Formules de coulée avec explication complète des degrés. Formules de réduction : preuve, exemples, règle mnémotechnique

Sujet de la leçon

Modification du sinus, du cosinus et de la tangente à mesure que l'angle augmente.

Objectifs de la leçon

Familiarisez-vous avec les nouvelles définitions et rappelez-en certaines déjà étudiées.
Familiarisez-vous avec le modèle de changement des valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente avec un angle croissant.
Développer - pour développer l'attention, la persévérance, la persévérance, pensée logique, discours mathématique.
Éducatif - à travers une leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écouter les camarades, l'entraide, l'indépendance.

Objectifs de la leçon

Testez les connaissances des élèves.

Plan de cours

Répétition de matériel déjà appris.
Tâches répétitives.
Modification du sinus, du cosinus et de la tangente à mesure que l'angle augmente.
Utilisation pratique.

Répétition du matériel étudié précédemment

Commençons par le tout début et rappelons-nous ce qui sera utile pour vous rafraîchir la mémoire. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus et la tangente et à quelle section de la géométrie appartiennent ces concepts.

Trigonométrie- c'est très compliqué mot grec: trigonon - triangle, métro - mesure. Par conséquent, en grec, cela signifie : mesuré par des triangles.

Matières > Mathématiques > Mathématiques 8e année

Trigonométrie Formules de réduction.

Les formules de lancer n'ont pas besoin d'être enseignées, elles doivent être comprises. Comprendre l'algorithme de leur sortie. C'est très facile!

Prenons un cercle unitaire et plaçons toutes les mesures de degré (0° ; 90° ; 180° ; 270° ; 360°) dessus.

Analysons les fonctions sin(a) et cos(a) dans chaque trimestre.

Rappelez-vous que nous regardons la fonction sin (a) le long de l'axe Y et la fonction cos (a) le long de l'axe X.

Au premier trimestre, on constate que la fonction sin(a)>0
Et fonction cos(a)>0
Le premier quart peut être décrit par une mesure de degré, comme (90-α) ou (360+α).

Au deuxième trimestre, on constate que la fonction sin(a)>0, car l'axe des ordonnées est positif dans ce trimestre.
Une fonction cos(a) parce que l'axe des x est négatif dans ce trimestre.
Le deuxième quart peut être décrit par une mesure de degré, comme (90+α) ou (180-α).

Au troisième trimestre, on constate que les fonctions péché (un) Le troisième quart peut être décrit en termes de degrés comme (180+α) ou (270-α).

Au quatrième trimestre, on peut voir que la fonction sin(a) parce que l'axe des ordonnées est négatif dans ce trimestre.
Une fonction cos(a)>0, car l'axe des x est positif dans ce trimestre.
Le quatrième quart peut être décrit en termes de degrés comme (270+α) ou (360-α).

Examinons maintenant les formules de réduction elles-mêmes.

Rappelons-nous un simple algorithme:
1. Trimestre.(Regardez toujours dans quel trimestre vous vous trouvez).
2. Pancarte.(Pour un quart, voir les fonctions cosinus ou sinus positives ou négatives).
3. Si vous avez (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors les changements de fonction.

Et donc nous commençons à démonter cet algorithme en quarts.

Découvrez à quoi l'expression cos(90-α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.

Sera cos(90-α) = sin(α)

Découvrez à quoi l'expression sin (90-α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.

Sera sin(90-α) = cos(α)

Découvrez à quoi l'expression cos(360+α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.
2. Au premier quart, le signe de la fonction cosinus est positif.

Sera cos(360+α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression sin (360 + α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Quart un.
2. Au premier trimestre, le signe de la fonction sinus est positif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera sin(360+α) = sin(α)

Découvrez à quoi l'expression cos(90+α) sera égale
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.

3. Il y a (90° ou π/2) entre parenthèses, puis la fonction passe du cosinus au sinus.
Sera cos(90+α) = -sin(α)

Découvrez ce que l'expression sin (90 + α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.

3. Il y a (90° ou π/2) entre parenthèses, puis la fonction passe du sinus au cosinus.
Sera sin(90+α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression cos(180-α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.
2. Au deuxième trimestre, le signe de la fonction cosinus est négatif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera cos(180-α) = cos(α)

Découvrez ce que l'expression sin (180-α) sera égale à
Parlons de l'algorithme :
1. Deux quarts.
2. Au deuxième trimestre, le signe de la fonction sinus est positif.
3. Il n'y a pas (90° ou π/2) et (270° ou 3π/2) entre parenthèses, alors la fonction ne change pas.
Sera sin(180-α) = sin(α)

Je parle du troisième et du quatrième trimestre de la même manière, nous allons faire un tableau :

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Définition. Les formules de réduction sont des formules qui permettent de passer de fonctions trigonométriques kind aux fonctions d'argument. Avec leur aide, le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle arbitraire peuvent être réduits au sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle de 0 à 90 degrés (de 0 à radians). Ainsi, les formules de réduction permettent de passer à un travail avec des angles inférieurs à 90 degrés, ce qui est sans aucun doute très pratique.

Formules coulées :

Il existe deux règles d'utilisation des formules de distribution.

1. Si l'angle peut être représenté par (π/2 ±a) ou (3*π/2 ±a), alors changement de nom de fonction sin à cos, cos à sin, tg à ctg, ctg à tg. Si l'angle peut être représenté par (π ±a) ou (2*π ±a), alors le nom de la fonction reste inchangé.

Regardez la figure ci-dessous, elle montre schématiquement quand le signe doit être changé et quand non.

2. Signe de fonction réduite reste le même. Si la fonction d'origine avait un signe plus, la fonction réduite a également un signe plus. Si la fonction d'origine avait un signe moins, la fonction réduite a également un signe moins.

La figure ci-dessous montre les signes des principales fonctions trigonométriques en fonction du trimestre.

Exemple:

Calculer

Utilisons les formules de réduction :

Sin(150˚) est dans le deuxième quart, nous pouvons voir sur la figure que le signe de sin dans ce quart est égal à "+". Cela signifie que la fonction ci-dessus aura également un signe "+". Nous avons appliqué la deuxième règle.

Maintenant 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ est π/2. Autrement dit, nous avons affaire au cas π / 2 + 60, donc, selon la première règle, nous changeons la fonction de sin en cos. En conséquence, nous obtenons Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Cours et présentation sur le thème : "Application des formules de réduction dans la résolution de problèmes"

Matériaux additionnels
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Que va-t-on étudier :
1. Répétons un peu.
2. Règles pour les formules de réduction.
3. Tableau des transformations pour les formules de réduction.
4. Exemples.

Répétition de fonctions trigonométriques

Les gars, vous avez déjà rencontré des formules fantômes, mais elles n'ont pas encore été appelées ainsi. Où pensez-vous?

Regardez nos dessins. Correct, quand ils ont introduit les définitions des fonctions trigonométriques.

Règle pour les formules de réduction

Introduisons la règle de base : si le signe de la fonction trigonométrique contient un nombre de la forme π×n/2 + t, où n est un entier quelconque, alors notre fonction trigonométrique peut être réduite à plus à la vue de tous, qui ne contiendra que l'argument t. Ces formules sont appelées formules fantômes.

Rappelons quelques formules :

sin(t + 2π*k) = sin(t)
cos(t + 2π*k) = cos(t)
sin(t + π) = -sin(t)
cos(t + π) = -cos(t)
sin(t + π/2) = cos(t)
cos(t + π/2) = -sin(t)
tg(t + π*k) = tg(x)
ctg(t + π*k) = ctg(x)

il y a beaucoup de formules fantômes, établissons une règle par laquelle nous déterminerons nos fonctions trigonométriques lors de l'utilisation formules fantômes:

Si le signe de la fonction trigonométrique contient des nombres de la forme : π + t, π - t, 2π + t et 2π - t, alors la fonction ne changera pas, c'est-à-dire que, par exemple, le sinus restera un sinus, le cotangente restera une cotangente.
Si le signe de la fonction trigonométrique contient des nombres de la forme : π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t et 3π/2 - t, alors la fonction deviendra une fonction connexe, c'est-à-dire que le sinus deviendra un cosinus, la cotangente deviendra une tangente.
Avant la fonction résultante, vous devez mettre le signe que la fonction convertie aurait si 0

Ces règles s'appliquent également lorsque l'argument de la fonction est en degrés !

On peut aussi faire un tableau des conversions des fonctions trigonométriques :

Exemples d'utilisation de formules de réduction

1. Transformons cos(π + t). Le nom de la fonction reste, c'est-à-dire on obtient cos(t). Supposons ensuite que π/2

2. Transformer sin(π/2 + t). Le nom de la fonction est modifié, c'est-à-dire on obtient cos(t). Supposons en outre que 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Transformons tg(π + t). Le nom de la fonction reste, c'est-à-dire on obtient tg(t). Supposons de plus que 0

4. Transformons ctg(270 0 + t). Le nom de la fonction change, c'est-à-dire que nous obtenons tg(t). Supposons de plus que 0

Problèmes avec les formules de réduction pour une solution indépendante

Les gars, convertissez-vous en utilisant nos règles :

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Ils appartiennent à la section "trigonométrie" des mathématiques. Leur essence est d'amener les fonctions trigonométriques des angles à une forme plus "simple". Beaucoup peut être écrit sur l'importance de leurs connaissances. Il y a 32 de ces formules !

Rassurez-vous, vous n'avez pas besoin de les apprendre, comme beaucoup d'autres formules en cours de mathématiques. Vous n'avez pas besoin de vous remplir la tête d'informations inutiles, vous devez mémoriser les «clés» ou les lois, et se souvenir ou dériver la formule souhaitée ne sera pas un problème. Au fait, quand j'écris dans des articles "... tu dois apprendre !!!" - cela signifie qu'il est vraiment nécessaire de l'apprendre.

Si vous n'êtes pas familier avec les formules de réduction, la simplicité de leur dérivation vous surprendra agréablement - il existe une "loi" avec laquelle il est facile de le faire. Et vous écrirez l'une des 32 formules en 5 secondes.

Je n'énumérerai que certaines des tâches qui seront à l'examen en mathématiques, où sans connaissance de ces formules, il y a une forte probabilité d'échouer dans la solution. Par exemple:

- des tâches pour résoudre un triangle rectangle, où l'on parle d'un angle extérieur, et des tâches pour coins intérieurs certaines de ces formules sont également nécessaires.
- tâches de calcul des valeurs des expressions trigonométriques ; transformations d'expressions trigonométriques numériques ; transformations d'expressions trigonométriques littérales.
– tâches pour tangente et sens géométrique tangente, une formule de réduction de la tangente est requise, ainsi que d'autres tâches.
- problèmes stéréométriques, lors de la résolution, il est souvent nécessaire de déterminer le sinus ou le cosinus d'un angle compris entre 90 et 180 degrés.

Et ce ne sont que les points qui se rapportent à l'examen. Et au cours de l'algèbre elle-même, il existe de nombreux problèmes dont la solution, sans connaissance des formules de réduction, est tout simplement impossible à résoudre.

Alors, à quoi cela conduit-il et comment les formules stipulées nous simplifient-elles la solution des problèmes ?

Par exemple, vous devez déterminer le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente de tout angle compris entre 0 et 450 degrés :

l'angle alpha varie de 0 à 90 degrés

* * *

Donc, il est nécessaire de comprendre la "loi" qui fonctionne ici :

1. Déterminer le signe de la fonction dans le trimestre correspondant.

Laissez-moi leur rappeler :

2. N'oubliez pas ce qui suit :

la fonction se transforme en cofonction

la fonction ne change pas en cofonction

Que signifie le concept - une fonction se transforme en une cofonction ?

Réponse : le sinus se transforme en cosinus ou vice versa, la tangente en cotangente ou vice versa.

C'est tout!

Maintenant, selon la loi présentée, nous écrivons indépendamment plusieurs formules de réduction :

Cet angle se situe au troisième quart, le cosinus au troisième quart est négatif. Nous ne changeons pas la fonction pour cofonction, puisque nous avons 180 degrés, ce qui signifie :

L'angle se situe dans le premier quart, le sinus dans le premier quart est positif. Nous ne changeons pas la fonction en cofonction, puisque nous avons 360 degrés, ce qui signifie :

Voici une autre confirmation supplémentaire que les sinus des angles adjacents sont égaux :

L'angle se situe au deuxième quart, le sinus au deuxième quart est positif. Nous ne changeons pas la fonction en cofonction, puisque nous avons 180 degrés, ce qui signifie :

Travaillez chaque formule mentalement ou par écrit, et vous verrez qu'il n'y a rien de compliqué.

***

Dans l'article sur la solution, un tel fait a été noté - le sinus d'un angle aigu dans triangle rectangle est égal au cosinus d'un autre angle aigu.