एक सूत्र द्वारा लंबवत फेंके गए पिंड की गति। शरीरों का मुक्त गिरना

आप जानते हैं कि जब कोई पिंड पृथ्वी पर गिरता है तो उसकी गति बढ़ जाती है। लंबे समय से यह माना जाता था कि पृथ्वी अलग-अलग पिंडों को अलग-अलग त्वरण प्रदान करती है। सरल अवलोकन इसकी पुष्टि करते प्रतीत होते हैं।

लेकिन केवल गैलीलियो ही अनुभवजन्य रूप से यह साबित करने में कामयाब रहे कि वास्तव में ऐसा नहीं है। वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह वह है जो पिंडों के मुक्त पतन की तस्वीर को विकृत करता है, जिसे पृथ्वी के वायुमंडल की अनुपस्थिति में देखा जा सकता है। किंवदंती के अनुसार, गैलीलियो ने अपनी धारणा का परीक्षण करने के लिए, पीसा के प्रसिद्ध लीनिंग टॉवर से विभिन्न निकायों (तोप का गोला, मस्कट बॉल, आदि) के गिरने का अवलोकन किया। ये सभी पिंड लगभग एक साथ पृथ्वी की सतह पर पहुंचे।

तथाकथित न्यूटन ट्यूब के साथ प्रयोग विशेष रूप से सरल और आश्वस्त करने वाला है। विभिन्न वस्तुओं को एक कांच की ट्यूब में रखा जाता है: छर्रों, कॉर्क के टुकड़े, फुलाना, आदि। अगर हम अब ट्यूब को पलट दें ताकि ये वस्तुएं गिर सकें, तो गोली सबसे तेजी से चमकेगी, उसके बाद कॉर्क के टुकड़े, और, अंत में, फुलाना आसानी से गिर जाएगा (चित्र 1 ए)। लेकिन अगर आप ट्यूब से हवा पंप करते हैं, तो सब कुछ पूरी तरह से अलग तरीके से होगा: फुल गिर जाएगा, गोली और कॉर्क (छवि 1, बी) को ध्यान में रखते हुए। इसका मतलब यह है कि इसके आंदोलन में वायु प्रतिरोध में देरी हुई, जिसने कुछ हद तक आंदोलन को प्रभावित किया, उदाहरण के लिए, ट्रैफिक जाम। जब इन पिंडों पर केवल पृथ्वी के प्रति आकर्षण कार्य करता है, तो वे सभी समान त्वरण से गिरते हैं।

चावल। एक

• फ्री फॉल केवल पृथ्वी के आकर्षण के प्रभाव में शरीर की गति है(हवा प्रतिरोध के बिना)।

ग्लोब द्वारा सभी पिंडों को दिया गया त्वरण कहलाता है मुक्त गिरावट त्वरण. हम इसके मॉड्यूल को पत्र द्वारा निरूपित करेंगे जी. फ्री फॉल जरूरी नहीं कि डाउनवर्ड मूवमेंट का प्रतिनिधित्व करता हो। यदि प्रारंभिक वेग को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, तो स्वतंत्र रूप से गिरने वाला पिंड अपनी गति को कम करते हुए कुछ समय के लिए ऊपर की ओर उड़ेगा, और उसके बाद ही वह नीचे की ओर गिरना शुरू करेगा।

लंबवत शरीर आंदोलन

• अक्ष पर गति के प्रक्षेपण के लिए समीकरण 0यू: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,$

अक्ष के अनुदिश गति का समीकरण 0यू: $y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y )^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y)) ,$

कहाँ पे आप 0 - शरीर का प्रारंभिक समन्वय; मैं आप- अक्ष 0 . पर अंतिम गति का प्रक्षेपण यू; υ 0 आप- अक्ष 0 . पर प्रारंभिक गति का प्रक्षेपण यू; टी- वह समय जिसके दौरान गति में परिवर्तन होता है; जी आप- अक्ष 0 . पर मुक्त गिरावट त्वरण का प्रक्षेपण यू.

• यदि अक्ष 0 यूऊपर की ओर इंगित करें (चित्र 2), तब जी आप = –जी, और समीकरण रूप लेते हैं

$\begin(array)(c) (\ upsilon _(y) =\upsilon _(0y) -g\cdot t,) \\ (\, y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t-\dfrac(g\cdot t^(2) )(2) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g ) ।) \end(सरणी)$

चावल। 2 छिपा हुआ डेटा जब शरीर नीचे चला जाता है

• "बॉडी फॉल्स" या "बॉडी फॉल" - 0 पर = 0.

भूतल, तब:

• शरीर जमीन पर गिर गया एच = 0.

शरीर को ऊपर ले जाने पर

• "शरीर अपनी अधिकतम ऊंचाई पर पहुंच गया है" - पर = 0.

अगर हम मूल के रूप में लेते हैं भूतल, तब:

• शरीर जमीन पर गिर गया एच = 0;

• "शरीर को जमीन से फेंका गया" - एच 0 = 0.

• उठने का समयअधिकतम ऊंचाई तक शरीर टीइस ऊंचाई से शुरुआती बिंदु तक गिरने के समय के बराबर टीगिरावट, और कुल उड़ान समय टी = 2टीनीचे।

• किसी पिंड की अधिकतम उठाने की ऊँचाई शून्य ऊँचाई से ऊपर की ओर फेंकी जाती है (अधिकतम ऊँचाई . पर) आप = 0)

$h_(\max ) =\dfrac(\upsilon _(x)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(-2g) =\dfrac(\upsilon _(0y)^(2) )(2जी)।$

क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की गति

क्षितिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति का एक विशेष मामला क्षैतिज रूप से फेंके गए पिंड की गति है। प्रक्षेपवक्र एक परवलय है जिसमें फेंकने के बिंदु पर एक शीर्ष होता है (चित्र 3)।

चावल। 3

इस आंदोलन को दो में विघटित किया जा सकता है:

1) वर्दीगति क्षैतिजगति के साथ 0 एक्स (एक एक्स = 0)

• वेग प्रक्षेपण समीकरण: $\upsilon _(x) =\upsilon _(0x) =\upsilon _(0) $;
• गति का समीकरण: $x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t$;

2) समान रूप से त्वरितगति खड़ीत्वरण के साथ जीऔर प्रारंभिक गति 0 पर = 0.

अक्ष के साथ गति का वर्णन करने के लिए 0 यूसमान रूप से त्वरित ऊर्ध्वाधर गति के सूत्र लागू होते हैं:

• वेग प्रक्षेपण समीकरण: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t$;

• गति का समीकरण: $y=y_(0) +\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g_( वाई)) $।

• यदि अक्ष 0 यूफिर इंगित करें जी आप = –जी, और समीकरण रूप लेते हैं:

$\begin(array)(c) (\upsilon _(y) =-g\cdot t,\, ) \\ (y=y_(0) -\dfrac(g\cdot t^(2) )(2 ) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g) ।) \end(array)$

• उड़ान की सीमासूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: $l=\upsilon _(0) \cdot t_(nad) ।$

• किसी भी समय शरीर की गति टीके बराबर होगा (चित्र 4):

$\upsilon =\sqrt(\upsilon _(x)^(2) +\upsilon _(y)^(2) ,$

जहां वी एक्स = υ 0 एक्स , υ आप = जी आप टीया एक्स= cosα, आप= sinα।

चावल। 4

फ्री फॉल की समस्याओं को हल करते समय

1. संदर्भ निकाय का चयन करें, शरीर की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति निर्दिष्ट करें, कुल्हाड़ियों की दिशा का चयन करें 0 यूऔर 0 एक्स.

2. एक पिंड बनाएं, प्रारंभिक वेग की दिशा (यदि यह शून्य के बराबर है, तो तात्कालिक वेग की दिशा) और मुक्त गिरावट त्वरण की दिशा को इंगित करें।

3. प्रक्षेपणों में प्रारंभिक समीकरणों को 0 अक्ष पर लिखिए यू(और, यदि आवश्यक हो, अक्ष पर 0 एक्स)

$\begin(array)(c) (0Y:\; \; \; \; \; \ upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,\; \; \; (1)) \\ () \\ (y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y) ) ,\; \; \; \; (2)) \\ () \ \ (0X:\; \; \; \; \; \ upsilon _(x) =\upsilon _(0x) +g_(x) \cdot t,\; \; \; (3)) \\ () \\ (x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t+\dfrac(g_(x) \cdot t^(2) )(2) .\; \; \; (4)) \end (सरणी)$

4. प्रत्येक मात्रा के अनुमानों का मान ज्ञात कीजिए

एक्स 0 = …, υ एक्स = …, υ 0 एक्स = …, जी एक्स = …, आप 0 = …, υ आप = …, υ 0 आप = …, जी आप = ….

टिप्पणी. यदि अक्ष 0 एक्सक्षैतिज रूप से निर्देशित, फिर जी एक्स = 0.

5. प्राप्त मानों को समीकरणों (1) - (4) में रखें।

6. परिणामी समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

टिप्पणी. जैसे-जैसे इस तरह की समस्याओं को हल करने का कौशल विकसित होता है, बिंदु 4 को बिना नोटबुक में लिखे दिमाग में किया जा सकता है।

प्रशन।

1. क्या किसी पिंड के ऊपर उठने के दौरान गुरुत्वाकर्षण उस पर कार्य करता है?

गुरुत्वाकर्षण बल सभी पिंडों पर कार्य करता है, चाहे वह ऊपर फेंका गया हो या आराम पर।

2. घर्षण के अभाव में ऊपर की ओर फेंका गया पिंड किस त्वरण से गति करता है? इस मामले में शरीर की गति कैसे बदलती है?

3. जब हवा के प्रतिरोध की उपेक्षा की जा सकती है तो मामले में फेंके गए शरीर की अधिकतम उठाने की ऊंचाई क्या निर्धारित करती है?

उठाने की ऊंचाई प्रारंभिक गति पर निर्भर करती है। (गणना के लिए पिछला प्रश्न देखें)।

4. इस पिंड के ऊपर की ओर मुक्त गति के दौरान पिंड के तात्कालिक वेग के सदिशों के प्रक्षेपणों और मुक्त पतन के त्वरण के बारे में क्या कहा जा सकता है?

जब शरीर स्वतंत्र रूप से ऊपर की ओर बढ़ता है, तो वेग और त्वरण वैक्टर के अनुमानों के संकेत विपरीत होते हैं।

5. चित्र 30 में दिखाए गए प्रयोग कैसे किए गए, और उनसे क्या निष्कर्ष निकलता है?

प्रयोगों के विवरण के लिए, पृष्ठ 58-59 देखें। निष्कर्ष: यदि केवल गुरुत्वाकर्षण शरीर पर कार्य करता है, तो इसका भार शून्य होता है, अर्थात। यह भारहीनता की स्थिति में है।

व्यायाम।

1. एक टेनिस गेंद को 9.8 मीटर/सेकेंड के प्रारंभिक वेग से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। गेंद को शून्य गति तक पहुंचने में कितना समय लगेगा? इस स्थिति में गेंद थ्रो के स्थान से कितनी गति करेगी?

लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति

मैं स्तर। टेक्स्ट को पढ़ें

यदि कोई निश्चित पिंड स्वतंत्र रूप से पृथ्वी पर गिरता है, तो यह समान रूप से त्वरित गति करेगा, और गति में लगातार वृद्धि होगी, क्योंकि वेग वेक्टर और मुक्त गिरावट त्वरण वेक्टर एक दूसरे के साथ सह-निर्देशित होंगे।

यदि हम किसी पिंड को लंबवत ऊपर की ओर उछालते हैं, और साथ ही यह मान लेते हैं कि कोई वायु प्रतिरोध नहीं है, तो हम मान सकते हैं कि यह फ्री फॉल एक्सेलेरेशन के साथ समान रूप से त्वरित गति करता है, जो गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है। केवल इस मामले में, फेंक के दौरान हमने शरीर को जो गति दी थी, वह ऊपर की ओर निर्देशित होगी, और मुक्त गिरावट का त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होगा, अर्थात वे एक दूसरे के विपरीत दिशा में निर्देशित होंगे। इसलिए, गति धीरे-धीरे कम हो जाएगी।

कुछ समय बाद वह क्षण आएगा जब गति शून्य के बराबर होगी। इस बिंदु पर, शरीर अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा और एक पल के लिए रुक जाएगा। यह स्पष्ट है कि हम शरीर को जितनी अधिक प्रारंभिक गति देते हैं, उतनी ही अधिक ऊँचाई तक वह रुकता है।

समान रूप से त्वरित गति के सभी सूत्र ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति पर लागू होते हैं। V0 हमेशा > 0

लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति निरंतर त्वरण के साथ एक सीधी गति है। यदि आप पृथ्वी की सतह के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति को संरेखित करते हुए ओए समन्वय अक्ष को लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित करते हैं, तो प्रारंभिक वेग के बिना मुक्त गिरावट का विश्लेषण करने के लिए, आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं https://pandia.ru/text/78/086/images /image002_13.gif" width="151 "height="57 src=">

पृथ्वी की सतह के पास, वायुमंडल के ध्यान देने योग्य प्रभाव के अभाव में, एक रेखीय नियम के अनुसार समय के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए पिंड की गति में परिवर्तन होता है: https://pandia.ru/text/78/086/images /image004_7.gif" चौड़ाई = "55" ऊंचाई = "28">।

एक निश्चित ऊँचाई h पर किसी पिंड की गति सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है:

https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">

कुछ समय के लिए शरीर की ऊंचाई, अंतिम गति जानने के लिए

https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">

द्वितीयमैंस्तर। समस्याओं का समाधान। 9 बी के लिए 9a समस्या पुस्तक से हल करता है!

1. एक गेंद को 18 m/s की चाल से उर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। वह 3 सेकंड में क्या हरकत करेगा?

2. एक धनुष से ऊपर की ओर 25 मीटर/सेकेंड की गति से एक तीर 2 सेकंड के बाद लक्ष्य को हिट करता है। लक्ष्य से टकराते समय तीर की गति क्या थी?

3. स्प्रिंग पिस्टल से एक गेंद को लंबवत ऊपर की ओर फेंका गया, जो 4.9 मीटर की ऊंचाई तक पहुंच गई। गेंद किस गति से पिस्तौल से बाहर निकली?

4. लड़के ने गेंद को लंबवत ऊपर की ओर फेंका और 2 सेकेंड के बाद उसे पकड़ लिया। गेंद की ऊंचाई क्या है और इसकी प्रारंभिक गति क्या है?

5. शरीर को किस प्रारंभिक गति से उर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाना चाहिए ताकि 10 सेकंड के बाद यह 20 मीटर/सेकेंड की गति से नीचे की ओर बढ़े?

6. "हम्प्टी डम्प्टी एक दीवार (20 मीटर ऊंची) पर बैठी थी,

हम्प्टी डम्प्टी नींद में गिर गया।

क्या आपको सभी शाही घुड़सवार सेना, सभी शाही सेना की आवश्यकता है,

हम्प्टी को, हम्प्टी को, हम्प्टी को डम्प्टी को,

डम्प्टी-हम्प्टी कलेक्ट "

(यदि यह केवल 23 मीटर/सेकेंड पर दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है?)

तो क्या सभी शाही घुड़सवारों की जरूरत है?

7. अब कृपाणों की गड़गड़ाहट, स्पर्स, सुल्तान,
और चैंबर जंकर काफ्तान
पैटर्न वाले - मोहक सुंदरियां,
क्या यह प्रलोभन नहीं था
जब गार्ड से, अन्य कोर्ट से
यहाँ समय पर आया!
महिलाएं चिल्लाईं: हुर्रे!
और उन्होंने टोपियां हवा में फेंक दीं।

"बुद्धि से हाय"।

लड़की एकातेरिना ने अपना बोनट 10 मीटर/सेकेंड की गति से ऊपर फेंका। वहीं वह दूसरी मंजिल (5 मीटर की ऊंचाई पर) की बालकनी पर खड़ी थी। अगर टोपी बहादुर हुसार निकिता पेत्रोविच (स्वाभाविक रूप से सड़क पर बालकनी के नीचे खड़ी) के पैरों के नीचे गिरती है तो वह कितनी देर तक उड़ान में रहेगी।

1588. फ्री फॉल के त्वरण का निर्धारण कैसे करें, इसके निपटान में एक स्टॉपवॉच, एक स्टील की गेंद और 3 मीटर तक का पैमाना है?

1589. शाफ्ट की गहराई क्या है यदि इसमें स्वतंत्र रूप से गिरने वाला पत्थर गिरने के शुरू होने के बाद नीचे 2 एस तक पहुंच जाता है।

1590. ओस्टैंकिनो टेलीविजन टॉवर की ऊंचाई 532 मीटर है। एक ईंट को उसके उच्चतम बिंदु से गिरा दिया गया था। उसे जमीन पर उतरने में कितना समय लगेगा? वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाती है।

1591. स्पैरो हिल्स पर मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी की इमारत की ऊंचाई 240 मीटर है। इसके शिखर के ऊपरी हिस्से से सामना करने का एक टुकड़ा निकल आया है और स्वतंत्र रूप से नीचे गिर गया है। धरातल पर पहुंचने में कितना समय लगेगा? वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की जाती है।

1592. एक पत्थर चट्टान से स्वतंत्र रूप से गिरता है। पतझड़ के आरंभ से आठवें सेकंड में यह कितनी दूरी तय करेगी?

1593. 122.5 मीटर ऊंची इमारत की छत से एक ईंट स्वतंत्र रूप से गिरती है। ईंट गिरने के अंतिम सेकंड में कितनी दूरी तय करेगी?

1594. कुएं की गहराई का निर्धारण करें यदि उसमें गिरा हुआ पत्थर 1 सेकंड के बाद कुएं के तल को छू जाए।

1595. एक पेंसिल 80 सेमी ऊँची मेज से फर्श पर गिरती है। गिरने का समय निर्धारित करें।

1596. एक पिंड 30 मीटर की ऊंचाई से गिरता है। गिरने के अंतिम सेकंड के दौरान वह कितनी दूरी तय करता है?

1597. दो शरीर अलग-अलग ऊंचाई से गिरते हैं लेकिन एक ही समय में जमीन पर पहुंचते हैं; इस मामले में, पहला शरीर 1 s के लिए गिरता है, और दूसरा - 2 s के लिए। जब पहला शरीर गिरा तो दूसरा शरीर जमीन से कितनी दूर था?

1598. सिद्ध करें कि जिस समय के दौरान एक पिंड लंबवत ऊपर की ओर अपनी अधिकतम ऊंचाई h तक पहुंचता है, उस समय के बराबर होता है जिसके दौरान शरीर इस ऊंचाई से गिरता है।

1599. एक पिंड प्रारंभिक वेग से लंबवत नीचे की ओर गति करता है। शरीर के इस तरह के आंदोलन में विघटित होने वाली सबसे सरल गतियां क्या हैं? इस गति के लिए तय की गई गति और दूरी के सूत्र लिखिए।

1600. एक पिंड को 40 मीटर/सेकेंड की गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। गणना करें कि आंदोलन की शुरुआत से गिनती करते हुए, 2 एस, 6 एस, 8 एस और 9 एस के बाद शरीर कितनी ऊंचाई पर होगा। उत्तर स्पष्ट करें। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, g को 10 m/s2 के बराबर लें।

1601. किसी पिंड को किस गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाना चाहिए ताकि वह 10 सेकंड में वापस आ जाए?

1602. 40 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ एक तीर लंबवत ऊपर की ओर लॉन्च किया जाता है। यह कितने सेकंड में वापस जमीन पर गिरेगा? गणनाओं को सरल बनाने के लिए, g को 10 m/s2 के बराबर लें।

1603. एक गुब्बारा 4 m/s की एकसमान दर से लंबवत ऊपर उठता है। एक रस्सी से एक भार लटका हुआ है। 217 मीटर की ऊंचाई पर रस्सी टूट जाती है। वजन को जमीन से टकराने में कितने सेकंड लगेंगे? g को 10 m/s2 के बराबर लें।

1604. एक पत्थर को 30 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। पहले पत्थर की गति शुरू होने के 3 सेकंड बाद, दूसरा पत्थर भी 45 मीटर/सेकेंड की प्रारंभिक गति से ऊपर की ओर फेंका गया। पत्थर किस ऊंचाई पर मिलेंगे? g = 10 m/s2 लें। वायु प्रतिरोध पर ध्यान न दें।

1605. एक साइकिल चालक 100 मीटर लंबी ढलान पर चढ़ता है। चढ़ाई की शुरुआत में गति 18 किमी / घंटा है, और अंत में 3 मीटर / सेकंड है। यह मानते हुए कि गति समान रूप से धीमी है, निर्धारित करें कि वृद्धि कितनी देर तक चली।

1606। स्लेज 0.8 m/s2 के त्वरण के साथ एकसमान त्वरण के साथ पहाड़ से नीचे की ओर खिसकते हैं। पहाड़ की लंबाई 40 मीटर है। पहाड़ से लुढ़कने के बाद, स्लेज समान रूप से चलती रहती है और 8 सेकंड के बाद रुक जाती है।