Stabilité des tiges comprimées contrainte critique formule d'Euler. Formule d'Euler pour la force critique

Conférence 7

STABILITÉ DES BAGUETTES COMPRIMÉES

Le concept de la stabilité d'une tige comprimée. Formule d'Euler. La dépendance de la force critique sur la méthode de fixation de la tige. Limites d'applicabilité de la formule d'Euler. Formule de Yasinsky. Calcul de durabilité.

Le concept de la stabilité d'une tige comprimée

Considérons une tige à axe rectiligne chargée d'un effort de compression longitudinal F. En fonction de l'intensité de l'effort et des paramètres de la tige (matériau, longueur, forme et dimensions de la section), sa forme d'équilibre rectiligne peut être stable ou instable.

Pour déterminer le type d'équilibre de la tige, agissons dessus avec une petite charge transversale Q. En conséquence, la tige se déplacera vers une nouvelle position d'équilibre avec un axe courbe. Si, après la fin de la charge transversale, la tige revient à sa position d'origine (rectiligne), alors la forme d'équilibre rectiligne est stable (Fig. 7.1a). Dans le cas où, après la fin de l'action de la force transversale Q, la tige ne revient pas à sa position d'origine, la forme rectiligne d'équilibre est instable (Figure 7.1b).

Ainsi, la stabilité est la capacité de la tige, après un certain écart par rapport à sa position d'origine sous l'action d'une charge perturbatrice, à revenir spontanément à sa position d'origine lorsque cette charge est terminée. La plus petite force de compression longitudinale à laquelle la forme d'équilibre rectiligne de la tige devient instable est appelée force critique.

Le schéma de fonctionnement considéré de la tige comprimée centrale est théorique. En pratique, la force de compression peut agir avec une certaine excentricité, et la tige peut avoir une courbure initiale (bien que petite). Par conséquent, dès le début du chargement longitudinal de la tige, sa flexion est observée. La recherche montre que tant que la force de compression est inférieure à la force critique, les déviations de la barre seront faibles. Lorsque la force s'approche de la valeur critique, les déviations commencent à augmenter indéfiniment. Ce critère (une augmentation illimitée des flèches avec une augmentation limitée de l'effort de compression) est pris comme critère de flambement.

La perte de stabilité de l'équilibre élastique se produit non seulement lors de la compression de la tige, mais également lors de sa torsion, de sa flexion et de déformations plus complexes.

Formule d'Euler

Considérons une tige à axe droit, fixée au moyen de deux supports articulés (Fig. 7.2). Supposons que la force de compression longitudinale agissant sur la tige ait atteint une valeur critique et que la tige soit pliée dans le plan de moindre rigidité. Le plan de moindre rigidité est situé perpendiculairement à cet axe central principal de la section, par rapport auquel le moment d'inertie axial de la section a une valeur minimale.

(7.1)

où M est le moment de flexion ; I min est le moment d'inertie minimum de la section.

De la fig. 7.2 trouver le moment fléchissant

(7.2)

Sur la fig. 7.2 le moment de flexion dû à l'action de la force critique est positif et la déflexion est négative. Afin de s'accorder sur les signes acceptés, un signe moins est mis en dépendance (7.2).

En remplaçant (7.2) dans (7.1), pour déterminer la fonction de déflexion, on obtient l'équation différentielle

(7.3)

(7.4)

D'après le cours des mathématiques supérieures, on sait que la solution de l'équation (7.3) a la forme

où A, B sont des constantes d'intégration.

Pour déterminer les constantes d'intégration dans (7.5), on utilise les conditions aux limites

Pour une tige pliée, les coefficients A et B ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps (sinon la tige ne sera pas pliée). C'est pourquoi

En mettant en équation (7.6) et (7.4), on trouve

(7.7)

La plus petite valeur non nulle de la force critique est d'une importance pratique. Donc, en substituant n=1 dans (7.7), on a finalement

(7.8)

La dépendance (7.8) est appelée la formule d'Euler.

Dépendance à la force critique

de la méthode de fixation de la tige

La formule (7.8) a été obtenue pour le cas d'une tige fixée au moyen de deux supports articulés situés sur ses bords. Pour les autres méthodes de fixation de la tige, la formule d'Euler généralisée est utilisée pour déterminer la force critique

(7.9)

où μ est le facteur de réduction de longueur, compte tenu du mode de fixation de la tige.

Les modes de fixation les plus courants de la tige et les coefficients de réduction de longueur correspondants sont indiqués à la fig. 7.3.

Limites d'applicabilité de la formule d'Euler. La formule de Yasinsky

P Lors de la dérivation de la formule d'Euler, la condition a été utilisée que la loi de Hooke soit satisfaite au moment de la perte de stabilité. La contrainte dans la tige au moment du flambement est égale à

où
- flexibilité de la tige ; A est la section transversale de la tige.

Au moment de la perte de stabilité, la loi de Hooke sera satisfaite sous la condition

où σpc est la limite de proportionnalité du matériau de la tige ;
- la première souplesse ultime de la canne. Pour l'acier St3 λ pr1 = 100.

Ainsi, la formule d'Euler est valide lorsque la condition (7.10) est satisfaite.

Si la flexibilité de la tige est dans l'intervalle
alors la tige perdra sa stabilité dans le domaine des déformations élasto-plastiques et la formule d'Euler ne pourra pas être utilisée. Dans ce cas, la force critique est déterminée par la formule expérimentale de Yasinsky

où a, b sont des coefficients expérimentaux. Pour l'acier St3 a = 310 MPa, b = 1,14 MPa.

La deuxième flexibilité ultime de la tige est déterminée par la formule

où σ t est la limite d'élasticité du matériau de la tige. Pour l'acier St3 λ pr2 = 60.

Lorsque la condition λ ≤ λ pr2 est remplie, la contrainte critique (selon Yasinsky) dépassera la limite d'élasticité du matériau de la tige. Par conséquent, dans ce cas, pour déterminer la force critique, la relation est utilisée

(7.12)

À à titre d'exemple sur la Fig. 7.4 montre la dépendance de la contrainte critique sur la flexibilité de la tige pour l'acier St3.

Calcul de durabilité

L'analyse de stabilité est effectuée à l'aide de la condition de stabilité

(7.13)

Contrainte admissible lors du calcul de la stabilité ;

- facteur de stabilité.

La contrainte admissible dans le calcul de la stabilité est basée sur la contrainte admissible dans le calcul de la compression

(7.14)

où φ est le coefficient de flambement (ou réduction de la contrainte principale admissible). Ce coefficient varie entre 0 ≤ φ ≤ 1.

Considérant que pour les matières plastiques

les formules (7.13) et (7.14) impliquent

(7.15)

Les valeurs du coefficient de flambement en fonction du matériau et de la souplesse du jonc sont données dans la littérature de référence.

Le plus intéressant est le calcul de conception à partir de la condition de stabilité. Avec ce type de calcul, on connaît : le schéma de calcul (coefficient μ), l'effort de compression externe F, le matériau (contrainte admissible [σ]) et la longueur l de la tige, la forme de sa section transversale. Il est nécessaire de déterminer les dimensions de la section transversale.

La difficulté réside dans le fait qu'on ne sait pas par quelle formule déterminer la contrainte critique, car sans dimensions de section, il est impossible de déterminer la flexibilité de la barre. Par conséquent, le calcul est effectué par la méthode des approximations successives :

1) Nous acceptons la valeur initiale = 0,5. Déterminer l'aire de la section transversale

2) Par zone, nous trouvons les dimensions de la section transversale.

3) En utilisant les dimensions de la section obtenues, nous calculons la flexibilité de la tige et, par flexibilité, la valeur finale du coefficient de flambement .

4) Si les valeurs ne correspondent pas et effectuer la deuxième approximation. La valeur initiale de φ dans la deuxième approximation est prise égale à
. Etc.

Nous répétons les calculs jusqu'à ce que les valeurs initiale et finale du coefficient φ ne diffèrent pas de plus de 5%. Comme réponse, nous acceptons les valeurs des dimensions obtenues en dernière approximation.

Pour trouver les contraintes critiques, il est nécessaire de calculer la force critique, c'est-à-dire la plus petite force de compression axiale qui peut maintenir en équilibre une tige comprimée légèrement courbée.

Ce problème a été résolu pour la première fois par l'académicien de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg L. Euler en 1744.

Notez que la formulation même du problème est différente de celle de toutes les sections du cours considérées précédemment. Si précédemment on déterminait la déformation de la tige sous des charges extérieures données, alors on pose ici le problème inverse : étant donné la courbure de l'axe de la tige comprimée, il faut déterminer à quelle valeur de l'effort de compression axial R une telle distorsion est possible.

Considérez une tige droite de section constante, articulée aux extrémités; l'un des supports permet la possibilité d'un mouvement longitudinal de l'extrémité correspondante de la tige (Fig. 3). On néglige le poids propre de la tige.

Fig.3. Schéma de calcul dans le "problème d'Euler"

Nous chargeons la tige avec des forces de compression longitudinales appliquées au centre et lui donnons une très légère courbure dans le plan de moindre rigidité; la tige est maintenue dans un état plié, ce qui est possible car .

La déformation en flexion de la tige est supposée être très faible, par conséquent, pour résoudre le problème, nous pouvons utiliser l'équation différentielle approximative pour l'axe de flexion de la tige. Sélection de l'origine des coordonnées en un point MAIS et la direction des axes de coordonnées, comme indiqué sur la Fig. 3, nous avons :

(1)

Prendre une section à distance X de l'origine; l'ordonnée de l'axe courbe dans cette section sera à, et le moment fléchissant est

Selon le schéma d'origine, le moment de flexion s'avère négatif, tandis que les ordonnées pour la direction choisie de l'axe à se révéler positif. (Si la tige était courbée avec un renflement vers le bas, alors le moment serait positif, et à- négatif et .)

L'équation différentielle qui vient d'être donnée prend la forme :

en divisant les deux côtés de l'équation par JE et en désignant la fraction par on la met sous la forme :

L'intégrale générale de cette équation a la forme :

Cette solution contient trois inconnues : les constantes d'intégration un et b et valeur , puisque la grandeur de la force critique nous est inconnue.

Les conditions aux limites aux extrémités de la tige donnent deux équations :

au point A à x = 0 déviation à = 0,

À X= 1 à = 0.

Il découle de la première condition (puisque cos kx =1)

Donc l'axe plié est une sinusoïde d'équation

(2)

En appliquant la deuxième condition, nous substituons dans cette équation

à= 0 et X = je

on a:

Il en résulte que soit un ou cl sont égaux à zéro.

Si un un est égal à zéro, alors de l'équation (2) il s'ensuit que la déviation dans n'importe quelle section de la tige est égale à zéro, c'est-à-dire que la tige est restée droite. Ceci contredit les prémisses initiales de notre conclusion. Par conséquent le péché cl= 0, et la valeur peut avoir la série infinie de valeurs suivante :

où est n'importe quel nombre entier.

Dès lors, et depuis lors

En d'autres termes, la charge qui peut maintenir en équilibre une tige légèrement incurvée peut théoriquement avoir plusieurs valeurs. Mais puisqu'on recherche, et qu'elle est intéressante d'un point de vue pratique, la plus petite valeur de l'effort de compression axiale à laquelle le flambement devient possible, alors il convient de la prendre.

La première racine =0 nécessite qu'elle soit égale à zéro, ce qui ne correspond pas aux données initiales du problème ; donc cette racine doit être rejetée et la valeur prise comme la plus petite racine. On obtient alors l'expression de la force critique :

Ainsi, plus l'axe courbe sinusoïdale de la tige a de points d'inflexion, plus la force critique doit être importante. Des études plus complètes montrent que les formes d'équilibre définies par les formules (1) sont instables ; ils ne passent dans des formes stables qu'en présence d'appuis intermédiaires aux points À et DE(Fig. 1).

Fig. 1

Ainsi, la tâche est résolue; pour notre tige, la plus petite force critique est déterminée par la formule

et l'axe courbe représente une sinusoïde

La valeur de la constante d'intégration un est resté indéfini; sa signification physique sera découverte si nous mettons dans l'équation sinusoïdale; alors (c'est-à-dire au milieu de la longueur de la tige) recevra la valeur :

Moyens, un- c'est la flèche de la tige dans la section au milieu de sa longueur. Puisqu'à la valeur critique de la force R l'équilibre d'une tige courbe est possible avec divers écarts par rapport à sa forme rectiligne, si seulement ces écarts étaient faibles, alors il est naturel que la déviation F resté indéfini.

En même temps, il doit être si petit que nous ayons le droit d'appliquer l'équation différentielle approchée de l'axe courbe, c'est-à-dire qu'il soit encore petit devant l'unité.

Après avoir obtenu la valeur de la force critique, nous pouvons immédiatement trouver la valeur de la contrainte critique en divisant la force par la section transversale de la tige F; puisque la valeur de la force critique a été déterminée à partir de la prise en compte des déformations de la tige, sur lesquelles l'affaiblissement local de la section transversale a un effet extrêmement faible, alors la formule pour inclut le moment d'inertie, par conséquent, il est d'usage lors du calcul des contraintes critiques, ainsi que lors de la compilation de la condition de stabilité, pour entrer dans le calcul la section transversale complète et non affaiblie de la tige. Alors ce sera égal

Ainsi, si la zone d'une tige comprimée avec une telle flexibilité était sélectionnée uniquement en fonction de la condition de résistance, la tige s'effondrerait à cause de la perte de stabilité d'une forme rectiligne.

Pour la première fois, le problème de la stabilité des tiges comprimées se posait. Euler a dérivé une formule de calcul de la force critique et a montré que sa valeur dépend essentiellement du mode de fixation de la tige. L'idée de la méthode d'Euler est d'établir les conditions dans lesquelles, en plus de la rectiligne, une forme d'équilibre curviligne adjacente (c'est-à-dire arbitrairement proche de l'original) de la tige sous une charge constante est également possible.

Supposons qu'une tige droite articulée aux extrémités, comprimée par une force P= Pk, a été amené hors d'équilibre rectiligne par une certaine force horizontale et est resté plié après la suppression de la force horizontale (Fig. 13.4). Si les déviations de la tige sont faibles, l'équation différentielle approchée de son axe aura la même forme que dans le cas d'une flexion transversale de la poutre:

En combinant l'origine des coordonnées avec le centre de la section inférieure, nous dirigeons l'axe à vers les flèches de la tige, et l'axe X- dans l'axe de la tige.

Dans la théorie du flambement, il est d'usage de considérer l'effort de compression comme positif. Par conséquent, en déterminant le moment de flexion dans la section courante de la tige considérée, nous obtenons

Mais, comme il ressort de la Fig. 13.4, avec le sens des axes sélectionné à // <0, поэтому знаки левой и правой частей уравнения (17.2) будут одинаковыми, если в правой части сохранить знак минус. Если изменить направление оси àà l'opposé, alors les signes changeront simultanément à et à// et le signe moins du côté droit de l'équation (13.2) restera.

Par conséquent, l'équation de la ligne élastique de la tige a la forme

.

En supposant α 2 =Rk/IE, on obtient une équation différentielle homogène linéaire

,

dont l'intégrale générale

Ici UN et B- des constantes d'intégration, déterminées à partir des conditions de fixation de la tige, dites conditions aux limites ou aux limites.

Le déplacement horizontal de l'extrémité inférieure de la tige, comme on le voit sur la Fig. 13.4, est égal à zéro, c'est-à-dire lorsque X=0 déviation à=0. Cette condition sera remplie si B=0. Par conséquent, l'axe courbe de la tige est une sinusoïde

.

Le déplacement horizontal de l'extrémité supérieure de la barre est également nul, donc

.

Constant UN, qui est la flèche maximale de la tige, ne peut pas être égal à zéro, puisque lorsque UN=0, seule une forme d'équilibre rectiligne est possible, et nous recherchons une condition sous laquelle une forme d'équilibre curviligne est également possible. Il doit donc être péchéα je=0. Il s'ensuit que des formes d'équilibre curvilignes de la tige peuvent exister si α je prend des valeurs π ,2π ,.nπ . Évaluer α je ne peut pas être égal à zéro, car cette solution correspond au cas

Équation α je= nπ et en remplaçant

on a

.

L'expression (13.5) est appelée la formule d'Euler. Il peut être utilisé pour calculer la force critique Rk lorsque la tige flambe dans l'un de ses deux plans principaux, car c'est seulement sous cette condition que l'équation (13.2) est valide, et donc la formule (13.5).

Le flambage de la tige se produit dans la direction de la moindre rigidité, s'il n'y a pas de dispositifs spéciaux qui empêchent la tige de se plier dans cette direction. Par conséquent, dans la formule d'Euler, il faut remplacer jemin- le plus petit des principaux moments d'inertie centraux de la section transversale de la tige.

La valeur de la plus grande déviation de la tige UN dans la solution donnée reste indéfinie, elle est prise arbitraire, mais elle est supposée petite.

La valeur de la force critique, déterminée par la formule (13.5), dépend du coefficient n. Découvrons la signification géométrique de ce coefficient.

Ci-dessus, nous avons établi que l'axe coudé de la tige est une sinusoïde dont l'équation, après substitution α =π n/je dans l'expression (13.4) prend la forme

.

Sinusoïdes pour n=1, n=2 sont illustrés à la fig. 13.5. Il est facile de voir que la valeur n représente le nombre d'alternances de la sinusoïde le long desquelles la tige va se plier. Évidemment, la tige fléchira toujours selon le plus petit nombre d'alternances autorisé par ses dispositifs de support, puisque selon (13.5) le plus petit n correspond à la plus petite force critique. Seule cette première force critique a une véritable signification physique.

Par exemple, une tige à extrémités articulées fléchira dès que la plus petite valeur de la force critique sera atteinte, correspondant à n=1, puisque les dispositifs de support de cette tige lui permettent de se plier selon une demi-onde d'une sinusoïde. Forces critiques correspondant n=2, n\u003d 3, et plus, ne peut être atteint que s'il existe des supports intermédiaires (Fig. 13.6). Pour une tringle à appuis d'extrémité articulés sans fixations intermédiaires, le premier effort critique a un vrai sens

.

La formule (13.5), telle qu'elle découle de sa dérivation, est valable non seulement pour une tige à extrémités articulées, mais également pour toute tige qui fléchit lors du flambage selon un nombre entier d'alternances. Appliquons cette formule, par exemple, pour déterminer l'effort critique d'une tige dont les dispositifs de support n'autorisent que les déplacements longitudinaux de ses extrémités (support à extrémités encastrées). Comme on peut le voir sur la figure 13.7, le nombre de demi-ondes de l'axe courbe dans ce cas n=2 et, par conséquent, la force critique pour la tige avec des dispositifs d'appui donnés

.

Supposons qu'une crémaillère avec une extrémité pincée et l'autre extrémité libre (Fig. 13.8) est comprimée par une force R.

Si la force P= Pk, alors en plus de la forme rectiligne, il peut également exister une forme curviligne du balancier de la crémaillère (ligne pointillée sur la Fig. 13.8).

L'équation différentielle de l'axe plié de la crémaillère dans celle illustrée à la fig. 13.8 le système d'axes de coordonnées a la même forme.

La solution générale de cette équation est :

En subordonnant cette solution aux conditions aux limites évidentes : y=0 à X=0 et y/ =0 à X= je, on a B=0, UNα parce queα je= 0.

Nous avons supposé que le poteau est courbé, donc la valeur UN ne peut pas être égal à zéro. Par conséquent, parce queα je= 0. La plus petite racine non nulle de cette équation α je= π /2 définit la première force critique

,

qui correspond à la flexion de la tige le long de la sinusoïde

.

Valeurs α je=3π /2, α je=5π /2, etc., comme indiqué ci-dessus, correspondent à de grandes valeurs Pk et des formes plus complexes de l'axe courbe de la crémaillère, qui ne peuvent pratiquement exister qu'en présence de supports intermédiaires.

Comme deuxième exemple, considérons une crémaillère avec une extrémité pincée et une deuxième extrémité articulée (Fig. 13.9). En raison de la courbure de l'axe de la tige à P= Pk du côté du support articulé, une force de réaction horizontale se produit R. Par conséquent, le moment de flexion dans la section courante de la tige

.α :

La plus petite racine de cette équation détermine la première force critique. Cette équation est résolue par la méthode de sélection. Il est facile de croire que la plus petite racine non nulle de cette équation α je= 4.493=1.43 π .

Prise α je= 1.43 π , on obtient l'expression suivante de la force critique :

Ici μ =1/n- l'inverse du nombre d'alternances n sinusoïde le long de laquelle la tige va se plier. Constant μ est appelé le facteur de réduction de longueur, et le produit μ je- longueur réduite de la tige. La longueur réduite est la demi-longueur d'onde de la sinusoïde le long de laquelle cette tige est coudée.

Le boîtier de fixation articulée des extrémités de la tige est appelé boîtier principal. Il résulte de ce qui précède que la force critique pour tout cas de fixation de la tige peut être calculée par la formule du cas principal lorsque la longueur réelle de la tige y est remplacée par sa longueur réduite μ je.

Coefficients de réduction μ pour certains racks sont donnés à la fig. 17.10.

Le concept de stabilité et de pouvoir critique. Calculs de conception et de vérification.

Dans les structures et les structures, les pièces qui sont des tiges relativement longues et minces, dans lesquelles une ou deux dimensions de la section transversale sont petites par rapport à la longueur de la tige, sont d'une grande utilité. Le comportement de telles tiges sous l'action d'une charge de compression axiale s'avère fondamentalement différent de celui lorsque des tiges courtes sont comprimées : lorsque l'effort de compression F atteint une certaine valeur critique égale à Fcr, la forme rectiligne de l'équilibre d'une tige longue s'avère instable et lorsque Fcr est dépassé, la tige commence à se plier intensément (gonflement). Dans ce cas, un nouvel état d'équilibre (momentané) du long élastique devient une nouvelle forme déjà curviligne. Ce phénomène est appelé perte de stabilité.

Riz. 37. Perte de stabilité

Stabilité - la capacité d'un corps à maintenir une position ou une forme d'équilibre sous des influences extérieures.

Force critique (Fcr) - charge dont l'excès entraîne une perte de stabilité de la forme (position) d'origine du corps. Condition de stabilité :

Fmax ≤ Fcr, (25)

Stabilité d'une tige comprimée. Problème d'Euler.

Lors de la détermination de la force critique provoquant le flambage d'une tige comprimée, on suppose que la tige est parfaitement droite et que la force F est appliquée strictement au centre. Le problème de la charge critique d'une tige comprimée, prenant en compte la possibilité de l'existence de deux formes d'équilibre à la même valeur de la force, a été résolu par L. Euler en 1744.

Riz. 38. Tige comprimée

Considérons une tige supportée de manière pivotante aux extrémités, comprimée par une force longitudinale F. Supposons que, pour une raison quelconque, la tige ait reçu une petite courbure de l'axe, à la suite de quoi un moment de flexion M y est apparu:

où y est la déflexion de la tige dans une section arbitraire avec la coordonnée x.

Pour déterminer la force critique, vous pouvez utiliser l'équation différentielle approximative d'une ligne élastique :

(26)

Après avoir effectué les transformations, on voit que la force critique prendra une valeur minimale à n = 1 (une demi-onde de la sinusoïde s'adapte sur la longueur de la tige) et J = Jmin (la tige est pliée autour l'axe avec le plus petit moment d'inertie)

(27)

Cette expression est la formule d'Euler.

Dépendance de l'effort critique aux conditions de fixation de la tige.

La formule d'Euler a été obtenue pour le cas dit de base - en supposant le support articulé de la tige aux extrémités. En pratique, il existe d'autres cas de fixation de la tige. Dans ce cas, on peut obtenir une formule de détermination de l'effort critique pour chacun de ces cas en résolvant, comme dans le paragraphe précédent, l'équation différentielle de l'axe fléchi de la poutre avec les conditions aux limites appropriées. Mais vous pouvez utiliser une technique plus simple, si vous vous souvenez qu'en cas de perte de stabilité, une demi-onde d'une sinusoïde doit s'adapter sur la longueur de la tige.

Considérons quelques cas caractéristiques de fixation de la tige aux extrémités et obtenons une formule générale pour différents types de fixation.

Riz. 39. Divers cas de fixation de la tige

Formule générale d'Euler :

(28)

où μ·l = l pr - longueur réduite de la tige ; l est la longueur réelle de la tige ; μ est le coefficient de la longueur réduite, montrant combien de fois il faut changer la longueur de la tige pour que la force critique de cette tige devienne égale à la force critique de la poutre articulée. (Autre interprétation du coefficient de longueur réduite : μ indique sur quelle partie de la longueur de la tige pour un type de fixation donné s'adapte une demi-onde de la sinusoïde en cas de flambage.)

Ainsi, la condition de stabilité finale prend la forme

(29)

Considérons deux types de calcul pour la stabilité des tiges comprimées - vérification et conception.

Vérifier le calcul

La procédure de contrôle de stabilité ressemble à ceci :

En fonction des dimensions et de la forme connues de la section transversale et des conditions de fixation de la tige, nous calculons la flexibilité;

D'après le tableau de référence, on trouve le facteur de réduction pour la contrainte admissible, puis on détermine la contrainte admissible pour la stabilité ;

Comparez la contrainte maximale avec la contrainte de stabilité admissible.

Calcul de conception

Dans le calcul de conception (pour sélectionner une section pour une charge donnée), il y a deux quantités inconnues dans la formule de calcul - la section transversale souhaitée A et le coefficient inconnu φ (puisque φ dépend de la flexibilité de la tige, et donc sur la zone inconnue A). Par conséquent, lors de la sélection d'une section, il est généralement nécessaire d'utiliser la méthode des approximations successives :

Habituellement, lors de la première tentative, φ 1 \u003d 0,5 ... 0,6 est pris et la section transversale est déterminée en première approximation

En fonction de l'aire trouvée A1, la section est sélectionnée et la flexibilité de la tige est calculée en première approximation λ1. Connaissant λ, trouver une nouvelle valeur φ′1 ;

Le choix du matériau et la forme rationnelle de la section.

Sélection des matériaux. Étant donné que seul le module de Young est inclus dans la formule d'Euler de toutes les caractéristiques mécaniques, il n'est pas conseillé d'utiliser des matériaux à haute résistance pour augmenter la stabilité des tiges très flexibles, car le module de Young est approximativement le même pour toutes les nuances d'acier.

Pour les tiges de faible flexibilité, l'utilisation d'aciers de haute qualité est justifiée, car avec une augmentation de la limite d'élasticité de ces aciers, les contraintes critiques augmentent, et donc la marge de stabilité.

Université d'État des transports d'Irkoutsk

Labo #16

par discipline "La résistance des matériaux"

DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DES FORCES CRITIQUES

POUR LA FLEXION LONGITUDINALE

Département de PM

Labo #16

Détermination expérimentale des efforts critiques en flambement

Objectif:étude du phénomène de flambement d'une tige d'acier comprimée dans un élastique

étapes. Détermination expérimentale des valeurs des charges critiques de comprimé

tiges avec diverses méthodes de fixation et en les comparant avec la théorie

valeurs.

Dispositions générales

Les tiges comprimées ne suffisent pas pour tester la résistance selon la condition bien connue :

,

où [σ] est la contrainte admissible pour le matériau de la tige, P - force de compression F - aire de la section transversale.

Dans la pratique, les ingénieurs traitent des tiges flexibles soumises à la compression, des plaques minces comprimées, des structures à parois minces, dont la défaillance n'est pas causée par une perte de capacité portante, mais par une perte de stabilité.

La perte de stabilité est comprise comme la perte de la forme originelle de l'équilibre.

La résistance des matériaux tient compte de la stabilité des éléments structuraux travaillant en compression.

Considérons une longue tige mince (Fig. 1) chargée d'une force de compression axiale P .

P< P kr P > P kr

Riz. une. Tige chargée avec une force de compression axiale P .

Pour les petites valeurs de force F la tige est comprimée tout en restant droite. De plus, si la tige est déviée de cette position par une petite charge transversale, elle se pliera, mais lorsqu'elle est retirée, la tige revient à un état rectiligne. Cela signifie que pour une force donnée P la forme rectiligne d'équilibre de la tige est stable.

Si nous continuons à augmenter la force de compression P , puis à une certaine valeur, la forme d'équilibre rectiligne devient instable et une nouvelle forme d'équilibre de la tige apparaît - curviligne (Fig. 1, b) . En raison de la flexion de la tige, un moment de flexion apparaîtra dans ses sections, ce qui entraînera des contraintes supplémentaires, et la tige peut s'effondrer soudainement.

La courbure d'une longue tige comprimée par une force longitudinale est appelée flambage .

La plus grande valeur de la force de compression à laquelle la forme rectiligne d'équilibre de la tige est stable est appelée critique - P kr.

Lorsque la charge critique est atteinte, il y a un changement qualitatif brutal dans la forme d'équilibre d'origine, ce qui conduit à la défaillance de la structure. Par conséquent, la force critique est considérée comme une charge de rupture.

Formules d'Euler et de Yasinsky

Le problème de la détermination de la force critique d'une tige comprimée a été résolu pour la première fois par un membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg L. Euler en 1744. La formule d'Euler a la forme

(1)

où E – module d'élasticité du matériau de la tige ; J min- le plus petit moment d'inertie de la section transversale de la tige (puisque la flexion de la tige lors du flambement se produit dans le plan de moindre rigidité, c'est-à-dire que les sections transversales de la tige tournent autour de l'axe, par rapport auquel le moment d'inertie est minimal, c'est-à-dire soit autour de l'axe X , ou autour de l'axe y );

(μ· je ) est la longueur réduite de la tige, c'est le produit de la longueur de la tige je par le coefficient μ, qui dépend des modes de fixation des extrémités de la tige.

Coefficient μ appelé facteur de réduction de longueur ; sa valeur pour les cas les plus courants de fixation des extrémités de la tige est indiquée sur la fig. 2 :

un- les deux extrémités de la tige sont articulées et peuvent se rapprocher ;

b- une extrémité est rigidement serrée, l'autre est libre ;

dans- une extrémité est articulée, l'autre a un "joint flottant croisé" ;

g - une extrémité est serrée rigidement, l'autre a un "joint flottant croisé" ;

ré- une extrémité est fixée rigidement, à l'autre est un support articulé-mobile ;

e- les deux extrémités sont serrées de manière rigide, mais peuvent se rapprocher.

On peut voir à partir de ces exemples que le coefficient μ est l'inverse du nombre d'alternances de la ligne élastique de la tige lors du flambement.

Riz. 2. Coefficient μ pour le plus souvent

cas de fixation des extrémités de la tige.

La contrainte normale dans la section transversale d'une tige comprimée, correspondant à la valeur critique de la force de compression, est également appelée critique.

Nous le définissons à partir de la formule d'Euler :

(2)

La caractéristique géométrique de la section je min, déterminé par la formule

appelé rayon de giration de la section (par rapport à l'axe c J min). Pour section rectangulaire

Compte tenu de (3), la formule (2) prendra la forme :

(4)

Le rapport de la longueur réduite de la tige au rayon de giration minimal de sa section transversale, à la suggestion du professeur de l'Institut des ingénieurs ferroviaires de Saint-Pétersbourg F.S. Yasinsky (1856-1899) s'appelle flexibilité de la tige et désigné par la lettre λ :

Cette grandeur sans dimension reflète simultanément les paramètres suivants : la longueur de la tige, son mode de fixation et la caractéristique de la section.

Enfin, en remplaçant (5) dans la formule (4), on obtient

Lors de la dérivation de la formule d'Euler, on a supposé que le matériau de la tige est élastique et suit la loi de Hooke. Par conséquent, la formule d'Euler ne peut être appliquée qu'à des contraintes inférieures à la limite de proportionnalité σ hc, c'est-à-dire quand

Cette condition détermine la limite d'applicabilité de la formule d'Euler :

La quantité du côté droit de cette inégalité est appelée flexibilité ultime :

sa valeur dépend des propriétés physiques et mécaniques du matériau de la tige.

Pour l'acier doux St. 3, pour lequel σ hc= 200 MPa, E = 2· 10 5 MPa :

De même, vous pouvez calculer la valeur de la flexibilité ultime pour d'autres matériaux : pour la fonte λ avant de= 80, pour le pin λ avant de = 110.

Ainsi, la formule d'Euler est applicable pour les tiges dont la flexibilité est supérieure ou égale à la flexibilité ultime, c'est-à-dire

λ ≥ λ avant de

Cela doit être compris comme suit : si la flexibilité de la tige est supérieure à la flexibilité ultime, alors la force critique doit être déterminée par la formule d'Euler.

À λ < λ avant de La formule d'Euler pour les tiges n'est pas applicable. Dans ces cas, lorsque la flexibilité des tiges est inférieure à la limite, la valeur empirique La formule de Yasinsky :

σ kr = un – b λ , (7)

où un et b - des coefficients déterminés expérimentalement et constants pour un matériau donné ; ils ont la dimension du stress.

Pour une certaine valeur de flexibilité λ sur contrainte σ kr, calculée par la formule (7), devient égale à la contrainte ultime de compression, c'est-à-dire la limite d'élasticité σ t pour matériaux ductiles ou résistance à la compression σ Soleil- pour les matériaux fragiles. Tiges de faible flexibilité ( λ < λ sur) ne comptez pas sur la stabilité, mais sur la résistance en simple compression.

Ainsi, selon la flexibilité, le calcul des tiges comprimées pour la stabilité est effectué différemment.