Тригонометрични формули за сумата от синус и косинус. Купете евтино диплома за висше образование

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат на документ по предоставения образец? Отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка на нашия имейл адрес добро качествои ще направим необходимия дубликат.

Какви видове плащане приемате? Отговор Можете да платите за документа в момента на получаване от куриера, след като проверите коректността на попълването и качеството на дипломата. Това може да стане и в офиса на пощенските компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел "Плащане и доставка". Готови сме да изслушаме и вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.

Мога ли да съм сигурен, че след като направите поръчка, няма да изчезнете с моите пари? Отговор Имаме доста дълъг опит в областта на изработката на дипломи. Имаме няколко сайта, които постоянно се актуализират. Нашите специалисти работят в различни части на страната, като изработват над 10 документа на ден. През годините нашите документи помогнаха на много хора да решат проблемите със заетостта или да преминат към повече високо платена работа. Спечелихме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да правим това. Освен това е просто невъзможно да го направите физически: плащате за поръчката си в момента на получаването й във вашите ръце, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от който и да е университет? Отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. За това време е формирана почти пълна база данни от документи, издадени от почти всички университети в страната и чужбина. различни годинииздаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формуляр за поръчка.

Какво трябва да направя, ако намеря печатни грешки и грешки в документ? Отговор При получаване на документ от нашата куриерска или пощенска фирма, препоръчваме да проверите внимателно всички детайли. Ако се открие печатна грешка, грешка или неточност, имате право да не вземете дипломата и трябва да посочите констатираните недостатъци лично на куриера или в писанекато изпратите писмо до електронна поща.
При първа възможност ние ще коригираме документа и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, ние изпращаме оформление на бъдещия документ на клиента по пощата за проверка и одобрение. финална версия. Преди да изпратим документ по куриер или по пощата, ние също го правим допълнителна снимкаи видео (включително в ултравиолетова светлина), така че да имате визуална представа за това, което получавате в крайна сметка.

Какво трябва да направите, за да поръчате диплома от вашата компания? Отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академично свидетелство и др.), трябва да попълните онлайн формуляр за поръчка на нашия уебсайт или да предоставите своя e-mail, за да ви изпратим формуляр за въпросник, който трябва да попълните и изпратите обратно към нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое поле на формуляра/въпросника, оставете ги празни. Затова ще изясним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Алексей:

Трябваше да получа диплома, за да намеря работа като мениджър. И най-важното е, че имам опит и умения, но без документ не мога, ще намеря работа навсякъде. След като попаднах на вашия сайт, все пак реших да си купя диплома. Дипломата беше завършена за 2 дни! Сега имам работа, за която не съм мечтал преди!! Благодаря ти!

Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите за два ъгъла α и β ви позволяват да преминете от сбора на посочените ъгли към произведението на ъглите α + β 2 и α - β 2 . Веднага отбелязваме, че не трябва да бъркате формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите с формулите за синусите и косинусите на сумата и разликата. По-долу изброяваме тези формули, даваме тяхното извеждане и показваме примери за приложение за конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули за сумата и разликата на синусите и косинусите

Нека напишем как изглеждат формулите за сбор и разлика за синуси и косинуси

Формули за сума и разлика за синусите

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формули за сума и разлика за косинуси

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2

Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β. Ъглите α + β 2 и α - β 2 се наричат съответно полусума и полуразлика на ъглите алфа и бета. Даваме формулировка за всяка формула.

Дефиниции на формули за сума и разлика за синуси и косинуси

Сборът от синусите на два ъгълае равно на двойното произведение на синуса на полусумата от тези ъгли и косинуса на полуразликата.

Разлика на синусите на два ъгълае равно на двойното произведение на синуса на полуразликата на тези ъгли и косинуса на полусумата.

Сборът от косинусите на два ъгълае равно на двойното произведение на косинуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли.

Разлика на косинусите на два ъгълае равно на двойното произведение на синуса на полусумата и косинуса на полуразликата на тези ъгли, взети с отрицателен знак.

Извеждане на формули за сбора и разликата на синусите и косинусите

За извеждане на формули за сумата и разликата на синуса и косинуса на два ъгъла се използват формули за събиране. Представяме ги по-долу

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Ние също така представяме самите ъгли като сбор от полусуми и полуразлики.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + - β

Пристъпваме директно към извеждането на формулите за сума и разлика за sin и cos.

Извеждане на формулата за сбора на синусите

В сумата sin α + sin β заменяме α и β с изразите за тези ъгли, дадени по-горе. Вземи

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Сега прилагаме формулата за добавяне към първия израз и синусовата формула на ъгловите разлики към втория (вижте формулите по-горе)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Стъпките за извличане на останалите формули са подобни.

Извеждане на формулата за разликата на синусите

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Извеждане на формулата за сбора на косинусите

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Извеждане на формулата на косинусовата разлика

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примери за решаване на практически задачи

За начало ще проверим една от формулите, като заменим определени стойности на ъгли в нея. Нека α = π 2 , β = π 6 . Нека изчислим стойността на сумата от синусите на тези ъгли. Първо, нека използваме таблицата с основните стойности тригонометрични функции, и след това приложете формулата за сумата на синусите.

Пример 1. Проверка на формулата за сумата от синусите на два ъгъла

α = π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 = 3 2

Нека сега разгледаме случая, когато стойностите на ъглите се различават от основните стойности, представени в таблицата. Нека α = 165°, β = 75°. Нека изчислим стойността на разликата между синусите на тези ъгли.

Пример 2. Прилагане на формулата за синусова разлика

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Използвайки формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите, можете да преминете от сбора или разликата към произведението на тригонометричните функции. Често тези формули се наричат формули за преход от сума към произведение. Формулите за сумата и разликата на синусите и косинусите са широко използвани при решаването тригонометрични уравненияи при преобразуване на тригонометрични изрази.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Косинус на сбора и разликата на два ъгъла

В този раздел ще бъдат доказани следните две формули:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Косинусът на сбора (разликата) на два ъгъла е равен на произведението на косинусите на тези ъгли минус (плюс) произведението на синусите на тези ъгли.

За нас ще бъде по-удобно да започнем с доказателството на формула (2). За простота, нека първо приемем, че ъглите α и β отговарят на следните условия:

1) всеки от тези ъгли е неотрицателен и по-малък от 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Нека положителната част на оста 0x е общата начална страна на ъглите α и β .

Нека означим крайните страни на тези ъгли съответно като 0A и 0B. Очевидно ъгълът α - β може да се разглежда като ъгълът, под който е необходимо да се завърти лъчът 0B около точката 0 обратно на часовниковата стрелка, така че посоката му да съвпада с посоката на лъча 0A.

Върху лъчите 0A и 0B маркираме точките M и N, които са на разстояние 1 от началото на координатите 0, така че 0M = 0N = 1.

В координатната система x0y точката M има координати ( cosα, sinα), и точка N - координати ( cos β , sin β). Значи квадратът на разстоянието между тях е:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

При изчисленията използвахме идентичността

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Сега разгледайте друга координатна система B0C, която се получава чрез завъртане на осите 0x и 0y около точка 0 обратно на часовниковата стрелка на ъгъл β .

В тази координатна система точка M има координати (cos ( α - β ), грях ( α - β )), а точката е N-координати (1,0). Значи квадратът на разстоянието между тях е:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) \u003d 2.

Но разстоянието между точките M и N не зависи от коя координатна система разглеждаме тези точки. Така

г 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Тук следва формула (2).

Сега трябва да си припомним онези две ограничения, които наложихме за простота на представяне на ъглите α и β .

Изискването всеки от ъглите α и β беше неотрицателен, не беше наистина значим. В крайна сметка към всеки от тези ъгли може да се добави ъгъл, кратен на 2n, което по никакъв начин няма да повлияе на валидността на формула (2). По същия начин от всеки един от дадените ъгли можете да извадите ъгъл, кратен на 2π. Следователно може да се счита, че 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Условието α > β . Наистина, ако α < β , тогава β >α ; следователно, като се вземе предвид равномерността на функцията cos х , получаваме:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

което по същество съвпада с формула (2). Така формулата

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

вярно за всички ъгли α и β . По-специално чрез замяна β на - β и като се има предвид, че функцията cosх е четно, а функцията гряхх странно, получаваме:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

което доказва формула (1).

Така формулите (1) и (2) са доказани.

Примери.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =