अनुपात लिखें और सीमा की गणना करें.

जहाँ किया डेरिवेटिव और भेदभाव नियमों की तालिका? एक सीमा के लिए धन्यवाद। यह जादू जैसा लगता है, लेकिन वास्तव में - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर एक व्युत्पन्न क्या है?मैंने विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करना शुरू किया, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे एक रैखिक और द्विघात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मिले। संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे व्युत्पन्न तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:

उदाहरण 1

वास्तव में, एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के एक विशेष मामले को साबित करना आवश्यक है, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:।

फेसलातकनीकी रूप से दो तरह से औपचारिक। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख्ती से शुरू होती है, और व्युत्पन्न कार्य एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

विचार करना कुछ(विशिष्ट) से संबंधित बिंदु डोमेनएक फ़ंक्शन जिसमें व्युत्पन्न होता है। इस बिंदु पर वेतन वृद्धि सेट करें (बेशक, परे नहींओ/ओ -मैं)और फ़ंक्शन के संबंधित वेतन वृद्धि की रचना करें:

आइए सीमा की गणना करें:

अनिश्चितता 0:0 को एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है जिसे पहली शताब्दी ईसा पूर्व माना जाता है। अंश और हर को आसन्न व्यंजक से गुणा करें :

इस तरह की सीमा को हल करने की तकनीक पर परिचयात्मक पाठ में विस्तार से चर्चा की गई है। कार्यों की सीमा के बारे में.

चूंकि अंतराल के किसी भी बिंदु को चुना जा सकता है, फिर, प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

जवाब

एक बार फिर, आइए लघुगणक पर आनन्दित हों:

उदाहरण 2

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

फेसला: आइए एक ही कार्य को बढ़ावा देने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। समाधान की शुरुआत में सबस्क्रिप्ट से छुटकारा पाने और पत्र के बजाय पत्र का उपयोग करने का विचार है।

विचार करना स्वेच्छाचारीसे संबंधित बिंदु डोमेनफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वेतन वृद्धि सेट करें। और यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर भिन्न होता है।

फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

डिजाइन की आसानी उस भ्रम से संतुलित होती है जिसे शुरुआती (और न केवल) अनुभव कर सकते हैं। आखिरकार, हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि "X" अक्षर सीमा में बदल जाता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, संग्रहालय के गलियारे के साथ खुशी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।

मैं अनिश्चितता के उन्मूलन पर कदम दर कदम टिप्पणी करूंगा:

(1) लघुगणक की संपत्ति का प्रयोग करें .

(2) कोष्ठक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं।

(3) हर में, हम कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं और का लाभ उठाने के लिए "x" से विभाजित करते हैं अद्भुत सीमा , के रूप में करते हुए बहुत छोताअलग दिखना।

जवाब: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:

या संक्षेप में:

मैं स्वतंत्र रूप से दो और सारणीबद्ध सूत्रों का निर्माण करने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 3

इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि एक सामान्य भाजक को कम करने के लिए तुरंत सुविधाजनक है। पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।

उदाहरण 3:फेसला : कुछ बिंदु पर विचार करें , समारोह के दायरे से संबंधित . इस बिंदु पर वेतन वृद्धि सेट करें और फ़ंक्शन के संबंधित वेतन वृद्धि की रचना करें:

आइए एक बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें :


से के रूप में आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं समारोह का दायरा , तब और
जवाब : व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार

उदाहरण 4

परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें

और यहाँ सब कुछ कम किया जाना चाहिए अद्भुत सीमा. समाधान दूसरे तरीके से तैयार किया गया है।

इसी तरह, कई अन्य सारणीबद्ध व्युत्पन्न. एक पूरी सूची स्कूल की पाठ्यपुस्तक में पाई जा सकती है, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे पुस्तकों से पुनर्लेखन और विभेदीकरण के नियमों के प्रमाणों में बहुत अधिक लाभ नहीं दिखता - वे भी सूत्र द्वारा उत्पन्न होते हैं।

उदाहरण 4:फेसला , स्वामित्व , और इसमें एक वेतन वृद्धि सेट करें

आइए व्युत्पन्न खोजें:

अद्भुत सीमा का उपयोग करना

जवाब : ए-प्राथमिकता

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं , व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए

फेसला: पहली दृश्य शैली का प्रयोग करें। आइए से संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें, आइए इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:

शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह से नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। हम एक बिंदु (संख्या) लेते हैं और उसमें फ़ंक्शन का मान पाते हैं: , वह है, समारोह में के बजाय"x" को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। अब हम एक बहुत ही विशिष्ट संख्या भी लेते हैं और इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित भी करते हैं के बजाय"एक्स": । हम अंतर लिखते हैं, जबकि यह आवश्यक है पूरी तरह से कोष्ठक करें.

कम्पोज्ड फंक्शन इंक्रीमेंट तुरंत सरल करना फायदेमंद है. किस लिए? आगे की सीमा के समाधान को सुगम और छोटा करें।

हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और वह सब कुछ कम करते हैं जिसे कम किया जा सकता है:

टर्की जल गया है, भूनने से कोई समस्या नहीं है:

अंततः:

चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या को गुणवत्ता के रूप में चुना जा सकता है, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं .

जवाब: ए-प्राथमिकता।

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, हम व्युत्पन्न का उपयोग कर पाते हैं भेदभाव नियम और टेबल:

पहले से सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए मानसिक रूप से या मसौदे पर समाधान की शुरुआत में ही प्रस्तावित कार्य को "त्वरित" तरीके से अलग करना बेहतर होता है।

उदाहरण 6

व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

यह स्वयं का उदाहरण है। परिणाम सतह पर है:

उदाहरण 6:फेसला : कुछ बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , और इसमें तर्क की वृद्धि सेट करें . फिर संबंधित फ़ंक्शन वृद्धि है:


आइए व्युत्पन्न की गणना करें:


इस प्रकार:
क्योंकि के रूप में कोई भी वास्तविक संख्या चुनी जा सकती है और
जवाब : ए-प्राथमिकता।

आइए स्टाइल #2 पर वापस जाएं:

उदाहरण 7

आइए तुरंत पता करें कि क्या होना चाहिए। द्वारा एक जटिल कार्य के भेदभाव का नियम:

फेसला: से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, इसमें तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की वृद्धि की रचना करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:


(1) प्रयोग करें त्रिकोणमितीय सूत्र .

(2) साइन के तहत हम कोष्ठक खोलते हैं, कोसाइन के तहत हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं।

(3) साइन के तहत हम पदों को कम करते हैं, कोसाइन के तहत हम अंश को हर पद से विभाजित करते हैं।

(4) साइन की विषमता के कारण, हम "माइनस" निकालते हैं। कोसाइन के तहत, हम इंगित करते हैं कि शब्द .

(5) हम उपयोग करने के लिए हर को कृत्रिम रूप से गुणा करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हम परिणाम का मुकाबला करते हैं।

जवाब: ए-प्राथमिक

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई सीमा की जटिलता + पैकिंग की थोड़ी मौलिकता पर ही टिकी हुई है। व्यवहार में, डिजाइन के दोनों तरीकों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूं। वे समकक्ष हैं, लेकिन फिर भी, मेरे व्यक्तिपरक प्रभाव में, डमी के लिए "एक्स शून्य" के साथ पहले विकल्प से चिपके रहना अधिक समीचीन है।

उदाहरण 8

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

उदाहरण 8:फेसला : एक मनमाना बिंदु पर विचार करें , स्वामित्व , आइए इसमें एक वेतन वृद्धि सेट करें और फ़ंक्शन की वृद्धि करें:

आइए व्युत्पन्न खोजें:

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं और पहली उल्लेखनीय सीमा:

जवाब : ए-प्राथमिकता

आइए समस्या के दुर्लभ संस्करण का विश्लेषण करें:

उदाहरण 9

व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, नीचे की रेखा क्या होनी चाहिए? संख्या

आइए मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:

फेसला: स्पष्टता की दृष्टि से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र इसके बजाय एक विशिष्ट मान पर विचार करता है।

हम बिंदु पर एक वेतन वृद्धि निर्धारित करते हैं और फ़ंक्शन के अनुरूप वेतन वृद्धि की रचना करते हैं:

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:

हम स्पर्शरेखा के अंतर के लिए एक बहुत ही दुर्लभ सूत्र का उपयोग करते हैं और एक बार फिर समाधान को कम करें पहली अद्भुत सीमा:

जवाब: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।

कार्य को हल करना इतना मुश्किल नहीं है और "सामान्य शब्दों में" - यह डिजाइन विधि के आधार पर या बस को बदलने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, निश्चित रूप से, आपको एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न कार्य मिलता है।

उदाहरण 10

परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें एक बिंदु पर (जिनमें से एक अनंत हो सकता है), जिसके बारे में मैंने पहले ही सामान्य शब्दों में बात की है व्युत्पन्न के बारे में सैद्धांतिक पाठ.

कुछ टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य ग्राफ़ के "जंक्शन" बिंदुओं पर भी भिन्न होते हैं, उदाहरण के लिए, कैटडॉग बिंदु पर एक सामान्य व्युत्पन्न और एक सामान्य स्पर्शरेखा (भुजा) है। वक्र, हाँ द्वारा अवकलनीय ! जो लोग चाहते हैं वे इसे अपने लिए अभी-अभी हल किए गए उदाहरण के मॉडल पर सत्यापित कर सकते हैं।

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परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध लिखें \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो संकेतित सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एक बिंदु पर भुज x \u003d a के साथ खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)

चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।

और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \डेलटैक्स\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।

आइए इसे तैयार करें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।

यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।

आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?

मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, अर्थात फलन x पर सतत होना चाहिए।

यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए हम एक और कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.

इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।

एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) या तो मौजूद नहीं है

इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।

विभेदीकरण नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि C एक अचर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अवकलनीय फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) "= \frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \left(\frac) (C)(g) \right) "= -\frac(Cg")(g^2) $$ कंपाउंड फंक्शन डेरिवेटिव:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
दिनांक: 11/20/2014

एक व्युत्पन्न क्या है?

व्युत्पन्न तालिका।

व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में, हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए परिचित हों, बिना सख्त गणितीय योगों और प्रमाणों के।

यह परिचय आपको इसकी अनुमति देगा:

व्युत्पन्न के साथ सरल कार्यों के सार को समझें;

इन बहुत ही सरल कार्यों को सफलतापूर्वक हल करें;

अधिक गंभीर व्युत्पन्न पाठों की तैयारी करें।

सबसे पहले, एक सुखद आश्चर्य।

व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है, और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन व्युत्पन्न के व्यावहारिक अनुप्रयोग, एक नियम के रूप में, इस तरह के व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं है!

स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए। और बस। यह मझे खुश करता है।

क्या हम एक दूसरे को जान पाएंगे?)

शर्तें और पदनाम।

प्रारंभिक गणित में कई गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दी जाए, तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। इस नए ऑपरेशन को कहा जाता है भेदभाव।इस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य करते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम एक नया कार्य है। इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न।

भेदभाव- एक समारोह पर कार्रवाई।

यौगिकइस क्रिया का परिणाम है।

जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़जोड़ने का परिणाम है। या निजीविभाजन का परिणाम है।

शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) शब्दांकन इस प्रकार है: किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंआदि। यह सब है वैसा ही।बेशक, अधिक जटिल कार्य हैं, जहां व्युत्पन्न (भेदभाव) खोजना कार्य को हल करने के चरणों में से एक होगा।

व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया जाता है। ऐशे ही: वाई"या च"(एक्स)या अनुसूचित जनजाति)आदि।

पढ़ना y स्ट्रोक, x से ef स्ट्रोक, te से es स्ट्रोक,अच्छा आप समझ गए...)

एक प्राइम किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी निरूपित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनएक्स)"आदि। अक्सर अवकलज को अवकलनों का प्रयोग करके निरूपित किया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।

मान लीजिए कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। कुछ भी नहीं बचा है - उन्हें हल करने का तरीका जानने के लिए।) मैं आपको फिर से याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।ये नियम आश्चर्यजनक रूप से कम हैं।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीजों को जानना होगा। तीन स्तंभ जिस पर सभी भेदभाव टिकी हुई है। यहाँ तीन व्हेल हैं:

1. डेरिवेटिव की तालिका (भेदभाव सूत्र)।

3. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में, हम अवकलजों की तालिका पर विचार करेंगे।

व्युत्पन्न तालिका।

दुनिया में अनंत संख्या में कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं। ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में बैठते हैं। इन कार्यों से, जैसे कि ईंटों से, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य।इन कार्यों का स्कूल में अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।

"स्क्रैच से" कार्यों का अंतर, अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर - बल्कि समय लेने वाली चीज। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपने जीवन को सरल बनाया (और हम)। उन्होंने हमारे सामने प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)

यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बायां - प्राथमिक कार्य, दाएं - इसका व्युत्पन्न।

	समारोह आप	फलन का व्युत्पन्न y वाई"
1	सी (स्थिर)	सी" = 0
2	एक्स	एक्स" = 1
3	x n (n कोई संख्या है)	(एक्स एन)" = एनएक्स एन -1
	एक्स 2 (एन = 2)	(एक्स 2)" = 2x
4	पाप x	(sinx)" = cosx
	क्योंकि x	(cos x)" = - पाप x
	टीजी एक्स
	सीटीजी एक्स
5	आर्कसिन x
	आर्ककोस x
	आर्कटिक एक्स
	आर्कसीटीजी एक्स
4	एएक्स
	इएक्स
5	लॉग एएक्स
	एलएन एक्स ( ए = ई)

मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे सामान्य सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या संकेत स्पष्ट है?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानना वांछनीय है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना यह लग सकता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका ही याद रखी जाएगी!)

जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के निर्माण में, या मूल कार्य में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है ...

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. फलन y = x . का अवकलज ज्ञात कीजिए 3

तालिका में ऐसा कोई कार्य नहीं है। लेकिन पावर फंक्शन (तीसरे समूह) का एक सामान्य व्युत्पन्न है। हमारे मामले में, एन = 3। इसलिए हम n के बजाय ट्रिपल को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यान से लिखते हैं:

(एक्स 3) "= 3 एक्स 3-1 = 3x 2

यही सब है इसके लिए।

जवाब: वाई" = 3x 2

2. बिंदु x = 0 पर फलन y = sinx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले ज्या का अवकलज ढूँढ़ना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न के लिए। यह उस क्रम में है!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे तुरंत मूल फ़ंक्शन में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं ... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान खोजने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न।व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिला दूं, पहले से ही एक नया कार्य है।

प्लेट पर हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:

y" = (sinx)" = cosx

शून्य को व्युत्पन्न में बदलें:

y"(0) = cos 0 = 1

यह उत्तर होगा।

3. फ़ंक्शन को अलग करें:

क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन भी नहीं है।

मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करना इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना काफी परेशानी भरा होता है। तालिका मदद नहीं करती है ...

लेकिन अगर हम देखते हैं कि हमारा कार्य है एक दोहरे कोण की कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!

हाँ हाँ! याद रखें कि मूल कार्य का परिवर्तन भेदभाव से पहलेकाफी स्वीकार्य! और यह जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए होता है। दोहरे कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार:

वे। हमारा मुश्किल काम और कुछ नहीं है वाई = कॉक्स. और यह एक टेबल फंक्शन है। हमें तुरंत मिलता है:

जवाब: y" = - पाप x.

उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:

4. किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए:

निश्चित रूप से व्युत्पन्न तालिका में ऐसा कोई कार्य नहीं है। लेकिन अगर आपको प्राथमिक गणित, शक्तियों के साथ क्रियाएं याद हैं ... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। ऐशे ही:

और एक दसवें की शक्ति के लिए x पहले से ही एक सारणीबद्ध कार्य है! तीसरा समूह, एन = 1/10। सीधे सूत्र के अनुसार लिखिए:

बस इतना ही। यह उत्तर होगा।

मुझे उम्मीद है कि भेदभाव की पहली व्हेल के साथ - डेरिवेटिव की तालिका - सब कुछ स्पष्ट है। यह शेष दो व्हेल से निपटने के लिए बनी हुई है। अगले पाठ में हम विभेदीकरण के नियम सीखेंगे।

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज रूप से और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्य के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जा रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (भुजाकार अक्ष के साथ आगे बढ़ते हुए), फ़ंक्शन का मान बदलता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ आगे बढ़ता है)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे करें? यह मूल्य क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी को आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी बदलेगी। दरअसल, सड़क के अलग-अलग हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एब्सिस्सा के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (ऑर्डिनेट के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम आगे की प्रगति को दर्शाते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह परिमाण में परिवर्तन है, - परिवर्तन; तब यह क्या है? यह सही है, आकार में बदलाव।

महत्वपूर्ण: व्यंजक एक इकाई है, एक चर है। आपको "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए।

तो, हम आगे बढ़े हैं, क्षैतिज रूप से, आगे। यदि हम सड़क की रेखा की तुलना किसी फलन के ग्राफ से करते हैं, तो हम वृद्धि को किस प्रकार निरूपित करते हैं? निश्चित रूप से, । यानी जब हम आगे बढ़ते हैं तो हम और ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु से कम निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "स्थिरता" पर: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेजी से) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर उठती है। तब इस स्थान की खड़ीपन बराबर होती है। और अगर सड़क, मी से आगे बढ़ने पर, किमी से डूब जाती है? फिर ढलान बराबर है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत आधा किलोमीटर ऊपर और अंत - इसके बाद आधा किलोमीटर लेते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

यानी हमारे तर्क के अनुसार पता चलता है कि यहां ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है। कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम बहुत अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उससे फिसल सकते हैं। तब हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, निकटतम मिलीमीटर की दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा थी बहुत छोता, अर्थात्, मॉड्यूल मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरब! कितना कम? और आप इस संख्या को - से विभाजित करते हैं और यह और भी कम होगा। आदि। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर जाता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब। इसका मतलब है कि इसे में विभाजित किया जा सकता है।

अपरिमित रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तब आप शायद पहले ही इसका सामना कर चुके हैं: यह संख्या मापांक में किसी भी संख्या से अधिक है जिसके बारे में आप सोच सकते हैं। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक मिलता है। और अनंत जो होता है उससे कहीं अधिक है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात्, पर, और इसके विपरीत: पर।

अब वापस हमारी सड़क पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान ... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क के एक अनंतिम वेतन वृद्धि पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहा जाता है। अक्ष के अनुदिश चलने पर तर्क () कितना बदल गया है, कहलाता है तर्क वृद्धिऔर दूरी से अक्ष के साथ आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) कितना बदल गया है, द्वारा दर्शाया गया है समारोह वृद्धिऔर अंकित है।

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब का संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल ऊपर दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के सादृश्य में, यहाँ, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न धनात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह ऋणात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो व्युत्पन्न के साथ: एक स्थिर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि शीर्ष के विपरीत पक्षों पर खंड के सिरों को इस तरह से व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊंचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप के संकेत हैं। हम अपने सेगमेंट को अपने समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम अनंत रूप से शीर्ष के करीब होंगे, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (प्रवृत्त नहीं होता है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि जब फलन बढ़ता है तो अवकलज धनात्मक होता है और जब घटता है तो ऋणात्मक होता है। लेकिन यह बिना छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क अपनी ढलान को कहीं भी तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहाँ फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को एक मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या हो गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फंक्शन का मान बराबर होता है। फिर हम एक ही वेतन वृद्धि करते हैं: निर्देशांक बढ़ाएँ। अब क्या तर्क है? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, समारोह वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. के बराबर तर्क की वृद्धि के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं।
2. एक बिंदु पर एक समारोह के लिए वही।

समाधान:

अलग-अलग बिंदुओं पर, तर्क के समान वेतन वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि अलग-अलग होगी। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, सही?)

और - किसी भी हद तक:।

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक होता है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है। फंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर फलन उसके तर्क के बराबर होता है। इसलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

b) अब द्विघात फलन () पर विचार करें: .

आइए अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस व्यंजक को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला कोष्ठक खोलें, या घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण व्यंजक को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और चलिए इसे फिर से याद करते हैं। इसका मतलब है कि हम सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं: ।

डी) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप शब्दों के साथ नियम बना सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाता है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, हाँ, जड़ भी एक डिग्री है, केवल एक भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूल एक घातांक के साथ सिर्फ एक शक्ति है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए फॉर्मूले का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो गया, तो "" विषय दोहराएं !!! (एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन:।

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में सबूत सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना होगा)। अब मैं इसे केवल ग्राफिक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होता है, कार्य उतना ही करीब होता है। यह बहुत "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर से इस नियम की जांच कर सकते हैं। हां, हां, शरमाएं नहीं, कैलकुलेटर लें, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियन मोड में स्विच करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि अनुपात जितना छोटा होगा, अनुपात का मान उतना ही अधिक होगा।

ए) एक समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए ज्या के अंतर को उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम याद करते हैं कि अभिव्यक्ति के साथ। और यह भी, क्या होगा यदि योग (अर्थात, पर) में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("टेबल") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

1. सबसे पहले, हम एक सामान्य रूप में व्युत्पन्न पाते हैं, और फिर हम इसके बजाय इसके मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईई… .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी भी नहीं जानते कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका अवकलज किसी के लिए उसी के फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशमलव अंश है, जो एक अपरिमेय संख्या (जैसे) है। इसे "यूलर नंबर" कहा जाता है, इसलिए इसे एक अक्षर से दर्शाया जाता है।

तो नियम है:

याद रखना बहुत आसान है।

खैर, हम दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत उलटा कार्य करेंगे। घातांकीय फलन का विलोम क्या होता है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: घातांक और प्राकृतिक लघुगणक ऐसे कार्य हैं जो व्युत्पन्न के संदर्भ में विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम भेदभाव के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदीकरण नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? नहीं proizvodnovanie... गणित के अंतर को फ़ंक्शन का बहुत वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंशियल - डिफरेंशियल से आया है। यहां।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जाता है।

अगर - कुछ स्थिर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

समाधान:

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी घातांकीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह अभी तक क्या है?)

तो कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक सरल नियम का उपयोग करते हैं: . फिर:

अच्छा, यह काम किया। अब अवकलज ज्ञात करने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फलन जटिल है।

हो गई?

यहां, अपने आप को जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक कारक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह केवल एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती है, अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अतः उत्तर में इसे इस रूप में छोड़ दिया जाता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, :

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाने की जरूरत है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

इसके बजाय अब हम लिखेंगे:

भाजक सिर्फ एक स्थिर (एक स्थिर संख्या, एक चर के बिना) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के डेरिवेटिव लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालांकि यदि लघुगणक आपको मुश्किल लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ काम करेगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "मुश्किल" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रिया कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह एक ऐसी समग्र वस्तु प्राप्त करता है: एक चॉकलेट बार लपेटा जाता है और एक रिबन से बंधा होता है। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको विपरीत चरणों को उल्टे क्रम में करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं इसकी कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला है उसे आप वर्ग (रिबन से बांधें)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल कार्य का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे चर के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया जो पहले के परिणामस्वरूप हुई उसके साथ होती है।

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में अच्छी तरह से कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या के कोसाइन की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब क्रियाओं का क्रम बदलता है, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक अन्य कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हमारे द्वारा की जाने वाली अंतिम क्रिया कहलाएगी "बाहरी" समारोह, और पहले की गई क्रिया - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूं)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण परिवर्तनशील चर के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम साइन की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे एक घन तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलट जाती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंत में आधिकारिक नियम तैयार करें:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(बस अब तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जाता है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इससे जड़ निकालते हैं, अर्थात, हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में डालते हैं) और एक ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोसाइन और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक। और फिर हम इसे सभी गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को नंबर देना सुविधाजनक होता है। यानी हम जो जानते हैं उसकी कल्पना करें। इस व्यंजक के मान की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रिया करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

बाद में कार्रवाई की जाती है, संबंधित फ़ंक्शन जितना अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां नेस्टिंग आमतौर पर 4-स्तर की होती है। आइए कार्रवाई के पाठ्यक्रम को निर्धारित करें।

1. कट्टरपंथी अभिव्यक्ति। .

2. जड़। .

3. साइनस। .

4. स्क्वायर। .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की एक असीम वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदन नियम:

व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकाला जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।

एक चर के एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

परिचय।

ये पद्धतिगत विकास औद्योगिक और सिविल इंजीनियरिंग संकाय के छात्रों के लिए हैं। उन्हें "एक चर के कार्यों के विभेदक कलन" खंड में गणित के पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के संबंध में संकलित किया गया है।

घटनाक्रम एक एकल कार्यप्रणाली गाइड का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसमें शामिल हैं: संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी; इन समाधानों के लिए विस्तृत समाधान और स्पष्टीकरण के साथ "विशिष्ट" कार्य और अभ्यास; नियंत्रण विकल्प।

प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में अतिरिक्त अभ्यास। विकास की ऐसी संरचना उन्हें शिक्षक की न्यूनतम सहायता के साथ अनुभाग की स्वतंत्र महारत के लिए उपयुक्त बनाती है।

§एक। व्युत्पन्न की परिभाषा।

यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ

व्युत्पन्न।

व्युत्पन्न की अवधारणा गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। यह 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में उभरा। व्युत्पन्न की अवधारणा का गठन ऐतिहासिक रूप से दो समस्याओं से जुड़ा हुआ है: चर गति की गति की समस्या और वक्र के स्पर्शरेखा की समस्या।

इन कार्यों, उनकी विभिन्न सामग्री के बावजूद, एक ही गणितीय ऑपरेशन की ओर ले जाते हैं जो किसी फ़ंक्शन पर किया जाना चाहिए। इस ऑपरेशन को गणित में एक विशेष नाम मिला है। इसे किसी फंक्शन के विभेदीकरण की संक्रिया कहते हैं। भेदभाव ऑपरेशन के परिणाम को व्युत्पन्न कहा जाता है।

तो, बिंदु x0 पर फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा (यदि यह मौजूद है) है
पर
.

