Egyenlőtlenség kalkulátor online megoldással. Lineáris egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenség egy numerikus arány, amely a számok egymáshoz viszonyított nagyságát szemlélteti. Az egyenlőtlenségeket széles körben használják az alkalmazott tudományokban a mennyiségek keresésében. Kalkulátorunk segít Önnek egy olyan nehéz témában, mint a lineáris egyenlőtlenségek megoldása.

Mi az egyenlőtlenség

Az egyenlőtlen arányok a való életben megfelelnek a különböző tárgyak állandó összehasonlításának: magasabb vagy alacsonyabb, távolabbi vagy közelebbi, nehezebb vagy könnyebb. Intuitívan vagy vizuálisan megérthetjük, hogy egy tárgy nagyobb, magasabb vagy nehezebb, mint a másik, de valójában mindig a megfelelő mennyiségeket jellemző számok összehasonlításáról van szó. Bármilyen alapon összehasonlíthatja az objektumokat, és minden esetben készíthetünk numerikus egyenlőtlenséget.

Ha az ismeretlen mennyiségek meghatározott feltételek mellett egyenlőek, akkor ezek numerikus meghatározására egyenletet készítünk. Ha nem, akkor az "egyenlőség" jel helyett bármilyen más arányt jelezhetünk ezen mennyiségek között. Két szám vagy matematikai objektum lehet nagyobb, mint ">", kisebb, mint "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Az egyenlőtlenség jeleit modern formájukban Thomas Harriot brit matematikus találta fel, aki 1631-ben könyvet adott ki az egyenlőtlen arányokról. Nagyobb mint ">" és kisebb, mint "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Egyenlőtlenségek megoldása

Az egyenlőtlenségek, mint az egyenletek, különböző típusúak. A lineáris, négyzetes, logaritmikus vagy exponenciális egyenlőtlen arányokat különféle módszerekkel szabadítják fel. Azonban a módszertől függetlenül minden egyenlőtlenséget először szabványos formára kell redukálni. Ehhez azonos transzformációkat használnak, amelyek azonosak az egyenlőségek módosításaival.

Az egyenlőtlenségek identitástranszformációi

A kifejezések ilyen transzformációi nagyon hasonlítanak az egyenletek szelleméhez, de vannak árnyalatai, amelyeket fontos figyelembe venni az egyenlőtlenségek feloldásakor.

Az első azonosságtranszformáció megegyezik az egyenlőségekkel végzett analóg művelettel. Az egyenlőtlenségi arány mindkét oldalához hozzáadhatja vagy kivonhatja ugyanazt a számot vagy kifejezést egy ismeretlen x-szel, miközben az egyenlőtlenség előjele változatlan marad. Leggyakrabban ezt a módszert egyszerűsített formában használják, mint a kifejezés feltételeinek átvitelét az egyenlőtlenség jelén keresztül a szám előjelének az ellenkezőjére történő megváltoztatásával. Ez magának a kifejezésnek az előjelének változására vonatkozik, vagyis a + R bármely egyenlőtlenségjelen keresztül - R-re változik és fordítva.

A második átalakításnak két pontja van:

Az egyenlőtlen arány mindkét oldalát meg lehet szorozni vagy osztani ugyanazzal a pozitív számmal. Maga az egyenlőtlenség előjele nem fog változni.
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát meg lehet osztani vagy szorozni ugyanazzal a negatív számmal. Maga az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.

Az egyenlőtlenségek második azonos transzformációja komoly különbségeket mutat az egyenletek módosításával. Először is, amikor negatív számmal szorozunk/osztunk, az egyenlőtlen kifejezés előjele mindig megfordul. Másodszor, egy reláció részeinek osztása vagy szorzása csak számmal megengedett, és nem olyan kifejezéssel, amely ismeretlent tartalmaz. Az tény, hogy nem tudhatjuk biztosan, hogy az ismeretlen mögött nullánál nagyobb vagy kisebb szám rejtőzik-e, ezért a második azonos transzformációt kizárólag számokkal rendelkező egyenlőtlenségekre alkalmazzuk. Nézzük meg ezeket a szabályokat példákkal.

Példák az egyenlőtlenségek feloldására

Az algebrai feladatokban sokféle feladat létezik az egyenlőtlenségek témakörében. Adjunk egy kifejezést:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Először nyissa ki a zárójeleket, és mozgassa az összes ismeretlent balra, és az összes számot jobbra.

6x − 12x > 6 + 3

A kifejezés mindkét részét el kell osztanunk −6-tal, így ha ismeretlen x-et találunk, az egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik.

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása során mindkét azonos transzformációt alkalmaztuk: az összes számot az előjeltől jobbra mozgattuk, és az arány mindkét oldalát elosztottuk egy negatív számmal.

Programunk egy számológép olyan numerikus egyenlőtlenségek megoldására, amelyek nem tartalmaznak ismeretleneket. A program a következő tételeket tartalmazza három szám arányára:

Ha egy< B то A–C< B–C;
ha A > B, akkor A–C > B–C.

Az A-C tagok kivonása helyett bármilyen aritmetikai műveletet megadhat: összeadást, szorzást vagy osztást. Így a számológép automatikusan megjeleníti az összegek, különbségek, szorzatok vagy törtek egyenlőtlenségeit.

Következtetés

A való életben az egyenlőtlenségek ugyanolyan gyakoriak, mint az egyenletek. A mindennapi életben természetesen nincs szükség az egyenlőtlenségek feloldására vonatkozó ismeretekre. Az alkalmazott tudományokban azonban széles körben alkalmazzák az egyenlőtlenségeket és rendszereiket. Például a globális gazdaság problémáival foglalkozó különféle tanulmányok lineáris vagy négyzetes egyenlőtlenségek rendszereinek összeállítására és felszabadítására redukálódnak, és néhány egyenlőtlen reláció egyértelműen bizonyítja bizonyos objektumok létezését. Használja programjainkat lineáris egyenlőtlenségek megoldására, vagy ellenőrizze saját számításait.

Az ax 2 + bx + 0 0 forma, ahol (a > jel helyett természetesen bármilyen más egyenlőtlenségjel is lehet). Az ilyen egyenlőtlenségek feloldásához szükséges elméleti tényekkel rendelkezünk, amelyeket most ellenőrizni fogunk.

1. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Megoldás,

a) Tekintsük az ábrán látható y \u003d x 2 - 2x - 3 parabolát. 117.

Az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy meg kell válaszolni azt a kérdést, hogy x mely értékeire pozitívak a parabola pontjainak ordinátái.

Észrevesszük, hogy y > 0, azaz a függvény grafikonja az x tengely felett, x pontban található< -1 или при х > 3.

Ennélfogva az egyenlőtlenség megoldásai mind a nyitott pontok gerenda(- 00 , - 1), valamint a nyitott sugár összes pontja (3, +00).

Az U jellel (a halmazok uniójának előjele) a következőképpen írható fel a válasz: (-00 , - 1) U (3, +00). A választ azonban így is felírhatjuk:< - 1; х > 3.

b) Egyenlőtlenség x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: menetrend az x tengely alatt található, ha -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenség annyiban tér el az x 2 - 2x - 3 > 0 egyenlőtlenségtől, hogy a válasznak tartalmaznia kell az x 2 - 2x - 3 = 0 egyenlet gyökereit is, azaz az x = - pontokat. 1

és x \u003d 3. Így ennek a nem szigorú egyenlőtlenségnek a megoldásai a sugár összes pontja (-00, -1], valamint a nyaláb összes pontja).

A gyakorlati matematikusok általában ezt mondják: miért készítünk az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenséget megoldva gondosan egy másodfokú függvény parabola gráfját?

y \u003d ax 2 + bx + c (ahogyan az 1. példában történt)? Elég egy sematikus vázlatot készíteni a grafikonról, amihez csak meg kell találni gyökerei négyzetes trinomiális (a parabola és az x tengellyel való metszéspont), és határozza meg, hogy a parabola ágai hova irányulnak - felfelé vagy lefelé. Ez a vázlatos vázlat vizuálisan értelmezi az egyenlőtlenség megoldását.

2. példa Oldja meg a 2x 2 + 3x + 9 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás.

1) Keresse meg a négyzetes trinom gyökereit - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) A parabola, amely az y \u003d -2x 2 + Zx + 9 függvény grafikonjaként szolgál, metszi az x tengelyt a 3 és -1,5 pontokban, és a parabola ágai lefelé irányulnak, mivel a régebbi együttható- negatív szám - 2. Az ábrán. A 118 egy grafikon vázlata.

3) Az ábra segítségével. 118, arra a következtetésre jutunk:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Válasz: x< -1,5; х > 3.

3. példa Oldja meg a 4x 2 - 4x + 1 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás.

1) A 4x 2 - 4x + 1 = 0 egyenletből azt találjuk.

2) A négyzetes trinomnak egy gyöke van; ez azt jelenti, hogy a négyzetes trinom gráfjaként szolgáló parabola nem metszi az x tengelyt, hanem a pontban érinti. A parabola ágai felfelé irányulnak (119. ábra).

3) Az ábrán látható geometriai modellt használva. A 119. ábra alapján megállapítjuk, hogy a megadott egyenlőtlenség csak a pontban teljesül, mivel x minden más értékére a gráf ordinátái pozitívak.
Válasz: .
Valószínűleg észrevetted, hogy valójában az 1., 2., 3. példákban egy jól meghatározott algoritmus másodfokú egyenlőtlenségeket megoldva formalizáljuk.

Az ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c) másodfokú egyenlőtlenség megoldásának algoritmusa< 0)

Ennek az algoritmusnak az első lépése egy négyzetes trinom gyökeinek megkeresése. De lehet, hogy a gyökerek nem léteznek, akkor mit tegyünk? Ekkor az algoritmus nem alkalmazható, ami azt jelenti, hogy másképp kell érvelni. Ezen érvek kulcsát a következő tételek adják meg.

Más szóval, ha D< 0, а >0, akkor az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenség teljesül minden x-re; ellenkezőleg, az ax 2 + bx + c egyenlőtlenség< 0 не имеет решений.
Bizonyíték. menetrend funkciókat y \u003d ax 2 + bx + c egy parabola, amelynek ágai felfelé irányulnak (mivel a > 0), és amely nem metszi az x tengelyt, mivel a négyzetes trinomnak feltétel alapján nincs gyöke. A grafikon a ábrán látható. 120. Látjuk, hogy minden x esetén a gráf az x tengely felett helyezkedik el, ami azt jelenti, hogy minden x esetén teljesül az ax 2 + bx + c > 0 egyenlőtlenség, amit be kellett bizonyítani.

Más szóval, ha D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0-nak nincs megoldása.

Bizonyíték. Az y \u003d ax 2 + bx + c függvény grafikonja egy parabola, amelynek ágai lefelé irányulnak (mivel a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

4. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

a) 2x2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Keresse meg a 2x 2 - x + 4 négyzethármas diszkriminánsát. D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
A trinom (2-es szám) szenior együtthatója pozitív.

Ezért az 1. Tétel szerint minden x esetén teljesül a 2x 2 - x + 4 > 0 egyenlőtlenség, azaz az adott egyenlőtlenség megoldása az egész (-00, + 00).

b) Keresse meg a négyzetes trinom diszkriminánsát - x 2 + Zx - 8. D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Válasz: a) (-00, + 00); b) nincsenek megoldások.

A következő példában egy másik érvelési móddal ismerkedünk meg, amelyet a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásában használnak.

5. példa Oldja meg a 3x 2 - 10x + 3 egyenlőtlenséget< 0.
Megoldás. Tényezőzzük a négyzetháromtagot 3x 2 - 10x + 3 értékkel. A trinomiális gyökerei a 3 számok, ezért az ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) használatával Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x -) 3) (x - )
A számegyenesen feljegyezzük a trinomiális gyökeit: 3 és (122. ábra).

Legyen x > 3; akkor x-3>0 és x->0, és ezért a 3(x - 3)(x - ) szorzat pozitív. Következő, hagyjuk< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Ezért a 3(x-3)(x-) szorzat negatív. Végül legyen x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) pozitív.

Összegezve az okfejtést, arra a következtetésre jutunk, hogy a Zx 2 - 10x + 3 négyzetháromtag előjelei az ábrán látható módon változnak. 122. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a négyzetháromtag milyen x esetén vesz fel negatív értékeket. ábrából. 122 arra a következtetésre jutunk, hogy a 3x 2 - 10x + 3 négyzetháromtag negatív értékeket vesz fel a (, 3) intervallumból származó x bármely értékére.
Válasz (, 3), vagy< х < 3.

Megjegyzés. Az 5. példában alkalmazott érvelési módszert általában intervallummódszernek (vagy intervallummódszernek) nevezik. Aktívan használják a matematikában a megoldásra racionális egyenlőtlenségek. 9. osztályban az intervallum módszert fogjuk részletesebben tanulmányozni.

6. példa. A p paraméter mely értékeinél az x 2 - 5x + p 2 \u003d 0 másodfokú egyenlet:
a) két különböző gyökere van;

b) egy gyökere van;

c) nincs -gyökere?

Megoldás. A másodfokú egyenlet gyökeinek száma a D diszkrimináns előjelétől függ. Ebben az esetben D \u003d 25 - 4p 2.

a) Egy másodfokú egyenletnek két különböző gyöke van, ha D> 0, akkor a feladat a 25 - 4p 2 > 0 egyenlőtlenség megoldására redukálódik. Ennek az egyenlőtlenségnek mindkét részét megszorozzuk -1-gyel (az egyenlőtlenség előjelének megváltoztatása nélkül). 4p 2 - 25 ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

A 4(p - 2,5) (p + 2,5) kifejezés előjeleit a 3. ábra mutatja. 123.

Arra a következtetésre jutunk, hogy a 4(p - 2,5)(p + 2,5) egyenlőtlenség< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) másodfokú egyenlet egy gyöke van, ha D 0.
Ahogy fentebb megállapítottuk, D = 0 p = 2,5 vagy p = -2,5 esetén.

A p paraméter ezen értékeihez ennek a másodfokú egyenletnek csak egy gyöke van.

c) Egy másodfokú egyenletnek nincs gyöke, ha D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

4p 2 - 25 > 0 kapunk; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, ahonnan (lásd 123. ábra) p< -2,5; р >2.5. A p paraméter ezen értékeihez ennek a másodfokú egyenletnek nincs gyökere.

Válasz: a) p-nél (-2,5, 2,5);

b) p = 2,5 vagy p = -2,5;
c) az r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovich A. G., Algebra. 8. évfolyam: Proc. általános műveltségre intézmények - 3. kiadás, véglegesítve. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

Segítség a tanulónak online, Matematika 8. osztályos letöltés, naptár-tematikus tervezés

lásd még Lineáris programozási probléma megoldása grafikusan, Lineáris programozási feladatok kanonikus formája

Egy ilyen probléma kényszerrendszere két változó egyenlőtlenségéből áll:
a célfüggvénynek pedig az a formája F = C 1 x + C 2 y, amit maximalizálni kell.

Válaszoljunk a kérdésre: milyen számpárok ( x; y) megoldásai-e az egyenlőtlenségek rendszerének, azaz egyszerre elégítik ki az egyes egyenlőtlenségeket? Más szóval, mit jelent grafikusan megoldani egy rendszert?
Először is meg kell értened, mi a megoldása egy lineáris egyenlőtlenségnek két ismeretlennel.
A lineáris egyenlőtlenség megoldása két ismeretlennel azt jelenti, hogy meghatározzuk az ismeretlenek összes értékpárját, amelyekre az egyenlőtlenség teljesül.
Például az egyenlőtlenség 3 x – 5y≥ 42 kielégíti a párokat ( x , y): (100, 2); (3, –10), stb. A probléma az összes ilyen pár megtalálása.
Tekintsünk két egyenlőtlenséget: fejsze + által≤ c, fejsze + által≥ c. Egyenes fejsze + által = c a síkot két félsíkra osztja úgy, hogy az egyik pontjának koordinátái kielégítsék az egyenlőtlenséget fejsze + által >c, és a másik egyenlőtlenség fejsze + +által <c.
Valóban, vegyünk egy pontot koordinátával x = x 0; majd egy egyenesen fekvő és abszcisszájú pont x 0 , ordinátája van

Hagyjuk a határozottság kedvéért a<0, b>0, c>0. Minden pont abszcisszával x 0 fent P(pl. pont M), van y M>y 0 , és a pont alatti összes pont P, abszcissza x 0 , van yN<y 0 . Amennyiben x A 0 egy tetszőleges pont, akkor az egyenes egyik oldalán mindig lesznek olyan pontok, amelyekhez fejsze+ által > c, félsíkot alkotva, másrészt pontokat, amelyekre fejsze + által< c.

1. kép

Az egyenlőtlenség jele a félsíkban a számoktól függ a, b , c.
Ez magában foglalja a következő módszert két változós lineáris egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldására. A rendszer megoldásához a következőkre lesz szüksége:

Minden egyenlőtlenséghez írja fel az adott egyenlőtlenségnek megfelelő egyenletet!
Készítsen egyeneseket, amelyek egyenletekkel megadott függvények grafikonjai.
Minden egyeneshez határozzuk meg a félsíkot, amelyet az egyenlőtlenség ad meg. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik egyenesen, és cserélje be a koordinátáit az egyenlőtlenségbe. ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a választott pontot tartalmazó félsík az eredeti egyenlőtlenség megoldása. Ha az egyenlőtlenség hamis, akkor az egyenes másik oldalán lévő félsík ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásához meg kell találni az összes félsík metszésterületét, amelyek a rendszer minden egyenlőtlenségének megoldása.

Ez a terület üresnek bizonyulhat, akkor az egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása, inkonzisztens. Ellenkező esetben a rendszer konzisztensnek mondható.
A megoldások lehetnek véges számok és végtelen halmazok. A terület lehet zárt sokszög vagy korlátlan.

Nézzünk három releváns példát.

Példa 1. Oldja meg grafikusan a rendszert:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

tekintsük az egyenlőtlenségeknek megfelelő x+y–1=0 és –2x–2y+5=0 egyenleteket;
konstruáljuk meg az ezen egyenletek által adott egyeneseket.

2. ábra

Határozzuk meg az egyenlőtlenségek által adott félsíkokat. Vegyünk egy tetszőleges pontot, legyen (0; 0). Fontolgat x+ y- 1 0, behelyettesítjük a (0; 0) pontot: 0 + 0 – 1 ≤ 0. így abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, x + y – 1 ≤ 0, azaz az egyenes alatti félsík az első egyenlőtlenség megoldása. Ezt a pontot (0; 0) behelyettesítve a másodikba, a következőt kapjuk: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, azaz. abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, -2 x – 2y+ 5≥ 0, és megkérdeztük, hogy hol -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, tehát egy másik félsíkban - az egyenes felettiben.
Keresse meg e két félsík metszéspontját. Az egyenesek párhuzamosak, így a síkok sehol sem metszik egymást, ami azt jelenti, hogy ezen egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása, inkonzisztens.

2. példa Keressen grafikus megoldásokat az egyenlőtlenségek rendszerére:

3. ábra
1. Írja fel az egyenlőtlenségeknek megfelelő egyenleteket, és készítsen egyeneseket!
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. A (0; 0) pont kiválasztása után meghatározzuk az egyenlőtlenségek előjeleit a félsíkban:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, azaz. x + 2y– 2 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 – 0 – 1 ≤ 0, azaz y –x– 1 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 + 2 =2 ≥ 0, azaz. y+ 2 ≥ 0 az egyenes feletti félsíkban.
3. Ennek a három félsíknak a metszéspontja egy olyan terület lesz, amely háromszög. Nem nehéz megtalálni a régió csúcsait a megfelelő egyenesek metszéspontjaként

Ily módon DE(–3; –2), BAN BEN(0; 1), TÓL TŐL(6; –2).

Nézzünk még egy példát, amelyben a rendszer megoldásának eredő tartománya nincs korlátozva.

Egyenlőtlenségek online megoldása

Az egyenlőtlenségek megoldása előtt meg kell érteni, hogyan oldják meg az egyenleteket.

Nem számít, hogy az egyenlőtlenség szigorú () vagy nem szigorú (≤, ≥), első lépésként az egyenletet kell megoldani úgy, hogy az egyenlőtlenség jelét egyenlőséggel (=) helyettesítjük.

Magyarázza el, mit jelent egy egyenlőtlenség megoldása?

Az egyenletek tanulmányozása után a hallgatónak a következő kép van a fejében: meg kell találnia a változó olyan értékeit, amelyekre az egyenlet mindkét része ugyanazt az értéket veszi fel. Más szóval, keresse meg az összes pontot, ahol az egyenlőség érvényesül. Minden helyes!

Amikor egyenlőtlenségekről beszélünk, az azt jelenti, hogy megtaláljuk azokat az intervallumokat (szegmenseket), amelyeken az egyenlőtlenség érvényes. Ha az egyenlőtlenségben két változó van, akkor a megoldás már nem intervallumok, hanem a sík egyes területei lesznek. Találd ki, mi lesz a három változós egyenlőtlenség megoldása?

Hogyan lehet megoldani az egyenlőtlenségeket?

Az intervallumok módszere (más néven intervallumok módszere) az egyenlőtlenségek megoldásának univerzális módjának tekinthető, amely abból áll, hogy meghatározzuk mindazon intervallumokat, amelyeken belül az adott egyenlőtlenség teljesül.

Anélkül, hogy kitérnénk az egyenlőtlenség típusára, ebben az esetben nem ez a lényeg, meg kell oldani a megfelelő egyenletet és meg kell határozni a gyökereit, majd ezeket a megoldásokat meg kell jelölni a numerikus tengelyen.

Hogyan lehet helyesen felírni egy egyenlőtlenség megoldását?

Ha meghatározta az egyenlőtlenség megoldásának intervallumait, magát a megoldást kell helyesen kiírnia. Van egy fontos árnyalat - az intervallumok határai benne vannak a megoldásban?

Itt minden egyszerű. Ha az egyenlet megoldása kielégíti az ODZ-t és az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor az intervallum határa benne van az egyenlőtlenség megoldásában. Különben nem.

Minden egyes intervallumot figyelembe véve az egyenlőtlenség megoldása lehet maga az intervallum, vagy egy félintervallum (amikor az egyik határa kielégíti az egyenlőtlenséget), vagy egy szegmens - egy intervallum a határaival együtt.

Fontos pont

Ne gondolja, hogy csak az intervallumok, félintervallumok és szegmensek jelenthetik a megoldást egy egyenlőtlenségre. Nem, a megoldásban egyedi pontok is szerepelhetnek.

Például az |x|≤0 egyenlőtlenségnek csak egy megoldása van - a 0 pont.

És az egyenlőtlenség |x|

Mire jó az egyenlőtlenség-kalkulátor?

Az egyenlőtlenség-kalkulátor megadja a helyes végső választ. Ebben az esetben a legtöbb esetben egy numerikus tengely vagy sík illusztrációja szerepel. Láthatja, hogy az intervallumok határai benne vannak-e a megoldásban vagy sem - a pontok kitöltve vagy áttörve jelennek meg.

Az online egyenlőtlenség-kalkulátornak köszönhetően ellenőrizheti, hogy helyesen találta-e meg az egyenlet gyökereit, jelölte-e meg a számegyenesen, és ellenőrizte-e az egyenlőtlenség feltételeit az intervallumokon (és határokon)?

Ha az Ön válasza eltér a kalkulátor válaszától, akkor feltétlenül ellenőriznie kell a megoldást, és azonosítania kell az elkövetett hibát.

Egyenlőtlenség egy kifejezés, ≤ vagy ≥. Például 3x - 5 Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni azoknak a változóknak az összes értékét, amelyekre ez az egyenlőtlenség igaz. Ezen számok mindegyike megoldása az egyenlőtlenségre, és az összes ilyen megoldás halmaza az sok megoldás. Azokat az egyenlőtlenségeket, amelyeknek ugyanaz a megoldáshalmaza, nevezzük ekvivalens egyenlőtlenségek.

Lineáris egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek megoldásának elvei hasonlóak az egyenletek megoldásának elveihez.

Az egyenlőtlenségek megoldásának elvei
Bármilyen a, b és c valós szám esetén:
Az egyenlőtlenségek összeadásának elve: Ha egy Szorzási elv egyenlőtlenségekre: Ha a 0 igaz, akkor ac Ha a bc is igaz.
Hasonló állítások érvényesek a ≤ b-re is.

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk egy negatív számmal, az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani.
Az első szintű egyenlőtlenségeket, mint az 1. példában (lent), nevezzük lineáris egyenlőtlenségek.

1. példa Oldja meg a következő egyenlőtlenségek mindegyikét! Ezután rajzoljon megoldáskészletet.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Megoldás
Minden 11/5-nél kisebb szám megoldás.
A megoldások halmaza (x|x
Az ellenőrzéshez ábrázolhatjuk y 1 = 3x - 5 és y 2 = 6 - 2x. Akkor innen látszik, hogy x-re
A megoldáshalmaz (x|x ≤ 1), vagy (-∞, 1]. A megoldáshalmaz grafikonja az alábbiakban látható.

Kettős egyenlőtlenségek

Amikor két egyenlőtlenséget egy szó köt össze És, vagy, akkor kialakul kettős egyenlőtlenség. Dupla egyenlőtlenség tetszik
-3 És 2x + 5 ≤ 7
hívott csatlakoztatva mert használ És. Rekord -3 A kettős egyenlőtlenségek az egyenlőtlenségek összeadása és szorzása elve alapján oldhatók meg.

2. példa Megoldás -3 Megoldás Nekünk van

Megoldások halmaza (x|x ≤ -1 vagy x > 3). A megoldást felírhatjuk a térköz jelölésével és a for szimbólummal is egyesületek vagy mindkét halmaz zárványai: (-∞ -1] (3, ∞) A megoldáshalmaz grafikonja az alábbiakban látható.

A teszteléshez rajzolja le y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 és y 3 = 1 értékét. Vegye figyelembe, hogy (x|x ≤ -1) vagy x > 3), y 1 ≤ y 2 vagy y 1 > y 3 .

Egyenlőtlenségek abszolút értékkel (modulus)

Az egyenlőtlenségek néha modulokat tartalmaznak. Ezek megoldására a következő tulajdonságokat használjuk.
Ha > 0 és egy x algebrai kifejezés:
|x| |x| > a ekvivalens x vagy x > a.
Hasonló állítások |x|-re ≤ a és |x| ≥ a.

Például,
|x| |y| ≥ 1 ekvivalens y ≤ -1-gyel vagy y ≥ 1;
és |2x + 3| ≤ 4 egyenlő: -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

4. példa Oldja meg a következő egyenlőtlenségek mindegyikét! Ábrázolja a megoldások halmazát!
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Megoldás
a) |3x + 2|

A megoldáskészlet: (x|-7/3