Come scrivere un'equazione quadratica conoscendo le radici. Equazioni quadratiche - esempi con soluzioni, caratteristiche e formule

Continuiamo a studiare l'argomento soluzione di equazioni". Abbiamo già familiarizzato con le equazioni lineari e ora faremo conoscenza equazioni quadratiche.

In primo luogo, discuteremo cos'è un'equazione quadratica, come è scritta in forma generale e forniremo definizioni correlate. Successivamente, usando esempi, analizzeremo in dettaglio come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete. Successivamente, passiamo alla risoluzione di equazioni complete, otteniamo la formula per le radici, facciamo conoscenza con il discriminante di un'equazione quadratica e consideriamo soluzioni per esempi tipici. Infine, tracciamo le connessioni tra radici e coefficienti.

Navigazione della pagina.

Che cos'è un'equazione quadratica? I loro tipi

Per prima cosa devi capire chiaramente cos'è un'equazione di secondo grado. Pertanto, è logico iniziare a parlare di equazioni di secondo grado con la definizione di un'equazione di secondo grado, nonché di definizioni ad essa correlate. Successivamente, puoi considerare i principali tipi di equazioni quadratiche: equazioni ridotte e non ridotte, nonché equazioni complete e incomplete.

Definizione ed esempi di equazioni quadratiche

Definizione.

Equazione quadrataè un'equazione della forma ax2 +bx+c=0, dove x è una variabile, a , b e c sono alcuni numeri e a è diverso da zero.

Diciamo subito che le equazioni di secondo grado sono spesso chiamate equazioni di secondo grado. Questo perché l'equazione quadratica è equazione algebrica secondo grado.

La definizione sonora ci permette di fornire esempi di equazioni quadratiche. Quindi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione.

Numeri a , b e c sono chiamati coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, e il coefficiente a è chiamato primo, o senior, o coefficiente in x 2, b è il secondo coefficiente, o coefficiente in x, e c è un membro libero.

Ad esempio, prendiamo un'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0, qui il coefficiente principale è 5, il secondo coefficiente è −2 e il termine libero è −3. Si noti che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, come nell'esempio appena riportato, viene utilizzata la forma abbreviata dell'equazione quadratica della forma 5 x 2 −2 x−3=0, non 5 x 2 +(− 2 )x+(-3)=0 .

Vale la pena notare che quando i coefficienti a e / o b sono uguali a 1 o −1, di solito non sono esplicitamente presenti nella notazione dell'equazione quadratica, il che è dovuto alle peculiarità della notazione di tale . Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 −y+3=0, il coefficiente principale è uno e il coefficiente in y è −1.

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

A seconda del valore del coefficiente principale, si distinguono equazioni quadratiche ridotte e non ridotte. Diamo le definizioni corrispondenti.

Definizione.

Viene chiamata un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 equazione quadratica ridotta. Altrimenti, l'equazione quadratica lo è non ridotto.

Secondo questa definizione, le equazioni quadratiche x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, ecc. - ridotti, in ciascuno di essi il primo coefficiente è uguale a uno. E 5 x 2 −x−1=0 , ecc. - equazioni quadratiche non ridotte, i loro coefficienti direttivi sono diversi da 1 .

Da qualsiasi equazione quadratica non ridotta, dividendo entrambe le sue parti per il coefficiente principale, puoi passare a quella ridotta. Questa azione è una trasformazione equivalente, cioè l'equazione quadratica ridotta così ottenuta ha le stesse radici dell'equazione quadratica non ridotta originale, o, come essa, non ha radici.

Facciamo un esempio di come viene eseguita la transizione da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio.

Dall'equazione 3 x 2 +12 x−7=0, vai alla corrispondente equazione quadratica ridotta.

Decisione.

È sufficiente per noi eseguire la divisione di entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 3, è diverso da zero, quindi possiamo eseguire questa azione. Abbiamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , che è lo stesso di (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , e così via (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , da cui . Quindi abbiamo ottenuto l'equazione quadratica ridotta, che è equivalente a quella originale.

Risposta:

Equazioni quadratiche complete e incomplete

C'è una condizione a≠0 nella definizione di un'equazione quadratica. Questa condizione è necessaria affinché l'equazione a x 2 +b x+c=0 sia esattamente quadrata, poiché con a=0 diventa effettivamente un'equazione lineare della forma b x+c=0 .

Per quanto riguarda i coefficienti b e c, possono essere uguali a zero, sia separatamente che insieme. In questi casi, l'equazione quadratica è chiamata incompleta.

Definizione.

Viene chiamata l'equazione quadratica a x 2 +b x+c=0 incompleto, se almeno uno dei coefficienti b , c è uguale a zero.

Nel suo turno

Definizione.

Equazione quadratica completaè un'equazione in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero.

Questi nomi non sono dati a caso. Ciò risulterà chiaro dalla discussione seguente.

Se il coefficiente b è uguale a zero, l'equazione quadratica diventa a x 2 +0 x+c=0 , ed è equivalente all'equazione a x 2 +c=0 . Se c=0 , cioè l'equazione quadratica ha la forma a x 2 +b x+0=0 , allora può essere riscritta come a x 2 +b x=0 . E con b=0 e c=0 otteniamo l'equazione quadratica a·x 2 =0. Le equazioni risultanti differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto il loro lato sinistro non contiene né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi. Da qui il loro nome: equazioni quadratiche incomplete.

Quindi le equazioni x 2 +x+1=0 e −2 x 2 −5 x+0,2=0 sono esempi di equazioni quadratiche complete e x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

Dalle informazioni del paragrafo precedente risulta che c'è tre tipi di equazioni quadratiche incomplete:

a x 2 =0 , ad esso corrispondono i coefficienti b=0 e c=0;
a x 2 +c=0 quando b=0 ;
e a x 2 +b x=0 quando c=0 .

Analizziamo in ordine come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete di ciascuno di questi tipi.

a x 2 \u003d 0

Iniziamo risolvendo equazioni quadratiche incomplete in cui i coefficienti b e c sono uguali a zero, cioè con equazioni della forma a x 2 =0. L'equazione a·x 2 =0 è equivalente all'equazione x 2 =0, che si ottiene dall'originale dividendo le sue due parti per un numero diverso da zero a. Ovviamente, la radice dell'equazione x 2 \u003d 0 è zero, poiché 0 2 \u003d 0. Questa equazione non ha altre radici, il che si spiega, infatti, per ogni numero p diverso da zero, si verifica la disuguaglianza p 2 >0, il che implica che per p≠0 l'uguaglianza p 2 =0 non è mai raggiunta.

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 \u003d 0 ha una sola radice x \u003d 0.

A titolo di esempio, diamo la soluzione di un'equazione quadratica incompleta −4·x 2 =0. È equivalente all'equazione x 2 \u003d 0, la sua unica radice è x \u003d 0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice zero.

Una breve soluzione in questo caso può essere emessa come segue:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

ax 2 +c=0

Considera ora come vengono risolte le equazioni quadratiche incomplete, in cui il coefficiente b è uguale a zero, e c≠0, cioè le equazioni della forma a x 2 +c=0. Sappiamo che il trasferimento di un termine da un lato dell'equazione all'altro di segno opposto, così come la divisione di entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero, danno un'equazione equivalente. Pertanto, si possono effettuare le seguenti trasformazioni equivalenti dell'equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0:

sposta c sul lato destro, che dà l'equazione a x 2 =−c,
e dividiamo entrambe le sue parti per a, otteniamo.

L'equazione risultante ci consente di trarre conclusioni sulle sue radici. A seconda dei valori di a e c, il valore dell'espressione può essere negativo (ad esempio, se a=1 e c=2 , allora ) o positivo (ad esempio, se a=−2 e c=6 , allora ), non è uguale a zero , perché per condizione c≠0 . Analizzeremo separatamente i casi e .

Se , allora l'equazione non ha radici. Questa affermazione deriva dal fatto che il quadrato di qualsiasi numero è un numero non negativo. Ne consegue che quando , allora per qualsiasi numero p l'uguaglianza non può essere vera.

Se , la situazione con le radici dell'equazione è diversa. In questo caso, se ricordiamo, allora la radice dell'equazione diventa immediatamente ovvia, è il numero, poiché. È facile intuire che il numero è anche la radice dell'equazione, anzi, . Questa equazione non ha altre radici, che possono essere mostrate, ad esempio, per assurdo. Facciamolo.

Indichiamo le radici appena espresse dell'equazione come x 1 e −x 1 . Supponiamo che l'equazione abbia un'altra radice x 2 diversa dalle radici indicate x 1 e −x 1 . È noto che la sostituzione nell'equazione invece di x delle sue radici trasforma l'equazione in una vera uguaglianza numerica. Per x 1 e −x 1 abbiamo , e per x 2 abbiamo . Le proprietà delle uguaglianze numeriche ci consentono di eseguire la sottrazione termine per termine delle uguaglianze numeriche vere, quindi sottraendo le parti corrispondenti delle uguaglianze si ottiene x 1 2 − x 2 2 =0. Le proprietà delle operazioni con i numeri consentono di riscrivere l'uguaglianza risultante come (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Sappiamo che il prodotto di due numeri è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero. Pertanto, dall'uguaglianza ottenuta segue che x 1 −x 2 =0 e/o x 1 +x 2 =0 , che è lo stesso, x 2 =x 1 e/o x 2 = −x 1 . Quindi siamo giunti a una contraddizione, poiché all'inizio abbiamo detto che la radice dell'equazione x 2 è diversa da x 1 e −x 1 . Ciò dimostra che l'equazione non ha altre radici che e .

Riassumiamo le informazioni in questo paragrafo. L'equazione quadratica incompleta a x 2 +c=0 è equivalente all'equazione , che

non ha radici se,
ha due radici e se .

Considera esempi di risoluzione di equazioni quadratiche incomplete della forma a·x 2 +c=0 .

Iniziamo con l'equazione quadratica 9 x 2 +7=0 . Dopo aver trasferito il termine libero sul lato destro dell'equazione, assumerà la forma 9·x 2 =−7. Dividendo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9, arriviamo a . Poiché un numero negativo è ottenuto sul lato destro, questa equazione non ha radici, quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 +7=0 non ha radici.

Risolviamo un'altra equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0. Trasferiamo i nove sul lato destro: -x 2 \u003d -9. Ora dividiamo entrambe le parti per −1, otteniamo x 2 =9. Il lato destro contiene un numero positivo, da cui deduciamo che o . Dopo aver scritto la risposta finale: l'equazione quadratica incompleta −x 2 +9=0 ha due radici x=3 o x=−3.

ax2 +bx=0

Resta da affrontare la soluzione dell'ultimo tipo di equazioni quadratiche incomplete per c=0 . Le equazioni quadratiche incomplete della forma a x 2 +b x=0 consentono di risolvere metodo di fattorizzazione. Ovviamente possiamo, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, per cui è sufficiente togliere tra parentesi il fattore comune x. Questo ci permette di passare dall'equazione quadratica incompleta originale a un'equazione equivalente della forma x·(a·x+b)=0 . E questa equazione è equivalente all'insieme di due equazioni x=0 e a x+b=0 , l'ultima delle quali è lineare e ha una radice x=−b/a .

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 +b x=0 ha due radici x=0 e x=−b/a.

Per consolidare il materiale, analizzeremo la soluzione di un esempio specifico.

Esempio.

Risolvi l'equazione.

Decisione.

Prendiamo x tra parentesi, questo dà l'equazione. È equivalente a due equazioni x=0 e . Risolviamo l'equazione lineare risultante: , e dopo aver diviso il numero misto per una frazione ordinaria, troviamo . Pertanto, le radici dell'equazione originale sono x=0 e .

Dopo aver acquisito la pratica necessaria, le soluzioni di tali equazioni possono essere scritte brevemente:

Risposta:

x=0 , .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per risolvere le equazioni quadratiche, esiste una formula radice. Scriviamo la formula delle radici dell'equazione quadratica: , dove D=b 2 −4 un c- cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica. La notazione significa essenzialmente che .

È utile sapere come è stata ottenuta la formula della radice e come viene applicata nella ricerca delle radici delle equazioni quadratiche. Affrontiamo questo.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Dobbiamo risolvere l'equazione quadratica a·x 2 +b·x+c=0 . Eseguiamo alcune trasformazioni equivalenti:

Possiamo dividere entrambe le parti di questa equazione per un numero a diverso da zero, di conseguenza otteniamo l'equazione quadratica ridotta.
Adesso seleziona un quadrato intero alla sua sinistra: . Dopodiché, l'equazione assumerà la forma .
A questo punto è possibile effettuare il trasferimento degli ultimi due termini a destra con segno opposto, abbiamo .
E trasformiamo anche l'espressione a destra: .

Di conseguenza, arriviamo all'equazione , che è equivalente all'equazione quadratica originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Abbiamo già risolto equazioni simili nella forma nei paragrafi precedenti quando abbiamo analizzato . Questo ci permette di trarre le seguenti conclusioni riguardo alle radici dell'equazione:

se , allora l'equazione non ha soluzioni reali;
se , allora l'equazione ha la forma , quindi, , da cui è visibile la sua unica radice;
se , allora o , che è uguale a o , cioè l'equazione ha due radici.

Pertanto, la presenza o l'assenza delle radici dell'equazione, e quindi l'equazione quadratica originale, dipende dal segno dell'espressione sul lato destro. A sua volta, il segno di questa espressione è determinato dal segno del numeratore, poiché il denominatore 4 a 2 è sempre positivo, cioè il segno dell'espressione b 2 −4 a c . Questa espressione b 2 −4 a c è chiamata discriminante di un'equazione quadratica e contrassegnato con la lettera D. Da qui, l'essenza del discriminante è chiara: dal suo valore e segno, si conclude se l'equazione quadratica ha radici reali e, in tal caso, qual è il loro numero: uno o due.

Torniamo all'equazione , riscriviamola usando la notazione del discriminante: . E concludiamo:

se D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
se D=0, allora questa equazione ha una sola radice;
infine, se D>0, allora l'equazione ha due radici o , che possono essere riscritte nella forma o , e dopo aver ampliato e ridotto le frazioni a un denominatore comune, otteniamo .

Quindi abbiamo derivato le formule per le radici dell'equazione quadratica, sembrano , dove il discriminante D è calcolato dalla formula D=b 2 −4 a c .

Con il loro aiuto, con un discriminante positivo, puoi calcolare entrambe le radici reali di un'equazione quadratica. Quando il discriminante è uguale a zero, entrambe le formule danno lo stesso valore radice corrispondente all'unica soluzione dell'equazione quadratica. E con un discriminante negativo, quando si tenta di utilizzare la formula per le radici di un'equazione quadratica, ci si trova di fronte all'estrazione della radice quadrata da un numero negativo, che ci porta oltre l'ambito del curriculum scolastico. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non ha radici reali, ma ha una coppia complesso coniugato radici, che possono essere trovate usando le stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

In pratica, quando si risolve un'equazione quadratica, è possibile utilizzare immediatamente la formula della radice, con la quale calcolarne i valori. Ma si tratta più di trovare radici complesse.

Tuttavia, in un corso di algebra scolastica, di solito non si parla di complessi, ma di vere radici di un'equazione quadratica. In questo caso, è consigliabile trovare prima il discriminante prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, assicurarsi che non sia negativo (altrimenti possiamo concludere che l'equazione non ha radici reali), e successivamente calcola i valori delle radici.

Il ragionamento di cui sopra ci permette di scrivere algoritmo per la risoluzione di un'equazione quadratica. Per risolvere l'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, è necessario:

utilizzando la formula discriminante D=b 2 −4 a c calcolarne il valore;
concludere che l'equazione quadratica non ha radici reali se il discriminante è negativo;
calcola l'unica radice dell'equazione usando la formula if D=0 ;
trova due radici reali di un'equazione quadratica usando la formula della radice se il discriminante è positivo.

Qui notiamo solo che se il discriminante è uguale a zero, la formula può anche essere utilizzata, darà lo stesso valore di .

Puoi passare agli esempi di applicazione dell'algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Considera le soluzioni di tre equazioni quadratiche con discriminante positivo, negativo e zero. Dopo aver affrontato la loro soluzione, per analogia sarà possibile risolvere qualsiasi altra equazione quadratica. Iniziamo.

Esempio.

Trova le radici dell'equazione x 2 +2 x−6=0 .

Decisione.

In questo caso, abbiamo i seguenti coefficienti dell'equazione quadratica: a=1 , b=2 e c=−6 . Secondo l'algoritmo, devi prima calcolare il discriminante, per questo sostituiamo gli indicati a, b e c nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 un c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Poiché 28>0, cioè il discriminante è maggiore di zero, l'equazione quadratica ha due radici reali. Troviamoli con la formula delle radici , otteniamo , qui possiamo semplificare le espressioni ottenute facendo escludendo il segno della radice seguito da riduzione di frazione:

Risposta:

Passiamo al prossimo esempio tipico.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica −4 x 2 +28 x−49=0 .

Decisione.

Iniziamo trovando il discriminante: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Pertanto, questa equazione quadratica ha un'unica radice, che troviamo come , cioè,

Risposta:

x=3,5 .

Resta da considerare la soluzione delle equazioni quadratiche con discriminante negativo.

Esempio.

Risolvi l'equazione 5 y 2 +6 y+2=0 .

Decisione.

Ecco i coefficienti dell'equazione quadratica: a=5 , b=6 e c=2 . Sostituendo questi valori nella formula discriminante, abbiamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Il discriminante è negativo, quindi questa equazione quadratica non ha radici reali.

Se è necessario specificare radici complesse, utilizziamo la nota formula per le radici dell'equazione quadratica ed eseguiamo operazioni con numeri complessi:

Risposta:

non ci sono vere radici, le radici complesse sono: .

Ancora una volta, notiamo che se il discriminante dell'equazione quadratica è negativo, la scuola di solito scrive immediatamente la risposta, in cui indica che non ci sono radici reali e non trova radici complesse.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula per le radici di un'equazione quadratica, dove D=b 2 −4 a c ti permette di ottenere una formula più compatta che ti permette di risolvere equazioni quadratiche con un coefficiente pari in x (o semplicemente con un coefficiente che assomiglia a 2 n , ad esempio, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Portiamola fuori.

Diciamo che dobbiamo risolvere un'equazione quadratica della forma a x 2 +2 n x + c=0 . Ritroviamo le sue radici usando la formula a noi nota. Per fare ciò, calcoliamo il discriminante D=(2 n) 2 −4 un c=4 n 2 −4 un c=4 (n 2 −a c), e quindi usiamo la formula radice:

Indichiamo l'espressione n 2 −a c come D 1 (a volte è indicato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assume la forma , dove D 1 =n 2 −a c .

È facile vedere che D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . In altre parole, D 1 è la quarta parte del discriminante. È chiaro che il segno di D 1 è lo stesso del segno di D . Cioè, il segno D 1 è anche un indicatore della presenza o dell'assenza delle radici dell'equazione quadratica.

Quindi, per risolvere un'equazione quadratica con il secondo coefficiente 2 n, è necessario

Calcola D 1 =n 2 −a·c ;
Se D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Se D 1 =0, calcola l'unica radice dell'equazione usando la formula;
Se D 1 >0, trova due radici reali usando la formula.

Si consideri la soluzione dell'esempio utilizzando la formula radice ottenuta in questo paragrafo.

Esempio.

Risolvi l'equazione quadratica 5 x 2 −6 x−32=0 .

Decisione.

Il secondo coefficiente di questa equazione può essere rappresentato come 2·(−3) . Cioè, puoi riscrivere l'equazione quadratica originale nella forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , qui a=5 , n=−3 e c=−32 , e calcolare la quarta parte del discriminante: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Poiché il suo valore è positivo, l'equazione ha due radici reali. Li troviamo usando la formula radice corrispondente:

Si noti che era possibile utilizzare la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso sarebbe stato necessario eseguire più lavoro di calcolo.

Risposta:

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte, prima di intraprendere il calcolo delle radici di un'equazione di secondo grado utilizzando le formule, non fa male porsi la domanda: "È possibile semplificare la forma di questa equazione"? D'accordo sul fatto che in termini di calcoli sarà più facile risolvere l'equazione quadratica 11 x 2 −4 x −6=0 rispetto a 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Di solito, una semplificazione della forma di un'equazione quadratica si ottiene moltiplicando o dividendo entrambi i lati di essa per un certo numero. Ad esempio, nel paragrafo precedente, siamo riusciti a ottenere una semplificazione dell'equazione 1100 x 2 −400 x −600=0 dividendo entrambi i membri per 100 .

Una trasformazione simile viene eseguita con equazioni quadratiche, i cui coefficienti non sono . In questo caso, entrambe le parti dell'equazione sono solitamente divise per i valori assoluti dei suoi coefficienti. Ad esempio, prendiamo l'equazione quadratica 12 x 2 −42 x+48=0. valori assoluti dei suoi coefficienti: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dividendo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 , arriviamo all'equazione quadratica equivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

E la moltiplicazione di entrambe le parti dell'equazione quadratica viene solitamente eseguita per eliminare i coefficienti frazionari. In questo caso, la moltiplicazione viene effettuata sui denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se entrambe le parti di un'equazione quadratica vengono moltiplicate per LCM(6, 3, 1)=6 , assumerà una forma più semplice x 2 +4 x−18=0 .

In conclusione di questo paragrafo, notiamo che quasi sempre sbarazzarsi del meno al coefficiente più alto dell'equazione quadratica cambiando i segni di tutti i termini, che corrisponde a moltiplicare (o dividere) entrambe le parti per −1. Ad esempio, solitamente dall'equazione quadratica −2·x 2 −3·x+7=0 si passa alla soluzione 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relazione tra radici e coefficienti di un'equazione quadratica

La formula per le radici di un'equazione quadratica esprime le radici di un'equazione in termini di coefficienti. Sulla base della formula delle radici, puoi ottenere altre relazioni tra le radici e i coefficienti.

Le formule più note e applicabili del teorema di Vieta della forma e . In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è uguale al secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è il termine libero. Ad esempio, con la forma dell'equazione quadratica 3 x 2 −7 x+22=0, possiamo immediatamente dire che la somma delle sue radici è 7/3 e il prodotto delle radici è 22/3.

Usando le formule già scritte, puoi ottenere una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti dell'equazione quadratica. Ad esempio, puoi esprimere la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica in termini di coefficienti: .

Bibliografia.

Algebra: manuale per 8 celle. educazione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. SA Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Istruzione, 2008. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8 ° grado. Alle 14 Parte 1. Un libro di testo per gli studenti delle istituzioni educative / A. G. Mordkovich. - 11a ed., cancellato. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

In continuazione dell'argomento "Risoluzione di equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Consideriamo tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, impostare i termini di accompagnamento, analizzare lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizzare con la formula delle radici e il discriminante, stabilire connessioni tra radici e coefficienti e di Naturalmente daremo una soluzione visiva di esempi pratici.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè l'equazione scritta come a x 2 + b x + c = 0, dove X– variabile, a , b e c sono alcuni numeri, mentre un non è zero.

Spesso le equazioni di secondo grado sono anche dette equazioni di secondo grado, poiché in effetti un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, mentre il coefficiente unè chiamato il primo, o senior, o coefficiente a x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente a X, un c chiamato un membro libero.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente più alto è 6 , il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, quindi viene utilizzata la forma abbreviata 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti un e/o b pari 1 o − 1 , allora potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, che si spiega con le peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 - y + 7 = 0 il coefficiente senior è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche sono divise in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 . Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Ecco alcuni esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente direttivo è 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambe le sue parti per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà nemmeno radici.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente il passaggio da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Decisione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 6 . Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Da qui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso, lo abbiamo specificato a ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione a x 2 + b x + c = 0 era esattamente quadrato, dal momento che a = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare b x + c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti b e c sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompletaè un'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, dove almeno uno dei coefficienti b e c(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completaè un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Discutiamo perché ai tipi di equazioni di secondo grado vengono dati proprio questi nomi.

Per b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0, che è lo stesso di a x 2 + c = 0. In c = 0 l'equazione quadratica è scritta come a x 2 + b x + 0 = 0, che è equivalente a x 2 + b x = 0. In b = 0 e c = 0 l'equazione assumerà la forma a x 2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi contemporaneamente. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazioni: incomplete.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

a x 2 = 0, i coefficienti corrispondono a tale equazione b = 0 e c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 per b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 per c = 0 .

Si consideri successivamente la soluzione di ogni tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 \u003d 0

Come già accennato in precedenza, tale equazione corrisponde ai coefficienti b e c, uguale a zero. L'equazione a x 2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero un, diverso da zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che è spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero p , diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Quindi, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0, c'è un'unica radice x=0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3 x 2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x=0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

La soluzione è così riassunta:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluzione dell'equazione a x 2 + c \u003d 0

Il prossimo in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b \u003d 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma a x 2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione trasferendo il termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno al contrario e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

sopportare c a destra, che dà l'equazione un x 2 = - c;
dividere entrambi i membri dell'equazione per un, otteniamo come risultato x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono rispettivamente equivalenti, l'equazione risultante è anche equivalente a quella originale, e questo fatto permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori un e c dipende dal valore dell'espressione - c a: può avere un segno meno (ad esempio, if a = 1 e c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if a = -2 e c=6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è uguale a zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p uguaglianza p 2 = - c a non può essere vero.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 \u003d - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 \u003d - c a. È facile comprendere che il numero - - c a - è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a .

L'equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo usando il metodo opposto. Per prima cosa, impostiamo la notazione delle radici trovate sopra come x 1 e − x 1. Assumiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x 1 e − x 1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione invece di X le sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x 1 e − x 1 scrivi: x 1 2 = - c a , e per x2- x 2 2 \u003d - c a. Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo una vera uguaglianza da un altro termine per termine, che ci darà: x 1 2 - x 2 2 = 0. Utilizzare le proprietà delle operazioni sui numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto detto ne consegue che x1 - x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x 2 = - x 1. Sorse un'ovvia contraddizione, perché in un primo momento si era convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x 1 e − x 1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha altre radici che x = - c a e x = - - c a .

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta a x 2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a , che:

non avrà radici in - c a< 0 ;
avrà due radici x = - c a e x = - - c a quando - c a > 0 .

Diamo esempi di risoluzione di equazioni a x 2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0 .È necessario trovare la sua soluzione.

Decisione

Trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9 x 2 \u003d - 7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con il segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

È necessario risolvere l'equazione -x2 + 36 = 0.

Decisione

Spostiamo 36 a destra: − x 2 = − 36.
Dividiamo entrambe le parti in − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo dedurlo x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: un'equazione quadratica incompleta -x2 + 36 = 0 ha due radici x=6 o x = -6.

Risposta: x=6 o x = -6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Per trovare una soluzione a un'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0, utilizziamo il metodo di fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo tra parentesi il fattore comune X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, è equivalente all'insieme delle equazioni x=0 e ax + b = 0. L'equazione ax + b = 0 lineare e la sua radice: x = - b un.

Definizione 7

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0 avrà due radici x=0 e x = - b un.

Consolidiamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare la soluzione dell'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Decisione

Tiriamo fuori X fuori dalle parentesi e ottieni l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x=0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

In breve, scriviamo la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Risposta: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per trovare una soluzione alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 a, dove D = b 2 − 4 un cè il cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica.

Scrivere x \u003d - b ± D 2 a significa essenzialmente che x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Sarà utile capire come è stata ricavata la formula indicata e come applicarla.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0. Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

dividi entrambi i membri dell'equazione per il numero un, diverso da zero, otteniamo l'equazione quadratica ridotta: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
seleziona il quadrato intero sul lato sinistro dell'equazione risultante:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Successivamente, l'equazione assumerà la forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
ora è possibile trasferire a destra gli ultimi due termini, cambiando il segno al contrario, dopodiché si ottiene: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
infine, trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Quindi, siamo arrivati all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è equivalente all'equazione originale a x 2 + b x + c = 0.

Abbiamo discusso la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (la soluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

per b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, l'equazione ha la forma x + b 2 · a 2 = 0, quindi x + b 2 · a = 0.

Da qui, l'unica radice x = - b 2 · a è ovvia;

per b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, quello corretto è: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oppure x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è il come x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , cioè l'equazione ha due radici.

Si può concludere che la presenza o meno delle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (e quindi l'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 a c 4 · un 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (il denominatore 4 un 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b 2 − 4 un c. Questa espressione b 2 − 4 un c viene assegnato un nome: il discriminante di un'equazione quadratica e la lettera D è definita come designazione. Qui puoi annotare l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, quante radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Riscriviamolo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ricapitoliamo le conclusioni:

Definizione 9

A D< 0 l'equazione non ha vere radici;
A D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
A D > 0 l'equazione ha due radici: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sulla base delle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte come: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. E quando apriamo i moduli e riduciamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici dell'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 un c.

Queste formule consentono, quando il discriminante è maggiore di zero, di determinare entrambe le radici reali. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice dell'unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, provando ad utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in pratica questo viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, la ricerca è solitamente intesa non per il complesso, ma per le radici reali di un'equazione quadratica. Quindi è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), quindi procedere al calcolo del valore delle radici.

Il ragionamento sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Per risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, necessario:

secondo la formula D = b 2 − 4 un c trovare il valore del discriminante;
a d< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
per D = 0 trova l'unica radice dell'equazione con la formula x = - b 2 · a ;
per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica con la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a , darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a .

Considera degli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Presentiamo la soluzione di esempi per vari valori del discriminante.

Esempio 6

È necessario trovare le radici dell'equazione x 2 + 2 x - 6 = 0.

Decisione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a \u003d 1, b \u003d 2 e c = - 6. Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo, cioè Iniziamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a , b e c nella formula discriminante: D = b 2 − 4 un c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi, abbiamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli, utilizziamo la formula radice x \u003d - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori appropriati, otteniamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante sottraendo il fattore dal segno della radice, seguito dalla riduzione della frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esempio 7

È necessario risolvere un'equazione quadratica − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Decisione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante, l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Risposta: x = 3, 5.

Esempio 8

È necessario risolvere l'equazione 5 anni 2 + 6 anni + 2 = 0

Decisione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5 , b = 6 e c = 2 . Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice eseguendo operazioni con numeri complessi:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 io 10 o x \u003d - 6 - 2 io 10,

x = - 3 5 + 1 5 io o x = - 3 5 - 1 5 io .

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Nel curriculum scolastico, come standard, non c'è obbligo di cercare radici complesse, quindi, se il discriminante viene definito negativo in fase di soluzione, si registra immediatamente la risposta che non ci sono vere radici.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula della radice x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che permette di trovare soluzioni alle equazioni quadratiche con coefficiente pari in x (o con coefficiente della forma 2 a n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agiamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , quindi utilizziamo la formula della radice:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · circa .

Si indichi l'espressione n 2 − a c come D 1 (a volte è denotato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma:

x \u003d - n ± D 1 a, dove D 1 \u003d n 2 - a c.

È facile vedere che D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è lo stesso del segno di D, il che significa che il segno di D 1 può servire anche come indicatore della presenza o assenza delle radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare una soluzione a un'equazione quadratica con un secondo coefficiente di 2 n, è necessario:

trova D 1 = n 2 − un c ;
a D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
per D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione con la formula x = - n a ;
per D 1 > 0, determinare due radici reali usando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Decisione

Il secondo coefficiente dell'equazione data può essere rappresentato come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , dove a = 5 , n = − 3 e c = − 32 .

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Li definiamo con la formula corrispondente delle radici:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più macchinosa.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l'equazione quadratica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 è chiaramente più conveniente per la risoluzione di 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene eseguita moltiplicando o dividendo entrambe le parti per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ottenuta dividendo entrambe le sue parti per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri primi relativamente. Quindi, di solito, entrambe le parti dell'equazione sono divise per il massimo comun divisore dei valori assoluti dei suoi coefficienti.

Come esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definiamo il gcd dei valori assoluti dei suoi coefficienti: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Dividiamo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione quadratica, i coefficienti frazionari vengono solitamente eliminati. In questo caso, moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ogni parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 viene moltiplicata per LCM (6, 3, 1) \u003d 6, verrà scritta in una forma più semplice x 2 + 4x - 18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre si elimina il meno al primo coefficiente dell'equazione quadratica, cambiando i segni di ogni termine dell'equazione, che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambe le parti per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula già nota per le radici delle equazioni quadratiche x = - b ± D 2 · a esprime le radici dell'equazione in termini di coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di impostare altre dipendenze tra le radici e i coefficienti.

Le più famose e applicabili sono le formule del teorema di Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a e x 2 \u003d c a.

In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, con la forma dell'equazione quadratica 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Nella società moderna, la capacità di operare con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. Ciò può essere evidenziato dalla progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e missili. Con l'aiuto di tali calcoli, vengono determinate le traiettorie del movimento di vari corpi, inclusi gli oggetti spaziali. Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche sono usati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Possono essere necessari in campeggio, in occasione di eventi sportivi, nei negozi durante lo shopping e in altre situazioni molto comuni.

Rompiamo l'espressione in fattori componenti

Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione data. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata equazione quadratica.

Se parliamo nel linguaggio delle formule, allora queste espressioni, indipendentemente dall'aspetto, possono sempre essere riportate alla forma quando il lato sinistro dell'espressione è costituito da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (componente libera, cioè un numero ordinario). Tutto questo a destra è uguale a 0. Nel caso in cui un tale polinomio non abbia uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione di ax 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Dovrebbero essere considerati in primo luogo esempi con la soluzione di tali problemi, in cui il valore delle variabili non è difficile da trovare.

Se l'espressione sembra avere due termini sul lato destro dell'espressione, più precisamente ax 2 e bx, è più facile trovare x mettendo tra parentesi la variabile. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Inoltre, diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Questo è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola dice che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno di essi è zero.

Esempio

x=0 o 8x - 3 = 0

Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.

Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'azione della gravità, che ha cominciato a muoversi da un certo punto, preso come origine. Qui la notazione matematica assume la seguente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando possibili incognite, puoi scoprire il tempo trascorso dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a molte altre grandezze. Ma di questo parleremo più avanti.

Fattorizzazione di un'espressione

La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi nei casi più complessi. Considera esempi con la soluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Questo trinomio quadrato è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la scomponiamo in fattori. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.

Esempi con la soluzione di equazioni quadratiche nel grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e quarto ordine.

Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si scompone il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, ovvero (x + 1), (x-3) e (x + 3).

Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -uno; 3.

Estrazione della radice quadrata

Un altro caso di equazione del secondo ordine incompleta è un'espressione scritta nel linguaggio delle lettere in modo tale che il lato destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, si trasferisce il termine libero sul lato destro, dopodiché si estrae la radice quadrata da entrambi i lati dell'uguaglianza. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni sono le uguaglianze che non contengono affatto il termine c, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro risulta negativo. In quest'ultimo caso, non ci sono soluzioni, poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con le radici. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.

In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.

Calcolo dell'area del terreno

La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa in tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte dovuto alla necessità di determinare le aree e i perimetri dei lotti di terreno con la massima precisione.

Dovremmo anche considerare esempi con la soluzione di equazioni quadratiche compilate sulla base di problemi di questo tipo.

Quindi, diciamo che c'è un pezzo di terra rettangolare, la cui lunghezza è di 16 metri in più rispetto alla larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito, se è noto che la sua area è di 612 m 2.

Per metterci al lavoro, all'inizio faremo l'equazione necessaria. Indichiamo la larghezza della sezione come x, quindi la sua lunghezza sarà (x + 16). Ne consegue da quanto scritto che l'area è determinata dall'espressione x (x + 16), che, secondo la condizione del nostro problema, è 612. Ciò significa che x (x + 16) \u003d 612.

La soluzione di equazioni quadratiche complete, e questa espressione è proprio questo, non può essere eseguita allo stesso modo. Come mai? Sebbene il lato sinistro di esso contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati altri metodi.

Discriminante

Prima di tutto, faremo le trasformazioni necessarie, quindi l'aspetto di questa espressione sarà simile a questo: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto un'espressione nella forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c= -612.

Questo può essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche attraverso il discriminante. Qui vengono eseguiti i calcoli necessari secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questo valore ausiliario non solo consente di trovare i valori desiderati nell'equazione del secondo ordine, ma determina il numero di opzioni possibili. Nel caso D>0, ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sulle radici e la loro formula

Nel nostro caso, il discriminante è: 256 - 4(-612) = 2704. Questo indica che il nostro problema ha una risposta. Se sai, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata usando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.

Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione in questo dilemma non può essere una soluzione, perché la dimensione del lotto di terreno non può essere misurata in valori negativi, il che significa che x (cioè la larghezza del lotto) è 18 m Da qui calcoliamo la lunghezza: 18+16=34, e il perimetro 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Esempi e compiti

Continuiamo lo studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e una soluzione dettagliata di molti di essi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Trasferiamo tutto sul lato sinistro dell'uguaglianza, eseguiamo una trasformazione, ovvero otteniamo la forma dell'equazione, che di solito è chiamata standard, e la uguagliamo a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dopo aver aggiunto quelli simili, determiniamo il discriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Quindi la nostra equazione avrà due radici. Li calcoliamo secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo 1.

2) Ora sveleremo enigmi di diverso tipo.

Scopriamo se ci sono radici x 2 - 4x + 5 = 1 qui? Per ottenere una risposta esaustiva, portiamo il polinomio nella corrispondente forma familiare e calcoliamo il discriminante. In questo esempio, non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché l'essenza del problema non è affatto in questo. In questo caso, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, il che significa che non ci sono davvero radici.

Il teorema di Vieta

Conviene risolvere equazioni quadratiche attraverso le formule sopra e il discriminante, quando dal valore di quest'ultimo si estrae la radice quadrata. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, ci sono molti modi per ottenere i valori delle variabili in questo caso. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da un uomo che visse nella Francia del XVI secolo e che ebbe una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai suoi contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.

Lo schema che il famoso francese notò era il seguente. Ha dimostrato che la somma delle radici dell'equazione è uguale a -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.

Ora diamo un'occhiata a compiti specifici.

3x2 + 21x - 54 = 0

Per semplicità, trasformiamo l'espressione:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Usando il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver effettuato un controllo, ci assicureremo che questi valori delle variabili si adattino davvero all'espressione.

Grafico ed equazione di una parabola

I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di questo sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici in modo un po' più dettagliato. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale dipendenza, disegnata sotto forma di grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono mostrati nella figura seguente.

Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0, vanno dall'alto all'infinito e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice possono essere trovate con la formula appena data x 0 = -b / 2a. E, sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola appartenente all'asse y.

L'intersezione dei rami della parabola con l'asse delle ascisse

Ci sono molti esempi con la soluzione di equazioni quadratiche, ma ci sono anche schemi generali. Consideriamoli. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se y 0 assume valori negativi. E per un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Dal grafico di una parabola, puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più facile tracciare.

Dalla storia

Con l'aiuto di equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi, non solo facevano calcoli matematici e determinavano l'area delle forme geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandiose scoperte nel campo della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.

Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. È successo quattro secoli prima dell'avvento della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano fondamentalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell'esistenza di numeri negativi. Non conoscevano anche altre sottigliezze di quelle note a qualsiasi studente del nostro tempo.

Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama si occupò della soluzione delle equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'avvento dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi erano interessati a domande simili ai vecchi tempi. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nel loro lavoro da grandi scienziati come Newton, Descartes e molti altri.

Equazione quadratica: facile da risolvere! *Più avanti nel testo "KU". Amici, sembrerebbe che in matematica possa essere più facile che risolvere un'equazione del genere. Ma qualcosa mi ha detto che molte persone hanno problemi con lui. Ho deciso di vedere quante impressioni fornisce Yandex per richiesta al mese. Ecco cosa è successo, dai un'occhiata:

Cosa significa? Ciò significa che circa 70.000 persone al mese cercano queste informazioni, e questa è l'estate, e cosa accadrà durante l'anno scolastico - ci saranno il doppio delle richieste. Questo non sorprende, perché quei ragazzi e ragazze che si sono diplomati da tempo a scuola e si stanno preparando per l'esame stanno cercando queste informazioni e anche gli scolari stanno cercando di rinfrescarsi la memoria.

Nonostante ci siano molti siti che raccontano come risolvere questa equazione, ho deciso di contribuire e pubblicare anche il materiale. In primo luogo, voglio che i visitatori vengano sul mio sito su questa richiesta; in secondo luogo, in altri articoli, quando verrà fuori il discorso “KU”, darò un link a questo articolo; in terzo luogo, ti dirò qualcosa in più sulla sua soluzione rispetto a quanto di solito viene affermato su altri siti. Iniziamo! Il contenuto dell'articolo:

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

dove coefficienti a,be con numeri arbitrari, con a≠0.

Nel corso scolastico, il materiale viene fornito nella forma seguente: la divisione delle equazioni in tre classi è condizionata:

1. Avere due radici.

2. * Avere una sola radice.

3. Non avere radici. Vale la pena notare qui che non hanno vere radici

Come si calcolano le radici? Solo!

Calcoliamo il discriminante. Sotto questa parola "terribile" si nasconde una formula molto semplice:

Le formule della radice sono le seguenti:

*Queste formule devono essere conosciute a memoria.

Puoi scrivere subito e decidere:

Esempio:

1. Se D > 0, l'equazione ha due radici.

2. Se D = 0, l'equazione ha una radice.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Diamo un'occhiata all'equazione:

In questa occasione, quando il discriminante è zero, il corso scolastico dice che si ottiene una radice, qui è uguale a nove. Esatto, lo è, ma...

Questa rappresentazione è alquanto errata. In realtà, ci sono due radici. Sì, sì, non sorprenderti, risultano due radici uguali e, per essere matematicamente accurati, nella risposta dovrebbero essere scritte due radici:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ma è così - una piccola digressione. A scuola, puoi scrivere e dire che c'è solo una radice.

Ora il seguente esempio:

Come sappiamo, la radice di un numero negativo non viene estratta, quindi non c'è soluzione in questo caso.

Questo è l'intero processo decisionale.

Funzione quadratica.

Ecco come appare geometricamente la soluzione. Questo è estremamente importante da capire (in futuro, in uno degli articoli, analizzeremo in dettaglio la soluzione di una disuguaglianza quadratica).

Questa è una funzione del modulo:

dove xey sono variabili

a, b, c sono dati numeri, dove a ≠ 0

Il grafico è una parabola:

Cioè, si scopre che risolvendo un'equazione quadratica con "y" uguale a zero, troviamo i punti di intersezione della parabola con l'asse x. Possono esserci due di questi punti (il discriminante è positivo), uno (il discriminante è zero) o nessuno (il discriminante è negativo). Maggiori informazioni sulla funzione quadratica Puoi visualizzare articolo di Inna Feldman.

Considera esempi:

Esempio 1: Decidi 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Risposta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puoi dividere immediatamente i lati sinistro e destro dell'equazione per 2, ovvero semplificarla. I calcoli saranno più facili.

Esempio 2: Decidere x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

L'abbiamo ottenuto x 1 \u003d 11 e x 2 \u003d 11

Nella risposta è lecito scrivere x = 11.

Risposta: x = 11

Esempio 3: Decidere x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Il discriminante è negativo, non c'è soluzione in numeri reali.

Risposta: nessuna soluzione

Il discriminante è negativo. C'è una soluzione!

Qui parleremo della risoluzione dell'equazione nel caso in cui si ottenga un discriminante negativo. Sai qualcosa sui numeri complessi? Non entrerò nei dettagli qui sul perché e dove sono nati e qual è il loro ruolo e necessità specifici in matematica, questo è un argomento per un ampio articolo separato.

Il concetto di numero complesso.

Un po' di teoria

Un numero complesso z è un numero della forma

z = a + bi

dove aeb sono numeri reali, i è la cosiddetta unità immaginaria.

a+bi è un NUMERO SINGOLO, non un'aggiunta.

L'unità immaginaria è uguale alla radice di meno uno:

Consideriamo ora l'equazione:

Ottieni due radici coniugate.

Equazione quadratica incompleta.

Considera casi speciali, questo è quando il coefficiente "b" o "c" è uguale a zero (o entrambi sono uguali a zero). Si risolvono facilmente senza discriminanti.

Caso 1. Coefficiente b = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasformiamo:

Esempio:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coefficiente c = 0.

L'equazione assume la forma:

Trasforma, fattorizza:

*Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Esempio:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coefficienti b = 0 e c = 0.

Qui è chiaro che la soluzione dell'equazione sarà sempre x = 0.

Proprietà utili e modelli di coefficienti.

Ci sono proprietà che consentono di risolvere equazioni con coefficienti grandi.

unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un + b+ c = 0, poi

— se per i coefficienti dell'equazione unX 2 + bx+ c=0 uguaglianza

un+ con =b, poi

Queste proprietà aiutano a risolvere un certo tipo di equazione.

Esempio 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La somma dei coefficienti è 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, quindi

Esempio 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Uguaglianza un+ con =b, si intende

Regolarità dei coefficienti.

1. Se nell'equazione ax 2 + bx + c \u003d 0 il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono uguali

ascia 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Se nell'equazione ax 2 - bx + c \u003d 0, il coefficiente "b" è (a 2 +1) e il coefficiente "c" è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se nell'equazione ax 2 + bx - c = 0 coefficiente "b" è uguale a (un 2 – 1), e il coefficiente “c” numericamente uguale al coefficiente "a", allora le sue radici sono uguali

ascia 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Se nell'equazione ax 2 - bx - c \u003d 0, il coefficiente "b" è uguale a (a 2 - 1) e il coefficiente c è numericamente uguale al coefficiente "a", le sue radici sono

ascia 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Esempio. Considera l'equazione 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Il teorema di Vieta.

Il teorema di Vieta prende il nome dal famoso matematico francese Francois Vieta. Usando il teorema di Vieta, si può esprimere la somma e il prodotto delle radici di un KU arbitrario in termini di coefficienti.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

In sintesi, il numero 14 dà solo 5 e 9. Queste sono le radici. Con una certa abilità, usando il teorema presentato, puoi risolvere immediatamente oralmente molte equazioni quadratiche.

