piramida asosi va unga parallel boʻlgan kesimdan hosil boʻlgan koʻpburchakdir. Aytishimiz mumkinki, kesilgan piramida tepasi kesilgan piramidadir. Bu raqam juda ko'p o'ziga xos xususiyatlarga ega:

• Piramidaning lateral yuzlari trapezoidlardir;
• Muntazam kesilgan piramidaning lateral qirralari bir xil uzunlikda va bir xil burchak ostida poydevorga moyil;
• Asoslari o'xshash ko'pburchaklar;
• Oddiy kesilgan piramidada yuzlar bir xil yon yonli trapezoidlar bo'lib, ularning maydoni tengdir. Ular, shuningdek, bir burchak ostida poydevorga moyil.

Kesilgan piramidaning lateral sirtining formulasi uning tomonlari maydonlarining yig'indisidir:

Kesilgan piramidaning tomonlari trapezoidlar bo'lganligi sababli, parametrlarni hisoblash uchun siz formuladan foydalanishingiz kerak bo'ladi. trapezoid maydoni. Oddiy kesilgan piramida uchun siz maydonni hisoblash uchun boshqa formulani qo'llashingiz mumkin. Uning barcha tomonlari, yuzlari va poydevoridagi burchaklari teng bo'lganligi sababli, asos va apotemaning perimetrlarini qo'llash, shuningdek, asosdagi burchak orqali maydonni chiqarish mumkin.

Agar oddiy kesilgan piramidadagi shartlarga ko'ra, apotem (tomon balandligi) va poydevorning yon tomonlari uzunligi berilgan bo'lsa, u holda maydonni perimetrlar yig'indisining yarim mahsuloti orqali hisoblash mumkin. asoslar va apotema:

Keling, kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Muntazam beshburchakli piramida berilgan. Apothem l= 5 sm, katta taglikdagi chekka uzunligi a= 6 sm, qirrasi esa kichikroq poydevorda b= 4 sm Kesilgan piramidaning maydonini hisoblang.

Birinchidan, asoslarning perimetrlarini topamiz. Bizga beshburchakli piramida berilganligi sababli, asoslar beshburchaklar ekanligini tushunamiz. Bu shuni anglatadiki, asoslar beshta bir xil tomonlari bo'lgan raqamni o'z ichiga oladi. Kattaroq asosning perimetrini topamiz:

Xuddi shu tarzda biz kichikroq poydevorning perimetrini topamiz:

Endi biz oddiy kesilgan piramidaning maydonini hisoblashimiz mumkin. Ma'lumotlarni formulaga almashtiring:

Shunday qilib, biz perimetrlar va apotem orqali muntazam kesilgan piramidaning maydonini hisobladik.

Oddiy piramidaning lateral sirt maydonini hisoblashning yana bir usuli - bu formula asosdagi burchaklar va shu asoslar maydoni orqali.

Keling, hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Ushbu formula faqat oddiy kesilgan piramidaga tegishli ekanligini eslaymiz.

Muntazam to'rtburchak piramida berilsin. Pastki asosning cheti a = 6 sm, ustki poydevorning cheti esa b = 4 sm, asosdagi ikki burchakli burchak b = 60 ° ga teng. Oddiy kesilgan piramidaning lateral sirt maydonini toping.

Birinchidan, asoslar maydonini hisoblaylik. Piramida muntazam bo'lgani uchun, asoslarning barcha qirralari bir-biriga teng. Baza to'rtburchak ekanligini hisobga olsak, hisoblash kerak bo'lishini tushunamiz kvadrat maydoni. Bu kenglik va uzunlik mahsulotidir, lekin kvadratga aylantirilganda bu qiymatlar bir xil bo'ladi. Kattaroq bazaning maydonini topamiz:


Endi biz lateral sirt maydonini hisoblash uchun topilgan qiymatlardan foydalanamiz.

Bir nechta oddiy formulalarni bilib, biz har xil qiymatlardan foydalangan holda kesilgan piramidaning lateral trapesiya maydonini osongina hisoblab chiqdik.

Piramida. Kesilgan piramida

Piramida ko'pburchak bo'lib, uning yuzlaridan biri ko'pburchak ( asos ) va boshqa barcha yuzlar umumiy uchli uchburchaklardir ( yon yuzlar ) (15-rasm). Piramida deyiladi to'g'ri , agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va piramidaning tepasi poydevor markaziga proyeksiyalangan bo'lsa (16-rasm). Barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida deyiladi tetraedr .

Yanal qovurg'a piramidaning yon yuzining asosga tegishli bo'lmagan tomoni Balandligi piramida - uning tepasidan poydevor tekisligigacha bo'lgan masofa. Muntazam piramidaning barcha lateral qirralari bir-biriga teng, barcha lateral yuzlari teng yon tomonli uchburchaklardir. Muntazam piramidaning tepadan chizilgan yon yuzining balandligi deyiladi apotema . Diagonal qism piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik kesimi deyiladi.

Yanal sirt maydoni piramida barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Umumiy sirt maydoni barcha yon yuzlar va asosning maydonlari yig'indisi deyiladi.

Teoremalar

1. Agar piramidada barcha lateral qirralar asos tekisligiga teng darajada qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiyalanadi.

2. Agar piramidaning barcha yon qirralari teng uzunliklarga ega bo'lsa, u holda piramidaning ustki qismi poydevor yaqinida chegaralangan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

3. Agar piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda piramidaning yuqori qismi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiya qilinadi.

Ixtiyoriy piramidaning hajmini hisoblash uchun to'g'ri formula:

Qayerda V- hajm;

S asosi- tayanch maydoni;

H- piramidaning balandligi.

Oddiy piramida uchun quyidagi formulalar to'g'ri:

Qayerda p- bazaning perimetri;

h a- apotema;

H- balandligi;

S to'la

S tomoni

S asosi- tayanch maydoni;

V- oddiy piramidaning hajmi.

Kesilgan piramida piramidaning poydevor va piramida asosiga parallel bo'lgan kesish tekisligi orasiga o'ralgan qismi deyiladi (17-rasm). Oddiy kesilgan piramida muntazam piramidaning asos va piramida asosiga parallel kesuvchi tekislik orasiga o'ralgan qismi deyiladi.

Asoslar kesilgan piramida - shunga o'xshash ko'pburchaklar. Yon yuzlar - trapezoidlar. Balandligi kesilgan piramidaning asoslari orasidagi masofa. Diagonal kesilgan piramida - uning bir yuzida yotmaydigan uchlarini bog'laydigan segment. Diagonal qism - kesilgan piramidaning bir yuzga tegishli bo'lmagan ikkita lateral chetidan o'tuvchi tekislik bilan kesmasi.

Kesilgan piramida uchun quyidagi formulalar amal qiladi:

(4)

Qayerda S 1 , S 2 - yuqori va pastki tagliklarning joylari;

S to'la- umumiy sirt maydoni;

S tomoni- lateral sirt maydoni;

H- balandligi;

V- kesilgan piramidaning hajmi.

Oddiy kesilgan piramida uchun formula to'g'ri:

Qayerda p 1 , p 2 – tayanchlarning perimetrlari;

h a- oddiy kesilgan piramidaning apothemi.

1-misol. Muntazam uchburchakli piramidada poydevordagi ikki burchakli burchak 60º ga teng. Yon qirraning asos tekisligiga moyillik burchagi tangensini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (18-rasm).

Piramida muntazamdir, ya'ni poydevorda teng qirrali uchburchak va barcha yon tomonlari teng teng yonli uchburchaklardir. Poydevordagi dihedral burchak piramidaning yon yuzining poydevor tekisligiga moyillik burchagidir. Chiziqli burchak - burchak a ikki perpendikulyar orasida: va hokazo. Piramidaning tepasi uchburchakning markazida proyeksiyalangan (aylana va uchburchakning chizilgan doirasi markazi). ABC). Yon qirraning egilish burchagi (masalan S.B.) chekkaning o'zi va uning asos tekisligiga proyeksiyasi orasidagi burchak. Qovurg'a uchun S.B. bu burchak burchak bo'ladi SBD. Tangensni topish uchun siz oyoqlarni bilishingiz kerak SO Va O.B.. Segmentning uzunligi bo'lsin BD 3 ga teng A. Nuqta HAQIDA chiziq segmenti BD qismlarga bo'linadi: va Biz topamiz SO: Biz topamiz:

Javob:

2-misol. Oddiy kesilgan to'rtburchak piramidaning hajmini toping, agar uning asoslarining diagonallari sm va sm ga teng, balandligi esa 4 sm.

Yechim. Kesilgan piramidaning hajmini topish uchun (4) formuladan foydalanamiz. Poydevorlarning maydonini topish uchun siz ularning diagonallarini bilib, asosiy kvadratlarning tomonlarini topishingiz kerak. Poydevorlarning tomonlari mos ravishda 2 sm va 8 sm ga teng.Bu asoslarning maydonlarini bildiradi va formulaga barcha ma'lumotlarni almashtirib, kesilgan piramida hajmini hisoblaymiz:

Javob: 112 sm 3.

3-misol. Poydevorlari yon tomonlari 10 sm va 4 sm, piramidaning balandligi 2 sm bo'lgan muntazam uchburchak kesilgan piramidaning yon yuzining maydonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (19-rasm).

Bu piramidaning yon tomoni teng yonli trapezoiddir. Trapezoidning maydonini hisoblash uchun siz poydevor va balandlikni bilishingiz kerak. Bazalar shartga ko'ra berilgan, faqat balandligi noma'lum bo'lib qoladi. Biz uni qayerdan topamiz A 1 E nuqtadan perpendikulyar A 1 pastki poydevor tekisligida, A 1 D-dan perpendikulyar A 1 boshiga AC. A 1 E= 2 sm, chunki bu piramidaning balandligi. Topmoq DE Yuqori ko'rinishni ko'rsatadigan qo'shimcha chizma tuzamiz (20-rasm). Nuqta HAQIDA– yuqori va pastki asoslar markazlarining proyeksiyasi. beri (20-rasmga qarang) va Boshqa tomondan KELISHDIKMI– aylanaga chizilgan radius va OM- radius aylana ichiga chizilgan:

MK = DE.

dan Pifagor teoremasiga ko'ra

Yon yuz maydoni:

Javob:

4-misol. Piramidaning negizida teng yonli trapesiya yotadi, uning asoslari A Va b (a> b). Har bir yon yuz piramida poydevorining tekisligiga teng burchak hosil qiladi j. Piramidaning umumiy sirtini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (21-rasm). Piramidaning umumiy sirt maydoni SABCD trapezoidning maydonlari va maydoni yig'indisiga teng A B C D.

Piramidaning barcha yuzlari asos tekisligiga teng qiyshaygan bo'lsa, u holda cho'qqi asosga chizilgan doira markaziga proyeksiyalanadi, degan bayonotdan foydalanamiz. Nuqta HAQIDA- cho'qqi proyeksiyasi S piramidaning tagida. Uchburchak SOD uchburchakning ortogonal proyeksiyasidir CSD asos tekisligiga. Tekis figuraning ortogonal proyeksiyasi maydoni haqidagi teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday degani Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga qisqartirildi A B C D. Keling, trapesiya chizamiz A B C D alohida (22-rasm). Nuqta HAQIDA– trapetsiya ichiga chizilgan aylana markazi.

Aylana trapezoidga yozilishi mumkinligi sababli, u holda yoki Pifagor teoremasidan bizda mavjud

Geometriyadan bir qator amaliy masalalarni yechishda fazoviy figuralar hajmini hisoblash qobiliyati muhim ahamiyatga ega. Eng keng tarqalgan figuralardan biri bu piramida. Ushbu maqolada biz to'liq va kesilgan piramidalarni ko'rib chiqamiz.

Piramida uch o'lchamli shakl sifatida

Misr piramidalari haqida hamma biladi, shuning uchun ular qanday figura haqida gaplashishimiz haqida yaxshi tasavvurga ega. Biroq, Misr tosh inshootlari piramidalarning ulkan sinfining alohida holatidir.

Umumiy holatda ko'rib chiqilayotgan geometrik ob'ekt ko'pburchak asos bo'lib, uning har bir uchi fazoning asos tekisligiga tegishli bo'lmagan ma'lum bir nuqtasi bilan bog'langan. Bu ta'rif bitta n-burchak va n uchburchakdan tashkil topgan raqamga olib keladi.

Har qanday piramida n+1 yuz, 2*n chet va n+1 uchdan iborat. Ko'rib chiqilayotgan rasm mukammal ko'pburchak bo'lganligi sababli, belgilangan elementlarning soni Eyler tengligiga bo'ysunadi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poydevorda joylashgan ko'pburchak piramida nomini beradi, masalan, uchburchak, beshburchak va boshqalar. Turli asoslarga ega piramidalar to'plami quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan.

Shaklning n ta uchburchaklari tutashgan nuqtaga piramidaning uchi deyiladi. Agar undan poydevorga perpendikulyar tushirilsa va u uni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday raqam to'g'ri chiziq deb ataladi. Agar bu shart bajarilmasa, u holda eğimli piramida paydo bo'ladi.

Asosini teng tomonli (teng burchakli) n-burchak hosil qilgan to‘g‘ri figuraga muntazam deyiladi.

Piramida hajmining formulasi

Piramidaning hajmini hisoblash uchun biz integral hisobdan foydalanamiz. Buning uchun asosga parallel tekisliklarni cheksiz sonli yupqa qatlamlarga kesib, raqamni ajratamiz. Quyidagi rasmda balandligi h va yon uzunligi L bo'lgan to'rtburchak piramida ko'rsatilgan, unda to'rtburchak kesimning yupqa qatlamini belgilaydi.

Har bir bunday qatlamning maydoni quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2 .

Bu erda A 0 - bazaning maydoni, z - vertikal koordinataning qiymati. Ko'rinib turibdiki, agar z = 0 bo'lsa, formula A 0 qiymatini beradi.

Piramida hajmining formulasini olish uchun siz rasmning butun balandligi bo'yicha integralni hisoblashingiz kerak, ya'ni:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) bog‘liqlikni almashtirib, antiderivativni hisoblab, quyidagi ifodaga kelamiz:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Biz piramida hajmining formulasini oldik. V qiymatini topish uchun raqamning balandligini poydevorning maydoniga ko'paytirish kifoya qiladi va natijani uchga bo'lish kifoya.

E'tibor bering, olingan ifoda har qanday turdagi piramida hajmini hisoblash uchun amal qiladi. Ya'ni, u moyil bo'lishi mumkin va uning asosi ixtiyoriy n-gon bo'lishi mumkin.

va uning hajmi

Yuqoridagi paragrafda olingan hajmning umumiy formulasi muntazam asosli piramida holatida aniqlanishi mumkin. Bunday asosning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Bu erda L - n ta burchakli muntazam ko'pburchakning yon uzunligi. Pi belgisi - pi soni.

A 0 ifodasini umumiy formulaga almashtirib, oddiy piramidaning hajmini olamiz:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Masalan, uchburchak piramida uchun bu formula quyidagi ifodani beradi:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Oddiy to'rtburchak piramida uchun hajm formulasi quyidagi shaklni oladi:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Muntazam piramidalarning hajmlarini aniqlash uchun ularning poydevori tomoni va figuraning balandligini bilish kerak.

Kesilgan piramida

Faraz qilaylik, biz ixtiyoriy piramida oldik va uning lateral yuzasining cho'qqisi joylashgan qismini kesib oldik. Qolgan raqam kesilgan piramida deb ataladi. U allaqachon ikkita n-gonal asosdan va ularni bog'laydigan n trapezoiddan iborat. Agar kesish tekisligi rasmning asosiga parallel bo'lsa, u holda o'xshash parallel asoslar bilan kesilgan piramida hosil bo'ladi. Ya'ni, ulardan birining tomonlarining uzunliklarini ikkinchisining uzunliklarini ma'lum bir k koeffitsientiga ko'paytirish orqali olish mumkin.

Yuqoridagi rasmda kesilgan muntazam ko'rsatilgan.Ko'rinib turibdiki, uning ustki asosi, pastki qismi kabi, muntazam olti burchakli shakldan iborat.

Yuqoridagiga o'xshash integral hisoblash yordamida olinishi mumkin bo'lgan formula:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Bu erda A 0 va A 1 mos ravishda pastki (katta) va yuqori (kichik) asoslarning maydonlari. h o'zgaruvchisi kesilgan piramidaning balandligini bildiradi.

Cheops piramidasining hajmi

Eng katta Misr piramidasining ichida joylashgan hajmni aniqlash muammosini hal qilish qiziq.

1984 yilda britaniyalik Misrshunoslar Mark Lehner va Jon Gudman Cheops piramidasining aniq o'lchamlarini o'rnatdilar. Uning dastlabki balandligi 146,50 metr (hozirda taxminan 137 metr) edi. Qurilishning to'rt tomonining har birining o'rtacha uzunligi 230,363 metrni tashkil etdi. Piramidaning asosi yuqori aniqlikdagi kvadratdir.

Keling, ushbu tosh gigantning hajmini aniqlash uchun berilgan raqamlardan foydalanamiz. Piramida muntazam to'rtburchak bo'lganligi sababli, u uchun formula to'g'ri keladi:

Raqamlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheops piramidasining hajmi deyarli 2,6 million m3 ni tashkil qiladi. Taqqoslash uchun shuni ta'kidlaymizki, Olimpiya suzish havzasi 2,5 ming m 3 hajmga ega. Ya'ni, butun Cheops piramidasini to'ldirish uchun sizga 1000 dan ortiq bunday hovuzlar kerak bo'ladi!