Come scrivere un'equazione quadratica. calcolatrice online

In modo più semplice. Per fare ciò, togli z da parentesi. Ottieni: z(az + b) = 0. I fattori possono essere scritti: z=0 e az + b = 0, poiché entrambi possono dare come risultato zero. Nella notazione az + b = 0 spostiamo la seconda a destra con segno diverso. Da qui otteniamo z1 = 0 e z2 = -b/a. Queste sono le radici dell'originale.

Se esiste un'equazione incompleta della forma az² + c \u003d 0, in questo caso si trovano semplicemente trasferendo il termine libero sul lato destro dell'equazione. Cambia anche il suo segno. Ottieni il record az² \u003d -s. Esprimi z² = -c/a. Prendi la radice e scrivi due soluzioni: un valore positivo e uno negativo della radice quadrata.

Nota

Se nell'equazione sono presenti coefficienti frazionari, moltiplicare l'intera equazione per il fattore appropriato in modo da eliminare le frazioni.

Saper risolvere le equazioni quadratiche è necessario sia per gli scolari che per gli studenti, a volte può aiutare un adulto nella vita di tutti i giorni. Esistono diversi metodi decisionali specifici.

Risoluzione di equazioni quadratiche

Un'equazione quadratica della forma a*x^2+b*x+c=0. Il coefficiente x è la variabile desiderata, a, b, c - coefficienti numerici. Ricorda che il segno "+" può cambiare nel segno "-".

Per risolvere questa equazione, devi usare il teorema di Vieta o trovare il discriminante. Il modo più comune è trovare il discriminante, poiché per alcuni valori di a, b, c non è possibile utilizzare il teorema di Vieta.

Per trovare il discriminante (D), devi scrivere la formula D=b^2 - 4*a*c. Il valore di D può essere maggiore, minore o uguale a zero. Se D è maggiore o minore di zero, allora ci saranno due radici, se D = 0, allora rimane una sola radice, più precisamente, possiamo dire che D in questo caso ha due radici equivalenti. Sostituisci i coefficienti noti a, b, c nella formula e calcola il valore.

Dopo aver trovato il discriminante, per trovare x, usa le formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a dove sqrt è la funzione per prendere la radice quadrata del numero dato. Dopo aver calcolato queste espressioni, troverai le due radici della tua equazione, dopodiché l'equazione è considerata risolta.

Se D è minore di zero, allora ha ancora radici. A scuola, questa sezione non è praticamente studiata. Gli studenti universitari dovrebbero essere consapevoli che sotto la radice compare un numero negativo. Ce ne liberiamo separando la parte immaginaria, cioè -1 sotto la radice è sempre uguale all'elemento immaginario "i", che viene moltiplicato per la radice con lo stesso numero positivo. Ad esempio, se D=sqrt(-20), dopo la trasformazione si ottiene D=sqrt(20)*i. Dopo questa trasformazione, la soluzione dell'equazione si riduce allo stesso ritrovamento delle radici, come descritto sopra.

Il teorema di Vieta consiste nella selezione dei valori x(1) e x(2). Vengono utilizzate due equazioni identiche: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Inoltre, un punto molto importante è il segno davanti al coefficiente b, ricorda che questo segno è opposto a quello dell'equazione. A prima vista, sembra che calcolare x(1) e x(2) sia molto semplice, ma quando risolverai, incontrerai il fatto che i numeri dovranno essere selezionati esattamente.

Elementi per la risoluzione di equazioni quadratiche

Secondo le regole della matematica, alcuni possono essere fattorizzati: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, se sei riuscito a trasformare questa equazione quadratica in questo modo usando formule matematiche, sentiti libero di scrivi la risposta. x(1) e x(2) saranno uguali ai coefficienti adiacenti tra parentesi, ma con il segno opposto.

Inoltre, non dimenticare le equazioni quadratiche incomplete. Potresti perdere alcuni dei termini, in tal caso, tutti i suoi coefficienti sono semplicemente uguali a zero. Se x^2 o x è preceduto da nulla, allora i coefficienti aeb sono uguali a 1.

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più facile che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi ha detto che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni fornisce Yandex per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate, e cosa accadrà durante l'anno scolastico - ci saranno il doppio delle richieste. Questo non sorprende, perché quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo a scuola e si stanno preparando per l'esame stanno cercando queste informazioni e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.

Nonostante ci siano molti siti che raccontano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori vengano sul mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando verrà fuori il discorso “KU”, darò un link a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto di solito viene affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove coefficienti a,be con numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella forma seguente: la divisione delle equazioni in tre classi è condizionata:

1. Avere due radici.

2. * Avere una sola radice.

3. Non avere radici. Vale la pena notare qui che non hanno vere radici

Come si calcolano le radici? Solo!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si nasconde una formula molto semplice:

Le formule della radice sono le seguenti:

*Queste formule devono essere conosciute a memoria.

Puoi scrivere subito e decidere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Diamo un'occhiata all'equazione:

In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. Esatto, lo è, ma...

Questa rappresentazione è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non sorprenderti, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ma è così - una piccola digressione. A scuola, puoi scrivere e dire che c'è solo una radice.

Ora il seguente esempio:

Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi non c'è soluzione in questo caso.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione del modulo:

dove xey sono variabili

a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè, si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Maggiori informazioni sulla funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.

Considera esempi:

Esempio 1: Decidi 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puoi dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

L'abbiamo ottenuto x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11

Nella risposta è lecito scrivere x = 11.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non c'è soluzione in numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa sui numeri complessi? Non entrerò nei dettagli qui sul perché e dove sono nati e qual è il loro ruolo e necessità specifici in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.

Il concetto di numero complesso.

Un po' di teoria

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove aeb sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi è un NUMERO SINGOLO, non un'aggiunta.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Ottieni due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Considera casi speciali, questo è quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Si risolvono facilmente senza discriminanti.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasformiamo:

Esempio:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasforma, fattorizza:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell'equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Ci sono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un + b+ c = 0, poi

— se per i coefficienti dell'equazione unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un+ con =b, poi

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Uguaglianza un+ con =b, significa

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" è uguale a (un 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali

ascia 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese Francois Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di un KU arbitrario in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In sintesi, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, usando il teorema presentato, puoi risolvere immediatamente oralmente molte equazioni quadratiche.

Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel modo consueto (attraverso il discriminante), si possono verificare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASFERIMENTO

Con questo metodo il coefficiente "a" viene moltiplicato per il termine libero, come se ad esso "trasferito", motivo per cui viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se una un± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica di trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinare che x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Le radici ottenute dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché i due sono stati "gettati" da x 2), otteniamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:

Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:

Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.

Pertanto, dividiamo il risultato per 2.

*Se tiriamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq ur-ie e l'esame.

Dirò brevemente la sua importanza - DOVRESTE SAPER DECIDERE rapidamente e senza pensarci, devi conoscere le formule delle radici e del discriminante a memoria. Molti dei compiti che fanno parte dei compiti USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).

Cosa vale la pena notare!

1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio, è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo in un modulo standard (per non confonderti durante la risoluzione).

2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato con qualsiasi altra lettera - t, q, p, he altre.

Scuola secondaria rurale Kopyevskaya

10 modi per risolvere le equazioni quadratiche

Capo: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

insegnante di matematica

s.Kopyevo, 2007

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

1.2 Come Diofanto compilava e risolveva le equazioni quadratiche

1.3 Equazioni quadratiche in India

1.4 Equazioni quadratiche in al-Khwarizmi

1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII secolo

1.6 Sul teorema di Vieta

2. Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche

Conclusione

Letteratura

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo di primo, ma anche di secondo grado nell'antichità era causata dalla necessità di risolvere problemi relativi alla ricerca delle aree di terra e di terrapieni di natura militare, nonché dallo sviluppo dell'astronomia e matematica stessa. Le equazioni quadratiche sono state in grado di risolvere circa 2000 aC. e. babilonesi.

Applicando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regola per risolvere queste equazioni, enunciata nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi giunsero a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi finora trovati danno solo problemi con soluzioni espresse sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione di come siano state trovate.

Nonostante l'alto livello di sviluppo dell'algebra in Babilonia, i testi cuneiformi mancano del concetto di numero negativo e di metodi generali per risolvere le equazioni quadratiche.

1.2 Come Diofanto compilava e risolveva le equazioni quadratiche.

L'aritmetica di Diofanto non contiene un'esposizione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti formulando equazioni di vario grado.

Quando compila le equazioni, Diofanto sceglie abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Compito 11."Trova due numeri sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96"

Diofanto argomenta come segue: dalla condizione del problema deriva che i numeri desiderati non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto sarebbe uguale non a 96, ma a 100. Quindi, uno di loro sarà maggiore di metà della loro somma, cioè 10+x, l'altro è più piccolo, cioè 10. La differenza tra loro 2x .

Da qui l'equazione:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Da qui x = 2. Uno dei numeri desiderati è 12 , Altro 8 . Soluzione x = -2 poiché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolviamo questo problema scegliendo uno dei numeri desiderati come incognita, arriveremo alla soluzione dell'equazione

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

È chiaro che Diofanto semplifica la soluzione scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri desiderati; riesce a ridurre il problema alla risoluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).

1.3 Equazioni quadratiche in India

Problemi per le equazioni quadratiche si trovano già nel tratto astronomico "Aryabhattam", compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), ha delineato la regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Nell'equazione (1), i coefficienti, ad eccezione di un, può anche essere negativo. Il governo di Brahmagupta coincide essenzialmente con il nostro.

Nell'antica India, le competizioni pubbliche per la risoluzione di problemi difficili erano comuni. In uno dei vecchi libri indiani, di tali competizioni si dice quanto segue: "Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così una persona colta eclisserà la gloria di un altro nelle riunioni pubbliche, proponendo e risolvendo problemi algebrici". I compiti erano spesso vestiti in forma poetica.

Ecco uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskara.

Compito 13.

“Un vivace gregge di scimmie E dodici tra le vigne...

Avendo mangiato il potere, mi sono divertito. Cominciarono a saltare, appendere ...

Parte otto di loro in una piazza Quante scimmie c'erano,

Divertirsi nel prato. Mi dici, in questo gregge?

La soluzione di Bhaskara indica che conosceva la doppia valenza delle radici delle equazioni quadratiche (Fig. 3).

L'equazione corrispondente al problema 13 è:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrive con il pretesto di:

x 2 - 64 x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione in un quadrato, aggiunge a entrambi i lati 32 2 , ottenendo quindi:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Equazioni quadratiche in al-Khorezmi

Il trattato algebrico di Al-Khorezmi fornisce una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore elenca 6 tipi di equazioni, esprimendole come segue:

1) "I quadrati sono uguali alle radici", cioè ascia 2 + c = b X.

2) "I quadrati sono uguali al numero", cioè ascia 2 = s.

3) "Le radici sono uguali al numero", cioè ah = s.

4) "I quadrati e i numeri sono uguali alle radici", cioè ascia 2 + c = b X.

5) "Quadrati e radici sono uguali al numero", cioè ah 2+ bx = s.

6) "Radici e numeri sono uguali ai quadrati", cioè bx + c \u003d ascia 2.

Per al-Khwarizmi, che ha evitato l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi, non sottrazioni. In questo caso, ovviamente, non vengono prese in considerazione le equazioni che non hanno soluzioni positive. L'autore delinea i metodi per risolvere queste equazioni, utilizzando i metodi di al-jabr e al-muqabala. Le sue decisioni, ovviamente, non coincidono del tutto con le nostre. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando si risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo

al-Khorezmi, come tutti i matematici prima del XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché non ha importanza in specifici problemi pratici. Quando risolve equazioni quadratiche complete, al-Khorezmi stabilisce le regole per la risoluzione e quindi le prove geometriche, utilizzando particolari esempi numerici.

Compito 14.“Il quadrato e il numero 21 sono uguali a 10 radici. Trova la radice" (assumendo la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

La soluzione dell'autore è più o meno questa: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, 4 rimane. Prendi la radice di 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5, tu ottieni 3, questa sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che darà 7, anche questa è una radice.

Il Trattato al - Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, in cui viene enunciata sistematicamente la classificazione delle equazioni di secondo grado e vengono fornite formule per la loro soluzione.

1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII secoli

Le formule per la risoluzione di equazioni quadratiche sul modello di al - Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel "Libro dell'abaco", scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo voluminoso lavoro, che riflette l'influenza della matematica, sia nei paesi dell'Islam che nell'antica Grecia, si distingue sia per la completezza che per la chiarezza della presentazione. L'autore ha sviluppato autonomamente alcuni nuovi esempi algebrici di problem solving ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro ha contribuito alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti compiti del "Libro dell'abaco" sono passati a quasi tutti i libri di testo europei del XVI - XVII secolo. e in parte XVIII.