Il teorema di Vieta, inoltre. conveniente perché dopo aver risolto l'equazione quadratica nel modo consueto (attraverso il discriminante), si possono verificare le radici risultanti. Consiglio di farlo sempre.

METODO DI TRASFERIMENTO

Con questo metodo il coefficiente "a" viene moltiplicato per il termine libero, come se ad esso "trasferito", motivo per cui viene chiamato metodo di trasferimento. Questo metodo viene utilizzato quando è facile trovare le radici di un'equazione utilizzando il teorema di Vieta e, soprattutto, quando il discriminante è un quadrato esatto.

Se un un± b+c≠ 0, allora viene utilizzata la tecnica di trasferimento, ad esempio:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Secondo il teorema di Vieta nell'equazione (2), è facile determinare che x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Le radici ottenute dell'equazione devono essere divise per 2 (poiché i due sono stati "gettati" da x 2), otteniamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Qual è la logica? Guarda cosa sta succedendo.

I discriminanti delle equazioni (1) e (2) sono:

Se guardi le radici delle equazioni, si ottengono solo denominatori diversi e il risultato dipende proprio dal coefficiente in x 2:

Le seconde radici (modificate) sono 2 volte più grandi.

Pertanto, dividiamo il risultato per 2.

*Se tiriamo un tris, dividiamo il risultato per 3 e così via.

Risposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mq ur-ie e l'esame.

Dirò brevemente la sua importanza - DOVRESTE SAPER DECIDERE rapidamente e senza pensarci, devi conoscere le formule delle radici e del discriminante a memoria. Molti dei compiti che fanno parte dei compiti USE si riducono alla risoluzione di un'equazione quadratica (comprese quelle geometriche).

Cosa vale la pena notare!

1. La forma dell'equazione può essere "implicita". Ad esempio, è possibile la seguente voce:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Devi portarlo in un modulo standard (per non confonderti durante la risoluzione).

2. Ricorda che x è un valore sconosciuto e può essere indicato con qualsiasi altra lettera - t, q, p, he altre.

Il discriminante, così come le equazioni quadratiche, iniziano a essere studiate nel corso di algebra al grado 8. Puoi risolvere un'equazione quadratica attraverso il discriminante e usando il teorema di Vieta. La metodologia per lo studio delle equazioni quadratiche, così come la formula discriminante, viene instillata piuttosto senza successo negli scolari, come molto nell'istruzione reale. Pertanto, gli anni scolastici passano, l'istruzione nelle classi 9-11 sostituisce "l'istruzione superiore" e tutti cercano di nuovo - "Come risolvere un'equazione quadratica?", "Come trovare le radici di un'equazione?", "Come trovare il discriminante?" e...

Formula discriminante

Il discriminante D dell'equazione quadratica a*x^2+bx+c=0 è D=b^2–4*a*c.
Le radici (soluzioni) dell'equazione quadratica dipendono dal segno del discriminante (D):
D>0 - l'equazione ha 2 diverse radici reali;
D=0 - l'equazione ha 1 radice (2 radici coincidenti):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La formula per calcolare il discriminante è abbastanza semplice, quindi molti siti offrono un calcolatore discriminante online. Non abbiamo ancora capito questo tipo di script, quindi chi sa come implementarlo, per favore scrivi alla mail Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. Devi avere JavaScript abilitato per visualizzare. .

Formula generale per trovare le radici di un'equazione quadratica:

Le radici dell'equazione sono trovate dalla formula
Se il coefficiente della variabile nel quadrato è accoppiato, è consigliabile calcolare non il discriminante, ma la sua quarta parte
In questi casi, le radici dell'equazione sono trovate dalla formula

Il secondo modo per trovare le radici è il teorema di Vieta.

Il teorema è formulato non solo per equazioni quadratiche, ma anche per polinomi. Puoi leggerlo su Wikipedia o su altre risorse elettroniche. Tuttavia, per semplificare, si consideri quella parte che riguarda le equazioni quadratiche ridotte, cioè le equazioni della forma (a=1)
L'essenza delle formule di Vieta è che la somma delle radici dell'equazione è uguale al coefficiente della variabile, preso con il segno opposto. Il prodotto delle radici dell'equazione è uguale al termine libero. Le formule del teorema di Vieta hanno una notazione.
La derivazione della formula Vieta è abbastanza semplice. Scriviamo l'equazione quadratica in termini di fattori primi
Come puoi vedere, tutto ciò che è geniale è semplice allo stesso tempo. È efficace utilizzare la formula di Vieta quando la differenza nel modulo delle radici o la differenza nel modulo delle radici è 1, 2. Ad esempio, le seguenti equazioni, secondo il teorema di Vieta, hanno radici

L'analisi fino a 4 equazioni dovrebbe essere simile a questa. Il prodotto delle radici dell'equazione è 6, quindi le radici possono essere i valori (1, 6) e (2, 3) o coppie con il segno opposto. La somma delle radici è 7 (il coefficiente della variabile con segno opposto). Da qui concludiamo che le soluzioni dell'equazione quadratica sono uguali a x=2; x=3.
È più facile selezionare le radici dell'equazione tra i divisori del termine libero, correggendone il segno per soddisfare le formule di Vieta. All'inizio, questo sembra difficile da fare, ma con la pratica su un certo numero di equazioni quadratiche, questa tecnica sarà più efficiente del calcolo del discriminante e della ricerca delle radici dell'equazione quadratica nel modo classico.
Come puoi vedere, la teoria scolastica dello studio del discriminante e dei modi per trovare soluzioni all'equazione è priva di significato pratico - "Perché gli scolari hanno bisogno di un'equazione quadratica?", "Qual è il significato fisico del discriminante?".

Proviamo a capirlo cosa descrive il discriminante?

Nel corso di algebra, studiano funzioni, schemi per studiare funzioni e funzioni di tracciamento. Di tutte le funzioni, un posto importante è occupato da una parabola, la cui equazione può essere scritta nella forma
Quindi il significato fisico dell'equazione quadratica sono gli zeri della parabola, cioè i punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle ascisse Ox
Vi chiedo di ricordare le proprietà delle parabole che sono descritte di seguito. Verrà il momento di sostenere esami, prove o esami di ammissione e sarai grato per il materiale di riferimento. Il segno della variabile nel quadrato corrisponde a se i rami della parabola sul grafico saliranno (a>0),

o una parabola con i rami in basso (a<0) .

Il vertice della parabola si trova a metà strada tra le radici

Il significato fisico del discriminante:

Se il discriminante è maggiore di zero (D>0), la parabola ha due punti di intersezione con l'asse Ox.
Se il discriminante è uguale a zero (D=0), la parabola in alto tocca l'asse x.
E l'ultimo caso, quando il discriminante è minore di zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).