Ko'p yuzli: piramidaning lateral yuzasini qanday topish mumkin. Oddiy uchburchak piramidaning sirt maydonini toping

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

asosi ixtiyoriy ko‘pburchak bo‘lgan figura bo‘lib, yon yuzlari uchburchaklar bilan ifodalanadi. Ularning uchlari bir xil nuqtada yotadi va piramidaning yuqori qismiga to'g'ri keladi.

Piramida turli xil bo'lishi mumkin - uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli va boshqalar. Uning nomi taglikka ulashgan burchaklar soniga qarab aniqlanishi mumkin.
To'g'ri piramida asosning tomonlari, burchaklari va qirralari teng bo'lgan piramida deb ataladi. Shuningdek, bunday piramidada yon yuzlarning maydoni teng bo'ladi.
Piramidaning lateral yuzasining maydoni formulasi uning barcha yuzlari maydonlarining yig'indisidir:
Ya'ni, ixtiyoriy piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblash uchun siz har bir alohida uchburchakning maydonini topishingiz va ularni bir-biriga qo'shishingiz kerak. Agar piramida kesilgan bo'lsa, unda uning yuzlari trapezoidlar bilan ifodalanadi. Muntazam piramida uchun yana bir formula mavjud. Unda lateral sirt maydoni poydevorning yarim perimetri va apotem uzunligi orqali hisoblanadi:

Keling, piramidaning lateral yuzasi maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.
Muntazam to'rtburchak piramida berilsin. Asosiy tomoni b= 6 sm, apothem a= 8 sm. Yon yuzaning maydonini toping.

Muntazam to'rtburchak piramidaning negizida kvadrat joylashgan. Birinchidan, uning perimetrini topamiz:

Endi biz piramidamizning lateral sirt maydonini hisoblashimiz mumkin:

Ko'pburchakning umumiy maydonini topish uchun siz uning asosining maydonini topishingiz kerak. Piramida asosining maydoni formulasi qaysi ko'pburchak poydevorda joylashganligiga qarab farq qilishi mumkin. Buning uchun uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaning, parallelogramm maydoni va hokazo.

Bizning shartlarimiz bilan berilgan piramida poydevorining maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqing. Piramida muntazam bo'lgani uchun uning tagida kvadrat mavjud.
Kvadrat maydon formula bo'yicha hisoblanadi: ,
bu erda a - kvadratning tomoni. Biz uchun u 6 sm. Bu piramida poydevorining maydonini bildiradi:

Endi faqat ko'pburchakning umumiy maydonini topish qoladi. Piramidaning maydoni formulasi uning asosi va lateral yuzasining maydoni yig'indisidan iborat.

Ixtiyoriy piramidaning lateral yuzasining maydoni uning lateral yuzlari maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam piramida holatida ushbu maydonni ifodalash uchun maxsus formulani berish mantiqan. Shunday qilib, bizga oddiy piramida berilsin, uning negizida tomoni a ga teng bo'lgan muntazam n-burchak yotadi. h yon yuzning balandligi bo'lsin, shuningdek, deyiladi apotema piramidalar. Bir yon yuzining maydoni 1/2ah ga teng, piramidaning butun yon yuzasi esa n/2ga teng maydonga ega.Na piramida poydevorining perimetri bo'lgani uchun topilgan formulani yozishimiz mumkin. shaklida:

Yanal sirt maydoni Muntazam piramidaning apotemining ko'paytmasiga va poydevorning yarim perimetriga teng.

Haqida umumiy sirt maydoni, keyin biz shunchaki taglikning maydonini yon tomonga qo'shamiz.

Yozilgan va chegaralangan shar va shar. Shuni ta'kidlash kerakki, piramidaga chizilgan sharning markazi piramidaning ichki ikki tomonlama burchaklarining bissektrisa tekisliklari kesishmasida yotadi. Piramida yaqinida tasvirlangan sharning markazi piramida qirralarining o'rta nuqtalaridan o'tadigan va ularga perpendikulyar bo'lgan tekisliklarning kesishmasida yotadi.

Kesilgan piramida. Agar piramida asosiga parallel tekislik bilan kesilsa, kesuvchi tekislik bilan poydevor orasiga o'ralgan qism deyiladi. kesilgan piramida. Rasmda piramida ko'rsatilgan; uning kesish tekisligi ustida joylashgan qismini tashlab, biz kesilgan piramidani olamiz. Ko'rinib turibdiki, tashlangan kichik piramida gomotetika markazi tepada joylashgan katta piramidaga gomotetikdir. O'xshashlik koeffitsienti balandliklar nisbatiga teng: k=h 2 /h 1, yoki yon qirralarning yoki ikkala piramidaning boshqa mos keladigan chiziqli o'lchamlari. Biz bilamizki, o'xshash figuralarning maydonlari chiziqli o'lchamdagi kvadratlar kabi bog'langan; shuning uchun ikkala piramida asoslarining maydonlari (ya'ni, kesilgan piramida asoslari maydoni) bir-biriga bog'langan.

Bu erda S 1 - pastki poydevorning maydoni va S 2 - kesilgan piramidaning yuqori poydevorining maydoni. Piramidalarning lateral sirtlari bir xil munosabatda. Xuddi shunday qoida jildlar uchun ham mavjud.

Shu kabi jismlarning hajmlari ularning chiziqli o'lchamlari kublari kabi bog'langan; masalan, piramidalarning hajmlari ularning balandliklari va poydevorlar maydonining mahsuloti sifatida bog'liq bo'lib, bizning qoidamiz darhol olinadi. Bu butunlay umumiy xususiyatga ega va to'g'ridan-to'g'ri hajm har doim uzunlikning uchinchi darajasining o'lchamiga ega ekanligidan kelib chiqadi. Ushbu qoidadan foydalanib, biz kesilgan piramidaning hajmini poydevorning balandligi va maydoni orqali ifodalovchi formulani olamiz.

Balandligi h, tayanch maydonlari S 1 va S 2 bo'lgan kesilgan piramida berilsin. Agar u to'liq piramidaga cho'zilgan deb tasavvur qilsak, u holda to'liq piramida va kichik piramida o'rtasidagi o'xshashlik koeffitsientini S 2 /S 1 nisbatning ildizi sifatida osongina topish mumkin. Kesilgan piramidaning balandligi h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) shaklida ifodalanadi. Endi bizda kesilgan piramidaning hajmi bor (V 1 va V 2 to'liq va kichik piramidalarning hajmlarini bildiradi)

kesilgan piramida hajmining formulasi

Muntazam kesilgan piramidaning lateral yuzasining S maydonini asoslarning P 1 va P 2 perimetrlari va apotema uzunligi bo‘yicha formulasini chiqaramiz. Biz hajm formulasini olishda xuddi shunday fikr yuritamiz. Biz piramidani yuqori qism bilan to'ldiramiz, bizda P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1 bor, bu erda k - o'xshashlik koeffitsienti, P 1 va P 2 - asoslarning perimetrlari va S 1 va S 2 butun hosil bo'lgan piramidaning lateral yuzalarining maydonlari va shunga mos ravishda uning yuqori qismidir. Yon sirt uchun biz topamiz (a 1 va 2 - piramidalarning apotemalari, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

Oddiy kesilgan piramidaning lateral yuzasi uchun formula

Ko'rsatmalar

Avvalo, piramidaning lateral yuzasi bir nechta uchburchaklar bilan ifodalanganligini tushunish kerak, ularning maydonlarini ma'lum ma'lumotlarga qarab turli formulalar yordamida topish mumkin:

S = (a*h)/2, bu yerda h - a tomoniga tushirilgan balandlik;

S = a*b*sinb, bu yerda a, b - uchburchakning tomonlari, b - bu tomonlar orasidagi burchak;

S = (r*(a + b + c))/2, bu yerda a, b, c uchburchakning tomonlari, r esa bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi;

S = (a * b * c) / 4 * R, bu erda R - aylana bo'ylab chegaralangan uchburchakning radiusi;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lsa);

S = S = (a²*√3)/4 (agar uchburchak teng yonli bo'lsa).

Aslida, bu uchburchakning maydonini topish uchun ma'lum bo'lgan eng asosiy formulalardir.

Yuqoridagi formulalar yordamida piramidaning yuzlari bo'lgan barcha uchburchaklarning maydonlarini hisoblab chiqqandan so'ng, siz ushbu piramidaning maydonini hisoblashni boshlashingiz mumkin. Bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi: siz piramidaning yon yuzasini tashkil etuvchi barcha uchburchaklarning maydonlarini qo'shishingiz kerak. Buni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:

Sp = SSi, bu erda Sp - lateral yuzaning maydoni, Si - uning lateral yuzasining bir qismi bo'lgan i-uchburchakning maydoni.

Aniqroq bo'lish uchun biz kichik bir misolni ko'rib chiqishimiz mumkin: oddiy piramida berilgan, uning yon tomonlari teng qirrali uchburchaklar bilan tuzilgan va uning tagida kvadrat yotadi. Ushbu piramidaning chetining uzunligi 17 sm.Ushbu piramidaning lateral yuzasining maydonini topish kerak.

Yechish: bu piramidaning chetining uzunligi ma'lum, uning yuzlari teng tomonli uchburchaklar ekanligi ma'lum. Shunday qilib, biz lateral yuzadagi barcha uchburchaklarning barcha tomonlari 17 sm ga teng deb aytishimiz mumkin.Shuning uchun, ushbu uchburchaklarning har qandayining maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak bo'ladi:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 sm²

Ma'lumki, piramidaning tagida kvadrat yotadi. Shunday qilib, to'rtta teng qirrali uchburchak mavjudligi aniq. Keyin piramidaning lateral yuzasining maydoni quyidagicha hisoblanadi:

125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²

Javob: Piramidaning lateral yuzasi 500,548 sm²

Birinchidan, piramidaning lateral yuzasining maydonini hisoblaylik. Yanal sirt barcha lateral yuzlarning maydonlarining yig'indisidir. Agar siz oddiy piramida bilan ishlayotgan bo'lsangiz (ya'ni, uning asosida muntazam ko'pburchak bo'lgan va tepasi ushbu ko'pburchakning markaziga proyeksiyalangan), unda butun lateral sirtni hisoblash uchun uning perimetrini ko'paytirish kifoya qiladi. asos (ya'ni, asosiy piramidada yotgan ko'pburchakning barcha tomonlari uzunligi yig'indisi) yon yuzining balandligi (aks holda apotem deb ataladi) va olingan qiymatni 2 ga bo'ling: Sb = 1/2P* h, bu erda Sb - yon yuzaning maydoni, P - poydevorning perimetri, h - yon yuzning balandligi (apotem).

Agar sizning oldingizda ixtiyoriy piramida bo'lsa, barcha yuzlarning maydonlarini alohida hisoblashingiz va keyin ularni qo'shishingiz kerak bo'ladi. Piramidaning yon tomonlari uchburchaklar bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni uchun formuladan foydalaning: S=1/2b*h, bu erda b - uchburchakning asosi va h - balandlik. Barcha yuzlarning maydonlari hisoblangandan so'ng, piramidaning lateral yuzasi maydonini olish uchun ularni qo'shish qoladi.

Keyin piramida poydevorining maydonini hisoblashingiz kerak. Hisoblash uchun formulani tanlash piramidaning tagida qaysi ko'pburchak yotishiga bog'liq: muntazam (ya'ni, barcha tomonlari bir xil uzunlikdagi) yoki tartibsiz. Muntazam ko'pburchakning maydonini perimetrni ko'pburchakdagi chizilgan doira radiusiga ko'paytirish va olingan qiymatni 2 ga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin: Sn = 1/2P * r, bu erda Sn - ko'pburchakning maydoni. ko'pburchak, P - perimetri va r - ko'pburchakda chizilgan doira radiusi.

Kesilgan piramida - bu piramida va uning kesimi poydevorga parallel bo'lgan ko'pburchak. Piramidaning lateral sirt maydonini topish unchalik qiyin emas. Bu juda oddiy: maydon asoslar yig'indisining yarmining ko'paytmasiga teng. Keling, lateral sirt maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Aytaylik, bizga oddiy piramida berilgan. Poydevorning uzunliklari b = 5 sm, c = 3 sm.Apotema a = 4 sm.Piramidaning lateral yuzasining maydonini topish uchun avvalo poydevorlarning perimetrini topish kerak. Katta asosda p1=4b=4*5=20 sm ga teng bo'ladi.Kichikroq asosda formula quyidagicha bo'ladi: p2=4c=4*3=12 sm.Demak, maydon teng bo'ladi. : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 sm.

Uchburchak piramida asosi muntazam uchburchak boʻlgan koʻpburchakdir.

Bunday piramidada poydevorning chetlari va tomonlarning qirralari bir-biriga teng. Shunga ko'ra, yon tomonlarning maydoni uchta bir xil uchburchaklar maydonlarining yig'indisidan topiladi. Oddiy piramidaning lateral sirt maydonini formuladan foydalanib topishingiz mumkin. Va siz hisob-kitobni bir necha marta tezroq qilishingiz mumkin. Buning uchun siz uchburchak piramidaning lateral yuzasi maydoni uchun formulani qo'llashingiz kerak:

bu yerda p - asosning perimetri, uning barcha tomonlari b ga teng, a - yuqoridan bu asosga tushirilgan apotem. Keling, uchburchak piramidaning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Muammo: Muntazam piramida berilsin. Uchburchakning poydevoridagi tomoni b = 4 sm Piramidaning apotemi a = 7 sm. Piramidaning lateral yuzasining maydonini toping.
Muammoning shartlariga ko'ra, biz barcha kerakli elementlarning uzunligini bilganimiz sababli, biz perimetrni topamiz. Biz muntazam uchburchakda barcha tomonlar teng ekanligini eslaymiz va shuning uchun perimetr quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ma'lumotlarni almashtiramiz va qiymatni topamiz:

Endi perimetrni bilib, biz lateral sirt maydonini hisoblashimiz mumkin:

To'liq qiymatni hisoblash uchun uchburchak piramidaning maydoni formulasini qo'llash uchun siz ko'pburchak poydevorining maydonini topishingiz kerak. Buning uchun formuladan foydalaning:

Uchburchak piramida poydevorining maydoni uchun formula boshqacha bo'lishi mumkin. Belgilangan raqam uchun har qanday parametrlarni hisoblashdan foydalanish mumkin, lekin ko'pincha bu talab qilinmaydi. Keling, uchburchak piramida poydevorining maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Muammo: Muntazam piramidada uchburchakning poydevoridagi tomoni a = 6 sm. Poydevorning maydonini hisoblang.
Hisoblash uchun bizga faqat piramidaning tagida joylashgan muntazam uchburchakning yon tomonining uzunligi kerak. Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Ko'pincha siz ko'pburchakning umumiy maydonini topishingiz kerak. Buning uchun siz yon yuza va poydevorning maydonini qo'shishingiz kerak bo'ladi.

Keling, uchburchak piramidaning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Masala: Muntazam uchburchak piramida berilsin. Asosiy tomoni b = 4 sm, apotemi a = 6 sm. Piramidaning umumiy maydonini toping.
Birinchidan, allaqachon ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, lateral yuzaning maydonini topamiz. Keling, perimetrni hisoblaymiz:

Ma'lumotlarni formulaga almashtiring:
Endi bazaning maydonini topamiz:
Poydevor va lateral yuzaning maydonini bilib, biz piramidaning umumiy maydonini topamiz:

Muntazam piramidaning maydonini hisoblashda siz asosi muntazam uchburchak ekanligini va bu ko'pburchakning ko'plab elementlari bir-biriga teng ekanligini unutmasligingiz kerak.