व्युत्पन्न को आमतौर पर निम्नानुसार दर्शाया जाता है:
.

तो परिभाषा के अनुसार

प्रतीकों का उपयोग व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए भी किया जाता है
.

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

यदि s=s(t) किसी भौतिक बिंदु की रेखीय गति का नियम है, तो
समय t पर इस बिंदु की गति है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

यदि फलन y=f(x) का एक बिंदु पर अवकलज है , तो बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान
बराबरी
.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
बिंदु पर =2:

1) आइए एक बिंदु दें =2 वेतन वृद्धि
. नोटिस जो।

2) बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं =2:

3) तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात लिखें:

आइए हम संबंध की सीमा ज्ञात करें
:

.

इस प्रकार,
.

2. कुछ के व्युत्पन्न

सबसे सरल कार्य।

छात्र को सीखने की जरूरत है कि विशिष्ट कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कैसे करें: y=x,y= और सामान्य तौर पर y= .

फलन y=x का अवकलज ज्ञात कीजिए।

वे। (एक्स)′=1.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

यौगिक

रहने दो
तब

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए व्यंजकों में एक पैटर्न को नोटिस करना आसान है
एन = 1,2,3 पर।

इसलिये,

. (1)

यह सूत्र किसी भी वास्तविक n के लिए मान्य है।

विशेष रूप से, सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

;

.

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

.

यह फ़ंक्शन प्रपत्र के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है

पर
.

सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

.

फलनों के व्युत्पन्न y=sin x और y=cos x।

माना y=sinx.

x से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

x→0 के रूप में सीमा तक जाने पर, हमारे पास है

चलो y=cosx ।

x→0 के रूप में सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं

;
. (2)

3. भेदभाव के बुनियादी नियम।

भेदभाव के नियमों पर विचार करें।

प्रमेय1 . यदि फलन u=u(x) और v=v(x) दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय हैं, तो उनका योग भी इस बिंदु पर अवकलनीय है, और योग का अवकलज व्युत्पन्न पदों के योग के बराबर है: (यू+वी)"=यू"+वी"(3 )

प्रमाण: फलन y=f(x)=u(x)+v(x) पर विचार करें।

तर्क x का इंक्रीमेंट x u=u(x+∆x)-u(x), v=v(x+∆x)-v(x) फंक्शन यू और वी के इंक्रीमेंट से मेल खाता है। तब फ़ंक्शन y बढ़ा दिया जाएगा

y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

इसलिये,

तो, (u+v)"=u"+v"।

प्रमेय2. यदि फलन u=u(x) और v=v(x) दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय है। इस मामले में, उत्पाद का अवकलज निम्न सूत्र द्वारा पाया जाता है : (यूवी) "= यू" वी + यूवी "। (4)

उपपत्ति: मान लीजिए y=uv, जहाँ u और v x के कुछ अवकलनीय फलन हैं। मान लीजिए कि x को x से बढ़ा दिया गया है, तो u को ∆u से बढ़ा दिया जाएगा, v को ∆v से बढ़ा दिया जाएगा, और y को y से बढ़ा दिया जाएगा।

हमारे पास है y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), या

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

इसलिए, y=u∆v+v∆u+∆u∆v।

यहां से

x→0 के रूप में सीमा तक जाने और यह ध्यान में रखते हुए कि u और v ∆x पर निर्भर नहीं हैं, हमारे पास है

प्रमेय 3. दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका हर भाजक के वर्ग के बराबर होता है, और अंश भाजक द्वारा लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद और के उत्पाद के बीच का अंतर होता है भाजक के व्युत्पन्न द्वारा लाभांश, अर्थात।

यदि एक
तब
(5)

प्रमेय 4.स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है, अर्थात। अगर y=C, जहां С=const, फिर y"=0.

प्रमेय 5.अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात्। अगर y=Cu(x), कहा पे =const, फिर y"=Cu"(x)।

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

इस फ़ंक्शन का रूप है
, जहां u=x,v=cosx. विभेदन नियम (4) को लागू करने पर, हम पाते हैं

.

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

.

हम सूत्र (5) लागू करते हैं।

यहां
;
.

कार्य।

निम्नलिखित कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)