y = log 0,5 t è definita solo a, allora il suo insieme di valori sul raggio (-∞;4) coincide con l'insieme di valori della funzione sull'intervallo (0;4), che è l'intersezione del raggio (-∞;4) con il dominio di definizione (0;+∞) della funzione logaritmica. Sull'intervallo (0;4) questa funzione è continua e decrescente. In t> 0, tende a +∞ e quando t = 4 assume il valore -2, quindi E(y) =(-2, +∞).

Esempio 2: Trova l'intervallo di una funzione

y = cos7x + 5cosx

Risolviamo questo esempio con il metodo delle stime, la cui essenza è stimare la funzione continua dal basso e dall'alto e dimostrare che la funzione raggiunge i limiti inferiore e superiore delle stime. In questo caso, la coincidenza dell'insieme dei valori della funzione con l'intervallo dal limite inferiore della stima a quello superiore è determinata dalla continuità della funzione e dall'assenza di altri valori per essa.

Dalle disuguaglianze -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 otteniamo la stima -6≤y?6. Per x = p e x = 0, la funzione assume i valori -6 e 6, cioè raggiunge i limiti inferiore e superiore. Come combinazione lineare di funzioni continue cos7x e cosx, la funzione y è continua lungo l'intero asse dei numeri, quindi, per la proprietà di una funzione continua, assume tutti i valori da -6 a 6 inclusi, e solo loro, poiché , a causa delle disuguaglianze -6≤y?6, altri valori lei è impossibile. Di conseguenza, E(y)= [-6;6].

Esempio 3: trova l'intervallo E(f) funzioni f(x)= cos2x + 2cosx.

Usando la formula del coseno del doppio angolo, trasformiamo la funzione f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 e denota t= cosx. Quindi f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Poiché E(cosx) =

[-1;1], quindi l'intervallo della funzione f(x) coincide con l'insieme dei valori della funzione g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 sul segmento [-1; 1], che troveremo con un metodo grafico. Dopo aver tracciato la funzione y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0.5) 2 - 1.5 sull'intervallo [-1; 1], troviamo E(f) = [-1,5; 3].

Nota – Molti problemi con un parametro si riducono alla ricerca dell'insieme dei valori di una funzione, principalmente legati alla risolvibilità e al numero di soluzioni dell'equazione e alle disuguaglianze. Ad esempio, l'equazione f(x)= a è risolvibile se e solo se

aE(f) Allo stesso modo, l'equazione f(x)= a ha almeno una radice situata su qualche intervallo X, oppure non ha radice su questo intervallo se e solo se a appartiene o non appartiene all'insieme dei valori della funzione f(x) sull'intervallo X. Si studia anche utilizzando l'insieme dei valori della funzione e le disuguaglianze f(x)≠ un, f(x)> un ecc. In particolare, f(x)≠ e per tutti i valori ammissibili di x, se a E(f)

Esempio 4. Per quali valori del parametro a, l'equazione (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ha una sola radice sul segmento [-4;-1].

Scriviamo l'equazione nella forma (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. L'ultima equazione ha almeno una radice sul segmento [-4;-1] se e solo se a appartiene all'insieme dei valori della funzione f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) sul segmento [-4;-1]. Troviamo questo insieme usando la proprietà di continuità e monotonia della funzione.

Sul segmento [-4;-1] la funzione y = xІ + 4 è continua, decrescente e positiva, quindi la funzione g(x) = 1/(x 2 + 4) è continua e aumenta su questo intervallo, poiché quando si divide per una funzione positiva, la natura della monotonia della funzione cambia nell'opposto. Funzione h(x) =(x + 5) 1/2 è continua e crescente nel suo dominio D(h) =[-5;+∞) e, in particolare, sull'intervallo [-4;-1], dove è anche positivo. Poi la funzione f(x)=g(x) h(x), come prodotto di due funzioni continue, crescenti e positive, è anche continua e aumenta sul segmento [-4;-1], quindi il suo insieme di valori su [-4;-1] è il segmento [ f(-4); f(-1)] = . Pertanto, l'equazione ha una soluzione sull'intervallo [-4;-1], e l'unica (per la proprietà di una funzione monotona continua), per 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Commento. Risolvibilità dell'equazione f(x) = a su qualche intervallo X equivale all'appartenenza dei valori del parametro un insieme di valori di funzione f(x) su X. Pertanto, l'insieme dei valori della funzione f(x) sull'intervallo X coincide con l'insieme dei valori dei parametri un, per cui l'equazione f(x) = a ha almeno una radice sull'intervallo X. In particolare, l'intervallo di valori E(f) funzioni f(x) corrisponde all'insieme dei valori dei parametri un, per cui l'equazione f(x) = a ha almeno una radice.

Esempio 5: trova l'intervallo E(f) funzioni

Risolviamo l'esempio introducendo un parametro in base al quale E(f) corrisponde all'insieme dei valori dei parametri un, per cui l'equazione

ha almeno una radice.

Quando a=2, l'equazione è lineare - 4x - 5 = 0 con un coefficiente diverso da zero per x incognita, quindi ha una soluzione. Per a≠2, l'equazione è quadratica, quindi è risolvibile se e solo se è discriminante

Poiché il punto a = 2 appartiene al segmento

quindi il set di valori dei parametri desiderato un, da qui l'intervallo di valori E(f) sarà l'intero segmento.

Come sviluppo diretto del metodo di introduzione di un parametro quando si trova un insieme di valori di una funzione, possiamo considerare il metodo della funzione inversa, per trovare quale è necessario risolvere l'equazione per x f(x)=y, considerando y come parametro. Se questa equazione ha una soluzione unica x=g(y), quindi l'intervallo E(f) funzione originaria f(x) coincide con il dominio di definizione D(g) funzione inversa g(y). Se l'equazione f(x)=y ha più soluzioni x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) ecc., quindi E(f)è uguale all'unione degli ambiti delle definizioni di funzione g 1 (y), g 2 (y) eccetera.

Esempio 6: trova l'intervallo E(y) funzioni y = 5 2/(1-3x).

Dall'equazione

trova la funzione inversa x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) e il suo dominio D(x):

Poiché l'equazione per x ha una soluzione unica, allora

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).

Se il dominio di una funzione è costituito da più intervalli o la funzione su intervalli diversi è data da formule diverse, per trovare il dominio della funzione è necessario trovare gli insiemi di valori della funzione su ciascun intervallo e prenderne unione.

Esempio 7: Trova intervalli f(x) e f(f(x)), dove

f(x) sul raggio (-∞;1], dove coincide con l'espressione 4 x + 9 4 -x + 3. Indichiamo t = 4x. Quindi f(x) = t + 9/t + 3, dove 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) sul raggio (-∞;1] coincide con l'insieme dei valori della funzione g(t) = t + 9/t + 3, sull'intervallo (0;4], che troviamo utilizzando la derivata g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Sull'intervallo (0;4] la derivata g'(t)è definito e lì svanisce t=3. A 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) diminuisce, e nell'intervallo (3;4) aumenta, rimanendo continua sull'intero intervallo (0;4), quindi g (3)= 9 - il valore più piccolo di questa funzione sull'intervallo (0; 4], mentre il suo valore più grande non esiste, quindi quando t→0 giusta funzione g(t)→+∞. Quindi, per la proprietà di una funzione continua, l'insieme dei valori della funzione g(t) sull'intervallo (0;4], e quindi l'insieme dei valori f(x) su (-∞;-1], ci sarà un raggio .

Ora, combinando gli intervalli, gli insiemi di valori di funzione f(f(x)), denota t = f(x). Quindi f(f(x)) = f(t), dove t funzione f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 e riprende di nuovo tutti i valori da 5 a 9 inclusi, ovvero gamma E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Allo stesso modo, denotando z = f(f(x)), puoi trovare la gamma E(f3) funzioni f(f(f(x))) = f(z), dove 5 ≤ z ≤ 9, ecc. Assicurati che E(f 3) = .

Il metodo più universale per trovare l'insieme dei valori della funzione consiste nell'utilizzare i valori più grandi e più piccoli della funzione in un determinato intervallo.

Esempio 8. Per quali valori del parametro R disuguaglianza 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x vale per tutti -1 ≤ x< 2.

Denotando t = 2x, scriviamo la disuguaglianza come p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Perché t = 2xè una funzione in continuo aumento attiva R, quindi per -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R diverso dai valori delle funzioni f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t a 0,5 ≤ t< 4.

Troviamo prima l'insieme dei valori della funzione f(t) sull'intervallo in cui ha una derivata ovunque f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Di conseguenza, f(t)è differenziabile, e quindi continua sul segmento . Dall'equazione f'(t) = 0 trovare i punti critici della funzione t=1/3, t=1, il primo dei quali non appartiene al segmento e il secondo ad esso. Perché f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, quindi, per la proprietà di una funzione derivabile, 0 è il più piccolo e 36 è il valore più grande della funzione f(t) sul segmento. Quindi f(t), come funzione continua, assume sul segmento tutti i valori da 0 a 36 inclusi, e il valore 36 assume solo quando t=4, quindi per 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }