Kut između stranica paralelograma. Svojstvo dijagonala paralelograma

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, t.j. leže na paralelnim linijama

Svojstva paralelograma:
Teorem 22. Suprotne strane paralelograma su jednake.
Dokaz. Nacrtaj dijagonalu AC u paralelogramu ABCD. Trokuti ACD i ACB su sukladni jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednakih kutova. uz njega: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ASV=∠ DAC (kao poprečno ležeći kutovi s paralelnim linijama AD i BC). Dakle, AB=CD i BC=AD kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd. Jednakost ovih trokuta također podrazumijeva jednakost odgovarajućih kutova trokuta:
Teorem 23. Nasuprotni kutovi paralelograma su: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizlazi iz jednakosti trokuta ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorem 24. Susjedni kutovi paralelograma, t.j. kutovi uz jednu stranu zbrajaju do 180 stupnjeva.
To je tako jer su unutarnji jednostrani kutovi.
Teorem 25. Dijagonale paralelograma dijele jedna drugu popola u točki njihovog presjeka.
Dokaz. Razmotrimo trokute BOC i AOD. Prema prvom svojstvu, AD=BC ∠ OAD=∠ OSV i ∠ ODA=∠ OVS kao što leže poprečno s paralelnim linijama AD i BC. Stoga su trokuti BOC i AOD jednaki po strani i kutovima koji su uz nju. Dakle, BO=OD i AO=OC, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd.

Značajke paralelograma
Teorem 26. Ako su suprotne strane četverokuta u paru jednake, onda je to paralelogram.
Dokaz. Neka četverokut ABCD ima stranice AD ​​i BC, AB i CD jednake (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokut ABC i ACD imaju tri jednake stranice. Tada su kutovi BAC i DCA jednaki i stoga je AB paralelan s CD-om. Paralelnost stranica BC i AD proizlazi iz jednakosti kutova CAD i DIA.
Teorem 27. Ako su suprotni kutovi četverokuta u paru jednaki, onda je to paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD ​​i BC su paralelne (na temelju paralelnih pravaca). Također dokazujemo paralelizam stranica AB i CD i zaključujemo da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorem 28. Ako su susjedni kutovi četverokuta, t.j. kutovi susjedni jednoj strani iznose 180 stupnjeva, tada je to paralelogram.
Ako zbroj unutarnjih jednostranih kutova iznosi 180 stupnjeva, tada su linije paralelne. To znači da je AB par CD-a, a BC je par AD. Ispada da je četverokut po definiciji paralelogram.
Teorem 29. Ako su dijagonale četverokuta međusobno podijeljene u točki presjeka na pola, onda je četverokut paralelogram.
Dokaz. Ako je AO=OC, BO=OD, tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake kutove (vertikale) na vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema osobini 1.
Teorem 30. Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD paralelne i jednake u četverokutu ABCD. Nacrtaj dijagonale AC i BD. Iz paralelizma ovih pravaca slijedi jednakost poprečno ležećih kutova ABO=CDO i BAO=OCD. Trokuti ABO i CDO jednaki su po strani i susjednim kutovima. Dakle, AO=OC, BO=OD, t.j. dijagonale točke presjeka podijeljene su na pola i četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema osobini 4.

U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.

Pojam paralelograma

Definicija 1

Paralelogram je četverokut u kojem su suprotne stranice međusobno paralelne (slika 1).

Slika 1.

Paralelogram ima dva glavna svojstva. Razmotrimo ih bez dokaza.

Svojstvo 1: Suprotne stranice i kutovi paralelograma su međusobno jednaki.

Svojstvo 2: Dijagonale nacrtane u paralelogramu prepolovljene su točkom presjeka.

Značajke paralelograma

Razmotrite tri značajke paralelograma i predstavite ih u obliku teorema.

Teorem 1

Ako su dvije strane četverokuta jedna drugoj jednake i također paralelne, onda će ovaj četverokut biti paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. U kojem $AB||CD$ i $AB=CD$ Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (slika 2).

Slika 2.

Razmotrimo paralelne prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$. Zatim

\[\angle CAB=\angle DCA\]

poput poprečnih kutova.

Prema $I$ kriteriju za jednakost trokuta,

budući da je $AC$ njihova zajednička strana, a $AB=CD$ prema pretpostavci. Sredstva

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekant $AC$; posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AD||CB$.) Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

Teorem je dokazan.

Teorem 2

Ako su suprotne strane četverokuta jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. U kojem je $AD=BC$ i $AB=CD$. Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (slika 3).

Slika 3

Budući da je $AD=BC$, $AB=CD$ i $AC$ zajednička strana, onda testom jednakosti trokuta $III$,

\[\trokut DAC=\trokut ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekans $AC$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AD||CB$. Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Razmotrimo prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $AB||CD$. Dakle, prema definiciji 1, ovaj četverokut je paralelogram.

Teorem je dokazan.

Teorem 3

Ako su dijagonale nacrtane u četverokutu podijeljene na dva jednaka dijela točkom presjeka, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je zadan četverokut $ABCD$. Nacrtajmo dijagonale $AC$ i $BD$ u njemu. Neka se sijeku u točki $O$ (slika 4).

Slika 4

Budući da su, prema uvjetu $BO=OD,\ AO=OC$, i kutovi $\angle COB=\angle DOA$ okomiti, onda, prema testu jednakosti trokuta $I$,

\[\trokut BOC=\trokut AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Razmotrimo prave $BC$ i $AD$ i njihov sekans $BD$, posljednjom jednakošću križno ležećih kutova dobivamo da je $BC||AD$. Također $BC=AD$. Dakle, prema teoremu $1$, ovaj četverokut je paralelogram.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne strane parno paralelne. Sljedeća slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranu AB paralelnu sa stranicom CD i stranu BC paralelnu sa stranicom AD.

Kao što ste možda pogodili, paralelogram je konveksan četverokut. Razmotrimo osnovna svojstva paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. U paralelogramu su suprotni kutovi i suprotne stranice jednaki. Dokažimo ovo svojstvo – razmotrimo paralelogram prikazan na sljedećoj slici.

Dijagonala BD ga dijeli na dva jednaka trokuta: ABD i CBD. Oni su jednaki po strani BD i dvama susjednim kutovima, budući da su kutovi koji leže na sekanti BD paralelni pravci BC i AD, odnosno AB i CD. Prema tome, AB = CD i
BC=AD. A iz jednakosti kutova 1, 2, 3 i 4 proizlazi da je kut A = kut1 + kut3 = kut2 + kut4 = kut C.

2. Dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka. Neka je točka O točka presjeka dijagonala AC i BD paralelograma ABCD.

Tada su trokut AOB i trokut COD međusobno jednaki, duž stranice i dva susjedna kuta. (AB=CD budući da su suprotne strane paralelograma. I kut1 = kut2 i kut3 = kut4 kao poprečni kutovi na presjeku pravaca AB i CD sekantima AC i BD, redom.) Iz toga slijedi da je AO = OC i OB = OD, što je i trebalo dokazati.

Sva glavna svojstva ilustrirana su na sljedeće tri slike.

Dokaz

Nacrtajmo najprije dijagonalu AC. Dobivaju se dva trokuta: ABC i ADC.

Budući da je ABCD paralelogram, vrijedi sljedeće:

AD || BC \Strelica udesno \kut 1 = \kut 2 kao ležanje poprijeko.

AB || CD \Strelica desno \kut3 = \kut 4 kao ležanje poprijeko.

Dakle, \trokut ABC = \trokut ADC (po drugoj osobini: i AC je uobičajen).

I, dakle, \trokut ABC = \trokut ADC , zatim AB = CD i AD = BC .

Provjereno!

2. Suprotni kutovi su identični.

Dokaz

Prema dokazu svojstva 1 Mi to znamo \kut 1 = \kut 2, \kut 3 = \kut 4. Dakle, zbroj suprotnih kutova je: \kut 1 + \kut 3 = \kut 2 + \kut 4. S obzirom da je \trokut ABC = \trokut ADC dobivamo \kut A = \kut C , \kut B = \kut D .

Provjereno!

3. Dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Dokaz

Nacrtajmo još jednu dijagonalu.

Po svojstvo 1 znamo da su suprotne strane identične: AB = CD . Još jednom bilježimo jednake kutove koji leže poprečno.

Dakle, po drugom znaku jednakosti trokuta (dva kuta i stranica između njih) može se vidjeti da je \trokut AOB = \trokut COD). Odnosno, BO = OD (nasuprot \kut 2 i \kut 1) i AO = OC (nasuprot \kut 3 i \kut 4).

Provjereno!

Značajke paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutan samo jedan znak, onda je lik paralelogram i možete koristiti sva svojstva ove figure.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje − "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je dati lik paralelogram.

1. Paralelogram je četverokut čije su dvije stranice jednake i paralelne.

AB=CD; AB || CD \Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmotrimo detaljnije. Zašto AD || PRIJE KRISTA?

\trokut ABC = \trokut ADC po svojstvo 1: AB = CD , AC je zajednički i \ugao 1 = \kut 2 kao poprečno s AB i CD paralelno i sekantno AC .

Ali ako je \trokut ABC = \trokut ADC , tada je \ugao 3 = \kut 4 (leže nasuprot AB odnosno CD). I stoga AD || BC (\kut 3 i \kut 4 - ležeći poprijeko su također jednaki).

Prvi znak je točan.

2. Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice jednake.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmotrimo ovu značajku. Nacrtajmo opet dijagonalu AC.

Po svojstvo 1\trokut ABC = \trokut ACD .

Iz toga slijedi da: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || PRIJE KRISTA I \kut 3 = \kut 4 \Strelica desno AB || CD, odnosno ABCD je paralelogram.

Drugi znak je točan.

3. Paralelogram je četverokut čiji su suprotni kutovi jednaki.

\kut A = \kut C , \kut B = \kut D \Strelica desno ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(jer je ABCD četverokut, a \ugao A = \kut C , \kut B = \kut D prema konvenciji).

Dakle, \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ali \alpha i \beta su unutarnje jednostrane na sekanti AB.

A činjenica da je \alpha + \beta = 180^(\circ) također znači da je AD || PRIJE KRISTA.

U isto vrijeme, \alpha i \beta su unutarnje jednostrane sa sekantom AD . A to znači AB || CD.

Treći znak je točan.

4. Paralelogram je četverokut čije su dijagonale prepolovljene točkom presjeka.

AO=OC; BO = OD \ Desni strelast paralelogram.

Dokaz

BO=OD; AO = OC , \ugao 1 = \kut 2 kao okomito \Strelica desno \trokut AOB = \trokut COD, \Strelica udesno \kut 3 = \kut 4, i \Rightarrow AB || CD.

Slično BO = OD; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightright \angle 7 = \angle 8, i \Rightarrow AD || PRIJE KRISTA.

Četvrti znak je točan.

Nacrt lekcije.

Algebra 8. razred

Učitelj Sysoi A.K.

Škola 1828

Tema lekcije: "Paralelogram i njegova svojstva"

Vrsta lekcije: kombinirana

Ciljevi lekcije:

1) Osigurati asimilaciju novog pojma - paralelograma i njegovih svojstava

2) Nastaviti razvijati vještine i sposobnosti rješavanja geometrijskih problema;

3) Razvoj kulture matematičkog govora

Plan učenja:

1. Organiziranje vremena

(Slajd 1)

Na slajdu je prikazana izjava Lewisa Carrolla. Učenici se informiraju o svrsi nastave. Provjerava se spremnost učenika za nastavu.

2. Ažuriranje znanja

(Slajd 2)

Na ploči zadaci za usmeni rad. Učitelj poziva učenike da razmisle o tim problemima i dignu ruke na one koji razumiju kako riješiti problem. Nakon rješavanja dva zadatka učenik se poziva na ploču da dokaže teorem o zbroju kutova, koji samostalno izrađuje dodatne konstrukcije na crtežu i usmeno dokazuje teorem.

Učenici koriste formulu za zbroj kutova poligona:

3. Glavno tijelo

(Slajd 3)

Na ploči je definicija paralelograma. Učitelj govori o novom liku i formulira definiciju, dajući potrebna objašnjenja pomoću crteža. Zatim na kockastom dijelu prezentacije, pomoću markera i ravnala, pokazuje kako nacrtati paralelogram (moguće je nekoliko slučajeva)

(Slajd 4)

Učitelj formulira prvo svojstvo paralelograma. Poziva učenike da prema slici kažu što je dano, a što treba dokazati. Nakon toga, zadani zadatak se pojavljuje na ploči. Učenici pogađaju (možda uz pomoć učitelja) da se tražene jednakosti moraju dokazati kroz jednakosti trokuta, što se može dobiti crtanjem dijagonale (na ploči se pojavljuje dijagonala). Zatim učenici pogađaju zašto su trokuti jednaki i nazivaju znak jednakosti trokuta (pojavljuje se odgovarajući oblik). Usmeno priopćite činjenice koje su potrebne za jednakost trokuta (kako ih oni nazivaju, pojavljuje se odgovarajuća vizualizacija). Zatim učenici formuliraju svojstvo jednakih trokuta, ono se pojavljuje u obliku točke 3. dokaza, a zatim samostalno usmeno dovršavaju dokaz teorema.

(Slajd 5)

Učitelj formulira drugo svojstvo paralelograma. Na ploči se pojavljuje crtež paralelograma. Učitelj nudi da iz slike kaže što je dano, što treba dokazati. Nakon što učenici točno navedu što je zadano, a što treba dokazati, pojavljuje se uvjet teorema. Učenici pogađaju da se jednakost dijelova dijagonala može dokazati jednakošću trokutaAOB I BAKALAR. Koristeći prethodno svojstvo paralelograma, pogodite o jednakosti stranicaAB I CD. Tada shvate da je potrebno pronaći jednake kutove i, koristeći svojstva paralelnih pravaca, dokazuju jednakost susjednih pravaca ravnopravne stranke uglovima. Ove faze su vizualizirane na slajdu. Istinitost teorema proizlazi iz jednakosti trokuta - učenici izgovaraju odgovarajuću vizualizaciju na slajdu.

(Slajd 6)

Učitelj formulira treće svojstvo paralelograma. Ovisno o vremenu koje je preostalo do kraja sata, nastavnik može dati učenicima mogućnost da sami dokažu ovo svojstvo ili ga ograničiti na njegovu formulaciju, a sam dokaz prepustiti učenicima kao domaća zadaća. Dokaz se može temeljiti na zbroju kutova upisanog poligona, koji je ponovljen na početku lekcije, ili na zbroju unutarnjih jednostranih kutova za dva paralelna pravcaOGLAS I PRIJE KRISTA, i sekantu, na primjerAB.

4. Učvršćivanje materijala

U ovoj fazi učenici, koristeći prethodno proučene teoreme, rješavaju probleme. Ideje za rješavanje problema učenici sami biraju. Jer opcije dizajna ima puno i svi ovise o tome kako će učenici tražiti rješenje problema, nema vizualizacije rješenja problema, a učenici samostalno crtaju svaku fazu rješenja na posebnoj ploči s rješenje zapisano u bilježnicu.

(Slajd 7)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dato" prema uvjetu. Nakon što učenici ispravno zapišu uvjet, na ploči se pojavljuje "Dato". Proces rješavanja problema mogao bi izgledati ovako:

Visina crtanja BH (rendered)

Trokut AHB je pravokutni trokut. Kut A jednak je kutu C i jednak je 30 0 (po svojstvu o suprotnim kutovima u paralelogramu). 2BH \u003d AB (po svojstvu noge koja leži nasuprot kuta od 30 0 in pravokutni trokut). Dakle AB = 13 cm.

AB \u003d CD, BC \u003d AD (po svojstvu suprotnih strana u paralelogramu) Dakle AB \u003d CD \u003d 13cm. Budući da je opseg paralelograma 50 cm, tada je BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.

Odgovor: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.

(Slajd 8)

Pojavljuje se uvjet zadatka. Učitelj predlaže formuliranje "Dato" prema uvjetu. Zatim se na ekranu pojavljuje "Dano". Uz pomoć crvenih linija odabire se četverokut za koji trebate dokazati da je paralelogram. Proces rješavanja problema mogao bi izgledati ovako:

Jer BK i MD su okomiti na isti pravac, tada su pravci BK i MD paralelni.

Kroz susjedne kutove može se pokazati da je zbroj unutarnjih jednostranih kutova kod pravaca BM i KD i sekante MD jednak 180 0 . Stoga su ove linije paralelne.

Budući da su suprotne strane četverokuta BMDK po paru paralelne, ovaj četverokut je paralelogram.

5. Kraj lekcije. ishod ponašanja.

(Slajd 8)

Pitanja na slajdu nova tema na koje učenici odgovaraju.