ความหมายของค่าเฉลี่ยตั้งฉาก สี่จุดมหัศจรรย์ของสามเหลี่ยม

ตั้งฉาก (มัธยฐานตั้งฉากหรือ สื่อกลาง) เป็นเส้นตรงตั้งฉากกับส่วนที่กำหนดและผ่านจุดกึ่งกลาง

คุณสมบัติ

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$โดยที่ตัวห้อยระบุด้านที่วาดแนวตั้งฉาก $ส$คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมและถือว่าด้านที่เกี่ยวข้องกันด้วยอสมการ $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$และ $p\_c\backslash geq\; p\_b.$กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับรูปสามเหลี่ยม เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากที่เล็กที่สุดหมายถึงส่วนตรงกลาง

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "Middle Perpendicular"

หมายเหตุ

ข้อความที่ตัดตอนมาแสดงลักษณะของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

Kutuzov หยุดเคี้ยว จ้อง Wolzogen อย่างประหลาดใจราวกับว่าไม่เข้าใจสิ่งที่เขาบอก Wolzogen สังเกตเห็นความตื่นเต้นของ des alten Herrn [สุภาพบุรุษชรา (เยอรมัน)] กล่าวด้วยรอยยิ้ม:
- ฉันไม่คิดว่าตัวเองมีสิทธิ์ที่จะซ่อนจากพระคุณของพระองค์ในสิ่งที่ฉันเห็น ... กองทหารอยู่ในความโกลาหลอย่างสมบูรณ์ ...
- คุณเห็นไหม? เห็นไหม .. - Kutuzov ตะโกนพร้อมกับขมวดคิ้วรีบลุกขึ้นและพุ่งไปที่ Wolzogen อย่างรวดเร็ว “คุณ… คุณกล้าดียังไง…!” เขาตะโกน โบกมือขู่และสำลัก - คุณกล้าดียังไงมาพูดแบบนี้กับฉัน คุณไม่รู้อะไรเลย บอกแม่ทัพบาร์เคลย์จากฉันว่าข้อมูลของเขาไม่ถูกต้อง และฉันรู้แนวทางการต่อสู้ที่แท้จริง ผู้บัญชาการทหารสูงสุด ดีกว่าเขา
Wolzogen ต้องการคัดค้านบางอย่าง แต่ Kutuzov ขัดจังหวะเขา
- ศัตรูถูกผลักไปทางซ้ายและพ่ายแพ้ที่ปีกขวา ถ้าท่านดูไม่ดี ท่านที่รัก อย่าปล่อยให้ตัวเองพูดในสิ่งที่ท่านไม่รู้ โปรดไปที่นายพลบาร์เคลย์และบอกเขาถึงความตั้งใจที่ขาดไม่ได้ของฉันที่จะโจมตีศัตรูในวันพรุ่งนี้” คูตูซอฟพูดอย่างเข้มงวด ทุกคนเงียบและได้ยินเสียงหายใจเข้าหนัก ๆ หนึ่งครั้งของนายพลเฒ่า - ขับไล่ทุกที่ที่ฉันขอบคุณพระเจ้าและกองทัพผู้กล้าหาญของเรา ศัตรูพ่ายแพ้และพรุ่งนี้เราจะขับไล่เขาออกจากดินแดนรัสเซียอันศักดิ์สิทธิ์ - Kutuzov กล่าวข้ามตัวเอง และน้ำตาก็ไหลออกมาทันที Wolzogen ยักไหล่และบิดริมฝีปากของเขา ก้าวออกไปอย่างเงียบ ๆ สงสัยที่ uber diese Eingenommenheit des alten Herrn [กับการปกครองแบบเผด็จการนี้ของสุภาพบุรุษชรา (เยอรมัน)]
“ ใช่ เขาอยู่นี่แล้ว ฮีโร่ของฉัน” คูทูซอฟพูดกับนายพลผมดำที่หล่อเหลาซึ่งในขณะนั้นกำลังเข้าไปในเนินดิน มันคือ Raevsky ซึ่งใช้เวลาทั้งวันอยู่ที่จุดหลักของทุ่ง Borodino
Raevsky รายงานว่ากองทัพอยู่ในที่ของตนอย่างแน่นหนาและฝรั่งเศสไม่กล้าโจมตีอีกต่อไป หลังจากฟังเขาแล้ว Kutuzov ก็พูดภาษาฝรั่งเศสว่า:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes กำหนดให้ผู้เกษียณอายุหรือไม่? [ก็เลยไม่คิดเหมือนคนอื่นๆ ว่าเราควรหนีงั้นหรอ]

คำแนะนำ

ลากเส้นผ่านจุดตัดของวงกลม คุณได้รับเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนที่กำหนด

ตอนนี้ให้เราได้รับจุดและเส้น จำเป็นต้องวาดเส้นตั้งฉากจากจุดนี้ไปที่ วางเข็มตรงจุด วาดวงกลมรัศมี (รัศมีต้องมาจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งเพื่อให้วงกลมสามารถตัดกับเส้นได้สองจุด) ตอนนี้คุณมีจุดสองจุดบนเส้น จุดเหล่านี้สร้างเส้น สร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนปลายคือจุดที่ได้รับตามอัลกอริทึมที่กล่าวถึงข้างต้น เส้นตั้งฉากต้องผ่านจุดเริ่มต้น

การสร้างเส้นตรงเป็นพื้นฐานของการวาดภาพทางเทคนิค ตอนนี้สิ่งนี้ทำได้มากขึ้นด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมแก้ไขกราฟิกซึ่งมอบโอกาสที่ดีให้กับนักออกแบบ อย่างไรก็ตาม หลักการก่อสร้างบางอย่างยังคงเหมือนเดิมในการวาดภาพแบบคลาสสิก โดยใช้ดินสอและไม้บรรทัด

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ดินสอ;
• - ไม้บรรทัด;
• - คอมพิวเตอร์พร้อมซอฟต์แวร์ AutoCAD

คำแนะนำ

เริ่มต้นด้วยงานสร้างแบบคลาสสิก กำหนดระนาบที่คุณจะวาดเส้น ให้นี่เป็นระนาบของแผ่นกระดาษ ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา จัดเรียง . พวกเขาสามารถกำหนดเองได้ แต่เป็นไปได้ที่ระบบพิกัดจะได้รับ คะแนนตามอำเภอใจใส่ในที่ที่คุณชอบที่สุด ติดป้ายกำกับว่า A และ B. ใช้ไม้บรรทัดเพื่อเชื่อมต่อ ตามสัจพจน์ มันเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดและจุดเดียว

วาดระบบพิกัด ให้คุณได้รับคะแนน A (x1; y1) ในการสร้างมันขึ้นมา จำเป็นต้องแยกตัวเลขที่ต้องการตามแกน x แล้วลากเส้นตรงขนานกับแกน y ผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ จากนั้นพล็อตค่าเท่ากับ y1 ตามแกนที่เหมาะสม ลากเส้นตั้งฉากจากจุดที่ทำเครื่องหมายจนกว่าจะตัดกับ จุดตัดของพวกมันคือจุด A ในทำนองเดียวกัน ให้หาจุด B พิกัดซึ่งสามารถแสดงเป็น (x2; y2) เชื่อมต่อจุดทั้งสอง

ใน AutoCAD สามารถสร้างเส้นตรงด้วยไฟล์ . โดยปกติแล้ว ฟังก์ชัน "by" จะถูกตั้งค่าเป็นค่าเริ่มต้น ค้นหาแท็บ "หน้าแรก" ในเมนูด้านบน คุณจะเห็นแผงรูปวาดอยู่ตรงหน้าคุณ ค้นหาปุ่มที่มีเส้นตรงแล้วคลิก

AutoCAD ยังให้คุณตั้งค่าพิกัดของทั้งสองไฟล์ . หมุนด้านล่าง บรรทัดคำสั่ง(_xline). กดปุ่มตกลง. ป้อนพิกัดของจุดแรกแล้วกด Enter กำหนดจุดที่สองในลักษณะเดียวกัน นอกจากนี้ยังสามารถระบุได้ด้วยการคลิกเมาส์โดยวางเคอร์เซอร์ใน จุดที่ต้องการหน้าจอ.

ใน AutoCAD คุณสามารถสร้างเส้นตรงได้ไม่เพียงแค่สองจุดเท่านั้น แต่ยังสร้างจากมุมเอียงได้ด้วย จากเมนูวาดบริบท ให้เลือกเส้นตรงแล้วเลือกตัวเลือกมุม จุดเริ่มต้นสามารถตั้งค่าได้ด้วยการคลิกเมาส์ หรือโดย เช่นเดียวกับในวิธีก่อนหน้า จากนั้นกำหนดขนาดมุมและกด Enter โดยค่าเริ่มต้น เส้นจะอยู่ในตำแหน่งที่ต้องการในแนวนอน

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บนภาพวาดที่ซับซ้อน (แผนภาพ) ตั้งฉากโดยตรงและ เครื่องบินกำหนดโดยบทบัญญัติหลัก: ถ้าฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง มุมฉากขนาน เครื่องบินการฉายภาพ จากนั้นมุมฉากจะถูกฉายลงบนระนาบนี้โดยไม่มีการบิดเบือน ถ้าเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นตัดกัน เครื่องบิน, มันตั้งฉากกับสิ่งนี้ เครื่องบิน.

คุณจะต้องการ

• ดินสอ ไม้บรรทัด ไม้โปรแทรกเตอร์ สามเหลี่ยม

คำแนะนำ

ตัวอย่าง: ผ่านจุด M วาดเส้นตั้งฉากกับ เครื่องบินการวาดเส้นตั้งฉากกับ เครื่องบิน, มีเส้นตัดกันสองเส้นนอนอยู่ในนี้ เครื่องบินและสร้างเส้นตั้งฉากกับพวกเขา หน้าผากและแนวนอนถูกเลือกให้เป็นเส้นตัดกันสองเส้นนี้ เครื่องบิน.

หน้าผาก f(f₁f₂) เป็นเส้นตรงที่อยู่ใน เครื่องบินและขนานกับด้านหน้า เครื่องบินประมาณการ ดังนั้น f₂ จึงเป็นค่าธรรมชาติของมัน และ f₁ ขนานกับ x₁₂ เสมอ จากจุด A₂ วาด h₂ ขนานกับ x₁₂ และรับจุด 1₂ บน B₂C₂

ด้วยความช่วยเหลือของเส้นโครงของการสื่อสารจุด1₁บนВ₁С₁ เชื่อมต่อกับ A₁ - นี่คือ h₁ - ขนาดธรรมชาติของแนวนอน จากจุด B₁ วาดf₁‖x₁₂ บน A₁C₁ ได้จุด 2₁ ค้นหาจุด 2₂ บน A₂C₂ โดยใช้เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ เชื่อมต่อกับจุด B₂ - นี่จะเป็น f₂ - ขนาดเต็มของด้านหน้า

สร้างแนวนอนตามธรรมชาติ h₁ และหน้าผาก f₂ ของการฉายภาพตั้งฉากกับ เครื่องบิน. จากจุด M₂ ให้วาดเส้นโครงด้านหน้า a₂ ที่มุม 90

มีจุดที่โดดเด่นสี่จุดในรูปสามเหลี่ยม: จุดตัดของค่ามัธยฐาน จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง จุดตัดของความสูง และจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉาก ลองพิจารณาแต่ละคน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

บนจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม: ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและแบ่งจุดตัดในอัตราส่วน $2:1$ โดยเริ่มจากจุดยอด

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ เป็นค่ามัธยฐาน เนื่องจากค่ามัธยฐานแบ่งครึ่งด้าน พิจารณาเส้นกลาง $A_1B_1$ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ตามทฤษฎีบท 1 $AB||A_1B_1$ and $AB=2A_1B_1$ ดังนั้น $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$ ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม $ABM$ และ $A_1B_1M$ จะคล้ายกันในอันแรก ความเหมือนสามเหลี่ยม. แล้ว

ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 2

บนจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม: เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AM,\ BP,\ CK$ เป็นตัวแบ่งครึ่ง ให้จุด $O$ เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง $AM\ และ\ BP$ วาดจากจุดนี้ตั้งฉากกับด้านข้างของสามเหลี่ยม (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 3

แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ไม่ขยายจะมีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้าง

ตามทฤษฎีบท 3 เรามี: $OX=OZ,\ OX=OY$ ดังนั้น $OY=OZ$ ดังนั้นจุด $O$ จึงอยู่ห่างจากด้านข้างของมุม $ACB$ เท่ากัน ดังนั้นจึงอยู่บนครึ่งวงกลม $CK$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 4

เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากของด้านข้างของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

การพิสูจน์.

ให้สามเหลี่ยม $ABC$ $n,\ m,\ p$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ให้จุด $O$ เป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก $n\ และ\ m$ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยม

สำหรับการพิสูจน์เราต้องการทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 5

แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั้นห่างจากปลายส่วนที่กำหนดเท่ากัน

ตามทฤษฎีบท 3 เรามี: $OB=OC,\ OB=OA$ ดังนั้น $OA=OC$ ซึ่งหมายความว่าจุด $O$ นั้นอยู่ห่างจากจุดสิ้นสุดของส่วน $AC$ เท่ากัน ดังนั้นจึงอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก $p$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จุดตัดของระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 6

ความสูงของสามเหลี่ยมหรือส่วนต่อขยายตัดกันที่จุดหนึ่ง

การพิสูจน์.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ คือความสูง ลากเส้นผ่านจุดยอดแต่ละจุดของสามเหลี่ยมขนานกับด้านตรงข้ามกับจุดยอด เราได้สามเหลี่ยมใหม่ $A_2B_2C_2$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 ความสูงของสามเหลี่ยม

เนื่องจาก $AC_2BC$ และ $B_2ABC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านร่วมกัน ดังนั้น $AC_2=AB_2$ นั่นคือ จุด $A$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $C_2B_2$ ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าจุด $B$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $C_2A_2$ และจุด $C$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $A_2B_2$ จากการสร้าง เราได้ $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ ดังนั้น $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยม $A_2B_2C_2$ จากนั้น โดยทฤษฎีบท 4 เรามีความสูง $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ ตัดกันที่จุดหนึ่ง