To'rtburchak prizmaning qirralari. Prizma haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa (2019)

To'g'ri prizma haqida umumiy ma'lumot

Prizmaning lateral yuzasi (aniqrog'i, lateral sirt maydoni) deyiladi so'm yuzning yon tomonlari. Prizmaning umumiy yuzasi lateral yuzasi va asoslar maydonlarining yig'indisiga teng.

19.1 teorema. To'g'ri prizmaning yon yuzasi poydevor perimetri va prizma balandligining mahsulotiga, ya'ni yon chetining uzunligiga teng.

Isbot. To'g'ri prizmaning yon yuzlari to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchaklarning asoslari prizmaning tagida yotgan ko'pburchakning tomonlari bo'lib, balandliklari yon qirralarning uzunligiga teng. Bundan kelib chiqadiki, prizmaning lateral yuzasi teng

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

bu erda a 1 va n - asosning qovurg'alarining uzunligi, p - prizma asosining perimetri, I - yon qovurg'aning uzunligi. Teorema isbotlangan.

Amaliy vazifa

Vazifa (22) . Eğimli prizmada Bo'lim, yon qirralarga perpendikulyar va barcha yon qirralarni kesib o'tadi. Toping yon yuzasi prizma, agar kesimning perimetri p ga, yon qirralari esa l ga teng bo'lsa.

Qaror. Chizilgan kesma tekisligi prizmani ikki qismga ajratadi (411-rasm). Keling, ulardan birini prizma asoslarini birlashtirgan parallel tarjimaga bo'ysundiramiz. Bunday holda, biz to'g'ri prizma olamiz, unda dastlabki prizmaning kesimi asos bo'lib xizmat qiladi va yon qirralari l ga teng. Bu prizma asl prizma bilan bir xil yon yuzasiga ega. Shunday qilib, asl prizmaning yon yuzasi pl ga teng.

Mavzuni umumlashtirish

Endi keling, prizma mavzusini umumlashtirishga va prizma qanday xususiyatlarga ega ekanligini eslashga harakat qilaylik.

Prizma xossalari

Birinchidan, prizma uchun uning barcha asoslari teng ko'pburchaklardir;
Ikkinchidan, prizma uchun uning barcha yon yuzlari parallelogrammdir;
Uchinchidan, prizma kabi ko'p qirrali figurada barcha yon qirralar teng;

Shuni ham yodda tutish kerakki, prizmalar kabi ko'pburchaklar tekis va moyil bo'lishi mumkin.

To'g'ri prizma nima?

Agar prizmaning yon cheti uning asosi tekisligiga perpendikulyar joylashgan bo'lsa, bunday prizma to'g'ri chiziq deyiladi.

To'g'ri prizmaning yon yuzlari to'rtburchaklar ekanligini eslash ortiqcha bo'lmaydi.

Egri prizma nima?

Ammo agar prizmaning yon qirrasi uning asosi tekisligiga perpendikulyar bo'lmasa, biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu qiya prizma.

To'g'ri prizma nima?

Agar to'g'ri prizma asosida muntazam ko'pburchak yotsa, bunday prizma muntazamdir.

Endi oddiy prizmaning xossalarini eslaylik.

Muntazam prizmaning xossalari

Birinchidan, har doim asos to'g'ri prizma muntazam ko'pburchaklar;
Ikkinchidan, agar muntazam prizmaning yon yuzlarini ko'rib chiqsak, ular doimo teng to'rtburchaklardir;
Uchinchidan, agar biz yon qovurg'alarning o'lchamlarini solishtirsak, unda to'g'ri prizmada ular doimo teng bo'ladi.
To'rtinchidan, muntazam prizma har doim to'g'ri;
Beshinchidan, agar muntazam prizmada yon yuzlar kvadrat shaklida bo'lsa, unda bunday raqam odatda yarim muntazam ko'pburchak deb ataladi.

Prizma bo'limi

Endi prizmaning ko‘ndalang kesimini ko‘rib chiqamiz:

Uy vazifasi

Endi esa o‘rganilgan mavzuni masalalar yechish orqali mustahkamlashga harakat qilaylik.

Qiyali uchburchak prizma chizamiz, uning qirralari orasidagi masofa: 3 sm, 4 sm va 5 sm, bu prizmaning yon yuzasi 60 sm2 ga teng bo'ladi. Ushbu parametrlar yordamida berilgan prizmaning lateral chetini toping.

Va siz buni bilasiz geometrik figuralar Bizni nafaqat geometriya darslarida, balki doimo o'rab turadi Kundalik hayot u yoki bu geometrik figuraga o'xshash narsalar mavjud.

Har bir uyda, maktabda yoki ishda tizim bloki to'g'ri prizma shaklida bo'lgan kompyuter mavjud.

Agar siz oddiy qalamni olsangiz, qalamning asosiy qismi prizma ekanligini ko'rasiz.

Shaharning asosiy ko'chasi bo'ylab yurib, biz oyoqlarimiz ostida olti burchakli prizma shakliga ega bo'lgan plitka yotganini ko'ramiz.

A. V. Pogorelov, Geometriya 7-11 sinflar uchun, Ta'lim muassasalari uchun darslik

Turli prizmalar bir-biridan farq qiladi. Shu bilan birga, ularning umumiy jihatlari juda ko'p. Prizma asosining maydonini topish uchun siz uning qanday ko'rinishini aniqlashingiz kerak.

Umumiy nazariya

Prizma - bu tomonlari parallelogramm shakliga ega bo'lgan har qanday ko'pburchak. Bundan tashqari, har qanday ko'pburchak uning bazasida bo'lishi mumkin - uchburchakdan n-burchakgacha. Bundan tashqari, prizmaning asoslari har doim bir-biriga teng. Yon yuzlarga nima taalluqli emas - ular kattaligi jihatidan sezilarli darajada farq qilishi mumkin.

Muammolarni hal qilishda faqat prizma asosining maydoni emas. Yanal sirtni, ya'ni asos bo'lmagan barcha yuzlarni bilish kerak bo'lishi mumkin. To'liq sirt allaqachon prizmani tashkil etuvchi barcha yuzlarning birlashuvi bo'ladi.

Ba'zan vazifalarda balandliklar paydo bo'ladi. U asoslarga perpendikulyar. Ko'pburchakning diagonali - bir yuzga tegishli bo'lmagan har qanday ikkita cho'qqini juft qilib bog'laydigan segment.

Shuni ta'kidlash kerakki, tekis yoki eğimli prizma poydevorining maydoni ular va yon tomonlar orasidagi burchakka bog'liq emas. Agar ular yuqori va pastki yuzlarda bir xil raqamlarga ega bo'lsa, unda ularning maydonlari teng bo'ladi.

uchburchak prizma

Uning tagida uchta uchli figura, ya'ni uchburchak mavjud. Turli xil ekanligi ma'lum. Agar u holda uning maydoni oyoqlarning yarmi mahsuloti bilan aniqlanganligini eslash kifoya.

Matematik belgilar quyidagicha ko'rinadi: S = ½ av.

Baza maydonini topish uchun umumiy ko'rinish, formulalar foydalidir: Heron va yon tomonning yarmi unga chizilgan balandlikka olinadi.

Birinchi formula quyidagicha yozilishi kerak: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ushbu yozuv yarim perimetrni (p) o'z ichiga oladi, ya'ni uch tomonning yig'indisi ikkiga bo'linadi.

Ikkinchidan: S = ½ n a * a.

Agar siz muntazam bo'lgan uchburchak prizma asosining maydonini bilmoqchi bo'lsangiz, u holda uchburchak teng tomonli bo'lib chiqadi. Uning o'z formulasi bor: S = ¼ a 2 * √3.

to'rtburchak prizma

Uning asosi har qanday ma'lum to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchak yoki kvadrat, parallelepiped yoki romb bo'lishi mumkin. Har bir holatda, prizma asosining maydonini hisoblash uchun sizga o'zingizning formulangiz kerak bo'ladi.

Agar asos to'rtburchak bo'lsa, uning maydoni quyidagicha aniqlanadi: S = av, bu erda a, b to'rtburchakning tomonlari.

Qachon gaplashamiz to'rtburchak prizma haqida, keyin oddiy prizma asosining maydoni kvadrat uchun formuladan foydalanib hisoblanadi. Chunki u asosda yotadi. S \u003d a 2.

Agar asos parallelepiped bo'lsa, quyidagi tenglik kerak bo'ladi: S \u003d a * n a. Shunday bo'ladiki, parallelepipedning bir tomoni va burchaklaridan biri berilgan. Keyin balandlikni hisoblash uchun siz qo'shimcha formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi: na \u003d b * sin A. Bundan tashqari, A burchagi "b" tomoniga ulashgan va balandlik na bu burchakka qarama-qarshidir.

Agar romb prizmaning tagida yotsa, uning maydonini parallelogramm bilan aniqlash uchun xuddi shunday formula kerak bo'ladi (chunki bu uning alohida holati). Ammo siz buni ham ishlatishingiz mumkin: S = ½ d 1 d 2. Bu erda d 1 va d 2 rombning ikkita diagonali.

Muntazam beshburchak prizma

Bu holat ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lishni o'z ichiga oladi, ularning maydonlarini aniqlash osonroq. Raqamlar turli xil burchaklar soniga ega bo'lishi mumkin bo'lsa-da.

Prizma asosi muntazam beshburchak boʻlgani uchun uni beshta teng yonli uchburchakka boʻlish mumkin. Keyin prizma poydevorining maydoni beshga ko'paytiriladigan bitta uchburchakning maydoniga teng bo'ladi (yuqorida formulani ko'rish mumkin).

Muntazam olti burchakli prizma

Beshburchak prizma uchun tavsiflangan printsipga ko'ra, asosiy olti burchakni 6 ta teng yonli uchburchakka bo'lish mumkin. Bunday prizma asosining maydoni uchun formula avvalgisiga o'xshaydi. Faqat unda oltitaga ko'paytirilishi kerak.

Formula quyidagicha ko'rinadi: S = 3/2 va 2 * √3.

Vazifalar

№ 1. Muntazam to'g'ri chiziq berilgan.Uning diagonali 22 sm, ko'pburchakning balandligi 14 sm.Prizma asosi va butun yuzasining maydonini hisoblang.

Qaror. Prizmaning asosi kvadratdir, lekin uning tomoni noma'lum. Uning qiymatini prizma diagonali (d) va balandligi (h) bilan bog'liq bo'lgan kvadrat (x) diagonalidan topishingiz mumkin. x 2 \u003d d 2 - n 2. Boshqa tomondan, bu "x" segmenti oyoqlari kvadrat tomoniga teng bo'lgan uchburchakdagi gipotenuzadir. Ya'ni, x 2 \u003d a 2 + a 2. Shunday qilib, a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 ekanligi ma'lum bo'ldi.

d o'rniga 22 raqamini qo'ying va "n" ni uning qiymati - 14 bilan almashtiring, kvadratning yon tomoni 12 sm ekanligi ma'lum bo'ldi. Endi taglik maydonini aniqlash oson: 12 * 12 \u003d 144 sm 2 .

Butun sirtning maydonini bilish uchun siz taglik maydonining ikki barobar qiymatini qo'shishingiz va yon tomonni to'rt barobar oshirishingiz kerak. Ikkinchisini to'rtburchaklar formulasi bilan topish oson: ko'pburchakning balandligini va poydevorning yon tomonlarini ko'paytiring. Ya'ni, 14 va 12, bu raqam 168 sm 2 ga teng bo'ladi. umumiy maydoni prizmaning sirti 960 sm 2 ga teng.

Javob. Prizmaning asos maydoni 144 sm2. Butun sirt - 960 sm 2.

No 2. Dana Poydevorda tomoni 6 sm bo'lgan uchburchak yotadi.Bu holda yon yuzning diagonali 10 sm.Maydonlarni hisoblang: taglik va yon sirt.

Qaror. Prizma muntazam bo'lgani uchun uning asosi teng tomonli uchburchakdir. Shuning uchun uning maydoni 6 kvadrat karra ¼ va kvadrat ildiz 3 ga teng bo'ladi. Oddiy hisob-kitob natijasida shunday bo'ladi: 9√3 sm 2. Bu prizmaning bir asosining maydoni.

Barcha yon yuzlar bir xil bo'lib, tomonlari 6 va 10 sm bo'lgan to'rtburchaklardir.Ularning maydonlarini hisoblash uchun bu raqamlarni ko'paytirish kifoya. Keyin ularni uchga ko'paytiring, chunki prizmaning juda ko'p yon yuzlari bor. Keyin yon yuzaning maydoni 180 sm 2 o'ralgan.

Javob. Maydonlari: asosi - 9√3 sm 2, prizmaning yon yuzasi - 180 sm 2.

Prizma. Parallelepiped

prizma ikki yuzi n-gonlarga teng boʻlgan koʻpburchakdir (asos) , parallel tekisliklarda yotgan va qolgan n ta yuzi parallelogrammdir (yon qirralar) . Yon qovurg'a prizma - lateral yuzning asosga tegishli bo'lmagan tomoni.

Yon qirralari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi To'g'riga prizma (1-rasm). Yon qirralarning asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lmasa, prizma deyiladi qiyshiq . to'g'ri Prizma - asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lgan to'g'ri prizma.

Balandligi prizma asoslar tekisliklari orasidagi masofa deb ataladi. Diagonal Prizma - bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchni bog'laydigan segment. diagonal qism Prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita yon chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi. Perpendikulyar kesim prizmaning lateral chetiga perpendikulyar tekislik bilan kesma deb ataladi.

Yon sirt maydoni prizma - barcha yon yuzlar maydonlarining yig'indisi. hudud to'liq sirt prizmaning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi (ya'ni, yon yuzlari va asoslar maydonlarining yig'indisi).

Ixtiyoriy prizma uchun formulalar to'g'ri:

qayerda l yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandligi;

S tomoni

S to'la

S asosiy asoslar maydoni;

V prizmaning hajmi.

To'g'ri prizma uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

qayerda p- poydevorning perimetri;

l yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandlik.

Parallelepiped Poydevori parallelogramm bo'lgan prizma deyiladi. Yon qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped deyiladi bevosita (2-rasm). Agar yon qirralarning asoslarga perpendikulyar bo'lmasa, u holda parallelepiped deyiladi qiyshiq . Poydevori to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar. Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub.

Parallelepipedning umumiy uchlari bo'lmagan yuzlari deyiladi qarama-qarshi . Bir tepadan chiqadigan qirralarning uzunliklari deyiladi o'lchovlar parallelepiped. Quti prizma bo'lgani uchun uning asosiy elementlari prizmalar uchun qanday aniqlangan bo'lsa, xuddi shunday aniqlanadi.

Teoremalar.

1. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va uni yarmiga bo'linadi.

2. To‘g‘ri burchakli parallelepipedda diagonal uzunligining kvadrati uning uch o‘lchami kvadratlari yig‘indisiga teng:

3. To'rtburchaklar parallelepipedning barcha to'rt diagonali bir-biriga teng.

Ixtiyoriy parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

qayerda l yon qovurg'aning uzunligi;

H- balandligi;

P- perpendikulyar kesimning perimetri;

Q- perpendikulyar kesmaning maydoni;

S tomoni lateral sirt maydoni;

S to'la umumiy sirt maydoni;

S asosiy asoslar maydoni;

V prizmaning hajmi.

To'g'ri parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

qayerda p- poydevorning perimetri;

l yon qovurg'aning uzunligi;

H- o'ng parallelepipedning balandligi.

To'rtburchaklar parallelepiped uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

(3)

qayerda p- poydevorning perimetri;

H- balandligi;

d- diagonal;

a,b,c- parallelepipedning o'lchovlari.

Kub uchun to'g'ri formulalar:

qayerda a qovurg'aning uzunligi;

d kubning diagonali.

1-misol To'g'ri to'rtburchak kuboidning diagonali 33 dm bo'lib, uning o'lchovlari 2:6:9 nisbatda bog'langan.Kuboidning o'lchamlarini toping.

Qaror. Parallelepipedning o'lchamlarini topish uchun biz (3) formuladan foydalanamiz, ya'ni. kuboidning gipotenuzasi kvadrati uning o'lchamlari kvadratlari yig'indisiga teng ekanligi. tomonidan belgilang k mutanosiblik koeffitsienti. Keyin parallelepipedning o'lchamlari 2 ga teng bo'ladi k, 6k va 9 k. Muammoli ma'lumotlar uchun formula (3) ni yozamiz:

uchun bu tenglamani yechish k, biz olamiz:

Demak, parallelepipedning o'lchamlari 6 dm, 18 dm va 27 dm.

Javob: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2-misol Agar lateral qirrasi asosning yon tomoniga teng bo'lsa va poydevorga 60º burchak ostida qiya bo'lsa, poydevori 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchak bo'lgan qiya uchburchak prizmaning hajmini toping.

Qaror . Keling, rasm chizamiz (3-rasm).

Eğimli prizmaning hajmini topish uchun siz uning asosining maydoni va balandligini bilishingiz kerak. Ushbu prizma poydevorining maydoni 8 sm bo'lgan teng tomonli uchburchakning maydoni bo'lib, uni hisoblaymiz:

Prizmaning balandligi uning asoslari orasidagi masofadir. Yuqoridan LEKIN Yuqori poydevorning 1 tasi biz pastki poydevor tekisligiga perpendikulyar tushiramiz LEKIN 1 D. Uning uzunligi prizmaning balandligi bo'ladi. D ni ko'rib chiqing LEKIN 1 AD: chunki bu yon qovurg'aning moyillik burchagi LEKIN 1 LEKIN asosiy tekislikka LEKIN 1 LEKIN= 8 sm.Bu uchburchakdan biz topamiz LEKIN 1 D:

Endi biz (1) formuladan foydalanib hajmni hisoblaymiz:

Javob: 192 sm3.

3-misol Muntazam olti burchakli prizmaning lateral qirrasi 14 sm, eng katta diagonal kesmaning maydoni 168 sm 2. Prizmaning umumiy sirtini toping.

Qaror. Keling, rasm chizamiz (4-rasm)

Eng katta diagonal qism to'rtburchakdir AA 1 DD 1 , diagonaldan beri AD muntazam olti burchakli ABCDEF eng kattasi hisoblanadi. Prizmaning lateral sirt maydonini hisoblash uchun poydevorning yon tomonini va lateral qovurg'aning uzunligini bilish kerak.

Diagonal kesimning (to'rtburchak) maydonini bilib, biz poydevorning diagonalini topamiz.

O'shandan beri

O'shandan beri AB= 6 sm.

Keyin poydevorning perimetri:

Prizmaning yon yuzasining maydonini toping:

Tomoni 6 sm bo'lgan oddiy olti burchakning maydoni:

Prizmaning umumiy sirtini toping:

Javob:

4-misol To'g'ri parallelepipedning asosi rombdir. Diagonal kesmalarning maydonlari 300 sm 2 va 875 sm 2 ni tashkil qiladi. Parallelepipedning yon yuzasining maydonini toping.

Qaror. Keling, rasm chizamiz (5-rasm).

Rombning yon tomonini bilan belgilang a, rombning diagonallari d 1 va d 2, qutining balandligi h. To'g'ri parallelepipedning lateral sirt maydonini topish uchun poydevorning perimetrini balandlikka ko'paytirish kerak: (formula (2)). Baza perimetri p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, kabi A B C D- romb. H = AA 1 = h. Bu. Topish kerak a va h.

Diagonal qismlarni ko'rib chiqing. AA 1 SS 1 - to'rtburchak, uning bir tomoni rombning diagonali AC = d 1 , ikkinchi - yon chekka AA 1 = h, keyin

Xuddi shunday bo'lim uchun BB 1 DD 1 biz olamiz:

Paralelogrammaning diagonallari kvadratlari yig'indisi uning barcha tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng bo'ladigan xossasidan foydalanib, tenglikni olamiz Quyidagini olamiz.

Ko'p yuzli

Stereometriyaning asosiy o'rganish ob'ekti uch o'lchovli jismlardir. Tana fazoning qandaydir sirt bilan chegaralangan qismidir.

ko'pburchak Sirti chekli sonli tekis ko'pburchaklardan tashkil topgan jism deyiladi. Ko'pburchak o'z yuzasidagi har bir tekis ko'pburchak tekisligining bir tomonida joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunday tekislikning umumiy qismi va ko'pburchak yuzasi deyiladi chekka. Qavariq ko'pburchakning yuzlari tekis qavariq ko'pburchaklardir. Yuzlarning yon tomonlari deyiladi ko'pburchakning qirralari, va uchlari ko'pburchakning uchlari.

Masalan, kub uning yuzlari bo'lgan oltita kvadratdan iborat. Unda 12 ta chekka (kvadratlarning yon tomonlari) va 8 ta uchlari (kvadratlarning uchlari) mavjud.

Eng oddiy ko'pburchaklar prizmalar va piramidalar bo'lib, biz ularni batafsilroq ko'rib chiqamiz.

Prizma

Prizmaning ta'rifi va xossalari

prizma parallel koʻchirish yoʻli bilan birlashtirilgan parallel tekisliklarda yotgan ikkita yassi koʻpburchak va bu koʻpburchaklarning mos nuqtalarini bogʻlovchi barcha segmentlardan tashkil topgan koʻpburchak deyiladi. Ko'pburchaklar deyiladi prizma asoslari, va ko'pburchaklarning mos keladigan uchlarini bog'laydigan segmentlar prizmaning yon qirralari.

Prizma balandligi uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa () deb ataladi. Prizmaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita uchini bog'lovchi segment deyiladi prizma diagonali(). Prizma deyiladi n-ko'mir agar uning asosi n-gon bo'lsa.

Har qanday prizma quyidagi xususiyatlarga ega bo'lib, ular prizma asoslari parallel ko'chirish orqali birlashtirilganligidan kelib chiqadi:

1. Prizmaning asoslari teng.

2. Prizmaning yon qirralari parallel va teng.

Prizmaning sirti asoslardan va lateral yuzasi. Prizmaning yon yuzasi parallelogrammalardan iborat (bu prizmaning xususiyatlaridan kelib chiqadi). Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral yuzlar maydonlarining yig'indisidir.

to'g'ri prizma

Prizma deyiladi To'g'riga uning yon qirralari asoslarga perpendikulyar bo'lsa. Aks holda, prizma deyiladi qiyshiq.

To'g'ri prizmaning yuzlari to'rtburchaklardir. To'g'ri prizmaning balandligi uning yon yuzlariga teng.

to'liq prizma yuzasi lateral sirt maydoni va asoslar maydonlarining yig'indisidir.

To'g'ri prizma asosi muntazam ko‘pburchakli to‘g‘ri prizma deyiladi.

13.1 teorema. To'g'ri prizmaning lateral yuzasining maydoni perimetri va prizma balandligi (yoki teng ravishda lateral chetiga) mahsulotiga teng.

Isbot. To'g'ri prizmaning yon yuzlari to'rtburchaklar bo'lib, ularning asoslari prizma asoslaridagi ko'pburchaklarning tomonlari, balandliklari esa prizmaning yon qirralari bo'ladi. Keyin, ta'rifga ko'ra, lateral sirt maydoni:

to'g'ri prizma asosining perimetri qayerda.

Parallelepiped

Agar parallelogrammalar prizma asoslarida yotsa, u deyiladi parallelepiped. Parallelepipedning barcha yuzlari parallelogrammdir. Bunda parallelepipedning qarama-qarshi yuzlari parallel va tengdir.

13.2 teorema. Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi.

Isbot. Masalan, ikkita ixtiyoriy diagonalni ko'rib chiqing va . Chunki parallelepipedning yuzlari parallelogrammlar, keyin va , ya'ni T ga ko'ra uchinchiga parallel bo'lgan taxminan ikkita to'g'ri chiziq. Bundan tashqari, bu chiziqlar va bir xil tekislikda (tekislikda) yotishini anglatadi. Bu tekislik parallel tekisliklarni va parallel chiziqlar bo'ylab va . Shunday qilib, to'rtburchak parallelogramm bo'lib, parallelogrammning xususiyatiga ko'ra, uning diagonallari va kesishadi va kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi, buni isbotlash kerak edi.

Poydevori to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped deyiladi kubsimon. Kuboidning barcha yuzlari to'rtburchaklardir. Kuboidning parallel bo'lmagan qirralarining uzunliklari deyiladi chiziqli o'lchamlar(o'lchovlar). Uch o'lcham mavjud (kenglik, balandlik, uzunlik).

13.3 teorema. Kuboidda har qanday diagonalning kvadrati uning uch o'lchamining kvadratlari yig'indisiga teng. (Pifagor T ni ikki marta qo'llash orqali isbotlangan).

Barcha qirralari teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped deyiladi kub.

Vazifalar

13.1 Diagonallar qancha n- uglerod prizmasi

13.2 Qiyalik uchburchak prizmada yon qirralarning orasidagi masofalar 37, 13 va 40 ga teng. Kattaroq yon yuzi va qarama-qarshi tomoni orasidagi masofani toping.

13.3 Muntazam uchburchak prizmaning pastki poydevorining yon tomoni orqali yon yuzlarini segmentlar bo'ylab kesib o'tuvchi tekislik o'tkaziladi, ularning orasidagi burchak. Bu tekislikning prizma asosiga qiyalik burchagini toping.

Ta'rif. Prizma- bu ko'pburchak bo'lib, uning barcha uchlari ikkita parallel tekislikda joylashgan va bir xil ikkita tekislikda prizmaning ikkita yuzi mavjud bo'lib, ular mos ravishda parallel tomonlari bo'lgan teng ko'pburchaklar va ularda yotmaydigan barcha qirralari mavjud. tekisliklar parallel.

Ikki teng yuzlar deyiladi prizma asoslari(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmaning barcha boshqa yuzlari deyiladi yon yuzlar(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Barcha yon yuzlar hosil bo'ladi prizmaning yon yuzasi .

Prizmaning barcha yon yuzlari parallelogrammdir .

Poydevorda yotmaydigan qirralar prizmaning lateral qirralari deyiladi ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma diagonali segment deyiladi, uning uchlari prizmaning bir yuzida yotmaydigan ikkita uchidan iborat (AD 1).

Prizma asoslarini bir vaqtning o'zida tutashtiruvchi va ikkala asosga perpendikulyar bo'lgan segment uzunligi deyiladi. prizma balandligi .

Belgilash:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Birinchi navbatda, aylanib o'tish tartibida bir asosning uchlari, so'ngra bir xil tartibda ikkinchisining uchlari ko'rsatiladi; har bir yon chekkaning uchlari bir xil harflar bilan belgilanadi, faqat bitta poydevorda joylashgan cho'qqilar. indekssiz harflar bilan, ikkinchisida esa indeks bilan ko'rsatilgan)

Prizma nomi uning poydevorida yotgan shakldagi burchaklar soni bilan bog'liq, masalan, 1-rasmda asos beshburchak, shuning uchun prizma deyiladi. beshburchak prizma. Ammo beri bunday prizmaning 7 ta yuzi bor, keyin u yettitaedr(2 yuzi prizma asoslari, 5 yuzi parallelogramm, yon yuzlari)

To'g'ri prizmalar orasida ajralib turadi shaxsiy ko'rinish: muntazam prizmalar.

To'g'ri prizma deyiladi to'g'ri, uning asoslari muntazam ko'pburchaklar bo'lsa.

Muntazam prizma barcha yon yuzlari teng to'rtburchaklarga ega. Prizmaning alohida holati parallelepipeddir.

Parallelepiped

Parallelepiped- Bu to'rtburchak prizma, bu parallelogrammaga (qiyshiq parallelepiped) asoslangan. To'g'ri parallelepiped- lateral qirralari asos tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan parallelepiped.

kubsimon- asosi to'rtburchak bo'lgan to'g'ri parallelepiped.

Xususiyatlar va teoremalar:

Parallelepipedning ba'zi xossalari o'xshash ma'lum xususiyatlar parallelogramma. To'g'ri burchakli parallelepipedga ega teng o'lchovlar, deyiladi kub .Kubning barcha yuzlari teng kvadratlarga ega.Diagonalning kvadrati uning uch oʻlchami kvadratlari yigʻindisiga teng.

Bu erda d - kvadratning diagonali;
a - kvadrat tomoni.

Prizma g'oyasi quyidagicha ifodalanadi:

turli me'moriy tuzilmalar;
Bolalar o'yinchoqlari;
qadoqlash qutilari;
dizaynerlik buyumlari va boshqalar.

Prizmaning umumiy va lateral sirt maydoni

Prizmaning umumiy sirt maydoni uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir Yon sirt maydoni uning yon yuzlari maydonlarining yig'indisi deyiladi. prizmaning asoslari teng ko'pburchaklar, keyin ularning maydonlari teng. Shunday qilib

S to'liq \u003d S tomoni + 2S asosiy,

qayerda S to'la- umumiy sirt maydoni, S tomoni- yon sirt maydoni, S asosiy- tayanch maydoni

To'g'ri prizmaning yon yuzasining maydoni poydevor perimetri va prizma balandligining mahsulotiga teng..

S tomoni\u003d P asosiy * h,

qayerda S tomoni to'g'ri prizmaning lateral yuzasi maydoni,

P asosiy - to'g'ri prizma asosining perimetri,

h - to'g'ri prizmaning balandligi, yon chetiga teng.