Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաները.
Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տարբերակումը.

Այս հոդվածը բացում է մի շարք դասեր, որոնցում ես կանդրադառնամ բնորոշ առաջադրանքներկապված բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության հետ։ Օրինակները հաջողությամբ տիրապետելու համար դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքկոմպլեքս թվերի մասին։ Նյութը համախմբելու և կրկնելու համար բավական է այցելել էջ։ Գտնելու համար ձեզ նույնպես անհրաժեշտ կլինեն հմտություններ երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ. Ահա դրանք, այս մասնակի ածանցյալները ... նույնիսկ հիմա ես մի փոքր զարմացա, թե որքան հաճախ են դրանք տեղի ունենում ...

Թեման, որը մենք սկսում ենք վերլուծել, առանձնապես բարդ չէ, և բարդ փոփոխականի գործառույթներում, սկզբունքորեն, ամեն ինչ պարզ է և հասանելի։ Հիմնական բանը հավատարիմ մնալն է հիմնական կանոնին, որը բխում է իմ կողմից էմպիրիկորեն. Շարունակեք կարդալ

Բարդ փոփոխականի ֆունկցիայի հայեցակարգը

Նախ, եկեք թարմացնենք մեր գիտելիքները մեկ փոփոխականի դպրոցական ֆունկցիայի մասին.

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիականոն է, ըստ որի անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք (սահմանման տիրույթից) համապատասխանում է ֆունկցիայի մեկ և միայն մեկ արժեքին: Բնականաբար, «x»-ը և «y»-ն իրական թվեր են:

Բարդ դեպքում ֆունկցիոնալ կախվածությունը տրվում է նույն կերպ.

Կոմպլեքս փոփոխականի միարժեք ֆունկցիաայն կանոնն է, որ բոլորը համապարփականկախ փոփոխականի արժեքը (տիրույթից) համապատասխանում է մեկին և միայն մեկին համապարփակֆունկցիայի արժեքը. Տեսականորեն դիտարկվում են նաև բազմարժեք և որոշ այլ տեսակի գործառույթներ, բայց պարզության համար ես կկենտրոնանամ մեկ սահմանման վրա:

Ո՞րն է բարդ փոփոխականի գործառույթը:

Հիմնական տարբերությունն այն է, որ թվերը բարդ են: Ես հեգնանք չեմ անում. Նման հարցերից նրանք հաճախ ընկնում են թմբիրի մեջ, հոդվածի վերջում ես կպատմեմ մի թույն պատմություն։ Դասի վրա Կոմպլեքս թվեր կեղծիքների համարմենք համարում ենք կոմպլեքս թիվը ձևով: Այսուհետ «Z» տառը դարձել է փոփոխական, ապա այն կնշանակենք հետևյալ կերպ՝ , մինչդեռ «x»-ը և «y»-ը կարող են տարբեր լինել վավերարժեքներ։ Կոպիտ ասած՝ բարդ փոփոխականի ֆունկցիան կախված է փոփոխականներից և , որոնք ընդունում են «սովորական» արժեքներ։ Սկսած այս փաստըտրամաբանորեն հետևում է հետևյալ կետին.

Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
, որտեղ և են երկուի երկու ֆունկցիաները վավերփոփոխականներ.

Ֆունկցիան կոչվում է իրական մասգործառույթներ.
Ֆունկցիան կոչվում է երևակայական մասգործառույթներ.

Այսինքն՝ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան կախված է երկու իրական ֆունկցիաներից և . Ամեն ինչ վերջնականապես պարզաբանելու համար դիտարկենք գործնական օրինակներ.

Օրինակ 1

Որոշում:Անկախ «z» փոփոխականը, ինչպես հիշում եք, գրված է այսպես, հետևաբար.

(1) փոխարինվել է սկզբնական ֆունկցիայի մեջ:

(2) Առաջին անդամի համար օգտագործվել է կրճատված բազմապատկման բանաձևը: Ժամկետի մեջ փակագծերը բացվեցին.

(3) Զգուշորեն քառակուսի, չմոռանալով դա

(4) Տերմինների վերադասավորում. նախ վերաշարադրիր տերմինները , որի մեջ չկա երևակայական միավոր(առաջին խումբ), ապա տերմիններ, որտեղ կա (երկրորդ խումբ): Հարկ է նշել, որ պետք չէ խառնել պայմանները, և այս փուլըկարելի է բաց թողնել (իրականում դա անում է բանավոր):

(5) Երկրորդ խումբը հանվում է փակագծերից:

Արդյունքում ստացվեց, որ մեր գործառույթը ներկայացված է ձևով

Պատասխան.
ֆունկցիայի իրական մասն է:
ֆունկցիայի երևակայական մասն է։

Որո՞նք են այս գործառույթները: Երկու փոփոխականների ամենասովորական գործառույթները, որոնցից կարելի է գտնել այդպիսի հայտնի մասնակի ածանցյալներ. Առանց ողորմության - մենք կգտնենք: Բայց մի փոքր ուշ:

Հակիրճ, լուծված խնդրի ալգորիթմը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. մենք փոխարինում ենք սկզբնական ֆունկցիայի մեջ, կատարում ենք պարզեցումներ և բոլոր տերմինները բաժանում ենք երկու խմբի՝ առանց երևակայական միավորի (իրական մաս) և երևակայական միավորով (երևակայական մաս):

Օրինակ 2

Գտե՛ք ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասը

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Նախքան կռվի մեջ նետվեք բարդ հարթության վրա, թույլ տվեք ձեզ տալ առավելագույնը կարևոր խորհուրդայս թեմայով.

ԶԳՈՒՅՇ ԵՂԻՐ!Դուք պետք է զգույշ լինեք, իհարկե, ամենուր, բայց բարդ թվերով դուք պետք է զգույշ լինեք ավելի քան երբևէ: Հիշեք, որ զգուշորեն ընդլայնեք փակագծերը, ոչինչ մի կորցրեք։ Ըստ իմ դիտարկումների՝ ամենատարածված սխալը նշանի կորուստն է։ Մի շտապիր!

Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Հիմա խորանարդ: Օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը, մենք ստանում ենք.
.

Բանաձևերը շատ հարմար են գործնականում օգտագործելու համար, քանի որ դրանք մեծապես արագացնում են լուծման գործընթացը:

Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տարբերակումը.

Երկու նորություն ունեմ՝ լավ և վատ. Ես կսկսեմ լավից: Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի համար գործում են տարբերակման կանոնները և տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Այսպիսով, ածանցյալը վերցվում է ճիշտ այնպես, ինչպես իրական փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում։

Վատ նորությունն այն է, որ բարդ փոփոխականի շատ գործառույթների համար ընդհանրապես ածանցյալ չկա, և դուք պետք է պարզեք. տարբերակելի էայս կամ այն ​​գործառույթը: Եվ «հասկանալը», թե ինչ է զգում ձեր սիրտը, կապված է լրացուցիչ խնդիրների հետ:

Դիտարկենք բարդ փոփոխականի ֆունկցիա: Որպեսզի այս ֆունկցիան տարբերակելի լինի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ.

1) Որպեսզի լինեն առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ. Անմիջապես մոռացեք այս նշումների մասին, քանի որ բարդ փոփոխականի ֆունկցիայի տեսության մեջ ավանդաբար օգտագործվում է նշման մեկ այլ տարբերակ. .

2) իրականացնել այսպես կոչված Կոշի-Ռիմանի պայմանները:

Միայն այս դեպքում կլինի ածանցյալը:

Օրինակ 3

Որոշումբաժանված է երեք հաջորդական փուլերի.

1) Գտեք ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը. Այս առաջադրանքը վերլուծվել է նախորդ օրինակներում, ուստի ես այն կգրեմ առանց մեկնաբանության.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով.

ֆունկցիայի երևակայական մասն է։

Ես կանգ կառնեմ ևս մեկի վրա տեխնիկական պահ: ինչ հերթականությամբտերմինները գրե՞լ իրական և երևակայական մասերով: Այո, հիմնականում դա նշանակություն չունի: Օրինակ, իրական մասը կարելի է գրել այսպես. , և երևակայական - այսպես.

2) Եկեք ստուգենք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը: Դրանք երկուսն են։

Սկսենք վիճակը ստուգելուց։ Մենք գտնում ենք մասնակի ածանցյալներ:

Այսպիսով, պայմանը կատարվում է.

Անկասկած, լավ նորությունն այն է, որ մասնակի ածանցյալները գրեթե միշտ շատ պարզ են:

Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանի կատարումը.

Պարզվեց նույնը, բայց հակառակ նշաններով, այսինքն՝ պայմանը նույնպես կատարված է։

Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են, հետևաբար ֆունկցիան տարբերելի է։

3) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը. Ածանցյալը նույնպես շատ պարզ է և հայտնաբերվում է սովորական կանոններով.

Տարբերակման մեջ երևակայական միավորը համարվում է հաստատուն:

Պատասխան. - իրական մաս երևակայական մասն է։
Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են.

Ածանցյալը գտնելու ևս երկու եղանակ կա, դրանք, իհարկե, ավելի քիչ են օգտագործվում, բայց տեղեկատվությունը օգտակար կլինի երկրորդ դասը հասկանալու համար. Ինչպե՞ս գտնել բարդ փոփոխականի ֆունկցիան:

Ածանցյալը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Այս դեպքում:

Այսպիսով

Անհրաժեշտ է լուծել հակադարձ խնդիրը՝ ստացված արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է մեկուսացնել . Դա անելու համար անհրաժեշտ է ժամկետներում և փակագծերից հանել.

Հակադարձ գործողությունը, ինչպես շատերն են նկատել, որոշ չափով ավելի դժվար է կատարել, ստուգման համար միշտ ավելի լավ է վերցնել արտահայտությունը և սևագրի վրա, կամ բանավոր հետ բացել փակագծերը՝ համոզվելով, որ այն ճշգրիտ է ստացվում։

Ածանցյալը գտնելու հայելային բանաձև.

Այս դեպքում: , Ահա թե ինչու:

Օրինակ 4

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը . Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը: Եթե ​​Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են, գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը:

Արագ լուծումև օրինակելի նմուշդասի վերջում ավարտական ​​աշխատանքներ.

Կոշի-Ռիմանի պայմանները միշտ բավարարվա՞ծ են: Տեսականորեն դրանք ավելի հաճախ չեն կատարվում, քան կան։ Բայց ներս գործնական օրինակներԵս չեմ հիշում դեպք, որ դրանք չկատարվեն =) Այսպիսով, եթե ձեր մասնակի ածանցյալները «չեն համընկել», ապա շատ մեծ հավանականությամբ կարող ենք ասել, որ ինչ-որ տեղ սխալ եք թույլ տվել:

Եկեք բարդացնենք մեր գործառույթները.

Օրինակ 5

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը . Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը: Հաշվիր

Որոշում:Լուծման ալգորիթմն ամբողջությամբ պահպանված է, բայց վերջում ավելացվում է նոր երևույթ՝ ածանցյալը գտնել մի կետում։ Խորանարդի համար անհրաժեշտ բանաձևն արդեն ստացվել է.

Սահմանենք այս ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը.

Ուշադրություն և կրկին ուշադրություն.

Այդ ժամանակվանից:


Այսպիսով.
ֆունկցիայի իրական մասն է.
ֆունկցիայի երևակայական մասն է։

Երկրորդ պայմանի ստուգում.

Պարզվեց նույնը, բայց հակառակ նշաններով, այսինքն՝ պայմանը նույնպես կատարված է։

Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են, հետևաբար ֆունկցիան տարբերակելի է.

Հաշվեք ածանցյալի արժեքը պահանջվող կետում.

Պատասխան.Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են,

Խորանարդներով ֆունկցիաները տարածված են, հետևաբար համախմբելու օրինակ.

Օրինակ 6

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը . Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը: Հաշվիր.

Որոշում և նմուշի ավարտում դասի վերջում:

Կոմպլեքս վերլուծության տեսության մեջ սահմանվում են նաև բարդ փաստարկի այլ գործառույթներ՝ էքսպոնենցիալ, սինուս, կոսինուս և այլն։ Այս գործառույթներն ունեն անսովոր և նույնիսկ տարօրինակ հատկություններ, և դա իսկապես հետաքրքիր է: Ես իսկապես ուզում եմ ձեզ ասել, բայց այստեղ, դա հենց այնպես եղավ, ոչ թե տեղեկատու կամ դասագիրք, այլ լուծում, այնպես որ ես կքննարկեմ նույն խնդիրը որոշ ընդհանուր գործառույթներով:

Նախ այսպես կոչվածի մասին Էյլերի բանաձևերը:

Որևէ մեկի համար վավերթվեր, վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

Կարող եք նաև պատճենել այն ձեր նոթատետրում՝ որպես հղում:

Խիստ ասած, կա միայն մեկ բանաձեւ, բայց սովորաբար, հարմարության համար, նաեւ գրում են հատուկ դեպքմինուս ցուցանիշով։ Պարտադիր չէ, որ պարամետրը լինի մեկ տառ, այն կարող է լինել բարդ արտահայտություն, ֆունկցիա, միայն կարևոր է, որ նրանք վերցնեն. միայն վավերարժեքներ։ Իրականում, մենք դա կտեսնենք հենց հիմա.

Օրինակ 7

Գտի՛ր ածանցյալը:

Որոշում:Կուսակցության ընդհանուր գիծը մնում է անսասան՝ անհրաժեշտ է առանձնացնել ֆունկցիայի իրական ու մտացածին մասերը։ Ես մանրամասն լուծում կտամ և յուրաքանչյուր քայլի վերաբերյալ կմեկնաբանեմ ստորև.

Այդ ժամանակվանից:

(1) «z»-ի փոխարինում.

(2) Փոխարինումից հետո անհրաժեշտ է առանձնացնել իրական և երևակայական մասերը առաջին ցուցանիշովցուցադրողներ. Դա անելու համար բացեք փակագծերը:

(3) Ցուցանիշի երևակայական մասը խմբավորում ենք՝ փակագծերից դուրս դնելով երևակայական միավորը։

(4) Օգտագործում դպրոցական ակցիաաստիճաններով։

(5) Բազմապատկիչի համար մենք օգտագործում ենք Էյլերի բանաձևը, մինչդեռ .

(6) Մենք բացում ենք փակագծերը, արդյունքում.

ֆունկցիայի իրական մասն է.
ֆունկցիայի երևակայական մասն է։

Հետագա գործողությունները ստանդարտ են, եկեք ստուգենք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը.

Օրինակ 9

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը . Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը: Այնպես որ, մենք չենք գտնի ածանցյալը:

Որոշում:Լուծման ալգորիթմը շատ նման է նախորդ երկու օրինակներին, բայց կան շատ կարևոր կետեր, Ահա թե ինչու Առաջին փուլՆորից քայլ առ քայլ կմեկնաբանեմ.

Այդ ժամանակվանից:

1) «z»-ի փոխարեն փոխարինում ենք:

(2) Նախ ընտրեք իրական և երևակայական մասերը սինուսի ներսում. Այդ նպատակով բացեք փակագծերը։

(3) Մենք օգտագործում ենք բանաձևը, մինչդեռ .

(4) Օգտագործում հիպերբոլիկ կոսինուսի հավասարությունև հիպերբոլիկ սինուսային տարօրինակություն: Հիպերբոլիկները, թեև այս աշխարհից չեն, բայց շատ առումներով նման են նմանատիպ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին։

Ի վերջո.
ֆունկցիայի իրական մասն է.
ֆունկցիայի երևակայական մասն է։

Ուշադրություն.Մինուս նշանը վերաբերում է երևակայական մասին, և ոչ մի դեպքում չպետք է կորցնենք այն: Տեսողական նկարազարդման համար վերևում ստացված արդյունքը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

Եկեք ստուգենք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը.

Կոշի-Ռիմանի պայմանները կատարված են.

Պատասխան., , Կոշի-Ռիմանի պայմանները բավարարված են։

Կոսինուսով, տիկնայք և պարոնայք, մենք ինքնուրույն հասկանում ենք.

Օրինակ 10

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը: Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը:

Ես միտումնավոր վերցրեցի ավելի բարդ օրինակներ, քանի որ բոլորն էլ կարող են գործածել կեղևավորված գետնանուշի նման մի բան: Միևնույն ժամանակ մարզե՛ք ձեր ուշադրությունը։ Շչելկունչիկ դասի վերջում.

Դե, ի վերջո, ես կանդրադառնամ ևս մեկին հետաքրքիր օրինակերբ կոմպլեքս արգումենտը գտնվում է հայտարարի մեջ: Գործնականում մի երկու անգամ հանդիպեցինք, մի պարզ բան վերլուծենք. Ա՜խ, ես ծերանում եմ...

Օրինակ 11

Որոշի՛ր ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը: Ստուգեք Կոշի-Ռիմանի պայմանների կատարումը:

Որոշում:Կրկին անհրաժեշտ է առանձնացնել ֆունկցիայի իրական և երևակայական մասերը։
Եթե, ապա

Հարց է առաջանում՝ ի՞նչ անել, երբ «Z»-ը հայտարարի մեջ է։

Ամեն ինչ պարզ է, ստանդարտը կօգնի Համարը և հայտարարը խոնարհված արտահայտությամբ բազմապատկելու մեթոդ, այն արդեն օգտագործվել է դասի օրինակներում Կոմպլեքս թվեր կեղծիքների համար. Հիշենք դպրոցական բանաձեւը. Հայտարարում մենք արդեն ունենք, ուստի խոնարհված արտահայտությունը կլինի: Այսպիսով, դուք պետք է բազմապատկեք համարիչը և հայտարարը հետևյալով.