Թվային հաջորդականություն սահմանելու մեթոդներ. Թվերի հաջորդականության սահմանում

Վիդա y= զ(x), xՕ Ն, որտեղ Նբնական թվերի բազմությունն է (կամ բնական արգումենտի ֆունկցիա), որը նշվում է y=զ(n) կամ y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Արժեքներ y 1 ,y 2 ,y 3 ,… կոչվում են համապատասխանաբար հաջորդականության առաջին, երկրորդ, երրորդ, ... անդամներ։

Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար y= n 2-ը կարելի է գրել.

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Հերթականությունների սահմանման մեթոդներ.Հերթականությունները կարող են սահմանվել տարբեր ձևերով, որոնցից երեքը հատկապես կարևոր են՝ վերլուծական, նկարագրական և կրկնվող:

1. Հերթականությունը տրվում է անալիտիկ, եթե տրված է դրա բանաձևը n-րդ անդամ:

y n=զ(n).

Օրինակ. y n= 2n- 1 – կենտ թվերի հաջորդականություն՝ 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Նկարագրական Թվային հաջորդականությունը նշելու ձևն այն է, որ այն բացատրում է, թե որ տարրերից է կառուցված հաջորդականությունը:

Օրինակ 1. «Հաջորդականության բոլոր անդամները հավասար են 1-ի»։ Սա նշանակում է, մենք խոսում ենք 1, 1, 1, …, 1, … անշարժ հաջորդականության մասին:

Օրինակ 2. «Հաջորդականությունը կազմված է բոլոր պարզ թվերից՝ աճման կարգով»։ Այսպիսով, տրված է 2, 3, 5, 7, 11, ... հաջորդականությունը: Այս օրինակում հաջորդականությունը ճշտելու այս եղանակով դժվար է պատասխանել, թե ինչին է հավասար, ասենք, հաջորդականության 1000-րդ տարրը։

3. Հերթականությունը նշելու կրկնվող եղանակն այն է, որ նշվում է կանոն, որը թույլ է տալիս հաշվարկել n- հաջորդականության անդամը, եթե հայտնի են նրա նախորդ անդամները: Կրկնվող մեթոդի անվանումը գալիս է լատիներեն բառից կրկնվող- վերադարձիր: Ամենից հաճախ նման դեպքերում նշվում է բանաձև, որը թույլ է տալիս արտահայտվել nհաջորդականության անդամները նախորդների միջով և նշեք հաջորդականության 1-2 սկզբնական անդամները:

Օրինակ 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 եթե n = 2, 3, 4,….

Այստեղ y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Կարելի է տեսնել, որ այս օրինակում ստացված հաջորդականությունը կարող է նաև վերլուծական կերպով ճշգրտվել. y n= 4n- 1.

Օրինակ 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 եթե n = 3, 4,….

Այստեղ: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Այս օրինակում կազմված հաջորդականությունը հատուկ ուսումնասիրված է մաթեմատիկայի մեջ, քանի որ այն ունի մի շարք հետաքրքիր հատկություններ և կիրառություններ: Այն կոչվում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն՝ 13-րդ դարի իտալացի մաթեմատիկոսի անունով: Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ռեկուրսիվ կերպով սահմանելը շատ հեշտ է, բայց վերլուծական առումով՝ շատ դժվար։ nՖիբոնաչիի թիվն արտահայտվում է իր հերթական թվով հետևյալ բանաձևով.

Առաջին հայացքից բանաձևը nՖիբոնաչիի թիվը անհավանական է թվում, քանի որ բանաձևը, որը սահմանում է միայն բնական թվերի հաջորդականությունը, պարունակում է քառակուսի արմատներ, բայց դուք կարող եք «ձեռքով» ստուգել այս բանաձևի վավերականությունը առաջին մի քանիսի համար։ n.

Թվային հաջորդականությունների հատկությունները.

Թվային հաջորդականությունը թվային ֆունկցիայի հատուկ դեպք է, ուստի հաջորդականությունների համար հաշվի են առնվում նաև ֆունկցիաների մի շարք հատկություններ։

Սահմանում . Հաջորդականություն ( y n} կոչվում է աճող, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) մեծ է նախորդից.

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Սահմանում.Հաջորդականություն ( y n} կոչվում է նվազող, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) փոքր է նախորդից.

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Աճող և նվազող հաջորդականությունները միավորվում են ընդհանուր տերմինով՝ միատոն հաջորդականություններով։

Օրինակ 1 y 1 = 1; y n= n 2-ը աճող հաջորդականություն է:

Այսպիսով, հետևյալ թեորեմը ճիշտ է (թվաբանական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն). Թվային հաջորդականությունը թվաբանական է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը, բացառությամբ առաջինի (և վերջավոր հաջորդականության դեպքում), հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների միջին թվաբանականին։

Օրինակ. Ինչ արժեքով xթիվ 3 x + 2, 5x- 4 և 11 x+ 12-ը կազմում են վերջավոր թվաբանական առաջընթաց:

Ըստ հատկանշական հատկության՝ տրված արտահայտությունները պետք է բավարարեն կապը

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Այս հավասարման լուծումը տալիս է x= –5,5. Այս արժեքով xտրված արտահայտություններ 3 x + 2, 5x- 4 և 11 x+ 12 վերցնել, համապատասխանաբար, արժեքները -14,5, –31,5, –48,5. Սա թվաբանական պրոգրեսիա է, նրա տարբերությունը -17 է։

Երկրաչափական առաջընթաց.

Թվային հաջորդականություն, որի բոլոր անդամները զրոյական չեն, և որի յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է նախորդ անդամից՝ բազմապատկելով նույն թվով։ ք, կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, իսկ թիվը ք- երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարը.

Այսպիսով, երկրաչափական առաջընթացը թվային հաջորդականություն է ( b n) ռեկուրսիվորեն տրված հարաբերություններով

բ 1 = բ, b n = b n –1 ք (n = 2, 3, 4…).

(բև ք-տրված թվեր, բ ≠ 0, ք ≠ 0).

Օրինակ 1. 2, 6, 18, 54, ... - աճող երկրաչափական պրոգրեսիա բ = 2, ք = 3.

Օրինակ 2. 2, -2, 2, -2, ... – երկրաչափական առաջընթաց բ= 2,ք= –1.

Օրինակ 3. 8, 8, 8, 8, … – երկրաչափական առաջընթաց բ= 8, ք= 1.

Երկրաչափական առաջընթացը աճող հաջորդականություն է, եթե բ 1 > 0, ք> 1, և նվազեցնելով, եթե բ 1 > 0, 0ք

Երկրաչափական պրոգրեսիայի ակնհայտ հատկություններից մեկն այն է, որ եթե հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, ապա քառակուսիների հաջորդականությունը, այսինքն.

բ 1 2 , բ 2 2 , բ 3 2 , …, b n 2,… երկրաչափական պրոգրեսիա է, որի առաջին անդամը հավասար է բ 1 2 , իսկ հայտարարը ք 2 .

Բանաձև n-Երկրաչափական առաջընթացի տերմինն ունի ձև

b n= բ 1 q n– 1 .

Դուք կարող եք ստանալ վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը:

Թող լինի վերջավոր երկրաչափական պրոգրեսիա

բ 1 ,բ 2 ,բ 3 , …, b n

թող S n -նրա անդամների գումարը, այսինքն.

Ս ն= բ 1 + բ 2 + բ 3 + … +b n.

Ընդունված է, որ քԹիվ 1. Որոշել Ս նկիրառվում է արհեստական հնարք՝ կատարվում են արտահայտության որոշ երկրաչափական փոխակերպումներ Ս ն ք.

Ս ն ք = (բ 1 + բ 2 + բ 3 + … + b n –1 + b n)ք = բ 2 + բ 3 + բ 4 + …+ b n+ բ ն ք = Ս ն+ բ ն ք– բ 1 .

Այս կերպ, Ս ն ք= Ս ն +բ ն ք – բ 1 և հետևաբար

Սա բանաձեւն է umma n երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամներայն դեպքի համար, երբ ք≠ 1.

ժամը ք= 1 բանաձևը չի կարող ստացվել առանձին, ակնհայտ է, որ այս դեպքում Ս ն= ա 1 n.

Այն կոչվում է երկրաչափական պրոգրեսիա, քանի որ դրանում յուրաքանչյուր անդամ, բացի առաջինից, հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների երկրաչափական միջինին։ Իսկապես, քանի որ

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /ք,

հետևաբար, b n 2= b n– 1 bn+ 1 և հետևյալ թեորեմը ճշմարիտ է (երկրաչափական պրոգրեսիայի բնորոշ հատկություն).

Թվային հաջորդականությունը երկրաչափական պրոգրեսիա է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամի քառակուսին, բացառությամբ առաջինի (և վերջավոր հաջորդականության դեպքում), հավասար է նախորդ և հաջորդ անդամների արտադրյալին:

Հերթականության սահմանափակում.

Թող լինի հաջորդականություն ( c n} = {1/n}. Այս հաջորդականությունը կոչվում է ներդաշնակ, քանի որ նրա յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ներդաշնակ միջինն է նախորդ և հաջորդ անդամների միջև: Թվերի երկրաչափական միջինը աև բմի թիվ կա

Հակառակ դեպքում հաջորդականությունը կոչվում է դիվերգենտ:

Այս սահմանման հիման վրա կարելի է, օրինակ, ապացուցել սահմանի գոյությունը A=0ներդաշնակ հաջորդականության համար ( c n} = {1/n): Թող ε լինի կամայականորեն փոքր դրական թիվ։ Մենք դիտարկում ենք տարբերությունը

Կա՞ այդպիսին Նոր բոլորի համար n≥ Նանհավասարություն 1 /N? Եթե ընդունվի որպես Ն-ից մեծ ցանկացած բնական թիվ 1/ε , ապա բոլորի համար n ≥ Nանհավասարություն 1 /n ≤ 1/N ε , Ք.Ե.Դ.

Երբեմն շատ դժվար է ապացուցել որոշակի հաջորդականության սահմանի առկայությունը: Ամենատարածված հաջորդականությունները լավ ուսումնասիրված են և թվարկված են տեղեկատու գրքերում: Կան կարևոր թեորեմներ, որոնք հնարավորություն են տալիս եզրակացնել, որ տվյալ հաջորդականությունը սահման ունի (և նույնիսկ հաշվարկել այն) արդեն ուսումնասիրված հաջորդականությունների հիման վրա։

Թեորեմ 1. Եթե հաջորդականությունը սահման ունի, ապա այն սահմանափակ է:

Թեորեմ 2. Եթե հաջորդականությունը միատոն է և սահմանափակ, ապա այն ունի սահման:

Թեորեմ 3. Եթե հաջորդականությունը ( a n} սահման ունի Ա, ապա հաջորդականությունները ( մոտ n}, {a n+ գ) և (| a n|} ունեն սահմաններ կԱ, Ա +գ, |Ա| համապատասխանաբար (այստեղ գկամայական թիվ է):

Թեորեմ 4. Եթե հաջորդականությունները ( a n} և ( b n) ունեն հավասար սահմաններ Աև Բ pa n + qb n) սահման ունի pA+ qB.

Թեորեմ 5. Եթե հաջորդականությունները ( a n) և ( b n) ունեն հավասար սահմաններ Աև Բհամապատասխանաբար, ապա հաջորդականությունը ( ա ն բ ն) սահման ունի ԱԲ.

Թեորեմ 6. Եթե հաջորդականությունները ( a n} և ( b n) ունեն հավասար սահմաններ Աև Բհամապատասխանաբար, և ի լրումն b n ≠ 0 և B≠ 0, ապա հաջորդականությունը ( a n / b n) սահման ունի A/B.

Աննա Չուգայնովա

Գործնական աշխատանք թիվ 13

Տարբեր ձևերով թվային հաջորդականությունների սահմանում, հաջորդականության անդամների հաշվարկ: Հերթականությունների սահմանների որոնում և գործառույթներ

Թիրախ:սովորել գրել թվային հաջորդականություններ տարբեր ձևերով, նկարագրել դրանց հատկությունները. գտնել հաջորդականությունների և գործառույթների սահմանները:

Համառոտ տեսություն

n բնական արգումենտի y=f (n) ֆունկցիան (n=1; 2; 3; 4;...) կոչվում է թվային հաջորդականություն։

Թվային հաջորդականությունը նշելու հետևյալ եղանակները կան.

բանավոր ձևով.Այն բառերով նկարագրված հաջորդականության անդամների դասավորության օրինաչափություն կամ կանոն է։

վերլուծական ճանապարհ.Հերթականությունը տրվում է n-րդ անդամի բանաձևով՝ y n = f(n): Օգտագործելով այս բանաձևը, դուք կարող եք գտնել հաջորդականության ցանկացած անդամ:

ռեկուրսիվ եղանակ.Տրված է բանաձև, որով յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը գտնվում է նախորդ անդամների միջոցով: Գործառույթի սահմանման կրկնվող մեթոդի դեպքում հաջորդականության մեկ կամ մի քանի առաջին անդամները միշտ լրացուցիչ նշվում են:

Թվերի հաջորդականությունը կոչվում է աճող, եթե նրա անդամներն աճում են (n + 1-ում n-ում) և նվազում, եթե նրա անդամները նվազում(n+1 n-ի համար):

Մեծացող կամ փոքրացող թվային հաջորդականությունները կոչվում են միապաղաղ.

Թող լինի ուղիղի կետ և թող լինի դրական թիվ: Միջակայքը կոչվում է կետի հարևանություն, իսկ թիվը՝ հարևանության շառավիղ:

Դիտարկենք թվային հաջորդականություն, որի ընդհանուր անդամը մոտենում է որոշակի b թվի, քանի որ հերթական թիվը մեծանում է n. Այս դեպքում, ասում են, որ թվային հաջորդականությունը սահման ունի: Այս հայեցակարգն ունի ավելի խիստ սահմանում.

b թիվը կոչվում է (y n) հաջորդականության սահման, եթե b կետի որևէ նախապես ընտրված հարևանությամբ պարունակում է հաջորդականության բոլոր անդամները՝ սկսած ինչ-որ թվից։

Թեորեմ 1 Եթե, ապա:

Երկու հաջորդականությունների գումարի/տարբերության սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների գումարին/տարբերությանը, եթե վերջիններս գոյություն ունեն.

Երկու հաջորդականությունների արտադրյալի սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների արտադրյալին, եթե առկա են գործոնների սահմանները.

Երկու հաջորդականությունների հարաբերակցության սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների հարաբերությանը, եթե այդ սահմանները գոյություն ունեն, և հայտարարի սահմանը հավասար չէ զրոյի.

Ցանկացած բնական ցուցանիշի m և ցանկացած k գործակցի համար կապը ճշմարիտ է.

Թեորեմ 1 Եթե, ապա:

Երկու ֆունկցիաների գումարի/տարբերության սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների գումարին/տարբերությանը, եթե վերջիններս գոյություն ունեն.

;

Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների արտադրյալին, եթե առկա են գործոնների սահմանները.

Երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը հավասար է դրանցից յուրաքանչյուրի սահմանների հարաբերությանը, եթե այդ սահմանները գոյություն ունեն, և հայտարարի սահմանը հավասար չէ զրոյի.

Սահմանային նշանից կարելի է դուրս բերել հաստատուն գործոնը.

y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է շարունակական x=a կետում, եթե y=f(x) ֆունկցիայի սահմանը, երբ x-ը հակված է a-ին, հավասար է x=a կետի ֆունկցիայի արժեքին։

Առաջին ուշագրավ սահմանը. .

Գործնական առաջադրանքներ դասարանական աշխատանքի համար

Սահմանեք հաջորդականությունը վերլուծական և գտեք այս հաջորդականության առաջին հինգ անդամները.

ա) յուրաքանչյուր բնական թվին վերագրվում է իր հակառակ թիվը.

բ) յուրաքանչյուր բնական թվի վերագրվում է այս թվի քառակուսի արմատը.

գ) յուրաքանչյուր բնական թվին վերագրվում է -5 թիվը.

դ) յուրաքանչյուր բնական թվին հատկացվում է իր քառակուսու կեսը:

2. Օգտագործելով n-րդ անդամի տրված բանաձեւը՝ հաշվարկե՛ք (y n) հաջորդականության առաջին հինգ անդամները.

3. Արդյո՞ք հաջորդականությունը սահմանափակ է:

4. Հերթականությունը նվազում է, թե մեծանում:

5. Գրի՛ր a=-3 կետի հարևանությունը r=0.5 շառավղով որպես ընդմիջում:

6. Ո՞ր կետի և որ շառավիղի հարևանությունն է միջակայքը (2,1; 2,3):

7. Հաշվեք հաջորդականության սահմանը.

8. Հաշվել.

Անկախ աշխատանք

Տարբերակ 1

Մաս Ա

Մաս Բ

Մաս Գ

7. Հաշվել.

Տարբերակ 2

Մաս Ա

Մաս Բ

6. Հաշվեք հաջորդականության սահմանը.

Մաս Գ

7. Հաշվել.

Տարբերակ 3

Մաս Ա

Մաս Բ

6. Հաշվեք հաջորդականության սահմանը.

Մաս Գ

7. Հաշվել.

Տարբերակ 4

Մաս Ա

Մաս Բ

6. Հաշվեք հաջորդականության սահմանը.

Մաս Գ

7. Հաշվել.

թեստի հարցեր

Ի՞նչ է թվերի հաջորդականությունը:

Որո՞նք են թվերի հաջորդականությունը նշելու եղանակները:

Ո՞ր հաջորդականությունն է համարվում վերևից սահմանափակված:

Ո՞ր հաջորդականությունն է համարվում ներքևից սահմանափակված:

Ի՞նչ է աճող հաջորդականությունը:

Ի՞նչ է նվազման հաջորդականությունը:

Ո՞րն է թվային հաջորդականության սահմանը:

Թվարկե՛ք հաջորդականությունների սահմանները հաշվելու կանոնները:

Թվարկե՛ք ֆունկցիաների սահմանները հաշվարկելու կանոնները:

Հանրահաշիվ. 9-րդ դասարան
Դաս թիվ 32
Ամիսը, ամսաթիվը:_____________
Ուսուցիչ՝ Գորբենկո Ալենա Սերգեևնա
Թեմա՝ Թվային հաջորդականություն, դրա սահմանման եղանակներ և հատկություններ
Դասի տեսակը՝ համակցված
Դասի նպատակը՝ տալ թվային հաջորդականության հասկացությունը և սահմանումը, դիտարկել ուղիներ
թվային հաջորդականությունների նշանակում
Առաջադրանքներ.
Ուսումնական. ծանոթացնել ուսանողներին թվային հաջորդականության և անդամի հասկացությանը
թվային հաջորդականություն; ծանոթանալ վերլուծական, բանավոր, կրկնվող և
թվային հաջորդականություն սահմանելու գրաֆիկական եղանակներ; հաշվի առեք թվերի տեսակները
հաջորդականություններ; նախապատրաստում ԵԱՏՄ-ի համար;
Մաթեմատիկական գրագիտության, մտածողության, հաշվարկման տեխնիկայի, հմտությունների զարգացում.
համեմատություններ բանաձևի ընտրության ժամանակ; մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրություն սերմանել;
Ուսումնական՝ ինքնուրույն գործունեության հմտությունների կրթություն. պարզություն և
աշխատանքի կազմակերպում; հնարավորություն տալ յուրաքանչյուր ուսանողի հաջողության հասնել;
Սարքավորումներ՝ դպրոցական պարագաներ, գրատախտակ, կավիճ, դասագիրք, թերթիկներ:
Դասերի ժամանակ
I. Կազմակերպչական պահ
 Փոխադարձ ողջույն;
 Բացակայողների ֆիքսում;
 Դասի թեմայի հայտարարություն;
 Ուսանողների կողմից դասի նպատակների և խնդիրների սահմանում.
Հերթականությունը մաթեմատիկայի ամենահիմնական հասկացություններից մեկն է: Հերթականությունը կարող է
կազմված լինի թվերից, կետերից, ֆունկցիաներից, վեկտորներից և այլն:
Այսօր դասին կծանոթանանք «թվային հաջորդականություն» հասկացությանը, կիմանանք, թե ինչ
կարող են լինել հաջորդականություններ, եկեք ծանոթանանք հայտնի հաջորդականություններին.

II. Հիմնական գիտելիքների թարմացում.
Գիտե՞ք գործառույթներ, որոնք սահմանված են ամբողջ թվային տողի կամ դրա շարունակականի վրա
III.
ընդմիջումներով:
գծային ֆունկցիա y \u003d kx + v,
քառակուսի ֆունկցիա y \u003d ax2 + inx + c,


 ֆունկցիա y =



 ֆունկցիա y = |x|.
Նախապատրաստում նոր գիտելիքների ընկալմանը
ուղիղ համեմատականություն y \u003d kx,
հակադարձ համեմատականություն y \u003d k / x,
խորանարդ ֆունկցիա y = x3,
,
Բայց կան գործառույթներ, որոնք սահմանված են այլ հավաքածուների վրա:
Օրինակ. Շատ ընտանիքներում սովորություն կա, մի տեսակ ծես՝ երեխայի ծննդյան օրը
ծնողները նրան բերում են դռան շրջանակի մոտ և հանդիսավոր կերպով նշում են ծննդյան տղայի աճը դրա վրա:
Երեխան մեծանում է, ու տարիների ընթացքում խցիկի վրա նշանների մի ամբողջ սանդուղք է հայտնվում։ Երեք, հինգ, երկու: Սա է
աճի հաջորդականությունը տարեցտարի. Բայց կա ևս մեկ հաջորդականություն, այն է
դրա անդամները խնամքով գրված են սերիֆների կողքին: Սա աճի արժեքների հաջորդականություն է:
Երկու հաջորդականությունը կապված են միմյանց հետ։
Երկրորդը առաջինից ստացվում է հավելումով։
Աճը նախորդ բոլոր տարիների ձեռքբերումների հանրագումարն է:
Դիտարկենք ևս մի քանի խնդիր:
Առաջադրանք 1. Պահեստում կա 500 տոննա ածուխ, օրական առաքվում է 30 տոննա:Որքա՞ն ածուխ կլինի.
պահեստում 1 օրում? 2 օր? 3 օր? Օր 4. Օր 5.
(Ուսանողների պատասխանները գրված են գրատախտակին. 500, 530, 560, 590, 620):
Առաջադրանք 2. Ինտենսիվ աճի շրջանում մարդը տարեկան աճում է միջինը 5 սմ-ով։ Հիմա աճ
ուսանող Ս.-ն 180 սմ է, որքա՞ն հասակ կունենա 2026թ. (2մ 30 սմ): Բայց սա չպետք է լինի
Միգուցե. Ինչո՞ւ։
Առաջադրանք 3. Ամեն օր գրիպով հիվանդ յուրաքանչյուր մարդ կարող է վարակել ևս 4-ին:
Քանի՞ օրից կհիվանդանան մեր դպրոցի բոլոր աշակերտները (300 հոգի)։ (4 օր հետո):
Սրանք բնական թվերի բազմության վրա սահմանված ֆունկցիաների օրինակներ են՝ թվային
հաջորդականություններ.
Դասի նպատակն է՝ գտնել հաջորդականության որևէ անդամ գտնելու ուղիներ:
Դասի նպատակները. Պարզեք, թե ինչ է թվային հաջորդականությունը և ինչպես
հաջորդականություններ.
IV. Նոր նյութ սովորելը
Սահմանում. Թվային հաջորդականությունը բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա է
բնական թվերը (հաջորդականությունները կազմում են բնության այնպիսի տարրեր, որոնք
կարելի է համարակալել):
Թվային հաջորդականության հասկացությունը առաջացել և զարգացել է վարդապետության ստեղծումից շատ առաջ
գործառույթները։ Ահա անսահման թվերի հաջորդականությունների օրինակներ, որոնք հայտնի են դեռևս
հնություններ:
1, 2, 3, 4, 5, : բնական թվերի հաջորդականություն;
2, 4, 6, 8, 10, : զույգ թվերի հաջորդականություն;
1, 3, 5, 7, 9, : կենտ թվերի հաջորդականություն;
1, 4, 9, 16, 25, : բնական թվերի քառակուսիների հաջորդականություն;
2, 3, 5, 7, 11, : պարզ թվերի հաջորդականություն;
,
1,
Այս շարքերից յուրաքանչյուրի անդամների թիվը անսահման է. առաջին հինգ հաջորդականությունը
, : բնական թվերի փոխադարձների հաջորդականություն։
,
միապաղաղ աճող, վերջինս՝ միապաղաղ նվազում։

Նշանակում՝ y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,:հաջորդականության անդամի հաջորդական համարը։
(yn) հաջորդականություն, հաջորդականության ynth անդամ։
(ա) հաջորդականություն, հաջորդականության n-րդ անդամը:
an1-ը հաջորդականության նախորդ անդամն է,
հաջորդականության +1 հաջորդ անդամ:
Հերթականությունները վերջավոր են և անվերջ, աճող և նվազող:
Առաջադրանքներ ուսանողների համար. Գրեք հաջորդականության առաջին 5 անդամները.
Առաջին բնական թվից ավելանալ 3-ով։
10-ից ավելացրեք 2 անգամ և նվազեք 1-ով։
6 թվից հերթափոխ 2-ով ավելացում և 2 անգամ ավելացում։
Այս թվային շարքերը կոչվում են նաև թվային հաջորդականություններ։
Հերթականության մեթոդներ.
բանավոր ձևով.
Հերթականության կանոնները նկարագրվում են բառերով, առանց բանաձևերի կամ
երբ հաջորդականության տարրերի միջև օրինաչափություններ չկան.
Օրինակ 1. Պարզ թվերի հաջորդականություն՝ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
Օրինակ 2. Թվերի կամայական բազմություն՝ 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
Օրինակ 3. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... զույգ թվերի հաջորդականությունը:
վերլուծական ճանապարհ.
Հերթականության ցանկացած n-րդ տարր կարելի է որոշել բանաձևի միջոցով.
Օրինակ 1. Զույգ թվերի հաջորդականություն՝ y = 2n:
Օրինակ 2. Բնական թվերի քառակուսու հաջորդականությունը՝ y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
Օրինակ 3. Ստացիոնար հաջորդականություն՝ y = C; C, C, C, ..., C, ...
Հատուկ դեպք՝ y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
Օրինակ 4. Հաջորդականություն y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
ռեկուրսիվ եղանակ.
Նշված է կանոն, որը թույլ է տալիս հաշվարկել «if» հաջորդականության n-րդ տարրը
հայտնի են նրա նախկին տարրերը։
Օրինակ 1. Թվաբանական առաջընթաց՝ a1=a, an+1=an+d, որտեղ a-ին և d-ին տրված են թվեր, d.
թվաբանական առաջընթացի տարբերություն. Թող a1=5, d=0.7, ապա թվաբանական պրոգրեսիան
նման կլինի՝ 5; 5.7; 6.4; 7.1; 7.8; 8.5; ....
Օրինակ 2. Երկրաչափական պրոգրեսիա՝ b1= b, bn+1= bnq, որտեղ b և q թվեր են տրված, b.
0,
0; q-ն երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարարն է: Թող b1=23, q=½, ապա երկրաչափական
ք
առաջընթացը կունենա հետևյալ տեսքը՝ 23; 11,5; 5,75; 2.875; ....
4) Գրաֆիկական ճանապարհ. Թվային հաջորդականություն
տրված է գրաֆիկով, որը
մեկուսացված կետեր. Այս կետերի աբսցիսները բնական են
թվեր՝ n=1; 2; 3; չորս; .... Օրդինատներ՝ անդամի արժեքներ
հաջորդականությունը՝ a1; a2; a3; a4;…
Օրինակ. Գրի՛ր թվային հաջորդականության բոլոր հինգ անդամները,
տրված է գրաֆիկական ձևով։
Լուծում.
Այս կոորդինատային հարթության յուրաքանչյուր կետ ունի
կոորդինատներ (n; an): Գրի՛ր նշված կետերի կոորդինատները
աճող abscissa n.
Մենք ստանում ենք՝ (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7):
Հետևաբար, a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Պատասխան՝ 3; մեկ; չորս; 6; 7.
V. Ուսումնասիրված նյութի առաջնային համախմբում
Օրինակ 1. Գրեք (yn) հաջորդականության n-րդ տարրի հնարավոր բանաձևը.
ա) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
բ) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Լուծում.
ա) կենտ թվերի հաջորդականություն է. Վերլուծականորեն այս հաջորդականությունը կարող է լինել
սահմանված է y = 2n+1 բանաձեւով:
բ) Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հաջորդ տարրը մեծ է նախորդից
4-ով: Վերլուծականորեն այս հաջորդականությունը կարող է տրվել y = 4n բանաձևով:
Օրինակ 2. Դո՛ւրս գրի՛ր հերթականությամբ տրված հաջորդականության առաջին տասը տարրերը՝ y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1 եթե n = 3, 4, 5, 6, ... .
Լուծում.
Այս հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ տարր հավասար է նախորդ երկուսի գումարին
տարրեր.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Ամփոփելով դասը. Արտացոլում
1. Ի՞նչ հաջողվեց կատարել առաջադրանքը:
2. Արդյո՞ք աշխատանքները համակարգված էին:
3. Ի՞նչը չստացվեց, ըստ Ձեզ։

2. Որոշիր այն թվաբանական գործողությունը, որի օգնությամբ երկու ծայրահեղ թվերից ստացվում է միջինը և * նշանի փոխարեն տեղադրիր բաց թողնված թիվը՝ ութ.

3. Սովորողները լուծեցին այն առաջադրանքը, որում պահանջվում է գտնել բաց թողնված թվերը: Նրանք տարբեր պատասխաններ ստացան։ Գտեք այն կանոնները, որոնցով տղաները լրացրեցին բջիջները: Առաջադրանք Պատասխան 1 Պատասխան

Թվային հաջորդականության սահմանումը Ասում են, որ թվային հաջորդականություն է տրվում, եթե, ըստ որոշ օրենքի, որոշակի թիվ (հաջորդականության անդամ) եզակիորեն վերագրվում է ցանկացած բնական թվի (տեղի համարը): Ընդհանուր առմամբ, այս համապատասխանությունը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n… հաջորդականության անդամ: Ամբողջ հաջորդականությունը սովորաբար նշվում է (y n):

Թվային հաջորդականությունների հստակեցման վերլուծական եղանակ Հերթականությունը որոշվում է վերլուծական եղանակով, եթե նշված է n-րդ անդամի բանաձևը: Օրինակ՝ 1) y n= n 2 - 1, 4, 9, 16, ... հաջորդականության վերլուծական նշանակում 2) y n= С - հաստատուն (ստացիոնար) հաջորդականություն 2) y n= 2 n - 2 հաջորդականության անալիտիկ նշանակում։ , 4, 8, 16, … Լուծել 585

Թվային հաջորդականությունների հստակեցման ռեկուրսիվ մեթոդ Հերթականությունը նշելու կրկնվող մեթոդն այն է, որ դրանք ցույց են տալիս կանոն, որը թույլ է տալիս հաշվարկել n-րդ անդամը, եթե հայտնի են նրա նախորդ անդամները. , b n + 1 \u003d b n * q

Խարիսխ 591, 592 (ա, բ) 594, – 614 (ա)

Վերին սահմանավորված հաջորդականությունը (y n) կոչվում է սահմանափակված վերևից, եթե նրա բոլոր անդամներն առավելագույնը ինչ-որ թիվ են: Այլ կերպ ասած, հաջորդականությունը (y n) սահմանափակված է վերևից, եթե կա M թիվ այնպես, որ ցանկացած n-ի համար գործում է y n M անհավասարությունը: M-ը հաջորդականության վերին սահմանն է, օրինակ՝ -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Ներքևից սահմանափակված Հաջորդականությունը (y n) կոչվում է ներքևից սահմանափակված, եթե նրա բոլոր անդամներն առնվազն ինչ-որ թիվ են: Այլ կերպ ասած, հաջորդականությունը (y n) սահմանափակված է վերևից, եթե կա m այնպիսի թիվ, որ ցանկացած n-ի համար գործում է y n m անհավասարությունը: m-ը հաջորդականության ստորին սահմանն է, օրինակ՝ 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Հերթականության սահմանաչափը Հաջորդականությունը (y n) կոչվում է սահմանափակ, եթե հնարավոր է նշել երկու A և B թվեր, որոնց միջև ընկած են հաջորդականության բոլոր անդամները: Ay n B A անհավասարությունը ստորին սահմանն է, B-ն վերին սահմանն է Օրինակ, 1-ը վերին սահմանն է, 0-ը ստորին սահմանն է:

Նվազող հաջորդականություն Հաջորդականությունը կոչվում է նվազող, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը փոքր է նախորդից. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Օրինակ. y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Օրինակ, «> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Օրինակ,«> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Օրինակ," title="(!LANG:Նվազող հաջորդականություն Հաջորդականությունը կոչվում է նվազող, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը փոքր է նախորդից. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Օրինակ,"> title="Նվազող հաջորդականություն Հաջորդականությունը կոչվում է նվազող, եթե նրա անդամներից յուրաքանչյուրը փոքր է նախորդից. y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... Օրինակ."> !} 23

Ստուգման աշխատանք Տարբերակ 1 Տարբերակ 2 1. Թվային հաջորդականությունը տրվում է բանաձևով ա) Հաշվի՛ր այս հաջորդականության առաջին չորս անդամները բ) Արդյո՞ք թիվը հաջորդականության անդամ է։ բ) Արդյո՞ք 12.25 թիվը հաջորդականության անդամ է: 2. Ձևակերպե՛ք 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,… հաջորդականության անդամները։

1. Սահմանում . Հաջորդականություն ( y n} կոչվում է աճող, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) մեծ է նախորդից.

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Սահմանում.Հաջորդականություն ( y n} կոչվում է նվազող, եթե նրա յուրաքանչյուր անդամ (բացի առաջինից) փոքր է նախորդից.

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Աճող և նվազող հաջորդականությունները միավորվում են ընդհանուր տերմինով՝ միատոն հաջորդականություններով։

Օրինակ: y 1 = 1; y n= n 2… աճող հաջորդականություն է: y 1 = 1; նվազման հաջորդականություն է։ y 1 = 1; – այս հաջորդականությունը ոչ աճող, ոչ պակասող չէ:

4. Սահմանում. Հերթականությունը կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի T այնպիսի բնական թիվ, որ որոշ n-ից սկսած գործի yn = yn+T հավասարությունը։ T թիվը կոչվում է ժամանակաշրջանի երկարություն։

5. Հաջորդականությունը կոչվում է ներքևից սահմանափակված, եթե նրա բոլոր անդամները գոնե ինչ-որ թիվ են։

6. Հերթականությունը կոչվում է վերևից սահմանափակված, եթե նրա բոլոր անդամներն առավելագույնը ինչ-որ թիվ են:

7. Հերթականությունը կոչվում է սահմանափակված, եթե այն սահմանափակված է ինչպես վերևում, այնպես էլ ներքևում, այսինքն. կա այնպիսի դրական թիվ, որ տվյալ հաջորդականության բոլոր անդամները բացարձակ արժեքով չեն գերազանցում այս թիվը։ (Բայց երկու կողմից էլ սահմանափակ լինելը չի նշանակում, որ այն վերջավոր է):

8. Հերթականությունը կարող է ունենալ միայն մեկ սահման.

9. Վերևում սահմանափակված ցանկացած չնվազող հաջորդականություն ունի սահման (lim):

10. Ներքևում սահմանափակված ցանկացած չաճող հաջորդականություն ունի սահման:

Հերթականության սահմանը այն կետն է (թիվը), որի շրջակայքում գտնվում են հաջորդականության անդամների մեծամասնությունը, նրանք մոտիկից մոտենում են այս սահմանին, բայց չեն հասնում դրան։

Երկրաչափական և թվաբանական առաջընթացները հաջորդականությունների հատուկ դեպքեր են։

Հերթականության մեթոդներ.

Հերթականությունները կարող են սահմանվել տարբեր ձևերով, որոնցից երեքը հատկապես կարևոր են՝ վերլուծական, նկարագրական և կրկնվող:

1. Հերթականությունը տրվում է անալիտիկ, եթե տրված է նրա n-րդ անդամի բանաձեւը.

Օրինակ. yn \u003d 2n - 1 - կենտ թվերի հաջորդականություն՝ 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Թվային հաջորդականությունը սահմանելու նկարագրական եղանակն այն է, որ այն բացատրում է, թե ինչ տարրերից է կառուցված հաջորդականությունը:

Օրինակ 1. «Հաջորդականության բոլոր անդամները հավասար են 1-ի»։ Սա նշանակում է, որ մենք խոսում ենք 1, 1, 1, …, 1, … անշարժ հաջորդականության մասին:

3. Հերթականության ճշգրտման կրկնվող եղանակն այն է, որ նշվում է կանոն, որը թույլ է տալիս հաշվարկել հաջորդականության n-րդ անդամը, եթե հայտնի են նրա նախորդ անդամները: Կրկնվող մեթոդի անվանումը գալիս է լատիներեն recurrere - վերադառնալ բառից: Ամենից հաճախ նման դեպքերում նշվում է բանաձև, որը թույլ է տալիս հաջորդականության n-րդ անդամն արտահայտել նախորդների մասով, և նշվում է հաջորդականության 1-2 սկզբնական անդամ:

Օրինակ 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, եթե n = 2, 3, 4,…

Այստեղ y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Կարելի է տեսնել, որ այս օրինակում ստացված հաջորդականությունը կարող է ճշգրտվել նաև վերլուծական եղանակով՝ yn = 4n – 1:

Օրինակ 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n-1 եթե n = 3, 4,….

Այստեղ: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Ֆիբոնաչիի պատմություն.

Ֆիբոնաչի (Պիզայի Լեոնարդո), ք. 1175–1250 թթ

Իտալացի մաթեմատիկոս. Ծնվել է Պիզայում, դարձել է Եվրոպայի առաջին մեծ մաթեմատիկոսը ուշ միջնադարում: Գործնական կապեր հաստատելու գործնական անհրաժեշտությունն էր, որ նրան տարավ դեպի մաթեմատիկա։ Հրատարակել է իր գրքերը թվաբանության, հանրահաշվի և մաթեմատիկական այլ առարկաների վերաբերյալ։ Մահմեդական մաթեմատիկոսներից նա իմացավ Հնդկաստանում հորինված և արաբական աշխարհում արդեն ընդունված թվերի համակարգի մասին և համոզվեց դրա գերազանցության մեջ (այս թվերը ժամանակակից արաբական թվերի նախահայրերն էին):

Պիզայի Լեոնարդոն, որը հայտնի է որպես Ֆիբոնաչի, ուշ միջնադարի եվրոպական մեծ մաթեմատիկոսներից առաջինն էր։ Ծնվելով Պիզայում՝ հարուստ վաճառականների ընտանիքում, նա մտավ մաթեմատիկա՝ գործնական կապեր հաստատելու զուտ գործնական անհրաժեշտության պատճառով: Երիտասարդ տարիներին Լեոնարդոն շատ է ճանապարհորդել՝ ուղեկցելով հորը գործուղումների ժամանակ։ Օրինակ՝ մենք գիտենք նրա երկարատև գտնվելու մասին Բյուզանդիայում և Սիցիլիայում։ Նման ճամփորդությունների ժամանակ նա շատ էր շփվում տեղի գիտնականների հետ։

Թվերի հաջորդականությունը, որն այսօր կրում է նրա անունը, առաջացել է ճագարների հետ կապված խնդրից, որը Ֆիբոնաչիի ուրվագծել է իր Liber abacci գրքում, որը գրվել է 1202 թվականին.

