लगातार उन पर झुकने पर। सामग्री के बल पर विशिष्ट समस्याओं का समाधान

मोड़ एक प्रकार का विरूपण है जिसमें बीम का अनुदैर्ध्य अक्ष मुड़ा हुआ होता है। झुकने पर काम करने वाले सीधे बीम को बीम कहा जाता है। एक सीधा मोड़ एक मोड़ है जिसमें बीम पर अभिनय करने वाले बाहरी बल बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष और क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष से गुजरने वाले एक ही विमान (बल विमान) में होते हैं।

मोड़ को शुद्ध कहा जाता है, यदि बीम के किसी भी क्रॉस सेक्शन में केवल एक झुकने वाला क्षण होता है।

झुकना, जिसमें झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल एक साथ बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्य करते हैं, अनुप्रस्थ कहलाते हैं। बल तल और अनुप्रस्थ-अनुभागीय तल के प्रतिच्छेदन की रेखा को बल रेखा कहा जाता है।

बीम झुकने में आंतरिक बल कारक।

बीम के वर्गों में एक सपाट अनुप्रस्थ झुकने के साथ, दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: अनुप्रस्थ बल क्यू और झुकने का क्षण एम। उन्हें निर्धारित करने के लिए, अनुभाग विधि का उपयोग किया जाता है (व्याख्यान 1 देखें)। बीम खंड में अनुप्रस्थ बल Q विचाराधीन खंड के एक तरफ अभिनय करने वाले सभी बाहरी बलों के खंड तल पर अनुमानों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

अपरूपण बलों के लिए साइन नियम Q:

बीम खंड में झुकने वाला क्षण एम विचाराधीन खंड के एक तरफ अभिनय करने वाले सभी बाहरी बलों के इस खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बारे में क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

झुकने वाले क्षणों के लिए साइन नियम एम:

ज़ुराव्स्की की अंतर निर्भरता।

वितरित भार की तीव्रता q के बीच, अनुप्रस्थ बल Q और झुकने वाले क्षण M के लिए भाव, अंतर निर्भरता स्थापित की जाती है:

इन निर्भरताओं के आधार पर, अनुप्रस्थ बलों Q और झुकने वाले क्षणों M के आरेखों के निम्नलिखित सामान्य पैटर्न को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

झुकने में आंतरिक बल कारकों के आरेखों की ख़ासियत।

1. बीम के खंड पर जहां कोई वितरित भार नहीं है, प्लॉट क्यू प्रस्तुत किया जाता है सरल रेखा , आरेख के आधार के समानांतर है, और आरेख M एक झुकी हुई सीधी रेखा है (चित्र a)।

2. जिस खंड में सांद्रित बल लगाया जाता है, वहां क्यू आरेख पर होना चाहिए कूदना , इस बल के मान के बराबर और चित्र M पर - अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति (चित्र। ए)।

3. उस खंड में जहां एक केंद्रित क्षण लागू होता है, क्यू का मान नहीं बदलता है, और आरेख एम में है कूदना , इस पल के मूल्य के बराबर, (चित्र 26, बी)।

4. बीम के खंड में तीव्रता q के वितरित भार के साथ, आरेख Q एक रैखिक कानून के अनुसार बदलता है, और आरेख M - एक परवलयिक के अनुसार, और परवलय की उत्तलता वितरित भार की दिशा की ओर निर्देशित होती है (चित्र। सी, डी)।

5. यदि आरेख के विशिष्ट खंड के भीतर Q आरेख के आधार को काटता है, तो उस खंड में जहां Q = 0, झुकने वाले क्षण का चरम मान M अधिकतम या M मिनट (चित्र d) होता है।

सामान्य झुकने तनाव।

सूत्र द्वारा निर्धारित:

झुकने के लिए खंड के प्रतिरोध का क्षण मूल्य है:

खतरनाक खंडझुकते समय, बीम के क्रॉस सेक्शन को कहा जाता है, जिसमें अधिकतम सामान्य तनाव होता है।

प्रत्यक्ष झुकने में स्पर्शरेखा तनाव।

द्वारा निर्धारित ज़ुराव्स्की का सूत्र सीधे बीम झुकने में कतरनी तनाव के लिए:

जहां एस ओट्स - तटस्थ रेखा के सापेक्ष अनुदैर्ध्य तंतुओं की कट-ऑफ परत के अनुप्रस्थ क्षेत्र का स्थिर क्षण।

झुकने की ताकत की गणना।

1. पर सत्यापन गणना अधिकतम डिजाइन तनाव निर्धारित किया जाता है, जिसकी तुलना स्वीकार्य तनाव से की जाती है:

2. पर डिजाइन गणना बीम अनुभाग का चयन इस शर्त से किया जाता है:

3. स्वीकार्य भार का निर्धारण करते समय, स्वीकार्य झुकने का क्षण स्थिति से निर्धारित होता है:

झुकने वाली हरकतें।

झुकने वाले भार की क्रिया के तहत, बीम की धुरी मुड़ी हुई होती है। इस मामले में, उत्तल और संपीड़न पर तंतुओं का खिंचाव होता है - बीम के अवतल भागों पर। इसके अलावा, क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों और तटस्थ अक्ष के सापेक्ष उनके रोटेशन की एक ऊर्ध्वाधर गति होती है। झुकने के दौरान विरूपण को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है:

बीम विक्षेपण Y- अपनी धुरी के लंबवत दिशा में बीम के क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का विस्थापन।

यदि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ऊपर की ओर बढ़ता है तो विक्षेपण सकारात्मक माना जाता है। विक्षेपण की मात्रा बीम की लंबाई के साथ बदलती रहती है, अर्थात। वाई = वाई (जेड)

अनुभाग रोटेशन कोण- कोण θ जिससे प्रत्येक खंड को उसकी मूल स्थिति के संबंध में घुमाया जाता है। जब खंड को वामावर्त घुमाया जाता है तो रोटेशन के कोण को सकारात्मक माना जाता है। = (z) का एक फलन होने के कारण, घूर्णन कोण का मान बीम की लंबाई के साथ बदलता रहता है।

विस्थापन का निर्धारण करने का सबसे सामान्य तरीका है मोराऔर वीरशैचिन का नियम.

मोहर विधि।

मोहर विधि के अनुसार विस्थापन का निर्धारण करने की प्रक्रिया:

1. एक "सहायक प्रणाली" उस बिंदु पर एकल भार के साथ बनाया और लोड किया जाता है जहां विस्थापन निर्धारित किया जाना है। यदि एक रैखिक विस्थापन निर्धारित किया जाता है, तो इसकी दिशा में एक इकाई बल लगाया जाता है, कोणीय विस्थापन का निर्धारण करते समय, एक इकाई क्षण लगाया जाता है।

2. सिस्टम के प्रत्येक खंड के लिए, लागू लोड से M f झुकने के क्षण और एकल लोड से M 1 - के भाव दर्ज किए जाते हैं।

3. मोहर इंटीग्रल्स की गणना और सिस्टम के सभी वर्गों में किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वांछित विस्थापन होता है:

4. यदि परिकलित विस्थापन का धनात्मक चिन्ह है, तो इसका अर्थ है कि इसकी दिशा इकाई बल की दिशा से मेल खाती है। ऋणात्मक चिन्ह इंगित करता है कि वास्तविक विस्थापन इकाई बल की दिशा के विपरीत है।

वीरशैचिन का शासन।

उस स्थिति के लिए जब किसी दिए गए भार से झुकने वाले क्षणों के आरेख में एक मनमाना होता है, और एक एकल भार से - एक रेक्टिलिनियर रूपरेखा, ग्राफिक-विश्लेषणात्मक विधि, या वीरशैचिन के नियम का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

जहाँ A f किसी दिए गए भार से झुकने वाले क्षण M f के आरेख का क्षेत्रफल है; y c आरेख M f के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के तहत एकल भार से आरेख की कोटि है; ईआई एक्स - बीम अनुभाग की अनुभाग कठोरता। इस सूत्र के अनुसार गणना अनुभागों में की जाती है, जिनमें से प्रत्येक पर सीधी रेखा आरेख बिना फ्रैक्चर के होना चाहिए। मान (ए एफ * वाई सी) को सकारात्मक माना जाता है यदि दोनों आरेख बीम के एक ही तरफ स्थित हैं, तो नकारात्मक अगर वे विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। आरेखों के गुणन के सकारात्मक परिणाम का अर्थ है कि गति की दिशा एक इकाई बल (या क्षण) की दिशा के साथ मेल खाती है। एक जटिल आरेख एम एफ को सरल आंकड़ों में विभाजित किया जाना चाहिए (तथाकथित "एप्योर लेयरिंग" का उपयोग किया जाता है), जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय को निर्धारित करना आसान होता है। इस मामले में, प्रत्येक आकृति के क्षेत्र को उसके गुरुत्वाकर्षण केंद्र के नीचे के निर्देशांक से गुणा किया जाता है।

झुकनारॉड की विकृति कहा जाता है, इसके अक्ष की वक्रता में परिवर्तन के साथ। मुड़ने वाली छड़ कहलाती है खुशी से उछलना.

लोड लगाने के तरीकों और रॉड को ठीक करने के तरीकों के आधार पर, विभिन्न प्रकार के झुकने हो सकते हैं।

यदि रॉड के क्रॉस सेक्शन में लोड की क्रिया के तहत केवल झुकने वाला क्षण उत्पन्न होता है, तो मोड़ कहलाता है साफ़.

यदि अनुप्रस्थ काटों में, झुकने के क्षणों के साथ-साथ अनुप्रस्थ बल भी उत्पन्न होते हैं, तो झुकने को कहा जाता है आड़ा.

यदि बाहरी बल बार के क्रॉस सेक्शन के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक से गुजरने वाले विमान में होते हैं, तो मोड़ को कहा जाता है सरलया समतल. इस मामले में, भार और विकृत अक्ष एक ही तल में स्थित होते हैं (चित्र 1)।

चावल। एक

बीम को विमान में लोड लेने के लिए, इसे समर्थन की मदद से तय किया जाना चाहिए: हिंगेड-मूवेबल, हिंगेड-फिक्स्ड, एम्बेडिंग।

बीम ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय होना चाहिए, जबकि कनेक्शन की कम से कम संख्या 3 है। ज्यामितीय रूप से परिवर्तनीय प्रणाली का एक उदाहरण चित्र 2 ए में दिखाया गया है। ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय प्रणालियों का एक उदाहरण अंजीर है। 2 बी, सी।

ए बी सी)

समर्थनों में प्रतिक्रियाएं उत्पन्न होती हैं, जो स्थैतिक की संतुलन स्थितियों से निर्धारित होती हैं। समर्थन में प्रतिक्रियाएं बाहरी भार हैं।

आंतरिक झुकने बल

बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के लंबवत बलों से भरी एक छड़ एक सपाट मोड़ का अनुभव करती है (चित्र 3)। क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल होते हैं: कतरनी बल क्यू yऔर झुकने का क्षण एमजेड.

आंतरिक बलों को खंड विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है। दूरी पर एक्स बिन्दु से लेकिन X अक्ष के लंबवत समतल द्वारा, छड़ को दो खंडों में काटा जाता है। बीम के हिस्सों में से एक को त्याग दिया जाता है। बीम भागों की परस्पर क्रिया को आंतरिक बलों द्वारा बदल दिया जाता है: झुकने का क्षण मज़ूऔर अनुप्रस्थ बल क्यू y(चित्र 4)।

घरेलू प्रयास मज़ूऔर क्यू yक्रॉस सेक्शन में संतुलन की स्थिति से निर्धारित होते हैं।

भाग के लिए एक संतुलन समीकरण तैयार किया गया है साथ में:

∑आप = आर ए - पी 1 - क्यू वाई \u003d 0।

फिर क्यू y = आर ए – पी1.

निष्कर्ष। बीम के किसी भी खंड में अनुप्रस्थ बल खींचे गए खंड के एक तरफ स्थित सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। अनुप्रस्थ बल को सकारात्मक माना जाता है यदि यह छड़ को खंड बिंदु के बारे में दक्षिणावर्त घुमाता है।

∑एम 0 = आर ए ∙ एक्स – पी 1 ∙ (एक्स - ए) – मज़ू = 0

फिर मज़ू = आर ए ∙ एक्स – पी 1 ∙ (एक्स – ए)

1. प्रतिक्रियाओं की परिभाषा आर ए , आर बी ;

∑एम ए = पी ∙ ए – आर बी ∙ मैं = 0

आर बी =

∑एम बी = आर ए ∙ ई - पी ∙ ए = 0

2. पहले खंड पर प्लॉटिंग 0 ≤ एक्स 1 ≤ ए

क्यू वाई = आर ए =; एम जेड \u003d आर ए ∙ एक्स 1

एक्स 1 = 0 एम जेड (0) = 0

एक्स 1 = ए एम जेड (ए) =

3. दूसरे खंड पर प्लॉटिंग 0 ≤ एक्स 2 ≤ बी

क्यू y = - आर बी = - ; मज़ू = आर बी ∙ एक्स 2 ; एक्स 2 = 0 मज़ू(0) = 0 एक्स 2 = बीमज़ू(बी) =

निर्माण करते समय मज़ू सकारात्मक निर्देशांक फैलाए गए तंतुओं की ओर प्लॉट किए जाएंगे।

भूखंडों की जाँच

1. आरेख पर क्यू yअसंतुलन केवल उन जगहों पर हो सकता है जहां बाहरी बल लागू होते हैं, और छलांग का परिमाण उनके परिमाण के अनुरूप होना चाहिए।

+ = = पी

2. आरेख पर मज़ूसंकेंद्रित आघूर्णों के अनुप्रयोग के बिन्दुओं पर असंततता उत्पन्न होती है और छलांग का परिमाण उनके परिमाण के बराबर होता है।

के बीच अंतर निर्भरताएम, क्यूऔरक्यू

झुकने के क्षण, अनुप्रस्थ बल और वितरित भार की तीव्रता के बीच, निम्नलिखित निर्भरताएँ स्थापित की जाती हैं:

क्यू =, क्यू y =

जहाँ q वितरित भार की तीव्रता है,

झुकने में बीम की ताकत की जाँच करना

झुकने में रॉड की ताकत का आकलन करने और बीम सेक्शन का चयन करने के लिए, सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थिति का उपयोग किया जाता है।

झुकने का क्षण खंड पर वितरित सामान्य आंतरिक बलों का परिणामी क्षण है।

एस = × आप,

जहां s क्रॉस सेक्शन के किसी भी बिंदु पर सामान्य तनाव है,

आपखंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से बिंदु तक की दूरी है,

मज़ू- खंड में अभिनय करने वाला क्षण झुकना,

जेज़ूछड़ की जड़ता का अक्षीय क्षण है।

ताकत सुनिश्चित करने के लिए, अधिकतम तनावों की गणना की जाती है जो उस खंड के बिंदुओं पर होते हैं जो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से सबसे दूर होते हैं आप = यमैक्स

एस अधिकतम = × यमैक्स,

= वज़ूऔर एस अधिकतम =।

फिर सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थिति का रूप है:

एस अधिकतम = ≤ [एस],

जहां [एस] स्वीकार्य तन्यता तनाव है।

सीधा मोड़- यह एक प्रकार की विकृति है जिसमें रॉड के क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: एक झुकने वाला क्षण और एक अनुप्रस्थ बल।

शुद्ध मोड़- यह प्रत्यक्ष झुकने का एक विशेष मामला है, जिसमें रॉड के क्रॉस सेक्शन में केवल झुकने वाला क्षण होता है, और अनुप्रस्थ बल शून्य होता है।

शुद्ध मोड़ उदाहरण - प्लॉट सीडीछड़ी पर अब. झुकने का पलमूल्य है देहातबाहरी बलों की जोड़ी झुकने का कारण बनती है। रॉड के हिस्से के संतुलन से क्रॉस सेक्शन के बाईं ओर एम.एन.यह इस प्रकार है कि इस खंड पर वितरित आंतरिक बल स्थिर रूप से क्षण के बराबर हैं एम, झुकने के क्षण के बराबर और विपरीत देहात.

क्रॉस सेक्शन पर इन आंतरिक बलों के वितरण को खोजने के लिए, बार के विरूपण पर विचार करना आवश्यक है।

सरलतम मामले में, रॉड में समरूपता का एक अनुदैर्ध्य विमान होता है और इस विमान में स्थित बलों के बाहरी झुकने वाले जोड़े की कार्रवाई के अधीन होता है। फिर मोड़ उसी तल में होगा।

रॉड अक्ष एनएन 1अपने क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों से गुजरने वाली एक रेखा है।

माना छड़ का अनुप्रस्थ काट एक आयत है। इसके फलकों पर दो लंबवत रेखाएँ खींचिए मिमीऔर पीपी. मुड़ने पर, ये रेखाएँ सीधी रहती हैं और घूमती हैं ताकि वे छड़ के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लंबवत रहें।

झुकने का एक और सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि न केवल रेखाएं मिमीऔर पीपी, लेकिन रॉड का पूरा फ्लैट क्रॉस सेक्शन झुकने के बाद सपाट रहता है और रॉड के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लिए सामान्य होता है। इसलिए, झुकते समय, क्रॉस सेक्शन मिमीऔर पीपीझुकने वाले विमान (ड्राइंग प्लेन) के लंबवत कुल्हाड़ियों के चारों ओर एक दूसरे के सापेक्ष घुमाएं। इस मामले में, उत्तल पक्ष पर अनुदैर्ध्य तंतु तनाव का अनुभव करते हैं, और अवतल पक्ष के तंतु संपीड़न का अनुभव करते हैं।

तटस्थ सतहएक सतह है जो झुकने के दौरान विरूपण का अनुभव नहीं करती है। (अब यह ड्राइंग के लंबवत स्थित है, रॉड की विकृत धुरी एनएन 1इस सतह के अंतर्गत आता है)।

तटस्थ अनुभागीय अक्ष- यह किसी भी क्रॉस सेक्शन के साथ किसी भी तटस्थ सतह का प्रतिच्छेदन है (अब यह भी ड्राइंग के लंबवत स्थित है)।

एक मनमाना फाइबर दूरी पर होने दें आपएक तटस्थ सतह से। ρ वक्र अक्ष की वक्रता त्रिज्या है। दूरसंचार विभाग हेवक्रता का केंद्र है। आइए एक रेखा खींचते हैं एन 1 एस 1समानांतर मिमी.एसएस 1फाइबर का पूर्ण बढ़ाव है।

सापेक्ष विस्तार एक्सफाइबर

यह इस प्रकार है कि अनुदैर्ध्य तंतुओं की विकृतिदूरी के समानुपाती आपतटस्थ सतह से और वक्रता की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती ρ .

छड़ के उत्तल पक्ष के तंतुओं का अनुदैर्ध्य बढ़ाव के साथ होता है पार्श्व कसना, और अवतल पक्ष का अनुदैर्ध्य छोटा - पार्श्व विस्तार, जैसा कि साधारण खिंचाव और संकुचन के मामले में होता है। इस वजह से, सभी क्रॉस सेक्शन की उपस्थिति बदल जाती है, आयत के ऊर्ध्वाधर पक्ष तिरछे हो जाते हैं। पार्श्व विकृति जेड:

μ - जहर के अनुपात।

इस विकृति के परिणामस्वरूप, अक्ष के समानांतर सभी सीधी क्रॉस-अनुभागीय रेखाएं जेड, मुड़े हुए हैं ताकि अनुभाग के किनारों पर सामान्य बने रहें। इस वक्र की वक्रता त्रिज्या आरसे अधिक होगा ρ उसी तरीके से ε x निरपेक्ष मान से अधिक है ε जेड, और हम प्राप्त करते हैं

अनुदैर्ध्य तंतुओं की ये विकृतियाँ तनावों के अनुरूप होती हैं

किसी भी फाइबर में वोल्टेज तटस्थ अक्ष से इसकी दूरी के समानुपाती होता है। एन 1 एन 2. तटस्थ अक्ष की स्थिति और वक्रता की त्रिज्या ρ समीकरण में दो अज्ञात हैं σ एक्स - इस शर्त से निर्धारित किया जा सकता है कि किसी भी क्रॉस सेक्शन पर वितरित बल बाहरी पल को संतुलित करने वाले बलों की एक जोड़ी बनाते हैं एम.

उपरोक्त सभी भी सत्य हैं यदि छड़ में समरूपता का अनुदैर्ध्य तल नहीं है जिसमें झुकने का क्षण कार्य करता है, जब तक कि झुकने का क्षण अक्षीय तल में कार्य करता है, जिसमें दो में से एक होता है मुख्य कुल्हाड़ियोंअनुप्रस्थ काट। इन विमानों को कहा जाता है मुख्य झुकने वाले विमान.

जब समरूपता का एक तल होता है और इस तल में झुकने का क्षण कार्य करता है, तो इसमें विक्षेपण होता है। अक्ष के बारे में आंतरिक बलों के क्षण जेडबाहरी क्षण को संतुलित करें एम. अक्ष के सापेक्ष प्रयास के क्षण आपपरस्पर नष्ट हो जाते हैं।

सीधे अनुप्रस्थ मोड़तब होता है जब सभी भार छड़ की धुरी पर लंबवत रूप से लगाए जाते हैं, एक ही तल में होते हैं, और, इसके अलावा, उनकी क्रिया का तल खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक के साथ मेल खाता है। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकना प्रतिरोध के एक सरल रूप को संदर्भित करता है और है समतल तनाव अवस्था, अर्थात। दो प्रमुख प्रतिबल शून्य से भिन्न हैं। इस प्रकार की विकृति के साथ, आंतरिक बल उत्पन्न होते हैं: अनुप्रस्थ बल और झुकने का क्षण। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ मोड़ का एक विशेष मामला है शुद्ध मोड़, इस तरह के प्रतिरोध के साथ कार्गो सेक्शन होते हैं, जिसके भीतर अनुप्रस्थ बल गायब हो जाता है, और झुकने का क्षण गैर-शून्य होता है। सीधे अनुप्रस्थ झुकने के साथ छड़ के क्रॉस सेक्शन में, सामान्य और कतरनी तनाव उत्पन्न होते हैं। तनाव आंतरिक बल का एक कार्य है, इस मामले में सामान्य तनाव झुकने वाले क्षण का एक कार्य है, और स्पर्शरेखा तनाव अनुप्रस्थ बल का एक कार्य है। प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के लिए, कई परिकल्पनाएँ पेश की जाती हैं:

1) बीम के क्रॉस सेक्शन, विरूपण से पहले फ्लैट, विरूपण के बाद तटस्थ परत के लिए फ्लैट और ऑर्थोगोनल रहते हैं (फ्लैट सेक्शन की परिकल्पना या जे। बर्नौली की परिकल्पना)।यह परिकल्पना शुद्ध झुकने के लिए है और जब एक कतरनी बल, कतरनी तनाव और कोणीय विरूपण प्रकट होता है तो इसका उल्लंघन होता है।

2) अनुदैर्ध्य परतों (फाइबर के गैर-दबाव के बारे में परिकल्पना) के बीच कोई पारस्परिक दबाव नहीं है।इस परिकल्पना से यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुदैर्ध्य तंतु एकअक्षीय तनाव या संपीड़न का अनुभव करते हैं, इसलिए, शुद्ध झुकने के साथ, हुक का नियम मान्य है।

झुकने वाली पट्टी को कहा जाता है खुशी से उछलना. झुकते समय, तंतुओं का एक भाग खिंच जाता है, दूसरा भाग संकुचित हो जाता है। खिंचे हुए और संकुचित रेशों के बीच रेशों की परत कहलाती है तटस्थ परत, यह वर्गों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। बीम के अनुप्रस्थ काट के साथ इसके प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है तटस्थ अक्ष. शुद्ध झुकने के लिए शुरू की गई परिकल्पना के आधार पर, सामान्य तनावों को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाता है, जिसका उपयोग प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के लिए भी किया जाता है। रैखिक संबंध (1) का उपयोग करके सामान्य तनाव पाया जा सकता है, जिसमें झुकने वाले क्षण का अनुपात जड़ता के अक्षीय क्षण से होता है (
) किसी विशेष खंड में एक स्थिर मान है, और दूरी ( आप) अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से उस बिंदु तक, जिस पर तनाव निर्धारित किया जाता है, कोटि अक्ष के साथ 0 से भिन्न होता है
.

. (1)

1856 में झुकने के दौरान अपरूपण प्रतिबल का निर्धारण करना। पुलों के रूसी इंजीनियर-निर्माता डी.आई. ज़ुराव्स्की ने निर्भरता प्राप्त की

. (2)

किसी विशेष खंड में कतरनी तनाव अनुप्रस्थ बल के अनुपात पर जड़ता के अक्षीय क्षण पर निर्भर नहीं करता है (
), क्योंकि यह मान एक खंड के भीतर नहीं बदलता है, लेकिन कट-ऑफ भाग के क्षेत्र के स्थिर क्षण के अनुपात पर कट-ऑफ भाग के स्तर पर अनुभाग की चौड़ाई पर निर्भर करता है (
).

प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने में, होते हैं आंदोलनों: विक्षेपण (वी ) और रोटेशन कोण (Θ ) . उन्हें निर्धारित करने के लिए, प्रारंभिक मापदंडों (3) की विधि के समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जो बीम के तुला अक्ष के अंतर समीकरण को एकीकृत करके प्राप्त किए जाते हैं (
).

यहां वी 0 , Θ 0 ,एम 0 , क्यू 0 - प्रारंभिक पैरामीटर, एक्स – निर्देशांक की उत्पत्ति से उस खंड तक की दूरी जिसमें विस्थापन को परिभाषित किया गया है , एनिर्देशांक की उत्पत्ति से आवेदन के स्थान या लोड की शुरुआत तक की दूरी है।

ताकत और कठोरता की गणना ताकत और कठोरता की स्थितियों का उपयोग करके की जाती है। इन शर्तों का उपयोग करके, कोई सत्यापन समस्याओं को हल कर सकता है (शर्त की पूर्ति का सत्यापन कर सकता है), क्रॉस सेक्शन का आकार निर्धारित कर सकता है, या लोड पैरामीटर के स्वीकार्य मान का चयन कर सकता है। ताकत की कई शर्तें हैं, उनमें से कुछ नीचे दी गई हैं। सामान्य तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, (4)

यहाँ
– जेड-अक्ष के सापेक्ष खंड मापांक, आर सामान्य तनाव के लिए डिजाइन प्रतिरोध है।

कतरनी तनाव के लिए ताकत की स्थितिकी तरह लगता है:

, (5)

यहाँ अंकन ज़ुरावस्की सूत्र के समान है, और आर एस - डिजाइन कतरनी प्रतिरोध या डिजाइन कतरनी तनाव प्रतिरोध।

तीसरी शक्ति परिकल्पना के अनुसार शक्ति की स्थितिया सबसे बड़े अपरूपण प्रतिबल की परिकल्पना को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

. (6)

कठोरता की स्थितिके लिए लिखा जा सकता है विक्षेपण (वी ) और घूर्णन कोण (Θ ) :

जहां वर्ग कोष्ठक में विस्थापन मान मान्य हैं।

व्यक्तिगत कार्य संख्या 4 . को पूरा करने का एक उदाहरण (अवधि 2-8 सप्ताह)

रॉड के क्रॉस सेक्शन में सीधे शुद्ध झुकने के साथ, केवल एक बल कारक होता है - झुकने का क्षण एम एक्स(चित्र .1)। जैसा क्यू वाई \u003d डीएम एक्स / डीजेड \u003d 0,तब एमएक्स= स्थिरांक और शुद्ध प्रत्यक्ष झुकने को तब महसूस किया जा सकता है जब बार के अंत खंडों में लगाए गए बलों के जोड़े के साथ बार लोड किया जाता है। झुकने के क्षण के बाद से एम एक्सपरिभाषा के अनुसार अक्ष के बारे में आंतरिक बलों के क्षणों के योग के बराबर है ओहयह इस परिभाषा से आने वाले स्टैटिक्स के समीकरण द्वारा सामान्य तनाव से जुड़ा है

आइए हम एक प्रिज्मीय छड़ के शुद्ध प्रत्यक्ष झुकने के सिद्धांत के परिसर को तैयार करें। ऐसा करने के लिए, हम एक कम-मापांक सामग्री से बने रॉड के एक मॉडल के विकृतियों का विश्लेषण करते हैं, जिसके किनारे की सतह पर अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ खरोंच का एक ग्रिड लगाया जाता है (चित्र 2)। चूंकि अनुप्रस्थ जोखिम, जब छड़ को अंत खंडों में लगाए गए बलों के जोड़े द्वारा मोड़ा जाता है, घुमावदार अनुदैर्ध्य जोखिमों के लिए सीधा और लंबवत रहता है, इससे हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है कि विमान खंड परिकल्पना,जो, जैसा कि लोच के सिद्धांत के तरीकों से इस समस्या के समाधान से पता चलता है, एक परिकल्पना बनना बंद हो जाता है, एक सटीक तथ्य बन जाता है - विमान वर्गों का कानून।अनुदैर्ध्य जोखिमों के बीच की दूरी में परिवर्तन को मापते हुए, हम अनुदैर्ध्य तंतुओं के गैर-दबाव की परिकल्पना की वैधता के बारे में निष्कर्ष पर आते हैं।

विरूपण से पहले और बाद में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ खरोंच की ऑर्थोगोनैलिटी (फ्लैट सेक्शन के कानून की कार्रवाई के प्रतिबिंब के रूप में) भी शिफ्ट की अनुपस्थिति को इंगित करती है, रॉड के अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य वर्गों में कतरनी तनाव।

चित्र .1।आंतरिक प्रयास और तनाव के बीच संबंध

रेखा चित्र नम्बर 2।शुद्ध झुकने वाला मॉडल

इस प्रकार, एक प्रिज्मीय छड़ का शुद्ध सीधा झुकना एक अक्षीय तनाव या तनाव द्वारा अनुदैर्ध्य तंतुओं के संपीड़न में कम हो जाता है (सूचकांक जीबाद में छोड़ दिया गया)। इस मामले में, तंतुओं का हिस्सा तनाव क्षेत्र में है (चित्र 2 में, ये निचले तंतु हैं), और दूसरा भाग संपीड़न क्षेत्र (ऊपरी फाइबर) में है। इन क्षेत्रों को एक तटस्थ परत द्वारा अलग किया जाता है (पी-पी),इसकी लंबाई नहीं बदल रहा है, जिसमें तनाव शून्य के बराबर है। ऊपर तैयार की गई पूर्वापेक्षाओं को ध्यान में रखते हुए और यह मानते हुए कि छड़ की सामग्री रैखिक रूप से लोचदार है, अर्थात इस मामले में हुक के नियम का रूप है: , हम तटस्थ परत (वक्रता की त्रिज्या) और सामान्य तनाव की वक्रता के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। हम पहले ध्यान दें कि प्रिज्मीय रॉड के क्रॉस सेक्शन की स्थिरता और झुकने का क्षण (एम एक्स = स्थिरांक),रॉड की लंबाई के साथ तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या की स्थिरता सुनिश्चित करता है (चित्र 3, ए), तटस्थ परत (एन-एन)एक वृत्त के चाप द्वारा वर्णित।

सीधे शुद्ध झुकने की शर्तों के तहत एक प्रिज्मीय रॉड पर विचार करें (चित्र 3, ए) ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में सममित क्रॉस सेक्शन के साथ ओ.यू.यह स्थिति अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करेगी (एक सीधा मोड़ संभव होने के लिए, अक्ष का संयोग ओह के साथक्रॉस सेक्शन की जड़ता की मुख्य धुरी, जो समरूपता की धुरी है)। एक्सिस बैलतटस्थ परत पर रखें, स्थिति किसकोपहले से ज्ञात नहीं।

ए) गणना योजना, बी) तनाव और तनाव

चित्र 3.बीम के शुद्ध मोड़ का टुकड़ा

लंबाई के साथ एक छड़ से काटे गए तत्व पर विचार करें dz, जो कि अंजीर में स्पष्टता के हितों में विकृत अनुपात के साथ पैमाने पर दिखाया गया है। 3, बी. चूंकि तत्व के विरूपण, उसके बिंदुओं के सापेक्ष विस्थापन द्वारा निर्धारित, रुचि के हैं, तत्व के अंतिम वर्गों में से एक को निश्चित माना जा सकता है। छोटेपन को देखते हुए, हम मानते हैं कि क्रॉस सेक्शन के बिंदु, जब इस कोण से घूमते हैं, तो चापों के साथ नहीं, बल्कि संबंधित स्पर्शरेखाओं के साथ चलते हैं।

आइए हम अनुदैर्ध्य फाइबर के सापेक्ष विरूपण की गणना करें एबी,द्वारा तटस्थ परत से अलग किया गया पर:

त्रिभुजों की समानता से C00 1और 0 1 बीबी 1उसका अनुसरण करता है

अनुदैर्ध्य विरूपण तटस्थ परत से दूरी का एक रैखिक कार्य निकला, जो विमान वर्गों के कानून का प्रत्यक्ष परिणाम है।

यह सूत्र व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसमें दो अज्ञात शामिल हैं: तटस्थ परत की वक्रता और तटस्थ अक्ष की स्थिति ओह, जिसमें से निर्देशांक गिना जाता है वाईइन अज्ञातों को निर्धारित करने के लिए, हम स्टैटिक्स के संतुलन समीकरणों का उपयोग करते हैं। पहला इस आवश्यकता को व्यक्त करता है कि अनुदैर्ध्य बल शून्य के बराबर हो

व्यंजक (2) को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करना

और इसे ध्यान में रखते हुए, हमें वह मिलता है

इस समीकरण के बाईं ओर समाकलन तटस्थ अक्ष के बारे में रॉड क्रॉस सेक्शन का स्थिर क्षण है ओह,जो केवल केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष शून्य के बराबर हो सकता है। इसलिए, तटस्थ अक्ष ओहक्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है।

दूसरा स्थिर संतुलन समीकरण यह है कि सामान्य तनाव को झुकने वाले क्षण से संबंधित किया जाता है (जिसे आसानी से बाहरी ताकतों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और इसलिए इसे दिया गया मान माना जाता है)। बंडल समीकरण में के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करना। वोल्टेज, हमें मिलता है:

और दिया कि कहाँ पे जे एक्सधुरी के बारे में जड़ता का मुख्य केंद्रीय क्षण है ओह,तटस्थ परत की वक्रता के लिए, हम सूत्र प्राप्त करते हैं

चित्र 4.सामान्य तनाव वितरण

जिसे सबसे पहले 1773 में एस. कूलम्ब ने प्राप्त किया था। झुकने के क्षण के संकेतों का मिलान करने के लिए एम एक्सऔर सामान्य तनाव, सूत्र (5) के दाईं ओर ऋण चिह्न लगाया जाता है, क्योंकि at एम एक्स> 0सामान्य तनाव आप> 0 सिकुड़ा हुआ निकला। हालांकि, व्यावहारिक गणनाओं में यह अधिक सुविधाजनक है, संकेतों के औपचारिक नियम का पालन किए बिना, तनाव मोडुलो को निर्धारित करने के लिए, और अर्थ के अनुसार संकेत डालें। प्रिज्मीय बार के शुद्ध झुकने में सामान्य तनाव निर्देशांक का एक रैखिक कार्य है परऔर तटस्थ अक्ष (चित्र 4) से सबसे दूर के तंतुओं में उच्चतम मूल्यों तक पहुँचते हैं, अर्थात।

यहाँ एक ज्यामितीय विशेषता का परिचय दिया गया है, जिसका आयाम m3 है और इसे कहा जाता है झुकने में प्रतिरोध का क्षण।चूंकि किसी दिए गए के लिए एम एक्सवोल्टेज अधिकतम?जितना कम उतना अधिक डब्ल्यू एक्स,प्रतिरोध का क्षण है क्रॉस-सेक्शनल झुकने की ताकत की ज्यामितीय विशेषता।आइए हम क्रॉस सेक्शन के सरलतम रूपों के लिए प्रतिरोध के क्षणों की गणना के उदाहरण दें। एक आयताकार क्रॉस सेक्शन के लिए (चित्र 5, ए) अपने पास जे एक्स \u003d बीएच 3 / 12, वाई मैक्स = एच/2और डब्ल्यू एक्स = जे एक्स / वाई अधिकतम = भ 2/6.इसी प्रकार एक वृत्त के लिए (चित्र 5 .) ,ए जे एक्स =d4 /64, यमैक्स = डी/2) हम पाते हैं डब्ल्यू एक्स =डी3/32, वृत्ताकार वलयाकार खंड के लिए (चित्र 5, में),कौन-सा