Une tâche. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre statiquement indéterminée. Nous calculons les poutres selon la formule:

n= Σ R- O— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Rayonner une fois que est statiquement indéterminé, ce qui signifie une de réactions est "supplémentaire" inconnu. Pour le "supplément" inconnu on prendra la réaction du support À — R B.

Un faisceau statiquement déterminé, qui est obtenu à partir d'un faisceau donné en supprimant la connexion "supplémentaire" est appelé le système principal. (b).

Maintenant, ce système doit être présenté équivalent donné. Pour ce faire, chargez le système principal donné charge, et au point À appliquer réaction "supplémentaire" R B(riz. dans).

Cependant, pour équivalence cette pas assez, puisque dans un tel faisceau le point À peut être se déplacer verticalement, et dans un faisceau donné (Fig. un ) cela ne peut pas arriver. Par conséquent, nous ajoutons condition, Quel déviation t. À dans le système principal doit être égal à 0. Déviation t. À consiste en déviation de la charge agissante Δ F et de déviation de la réaction "supplémentaire" Δ R

Puis on compose condition de compatibilité de déplacement:

Δ F + Δ R=0 (1)

Il reste maintenant à calculer ces mouvements (flèches).

Chargement de base système charge donnée(riz .G) et construire diagramme de cargaisonM F (riz. ré ).

À t. À appliquer et construire ep. (riz. hérisson ).

Par la formule de Simpson, on définit déviation de charge.

Définissons maintenant déviation de l'action de la réaction "supplémentaire" R B , pour cela nous chargeons le système principal R B (riz. h ) et tracer les moments de son action M (riz. et ).

Composer et décider équation (1):

Construisons ép. Q et M (riz. à, je ).

Construire un diagramme Q

Construisons un schéma M méthode points caractéristiques. Nous organisons des points sur le faisceau - ce sont les points de début et de fin du faisceau ( D,A ), moment concentré ( B ), et noter également comme point caractéristique le milieu d'une charge uniformément répartie ( K ) est un point supplémentaire pour construire une courbe parabolique.

Déterminer les moments de flexion aux points. Règle des signes cm. - .

L'instant dans À sera défini comme suit. Définissons d'abord :

indiquer À entrons milieu zone avec une charge uniformément répartie.

Construire un diagramme M . Terrain UN B – courbe parabolique(règle du "parapluie"), intrigue BD – ligne oblique droite.

Pour une poutre, déterminer les réactions d'appui et tracer les diagrammes des moments fléchissants ( M) et les forces de cisaillement ( Q).

1. Nous désignons les soutiens des lettres MAIS et À et diriger les réactions de soutien RA et R B .

Compiler équations d'équilibre.

Examen

Notez les valeurs RA et R B sur le schéma de calcul.

2. Traçage efforts transversaux méthode sections. Nous plaçons les sections sur zones caractéristiques(entre les changements). Selon le fil dimensionnel - 4 sections, 4 sections.

seconde. 1-1 mouvement la gauche.

La section traverse la section avec charge uniformément répartie, notez la taille z 1 à gauche de la rubrique avant le début de la section. Longueur du terrain 2 m. Règle des signes pour Q - cm.

Nous construisons sur la valeur trouvée diagrammeQ.

seconde. 2-2 aller à droite.

La section traverse à nouveau la zone avec une charge uniformément répartie, notez la taille z 2 à droite de la section jusqu'au début de la section. Longueur du terrain 6 m.

Construire un diagramme Q.

seconde. 3-3 aller à droite.

seconde. 4-4 déplacer vers la droite.

Nous construisons diagrammeQ.

3. Construction schémas M méthode points caractéristiques.

point caractéristique- un point, tout perceptible sur le faisceau. Ce sont les points MAIS, À, DE, ré , ainsi que le point À , dans lequel Q=0 et le moment de flexion a un extremum. aussi dans milieu la console met un point supplémentaire E, puisque dans cette zone sous une charge uniformément répartie le diagramme M décrit courbé ligne, et il est construit, au moins, selon 3 points.

Ainsi, les points sont placés, nous procédons à la détermination des valeurs qu'ils contiennent moments de flexion. Règle des signes - voir..

Parcelles NA, AD – courbe parabolique(la règle « parapluie » pour les spécialités mécaniques ou la « règle voile » pour la construction), les sections CC, SW – lignes obliques droites.

Moment à un point ré devrait être déterminé à gauche et à droite de ce point ré . Le moment même dans ces expressions Exclu. À ce point ré on a deux valeurs de différence par le montant m – sautà sa taille.

Maintenant, nous devons déterminer le moment au point À (Q=0). Cependant, nous définissons d'abord position ponctuelle À , désignant la distance de celui-ci au début de la section par l'inconnu X .

T À fait parti deuxième zone caractéristique, équation de la force de cisaillement(voir au dessus)

Mais la force transversale en t. À est égal à 0 , un z 2 est égal à inconnu X .

On obtient l'équation :

sachant maintenant X, déterminer le moment en un point À sur le côté droit.

Construire un diagramme M . La construction est faisable pour mécanique spécialités, ajournant les valeurs positives en hautà partir de la ligne zéro et en utilisant la règle "parapluie".

Pour un schéma donné d'une poutre en porte-à-faux, il est nécessaire de tracer les diagrammes de la force transversale Q et du moment de flexion M, d'effectuer un calcul de conception en sélectionnant une section circulaire.

Matériau - bois, résistance de conception du matériau R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Il existe deux façons de construire des diagrammes dans une poutre en porte-à-faux avec encastrement rigide - l'habituel, après avoir déterminé les réactions d'appui, et sans définir les réactions d'appui, si l'on considère les sections, en partant de l'extrémité libre de la poutre et en écartant les côté gauche avec l'encastrement. Construisons des diagrammes ordinaire façon.

1. Définir soutenir les réactions.

Charge uniformément répartie q remplacer la force conditionnelle Q= q 0,84=6,72 kN

Dans un encastrement rigide, il y a trois réactions d'appui - verticale, horizontale et moment, dans notre cas, la réaction horizontale est 0.

Allons trouver vertical soutenir la réaction RA et moment de référence M UNà partir des équations d'équilibre.

Dans les deux premières sections à droite, il n'y a pas de force transversale. Au début d'une section avec une charge uniformément répartie (à droite) Q=0, dans le dos - l'ampleur de la réaction R. A.
3. Pour construire, nous allons composer des expressions pour leur définition sur des sections. Nous traçons le diagramme des moments sur les fibres, c'est-à-dire descente.

(l'intrigue des moments simples a déjà été construite plus tôt)

Nous résolvons l'équation (1), réduisons par EI

L'indétermination statique révélée, la valeur de la réaction "extra" est trouvée. Vous pouvez commencer à tracer les diagrammes Q et M pour un faisceau statiquement indéterminé... Nous esquissons le schéma de faisceau donné et indiquons la valeur de réaction Rb. Dans ce faisceau, les réactions dans la terminaison ne peuvent pas être déterminées si vous allez vers la droite.

Imeuble parcelles Q pour une poutre statiquement indéterminée

Terrain Q.

Tracer M

On définit M au point d'extremum - au point À. Définissons d'abord sa position. Nous notons la distance à elle comme inconnue " X". Alors

Nous traçons M.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérez la rubrique Je rayonne. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm 4 ; Q=200 kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule, où Q est l'effort transversal dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section transversale située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, I x est le moment d'inertie de toute la traverse section, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculer maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure:

Calculons maintenant les contraintes de cisaillement:

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Calculs de conception et de vérification. Pour une poutre avec des diagrammes construits d'efforts internes, sélectionnez une section sous la forme de deux canaux à partir de la condition de résistance aux contraintes normales. Vérifiez la résistance de la poutre à l'aide de la condition de résistance au cisaillement et du critère de résistance énergétique. Donné:

Montrons une poutre avec construit tracés Q et M

D'après le diagramme des moments fléchissants, le dangereux est partie C, où M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Condition de résistance pour les contraintes normales car ce faisceau a la forme σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Il est nécessaire de sélectionner une section à partir de deux canaux.

Déterminer la valeur calculée requise module de section axiale :

Pour une section sous forme de deux canaux, selon accepter deux canaux №20a, le moment d'inertie de chaque canal je x =1670cm 4, alors moment de résistance axial de toute la section :

Surtension (sous-tension) aux points dangereux, on calcule selon la formule : Alors on obtient sous-tension:

Vérifions maintenant la force du faisceau, basée sur conditions de résistance aux contraintes de cisaillement. Selon diagramme des forces de cisaillement dangereux sont des sections dans la section BC et la section D. Comme on peut le voir sur le schéma, Q max \u003d 48,9 kN.

Condition de résistance pour les contraintes de cisaillement ressemble à:

Pour le canal n ° 20 a: moment statique de la zone S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment d'inertie de la section I x 1 \u003d 1670 cm 4, épaisseur de paroi d 1 \u003d 5,2 mm, épaisseur moyenne de l'étagère t 1 \u003d 9,7 mm , hauteur du canal h 1 \u003d 20 cm, largeur de l'étagère b 1 \u003d 8 cm.

Pour transversale sections de deux canaux :

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

Je x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Détermination de la valeur contrainte de cisaillement maximale :

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Comme vu, τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

Par conséquent, condition de force est remplie.

Nous vérifions la résistance de la poutre selon le critère énergétique.

Par considération diagrammes Q et M s'ensuit que la section C est dangereuse, dans lequel M C = M max = 48,3 kNm et Q C = Q max = 48,9 kN.

Dépensons analyse de l'état de contrainte aux points de la section C

définissons contraintes normales et de cisaillementà plusieurs niveaux (marqués sur le schéma de coupe)

Niveau 1-1 : y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normale et tangente tension:

Principal tension:

Niveau 2-2 : y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Principaux stress :

Niveau 3-3 : y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 4-4 : y 4-4 =0.

(au milieu, les contraintes normales sont nulles, les contraintes tangentielles sont maximales, elles ont été trouvées dans le test de résistance aux contraintes tangentielles)

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 5-5 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 6-6 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

Niveau 7-7 :

Contraintes normales et de cisaillement :

Principaux stress :

Contraintes extrêmes de cisaillement :

D'après les calculs effectués diagrammes de contraintes σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max et τ min sont présentés dans la fig.

Une analyse ces le diagramme montre, qui est dans la section transversale de la poutre les points dangereux sont au niveau 3-3 (ou 5-5), dans lequel:

Utilisant critère énergétique de résistance, on a

D'une comparaison des contraintes équivalentes et admissibles, il s'ensuit que la condition de résistance est également satisfaite

(135,3 MPa<150 МПа).

La poutre continue est chargée dans toutes les portées. Construire les diagrammes Q et M pour une poutre continue.

1. Définir degré d'incertitude statique poutres selon la formule :

n= Sop -3= 5-3 =2, où Sop - le nombre de réactions inconnues, 3 - le nombre d'équations de la statique. Pour résoudre ce faisceau, il faut deux équations supplémentaires.

2. Dénoter Nombres prend en charge avec zéro en ordre ( 0,1,2,3 )

3. Dénoter numéros de plage Depuis le premier en ordre ( v 1, v 2, v 3)

4. Chaque travée est considérée comme faisceau simple et construire des schémas pour chaque poutre simple Q et M Ce qui concerne faisceau simple, nous noterons avec l'indice "0", qui fait référence à continu faisceau, nous noterons sans cet indice. Ainsi, est la force transversale et le moment de flexion pour une poutre simple.

Lors de la construction diagrammes des moments fléchissantsM à constructeurs accepté : ordonnées exprimant dans une certaine échelle positif valeurs des moments fléchissants, mises à part étiré fibres, c'est-à-dire - descente, un négatif - en hausse de l'axe du faisceau. Par conséquent, ils disent que les constructeurs construisent des diagrammes sur des fibres étirées. Mécanique les valeurs positives de la force de cisaillement et du moment de flexion sont tracées en haut. Les mécaniciens construisent des diagrammes sur comprimé fibres.

Contraintes principales lors de la flexion. Tensions équivalentes.

Dans le cas général de flexion directe dans les sections transversales de la poutre, Ordinaire et tangentestension. Ces tensions varient en longueur et en hauteur du faisceau.

Ainsi, en cas de flexion, état de contrainte plane.

Considérons un schéma où la poutre est chargée avec une force P

La plus grande normale les contraintes surviennent dans extrême, les points les plus éloignés de la ligne neutre, et les contraintes de cisaillement y sont absentes. Donc pour extrême fibres les contraintes principales non nulles sont des contraintes normales en coupe transversale.

Au niveau de la ligne neutre dans la section transversale de la poutre apparaissent les plus grandes contraintes de cisaillement, un les contraintes normales sont nulles. signifie dans les fibres neutre couche les contraintes principales sont déterminées par les valeurs des contraintes de cisaillement.

Dans ce modèle de conception, les fibres supérieures de la poutre seront étirées et les fibres inférieures seront comprimées. Pour déterminer les contraintes principales, on utilise l'expression bien connue :

Plein analyse de l'état de contrainte présent sur la figure.

Analyse de l'état de contrainte en flexion

La plus grande contrainte principale σ 1 est situé Haut fibres extrêmes et est égal à zéro sur les fibres extrêmes inférieures. Contrainte principale σ 3 Il a la plus grande valeur absolue sur les fibres inférieures.

Trajectoire de contrainte principale dépend de type de charge et façon de fixer le faisceau.

Lors de la résolution de problèmes, il suffit séparément Vérifier Ordinaire et contraintes de cisaillement distinctes. Cependant, parfois le plus stressant s'avérer intermédiaire fibres qui ont à la fois des contraintes normales et de cisaillement. Cela se produit dans les sections où simultanément le moment de flexion et la force transversale atteignent des valeurs élevées- cela peut être dans l'encastrement d'une poutre en porte-à-faux, sur le support d'une poutre avec un porte-à-faux, dans des sections sous une force concentrée ou dans des sections avec une largeur fortement variable. Par exemple, dans une section en I, le plus dangereux jonction du mur à l'étagère- il y a contraintes significatives et normales et de cisaillement.

Le matériau est dans un état de contrainte plane et nécessite test de tension équivalente.

Conditions de résistance des poutres en matériaux ductiles sur troisième(théories des plus grandes contraintes tangentielles) et Quatrième(théorie de l'énergie des changements de forme) théories de la force.

En règle générale, dans les poutres laminées, les contraintes équivalentes ne dépassent pas les contraintes normales dans les fibres les plus externes et aucune vérification particulière n'est requise. Autre chose - poutres métalliques composites, qui paroi plus mince que celle des profilés laminés à la même hauteur. Les poutres composites soudées en tôles d'acier sont plus couramment utilisées. Calcul de ces poutres pour la résistance: a) sélection de la section - hauteur, épaisseur, largeur et épaisseur des membrures de poutres; b) essai de résistance aux contraintes normales et de cisaillement ; c) vérification de la résistance par contraintes équivalentes.

Détermination des contraintes de cisaillement dans une section en I. Considérez la rubrique Je rayonne. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm 4 ; Q=200 kN

Pour déterminer la contrainte de cisaillement, on utilise formule, où Q est l'effort transversal dans la section, S x 0 est le moment statique de la partie de la section transversale située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, I x est le moment d'inertie de toute la traverse section, b est la largeur de la section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée

Calculer maximum contrainte de cisaillement :

Calculons le moment statique pour étagère supérieure:

Calculons maintenant les contraintes de cisaillement:

Nous construisons diagramme de contrainte de cisaillement :

Considérez une section d'un profil standard dans le formulaire Je rayonne et définir les contraintes de cisaillement agissant parallèlement à la force transversale :

Calculer moments statiques chiffres simples :

Cette valeur peut aussi être calculée Par ailleurs, en utilisant le fait que pour une poutre en I et une section en auge, le moment statique de la moitié de la section est donné en même temps. Pour ce faire, il faut soustraire de la valeur connue du moment statique la valeur du moment statique à la ligne A 1 B 1 :

Les contraintes de cisaillement à la jonction de la semelle au mur changent spasmodiquement, car tranchant l'épaisseur de paroi change de t st avant de b.

Les tracés des contraintes de cisaillement dans les parois des sections creuses, rectangulaires creuses et autres ont la même forme que dans le cas d'une section en I. La formule inclut le moment statique de la partie ombrée de la section par rapport à l'axe X, et le dénominateur est la largeur de la section (nette) dans la couche où la contrainte de cisaillement est déterminée.

Déterminons les contraintes de cisaillement pour une section circulaire.

Comme les contraintes tangentielles au contour de la section doivent être dirigées tangente au contour, puis aux pointes MAIS et À aux extrémités de toute corde parallèle au diamètre UN B, les contraintes de cisaillement sont dirigées perpendiculaire aux rayons OA et VO. Par conséquent, directions contraintes de cisaillement aux points MAIS, CV converger à un moment donné H sur l'axe Y.

Moment statique de la partie coupée :

Autrement dit, les contraintes de cisaillement changent en fonction de parabolique loi et sera maximale au niveau de la ligne neutre lorsque y 0 =0

Formule de détermination des contraintes de cisaillement (formule)

Considérez une section rectangulaire

A distance à 0 tirer de l'axe central article 1-1 et déterminer les contraintes de cisaillement. Moment statique Région partie coupée :

Il faut garder à l'esprit que fondamentalement indifférent, prendre le moment statique de la zone ombragé ou repos la Coupe transversale. Les deux moments statiques de signe égal et opposé, afin qu'ils somme, qui représente moment statique de la zone de la section entière par rapport à la ligne neutre, à savoir l'axe central x, sera égal à zéro.

Moment d'inertie d'une section rectangulaire :

Alors les contraintes de cisaillement selon la formule

La variable y 0 est incluse dans la formule pendant deuxième degrés, c'est-à-dire les contraintes de cisaillement dans une section rectangulaire varient avec la loi d'une parabole carrée.

Contrainte de cisaillement atteinte maximum au niveau de la ligne neutre, c'est-à-dire lorsque y 0 =0 :

, où A est l'aire de la section entière.

Condition de résistance pour les contraintes de cisaillement ressemble à:

, où S x 0 est le moment statique de la partie de la section située d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, je x est le moment d'inertie de toute la section transversale, b- largeur de section à l'endroit où la contrainte de cisaillement est déterminée, Q- force transversale, τ - contrainte de cisaillement, [τ] — contrainte de cisaillement admissible.

Cette condition de résistance permet de produire Trois type de calcul (trois types de problèmes en analyse de résistance) :

1. Calcul de vérification ou essai de résistance pour les contraintes de cisaillement :

2. Sélection de la largeur de section (pour section rectangulaire) :

3. Détermination de l'effort transversal admissible (pour une section rectangulaire) :

Pour déterminer tangentes contraintes, considérons une poutre chargée de forces.

La tâche de déterminer les contraintes est toujours statiquement indéterminé et nécessite une implication géométrique et physiqueéquations. Cependant, on peut prendre hypothèses sur la nature de la distribution des contraintes que la tâche deviendra déterminé statiquement.

Deux sections infiniment proches 1-1 et 2-2 sélection élément dz, dessinez-le à grande échelle, puis dessinez une coupe longitudinale 3-3.

Dans les sections 1–1 et 2–2, contraintes normales σ 1 , σ 2, qui sont déterminés par les formules bien connues :

où M - moment de flexion en coupe dM - incrément moment de flexion sur la longueur dz

Force de cisaillement dans les sections 1–1 et 2–2 est dirigée le long de l'axe central principal Y et, évidemment, représente la somme des composantes verticales des contraintes de cisaillement internes réparties sur la section. Dans la résistance des matériaux, il est généralement pris l'hypothèse de leur répartition uniforme sur la largeur de la section.

Pour déterminer l'amplitude des contraintes de cisaillement en tout point de la section, situé à une distance à 0à partir de l'axe X neutre, tracez un plan parallèle à la couche neutre (3-3) passant par ce point et retirez l'élément de coupure. Nous déterminerons la tension agissant sur le site ABSD.

Projetons toutes les forces sur l'axe Z

La résultante des efforts longitudinaux internes le long du côté droit sera égale à :

où A 0 est l'aire de la face de façade, S x 0 est le moment statique de la partie coupée par rapport à l'axe X. De même sur le côté gauche :

Les deux résultants dirigés l'un vers l'autre parce que l'élément est dans comprimé zone de faisceau. Leur différence est compensée par des efforts tangentiels sur la face inférieure 3-3.

Faisons comme si contraintes de cisaillement τ répartis sur la largeur de la section transversale de la poutre b uniformément. Cette hypothèse est d'autant plus probable que la largeur est petite par rapport à la hauteur de la section. Alors résultante des efforts tangentiels dT est égal à la valeur de contrainte multipliée par la surface de la face :

Composer maintenant équation d'équilibre Σz=0 :

ou d'où

Souvenons-nous dépendances différentielles, selon lequel On obtient alors la formule :

Cette formule s'appelle formules. Cette formule a été obtenue en 1855. Ici S x 0 - moment statique d'une partie de la section transversale, situé d'un côté de la couche dans laquelle les contraintes de cisaillement sont déterminées, I x - moment d'inertie toute la section transversale b - largeur de section où la contrainte de cisaillement est déterminée, Q - force transversale dans la section.

est la condition de résistance à la flexion, où

- moment maximal (modulo) du diagramme des moments de flexion ; - module de section axiale, géométrique caractéristique; - contrainte admissible (σadm)

- contrainte normale maximale.

Si le calcul est basé sur méthode de l'état limite, puis dans le calcul au lieu de la contrainte admissible est introduite résistance de calcul du matériau R.

Types de calculs de résistance à la flexion

1. Vérification calcul ou vérification de la résistance à la contrainte normale

2. Projet calcul ou sélection de rubriques

3. Définition permis charges (définition capacité de levage et ou opérationnel transporteur capacités)

Lors de la dérivation d'une formule de calcul des contraintes normales, considérez un tel cas de flexion, lorsque les efforts internes dans les sections de la poutre ne sont réduits qu'à moment de flexion, un la force transversale est nulle. Ce cas de flexion est appelé flexion pure. Considérons la section médiane d'une poutre en flexion pure.

Lorsqu'il est chargé, le faisceau se plie de sorte qu'il les fibres inférieures s'allongent et les fibres supérieures se raccourcissent.

Étant donné que certaines des fibres de la poutre sont étirées et que d'autres sont comprimées, la transition de la tension à la compression se produit en douceur, sans sauts, dans milieu une partie du faisceau est une couche dont les fibres ne font que plier, mais ne subissent ni tension ni compression. Une telle couche est appelée neutre couche. La ligne le long de laquelle la couche neutre coupe la section transversale du faisceau est appelée ligne neutre ou axe neutre sections. Des lignes neutres sont enfilées sur l'axe du faisceau. ligne neutre est la ligne dans laquelle les contraintes normales sont nulles.

Les lignes tracées sur la surface latérale de la poutre perpendiculairement à l'axe restent appartement lors de la flexion. Ces données expérimentales permettent de fonder les dérivations des formules hypothèse des sections plates (hypothèse). Selon cette hypothèse, les sections de la poutre sont planes et perpendiculaires à son axe avant pliage, restent planes et deviennent perpendiculaires à l'axe plié de la poutre lorsqu'elle est pliée.

Hypothèses pour la dérivation des formules de contraintes normales : 1) L'hypothèse des sections plates est vérifiée. 2) Les fibres longitudinales ne s'appuient pas les unes sur les autres (hypothèse de non-pression) et, par conséquent, chacune des fibres est dans un état de tension ou de compression uniaxiale. 3) Les déformations des fibres ne dépendent pas de leur position le long de la largeur de la section. Par conséquent, les contraintes normales, évoluant sur la hauteur de la section, restent les mêmes sur toute la largeur. 4) La poutre a au moins un plan de symétrie et toutes les forces externes se trouvent dans ce plan. 5) Le matériau de la poutre obéit à la loi de Hooke, et le module d'élasticité en traction et en compression est le même. 6) Les rapports entre les dimensions de la poutre sont tels qu'elle fonctionne dans des conditions de flexion à plat sans déformation ni torsion.

Considérons une poutre de section arbitraire, mais ayant un axe de symétrie. Moment de flexion représente moment résultant des forces normales internes survenant sur des surfaces infiniment petites et peut être exprimé en termes de intégral formulaire: (1), où y est le bras de la force élémentaire par rapport à l'axe x

Formule (1) exprime statique côté du problème de la flexion d'une barre droite, mais le long de celle-ci selon un moment de flexion connu il est impossible de déterminer les contraintes normales tant que la loi de leur distribution n'est pas établie.

Sélectionnez les poutres dans la section centrale et considérez section de longueur dz, sujet à la flexion. Zoomons dessus.

Sections délimitant la section dz, parallèles entre eux avant déformation, et après application de la charge tourner autour de leurs lignes neutres en biais . La longueur du segment des fibres de la couche neutre ne changera pas. et sera égal à : , où est-il rayon de courbure axe courbe du faisceau. Mais toute autre fibre couchée en dessous ou au dessus couche neutre, va changer sa longueur. Calculer allongement relatif des fibres situées à une distance y de la couche neutre. L'allongement relatif est le rapport de la déformation absolue à la longueur d'origine, alors :

On réduit par et on réduit comme termes, alors on obtient : (2) Cette formule exprime géométrique côté du problème de flexion pure : les déformations des fibres sont directement proportionnelles à leurs distances à la couche neutre.

Passons maintenant à stresse, c'est à dire. nous allons le prendre en compte physique côté de la tâche. selon hypothèse de non-pression les fibres sont utilisées en traction-compression axiale : alors, compte tenu de la formule (2) Nous avons (3), ceux. contraintes normales lors de la flexion le long de la hauteur de la section sont distribués selon une loi linéaire. Sur les fibres extrêmes, les contraintes normales atteignent leur valeur maximale, et au centre de gravité, les sections efficaces sont égales à zéro. Remplaçant (3) dans l'équation (1) et prenons la fraction du signe intégral comme une valeur constante, alors nous avons . Mais l'expression est moment d'inertie axial de la section autour de l'axe x - je x. Sa dimension cm 4, m 4

Alors ,où (4) , où est courbure de l'axe plié de la poutre, a est la raideur de la section de la poutre lors de la flexion.

Remplacez l'expression résultante courbure (4) dans une expression (3) et obtenir formule de calcul des contraintes normales en tout point de la section : (5)

Ce. maximum des contraintes surviennent aux points les plus éloignés de la ligne neutre. Attitude (6) appelé module de section axiale. Sa dimension cm 3, m 3. Le moment résistant caractérise l'influence de la forme et des dimensions de la section sur l'amplitude des contraintes.

Alors tensions maximales : (7)

Condition de résistance à la flexion : (8)

Pendant la flexion transversale non seulement des contraintes normales, mais aussi des contraintes de cisaillement, car disponible force de cisaillement. Les contraintes de cisaillement compliquer l'image de la déformation, ils conduisent à courbure sections transversales de la poutre, à la suite de quoi l'hypothèse des sections plates est violée. Cependant, des études montrent que les distorsions introduites par les contraintes de cisaillement légèrement affectent les contraintes normales calculées par la formule (5) . Ainsi, lors de la détermination des contraintes normales en cas de flexion transversale la théorie de la flexion pure est tout à fait applicable.

Ligne neutre. Question sur la position de la ligne neutre.

En flexion, il n'y a pas d'effort longitudinal, on peut donc écrire Remplacez ici la formule des contraintes normales (3) et obtenir Étant donné que le module d'élasticité du matériau de la poutre n'est pas égal à zéro et que l'axe plié de la poutre a un rayon de courbure fini, il reste à supposer que cette intégrale est moment statique de l'aire section transversale du faisceau par rapport à l'axe de la ligne neutre x , et depuis il est égal à zéro, alors la ligne neutre passe par le centre de gravité de la section.

La condition (absence du moment des efforts internes par rapport à la ligne de champ) donnera ou compte tenu (3) . Pour les mêmes raisons (voir ci-dessus) . Dans l'intégrande - le moment d'inertie centrifuge de la section autour des axes x et y est nul, donc ces axes sont principal et central et maquiller droit coin. Par conséquent, les lignes électriques et neutres dans un virage droit sont mutuellement perpendiculaires.

En réglant position de la ligne neutre, facile à construire diagramme des contraintes normales par hauteur de section. Son linéaire le caractère est déterminé équation du premier degré.

La nature du diagramme σ pour les sections symétriques par rapport à la ligne neutre, M<0

L'hypothèse des méplats en flexion s'explique par un exemple : appliquons une grille sur la surface latérale d'une poutre non déformée, constituée de droites longitudinales et transversales (perpendiculaires à l'axe). Du fait de la flexion de la poutre, les lignes longitudinales prendront une forme curviligne, tandis que les lignes transversales resteront pratiquement droites et perpendiculaires à l'axe de flexion de la poutre.

Formulation de l'hypothèse de section plane: les sections planes et perpendiculaires à l'axe de la poutre avant , restent planes et perpendiculaires à l'axe courbe après sa déformation.

Cette circonstance indique que lorsque hypothèse de section plate, comme avec et

En plus de l'hypothèse des sections planes, une hypothèse est faite : les fibres longitudinales de la poutre ne se compriment pas lorsqu'elle est pliée.

L'hypothèse des sections plates et l'hypothèse sont appelées La conjecture de Bernoulli.

Considérons une poutre de section rectangulaire subissant une flexion pure (). Sélectionnons un élément de poutre avec une longueur (Fig. 7.8. a). À la suite de la flexion, les sections transversales de la poutre tourneront, formant un angle. Les fibres supérieures sont en compression et les fibres inférieures en tension. Le rayon de courbure de la fibre neutre est noté .

On considère conditionnellement que les fibres changent de longueur, tout en restant droites (Fig. 7.8. b). Puis l'allongement absolu et relatif de la fibre, espacée d'une distance y de la fibre neutre :

Montrons que les fibres longitudinales, qui ne subissent ni tension ni compression lors de la flexion de la poutre, passent par l'axe central principal x.

Étant donné que la longueur de la poutre ne change pas pendant la flexion, la force longitudinale (N) résultant de la section transversale doit être nulle. Force longitudinale élémentaire.

Étant donné l'expression :

Le multiplicateur peut être extrait du signe intégral (ne dépend pas de la variable d'intégration).

L'expression représente la section transversale du faisceau par rapport à l'axe des x neutre. Elle est nulle lorsque l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section transversale. Par conséquent, l'axe neutre (ligne zéro) lorsque la poutre est pliée passe par le centre de gravité de la section transversale.

Évidemment : le moment fléchissant est associé à des contraintes normales qui se produisent aux points de la section transversale de la tige. Moment de flexion élémentaire créé par la force élémentaire :

,

où est le moment d'inertie axial de la section transversale autour de l'axe neutre x, et le rapport est la courbure de l'axe de la poutre.

Rigidité poutres en flexion(plus il est grand, plus le rayon de courbure est petit).

La formule résultante représente Loi de Hooke en flexion pour une tige: le moment de flexion se produisant dans la section transversale est proportionnel à la courbure de l'axe de la poutre.

Exprimer à partir de la formule de la loi de Hooke pour une tige lors de la flexion du rayon de courbure () et en remplaçant sa valeur dans la formule , on obtient la formule des contraintes normales () en un point arbitraire de la section de la poutre, distant d'une distance y de l'axe neutre x : .

Dans la formule des contraintes normales () en un point arbitraire de la section transversale de la poutre, les valeurs absolues du moment de flexion () et la distance du point à l'axe neutre (coordonnées y) doivent être remplacées . Que la contrainte en un point donné soit de traction ou de compression est facile à établir par la nature de la déformation de la poutre ou par le diagramme des moments de flexion dont les ordonnées sont tracées du côté des fibres comprimées de la poutre.

On peut le voir à partir de la formule : les contraintes normales () évoluent le long de la hauteur de la section transversale de la poutre selon une loi linéaire. Sur la fig. 7.8, le tracé est affiché. Les plus grandes contraintes lors de la flexion de la poutre se produisent aux points les plus éloignés de l'axe neutre. Si une ligne est tracée dans la section transversale de la poutre parallèle à l'axe neutre x, les mêmes contraintes normales apparaissent en tous ses points.

Analyse simple diagrammes de contraintes normales montre que lorsque la poutre est pliée, le matériau situé près de l'axe neutre ne fonctionne pratiquement pas. Par conséquent, afin de réduire le poids de la poutre, il est recommandé de choisir des formes de section dans lesquelles la majeure partie du matériau est retirée de l'axe neutre, comme, par exemple, un profil en I.

pliez le type de chargement d'une barre est appelé, dans lequel un moment lui est appliqué, se trouvant dans un plan passant par l'axe longitudinal. Les moments de flexion se produisent dans les sections transversales de la poutre. Lors de la flexion, une déformation se produit, dans laquelle l'axe de la poutre droite est plié ou la courbure de la poutre incurvée change.

Une poutre qui travaille en flexion est appelée rayonner . Une structure constituée de plusieurs tiges de flexion reliées entre elles le plus souvent à un angle de 90° est appelée Cadre .

Le virage s'appelle plat ou droit , si le plan d'action de la charge passe par l'axe d'inertie central principal de la section (Fig. 6.1).

Figure 6.1

Avec une flexion transversale à plat dans la poutre, deux types d'efforts internes apparaissent : l'effort transversal Q et moment de flexion M. Dans le cadre avec une flexion transversale plate, trois forces apparaissent: longitudinales N, transversale Q forces et moment de flexion M.

Si le moment de flexion est le seul facteur de force interne, alors une telle courbure est appelée nettoyer (fig.6.2). En présence d'un effort transversal, une courbure est appelée transversal . A proprement parler, seule la flexion pure appartient aux types simples de résistance ; la flexion transversale est conditionnellement appelée types simples de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'action d'une force transversale peut être négligée dans les calculs de résistance.

22.Coude transversal plat. Dépendances différentielles entre les efforts internes et la charge externe. Entre le moment de flexion, la force transversale et l'intensité de la charge répartie, il existe des dépendances différentielles basées sur le théorème de Zhuravsky, du nom de l'ingénieur de pont russe D. I. Zhuravsky (1821-1891).

Ce théorème se formule comme suit :

L'effort transversal est égal à la dérivée première du moment fléchissant le long de l'abscisse de la section de la poutre.

23. Coude transversal plat. Construction de diagrammes d'efforts transversaux et de moments fléchissants. Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 1

Nous supprimons le côté droit de la poutre et remplaçons son action sur le côté gauche par une force transversale et un moment de flexion. Pour la commodité des calculs, nous fermons le côté droit rejeté de la poutre avec une feuille de papier, en alignant le bord gauche de la feuille avec la section 1 considérée.

La force transversale dans la section 1 de la poutre est égale à la somme algébrique de toutes les forces externes visibles après la fermeture

On ne voit que la réaction à la baisse du support. Ainsi, la force transversale vaut :

kN.

Nous avons pris le signe moins car la force fait tourner la partie visible de la poutre par rapport à la première section dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (ou parce qu'elle est dans le même sens que la direction de la force transversale selon la règle des signes)

Le moment de flexion dans la section 1 de la poutre est égal à la somme algébrique des moments de tous les efforts que nous voyons après avoir fermé la partie rejetée de la poutre, par rapport à la section 1 considérée.

On voit deux efforts : la réaction de l'appui et le moment M. Or, le bras de la force est quasi nul. Alors le moment de flexion vaut :

kN·m

Ici, le signe plus est pris par nous parce que le moment externe M plie la partie visible du faisceau avec une convexité vers le bas. (ou parce qu'il est opposé à la direction du moment de flexion selon la règle des signes)

Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 2

Contrairement à la première section, la force de réaction a un épaulement égal à a.

force transversale :

kN;

moment de flexion :

Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 3

force transversale :

moment de flexion :

Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 4

Maintenant plus confortable couvrir le côté gauche de la poutre avec une feuille.

force transversale :

moment de flexion :

Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 5

force transversale :

moment de flexion :

Détermination des efforts tranchants et des moments de flexion - section 1

force transversale et moment de flexion :

.

Sur la base des valeurs trouvées, nous construisons un diagramme des forces transversales (Fig. 7.7, b) et des moments de flexion (Fig. 7.7, c).

CONTRÔLE DE LA CONSTRUCTION CORRECTE DE LA PHYSIQUE

Nous vérifierons l'exactitude de la construction des diagrammes en fonction des caractéristiques externes, en utilisant les règles de construction des diagrammes.

Vérification du tracé de la force de cisaillement

Nous en sommes convaincus : sous sections non chargées, le diagramme des efforts transversaux s'étend parallèlement à l'axe de la poutre, et sous une charge répartie q, selon une droite inclinée vers le bas. Il y a trois sauts sur le diagramme de force longitudinale : sous la réaction - vers le bas de 15 kN, sous la force P - vers le bas de 20 kN et sous la réaction - vers le haut de 75 kN.

Vérification du tracé des moments de flexion

Sur le diagramme des moments fléchissants, on voit des ruptures sous l'effort concentré P et sous les réactions d'appui. Les angles de rupture sont dirigés vers ces forces. Sous une charge répartie q, le diagramme des moments fléchissants évolue le long d'une parabole quadratique dont la convexité est dirigée vers la charge. Dans la section 6, il y a un extremum sur le diagramme du moment fléchissant, puisque le diagramme de l'effort transversal à cet endroit passe par zéro.

10.1. Concepts généraux et définitions

pliez- il s'agit d'un type de chargement dans lequel la tige est chargée avec des moments dans des plans passant par l'axe longitudinal de la tige.

Une tige qui travaille en flexion s'appelle une poutre (ou poutre). À l'avenir, nous considérerons des poutres droites dont la section transversale présente au moins un axe de symétrie.

Dans la résistance des matériaux, la flexion est plate, oblique et complexe.

virage à plat- flexion, dans laquelle toutes les forces de flexion de la poutre se situent dans l'un des plans de symétrie de la poutre (dans l'un des plans principaux).

Les plans d'inertie principaux de la poutre sont les plans passant par les axes principaux des sections transversales et l'axe géométrique de la poutre (axe x).

virage oblique- flexion, dans laquelle les charges agissent dans un plan qui ne coïncide pas avec les plans d'inertie principaux.

Courbure complexe- flexion, dans laquelle les charges agissent dans différents plans (arbitraires).

10.2. Détermination des forces de flexion internes

Considérons deux cas caractéristiques de flexion : dans le premier cas, la poutre en porte-à-faux est fléchie par le moment concentré Mo ; dans le second, par la force concentrée F.

En utilisant la méthode des sections mentales et en compilant les équations d'équilibre pour les parties coupées de la poutre, nous déterminons les efforts internes dans les deux cas :

Le reste des équations d'équilibre est évidemment identiquement égal à zéro.

Ainsi, dans le cas général de flexion à plat dans la section de poutre, sur six efforts internes, deux surviennent - moment de flexion Mz et force de cisaillement Qy (ou lors de la flexion autour d'un autre axe principal - le moment de flexion My et la force transversale Qz).

Dans ce cas, conformément aux deux cas de chargement considérés, la flexion à plat peut être divisée en pure et transversale.

Courbure pure- flexion à plat, dans laquelle seulement un effort interne sur six apparaît dans les sections de la tige - un moment de flexion (voir le premier cas).

coude transversal- flexion, dans laquelle, en plus du moment de flexion interne, un effort transversal apparaît également dans les sections de la tige (voir le deuxième cas).

A proprement parler, seule la flexion pure appartient aux types simples de résistance ; la flexion transversale est conditionnellement appelée types simples de résistance, car dans la plupart des cas (pour des poutres suffisamment longues), l'action d'une force transversale peut être négligée dans les calculs de résistance.

Lors de la détermination des efforts internes, nous respecterons la règle de signes suivante :

1) l'effort transversal Qy est considéré comme positif s'il tend à faire tourner l'élément de poutre considéré dans le sens des aiguilles d'une montre ;

2) le moment de flexion Mz est considéré comme positif si, lorsque l'élément de poutre est plié, les fibres supérieures de l'élément sont comprimées et les fibres inférieures sont étirées (règle parapluie).

Ainsi, la solution du problème de détermination des efforts internes lors de la flexion sera construite selon le plan suivant : 1) dans un premier temps, en considérant les conditions d'équilibre de la structure dans son ensemble, on détermine, si nécessaire, les réactions inconnues des appuis (notez que pour une poutre en porte-à-faux, des réactions dans l'encastrement peuvent être et ne pas être trouvées si l'on considère la poutre depuis l'extrémité libre) ; 2) à la deuxième étape, nous sélectionnons les sections caractéristiques de la poutre, en prenant comme limites des sections les points d'application des forces, les points de changement de forme ou de dimensions de la poutre, les points de fixation de la poutre ; 3) à la troisième étape, nous déterminons les efforts internes dans les sections de poutre, en tenant compte des conditions d'équilibre des éléments de poutre dans chacune des sections.

10.3. Dépendances différentielles en flexion

Établissons quelques relations entre les efforts internes et les charges de flexion externes, ainsi que les caractéristiques des diagrammes Q et M, dont la connaissance facilitera la construction des diagrammes et vous permettra de contrôler leur exactitude. Par commodité de notation, on notera : M≡Mz, Q≡Qy.

Allouons un petit élément dx dans une section d'une poutre avec une charge arbitraire à un endroit où il n'y a pas de forces et de moments concentrés. Puisque toute la poutre est en équilibre, l'élément dx sera également en équilibre sous l'action des efforts transversaux qui lui sont appliqués, des moments de flexion et de la charge extérieure. Étant donné que Q et M varient généralement le long de

l'axe de la poutre, alors dans les sections de l'élément dx il y aura des forces transversales Q et Q + dQ, ainsi que des moments de flexion M et M + dM. A partir de la condition d'équilibre de l'élément sélectionné, on obtient

La première des deux équations écrites donne la condition

A partir de la seconde équation, en négligeant le terme q dx (dx/2) comme quantité infinitésimale du second ordre, on trouve

En considérant les expressions (10.1) et (10.2) ensemble, on obtient

Les relations (10.1), (10.2) et (10.3) sont dites différentielles dépendances de D. I. Zhuravsky en flexion.

L'analyse des dépendances différentielles ci-dessus en flexion nous permet d'établir quelques caractéristiques (règles) pour construire des diagrammes de moments fléchissants et d'efforts tranchants : a - dans les zones où il n'y a pas de charge répartie q, les diagrammes Q sont limités à des droites parallèles à la base, et les schémas M sont des droites inclinées ; b - dans les sections où une charge répartie q est appliquée à la poutre, les diagrammes Q sont limités par des droites inclinées, et les diagrammes M sont limités par des paraboles quadratiques.

Dans ce cas, si nous construisons le diagramme M "sur une fibre étirée", alors la convexité de la parabole sera dirigée dans la direction d'action de q, et l'extremum sera situé dans la section où le diagramme Q coupe la base ligne; c - dans les sections où une force concentrée est appliquée à la poutre, sur le diagramme Q il y aura des sauts de la valeur et dans la direction de cette force, et sur le diagramme M il y a des plis, la pointe dirigée dans la direction de cette Obliger; d - dans les sections où un moment concentré est appliqué à la poutre, il n'y aura aucun changement sur le diagramme Q, et sur le diagramme M, il y aura des sauts de la valeur de ce moment ; e - dans les sections où Q>0, le moment M augmente, et dans les sections où Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Contraintes normales en flexion pure d'une poutre droite

Considérons le cas d'une flexion plane pure d'une poutre et dérivons une formule pour déterminer les contraintes normales pour ce cas.

A noter que dans la théorie de l'élasticité il est possible d'obtenir une dépendance exacte pour les contraintes normales en flexion pure, mais si pour résoudre ce problème par des méthodes de résistance des matériaux, il faut introduire quelques hypothèses.

Il existe trois hypothèses de ce type pour la flexion :

a - l'hypothèse des sections plates (hypothèse de Bernoulli) - les sections sont plates avant déformation et restent plates après déformation, mais ne tournent que autour d'une certaine ligne, appelée axe neutre de la section de poutre. Dans ce cas, les fibres du faisceau, situées d'un côté de l'axe neutre, seront étirées, et de l'autre, comprimées ; les fibres situées sur l'axe neutre ne changent pas de longueur;

b - l'hypothèse de la constance des contraintes normales - les contraintes agissant à la même distance y de l'axe neutre sont constantes sur toute la largeur de la poutre ;

c – hypothèse d'absence de pressions latérales – les fibres longitudinales voisines ne s'appuient pas les unes sur les autres.

Le côté statique du problème

Pour déterminer les contraintes dans les sections transversales de la poutre, nous considérons tout d'abord les côtés statiques du problème. En appliquant la méthode des sections mentales et en compilant les équations d'équilibre pour la partie coupée de la poutre, nous trouvons les efforts internes lors de la flexion. Comme indiqué précédemment, la seule force interne agissant dans la section de la barre en flexion pure est le moment de flexion interne, ce qui signifie que les contraintes normales qui lui sont associées apparaîtront ici.

Nous trouvons la relation entre les efforts internes et les contraintes normales dans la section de la poutre en considérant les contraintes sur la zone élémentaire dA, sélectionnée dans la section transversale A de la poutre en un point de coordonnées y et z (l'axe y est dirigé vers le bas pour plus de facilité d'analyse):

Comme nous pouvons le voir, le problème est intérieurement statiquement indéterminé, puisque la nature de la distribution des contraintes normales sur la section transversale est inconnue. Pour résoudre le problème, considérons le modèle géométrique des déformations.

Le côté géométrique du problème

Considérons la déformation d'un élément de poutre de longueur dx sélectionné à partir d'une tige de flexion en un point arbitraire de coordonnée x. Compte tenu de l'hypothèse précédemment acceptée des sections plates, après avoir plié la section de la poutre, tourner par rapport à l'axe neutre (n.r.) d'un angle dϕ, tandis que la fibre ab, qui est à une distance y de l'axe neutre, se transformera en un arc de cercle a1b1, et sa longueur changera d'une certaine taille. On rappelle ici que la longueur des fibres situées sur l'axe neutre ne change pas, et donc l'arc a0b0 (dont on note le rayon de courbure par ρ) a la même longueur que le segment a0b0 avant déformation a0b0=dx.

Trouvons la déformation linéaire relative εx de la fibre ab de la poutre courbe.