Մի մարդ մի զույգ նապաստակ դրեց գրչի մեջ՝ բոլոր կողմերից պատով շրջապատված: Քանի՞ զույգ նապաստակ կարող է ծնել այս զույգը մեկ տարում, եթե հայտնի է, որ ամեն ամիս, սկսած երկրորդից, յուրաքանչյուր զույգ նապաստակ տալիս է մեկ զույգ։

Կարող եք համոզվել, որ ամիսների հաջորդ տասներկու ամիսների յուրաքանչյուր ամիս զույգերի թիվը համապատասխանաբար կլինի 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Այլ կերպ ասած, նապաստակների զույգերի թիվը ստեղծում է մի շարք, որի յուրաքանչյուր անդամը նախորդ երկուսի գումարն է: Այն հայտնի է որպես Ֆիբոնաչիի շարք, և թվերն իրենք Ֆիբոնաչիի թվերն են: Պարզվում է, որ այս հաջորդականությունը մաթեմատիկորեն շատ հետաքրքիր հատկություններ ունի։ Ահա մի օրինակ. կարող եք տողը բաժանել երկու հատվածի, որպեսզի մեծ և փոքր հատվածի միջև հարաբերակցությունը համաչափ լինի ամբողջ գծի և մեծ հատվածի միջև եղած հարաբերակցությանը: Համաչափության այս գործակիցը, մոտավորապես հավասար է 1,618-ի, հայտնի է որպես ոսկե հարաբերակցություն: Վերածննդի դարաշրջանում համարվում էր, որ ճարտարապետական կառույցներում նկատվող այս համամասնությունն առավել հաճելի է աչքին: Եթե վերցնեք հաջորդական Ֆիբոնաչի զույգեր և յուրաքանչյուր զույգի ավելի մեծ թիվը բաժանեք փոքրի վրա, ձեր արդյունքը աստիճանաբար կմոտենա ոսկե հարաբերակցությանը:

Քանի որ Ֆիբոնաչի հայտնաբերեց իր հաջորդականությունը, նույնիսկ բնական երևույթներ են հայտնաբերվել, որոնցում այս հաջորդականությունը կարծես թե կարևոր դեր ունի։ Դրանցից մեկը ֆիլոտաքսիսն է (տերևների դասավորությունը)՝ այն կանոնը, ըստ որի, օրինակ, սերմերը գտնվում են արևածաղկի ծաղկաբույլի մեջ։ Արևածաղկի սերմերը դասավորված են երկու պարույրներով։ Պարույրներից յուրաքանչյուրում սերմերի քանակը ցույց տվող թվերը զարմանալի մաթեմատիկական հաջորդականության անդամներ են: Սերմերը դասավորված են պարույրների երկու շարքով, որոնցից մեկը շարժվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մյուսը՝ դեմ։ Իսկ որքա՞ն է սերմերի քանակը յուրաքանչյուր դեպքում։ 34 և 55:

Առաջադրանք թիվ 1:

Գրե՛ք հաջորդականության առաջին հինգ անդամները։

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

և n \u003d 2 n + 1/2 n

Առաջադրանք թիվ 2:

Գրե՛ք 3-ի բազմապատիկ բնական թվերի հաջորդականության ընդհանուր անդամի բանաձևը:

Պատասխան՝ 0,3,6,9,12,15,.... 3n և n=3n

Առաջադրանք թիվ 3:

Գրե՛ք բնական թվերի այն հաջորդականության ընդհանուր անդամի բանաձևը, որոնք 4-ի բաժանելիս ունեն 1 մնացորդ։

Պատասխան՝ 5,9,13,17,21....... 4 n +1 և n = 4n+1

Թիվ 19։ Գործառույթ.

Ֆունկցիան (ցուցադրում, օպերատոր, փոխակերպում) մաթեմատիկական հասկացություն է, որն արտացոլում է բազմությունների տարրերի փոխհարաբերությունները։ Կարելի է ասել, որ ֆունկցիան «օրենք» է, ըստ որի մի բազմության յուրաքանչյուր տարրին (կոչվում է սահմանման տիրույթ) վերագրվում է մեկ այլ բազմության որոշ տարր (կոչվում է արժեքների տիրույթ):

Ֆունկցիան մի փոփոխականի կախվածությունն է մյուսից։ Այլ կերպ ասած՝ քանակների փոխհարաբերությունները։

Ֆունկցիայի մաթեմատիկական հայեցակարգը արտահայտում է ինտուիտիվ գաղափար այն մասին, թե ինչպես է մի մեծությունն ամբողջությամբ որոշում մեկ այլ մեծության արժեքը: Այսպիսով, x փոփոխականի արժեքը եզակիորեն որոշում է արտահայտության արժեքը, իսկ ամսվա արժեքը եզակիորեն որոշում է դրան հաջորդող ամսվա արժեքը, և ցանկացած մարդ կարող է համեմատվել մեկ այլ անձի՝ իր հոր հետ: Նմանապես, որոշ կանխորոշված ալգորիթմ, հաշվի առնելով տարբեր մուտքային տվյալները, արտադրում է որոշակի ելքային տվյալներ:

Հաճախ «գործառույթ» տերմինը վերաբերում է թվային ֆունկցիայի. այսինքն՝ ֆունկցիա, որը որոշ թվեր համապատասխանեցնում է մյուսների հետ։ Այս գործառույթները հարմար կերպով ներկայացված են գծապատկերներում գրաֆիկների տեսքով:

Մեկ այլ սահմանում կարելի է տալ. Ֆունկցիան հատուկ է գործողությունփոփոխականի վրա:

Սա նշանակում է, որ մենք վերցնում ենք արժեքը, ինչ-որ գործողություն անում դրա հետ (օրինակ՝ քառակուսի ենք դնում կամ հաշվում ենք դրա լոգարիթմը) - և ստանում ենք արժեքը:

Տանք ֆունկցիայի մեկ այլ սահմանում՝ այն, որն ամենից հաճախ հանդիպում է դասագրքերում։

Ֆունկցիան երկու բազմությունների միջև համապատասխանություն է, որտեղ առաջին բազմության յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին:

Օրինակ, ֆունկցիան յուրաքանչյուր իրական թվին վերագրում է կրկնակի մեծ թիվ, քան .

Որոշ F.-ի տարրերի բազմությունը, որը փոխարինում է x-ին, կոչվում է նրա սահմանման տիրույթ, իսկ որոշ F.-ի y տարրերի բազմությունը՝ նրա արժեքների տիրույթ:

Ժամկետի պատմություն.

«Ֆունկցիա» տերմինը (մի փոքր ավելի նեղ իմաստով) առաջին անգամ օգտագործել է Լեյբնիցը (1692 թ.): Իր հերթին Յոհան Բեռնուլին նույն Լայբնիցին ուղղված նամակում այս տերմինն օգտագործել է ժամանակակիցին ավելի մոտ իմաստով։ Սկզբում ֆունկցիա հասկացությունը չէր տարբերվում վերլուծական ներկայացման հասկացությունից։ Այնուհետև հայտնվեց Էյլերի (1751) կողմից տրված գործառույթի սահմանումը, այնուհետև Լակրուայի (1806) կողմից՝ գրեթե իր ժամանակակից ձևով։ Վերջապես, ֆունկցիայի ընդհանուր սահմանումը (իր ժամանակակից ձևով, բայց թվային ֆունկցիաների համար) տրվել է Լոբաչևսկու (1834) և Դիրիխլեի (1837) կողմից։ 19-րդ դարի վերջում ֆունկցիա հասկացությունը գերազանցել էր թվային համակարգերի շրջանակը։ Վեկտորային ֆունկցիաներն առաջինն արեցին դա, Ֆրեգեն շուտով ներկայացրեց տրամաբանական ֆունկցիաները (1879թ.), իսկ բազմությունների տեսության հայտնվելուց հետո Դեդեկինդը (1887թ.) և Պյանոն (1911թ.) ձևակերպեցին ժամանակակից ունիվերսալ սահմանումը։

Թիվ 20։ Գործառույթ սահմանելու եղանակներ.

Գործառույթը սահմանելու 4 եղանակ կա.

1. աղյուսակայինԲավականին տարածված է անհատական սեղան դնելը

փաստարկների արժեքները և դրանց համապատասխան գործառույթի արժեքները: Ֆունկցիայի սահմանման այս մեթոդը կիրառվում է, երբ ֆունկցիայի տիրույթը դիսկրետ վերջավոր բազմություն է։

Հարմար է, երբ f-ը վերջավոր բազմություն է, բայց երբ f-ն անվերջ է, նշվում են միայն ընտրված զույգերը (x, y):

Ֆունկցիայի սահմանման աղյուսակային մեթոդով հնարավոր է մոտավորապես հաշվարկել աղյուսակում չպարունակվող ֆունկցիայի արժեքները՝ համապատասխան փաստարկի միջանկյալ արժեքներին: Դա անելու համար օգտագործեք ինտերպոլացիայի մեթոդը:

ԱռավելություններըՃշգրտություն, արագություն, արժեքների աղյուսակից հեշտ է գտնել ֆունկցիայի ցանկալի արժեքը: Գործառույթը նշելու աղյուսակային եղանակի առավելություններն այն են, որ այն հնարավորություն է տալիս միանգամից որոշել որոշակի կոնկրետ արժեքներ՝ առանց լրացուցիչ չափումների կամ հաշվարկների:

Թերություններանավարտություն, տեսանելիության բացակայություն։ Որոշ դեպքերում աղյուսակը չի սահմանում ֆունկցիան ամբողջությամբ, այլ միայն փաստարկի որոշ արժեքների համար և չի տրամադրում ֆունկցիայի փոփոխության բնույթի տեսողական ներկայացում՝ կախված փաստարկի փոփոխությունից:

2. վերլուծական(բանաձևեր): Ամենից հաճախ, օրենք, որը կապ է հաստատում

արգումենտ և ֆունկցիա, նշվում է բանաձևերի միջոցով: Գործառույթի սահմանման այս եղանակը կոչվում է վերլուծական: Այն ամենակարևորն է MA-ի համար (մաթ. վերլուծություն), քանի որ MA-ի մեթոդները (դիֆերենցիալ, ինտեգրալ հաշվարկ) առաջարկում են սահմանման այս ձևը։ Նույն գործառույթը կարող է տրվել տարբեր բանաձևերով. y=∣ մեղք ( x)∣y=√1−cos2( x) Երբեմն, իրենց տիրույթների տարբեր մասերում, սահմանվող ֆունկցիան կարող է տրվել տարբեր բանաձևերով զ(x)={զ 1(x),x∈Դ 1 fn(x),x∈Dn ∪նկ=1Դկ=Դ(զ) . Հաճախ ֆունկցիայի սահմանման այս մեթոդով սահմանման տիրույթը չի նշվում, այնուհետև սահմանման տիրույթը հասկացվում է որպես սահմանման բնական տիրույթ, այսինքն. բոլոր x արժեքների բազմությունը, որոնց համար ֆունկցիան իրական արժեք է ընդունում:

Այս մեթոդը հնարավորություն է տալիս x փաստարկի յուրաքանչյուր թվային արժեքին ճշգրիտ կամ որոշակի ճշգրտությամբ գտնել y ֆունկցիայի համապատասխան թվային արժեքը։

Ֆունկցիայի սահմանման վերլուծական եղանակի հատուկ դեպք է ֆունկցիա սահմանելը F(x,y)=0 ձևի հավասարմամբ (1) Եթե այս հավասարումն ունի ∀ հատկություն. x∈D-ը համընկնում է միայն y, այնպիսին է, որ Ֆ(x,y)=0, ապա ասում ենք, որ D-ի (1) հավասարումը անուղղակիորեն սահմանում է ֆունկցիա: Ֆունկցիան սահմանելու մեկ այլ կոնկրետ դեպք պարամետրային է՝ յուրաքանչյուր զույգով ( x,y)∈զսահմանել՝ օգտագործելով զույգ ֆունկցիաներ x=ϕ( տ),y=ψ( տ) որտեղ տ∈Մ.

Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս

Բեռնվում է...

տուն > Սննդի արտադրություն

Թվային հաջորդականություն սահմանելու մեթոդներ. Թվերի հաջորդականության սահմանում

Թվային հաջորդականությունների հատկությունները.

Երկրաչափական առաջընթաց.

Հերթականության սահմանափակում.

Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս