ใครรู้จำนวนเต็ม ไพ บ้างคะ? การคำนวณค่าของ pi

อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางจะเท่ากันสำหรับวงกลมทั้งหมด อัตราส่วนนี้มักจะแสดงด้วยตัวอักษรกรีก (“ pi” - ตัวอักษรเริ่มต้นของคำภาษากรีก ซึ่งหมายถึง "วงกลม")

อาร์คิมิดีสในงานของเขาเรื่อง "การวัดวงกลม" ได้คำนวณอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (จำนวน) และพบว่ามันอยู่ระหว่าง 3 10/71 ถึง 3 1/7

เป็นเวลานานแล้วที่ตัวเลข 22/7 ถูกใช้เป็นค่าโดยประมาณ แม้ว่าในศตวรรษที่ 5 ในประเทศจีนจะพบค่าประมาณ 355/113 = 3.1415929... ซึ่งถูกค้นพบอีกครั้งในยุโรปในศตวรรษที่ 16 เท่านั้น

ในอินเดียโบราณมีค่าเท่ากับ = 3.1622….

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส F. Viète คำนวณในปี 1579 ด้วยตัวเลข 9 หลัก

นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ Ludolf Van Zeijlen ในปี 1596 ได้ตีพิมพ์ผลงานสิบปีของเขา - ตัวเลขที่คำนวณด้วยตัวเลข 32 หลัก

แต่การชี้แจงความหมายของตัวเลขทั้งหมดนี้ดำเนินการโดยใช้วิธีการที่ระบุโดยอาร์คิมิดีส: วงกลมถูกแทนที่ด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเพิ่มขึ้น เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจำกัดนั้นน้อยกว่าเส้นรอบวงของวงกลม และเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจำกัดนั้นมากกว่า แต่ในขณะเดียวกัน ก็ยังไม่ชัดเจนว่าจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนตรรกยะ นั่นคืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว หรือจำนวนอตรรกยะ

เฉพาะในปี ค.ศ. 1767 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน I.G. แลมเบิร์ตพิสูจน์ว่าจำนวนนั้นไม่มีเหตุผล

และกว่าร้อยปีต่อมาในปี พ.ศ. 2425 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอีกคน F. Lindemann ได้พิสูจน์ความมีชัยซึ่งหมายถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนดโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด

การวัดที่ง่ายที่สุด

วาดวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลางบนกระดาษแข็งหนา ง(=15 ซม.)ให้ตัดวงกลมที่ได้ออกมาแล้วพันด้ายเส้นเล็กรอบๆ การวัดความยาว ล(=46.5 ซม.)หมุนด้ายครบหนึ่งรอบแล้วแบ่ง ล ต่อความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง ง วงกลม ผลหารผลลัพธ์จะเป็นค่าโดยประมาณของตัวเลข เช่น = ล/ ง= 46.5 ซม. / 15 ซม. = 3.1. วิธีการที่ค่อนข้างหยาบนี้ภายใต้สภาวะปกติจะให้ค่าประมาณของตัวเลขที่แม่นยำถึง 1

การวัดโดยการชั่งน้ำหนัก

วาดรูปสี่เหลี่ยมบนแผ่นกระดาษแข็ง ลองเขียนวงกลมลงไป. มาตัดสี่เหลี่ยมกัน ลองหามวลของสี่เหลี่ยมกระดาษแข็งโดยใช้สเกลของโรงเรียน มาตัดวงกลมออกจากสี่เหลี่ยมกัน มาชั่งน้ำหนักเขาด้วย รู้จักมวลของจัตุรัส ตารางเมตร (=10 ก.)และวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น ม (=7.8 ก.)ลองใช้สูตรกัน

ที่ไหน p และ ชม.– ความหนาแน่นและความหนาของกระดาษแข็ง ตามลำดับ ส– พื้นที่ของรูป พิจารณาความเท่าเทียมกัน:

โดยปกติแล้ว ในกรณีนี้ ค่าโดยประมาณจะขึ้นอยู่กับความแม่นยำในการชั่งน้ำหนัก หากร่างกระดาษแข็งที่ชั่งน้ำหนักมีขนาดค่อนข้างใหญ่แม้ในเครื่องชั่งธรรมดาก็เป็นไปได้ที่จะได้รับค่ามวลดังกล่าวซึ่งจะทำให้แน่ใจได้ว่าการประมาณตัวเลขจะมีความแม่นยำ 0.1

รวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เขียนไว้ในครึ่งวงกลม

ภาพที่ 1

ให้ A (a; 0), B (b; 0) ให้เราอธิบายครึ่งวงกลมบน AB ว่าเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง แบ่งส่วน AB ออกเป็นส่วนเท่าๆ กันด้วยจุด x 1, x 2, ..., x n-1 และคืนค่าตั้งฉากจากพวกมันไปยังจุดตัดด้วยครึ่งวงกลม ความยาวของแต่ละเส้นตั้งฉากคือค่าของฟังก์ชัน f(x)= จากรูปที่ 1 เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ S ของครึ่งวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n

ในกรณีของเรา ข=1, ก=-1. แล้ว = 2 ส.

ยิ่งมีจุดแบ่งในส่วน AB มากเท่าใด ค่าก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น เพื่ออำนวยความสะดวกในการทำงานคอมพิวเตอร์ที่ซ้ำซากจำเจคอมพิวเตอร์จะช่วยซึ่งโปรแกรม 1 ที่คอมไพล์เป็น BASIC ได้รับด้านล่าง

โปรแกรม 1

REM "การคำนวณ Pi"
REM "วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า"
INPUT "ป้อนจำนวนสี่เหลี่ยม", n
dx = 1/n
สำหรับ i = 0 ถึง n - 1
ฉ = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
ก = ก + ฉ
ถัดไป
พี = 4 * dx * ก
พิมพ์ "ค่าของ pi คือ ", p
จบ

โปรแกรมถูกพิมพ์และเปิดใช้งานด้วยค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน n. ค่าตัวเลขผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในตาราง:

วิธีมอนติคาร์โล

นี่เป็นวิธีทดสอบทางสถิติจริงๆ ได้ชื่อที่แปลกใหม่มาจากเมืองมอนติคาร์โลในอาณาเขตโมนาโกซึ่งมีชื่อเสียงในด้านบ่อนการพนัน ความจริงก็คือวิธีนี้ต้องใช้ตัวเลขสุ่มและหนึ่งในอุปกรณ์ที่ง่ายที่สุดที่สร้างตัวเลขสุ่มก็คือรูเล็ต อย่างไรก็ตาม คุณสามารถรับตัวเลขสุ่มได้โดยใช้...ฝน

สำหรับการทดลอง ให้เตรียมกระดาษแข็งแผ่นหนึ่ง วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วเขียนวงกลมหนึ่งในสี่ลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากภาพวาดดังกล่าวถูกเก็บท่ามกลางสายฝนเป็นระยะเวลาหนึ่ง ร่องรอยของหยดจะยังคงอยู่บนพื้นผิว ลองนับจำนวนรางภายในจัตุรัสและในวงกลมควอเตอร์กัน แน่นอนว่าอัตราส่วนของมันจะเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้โดยประมาณ เนื่องจากหยดจะตกอยู่ในตำแหน่งต่าง ๆ ในภาพวาดที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน อนุญาต ไม่มี cr– จำนวนหยดในวงกลม ยังไม่มีข้อความ ตร.คือจำนวนหยดกำลังสองแล้ว

4 Ncr / N ตร.ม.

รูปที่ 2

เรนสามารถแทนที่ด้วยตารางตัวเลขสุ่มซึ่งรวบรวมโดยใช้คอมพิวเตอร์โดยใช้โปรแกรมพิเศษ ให้เราสุ่มตัวเลขสองตัวให้กับแต่ละร่องรอยของหยด โดยระบุตำแหน่งตามแกน โอ้และ อู๋. คุณสามารถเลือกหมายเลขสุ่มได้จากตารางในลำดับใดก็ได้ เช่น ในแถว ให้ตัวเลขสี่หลักแรกในตาราง 3265 . จากนั้นคุณสามารถเตรียมตัวเลขคู่หนึ่งได้ ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่าศูนย์และน้อยกว่าหนึ่ง: x=0.32, y=0.65. เราจะถือว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นพิกัดของการดรอป กล่าวคือ ดูเหมือนว่าการดรอปจะถึงจุดนั้นแล้ว (0.32; 0.65) เราทำเช่นเดียวกันกับตัวเลขสุ่มที่เลือกทั้งหมด หากปรากฎว่าตรงประเด็น (x;y)หากความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ แสดงว่ามันอยู่นอกวงกลม ถ้า x + y = 1แล้วจุดจะอยู่ภายในวงกลม

ในการคำนวณค่า เราใช้สูตร (1) อีกครั้ง ข้อผิดพลาดในการคำนวณโดยใช้วิธีนี้มักจะเป็นสัดส่วนกับ โดยที่ D คือค่าคงที่ และ N คือจำนวนการทดสอบ ในกรณีของเรา N = N sq. จากสูตรนี้ชัดเจน: เพื่อลดข้อผิดพลาด 10 เท่า (กล่าวอีกนัยหนึ่งเพื่อให้ได้ตำแหน่งทศนิยมที่ถูกต้องในคำตอบ) คุณต้องเพิ่ม N นั่นคือปริมาณงาน 100 เท่า เป็นที่ชัดเจนว่าการใช้วิธีมอนติคาร์โลเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อต้องใช้คอมพิวเตอร์เท่านั้น โปรแกรม 2 ใช้วิธีการอธิบายไว้บนคอมพิวเตอร์

โปรแกรม 2

REM "การคำนวณ Pi"
REM "วิธีมอนติคาร์โล"
INPUT "ป้อนจำนวนหยด", n
ม. = 0
สำหรับ i = 1 ถึง n
เสื้อ = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = เสื้อ - x * 100
ถ้า x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
ถัดไป
p=4*ม/n

จบ

โปรแกรมถูกพิมพ์และเปิดใช้งานด้วยค่าที่แตกต่างกันของพารามิเตอร์ n ค่าตัวเลขผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในตาราง:

n
n

วิธีหยอดเข็ม

ลองใช้เข็มเย็บผ้าธรรมดาและกระดาษหนึ่งแผ่น เราจะวาดเส้นขนานหลายเส้นบนแผ่นงานเพื่อให้ระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสองเท่ากันและเกินความยาวของเข็ม ภาพวาดต้องมีขนาดใหญ่พอที่เข็มที่โยนโดยไม่ตั้งใจจะไม่หลุดออกนอกขอบเขต ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: ก- ระยะห่างระหว่างบรรทัด ล– ความยาวของเข็ม

รูปที่ 3

ตำแหน่งของเข็มที่สุ่มโยนลงบนแบบร่าง (ดูรูปที่ 3) ถูกกำหนดโดยระยะห่าง X จากกึ่งกลางเข็มถึงเส้นตรงที่ใกล้ที่สุด และมุม j ที่เข็มทำโดยให้ตั้งฉากลดลงจากกึ่งกลางเข็มถึงตำแหน่ง เส้นตรงที่ใกล้ที่สุด (ดูรูปที่ 4) มันชัดเจนว่า

รูปที่ 4

ในรูป 5 ลองแสดงฟังก์ชันแบบกราฟิกกัน y=0.5คอส. ตำแหน่งเข็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีลักษณะเฉพาะด้วยจุดที่มีพิกัด (; ย)ตั้งอยู่ที่ส่วน ABCD พื้นที่แรเงาของเครื่อง AED คือจุดที่ตรงกับกรณีที่เข็มตัดเป็นเส้นตรง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก– “เข็มข้ามเส้นตรง” – คำนวณโดยใช้สูตร:

รูปที่ 5

ความน่าจะเป็น พี(ก)สามารถกำหนดโดยประมาณได้โดยการขว้างเข็มซ้ำๆ ปล่อยให้เข็มถูกโยนลงบนภาพวาด คครั้งหนึ่งและ พีเนื่องจากล้มขณะข้ามเส้นตรงเส้นหนึ่งแล้วมีขนาดใหญ่พอสมควร คเรามี พี(ก) ​​= พี/ค. จากที่นี่ = 2 ลิตร วินาที / ก.

ความคิดเห็น วิธีที่นำเสนอนี้เป็นการเปลี่ยนแปลงของวิธีทดสอบทางสถิติ เป็นเรื่องที่น่าสนใจจากมุมมองการสอนเนื่องจากช่วยผสมผสานประสบการณ์ที่เรียบง่ายเข้ากับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน

การคำนวณโดยใช้อนุกรมเทย์เลอร์

ให้เราหันมาพิจารณาฟังก์ชันตามอำเภอใจ ฉ(x)ให้เราถือว่าสำหรับเธอ ณ จุดนั้น x 0มีอนุพันธ์ของออเดอร์ทั้งหมดถึง nรวมอยู่ด้วย แล้วสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x)เราสามารถเขียนซีรี่ส์ Taylor ได้:

การคำนวณโดยใช้ซีรีส์นี้จะแม่นยำยิ่งขึ้นเมื่อมีสมาชิกในซีรีส์นี้มีส่วนร่วมมากขึ้น แน่นอนว่าเป็นการดีที่สุดที่จะใช้วิธีนี้กับคอมพิวเตอร์ซึ่งคุณสามารถใช้โปรแกรม 3 ได้

โปรแกรม 3

REM "การคำนวณ Pi"
REM "ส่วนขยายซีรีส์เทย์เลอร์"
อินพุต
ก = 1
สำหรับ i = 1 ถึง n
ง = 1 / (ผม + 2)
ฉ = (-1)^ฉัน * ง
ก = ก + ฉ
ถัดไป
พี = 4 * ก
พิมพ์ "ค่าของ pi เท่ากับ"; พี
จบ

โปรแกรมถูกพิมพ์และรันสำหรับค่าต่างๆ ของพารามิเตอร์ n ค่าตัวเลขผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในตาราง:

มีกฎช่วยในการจำง่ายๆ สำหรับการจำความหมายของตัวเลข:

ผู้ชื่นชอบคณิตศาสตร์ทั่วโลกจะกินพายหนึ่งชิ้นทุกปีในวันที่ 14 มีนาคม เนื่องจากเป็นวันของปี่ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะที่มีชื่อเสียงที่สุด วันที่นี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวเลขที่มีหลักแรกคือ 3.14 Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง เนื่องจากมันไม่ลงตัว จึงเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ นี่เป็นจำนวนที่ยาวเป็นอนันต์ มันถูกค้นพบเมื่อหลายพันปีก่อนและมีการศึกษาอย่างต่อเนื่องตั้งแต่นั้นมา แต่พี่ยังมีความลับอะไรอีกไหม? จากต้นกำเนิดในสมัยโบราณไปจนถึงอนาคตที่ไม่แน่นอน นี่คือข้อเท็จจริงที่น่าสนใจที่สุดบางส่วนเกี่ยวกับ Pi

ความทรงจำของพี่

บันทึกการจำเลขทศนิยมเป็นของ Rajvir Meena จากอินเดีย ซึ่งสามารถจดจำตัวเลขได้ 70,000 หลัก เขาสร้างสถิติเมื่อวันที่ 21 มีนาคม 2015 ก่อนหน้านี้เจ้าของสถิติคือ Chao Lu จากประเทศจีน ซึ่งสามารถจดจำตัวเลขได้ 67,890 หลัก ซึ่งสถิตินี้ตั้งขึ้นในปี 2548 เจ้าของสถิติอย่างไม่เป็นทางการคือ Akira Haraguchi ซึ่งบันทึกตัวเองในวิดีโอที่มีตัวเลขซ้ำ 100,000 หลักในปี 2548 และเพิ่งเผยแพร่วิดีโอที่เขาสามารถจดจำตัวเลข 117,000 หลักได้ บันทึกนี้จะเป็นทางการก็ต่อเมื่อวิดีโอนี้ถูกบันทึกต่อหน้าตัวแทนของ Guinness Book of Records และหากไม่มีการยืนยัน จะเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่น่าประทับใจ แต่ไม่ถือว่าเป็นความสำเร็จ ผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์ชอบที่จะจดจำตัวเลข Pi หลายๆ คนใช้เทคนิคช่วยในการจำหลายๆ แบบ เช่น บทกวี ซึ่งจำนวนตัวอักษรในแต่ละคำตรงกับตัวเลขของ Pi แต่ละภาษามีวลีที่คล้ายกันในเวอร์ชันของตัวเอง ซึ่งจะช่วยให้คุณจำทั้งตัวเลขสองสามตัวแรกและหลักร้อยได้

มีภาษาไพด้วย

นักคณิตศาสตร์ผู้หลงใหลในวรรณคดีได้คิดค้นภาษาถิ่นซึ่งจำนวนตัวอักษรในทุกคำตรงกับตัวเลขของ Pi ตามลำดับที่แน่นอน นักเขียน Mike Keith ยังเขียนหนังสือ Not a Wake ซึ่งเขียนด้วยภาษา Pi ทั้งหมด ผู้ชื่นชอบความคิดสร้างสรรค์ดังกล่าวเขียนผลงานของตนให้ครบถ้วนตามจำนวนตัวอักษรและความหมายของตัวเลข สิ่งนี้ไม่มีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ แต่เป็นปรากฏการณ์ที่ค่อนข้างธรรมดาและเป็นที่รู้จักกันดีในแวดวงนักวิทยาศาสตร์ที่กระตือรือร้น

การเติบโตแบบก้าวกระโดด

Pi เป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นตามนิยามแล้ว คนจะไม่สามารถระบุหลักที่แน่นอนของจำนวนนี้ได้ อย่างไรก็ตาม จำนวนตำแหน่งทศนิยมเพิ่มขึ้นอย่างมากนับตั้งแต่มีการใช้ Pi ครั้งแรก ชาวบาบิโลนก็ใช้มันเช่นกัน แต่เศษของสามส่วนและหนึ่งในแปดก็เพียงพอสำหรับพวกเขา ชาวจีนและผู้สร้างพันธสัญญาเดิมถูกจำกัดไว้เพียงสามคนเท่านั้น ในปี ค.ศ. 1665 เซอร์ไอแซก นิวตันได้คำนวณค่าพาย 16 หลัก ในปี 1719 Tom Fante de Lagny นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสามารถคำนวณตัวเลขได้ 127 หลัก การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ได้พัฒนาความรู้ของมนุษย์เกี่ยวกับ Pi อย่างมาก ตั้งแต่ปี 1949 ถึง 1967 จำนวนหลักที่มนุษย์รู้จักเพิ่มขึ้นจาก 2,037 เป็น 500,000 ไม่นานมานี้ Peter Trueb นักวิทยาศาสตร์จากสวิตเซอร์แลนด์สามารถคำนวณ Pi ได้ 2.24 ล้านล้านหลัก! ใช้เวลา 105 วัน แน่นอนว่านี่ไม่ใช่ขีดจำกัด มีแนวโน้มว่าด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีจะสามารถสร้างตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้ - เนื่องจาก Pi นั้นไม่มีที่สิ้นสุดจึงไม่มีการจำกัดความแม่นยำและมีเพียงคุณสมบัติทางเทคนิคของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เท่านั้นที่สามารถจำกัดได้

การคำนวณ Pi ด้วยมือ

หากคุณต้องการค้นหาตัวเลขด้วยตัวเอง คุณสามารถใช้เทคนิคแบบเก่า คุณจะต้องใช้ไม้บรรทัด ขวดโหล และเชือก หรือคุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และดินสอก็ได้ ข้อเสียของการใช้กระป๋องก็คือ กระป๋องจะต้องกลม และความแม่นยำจะขึ้นอยู่กับว่าคนๆ หนึ่งสามารถพันเชือกรอบๆ กระป๋องได้ดีแค่ไหน คุณสามารถวาดวงกลมด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ได้ แต่ต้องใช้ทักษะและความแม่นยำด้วย เนื่องจากวงกลมที่ไม่สม่ำเสมออาจทำให้การวัดของคุณบิดเบือนอย่างมาก วิธีการที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวข้องกับการใช้เรขาคณิต แบ่งวงกลมออกเป็นหลายๆ ส่วน เช่น พิซซ่าเป็นชิ้นๆ แล้วคำนวณความยาวของเส้นตรงที่จะเปลี่ยนแต่ละส่วนให้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ผลรวมของด้านจะได้ค่าพายโดยประมาณ ยิ่งคุณใช้กลุ่มมากเท่าใด จำนวนก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น แน่นอนว่าในการคำนวณของคุณ คุณจะไม่สามารถเข้าใกล้ผลลัพธ์ของคอมพิวเตอร์ได้มากนัก อย่างไรก็ตาม การทดลองง่ายๆ เหล่านี้ช่วยให้คุณเข้าใจรายละเอียดมากขึ้นว่าตัวเลข Pi คืออะไร และใช้ในคณิตศาสตร์อย่างไร

การค้นพบปี่

ชาวบาบิโลนโบราณรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของเลขพายเมื่อสี่พันปีที่แล้ว แท็บเล็ตของชาวบาบิโลนคำนวณ Pi เป็น 3.125 และกระดาษปาปิรัสทางคณิตศาสตร์ของอียิปต์แสดงตัวเลข 3.1605 ในพระคัมภีร์ ค่า Pi ถูกกำหนดไว้เป็นความยาวศอกที่ล้าสมัย และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก อาร์คิมิดีส ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตระหว่างความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมและพื้นที่ของตัวเลขภายในและภายนอกวงกลม เพื่ออธิบาย Pi ดังนั้น เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่า Pi เป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด แม้ว่าชื่อที่แน่นอนของตัวเลขนี้จะปรากฏเมื่อไม่นานมานี้ก็ตาม

รูปลักษณ์ใหม่ของ Pi

ก่อนที่ตัวเลข Pi จะเริ่มสัมพันธ์กับวงกลม นักคณิตศาสตร์ก็มีหลายวิธีในการตั้งชื่อตัวเลขนี้แล้ว ตัวอย่างเช่น ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์โบราณ เราสามารถพบวลีในภาษาละตินที่สามารถแปลคร่าวๆ ได้ว่าเป็น "ปริมาณที่แสดงความยาวเมื่อคูณเส้นผ่านศูนย์กลาง" จำนวนอตรรกยะมีชื่อเสียงเมื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ใช้มันในงานตรีโกณมิติของเขาในปี 1737 อย่างไรก็ตาม ยังไม่ได้ใช้สัญลักษณ์กรีกของ Pi ซึ่งเกิดขึ้นในหนังสือของวิลเลียม โจนส์ นักคณิตศาสตร์ที่ไม่ค่อยมีคนรู้จักเท่านั้น เขาใช้มันแล้วในปี 1706 แต่ก็ไม่มีใครสังเกตเห็นเป็นเวลานาน เมื่อเวลาผ่านไป นักวิทยาศาสตร์ได้นำชื่อนี้มาใช้ และตอนนี้ก็เป็นชื่อที่โด่งดังที่สุด แม้ว่าก่อนหน้านี้จะเรียกว่าหมายเลขลูดอล์ฟก็ตาม

Pi เป็นตัวเลขปกติหรือไม่?

Pi เป็นตัวเลขแปลกแน่นอน แต่จะเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์ปกติได้เท่าไร? นักวิทยาศาสตร์ได้ตอบคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอตรรกยะนี้แล้ว แต่ยังมีปริศนาบางประการอยู่ ตัวอย่างเช่นไม่ทราบว่ามีการใช้ตัวเลขทั้งหมดบ่อยแค่ไหน - ควรใช้ตัวเลข 0 ถึง 9 ในสัดส่วนที่เท่ากัน อย่างไรก็ตาม สถิติสามารถติดตามได้จากหลักล้านล้านหลักแรก แต่เนื่องจากจำนวนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์สิ่งใดได้อย่างแน่นอน มีปัญหาอื่น ๆ ที่ยังคงหลบเลี่ยงนักวิทยาศาสตร์อยู่ เป็นไปได้ว่าการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เพิ่มเติมจะช่วยให้กระจ่างแก่พวกเขา แต่ในขณะนี้ ยังอยู่นอกเหนือขอบเขตของสติปัญญาของมนุษย์

พี่ฟังดูศักดิ์สิทธิ์

นักวิทยาศาสตร์ไม่สามารถตอบคำถามบางข้อเกี่ยวกับตัวเลข Pi ได้ แต่ทุกปีพวกเขาจะเข้าใจสาระสำคัญของมันดีขึ้นเรื่อยๆ ในศตวรรษที่สิบแปดความไร้เหตุผลของจำนวนนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว นอกจากนี้จำนวนดังกล่าวยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นสิ่งเหนือธรรมชาติอีกด้วย ซึ่งหมายความว่าไม่มีสูตรเฉพาะที่ให้คุณคำนวณ Pi โดยใช้จำนวนตรรกยะได้

ไม่พอใจกับตัวเลข Pi

นักคณิตศาสตร์หลายคนหลงรักพาย แต่ก็มีคนที่เชื่อว่าตัวเลขเหล่านี้ไม่มีนัยสำคัญเป็นพิเศษ นอกจากนี้ พวกเขายังอ้างว่าเอกภาพซึ่งมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของพาย นั้นสะดวกกว่าที่จะใช้เป็นจำนวนอตรรกยะ เอกภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงและรัศมี ซึ่งบางคนเชื่อว่าเป็นวิธีการคำนวณที่สมเหตุสมผลมากกว่า อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุอะไรได้อย่างแน่ชัดในเรื่องนี้ และอีกจำนวนหนึ่งจะมีผู้สนับสนุนเสมอ ทั้งสองวิธีมีสิทธิ์ที่จะมีชีวิต ดังนั้น นี่เป็นเพียงข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ ไม่ใช่เหตุผลที่จะคิดว่าคุณไม่ควร ใช้หมายเลข Pi

เป็นเวลาหลายศตวรรษและแม้กระทั่งนับพันปีที่ผู้คนเข้าใจถึงความสำคัญและคุณค่าของวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน ยังไม่ทราบจำนวน Pi แต่นักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดตลอดประวัติศาสตร์ของเรามีส่วนเกี่ยวข้องด้วย ส่วนใหญ่ต้องการแสดงมันเป็นจำนวนตรรกยะ

1. นักวิจัยและแฟนตัวยงของหมายเลข Pi ได้จัดตั้งสโมสรขึ้นเพื่อเข้าร่วมซึ่งคุณต้องรู้สัญญาณจำนวนมากด้วยใจ

2. ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2531 เป็นต้นมา มีการเฉลิมฉลอง “วันปี่” ซึ่งตรงกับวันที่ 14 มีนาคม พวกเขาเตรียมสลัด เค้ก คุกกี้ และขนมอบตามภาพลักษณ์ของเขา

3. ตั้งค่าตัวเลข Pi เป็นเพลงแล้ว และฟังดูค่อนข้างดี มีการสร้างอนุสาวรีย์ให้เขาในเมืองซีแอตเทิล อเมริกา หน้าพิพิธภัณฑ์ศิลปะประจำเมือง

ในสมัยนั้น พวกเขาพยายามคำนวณเลขพายโดยใช้เรขาคณิต ความจริงที่ว่าตัวเลขนี้เป็นค่าคงที่สำหรับวงกลมต่างๆ เป็นที่ทราบกันโดยนักเรขาคณิตในอียิปต์โบราณ บาบิโลน อินเดีย และกรีกโบราณ ซึ่งระบุในงานของพวกเขาว่ามากกว่าสามเพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ในหนังสือศักดิ์สิทธิ์เล่มหนึ่งของศาสนาเชน (ศาสนาอินเดียโบราณที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) กล่าวไว้ว่า ตอนนั้นจำนวน Pi ถือว่าเท่ากับรากที่สองของสิบ ซึ่งสุดท้ายแล้วให้ 3.162... .

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณวัดวงกลมโดยการสร้างส่วน แต่เพื่อที่จะวัดวงกลม พวกเขาต้องสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากัน นั่นคือ ตัวเลขที่มีพื้นที่เท่ากัน

เมื่อยังไม่ทราบเศษส่วนทศนิยม อาร์คิมิดีสผู้ยิ่งใหญ่ก็ค้นพบค่าพายด้วยความแม่นยำ 99.9% เขาค้นพบวิธีการที่กลายเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณในภายหลัง โดยจารึกรูปหลายเหลี่ยมปกติไว้ในวงกลมและอธิบายรอบๆ วงกลม ด้วยเหตุนี้ Archimedes จึงคำนวณค่า Pi เป็นอัตราส่วน 22/7 data 3.142857142857143

ในประเทศจีน นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ในราชสำนัก ซู ฉงจื้อ ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช จ. กำหนดค่า Pi ให้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยคำนวณเป็นทศนิยม 7 ตำแหน่งและกำหนดค่าระหว่างตัวเลข 3, 1415926 ถึง 3.1415927 นักวิทยาศาสตร์ต้องใช้เวลามากกว่า 900 ปีในการสานต่อซีรีส์ดิจิทัลนี้

วัยกลางคน

Madhava นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 14 - 15 และกลายเป็นผู้ก่อตั้งโรงเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ Kerala เป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ที่เริ่มทำงานเพื่อขยายฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอนุกรม จริงอยู่ที่ผลงานของเขาเพียงสองชิ้นเท่านั้นที่รอดชีวิต และผู้อื่นก็รู้จักเพียงการอ้างอิงและคำพูดจากนักเรียนของเขาเท่านั้น บทความทางวิทยาศาสตร์เรื่อง "มหาจยานายน" ซึ่งมีสาเหตุมาจากมาธาวา ระบุว่าตัวเลขพายคือ 3.14159265359 และในตำรา “สทรัตนามาลา” ยังได้ให้ตัวเลขที่มีตำแหน่งทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นไปอีก: 3.14159265358979324 ในตัวเลขที่กำหนด ตัวเลขสุดท้ายไม่ตรงกับค่าที่ถูกต้อง

ในศตวรรษที่ 15 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวซามาร์คันด์ อัล-กาชิ คำนวณตัวเลข Pi ด้วยทศนิยม 16 ตำแหน่ง ผลลัพธ์ของเขาถือว่าแม่นยำที่สุดในอีก 250 ปีข้างหน้า

ดับบลิว. จอห์นสัน นักคณิตศาสตร์จากประเทศอังกฤษ เป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่แสดงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางด้วยตัวอักษร π Pi เป็นอักษรตัวแรกของคำภาษากรีก "περιφέρεια" - วงกลม แต่การกำหนดนี้ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปหลังจากที่นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังอย่างแอล. ออยเลอร์ใช้ในปี 1736 เท่านั้น

บทสรุป

นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ยังคงทำงานต่อไปในการคำนวณค่า Pi เพิ่มเติม มีการใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์เพื่อสิ่งนี้แล้ว ในปี 2011 นักวิทยาศาสตร์จากชิเงรุ คอนโดะ ร่วมมือกับนักเรียนชาวอเมริกัน อเล็กซานเดอร์ ยี่ คำนวณลำดับ 10 ล้านล้านหลักได้อย่างถูกต้อง แต่ก็ยังไม่ชัดเจนว่าใครเป็นผู้ค้นพบตัวเลข Pi ซึ่งเป็นคนแรกที่คิดเกี่ยวกับปัญหานี้และทำการคำนวณครั้งแรกของตัวเลขลึกลับอย่างแท้จริงนี้

เมื่อเร็ว ๆ นี้เกี่ยวกับHabréในบทความหนึ่ง พวกเขากล่าวถึงคำถาม "จะเกิดอะไรขึ้นกับโลกถ้าจำนวน Pi เท่ากับ 4" ฉันตัดสินใจคิดเกี่ยวกับหัวข้อนี้เล็กน้อย โดยใช้ความรู้บางส่วน (แม้ว่าจะไม่ครอบคลุมที่สุด) ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง ถ้าใครสนใจเชิญดูแมวได้นะครับ

หากต้องการจินตนาการถึงโลกเช่นนี้ คุณต้องเข้าใจพื้นที่ที่มีอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางต่างกัน นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามทำ

ความพยายามครั้งที่ 1

สมมติว่าฉันจะพิจารณาเฉพาะช่องว่างสองมิติเท่านั้น ทำไม เนื่องจากที่จริงแล้ว วงกลมถูกกำหนดไว้ในปริภูมิสองมิติ (หากเราพิจารณามิติ n>2 อัตราส่วนของการวัดวงกลม (n-1) ในมิติต่อรัศมีจะไม่คงที่ด้วยซ้ำ) .
ประการแรก ฉันพยายามหาช่องว่างอย่างน้อยโดยที่ Pi ไม่เท่ากับ 3.1415... เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ฉันจึงใช้พื้นที่เมตริกกับเมตริกซึ่งระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเท่ากับค่าสูงสุด ระหว่างโมดูลของความแตกต่างของพิกัด (เช่น ระยะทาง Chebyshev)

วงกลมหน่วยจะมีรูปแบบใดในพื้นที่นี้? สมมติว่าพิกัด (0,0) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ จากนั้นเซตของจุด ซึ่งเป็นระยะทาง (ในความหมายของหน่วยเมตริกที่กำหนด) ซึ่งถึงจุดศูนย์กลางคือ 1 จะเป็น 4 ส่วนขนานกับแกนพิกัด ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 2 และมีศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์

ใช่แล้ว ในบางหน่วยเมตริกมันเป็นวงกลม!

ลองคำนวณ Pi ตรงนี้ รัศมีเท่ากับ 1 ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางจึงเท่ากับ 2 คุณยังสามารถพิจารณาคำจำกัดความของเส้นผ่านศูนย์กลางว่าเป็นระยะทางที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างจุดสองจุด แต่ถึงกระนั้นก็ยังเท่ากับ 2 ยังคงต้องหาความยาวของ “วงกลม” ของเราในการวัดนี้ นี่คือผลรวมของความยาวของทั้งสี่ส่วน ซึ่งในเมตริกนี้มีความยาวสูงสุด (0,2)=2 ซึ่งหมายความว่าเส้นรอบวงคือ 4*2=8 แล้วพายตรงนี้ก็เท่ากับ 8/2=4 เกิดขึ้น! แต่เราควรมีความสุขมากไหม? ผลลัพธ์นี้แทบไม่มีประโยชน์เลย เนื่องจากพื้นที่ที่เป็นปัญหานั้นเป็นนามธรรมอย่างยิ่ง มุมและทางเลี้ยวไม่ได้ถูกกำหนดไว้ด้วยซ้ำ คุณลองจินตนาการถึงโลกที่การหมุนไม่ได้ถูกกำหนดไว้จริงๆ และที่ที่วงกลมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ฉันพยายามจริงๆ แต่ฉันไม่มีจินตนาการเพียงพอ

รัศมีคือ 1 แต่มีปัญหาบางประการในการค้นหาความยาวของ "วงกลม" นี้ หลังจากค้นหาบนอินเทอร์เน็ตฉันก็ได้ข้อสรุปว่าในอวกาศหลอกยุคลิดเช่นแนวคิด "Pi" ไม่สามารถกำหนดได้เลยซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ดีอย่างแน่นอน

หากมีคนในความคิดเห็นบอกฉันถึงวิธีคำนวณความยาวของเส้นโค้งในปริภูมิหลอก - ยุคลิดอย่างเป็นทางการ ฉันจะดีใจมากเพราะความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โทโพโลยี (รวมถึง Googling ที่ขยันขันแข็ง) ของฉันยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งนี้

ข้อสรุป:

ฉันไม่รู้ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียนเกี่ยวกับข้อสรุปหลังจากการศึกษาระยะสั้นดังกล่าว แต่มีบางอย่างที่สามารถพูดได้ ประการแรก เมื่อฉันพยายามจินตนาการถึงอวกาศด้วยจำนวนพายที่แตกต่างกัน ฉันรู้ว่ามันจะเป็นนามธรรมเกินไปที่จะเป็นแบบจำลองของโลกแห่งความเป็นจริง ประการที่สอง เมื่อคุณพยายามสร้างแบบจำลองที่ประสบความสำเร็จมากขึ้น (คล้ายกับโลกแห่งความเป็นจริงของเรา) ปรากฎว่าตัวเลข Pi จะไม่เปลี่ยนแปลง หากเรามองข้ามความเป็นไปได้ของระยะทางกำลังสองที่เป็นลบ (ซึ่งสำหรับคนธรรมดาสามัญนั้นไร้สาระ) แล้ว Pi ก็จะไม่ถูกกำหนดเลย! ทั้งหมดนี้ชี้ให้เห็นว่าบางทีโลกที่มีหมายเลข Pi ต่างกันอาจไม่มีอยู่จริงเลย ไม่ใช่เพื่ออะไรที่จักรวาลจะเป็นอย่างที่มันเป็น หรือบางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริง แต่คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และจินตนาการของมนุษย์ทั่วไปยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งนี้ คุณคิดอย่างไร?

อัปเดตฉันรู้อย่างแน่นอน ความยาวของเส้นโค้งในปริภูมิหลอก-ยุคลิดสามารถกำหนดได้บนปริภูมิแบบยุคลิดเพียงบางปริภูมิเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ "เส้นรอบวง" ที่ได้รับในความพยายาม N3 แนวคิดเช่น "ความยาว" ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เลย ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณ Pi ที่นั่นได้เช่นกัน

Pi เท่ากับอะไร?เรารู้และจำได้จากโรงเรียน เท่ากับ 3.1415926 เป็นต้น... คนธรรมดาก็เพียงพอแล้วที่จะรู้ว่าตัวเลขนี้ได้มาจากการหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่หลายคนรู้ว่าตัวเลข Pi ปรากฏในพื้นที่ที่ไม่คาดคิด ไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์และเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงในฟิสิกส์ด้วย ถ้าคุณเจาะลึกรายละเอียดของธรรมชาติของตัวเลขนี้ คุณจะสังเกตเห็นสิ่งที่น่าประหลาดใจมากมายท่ามกลางชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด เป็นไปได้ไหมที่ Pi กำลังซ่อนความลับที่ลึกที่สุดของจักรวาล?

จำนวนอนันต์

ตัวเลข Pi นั้นปรากฏในโลกของเราโดยเป็นความยาวของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับหนึ่ง แต่ถึงแม้ว่าส่วนที่เท่ากับ Pi นั้นค่อนข้างจำกัด แต่ตัวเลข Pi เริ่มต้นที่ 3.1415926 และไปจนถึงอนันต์ในแถวของตัวเลขที่ไม่เคยเกิดซ้ำ ข้อเท็จจริงที่น่าประหลาดใจข้อแรกก็คือ ตัวเลขนี้ซึ่งใช้ในเรขาคณิต ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณไม่สามารถเขียนมันเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว a/b ได้ นอกจากนี้หมายเลข Pi ยังเป็นเลขเหนือธรรมชาติอีกด้วย ซึ่งหมายความว่าไม่มีสมการ (พหุนาม) ที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งคำตอบจะเป็นตัวเลข Pi

ความจริงที่ว่าตัวเลข Pi นั้นอยู่เหนือธรรมชาติได้รับการพิสูจน์ในปี 1882 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟอน ลินเดมันน์ มันเป็นข้อพิสูจน์ที่กลายเป็นคำตอบสำหรับคำถามว่าเป็นไปได้หรือไม่โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเพื่อวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่กำหนด ปัญหานี้เรียกว่าการค้นหาวงกลมกำลังสองซึ่งสร้างความกังวลให้กับมนุษยชาติมาตั้งแต่สมัยโบราณ ดูเหมือนว่าปัญหานี้จะมีวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ และกำลังจะได้รับการแก้ไข แต่มันเป็นคุณสมบัติที่ไม่อาจเข้าใจได้ของตัวเลข Pi ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มีทางแก้ปัญหาเรื่องการยกกำลังสองของวงกลมได้

เป็นเวลาอย่างน้อยสี่พันปีครึ่งที่มนุษยชาติพยายามหาค่า Pi ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ในพระคัมภีร์ในหนังสือเล่มที่สามของกษัตริย์ (7:23) ตัวเลข Pi ถือเป็น 3

ค่า Pi ของความแม่นยำที่น่าทึ่งสามารถพบได้ในปิรามิดแห่งกิซ่า: อัตราส่วนของเส้นรอบวงและความสูงของปิรามิดคือ 22/7 เศษส่วนนี้ให้ค่าประมาณของ Pi เท่ากับ 3.142... เว้นแต่ว่าชาวอียิปต์จะกำหนดอัตราส่วนนี้โดยไม่ได้ตั้งใจ ค่าเดียวกันนี้ได้รับมาแล้วโดยสัมพันธ์กับการคำนวณจำนวน Pi ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชโดยอาร์คิมีดีสผู้ยิ่งใหญ่

ใน Papyrus of Ahmes ซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์อียิปต์โบราณที่มีอายุย้อนกลับไปถึง 1650 ปีก่อนคริสตกาล ค่า Pi คำนวณเป็น 3.160493827

ในตำราอินเดียโบราณประมาณศตวรรษที่ 9 ก่อนคริสต์ศักราช ค่าที่แม่นยำที่สุดแสดงด้วยตัวเลข 339/108 ซึ่งเท่ากับ 3.1388...

เป็นเวลาเกือบสองพันปีหลังจากอาร์คิมิดีส ผู้คนพยายามหาวิธีคำนวณค่าพาย ในหมู่พวกเขามีทั้งนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่น สถาปนิกชาวโรมัน Marcus Vitruvius Pollio นักดาราศาสตร์ชาวอียิปต์ Claudius Ptolemy นักคณิตศาสตร์ชาวจีน Liu Hui ปราชญ์ชาวอินเดีย Aryabhata นักคณิตศาสตร์ยุคกลาง Leonardo of Pisa หรือที่รู้จักในชื่อ Fibonacci นักวิทยาศาสตร์ชาวอาหรับ Al-Khwarizmi ซึ่งมาจากชื่อคำนี้ “อัลกอริทึม” ปรากฏขึ้น พวกเขาทั้งหมดและคนอื่นๆ กำลังมองหาวิธีการคำนวณ Pi ที่แม่นยำที่สุด แต่จนถึงศตวรรษที่ 15 พวกเขาไม่เคยมีทศนิยมเกิน 10 ตำแหน่งเนื่องจากความซับซ้อนของการคำนวณ

ในที่สุด ในปี 1400 Madhava นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียจาก Sangamagram ได้คำนวณ Pi ด้วยความแม่นยำ 13 หลัก (แม้ว่าเขาจะยังเข้าใจผิดในสองตัวสุดท้ายก็ตาม)

จำนวนป้าย

ในศตวรรษที่ 17 ไลบ์นิซและนิวตันค้นพบการวิเคราะห์ปริมาณที่น้อยมาก ซึ่งทำให้สามารถคำนวณพายได้ก้าวหน้ามากขึ้น - ผ่านอนุกรมกำลังและอินทิกรัล นิวตันคำนวณทศนิยม 16 ตำแหน่งเอง แต่ไม่ได้กล่าวถึงในหนังสือของเขา สิ่งนี้กลายเป็นที่รู้จักหลังจากการตายของเขา นิวตันอ้างว่าเขาคำนวณ Pi ด้วยความเบื่อหน่ายเท่านั้น

ในช่วงเวลาเดียวกัน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักก็เสนอสูตรใหม่สำหรับการคำนวณตัวเลข Pi ผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างเช่น นี่คือสูตรที่ใช้ในการคำนวณพายโดยครูดาราศาสตร์ จอห์น มาชิน ในปี 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239) โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ Machin จะได้ตัวเลข Pi เป็นทศนิยมหนึ่งร้อยตำแหน่งจากสูตรนี้

อย่างไรก็ตามในปี 1706 เดียวกันหมายเลข Pi ได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการในรูปแบบของตัวอักษรกรีก: William Jones ใช้มันในงานคณิตศาสตร์ของเขาโดยใช้อักษรตัวแรกของคำภาษากรีก "รอบนอก" ซึ่งหมายถึง "วงกลม ” เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ผู้ยิ่งใหญ่ เกิดในปี 1707 และทำให้ชื่อนี้เป็นที่นิยม ซึ่งปัจจุบันเป็นที่รู้จักของเด็กนักเรียนทุกคน

ก่อนยุคของคอมพิวเตอร์ นักคณิตศาสตร์มุ่งเน้นไปที่การคำนวณสัญญาณให้ได้มากที่สุด ในเรื่องนี้บางครั้งก็มีเรื่องตลกเกิดขึ้น นักคณิตศาสตร์สมัครเล่น W. Shanks คำนวณค่า Pi ได้ 707 หลักในปี 1875 ป้ายเจ็ดร้อยป้ายเหล่านี้ถูกทำให้เป็นอมตะบนผนัง Palais des Discoverys ในปารีสในปี 1937 อย่างไรก็ตาม เก้าปีต่อมา นักคณิตศาสตร์ช่างสังเกตพบว่ามีเพียง 527 อักขระแรกเท่านั้นที่ถูกคำนวณอย่างถูกต้อง พิพิธภัณฑ์ต้องเสียค่าใช้จ่ายจำนวนมากเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาด - ขณะนี้ตัวเลขทั้งหมดถูกต้องแล้ว

เมื่อคอมพิวเตอร์ปรากฏขึ้น จำนวนหลักของ Pi ก็เริ่มถูกคำนวณตามลำดับที่ไม่สามารถจินตนาการได้อย่างสมบูรณ์

คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์เครื่องแรกๆ คือ ENIAC ซึ่งสร้างขึ้นในปี 1946 มีขนาดมหึมาและสร้างความร้อนได้มากถึงขนาดทำให้ห้องอุ่นขึ้นได้ถึง 50 องศาเซลเซียส โดยคำนวณจากตัวเลขแรกของปี 2037 ของ Pi การคำนวณนี้ใช้เวลาเครื่อง 70 ชั่วโมง

เมื่อคอมพิวเตอร์พัฒนาขึ้น ความรู้ของเราเกี่ยวกับ Pi ก็ขยับขยายไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด ในปี พ.ศ. 2501 มีการคำนวณตัวเลข 10,000 หลัก ในปี 1987 ชาวญี่ปุ่นคำนวณได้ 10,013,395 อักขระ ในปี 2011 นักวิจัยชาวญี่ปุ่น ชิเกรุ ฮอนโด มีอักขระเกิน 10 ล้านล้านตัว

คุณจะพบกับ Pi ได้ที่ไหนอีก?

ดังนั้น บ่อยครั้งที่ความรู้ของเราเกี่ยวกับจำนวนพายยังคงอยู่ที่ระดับโรงเรียน และเรารู้แน่ว่าจำนวนนี้ไม่สามารถแทนที่ได้ในเรขาคณิตเป็นหลัก

นอกจากสูตรสำหรับความยาวและพื้นที่ของวงกลมแล้ว ตัวเลข Pi ยังใช้ในสูตรสำหรับวงรี ทรงกลม กรวย ทรงกระบอก ทรงรี และอื่นๆ ในบางสถานที่สูตรนั้นง่ายและจดจำได้ง่าย แต่ ส่วนอย่างอื่นก็มีอินทิกรัลที่ซับซ้อนมาก

จากนั้นเราจะได้ค่า Pi ในสูตรทางคณิตศาสตร์ โดยที่เมื่อมองแวบแรกจะมองไม่เห็นรูปทรงเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลไม่จำกัดของ 1/(1-x^2) เท่ากับ Pi

Pi มักใช้ในการวิเคราะห์อนุกรม ตัวอย่างเช่น นี่คือซีรีส์ง่ายๆ ที่มาบรรจบกับ Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = ปี่/4

ในบรรดาซีรีส์นี้ Pi ปรากฏตัวอย่างไม่คาดคิดมากที่สุดในฟังก์ชันซีตาของ Riemann อันโด่งดัง พูดสั้น ๆ ไม่ได้เลย สมมุติว่าสักวันหนึ่งตัวเลข Pi จะช่วยหาสูตรในการคำนวณจำนวนเฉพาะ

และน่าประหลาดใจอย่างยิ่ง: Pi ปรากฏในสูตรคณิตศาสตร์ "ราชวงศ์" ที่สวยที่สุดสองสูตร - สูตรของสเตอร์ลิง (ซึ่งช่วยในการค้นหาค่าประมาณของฟังก์ชันแฟกทอเรียลและแกมมา) และสูตรของออยเลอร์ (ซึ่งเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ได้มากถึงห้าค่า)

อย่างไรก็ตาม การค้นพบที่ไม่คาดคิดที่สุดกำลังรอคอยนักคณิตศาสตร์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เลขไพก็อยู่ด้วย

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองตัวจะค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะคือ 6/PI^2

พายปรากฏในปัญหาการขว้างเข็มของบุฟฟอน ซึ่งกำหนดขึ้นในศตวรรษที่ 18: ความน่าจะเป็นที่เข็มที่โยนลงบนกระดาษที่มีเส้นบรรทัดจะข้ามเส้นใดเส้นหนึ่งคือเท่าใด หากความยาวของเข็มคือ L และระยะห่างระหว่างเส้นคือ L และ r > L เราสามารถคำนวณค่าพายโดยประมาณได้โดยใช้สูตรความน่าจะเป็น 2L/rPI ลองนึกภาพ - เราสามารถรับ Pi จากเหตุการณ์สุ่มได้ และอีกอย่าง พายอยู่ในการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ ปรากฏในสมการของเส้นโค้งเกาส์เซียนอันโด่งดัง นี่หมายความว่า Pi นั้นมีพื้นฐานมากกว่าแค่อัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางใช่หรือไม่

เรายังสามารถพบกับ Pi ในวิชาฟิสิกส์ได้ ค่าพายปรากฏในกฎของคูลอมบ์ ซึ่งอธิบายแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างสองประจุ ในกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ ซึ่งแสดงคาบการหมุนรอบดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ และยังปรากฏในการจัดเรียงวงโคจรของอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนอีกด้วย และสิ่งที่น่าเหลือเชื่อที่สุดอีกครั้งหนึ่งก็คือ ตัวเลข Pi ถูกซ่อนอยู่ในสูตรของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก ซึ่งเป็นกฎพื้นฐานของฟิสิกส์ควอนตัม

ความลับของพี่

ในนวนิยายเรื่อง Contact ของ Carl Sagan ซึ่งมีพื้นฐานมาจากภาพยนตร์ชื่อเดียวกันมนุษย์ต่างดาวบอกนางเอกว่าในบรรดาสัญญาณของ Pi มีข้อความลับจากพระเจ้า จากตำแหน่งหนึ่ง ตัวเลขในตัวเลขจะหยุดสุ่มและเป็นตัวแทนของรหัสที่ใช้เขียนความลับทั้งหมดของจักรวาล

นวนิยายเรื่องนี้สะท้อนถึงความลึกลับที่ครอบงำจิตใจของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกจริง ๆ แล้ว Pi เป็นตัวเลขปกติที่ตัวเลขกระจัดกระจายด้วยความถี่เท่ากัน หรือมีอะไรผิดปกติกับตัวเลขนี้ และถึงแม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะโน้มเอียงไปทางตัวเลือกแรก (แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้) แต่ตัวเลข Pi ก็ดูลึกลับมาก คนญี่ปุ่นเคยคำนวณว่าตัวเลข 0 ถึง 9 เกิดขึ้นกี่ครั้งในล้านล้านหลักแรกของ Pi และฉันเห็นว่าหมายเลข 2, 4 และ 8 นั้นพบได้บ่อยกว่าหมายเลขอื่นๆ นี่อาจเป็นหนึ่งในสัญญาณบ่งบอกว่า Pi ไม่ปกติโดยสิ้นเชิง และตัวเลขในนั้นไม่ใช่การสุ่มจริงๆ

ลองจำทุกสิ่งที่เราอ่านข้างต้นแล้วถามตัวเองว่า มีเลขอตรรกยะและเลขอดิศัยอะไรอีกบ้างที่มักพบในโลกแห่งความเป็นจริง?

และมีสิ่งแปลกประหลาดอีกมากมายในร้าน ตัวอย่างเช่น ผลรวมของตัวเลขยี่สิบหลักแรกของ Pi คือ 20 และผลรวมของ 144 หลักแรกเท่ากับ "จำนวนสัตว์ร้าย" 666

ตัวละครหลักของซีรีส์อเมริกันเรื่อง "Suspect" ศาสตราจารย์ฟินช์บอกกับนักเรียนว่าเนื่องจากจำนวน Pi ที่ไม่มีที่สิ้นสุดจึงสามารถพบการรวมกันของตัวเลขได้ตั้งแต่จำนวนวันเกิดของคุณไปจนถึงตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น . ตัวอย่างเช่น ที่ตำแหน่ง 762 จะมีลำดับเลขเก้าหกตัว ตำแหน่งนี้เรียกว่าจุดไฟน์แมนตามนักฟิสิกส์ชื่อดังผู้สังเกตเห็นการผสมผสานที่น่าสนใจนี้

เรายังรู้ด้วยว่าหมายเลข Pi มีลำดับ 0123456789 แต่อยู่ที่หลักที่ 17,387,594,880

ทั้งหมดนี้หมายความว่าในอนันต์ของตัวเลข Pi เราไม่เพียงสามารถค้นหาชุดตัวเลขที่น่าสนใจเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อความที่เข้ารหัสของ "สงครามและสันติภาพ" พระคัมภีร์และแม้แต่ความลับหลักของจักรวาลหากมีอยู่

โดยวิธีการเกี่ยวกับพระคัมภีร์ Martin Gardner นักคณิตศาสตร์ชื่อดังผู้มีชื่อเสียงกล่าวไว้ในปี 1966 ว่า Pi หลักล้านหลัก (ในขณะนั้นยังไม่ทราบ) จะเป็นเลข 5 เขาอธิบายการคำนวณของเขาโดยข้อเท็จจริงที่ว่าในพระคัมภีร์ฉบับภาษาอังกฤษในวันที่ 3 หนังสือบทที่ 14 ข้อ 16 (3-14-16) คำที่เจ็ดประกอบด้วยตัวอักษรห้าตัว มาถึงหลักล้านเมื่อแปดปีต่อมา มันเป็นหมายเลขห้า

มันคุ้มค่าที่จะยืนยันหลังจากนี้ว่าตัวเลข Pi นั้นเป็นแบบสุ่มหรือไม่?