La regola generale per risolvere le equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:

x 2+ bx = con,

per tutte le possibili combinazioni di segni dei coefficienti b , Insieme a fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Vieta ha una derivazione generale della formula per risolvere un'equazione quadratica, ma Vieta ha riconosciuto solo radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Prendi in considerazione, oltre alle radici positive e negative. Solo nel XVII sec. Grazie al lavoro di Girard, Descartes, Newton e altri scienziati, il modo di risolvere le equazioni quadratiche assume un aspetto moderno.

1.6 Sul teorema di Vieta

Il teorema che esprime il rapporto tra i coefficienti di un'equazione quadratica e le sue radici, che porta il nome di Vieta, fu da lui formulato per la prima volta nel 1591 come segue: “Se B + D moltiplicato per UN - UN 2 , è uguale a BD, poi UNè uguale a A e uguale D ».

Per capire Vieta, bisogna ricordarlo MA, come ogni vocale, significava per lui l'ignoto (nostro X), le vocali A, D- coefficienti per l'incognita. Nel linguaggio dell'algebra moderna, la precedente formulazione di Vieta significa: se

(un + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (un + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Esprimendo la relazione tra le radici ei coefficienti delle equazioni mediante formule generali scritte usando simboli, Viet stabilì l'uniformità nei metodi di risoluzione delle equazioni. Tuttavia, il simbolismo di Vieta è ancora lontano dalla sua forma moderna. Non ha riconosciuto i numeri negativi e quindi, quando ha risolto le equazioni, ha considerato solo i casi in cui tutte le radici sono positive.

2. Metodi per la risoluzione di equazioni quadratiche

Le equazioni quadratiche sono le fondamenta su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Le equazioni quadratiche sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trascendentali. Sappiamo tutti come risolvere le equazioni di secondo grado dalla scuola (classe 8) fino alla laurea.

Solo. Secondo formule e regole semplici e chiare. Al primo stadio

è necessario riportare l'equazione data nella forma standard, cioè alla vista:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è giusta

determinare tutti i coefficienti un, b e c.

Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare x, noi

uso solo a, b e c. Quelli. probabilità da equazione quadrata. Basta inserire con attenzione

i valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituisci con i loro segni!

Per esempio, nell'equazione:

un =1; b = 3; c = -4.

Sostituisci i valori e scrivi:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e Insieme a. Piuttosto, con sostituzione

valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui la formula dettagliata salva

con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui un = -6; b = -5; c = -1

Dipingiamo tutto nei minimi dettagli, con cura, senza tralasciare nulla con tutti i segni e le parentesi:

Spesso le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.

Primo ricevimento. Non essere pigro prima risolvere un'equazione quadratica portalo in forma standard.

Cosa significa questo?

Supponiamo, dopo ogni trasformazione, di ottenere la seguente equazione:

Non affrettarti a scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.

Costruisci l'esempio correttamente. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:

Sbarazzati del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente annotare la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio.

Decidi da solo. Dovresti finire con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Di Il teorema di Vieta.

Per risolvere le equazioni quadratiche date, ad es. se il coefficiente

x2+bx+c=0,

poix 1 x 2 = c

x1 +x2 =-b

Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:

x 2 +bx+c=0,

dividere l'intera equazione per un:

→ →

dove x 1 e X 2 - radici dell'equazione.

Accoglienza terza. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare

equazione per un denominatore comune.

Conclusione. Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.

2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando tutto

equazioni per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente

fattore.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata

Questo argomento può sembrare complicato all'inizio a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Si indichi questa formula con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non è portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancherà di alcuni termini. Ciò che è stato scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcosa di diverso. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Sia la prima formula il numero due e la seconda il numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, allora la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo che è stato chiarito che esistono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una tale formula.

Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in un modo diverso.

Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all'inizio c'è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'incognita. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di annotarla due volte con segni opposti.

Le seguenti sono alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti scarsi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere costantemente eseguite. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero.

• Se viene visualizzato un meno prima del coefficiente "a", può complicare il lavoro per un principiante nello studio delle equazioni di secondo grado. È meglio liberarsene. A tal fine, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno nel contrario.

• Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda verrà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che è risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di usare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra, risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che devi portare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 -x \u003d 0. È diventato incompleto. Simile ad esso è già stato considerato un po' più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.