Tipikus feladatok megoldása. A függvények köre a vizsgafeladatokban Hogyan keressünk függvényértékek halmazát

A funkció a modell. Definiáljuk az X-et egy független változó értékeinek halmazaként // a független bármely.

A függvény egy olyan szabály, amely alapján az X halmaz független változójának minden értékéhez megtalálhatjuk a függő változó egyetlen értékét. // azaz minden x-re van egy y.

A definícióból következik, hogy két fogalom létezik - egy független változó (amit x-szel jelölünk, és tetszőleges értéket vehet fel) és egy függő változó (amit y-val vagy f-vel (x) jelölünk, és a függvényből számítjuk ki, amikor behelyettesítjük x).

PÉLDA y=5+x

1. Független x, tehát tetszőleges értéket veszünk fel, legyen x = 3

2. és most kiszámítjuk az y-t, tehát y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y függ x-től, mert ami x-et behelyettesítjük, azt y-t kapjuk)

Azt mondjuk, hogy az y változó funkcionálisan függ az x változótól, és ezt a következőképpen jelöljük: y = f (x).

PÉLDÁUL.

1.y=1/x. (hiperbolának hívják)

2. y=x^2. (parabolának hívják)

3.y=3x+7. (úgynevezett egyenes)

4. y \u003d √ x. (a parabola ágának nevezik)

A független változót (amelyet x-szel jelölünk) a függvény argumentumának nevezzük.

Funkció hatóköre

Az összes érték halmazát, amelyet egy függvényargumentum felvesz, a függvény tartományának nevezzük, és D(f) vagy D(y) jelöli.

Tekintsük D(y)-t 1.,2.,3.,4-re.

1. D (y)= (∞; 0) és (0;+∞) //a valós számok teljes halmaza a nulla kivételével.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / az összes valós szám

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / az összes valós szám

4. D (y) \u003d. Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét ezen a szegmensen.

A derivált mindenkire pozitív x intervallumból (-1; 1) , vagyis az arcszinusz függvény a teljes definíciós tartományon növekszik. Ezért a legkisebb értéket veszi fel x=-1, a legnagyobb pedig at x=1.

Megkaptuk az arcszinusz függvény tartományát .

Keresse meg a függvényértékek halmazát a szegmensen .

Megoldás.

Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az adott szakaszon!

Határozzuk meg a szakaszhoz tartozó szélsőpontokat :

Számos feladat arra késztet bennünket, hogy egy adott szegmensben vagy a teljes definíciós tartományban függvényértékek készletét keressük. Ilyen feladatok közé tartozik a kifejezések különféle értékelése, az egyenlőtlenségek megoldása.

Ebben a cikkben meghatározzuk egy függvény tartományát, megvizsgáljuk a keresési módszereket, és részletesen elemezzük a példák megoldását az egyszerűtől a bonyolultabbig. Az áttekinthetőség érdekében minden anyagot grafikus illusztrációkkal látunk el. Tehát ez a cikk egy részletes válasz arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megtalálni egy függvény tartományát.

Meghatározás.

Az y = f(x) függvény értékkészlete az X intervallumon a függvény összes értékének halmaza, amelyet az összes iteráció során használ.

Meghatározás.

Az y = f(x) függvény tartománya a függvény összes értékének halmazának nevezzük, amelyet akkor vesz fel, amikor a definíciós tartományból az összes x-et iterálja.

A függvény tartományát E(f)-ként jelöljük.

Egy függvény tartománya és egy függvény értékkészlete nem ugyanaz. Ezeket a fogalmakat egyenértékűnek tekintjük, ha az y = f(x) függvény értékkészletének megtalálásakor az X intervallum egybeesik a függvény tartományával.

Ezenkívül ne keverje össze a függvény tartományát az y=f(x) egyenlet jobb oldalán lévő kifejezés x változójával. Az x változó megengedett értékeinek területe az f(x) kifejezéshez az y=f(x) függvény definíciójának területe.

Az ábrán néhány példa látható.

A függvénygrafikonokat félkövér kék vonalak jelzik, a vékony piros vonalak aszimptotákat, a piros pontok és vonalak az Oy tengelyen a megfelelő függvény tartományát mutatják.

Amint látható, a függvény tartományát úgy kapjuk meg, hogy a függvény grafikonját az y tengelyre vetítjük. Ez lehet egyetlen szám (első eset), számhalmaz (második eset), szegmens (harmadik eset), intervallum (negyedik eset), nyitott sugár (ötödik eset), unió (hatodik eset) stb. .

Tehát mit kell tennie a függvény tartományának megtalálásához.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel: megmutatjuk, hogyan határozzuk meg az y = f(x) folytonos függvény értékkészletét az intervallumon.

Ismeretes, hogy egy szegmensen folytonos függvény eléri a maximális és minimális értékét. Így a szegmensen az eredeti függvény értékkészlete lesz a szegmens . Ezért a feladatunk a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására korlátozódik az intervallumon.

Például keressük meg az arcszinusz függvény tartományát.

Példa.

Adja meg az y = arcsinx függvény tartományát.

Megoldás.

Az arcszinusz definíciós tartománya a [-1; egy] . Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét ezen a szegmensen.

A derivált minden x-re pozitív a (-1; 1) intervallumból, vagyis az arcszinusz függvény a teljes definíciós tartományon növekszik. Ezért a legkisebb értéket x = -1-nél, a legnagyobbat pedig x = 1-nél veszi fel.

Megkaptuk az arcszinusz függvény tartományát .

Példa.

Keresse meg a függvényértékek halmazát a szegmensen.

Megoldás.

Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az adott szakaszon!

Határozzuk meg a szegmenshez tartozó szélsőpontokat:

Kiszámoljuk az eredeti függvény értékeit a szakasz végén és a pontokon :

Ezért a függvény értékkészlete a szegmensen a szegmens .

Most megmutatjuk, hogyan találjuk meg az y = f(x) folytonos függvény értékkészletét az (a; b), , intervallumokban.

Először meghatározzuk a függvény szélsőpontjait, szélsőértékeit, a függvény növekedési és csökkenési intervallumait egy adott intervallumon. Ezután kiszámítjuk az intervallum végén és (vagy) a határértékeket a végtelenben (vagyis megvizsgáljuk a függvény viselkedését az intervallum határain vagy a végtelenben). Ez az információ elegendő ahhoz, hogy megtalálja a függvényértékek készletét ilyen intervallumokon.

Példa.

Határozza meg a függvényértékek halmazát a (-2; 2) intervallumon.

Megoldás.

Keressük meg a függvény (-2; 2) intervallumra eső szélsőpontjait:

Pont x = 0 a maximális pont, mivel a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, amikor áthalad rajta, és a függvény grafikonja növekvőről csökkenőre változik.

a függvény megfelelő maximuma.

Nézzük meg a függvény viselkedését, amikor x jobb oldalon -2-re, x bal oldalon 2-re hajlik, azaz egyoldalú határértékeket találunk:

Amit kaptunk: amikor az argumentum -2-ről nullára változik, a függvény értéke mínusz végtelenről mínusz egynegyedre nő (a függvény maximuma x = 0-nál), amikor az argumentum nulláról 2-re változik, a függvény az értékek mínusz végtelenre csökkennek. Így a függvényértékek halmaza a (-2; 2) intervallumon .

Példa.

Adja meg az y = tgx érintőfüggvény értékkészletét az intervallumon.

Megoldás.

Az intervallum érintőfüggvényének deriváltja pozitív , ami a funkció növekedését jelzi. Tanulmányozzuk a függvény viselkedését az intervallum határain:

Így, amikor az argumentum értékről -re változik, a függvény értékei mínusz végtelenről plusz végtelenre nőnek, vagyis az érintőértékek halmaza ebben az intervallumban az összes valós szám halmaza.

Példa.

Határozzuk meg az y = lnx természetes logaritmusfüggvény tartományát.

Megoldás.

A természetes logaritmus függvény az argumentum pozitív értékeihez van definiálva . Ezen az intervallumon a derivált pozitív , ez a rajta lévő funkció növekedését jelzi. Határozzuk meg a függvény egyoldalú határát, mivel az argumentum jobbról nullára, az x határértéke pedig a végtelen pluszba hajlik:

Látjuk, hogy amikor x nulláról plusz végtelenre változik, a függvény értékei mínusz végtelenről plusz végtelenre nőnek. Ezért a természetes logaritmus függvény tartománya a valós számok teljes halmaza.

Példa.

Megoldás.

Ez a függvény minden valós x értékhez definiálva van. Határozzuk meg a függvény szélsőpontjait, valamint növekedési és csökkenési intervallumait.

Ezért a függvény csökken -ben, növekszik -nál, x = 0 a maximális pont, a függvény megfelelő maximumát.

Nézzük meg a függvény viselkedését a végtelenben:

Így a végtelenben a függvény értékei aszimptotikusan megközelítik a nullát.

Azt találtuk, hogy amikor az argumentum mínusz végtelenről nullára (maximális pont) változik, a függvény értéke nulláról kilencre nő (a függvény maximumáig), és amikor x nulláról plusz végtelenre változik, a a függvény értéke kilencről nullára csökken.

Nézd meg a vázlatos rajzot.

Most már jól látható, hogy a függvény tartománya .

Hasonló vizsgálatokra van szükség az y = f(x) függvény értékkészletének intervallumokon való megtalálásához. Ezekre az esetekre most nem térünk ki részletesen. Az alábbi példákban látni fogjuk őket.

Legyen az y = f(x) függvény tartománya több intervallum uniója. Egy ilyen függvény tartományának megtalálásakor meghatározzák az egyes intervallumok értékkészletét, és egyesítik őket.

Példa.

Keresse meg a függvény tartományát.

Megoldás.

Függvényünk nevezője ne menjen nullára, azaz .

Először keressük meg a függvény értékkészletét a nyílt sugáron.

Függvény derivált negatív ezen az intervallumon, vagyis a függvény csökken rajta.

Azt találtuk, hogy mivel az argumentum a végtelen mínuszára hajlamos, a függvény értékei aszimptotikusan megközelítik az egységet. Amikor x mínusz végtelenről kettőre változik, a függvény értékei egyről mínusz végtelenre csökkennek, vagyis a figyelembe vett intervallumon a függvény egy értékkészletet vesz fel. Az egységet nem vesszük figyelembe, mivel a függvény értékei nem érik el, hanem csak aszimptotikusan hajlanak rá a mínusz végtelennél.

Hasonlóan járunk el nyitott gerendánál is.

A függvény ezen az intervallumon is csökken.

Ezen az intervallumon a függvényértékek halmaza a készlet.

Így a függvényértékek kívánt tartománya a és a halmazok uniója.

Grafikus illusztráció.

Külön kell foglalkoznunk a periodikus függvényekkel. A periodikus függvények tartománya egybeesik a függvény periódusának megfelelő intervallum értékkészletével.

Példa.

Határozzuk meg az y = sinx szinuszfüggvény tartományát.

Megoldás.

Ez a függvény periodikus, két pi periódussal. Vegyünk egy szegmenst, és határozzuk meg rajta az értékkészletet.

A szegmens két szélsőpontot és .

Kiszámítjuk a függvény értékeit ezeken a pontokon és a szakasz határain, kiválasztjuk a legkisebb és legnagyobb értéket:

Következésképpen, .

Példa.

Keresse meg egy függvény tartományát .

Megoldás.

Tudjuk, hogy az arckoszinusz tartománya a nullától pi-ig terjedő szakasz, azaz vagy egy másik bejegyzésben. Funkció az arccosx-ból az x tengely mentén eltolva és nyújtva szerezhető be. Az ilyen átalakítások nem befolyásolják a tartományt, ezért . Funkció származik háromszoros nyújtás az Oy tengely mentén, azaz . Az átalakítások utolsó szakasza pedig négy egységgel lefelé történő eltolódás az y tengely mentén. Ez kettős egyenlőtlenséghez vezet

Így a kívánt értéktartomány az .

Adjunk megoldást egy másik példára, de magyarázatok nélkül (nem kötelező, mert teljesen hasonlóak).

Példa.

Funkciótartomány meghatározása .

Megoldás.

Az eredeti függvényt a formába írjuk . Az exponenciális függvény tartománya az intervallum. azaz . Azután

Következésképpen, .

Hogy teljes legyen a kép, egy olyan függvény tartományának megtalálásáról kell beszélnünk, amely nem folytonos a definíciós tartományon. Ebben az esetben a definíciós tartományt töréspontok intervallumokra osztják, és mindegyiken megtaláljuk az értékkészleteket. A kapott értékkészleteket összevonva megkapjuk az eredeti függvény értéktartományát. Javasoljuk, hogy emlékezzen a bal oldali 3-ra, a függvény értékei mínusz egyre irányulnak, és amikor az x a jobb oldalon 3-ra hajlik, a függvény értékei általában plusz a végtelen.

Így a függvény definíciós tartománya három intervallumra oszlik.

Az intervallumon megvan a függvény . Azóta

Így az eredeti függvény értékkészlete az intervallumon [-6;2] .

A félintervallumon y = -1 állandó függvényünk van. Vagyis az eredeti függvény értékkészlete az intervallumon egyetlen elemből áll.

A függvény az argumentum összes érvényes értékéhez definiálva van. Határozza meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumát!

A derivált x=-1 és x=3 esetén eltűnik. Ezeket a pontokat megjelöljük a valós tengelyen, és meghatározzuk a derivált előjeleit a kapott intervallumokon.

A funkció mértéke csökken , növekszik [-1; 3] , x=-1 minimum pont, x=3 maximum pont.

Kiszámoljuk a megfelelő minimum és maximum függvényeket:

Ellenőrizzük a függvény viselkedését a végtelenben:

A második határértéket től számítottuk.

Készítsünk sematikus rajzot.

Amikor az argumentum mínusz végtelenről -1-re változik, a függvényértékek plusz végtelenről -2e-re csökkennek, amikor az argumentum -1-ről 3-ra változik, a függvény értéke -2e-ről -1-re változik, amikor az argumentum értékről változik. 3-tól plusz végtelenig a függvényértékek nulláról csökkennek, de nem érik el a nullát.

A problémák megoldása során gyakran egy függvény értékkészletét kell keresnünk a definíciós tartományon vagy egy szegmensen. Ilyen például a különböző típusú egyenlőtlenségek megoldása, a kifejezések értékelése stb.

Ennek az anyagnak a részeként elmondjuk, hogy mi a függvény tartománya, megadjuk a főbb módszereket, amelyekkel kiszámítható, és elemezzük a különböző bonyolultságú problémákat. Az egyértelműség kedvéért az egyes pozíciókat grafikonok illusztrálják. A cikk elolvasása után átfogóan megértheti egy funkció hatókörét.

Kezdjük az alapvető definíciókkal.

1. definíció

Az y = f (x) függvény értékkészlete valamilyen x intervallumon az összes érték halmaza, amelyet ez a függvény felvesz, amikor az összes x ∈ X értéken iterál.

2. definíció

Az y = f (x) függvény tartománya az összes érték halmaza, amelyet felvehet, ha az x értékek felett iterál az x ∈ (f) tartományból.

Valamely függvény tartományát általában E (f) -vel jelöljük.

Felhívjuk figyelmét, hogy egy függvény értékkészletének fogalma nem mindig azonos az értékeinek területével. Ezek a fogalmak csak akkor lesznek egyenértékűek, ha az x érték tartománya az értékkészlet megtalálásakor egybeesik a függvény tartományával.

Szintén fontos különbséget tenni az x változó tartománya és tartománya között a jobb oldali y = f (x) kifejezésnél. Az f (x) kifejezés elfogadható x értékeinek területe lesz a függvény definíciójának területe.

Az alábbiakban egy illusztráció néhány példát mutat be. A kék vonalak a függvények grafikonjai, a pirosak az aszimptoták, a piros pontok és az y tengelyen lévő vonalak a függvény tartományai.

Nyilvánvalóan a függvény tartományát úgy kaphatjuk meg, ha a függvény grafikonját az O y tengelyre vetítjük. Ugyanakkor lehet egyetlen szám vagy számkészlet, szegmens, intervallum, nyílt sugár, numerikus intervallumok uniója stb.

Tekintsük a függvény tartományának meghatározásának fő módjait.

Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk egy y = f (x) folytonos függvény értékkészletét egy bizonyos szakaszon, amelyet [ a ; b] . Tudjuk, hogy egy adott intervallumon folytonos függvény eléri rajta minimumát és maximumát, vagyis a maximumot m a x x ∈ a ; b f (x) és a legkisebb érték m i n x ∈ a ; b f (x) . Tehát egy m i n x ∈ a szakaszt kapunk; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , amely az eredeti függvény értékkészleteit fogja tartalmazni. Ezután már csak meg kell találnunk a megadott minimális és maximális pontot ezen a szakaszon.

Vegyünk egy problémát, amelyben meg kell határozni az arcszinusz értéktartományát.

1. példa

Feltétel: keresse meg az y = a r c sin x tartományt.

Megoldás

Általános esetben az arcszinusz definíciós tartománya a [ - 1 ; egy ] . Meg kell határoznunk rajta a megadott függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Tudjuk, hogy a függvény deriváltja pozitív lesz minden x értékre, amely a [-1] intervallumban található; 1 ] , vagyis a teljes definíciós tartományban az arcszinusz függvény növekedni fog. Ez azt jelenti, hogy a legkisebb értéket akkor veszi fel, ha x egyenlő -1-gyel, és a legnagyobbat - ha x egyenlő 1-gyel.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Így az arcszinuszfüggvény tartománya egyenlő lesz: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Válasz: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

2. példa

Feltétel: számítsa ki az y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 tartományt az adott intervallumon [ 1 ; 4 ] .

Megoldás

Nincs más dolgunk, mint kiszámítani a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az adott intervallumban.

A szélsőpontok meghatározásához a következő számításokat kell elvégezni:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 és l és 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Most keressük meg az adott függvény értékeit a szakasz és az x 2 = 15 - 33 8 pontok végén; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 ≈ + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 év (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Ez azt jelenti, hogy a függvényértékek halmazát a 117 - 165 33 512 szegmens határozza meg; 32 .

Válasz: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Térjünk át az y = f (x) folytonos függvény értékkészletének megkeresésére az (a ; b) és a intervallumokban; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a legnagyobb és legkisebb pontokat, valamint a növekedési és csökkenési intervallumokat egy adott intervallumban. Ezt követően egyoldalú határértékeket kell kiszámítanunk az intervallum végén és/vagy határértékeket a végtelenben. Más szóval, meg kell határoznunk a függvény viselkedését adott feltételek mellett. Ehhez minden szükséges adattal rendelkezünk.

3. példa

Feltétel: számítsa ki az y = 1 x 2 - 4 függvény tartományát a (- 2 ; 2) intervallumon.

Megoldás

Határozza meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy adott intervallumon!

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

A maximális értéket 0-val kaptuk, mivel ezen a ponton változik a függvény előjele, és a grafikon csökkenni kezd. Lásd az illusztrációt:

Vagyis y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 lesz a függvény maximális értéke.

Most határozzuk meg a függvény viselkedését egy x-re, amely a jobb oldalon -2-re, a bal oldalon pedig +2-re hajlamos. Más szóval, egyoldalú korlátokat találunk:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Azt kaptuk, hogy a függvényértékek mínusz végtelenről -1 4-re nőnek, ha az argumentum -2-ről 0-ra változik. És amikor az argumentum 0-ról 2-re változik, a függvény értékei mínusz végtelen felé csökkennek. Ezért az adott függvény értékkészlete a számunkra szükséges intervallumon (- ∞ ; - 1 4 ] lesz.

Válasz: (- ∞ ; - 1 4 ] .

4. példa

Feltétel: jelölje meg az y = t g x értékek halmazát az adott intervallumon - π 2 ; π 2 .

Megoldás

Tudjuk, hogy általában az érintő deriváltja - π 2; π 2 pozitív lesz, vagyis a függvény növekedni fog. Most határozzuk meg, hogyan viselkedik a függvény a megadott határokon belül:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Megkaptuk a függvény értékeinek növekedését mínusz végtelenről plusz végtelenre, ha az argumentum -π 2-ről π 2-re változik, és azt mondhatjuk, hogy ennek a függvénynek a megoldásainak halmaza lesz az összes valós halmaza. számok.

Válasz: - ∞ ; + ∞ .

5. példa

Feltétel: határozza meg, hogy mekkora az y = ln x természetes logaritmusfüggvény tartománya.

Megoldás

Tudjuk, hogy ez a függvény a D (y) = 0 argumentum pozitív értékeire van definiálva; +∞ . A derivált az adott intervallumon pozitív lesz: y " = ln x " = 1 x . Ez azt jelenti, hogy a funkció növekszik rajta. Ezután meg kell határoznunk egy egyoldalú határértéket arra az esetre, amikor az argumentum 0-ra megy (jobb oldalon), és amikor x a végtelenbe megy:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Azt találtuk, hogy a függvény értékei mínusz végtelenről plusz végtelenre nőnek, ahogy az x értékek nulláról plusz végtelenre változnak. Ez azt jelenti, hogy az összes valós szám halmaza a természetes logaritmus függvény tartománya.

Válasz: az összes valós szám halmaza a természetes logaritmus függvény tartománya.

6. példa

Feltétel: határozza meg, hogy mekkora az y = 9 x 2 + 1 függvény tartománya.

Megoldás

Ez a függvény akkor van definiálva, ha x egy valós szám. Számítsuk ki a függvény legnagyobb és legkisebb értékét, valamint növekedési és csökkenési intervallumait:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Ennek eredményeként megállapítottuk, hogy ez a függvény csökkenni fog, ha x ≥ 0; növekszik, ha x ≤ 0 ; y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 maximális pontja van, ha a változó 0 .

Nézzük meg, hogyan viselkedik a függvény a végtelenben:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

A rekordból látható, hogy a függvény értékei ebben az esetben aszimptotikusan megközelítik a 0-t.

Összefoglalva: amikor az argumentum mínusz végtelenről nullára változik, akkor a függvény értékei 0-ról 9-re nőnek. Ahogy az argumentumértékek 0-ról plusz végtelenre mennek, a megfelelő függvényértékek 9-ről 0-ra csökkennek. Ezt ábrázoltuk az ábrán:

Azt mutatja, hogy a függvény tartománya az E (y) = (0 ; 9 ] intervallum lesz

Válasz: E (y) = (0 ; 9 ]

Ha meg kell határoznunk az y = f (x) függvény értékkészletét az [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] ), akkor pontosan ugyanazokat a vizsgálatokat kell elvégeznünk, ezeket az eseteket egyelőre nem elemezzük, később találkozunk velük a problémáknál. .

De mi van akkor, ha egy bizonyos függvény tartománya több intervallum uniója? Ezután ki kell számítanunk az egyes intervallumok értékkészletét, és kombinálnunk kell őket.

7. példa

Feltétel: határozza meg, hogy mekkora lesz az y = x x - 2 tartománya.

Megoldás

Mivel a függvény nevezőjét nem szabad 0-ra fordítani, akkor D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; +∞ .

Kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a függvényértékek halmazát az első szegmensen - ∞ ; 2, ami egy nyitott gerenda. Tudjuk, hogy a rajta lévő függvény csökkenni fog, vagyis ennek a függvénynek a deriváltja negatív lesz.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Ekkor azokban az esetekben, amikor az argumentum mínusz végtelen felé változik, a függvény értékei aszimptotikusan megközelítik az 1-et. Ha x értékei mínusz végtelenről 2-re változnak, akkor az értékek 1-ről mínusz végtelenre csökkennek, azaz. ezen a szegmensen a függvény a - ∞ intervallumból veszi az értékeket; egy . Az egységet kizárjuk érvelésünkből, mivel a függvény értékei nem érik el, hanem csak aszimptotikusan közelítenek hozzá.

Nyitott gerendához 2 ; + ∞ pontosan ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre. A funkció is csökken rajta:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

A függvény értékeit ezen a szegmensen az 1 halmaz határozza meg; +∞ . Ez azt jelenti, hogy a szükséges feltételben megadott függvény értéktartománya a halmazok uniója lesz - ∞; 1. és 1.; +∞ .

Válasz: E (y) = -∞ ; 1 ∪ 1; +∞ .

Ez látható a diagramon:

Különleges eset a periodikus függvények. Értékterületük egybeesik a funkció periódusának megfelelő intervallum értékkészletével.

8. példa

Feltétel: határozza meg az y = sin x szinusz tartományát.

Megoldás

A szinusz periodikus függvényre utal, periódusa 2 pi. Vegyünk egy 0 szegmenst; 2 π, és nézze meg, mi lesz a rajta lévő értékkészlet.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0-n belül; 2 π a függvény szélső pontjai π 2 és x = 3 π 2 lesznek. Számítsuk ki, hogy a függvény értékei mekkora lesz bennük, valamint a szegmens határain, majd kiválasztjuk a legnagyobb és legkisebb értéket.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Válasz: E (sinx) = -1; egy .

Ha ismernie kell az olyan függvények tartományait, mint az exponenciális, az exponenciális, a logaritmikus, a trigonometrikus, az inverz trigonometrikus, akkor javasoljuk, hogy olvassa el újra az alapvető elemi függvényekről szóló cikket. Az itt bemutatott elmélet lehetővé teszi az ott megadott értékek tesztelését. Kívánatos ezeket megtanulni, mert gyakran szükség van rájuk a problémák megoldásában. Ha ismeri a fő függvények tartományait, akkor könnyen megtalálhatja az elemi függvényekből geometriai transzformációval kapott függvénytartományokat.

9. példa

Feltétel: határozzuk meg az y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 tartományt.

Megoldás

Tudjuk, hogy a 0-tól pi-ig terjedő szakasz az inverz koszinusz tartománya. Más szavakkal, E (a r c cos x) = 0 ; π vagy 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Az ív koszinuszból az a r c cos x 3 + 5 π 7 függvényt megkaphatjuk az O x tengely mentén történő eltolással és nyújtással, de az ilyen transzformációk nem adnak semmit. Ezért 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

A 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 függvényt az a r c cos x 3 + 5 π 7 inverz koszinuszból kaphatjuk meg az y tengely mentén történő nyújtással, azaz. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . A végső transzformáció az O y tengely mentén 4 értékkel történő eltolás. Ennek eredményeként kettős egyenlőtlenséget kapunk:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 ív x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Azt kaptuk, hogy a szükséges tartomány egyenlő lesz: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Válasz: E(y)=-4; 3 pi - 4 .

Írjunk még egy példát magyarázat nélkül, mert teljesen hasonló az előzőhöz.

10. példa

Feltétel: Számítsd ki, mekkora lesz az y = 2 2 x - 1 + 3 függvény tartománya.

Megoldás

Írjuk át a feltételben megadott függvényt a következőképpen: y = 2 · (2 ​​× - 1) - 1 2 + 3 . Az y = x - 1 2 hatványfüggvény esetén a tartományt a 0 intervallumon kell meghatározni ; + ∞ , azaz. x - 1 2 > 0 . Ebben az esetben:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Tehát E (y) = 3 ; +∞ .

Válasz: E(y)=3; +∞ .

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg a nem folytonos függvény tartományát. Ehhez fel kell osztanunk a teljes területet intervallumokra, és mindegyiken meg kell találnunk az értékkészleteket, majd kombinálnunk kell, amink van. Ennek jobb megértése érdekében javasoljuk, hogy tekintse át a függvénytöréspontok fő típusait.

11. példa

Feltétel: adott egy függvény y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Számítsa ki a tartományát.

Megoldás

Ez a függvény minden x értékre definiálva van. Elemezzük a folytonosság szempontjából a - 3 és 3 argumentum értékeivel:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Az első típusú, helyrehozhatatlan megszakításunk van a -3 argumentum értékével. Ahogy közeledünk, a függvény értékei hajlamosak -2 sin 3 2 - 4 , és ahogy az x a -3-ra hajlik a jobb oldalon, az értékek -1-re.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

A 3. pontban van egy eltávolíthatatlan, második típusú folytonossági hiányunk. Amikor a függvény arra törekszik, értékei megközelítik - 1-et, míg a jobb oldalon ugyanarra a pontra irányulnak - a mínusz végtelenhez.

Ez azt jelenti, hogy a függvény teljes definíciós tartománya 3 intervallumra van felosztva (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ).

Az elsőnél az y \u003d 2 sin x 2 - 4 függvényt kaptuk. Mivel - 1 ≤ sin x ≤ 1 , a következőket kapjuk:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Ez azt jelenti, hogy ezen az intervallumon (- ∞ ; - 3 ] a függvény értékkészlete [ - 6 ; 2 ] .

A félintervallumon (- 3 ; 3 ] egy konstans függvényt kapunk, y = - 1 . Következésképpen az értékeinek teljes halmaza ebben az esetben egy -1 számra csökken.

A második intervallumon 3 ; + ∞ van egy y = 1 x - 3 függvényünk. Csökken, mert y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Ezért az eredeti függvény értékkészlete x > 3 esetén a 0 halmaz; +∞ . Most kombináljuk az eredményeket: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

Válasz: E(y)=-6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; +∞ .

A megoldást a grafikon mutatja:

12. példa

Feltétel: van egy y = x 2 - 3 e x függvény. Határozza meg értékeinek halmazát!

Megoldás

Meg van határozva minden olyan argumentumértékhez, amely valós szám. Határozzuk meg, hogy ez a függvény milyen időközönként nő, és melyikben csökken:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Tudjuk, hogy a derivált 0 lesz, ha x = - 1 és x = 3. Helyezzük ezt a két pontot a tengelyre, és megtudjuk, hogy a derivált milyen előjelekkel rendelkezik a kapott intervallumokon.

A függvény a (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) értékkel csökken és [ - 1 ; 3]. A minimum pont -1, maximum -3 lesz.

Most keressük meg a megfelelő függvényértékeket:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Nézzük meg a függvény viselkedését a végtelenben:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = lim x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 lim x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

A második határ kiszámításához a L'Hopital-szabályt használták. Ábrázoljuk a megoldásunkat grafikonon.

Azt mutatja, hogy a függvény értékei plusz végtelenről -2 e-re csökkennek, ha az argumentum mínusz végtelenről -1-re változik. Ha 3-ról plusz végtelenre változik, akkor az értékek 6 e - 3-ról 0-ra csökkennek, de a 0-t nem éri el.

Így E (y) = [-2 e ; +∞) .

Válasz: E(y) = [-2e; +∞)

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A funkció fogalma és minden, ami ehhez kapcsolódik, hagyományosan összetett, nem teljesen érthető. A funkció tanulmányozásában és a vizsgára való felkészülésben különleges akadályt jelent a definíciós terület és a funkció értéktartománya (változásai).
A tanulók gyakran nem látják a különbséget egy függvény tartománya és értékeinek tartománya között.
És ha a tanulóknak sikerül elsajátítaniuk a függvény definíciós tartományának megtalálásának feladatait, akkor a függvény értékkészletének megtalálásának feladatai jelentős nehézségeket okoznak számukra.
Ennek a cikknek a célja: egy függvény értékeinek megtalálási módszereinek megismerése.
Ennek a témának a mérlegelése eredményeként elméleti anyagot tanulmányoztak, megvizsgálták a függvényértékkészletek megtalálásának problémáinak megoldási módszereit, és didaktikai anyagot választottak ki a hallgatók önálló munkájához.
Ezt a cikket a tanár felhasználhatja a hallgatók záró- és felvételi vizsgákra való felkészítése során, amikor a választható matematika kurzusokon a „Funkció köre” témakört tanul.

I. A funkció körének meghatározása.

Az y = f(x) függvény E(y) értékeinek területe (halmaza) olyan y 0 számok halmaza, amelyek mindegyikére van olyan x 0 szám, amelyre: f(x 0) = y 0 .

Emlékezzünk vissza a főbb elemi függvények tartományára.

Vegyünk egy táblázatot.

Funkció	Sok érték
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Vegye figyelembe azt is, hogy bármely páros fokú polinom tartománya az intervallum, ahol n ennek a polinomnak a legnagyobb értéke.

II. A függvény tartományának megtalálásához használt függvénytulajdonságok

Egy függvény értékkészletének sikeres megtalálásához jól kell ismerni az alapvető elemi függvények tulajdonságait, különösen azok definíciós területeit, értéktartományait és a monotonitás természetét. Mutassuk be a folytonos, monoton differenciálható függvények tulajdonságait, melyeket leggyakrabban a függvények értékkészletének megtalálásában használunk.

A 2. és 3. tulajdonságot általában egy elemi függvény azon tulajdonságával együtt használjuk, hogy folytonos legyen a tartományában. Ebben az esetben a függvény értékkészletének megtalálásának problémájának legegyszerűbb és legrövidebb megoldása az 1. tulajdonság alapján érhető el, ha egyszerű módszerekkel meg lehet határozni a függvény monotonitását. A feladat megoldását tovább egyszerűsíti, ha a függvény ráadásul páros vagy páratlan, periodikus stb. Így a függvényérték-készletek keresési problémáinak megoldása során a függvény alábbi tulajdonságait kell ellenőrizni és szükség szerint használni:

• folytonosság;
• monoton;
• differenciálhatóság;
• páros, páratlan, periodikus stb.

A függvényértékek halmazának megtalálásához szükséges egyszerű feladatok többnyire orientáltak:

a) a legegyszerűbb becslések és korlátozások alkalmazása: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 stb.);

b) egy teljes négyzet kiválasztásához: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) trigonometrikus kifejezések transzformációjához: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) az x 1/3 + 2 x-1 függvény monotonitásának felhasználásával R-el növekszik.

III. Fontolja meg a funkciók tartományának megtalálásának módjait.

a) összetett függvényargumentumok értékeinek szekvenciális keresése;
b) értékelési módszer;
c) egy függvény folytonossági és monotonitási tulajdonságainak felhasználása;
d) származékos termék használata;
e) a függvény legnagyobb és legkisebb értékének használata;
f) grafikus módszer;
g) paraméterbeviteli módszer;
h) inverz függvény módszer.

Ezeknek a módszereknek a lényegét konkrét példákon mutatjuk be.

1. példa: Keresse meg a tartományt E y) függvények y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Oldjuk meg ezt a példát úgy, hogy egymás után megkeressük az összetett függvényargumentumok értékeit. A logaritmus alatti teljes négyzetet kiválasztva transzformáljuk a függvényt

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

És sorrendben keresse meg összetett argumentumai értékkészletét:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Jelöli t= 5 – (3 x +1) 2, ahol -∞≤ t≤4. Így a probléma az y = log 0,5 t függvény értékkészletének megtalálása a sugáron. (-∞;4) . Mivel az y = log 0,5 t függvény csak a -nál van definiálva, ezért a sugáron lévő értékkészlete (-∞;4) egybeesik a (0;4) intervallum függvényértékeinek halmazával, ami a a sugár (-∞;4) metszéspontja a logaritmikus függvény definíciós tartományával (0;+∞). A (0;4) intervallumon ez a függvény folyamatos és csökkenő. Nál nél t> 0, akkor +∞-ra hajlik, és mikor t = 4 a -2 értéket veszi fel, tehát E(y) =(-2, +∞).

2. példa: Keresse meg egy függvény tartományát

y = cos7x + 5cosx

Oldjuk meg ezt a példát a becslések módszerével, melynek lényege, hogy a folytonos függvényt alulról és felülről becsüljük, és bizonyítjuk, hogy a függvény eléri a becslések alsó és felső határát. Ebben az esetben a függvény értékkészletének egybeesését a becslés alsó határától a felső értékig terjedő intervallummal a függvény folytonossága és más értékek hiánya határozza meg.

A -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 egyenlőtlenségekből a -6≤y?6 becslést kapjuk. x = p és x = 0 esetén a függvény -6 és 6 értéket vesz fel, azaz. eléri az alsó és felső határt. A cos7x és cosx folytonos függvények lineáris kombinációjaként az y függvény az egész számtengely mentén folytonos, ezért a folytonos függvény tulajdonsága alapján minden értéket vesz fel -6-tól 6-ig, és csak azokat, mivel , a -6≤y?6 egyenlőtlenségek miatt, egyéb értékek ő lehetetlen. Következésképpen, E y)= [-6;6].

3. példa: Keresse meg a tartományt E(f) funkciókat f(x)= cos2x + 2cosx.

A dupla szög koszinusz képlet segítségével átalakítjuk a függvényt f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 és jelölje t= cosx. Azután f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Mivel E(cosx) =

[-1;1], akkor a függvény tartománya f(x) egybeesik a g függvény értékkészletével (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 a [-1; 1] szakaszon, amelyet grafikus módszerrel fogunk megtalálni. Az y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 függvényt a [-1; 1] intervallumon ábrázolva azt kapjuk, hogy E(f) = [-1,5; 3].

Megjegyzés – A paraméterekkel kapcsolatos számos probléma egy függvény értékkészletének megtalálására redukálódik, főként az egyenlet és egyenlőtlenségek megoldhatóságával és megoldásainak számával kapcsolatban. Például az egyenlet f(x)= a akkor és csak akkor oldható meg

aE(f) Hasonlóképpen az egyenlet f(x)= a legalább egy gyöke van valamilyen X intervallumon, vagy nincs gyöke ezen az intervallumon, akkor és csak akkor, ha a tartozik vagy nem tartozik a függvény értékkészletéhez f(x) Az X intervallumon. Tanulmányozzuk a függvény értékkészletét és az egyenlőtlenségeket is f(x)≠ de, f(x)> a stb. Különösen, f(x)≠és x összes megengedett értékére, ha a E(f)

4. példa: Az a paraméter mely értékei esetén az (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) egyenletnek egyetlen gyöke van a [-4;-1] szakaszon.

Írjuk fel az egyenletet (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a formában. Az utolsó egyenletnek legalább egy gyöke van a [-4;-1] szakaszon, akkor és csak akkor, ha a a függvény értékkészletéhez tartozik f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) a [-4;-1] szakaszon. Keressük meg ezt a halmazt a függvény folytonossági és monotonitásának tulajdonságával.

A [-4;-1] szakaszon az y = xІ + 4 függvény folytonos, csökkenő és pozitív, ezért a függvény g(x) = 1/(x 2 + 4) folytonos és ezen az intervallumon növekszik, mivel pozitív függvénnyel való osztásakor a függvény monotonitásának jellege az ellenkezőjére változik. Funkció h(x) =(x + 5) 1/2 folytonos és növekvő a tartományában D(h) =[-5;+∞) és különösen a [-4;-1] intervallumon, ahol szintén pozitív. Aztán a függvény f(x)=g(x) h(x), két folytonos, növekvő és pozitív függvény szorzataként a [-4;-1] szegmensen is folytonos és növekszik, ezért a [-4;-1] szegmensen lévő értékkészlete a [-4;-1] szegmens [ f(-4); f(-1)] = . Ezért az egyenletnek a [-4;-1] intervallumon van megoldása, és az egyetlen (egy folytonos monoton függvény tulajdonsága alapján), 0,05 ≤ a ≤ 0,4 esetén

Megjegyzés. Az egyenlet megoldhatósága f(x) = a bizonyos intervallumon X egyenértékű a paraméter értékeinek tartozásával de függvényértékek halmaza f(x) az X-en. Ezért a függvény értékkészlete f(x) az X intervallumon egybeesik a paraméterértékek halmazával de, amelyre az egyenlet f(x) = a legalább egy gyöke van az X intervallumon. Különösen az értéktartomány E(f) funkciókat f(x) megegyezik a paraméterértékek halmazával de, amelyre az egyenlet f(x) = a legalább egy gyökere van.

5. példa: Keresse meg a tartományt E(f) funkciókat

Oldjuk meg a példát egy paraméter bevezetésével, amely szerint E(f) megegyezik a paraméterértékek halmazával de, amelyre az egyenlet

legalább egy gyökere van.

Ha a=2, az egyenlet lineáris - 4x - 5 = 0, nem nulla együtthatóval ismeretlen x esetén, ezért van megoldása. a≠2 esetén az egyenlet másodfokú, tehát akkor és csak akkor oldható meg, ha diszkrimináns

Mivel az a = 2 pont a szakaszhoz tartozik

majd a kívánt paraméterértékkészletet de, innen ered az értéktartomány E(f) lesz a teljes szegmens.

A függvény értékkészletének megtalálásakor a paraméter bevezetésének módszerének közvetlen továbbfejlesztéseként megfontolhatjuk az inverz függvény módszerét, amelynek megtalálásához meg kell oldani az x egyenletét. f(x)=y y-t paraméternek tekintve. Ha ennek az egyenletnek egyedi megoldása van x=g(y), majd a tartomány E(f) eredeti funkciója f(x) egybeesik a definíció tartományával D(g) inverz függvény g(y). Ha az egyenlet f(x)=y több megoldása is van x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) stb., akkor E(f) egyenlő a függvénydefiníciók hatóköreinek uniójával g 1 (y), g 2 (y) stb.

6. példa: Keresse meg a tartományt E y) függvények y = 5 2/(1-3x).

Az egyenletből

keresse meg az x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) inverz függvényt és tartományát D(x):

Mivel az x egyenletnek egyedi megoldása van, akkor

E(y) = D(x) = (0; 1) (25;+∞ ).

Ha egy függvény tartománya több intervallumból áll, vagy a különböző intervallumokon lévő függvényt különböző képletek adják meg, akkor a függvény tartományának megtalálásához minden intervallumon meg kell találni a függvény értékkészleteit, és meg kell venni a unió.

7. példa: Tartományok keresése f(x)És f(f(x)), ahol

f(x) a sugáron (-∞;1], ahol egybeesik a 4 x + 9 4 -x + 3 kifejezéssel. Jelölje t = 4 x. Azután f(x) = t + 9/t + 3, ahol 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) a sugáron (-∞;1] egybeesik a függvény értékkészletével g(t) = t + 9/t + 3, a (0;4] intervallumon), amelyet a derivált segítségével találunk meg g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. A (0;4] intervallumon a derivált g'(t) meghatározásra kerül, és ott eltűnik t=3. 0-nál<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) csökken, a (3;4) intervallumban pedig növekszik, folyamatos marad a teljes intervallumon (0;4), így g (3)= 9 - ennek a függvénynek a legkisebb értéke az intervallumon (0; 4], míg a legnagyobb értéke nem létezik, tehát amikor t→0 helyes funkció g(t)→+∞. Ezután egy folytonos függvény tulajdonsága alapján a függvény értékkészlete g(t) a (0;4] intervallumon, és ebből az értékkészleten). f(x) on (-∞;-1], lesz egy sugár.

Most az intervallumok kombinálásával - a függvényértékek halmazai f(f(x)), jelöli t = f(x). Azután f(f(x)) = f(t), ahol t funkció f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7, és ismét felveszi az összes értéket 5-től 9-ig (beleértve), azaz. hatótávolság E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Hasonlóképpen jelölve z = f(f(x)), megtalálhatja a tartományt E(f3) funkciókat f(f(f(x))) = f(z), ahol 5 ≤ z ≤ 9 stb. Győződjön meg arról, hogy E(f 3) = .

A függvényértékek halmazának megtalálásának leguniverzálisabb módja a függvény legnagyobb és legkisebb értékének használata egy adott intervallumban.

Példa 8. A paraméter mely értékeire R egyenlőtlenség 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x minden -1 ≤ x-re érvényes< 2.

Jelölve t = 2 x, az egyenlőtlenséget így írjuk p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Mivel t = 2 x egy folyamatosan növekvő funkció R, akkor -1 ≤ x esetén< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R különbözik a függvényértékektől f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t 0,5 ≤ t-nál< 4.

Először keressük meg a függvény értékkészletét f(t) azon az intervallumon, ahol mindenhol van deriváltja f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Következésképpen, f(t) differenciálható, ezért folytonos a szegmensen. Az egyenletből f'(t) = 0 megtalálni a függvény kritikus pontjait t=1/3, t=1, amelyek közül az első nem a szegmenshez tartozik, a második pedig ehhez tartozik. Mivel f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, akkor egy differenciálható függvény tulajdonsága alapján 0 a legkisebb és 36 a függvény legnagyobb értéke f(t) a szegmensen. Azután f(t), folytonos függvényként felveszi a szegmens összes értékét 0 és 36 között, és a 36 értéket csak akkor veszi fel, ha t=4, tehát 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }