Kako pronaći parne i neparne funkcije. Parne i neparne funkcije

Grafovi parnih i neparnih funkcija imaju sljedeće značajke:

Ako je funkcija parna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na y-os. Ako je funkcija neparna, tada je njezin graf simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=\lijevo|x \desno|\).

Odluka. Razmislite o funkciji: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) i zamijenite \(x \) za suprotno \(-x \). Kao rezultat jednostavnih transformacija, dobivamo: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ U drugim riječima, ako zamijenite argument suprotnim predznakom, funkcija se neće promijeniti.

To znači da je ova funkcija parna, a njen graf će biti simetričan u odnosu na y-os (vertikalna os). Grafikon ove funkcije prikazan je na slici lijevo. To znači da prilikom crtanja grafikona možete graditi samo polovicu, a drugi dio (lijevo od okomite osi, nacrtajte već simetrično s desne strane). Određivanjem simetrije funkcije prije nego što počnete crtati njezin graf, možete uvelike pojednostaviti proces konstruiranja ili proučavanja funkcije. Ako je teško izvesti provjeru u općem obliku, možete to učiniti lakše: zamijenite u jednadžbu iste vrijednosti različiti znakovi. Na primjer -5 i 5. Ako su vrijednosti funkcije iste, onda se možemo nadati da će funkcija biti parna. S matematičke točke gledišta, ovaj pristup nije sasvim ispravan, ali je s praktične točke gledišta prikladan. Da biste povećali pouzdanost rezultata, možete zamijeniti nekoliko parova takvih suprotnih vrijednosti.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=x\lijevo|x \desno|\).

Odluka. Provjerimo isto kao u prethodnom primjeru: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ To znači da je izvorna funkcija neparna (predznak funkcije je obrnut).

Zaključak: funkcija je simetrična u odnosu na ishodište. Možete izgraditi samo jednu polovicu, a drugu polovicu nacrtati simetrično. Ovu simetriju je teže nacrtati. To znači da grafikon gledate s druge strane lista, pa čak i okrenut naopako. A možete učiniti i ovo: uzmite nacrtani dio i zarotirajte ga oko ishodišta za 180 stupnjeva u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Primjer. Nacrtajte funkciju \(y=x^3+x^2\).

Odluka. Izvršimo istu provjeru promjene predznaka kao u prethodna dva primjera. $$f\lijevo(-x \desno)=\lijevo(-x \desno)^3+\lijevo(-x \desno)^2=-x^2+x^2$$ $$f\lijevo( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Što znači da funkcija nije ni parna ni neparna .

Zaključak: funkcija nije simetrična ni oko ishodišta ni oko središta koordinatnog sustava. To se dogodilo jer je to zbroj dviju funkcija: parne i neparne. Ista situacija bit će ako oduzmete dvije različite funkcije. Ali množenje ili dijeljenje će dovesti do drugačijeg rezultata. Na primjer, umnožak parne i neparne funkcije daje neparan. Ili kvocijent dva neparna vodi do parne funkcije.

Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y naziva se funkcija. Oznaka je y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga.

Razmotrite svojstvo parnosti detaljnije.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

2. Vrijednost funkcije u točki x koja pripada opsegu funkcije mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. To jest, za bilo koju točku x, iz domene funkcije, sljedeća jednakost f (x) \u003d f (-x) mora biti istinita.

Grafikon parne funkcije

Ako izgradite graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na y-os.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Idemo to provjeriti. Područje definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmite proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome, f(x) = f(-x). Dakle, oba uvjeta su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na y-os.

Grafikon neparne funkcije

Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

1. Područje zadane funkcije mora biti simetrično u odnosu na točku O. To jest, ako neka točka a pripada domeni funkcije, tada odgovarajuća točka -a također mora pripadati domeni zadane funkcije.

2. Za bilo koju točku x, iz domene funkcije, mora biti zadovoljena sljedeća jednakost f (x) \u003d -f (x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na točku O – ishodište. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Idemo to provjeriti. Područje definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmite proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uvjeta su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3.

Slika to jasno pokazuje ravnomjerna funkcija y=x^3 je simetričan u odnosu na ishodište.

čak, ako je za sve \(x\) iz njegove domene istina: \(f(-x)=f(x)\) .

Graf parne funkcije je simetričan oko osi \(y\):

Primjer: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) je parna, jer \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). neparan, ako je za sve \(x\) iz njegove domene istina: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište:

Primjer: funkcija \(f(x)=x^3+x\) je neparna jer \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcije koje nisu ni parne ni neparne nazivaju se funkcijama opći pogled. Takva se funkcija uvijek može jedinstveno predstaviti kao zbroj parne i neparne funkcije.

Na primjer, funkcija \(f(x)=x^2-x\) je zbroj parne funkcije \(f_1=x^2\) i neparne funkcije \(f_2=-x\) .

\(\crni trokut desno\) Neka svojstva:

1) Umnožak i kvocijent dviju funkcija iste parnosti je parna funkcija.

2) Umnožak i kvocijent dviju funkcija različite parnosti je neparna funkcija.

3) Zbroj i razlika parnih funkcija je parna funkcija.

4) Zbroj i razlika neparnih funkcija je neparna funkcija.

5) Ako je \(f(x)\) parna funkcija, tada jednadžba \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\)) ima jedinstveni korijen ako i samo ako, kada \(x =0\) .

6) Ako je \(f(x)\) parna ili neparna funkcija, a jednadžba \(f(x)=0\) ima korijen \(x=b\) , tada će ova jednadžba nužno imati drugi korijen \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcija \(f(x)\) naziva se periodičnom na \(X\) ako za neki broj \(T\ne 0\) imamo \(f(x)=f(x+) T) \) , gdje je \(x, x+T\u X\) . Najmanji \(T\) , za koji vrijedi ova jednakost, naziva se glavnim (osnovnim) periodom funkcije.

Periodična funkcija ima bilo koji broj u obliku \(nT\) , gdje će \(n\in \mathbb(Z)\) također biti točka.

Primjer: bilo koji trigonometrijska funkcija je periodičan;
za funkcije \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) glavni period je \(2\pi\) , za funkcije \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) glavna je točka \(\pi\) .

Da biste nacrtali periodičnu funkciju, možete nacrtati njezin graf na bilo kojem segmentu duljine \(T\) (glavni period); tada se graf cijele funkcije dovršava pomicanjem izgrađenog dijela za cijeli broj točaka udesno i ulijevo:

\(\blacktriangleright\) Domena \(D(f)\) funkcije \(f(x)\) je skup koji se sastoji od svih vrijednosti argumenta \(x\) za koje funkcija ima smisla (je definirano).

Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x+1\) ima domenu definicije: \(x\in

Zadatak 1 #6364

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Za koje vrijednosti parametra \(a\) jednadžba

ima jedinstveno rješenje?

Imajte na umu da budući da su \(x^2\) i \(\cos x\) parne funkcije, ako jednadžba ima korijen \(x_0\) , ona će također imati korijen \(-x_0\) .
Doista, neka je \(x_0\) korijen, odnosno jednakost \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) pravo. Zamjena \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Dakle, ako je \(x_0\ne 0\) , tada će jednadžba već imati najmanje dva korijena. Prema tome, \(x_0=0\) . Zatim:

Dobili smo dvije vrijednosti parametra \(a\) . Imajte na umu da smo koristili činjenicu da je \(x=0\) upravo korijen izvorne jednadžbe. Ali nikada nismo koristili činjenicu da je on jedini. Stoga je potrebno zamijeniti rezultirajuće vrijednosti parametra \(a\) u izvornu jednadžbu i provjeriti za koji će točno \(a\) korijen \(x=0\) doista biti jedinstven.

1) Ako je \(a=0\), tada će jednadžba imati oblik \(2x^2=0\) . Očito, ova jednadžba ima samo jedan korijen \(x=0\) . Stoga nam odgovara vrijednost \(a=0\).

2) Ako je \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tada jednadžba poprima oblik \ Prepisujemo jednadžbu u obliku \ Kao \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), onda \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dakle, vrijednosti desne strane jednadžbe (*) pripadaju intervalu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Budući da je \(x^2\geqslant 0\) , tada je lijeva strana jednadžbe (*) veća ili jednaka \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Dakle, jednakost (*) može vrijediti samo kada su obje strane jednadžbe jednake \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A ovo znači da \[\begin(case) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(case)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Stoga nam odgovara vrijednost \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odgovor:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Zadatak 2 #3923

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je graf funkcije \

simetrično u odnosu na porijeklo.

Ako je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište, tada je takva funkcija neparna, to jest, \(f(-x)=-f(x)\) je zadovoljena za bilo koje \(x\) iz domena funkcije. Dakle, potrebno je pronaći one vrijednosti parametara za koje je \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(poravnano) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\desno)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\desno)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \kraj (poravnano)\]

Posljednja jednadžba mora vrijediti za sve \(x\) iz domene \(f(x)\) , stoga \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odgovor:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadatak 3 #3069

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih jednadžba \ ima 4 rješenja, gdje je \(f\) parna periodična funkcija s periodom \(T=\dfrac(16)3\) definiran na cijeloj realnoj liniji , i \(f(x)=ax^2\) za \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadatak od pretplatnika)

Budući da je \(f(x)\) parna funkcija, njen je graf simetričan u odnosu na y-os, dakle, kada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Dakle, kod \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a ovo je segment duljine \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .

1) Neka je \(a>0\) . Tada će graf funkcije \(f(x)\) izgledati ovako:


Zatim, da bi jednadžba imala 4 rješenja, potrebno je da graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prolazi točkom \(A\) :


Stoga, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end( okupio)\desno.\] Budući da je \(a>0\) , tada je \(a=\dfrac(18)(23)\) u redu.

2) Neka \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Trebamo graf \(g(x)\) da prođe kroz točku \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(poravnano) \end(skupljeno)\desno.\] Budući da \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Slučaj u kojem \(a=0\) nije prikladan, jer tada \(f(x)=0\) za sve \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i jednadžba će imati samo 1 korijen.

Odgovor:

\(a\in \lijevo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\desno\)\)

Zadatak 4 #3072

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti \(a\) , za svaku od njih jednadžba \

ima barem jedan korijen.

(Zadatak od pretplatnika)

Prepisujemo jednadžbu u obliku \ i razmotrite dvije funkcije: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) je parna, ima minimalnu točku \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) je opadajuća, a za \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Doista, za \(x>0\) drugi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\) ), stoga će, bez obzira na to kako se prvi modul širi, \(f(x)\) biti jednak \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je jednako ili \(-9\) ili \(-3\) . Za \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Pronađite vrijednost \(f\) na maksimalnoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, grafovi funkcija \(f\) i \(g\) moraju imati barem jednu točku presjeka. Stoga vam je potrebno: \ \\]

Odgovor:

\(a\u \(-7\)\šalica\)

Zadatak 5 #3912

Razina zadatka: jednaka Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od njih jednadžba \

ima šest različitih rješenja.

Napravimo zamjenu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tada će jednadžba poprimiti oblik \ Postupno ćemo ispisivati ​​uvjete pod kojima će izvorna jednadžba imati šest rješenja.
Imajte na umu da kvadratna jednadžba \((*)\) može imati najviše dva rješenja. Bilo koja kubična jednadžba \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) ne može imati više od tri rješenja. Stoga, ako jednadžba \((*)\) ima dva različita rješenja (pozitivna!, budući da \(t\) mora biti veći od nule) \(t_1\) i \(t_2\), tada, nakon što je napravio obrnuto zamjenom, dobivamo: \[\left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(poravnano)\end(skupljeno)\desno.\] Budući da se bilo koji pozitivan broj može do određenog stupnja predstaviti kao \(\sqrt2\), npr. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tada će prva jednadžba skupa biti prepisana u obliku \ Kao što smo već rekli, svaka kubična jednadžba nema više od tri rješenja, dakle, svaka jednadžba iz skupa neće imati više od tri rješenja. To znači da cijeli skup neće imati više od šest rješenja.
To znači da da bi izvorna jednadžba imala šest rješenja, kvadratna jednadžba \((*)\) mora imati dva različita rješenja, a svaka rezultirajuća kubična jednadžba (iz skupa) mora imati tri različita rješenja (a ne jedno rješenje jedne jednadžbe treba se podudarati s kojom - ili odlukom druge!)
Očito, ako kvadratna jednadžba \((*)\) ima jedno rješenje, tada nećemo dobiti šest rješenja za izvornu jednadžbu.

Dakle, plan rješenja postaje jasan. Napišimo uvjete koji moraju biti ispunjeni točku po točku.

1) Da bi jednadžba \((*)\) imala dva različita rješenja, njen diskriminanta mora biti pozitivna: \

2) Također trebamo da oba korijena budu pozitivna (jer \(t>0\) ). Ako je umnožak dvaju korijena pozitivan, a njihov zbroj pozitivan, tada će i sami korijeni biti pozitivni. Stoga vam je potrebno: \[\početak(slučajevi) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(slučajevi)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Dakle, već smo si osigurali dva različita pozitivna korijena \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Pogledajmo ovu jednadžbu \ Za koji će \(t\) imati tri različita rješenja?
Razmotrimo funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Može se množiti: \ Stoga su njegove nule: \(x=-1;2\) .
Ako pronađemo derivaciju \(f"(x)=3x^2-6x\) , tada ćemo dobiti dvije ekstremne točke \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Stoga graf izgleda ovako:


Vidimo da je svaka vodoravna linija \(y=k\) , gdje je \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ima tri različita rješenja, potrebno je da \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Dakle, trebate: \[\početak(slučajevi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Odmah napominjemo da ako su brojevi \(t_1\) i \(t_2\) različiti, tada će brojevi \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) biti drugačiji, pa jednadžbe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) i \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) imat će različite korijene.
Sustav \((**)\) može se prepisati ovako: \[\početak(slučajevi) 1

Dakle, utvrdili smo da oba korijena jednadžbe \((*)\) moraju ležati u intervalu \((1;4)\) . Kako napisati ovaj uvjet?
Nećemo eksplicitno ispisivati ​​korijene.
Razmotrimo funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Njegov graf je parabola s granama prema gore, koja ima dvije točke presjeka s osi apscise (ovaj uvjet smo napisali u odlomku 1)). Kako bi trebao izgledati njegov graf tako da se točke presjeka s osi apscise nalaze u intervalu \((1;4)\) ? Tako:


Prvo, vrijednosti \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcije u točkama \(1\) i \(4\) moraju biti pozitivne, a drugo, vrh parabola \(t_0\ ) također mora biti u intervalu \((1;4)\) . Dakle, sustav se može napisati: \[\begin(slučajevi) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) uvijek ima barem jedan korijen \(x=0\) . Dakle, da bi se ispunio uvjet problema, potrebno je da jednadžba \

imala četiri različita korijena različita od nule, što zajedno s \(x=0\) predstavlja aritmetičku progresiju.

Imajte na umu da je funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) parna, pa ako je \(x_0\) korijen jednadžbe \((* )\ ) , tada će \(-x_0\) također biti njegov korijen. Tada je potrebno da korijeni ove jednadžbe budu brojevi poredani uzlaznim redoslijedom: \(-2d, -d, d, 2d\) (onda \(d>0\) ). Tada će ovih pet brojeva tvoriti aritmetičku progresiju (s razlikom \(d\) ).

Da bi ti korijeni bili brojevi \(-2d, -d, d, 2d\) , potrebno je da brojevi \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) budu korijeni jednadžba \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Zatim prema Vietinom teoremu:

Prepisujemo jednadžbu u obliku \ i razmotrimo dvije funkcije: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcija \(g(x)\) ima maksimalnu točku \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Izvod nule: \(x=0\) . Za \(x<0\) имеем: \(g">0\) , za \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcija \(f(x)\) za \(x>0\) raste, a za \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Doista, za \(x>0\) prvi modul se širi pozitivno (\(|x|=x\) ), stoga će, bez obzira na to kako se širi drugi modul, \(f(x)\) biti jednak \ ( kx+A\) , gdje je \(A\) izraz iz \(a\) , a \(k\) je ili \(13-10=3\) ili \(13+10=23\) . Za \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Nađimo vrijednost \(f\) u minimalnoj točki: \

Da bi jednadžba imala barem jedno rješenje, grafovi funkcija \(f\) i \(g\) moraju imati barem jednu točku presjeka. Stoga vam je potrebno: \ Rješavajući ovaj skup sustava, dobivamo odgovor: \\]

Odgovor:

\(a\u \(-2\)\šalica\)

Ravnomjerna funkcija.

Čak Poziva se funkcija čiji se predznak ne mijenja kada se predznak promijeni x.

x jednakost f(–x) = f(x). Znak x ne utječe na znak y.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).

Čak i primjeri funkcija:

y= cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Obrazloženje:
Uzmimo funkciju y = x 2 ili y = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Znak x ne utječe na znak y. Graf je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je ravnomjerna funkcija.

neparna funkcija.

neparan je funkcija čiji se predznak mijenja kada se predznak promijeni x.

Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost f(–x) = –f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).

Primjeri neparne funkcije:

y= grijeh x

y = x 3

y = –x 3

Obrazloženje:

Uzmimo funkciju y = - x 3 .
Sve vrijednosti na imat će predznak minus. To je znak x utječe na znak y. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna; ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Graf funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Ovo je čudna funkcija.

Svojstva parnih i neparnih funkcija:

BILJEŠKA:

Nisu sve značajke parne ili neparne. Postoje funkcije koje ne podliježu takvoj gradaciji. Na primjer, korijenska funkcija na = √x ne odnosi se ni na parne ni neparne funkcije (slika 3.). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni paran ni neparan.

Periodične funkcije.

Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Funkcije koje opisuju te procese nazivaju se periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim se grafovima nalaze elementi koji se ponavljaju u određenim brojčanim intervalima.

Da biste to učinili, koristite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji broj brojčanih vrijednosti za nezavisnu varijablu x (\displaystyle x) i priključite ih u funkciju za izračunavanje vrijednosti zavisne varijable y (\displaystyle y). Stavite pronađene koordinate točaka na koordinatnu ravninu, a zatim povežite te točke kako biste izgradili graf funkcije.

• Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, zadana funkcija. U njega unesite sljedeće vrijednosti x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Dobio sam točku s koordinatama (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Dobio sam točku s koordinatama (− 1 , 3) ​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Dobio sam točku s koordinatama (− 2 , 9) (\displaystyle (-2,9)).

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na y-os. Simetrija se odnosi na zrcalnu sliku grafa oko y-osi. Ako dio grafa desno od y-ose (pozitivne vrijednosti nezavisne varijable) odgovara dijelu grafa lijevo od y-ose (negativne vrijednosti nezavisne varijable), graf je simetričan u odnosu na os y. Ako je funkcija simetrična u odnosu na os y, funkcija je parna.

• Možete provjeriti simetriju grafa po pojedinim točkama. Ako vrijednost y (\displaystyle y) x (\displaystyle x), odgovara vrijednosti y (\displaystyle y), što odgovara vrijednosti − x (\displaystyle -x), funkcija je parna. U našem primjeru s funkcijom f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) dobili smo sljedeće koordinate točaka:
  • (1.3) i (-1.3)
  • (2,9) i (-2,9)
• Imajte na umu da je za x=1 i x=-1 zavisna varijabla y=3, a za x=2 i x=-2 zavisna varijabla je y=9. Dakle, funkcija je ravnomjerna. Zapravo, potrebno je uzeti u obzir više od dvije točke da bi se točno odredio oblik funkcije, ali opisana metoda je dobra aproksimacija.

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Izvorište je točka s koordinatama (0,0). Simetrija o ishodištu znači da je pozitivna vrijednost y (\displaystyle y)(s pozitivnom vrijednošću x (\displaystyle x)) odgovara negativnoj vrijednosti y (\displaystyle y)(s negativnom vrijednošću x (\displaystyle x)), i obrnuto. Neparne funkcije imaju simetriju u odnosu na ishodište.

• Ako u funkciju zamijenimo nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti x (\displaystyle x), vrijednosti y (\displaystyle y) razlikovat će se u znaku. Na primjer, zadana funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x). Zamijenite više vrijednosti u njega x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2). Dobili smo točku s koordinatama (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Dobio sam točku s koordinatama (-2,-10).
• Dakle, f(x) = -f(-x), odnosno funkcija je neparna.

Provjerite ima li graf funkcije ikakvu simetriju. Posljednja vrsta funkcije je funkcija čiji graf nema simetriju, odnosno nema zrcalne slike i u odnosu na y-os i u odnosu na ishodište. Na primjer, zadana funkcija.

• Zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti u funkciju x (\displaystyle x):
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Dobili smo točku s koordinatama (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Dobio sam točku s koordinatama (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Dobili smo točku s koordinatama (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Dobio sam točku s koordinatama (2,-2).
• Prema dobivenim rezultatima nema simetrije. vrijednosti y (\displaystyle y) za suprotne vrijednosti x (\displaystyle x) ne poklapaju se i nisu suprotne. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna.
• Imajte na umu da je funkcija f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) može se napisati ovako: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Napisana u ovom obliku, čini se da je funkcija parna jer postoji paran eksponent. Ali ovaj primjer dokazuje da se oblik funkcije ne može brzo odrediti ako je nezavisna varijabla zatvorena u zagrade. U tom slučaju morate otvoriti zagrade i analizirati rezultirajuće eksponente.