Ընդհանուր տեղեկություններ ուղիղ պրիզմայի մասին

Պրիզմայի կողային մակերեսը (ավելի ճիշտ՝ կողային մակերեսը) կոչվում է գումարըկողային դեմքի տարածքները. Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը հավասար է կողային մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումարին։

Թեորեմ 19.1. Ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին, այսինքն՝ կողային եզրի երկարությանը։

Ապացույց. Ուղիղ պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուն են։ Այս ուղղանկյունների հիմքերը պրիզմայի հիմքում ընկած բազմանկյունի կողմերն են, իսկ բարձրությունները հավասար են կողային եզրերի երկարությանը։ Դրանից բխում է, որ պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար է

S = a 1 լ + a 2 լ + ... + a n l = pl,

որտեղ a 1-ը և n-ը հիմքի կողերի երկարությունն է, p-ը պրիզմայի հիմքի պարագիծն է, իսկ I-ը կողային կողերի երկարությունն է: Թեորեմն ապացուցված է.

Գործնական առաջադրանք

Առաջադրանք (22) . Թեք պրիզմայով Բաժին, կողային եզրերին ուղղահայաց և հատելով բոլոր կողային եզրերը։ Գտեք կողային մակերեսպրիզմա, եթե հատվածի պարագիծը հավասար է p-ի, իսկ կողային եզրերը՝ l-ի։

Որոշում. Նկարված հատվածի հարթությունը պրիզման բաժանում է երկու մասի (նկ. 411)։ Դրանցից մեկը ենթարկենք զուգահեռ թարգմանության, որը միավորում է պրիզմայի հիմքերը։ Այս դեպքում մենք ստանում ենք ուղիղ պրիզմա, որի մեջ սկզբնական պրիզմայի հատվածը ծառայում է որպես հիմք, իսկ կողային եզրերը հավասար են l-ի։ Այս պրիզման ունի նույն կողային մակերեսը, ինչ բնօրինակը: Այսպիսով, սկզբնական պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար է pl.

Թեմայի ընդհանրացում

Եվ հիմա եկեք փորձենք ձեզ հետ ամփոփել պրիզմայի թեման և հիշել, թե ինչ հատկություններ ունի պրիզման:

Պրիզմայի հատկություններ

Նախ, պրիզմայի համար նրա բոլոր հիմքերը հավասար բազմանկյուններ են.
Երկրորդ, պրիզմայի համար նրա բոլոր կողային երեսները զուգահեռներ են.
Երրորդ, այնպիսի բազմակողմանի կերպարում, ինչպիսին է պրիզմա, բոլոր կողային եզրերը հավասար են.

Նաև պետք է հիշել, որ պրիզմաների նման պոլիէդրները կարող են լինել ուղիղ և թեք:

Ի՞նչ է ուղիղ պրիզմա:

Եթե ​​պրիզմայի կողային եզրը ուղղահայաց է նրա հիմքի հարթությանը, ապա այդպիսի պրիզման կոչվում է ուղիղ գիծ։

Ավելորդ չի լինի հիշել, որ ուղիղ պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուն են։

Ի՞նչ է թեք պրիզման:

Բայց եթե պրիզմայի կողային եզրը գտնվում է իր հիմքի հարթությանը ուղղահայաց, ապա մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա թեք պրիզմա է:

Ո՞րն է ճիշտ պրիզմա:

Եթե ​​կանոնավոր բազմանկյունն ընկած է ուղիղ պրիզմայի հիմքում, ապա այդպիսի պրիզման կանոնավոր է։

Հիմա հիշենք կանոնավոր պրիզմայի հատկությունները։

Կանոնավոր պրիզմայի հատկությունները

Նախ, միշտ հիմքեր ճիշտ պրիզմականոնավոր բազմանկյուններ են;
Երկրորդ, եթե դիտարկենք կանոնավոր պրիզմայի կողային երեսները, ապա դրանք միշտ հավասար ուղղանկյուններ են.
Երրորդ, եթե համեմատենք կողային կողերի չափերը, ապա ճիշտ պրիզմայում դրանք միշտ հավասար են։
Չորրորդ՝ կանոնավոր պրիզման միշտ ուղիղ է.
Հինգերորդ, եթե կանոնավոր պրիզմայում կողային երեսները գտնվում են քառակուսիների տեսքով, ապա այդպիսի գործիչը, որպես կանոն, կոչվում է կիսանկանոն բազմանկյուն։

Պրիզմայի հատված

Հիմա եկեք նայենք պրիզմայի խաչմերուկին.

Տնային աշխատանք

Իսկ հիմա փորձենք համախմբել ուսումնասիրված թեման՝ խնդիրներ լուծելով։

Նկարենք թեք եռանկյունաձև պրիզմա, որի եզրերի միջև հեռավորությունը կլինի՝ 3 սմ, 4 սմ և 5 սմ, իսկ այս պրիզմայի կողային մակերեսը հավասար կլինի 60 սմ2։ Այս պարամետրերով գտե՛ք տվյալ պրիզմայի կողային եզրը։

Եվ դուք դա գիտեք երկրաչափական պատկերներանընդհատ շրջապատում են մեզ ոչ միայն երկրաչափության դասերին, այլև Առօրյա կյանքկան առարկաներ, որոնք նման են այս կամ այն ​​երկրաչափական պատկերին:

Յուրաքանչյուր տուն, դպրոց կամ աշխատավայր ունի համակարգիչ, որի համակարգային միավորը ուղիղ պրիզմայի տեսքով է։

Եթե ​​դուք վերցնում եք պարզ մատիտ, ապա կտեսնեք, որ մատիտի հիմնական մասը պրիզմա է։

Քայլելով քաղաքի գլխավոր փողոցով՝ տեսնում ենք, որ մեր ոտքերի տակ ընկած է մի սալիկ, որն ունի վեցանկյուն պրիզմայի տեսք։

Ա.Վ.Պոգորելով, Երկրաչափություն 7-11-րդ դասարանների համար, Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար

Տարբեր պրիզմաները տարբերվում են միմյանցից: Միեւնույն ժամանակ, նրանք շատ ընդհանրություններ ունեն։ Պրիզմայի հիմքի տարածքը գտնելու համար պետք է պարզել, թե ինչպիսի տեսք ունի այն:

Ընդհանուր տեսություն

Պրիզմա է ցանկացած բազմանիստ, որի կողմերն ունեն զուգահեռագծի ձև: Ավելին, ցանկացած պոլիեդրոն կարող է լինել իր հիմքում՝ եռանկյունից մինչև n-անկյուն: Ընդ որում, պրիզմայի հիմքերը միշտ հավասար են միմյանց։ Ինչը չի վերաբերում կողային երեսներին, դրանք կարող են զգալիորեն տարբերվել չափերով:

Խնդիրներ լուծելիս հանդիպում է ոչ միայն պրիզմայի հիմքի տարածքը: Հնարավոր է, որ անհրաժեշտ լինի իմանալ կողային մակերեսը, այսինքն, բոլոր դեմքերը, որոնք հիմքեր չեն: Ամբողջ մակերեսն արդեն կլինի պրիզմա կազմող բոլոր դեմքերի միավորումը։

Երբեմն առաջադրանքներում հայտնվում են բարձրություններ: Այն ուղղահայաց է հիմքերին։ Բազմակի անկյունագիծը մի հատված է, որը զույգերով միացնում է նույն դեմքին չպատկանող ցանկացած երկու գագաթ:

Հարկ է նշել, որ ուղիղ կամ թեք պրիզմայի հիմքի տարածքը կախված չէ նրանց և կողային երեսների միջև եղած անկյունից: Եթե ​​նրանք ունեն նույն թվերը վերին և ստորին երեսներում, ապա նրանց տարածքները հավասար կլինեն:

եռանկյուն պրիզմա

Այն հիմքում ունի երեք գագաթներով պատկեր, այսինքն՝ եռանկյուն։ Հայտնի է, որ դա տարբեր է: Եթե, ապա բավական է հիշել, որ դրա տարածքը որոշվում է ոտքերի արտադրանքի կեսով:

Մաթեմատիկական նշումը հետևյալն է. S = ½ av.

Բազայի տարածքը գտնելու համար ընդհանուր տեսարան, բանաձևերը օգտակար են՝ Հերոն և այն, որի կողքի կեսը վերցված է դեպի իրեն ձգված բարձրության վրա։

Առաջին բանաձևը պետք է գրվի այսպես. S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)): Այս գրառումը պարունակում է կիսաշրջագիծ (p), այսինքն՝ երեք կողմերի գումարը՝ բաժանված երկուսի։

Երկրորդ. S = ½ n a * a.

Եթե ​​ցանկանում եք իմանալ եռանկյուն պրիզմայի հիմքի տարածքը, որը կանոնավոր է, ապա եռանկյունը պարզվում է, որ հավասարակողմ է: Այն ունի իր բանաձևը՝ S = ¼ a 2 * √3:

քառանկյուն պրիզմա

Նրա հիմքը հայտնի քառանկյուններից որևէ մեկն է։ Այն կարող է լինել ուղղանկյուն կամ քառակուսի, զուգահեռական կամ ռոմբուս: Յուրաքանչյուր դեպքում, պրիզմայի հիմքի տարածքը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր կլինի ձեր սեփական բանաձևը:

Եթե ​​հիմքը ուղղանկյուն է, ապա դրա մակերեսը որոշվում է հետևյալ կերպ՝ S = av, որտեղ a, b ուղղանկյան կողմերն են։

Երբ մենք խոսում ենքքառանկյուն պրիզմայի մասին, այնուհետև կանոնավոր պրիզմայի հիմքի մակերեսը հաշվարկվում է քառակուսու բանաձևով: Որովհետև հենց նա է ընկած հիմքում։ S \u003d a 2.

Այն դեպքում, երբ հիմքը զուգահեռ է, անհրաժեշտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ S \u003d a * n a. Պատահում է, որ տրված են զուգահեռականի մի կողմ և անկյուններից մեկը։ Այնուհետև, բարձրությունը հաշվարկելու համար ձեզ հարկավոր է օգտագործել լրացուցիչ բանաձև՝ na \u003d b * sin A: Ավելին, A անկյունը հարում է «b» կողմին, իսկ բարձրությունը՝ na այս անկյան հակառակ կողմում:

Եթե ​​ռոմբը ընկած է պրիզմայի հիմքում, ապա դրա մակերեսը որոշելու համար անհրաժեշտ կլինի նույն բանաձևը, ինչ զուգահեռագծի համար (քանի որ դա դրա հատուկ դեպքն է): Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել սա՝ S = ½ d 1 d 2: Այստեղ d 1 և d 2-ը ռոմբի երկու անկյունագծեր են:

Կանոնավոր հնգանկյուն պրիզմա

Այս դեպքը ներառում է բազմանկյունը եռանկյունների բաժանելը, որոնց տարածքներն ավելի հեշտ է պարզել։ Թեև պատահում է, որ թվերը կարող են լինել տարբեր թվով գագաթներով։

Քանի որ պրիզմայի հիմքը կանոնավոր հնգանկյուն է, այն կարելի է բաժանել հինգ հավասարակողմ եռանկյունների։ Այնուհետև պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասար է մեկ այդպիսի եռանկյունու մակերեսին (բանաձևը կարելի է տեսնել վերևում), բազմապատկված հինգով:

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմա

Հնգանկյուն պրիզմայի համար նկարագրված սկզբունքով կարելի է հիմքի վեցանկյունը բաժանել 6 հավասարակողմ եռանկյունների։ Նման պրիզմայի հիմքի մակերեսի բանաձևը նման է նախորդին: Միայն դրա մեջ պետք է բազմապատկել վեցով։

Բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝ S = 3/2 և 2 * √3:

Առաջադրանքներ

Թիվ 1. Տրված է կանոնավոր ուղիղ գիծ։ Նրա անկյունագիծը 22 սմ է, բազմանիստի բարձրությունը՝ 14 սմ։ Հաշվե՛ք պրիզմայի հիմքի և ամբողջ մակերեսի մակերեսը։

Որոշում.Պրիզմայի հիմքը քառակուսի է, բայց նրա կողմը հայտնի չէ։ Դրա արժեքը կարող եք գտնել քառակուսու (x) անկյունագծից, որը կապված է պրիզմայի (d) անկյունագծի և բարձրության (h) հետ։ x 2 \u003d d 2 - n 2: Մյուս կողմից, այս «x» հատվածը հիպոթենուսն է եռանկյան մեջ, որի ոտքերը հավասար են քառակուսու կողմին: Այսինքն, x 2 \u003d a 2 + a 2: Այսպիսով, պարզվում է, որ 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2:

Փոխարինեք 22 թիվը d-ի փոխարեն և փոխարինեք «n»-ն իր արժեքով՝ 14, ստացվում է, որ քառակուսու կողմը 12 սմ է: Այժմ հեշտ է պարզել բազային տարածքը՝ 12 * 12 \u003d 144 սմ 2: .

Ամբողջ մակերեսի տարածքը պարզելու համար հարկավոր է կրկնակի ավելացնել բազային տարածքի արժեքը և քառապատկել կողմը: Վերջինս հեշտ է գտնել ուղղանկյան բանաձևով՝ բազմապատկել բազմանկյունի բարձրությունը և հիմքի կողմը։ Այսինքն՝ 14 և 12, այս թիվը հավասար կլինի 168 սմ 2-ի։ ընդհանուր մակերեսըպրիզմայի մակերեսը 960 սմ 2 է։

Պատասխանել.Պրիզմայի հիմքի մակերեսը 144 սմ2 է։ Ամբողջ մակերեսը - 960 սմ 2:

Թիվ 2. Դանա Հիմքում ընկած է 6 սմ կողմ ունեցող եռանկյուն, այս դեպքում կողային երեսի անկյունագիծը 10 սմ է։ Հաշվե՛ք մակերեսները՝ հիմքը և կողային մակերեսը։

Որոշում.Քանի որ պրիզման կանոնավոր է, դրա հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է։ Հետևաբար, նրա մակերեսը հավասար է 6-ի քառակուսի ¼-ի և քառակուսի արմատի 3-ի: Պարզ հաշվարկով ստացվում է արդյունք՝ 9√3 սմ 2: Սա պրիզմայի մեկ հիմքի տարածքն է:

Բոլոր կողային երեսները նույնն են և ուղղանկյուն են, որոնց կողմերը 6 և 10 սմ են, դրանց մակերեսները հաշվարկելու համար բավական է բազմապատկել այս թվերը։ Այնուհետև դրանք բազմապատկեք երեքով, քանի որ պրիզման ունի ճիշտ այնքան կողային երեսներ: Այնուհետև կողային մակերեսի մակերեսը փաթաթվում է 180 սմ 2:

Պատասխանել.Տարածքները՝ հիմքը՝ 9√3 սմ 2, պրիզմայի կողային մակերեսը՝ 180 սմ 2։

Պրիզմա. Զուգահեռաբար

պրիզմակոչվում է բազմանիստ, որի երկու դեմքերը հավասար են n-անկյունների (հիմքեր) , զուգահեռ հարթություններում ընկած, իսկ մնացած n դեմքերը զուգահեռականներ են (կողային դեմքեր) . Կողքի կող Պրիզմա կողային երեսի այն կողմն է, որը չի պատկանում հիմքին:

Այն պրիզմա, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերի հարթություններին, կոչվում է ուղիղ պրիզմա (նկ. 1): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերի հարթություններին, ապա կոչվում է պրիզմա թեք . Ճիշտ է Պրիզման ուղիղ պրիզմա է, որի հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են։

ԲարձրությունՊրիզմա կոչվում է հիմքերի հարթությունների միջև ընկած հեռավորությունը։ Շեղանկյուն Պրիզման մի հատված է, որը կապում է երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին: անկյունագծային հատված Պրիզմայի այն հատվածը, որն անցնում է միևնույն դեմքին չպատկանող երկու կողային եզրերով հարթությամբ, կոչվում է: Ուղղահայաց հատված կոչվում է պրիզմայի հատված պրիզմայի կողային եզրին ուղղահայաց հարթությամբ:

Կողային մակերեսի տարածքը Պրիզմա բոլոր կողային երեսների մակերեսների գումարն է։ տարածք ամբողջական մակերես կոչվում է պրիզմայի բոլոր երեսների մակերեսների գումարը (այսինքն՝ կողային երեսների և հիմքերի մակերեսների գումարը)։

Կամայական պրիզմայի համար բանաձևերը ճշմարիտ են:

որտեղ լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն;

Պ

Ք

S կողմը

Ս լիքը

Ս գլխավորհիմքերի տարածքն է;

Վպրիզմայի ծավալն է։

Ուղիղ պրիզմայի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն.

ԶուգահեռաբարԱյն պրիզմա, որի հիմքը զուգահեռագիծ է, կոչվում է: Զուգահեռաբար, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, կոչվում է ուղիղ (նկ. 2): Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, ապա կոչվում է զուգահեռական թեք . Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը, որի հիմքը ուղղանկյուն է, կոչվում է ուղղանկյուն. Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ.

Զուգահեռականի դեմքերը, որոնք չունեն ընդհանուր գագաթներ, կոչվում են հակառակը . Մեկ գագաթից բխող եզրերի երկարությունները կոչվում են չափումներ զուգահեռաբարձ. Քանի որ տուփը պրիզմա է, դրա հիմնական տարրերը սահմանվում են այնպես, ինչպես սահմանվում են պրիզմաների համար:

Թեորեմներ.

1. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսում այն:

2. Ուղղանկյուն զուգահեռականի մեջ շեղանկյունի երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին.

3. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հավասար են միմյանց:

Կամայական զուգահեռականի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

որտեղ լկողային կողի երկարությունն է;

Հ- բարձրություն;

Պուղղահայաց հատվածի պարագիծն է.

Ք- ուղղահայաց հատվածի տարածք;

S կողմըկողային մակերեսն է;

Ս լիքըընդհանուր մակերեսն է;

Ս գլխավորհիմքերի տարածքն է;

Վպրիզմայի ծավալն է։

Աջ զուգահեռականի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

լկողային կողի երկարությունն է;

Հաջ զուգահեռականի բարձրությունն է։

Ուղղանկյուն զուգահեռականի համար ճշմարիտ են հետևյալ բանաձևերը.

(3)

որտեղ էջ- հիմքի պարագիծը;

Հ- բարձրություն;

դ- անկյունագծային;

ա, բ, գ- զուգահեռականի չափումներ.

Խորանարդի ճիշտ բանաձևերն են.

որտեղ ակողոսկրի երկարությունն է;

դխորանարդի անկյունագիծն է։

Օրինակ 1Ուղղանկյուն խորանարդի անկյունագիծը 33 դմ է, իսկ չափումները՝ 2:6:9:Գտե՛ք խորանարդի չափերը:

Որոշում.Զուգահեռականի չափերը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը (3), այսինքն. այն, որ խորանարդի հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է նրա չափերի քառակուսիների գումարին։ Նշել ըստ կհամաչափության գործակից. Այդ դեպքում զուգահեռանիստի չափերը հավասար կլինեն 2-ի կ, 6կև 9 կ. Խնդրի տվյալների համար մենք գրում ենք բանաձև (3).

Լուծելով այս հավասարումը կ, ստանում ենք.

Այսպիսով, զուգահեռանիստի չափերն են՝ 6 դմ, 18 դմ և 27 դմ։

Պատասխան. 6 դմ, 18 դմ, 27 դմ.

Օրինակ 2Գտե՛ք թեքված եռանկյուն պրիզմայի ծավալը, որի հիմքը հավասարակողմ եռանկյուն է, որի կողմը 8 սմ է, եթե կողային եզրը հավասար է հիմքի կողմին և թեքված է հիմքի նկատմամբ 60º անկյան տակ։

Որոշում . Եկեք նկարենք (նկ. 3):

Թեք պրիզմայի ծավալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ դրա հիմքի և բարձրության տարածքը: Այս պրիզմայի հիմքի մակերեսը հավասարակողմ եռանկյունու մակերեսն է՝ 8 սմ կողմով։ Եկեք հաշվարկենք այն.

Պրիզմայի բարձրությունը նրա հիմքերի միջև եղած հեռավորությունն է։ Վերևից ԲԱՅՑՎերին հիմքի 1 մասով մենք իջեցնում ենք ստորին հիմքի հարթությանը ուղղահայացը ԲԱՅՑ 1 Դ. Դրա երկարությունը կլինի պրիզմայի բարձրությունը։ Դիտարկենք Դ ԲԱՅՑ 1 ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆքանի որ սա կողային կողի թեքության անկյունն է ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑդեպի բազային հարթություն ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑ= 8 սմ Այս եռանկյունից մենք գտնում ենք ԲԱՅՑ 1 Դ:

Այժմ մենք հաշվարկում ենք ծավալը՝ օգտագործելով բանաձևը (1).

Պատասխան. 192 սմ3:

Օրինակ 3Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի կողային եզրը 14 սմ է: Ամենամեծ անկյունագծային հատվածի մակերեսը 168 սմ 2 է: Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը:

Որոշում.Եկեք նկարենք (նկ. 4)

Ամենամեծ անկյունագծային հատվածը ուղղանկյուն է ԱԱ 1 DD 1, քանի որ անկյունագծով ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկանոնավոր վեցանկյուն ABCDEFամենամեծն է։ Պրիզմայի կողային մակերեսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ հիմքի կողմը և կողային կողի երկարությունը:

Իմանալով անկյունագծային հատվածի տարածքը (ուղղանկյուն), մենք գտնում ենք հիմքի անկյունագիծը:

Այդ ժամանակվանից

Այդ ժամանակվանից ԱԲ= 6 սմ.

Այնուհետև հիմքի պարագիծը հետևյալն է.

Գտեք պրիզմայի կողային մակերեսի տարածքը.

6 սմ կողմ ունեցող կանոնավոր վեցանկյունի մակերեսը հետևյալն է.

Գտեք պրիզմայի ընդհանուր մակերեսը.

Պատասխան.

Օրինակ 4Աջ զուգահեռականի հիմքը ռոմբ է։ Շեղանկյուն հատվածների մակերեսները կազմում են 300 սմ 2 և 875 սմ 2: Գտեք զուգահեռականի կողային մակերեսի մակերեսը:

Որոշում.Եկեք նկարենք (նկ. 5):

Նշեք ռոմբի կողմը ա, ռոմբի անկյունագծերը դ 1 և դ 2, տուփի բարձրությունը հ. Ուղիղ զուգահեռականի կողային մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազայի պարագիծը բազմապատկել բարձրությամբ (բանաձև (2)): Հիմքի պարագիծը p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, ինչպես Ա Բ Գ Դ- ռոմբուս: H = AA 1 = հ. Դա. Պետք է գտնել աև հ.

Դիտարկենք անկյունագծային հատվածները: ԱԱ 1 ՍՍ 1 - ուղղանկյուն, որի մի կողմը ռոմբի անկյունագիծն է AC = դ 1, երկրորդ - կողային եզր ԱԱ 1 = հ, ապա

Նմանապես հատվածի համար ԲԲ 1 DD 1 մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով զուգահեռագծի այնպիսի հատկություն, որ շեղանկյունների քառակուսիների գումարը հավասար լինի նրա բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին, ստանում ենք հավասարություն Ստացվում է հետևյալը.

Պոլիեդրա

Ստերեոմետրիայի ուսումնասիրության հիմնական օբյեկտը եռաչափ մարմիններն են։ Մարմինինչ-որ մակերեսով սահմանափակված տարածության մի մասն է։

բազմանիստԱյն մարմինը, որի մակերեսը բաղկացած է վերջավոր թվով հարթ բազմանկյուններից, կոչվում է: Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է իր մակերեսի յուրաքանչյուր հարթ բազմանկյունի հարթության մի կողմում: Նման հարթության ընդհանուր հատվածը և բազմանիստի մակերեսը կոչվում են եզր. Ուռուցիկ բազմանկյունի երեսները հարթ ուռուցիկ բազմանկյուններ են։ Դեմքերի կողմերը կոչվում են պոլիէդրոնի եզրերը, և գագաթները պոլիէդրոնի գագաթները.

Օրինակ, խորանարդը բաղկացած է վեց քառակուսուց, որոնք նրա դեմքերն են: Այն պարունակում է 12 եզր (քառակուսիների կողմեր) և 8 գագաթներ (քառակուսիների գագաթներ):

Ամենապարզ պոլիեդրները պրիզմաներն ու բուրգերն են, որոնք մենք կուսումնասիրենք հետագա:

Պրիզմա

Պրիզմայի սահմանումը և հատկությունները

պրիզմակոչվում է բազմանկյուն, որը բաղկացած է երկու հարթ բազմանկյուններից, որոնք ընկած են զուգահեռ հարթություններում` համակցված զուգահեռ թարգմանությամբ, և այդ բազմանկյունների համապատասխան կետերը միացնող բոլոր հատվածներից: Բազմանկյունները կոչվում են պրիզմայի հիմքերը, իսկ բազմանկյունների համապատասխան գագաթները միացնող հատվածներն են պրիզմայի կողային եզրերը.

Պրիզմայի բարձրությունկոչվում է նրա հիմքերի հարթությունների միջև հեռավորությունը (). Այն հատվածը, որը միացնում է պրիզմայի երկու գագաթները, որոնք միևնույն դեմքին չեն պատկանում, կոչվում է պրիզմա անկյունագծով(). Պրիզման կոչվում է n-ածուխեթե դրա հիմքը n-գոն է:

Ցանկացած պրիզմա ունի հետևյալ հատկությունները, որոնք բխում են նրանից, որ պրիզմայի հիմքերը համակցված են զուգահեռ թարգմանությամբ.

1. Պրիզմայի հիմքերը հավասար են։

2. Պրիզմայի կողային եզրերը զուգահեռ են և հավասար:

Պրիզմայի մակերեսը կազմված է հիմքերից և կողային մակերես. Պրիզմայի կողային մակերեսը բաղկացած է զուգահեռագծերից (սա բխում է պրիզմայի հատկություններից)։ Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը կողային երեսների մակերեսների գումարն է։

ուղիղ պրիզմա

Պրիզման կոչվում է ուղիղեթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին. Հակառակ դեպքում, պրիզման կոչվում է թեք.

Ուղիղ պրիզմայի դեմքերը ուղղանկյուն են: Ուղիղ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է նրա կողային երեսներին:

ամբողջական պրիզմայի մակերեսկողային մակերեսի և հիմքերի մակերեսների գումարն է։

Ճիշտ պրիզմակոչվում է ուղիղ պրիզմա, որի հիմքում կանոնավոր բազմանկյուն է:

Թեորեմ 13.1. Ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին (կամ համարժեք կողային եզրին):

Ապացույց. Ուղիղ պրիզմայի կողային երեսները ուղղանկյուններ են, որոնց հիմքերը պրիզմայի հիմքերի բազմանկյունների կողմերն են, իսկ բարձրությունները՝ պրիզմայի կողային եզրերը։ Այնուհետև, ըստ սահմանման, կողային մակերեսի մակերեսը հետևյալն է.

,

որտեղ է ուղիղ պրիզմայի հիմքի պարագիծը:

Զուգահեռաբար

Եթե ​​զուգահեռագծերը գտնվում են պրիզմայի հիմքերում, ապա այն կոչվում է զուգահեռաբարձ. Զուգահեռաբարի բոլոր երեսները զուգահեռական են: Այս դեպքում զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

Թեորեմ 13.2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, իսկ հատման կետը կիսով չափ բաժանվում է:

Ապացույց. Դիտարկենք երկու կամայական անկյունագծեր, օրինակ, և . Որովհետեւ Զուգահեռապատիկի երեսները զուգահեռներ են, ապա և, ինչը նշանակում է, որ ըստ T-ի մոտ երկու ուղիղ՝ երրորդին զուգահեռ: Բացի այդ, սա նշանակում է, որ գծերը և պառկած են նույն հարթության վրա (ինքնաթիռը): Այս հարթությունը հատում է զուգահեռ հարթությունները և զուգահեռ ուղիղների երկայնքով և . Այսպիսով, քառանկյունը զուգահեռագիծ է, իսկ զուգահեռագծի հատկությամբ նրա անկյունագծերը և հատվում են, իսկ հատման կետը կիսով չափ բաժանվում է, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։

Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձը, որի հիմքը ուղղանկյուն է, կոչվում է խորանարդաձեւ. Խորանարդի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են: Խորանարդի ոչ զուգահեռ եզրերի երկարությունները կոչվում են նրա գծային չափսեր(չափումներ): Առկա է երեք չափս (լայնություն, բարձրություն, երկարություն):

Թեորեմ 13.3. Խորանարդի մեջ ցանկացած անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին (ապացուցվել է Պյութագորասի T-ի երկու անգամ կիրառելով):

Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ, որի բոլոր եզրերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ.

Առաջադրանքներ

13.1 Քանի՞ անկյունագիծ է կազմում n- ածխածնի պրիզմա

13.2 Թեք եռանկյուն պրիզմայում կողային եզրերի միջև եղած հեռավորությունները 37, 13 և 40 են: Գտե՛ք ավելի մեծ կողային երեսի և հակառակ կողմի եզրի միջև եղած հեռավորությունը:

13.3 Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի ստորին հիմքի կողմի միջով գծվում է հարթություն, որը հատում է կողային երեսները հատվածների երկայնքով, որոնց միջև անկյունը . Գտե՛ք այս հարթության թեքության անկյունը պրիզմայի հիմքի նկատմամբ:

Սահմանում. Պրիզմա- սա բազմանկյուն է, որի բոլոր գագաթները գտնվում են երկու զուգահեռ հարթություններում, և նույն երկու հարթություններում կան պրիզմայի երկու երեսներ, որոնք հավասար բազմանկյուններ են համապատասխանաբար զուգահեռ կողմերով, և բոլոր եզրերը, որոնք չեն գտնվում դրանցում: ինքնաթիռները զուգահեռ են.

Երկու հավասար դեմքեր կոչվում են պրիզմայի հիմքերը(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Պրիզմայի մյուս բոլոր դեմքերը կոչվում են կողմնակի դեմքեր(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A):

Բոլոր կողային դեմքերը ձևավորվում են պրիզմայի կողային մակերեսը .

Պրիզմայի բոլոր կողային երեսները զուգահեռներ են .

Այն եզրերը, որոնք չեն գտնվում հիմքերի վրա, կոչվում են պրիզմայի կողային եզրեր ( AA 1, B.B. 1, ՍԴ 1, DD 1, EE 1).

Պրիզմա անկյունագծային կոչվում է հատված, որի ծայրերը պրիզմայի երկու գագաթներ են, որոնք չեն ընկած նրա երեսներից մեկի վրա (AD 1):

Պրիզմայի հիմքերը և միաժամանակ երկու հիմքերին ուղղահայաց միացնող հատվածի երկարությունը կոչվում է. պրիզմայի բարձրությունը .

Նշանակում:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Նախ, շրջանցման կարգով նշվում են մի հիմքի գագաթները, այնուհետև, նույն հաջորդականությամբ, մյուսի գագաթները. յուրաքանչյուր կողային եզրի ծայրերը նշված են նույն տառերով, միայն գագաթները գտնվում են մեջ մի հիմքը նշվում է տառերով առանց ինդեքսի, իսկ մյուսում՝ ինդեքսի)

Պրիզմայի անվանումը կապված է նրա հիմքում ընկած նկարի անկյունների քանակի հետ, օրինակ, Նկար 1-ում հիմքը հնգանկյուն է, ուստի պրիզման կոչվում է. հնգանկյուն պրիզմա. Բայց քանի որ նման պրիզմա ունի 7 դեմք, ապա այն յոթանիստ(2 երեսները պրիզմայի հիմքերն են, 5 երեսները՝ զուգահեռներ, կողային երեսներն են)

Ուղիղ պրիզմաներից առանձնանում է մասնավոր տեսարանկանոնավոր պրիզմաներ:

Ուղղակի պրիզմա կոչվում է ճիշտ,եթե դրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են։

Կանոնավոր պրիզմա ունի բոլոր կողային դեմքերը հավասար ուղղանկյուններ: Պրիզմայի հատուկ դեպք է զուգահեռականը:

Զուգահեռաբար

Զուգահեռաբար- Սա քառանկյուն պրիզմա, որը հիմնված է զուգահեռագծի վրա (շեղ զուգահեռագիծ)։ Աջ զուգահեռական- զուգահեռական, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքի հարթություններին:

խորանարդաձեւ- ուղղանկյուն զուգահեռագիծ, որի հիմքը ուղղանկյուն է:

Հատկություններ և թեորեմներ.

Parallelepiped-ի որոշ հատկություններ նման են հայտնի հատկություններզուգահեռագիծ Ուղղանկյուն զուգահեռագիծ ունեցող ուղղանկյուն զուգահեռագիծ հավասար չափումներ, կոչվում են խորանարդ .Խորանարդն ունի բոլոր երեսները հավասար քառակուսիներ: Շեղանկյունի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին

,

որտեղ d-ը քառակուսու անկյունագիծն է.
ա - հրապարակի կողմը.

Պրիզմայի գաղափարը տրված է հետևյալով.

• տարբեր ճարտարապետական ​​կառույցներ;
• Մանկական խաղալիքներ;
• փաթեթավորման տուփեր;
• դիզայներական իրեր և այլն։

Պրիզմայի ընդհանուր և կողային մակերեսը

Պրիզմայի ընդհանուր մակերեսընրա բոլոր երեսների մակերեսների գումարն է Կողմնակի մակերեսըկոչվում է նրա կողային երեսների մակերեսների գումար։ պրիզմայի հիմքերը հավասար բազմանկյուններ են, ապա դրանց մակերեսները հավասար են։ Այսպիսով

S լրիվ \u003d S կողմ + 2S հիմնական,

որտեղ Ս լիքը- ընդհանուր մակերեսը, S կողմը- կողային մակերեսը, Ս գլխավոր- բազայի տարածքը

Ուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին.

S կողմը\u003d P հիմնական * h,

որտեղ S կողմըուղիղ պրիզմայի կողային մակերեսի տարածքն է,

P հիմնական - ուղիղ պրիզմայի հիմքի պարագիծը,

h-ն ուղիղ պրիզմայի բարձրությունն է՝ հավասար կողային եզրին։

Պրիզմայի ծավալը

Պրիզմայի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և բարձրության արտադրյալին։

Մենք նաև խորհուրդ ենք տալիս

• Արտադրողական և վերարտադրողական մտածողություն
• Խելամիտ էգոիզմ - ո՞րն է ողջամիտ էգոիզմի տեսությունը:
• Բորիս Նիկոլաևիչ Ելցին, Ռուսաստանի առաջին նախագահ
• Ստորգետնյա կռիվներ. Ստորգետնյա արքաներ. Ի՞նչ է «պայքարը հանուն զանգվածների»: Որտեղ կարելի է պայքարել փողի համար:
• Յակով Պավլովը և Ստալինգրադի այլ հերոսներ, որոնք դուք պետք է իմանաք
• Երազում գոյատևեք ծովում դժբախտ պատահարից - իրականում փորձեք նոր սեր