สูตรตรีโกณมิติ ผลรวมของไซน์และโคไซน์ ซื้อวุฒิการศึกษาระดับอุดมศึกษาในราคาไม่แพง

คำถามที่พบบ่อย

เป็นไปได้ไหมที่จะทำตราประทับบนเอกสารตามตัวอย่างที่ให้มา? ตอบ ใช่มันเป็นไปได้ ส่งสำเนาหรือภาพถ่ายที่สแกนไปยังที่อยู่อีเมลของเรา อย่างดีและเราจะทำสำเนาที่จำเป็น

คุณยอมรับการชำระเงินประเภทใด? ตอบ คุณสามารถชำระเงินค่าเอกสาร ณ เวลาที่ได้รับโดยผู้จัดส่ง หลังจากที่คุณตรวจสอบความถูกต้องของการกรอกและคุณภาพของประกาศนียบัตรแล้ว สามารถทำได้ที่สำนักงานของบริษัทไปรษณีย์ที่ให้บริการเก็บเงินปลายทาง
เงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินของเอกสารทั้งหมดได้อธิบายไว้ในส่วน "การชำระเงินและการจัดส่ง" เราพร้อมรับฟังข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับเงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินค่าเอกสาร

ฉันสามารถแน่ใจได้ว่าหลังจากทำการสั่งซื้อ คุณจะไม่หายไปพร้อมกับเงินของฉัน? ตอบ เรามีประสบการณ์ค่อนข้างยาวนานในด้านการผลิตประกาศนียบัตร เรามีเว็บไซต์หลายแห่งที่มีการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง ผู้เชี่ยวชาญของเราทำงานในส่วนต่างๆ ของประเทศ โดยผลิตเอกสารมากกว่า 10 ฉบับต่อวัน หลายปีที่ผ่านมา เอกสารของเราได้ช่วยเหลือผู้คนจำนวนมากในการแก้ปัญหาการจ้างงานหรือย้ายไปอยู่ที่อื่น งานที่ได้ค่าตอบแทนสูง. เราได้รับความไว้วางใจและการยอมรับจากลูกค้า ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่เราจะทำเช่นนี้อย่างแน่นอน ยิ่งกว่านั้นมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำมันทางกายภาพ: คุณชำระเงินสำหรับการสั่งซื้อของคุณในขณะที่ได้รับมันในมือของคุณไม่มีการชำระเงินล่วงหน้า

ฉันสามารถสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากมหาวิทยาลัยใด ๆ ได้หรือไม่? ตอบ โดยทั่วไปใช่ เราทำงานในด้านนี้มาเกือบ 12 ปีแล้ว ในช่วงเวลานี้ มีการสร้างฐานข้อมูลเอกสารที่ออกโดยมหาวิทยาลัยเกือบทั้งหมดในประเทศและต่างประเทศเกือบทั้งหมด ต่างปีการออก เพียงคุณเลือกมหาวิทยาลัย สาขาพิเศษ เอกสาร และกรอกแบบฟอร์มสั่งซื้อ

ฉันควรทำอย่างไรหากพบการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาดในเอกสาร ตอบ เมื่อได้รับเอกสารจากบริษัทจัดส่งหรือบริษัทไปรษณีย์ เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดอย่างรอบคอบ หากพบการพิมพ์ผิด ข้อผิดพลาด หรือความไม่ถูกต้อง คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่รับประกาศนียบัตร และคุณต้องระบุข้อบกพร่องที่ตรวจพบเป็นการส่วนตัวต่อผู้จัดส่งหรือใน การเขียนโดยส่งจดหมายถึง อีเมล.
เราจะแก้ไขเอกสารให้ถูกต้องและส่งใหม่ไปยังที่อยู่ที่ระบุโดยเร็วที่สุด แน่นอน ค่าขนส่งจะจ่ายโดยบริษัทของเรา
เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดดังกล่าว ก่อนกรอกแบบฟอร์มต้นฉบับ เราจะส่งเค้าโครงของเอกสารในอนาคตไปให้ลูกค้าทางไปรษณีย์เพื่อตรวจสอบและอนุมัติ เวอร์ชั่นสุดท้าย. ก่อนส่งเอกสารทางไปรษณีย์หรือไปรษณีย์ เรายังทำ รูปเพิ่มเติมและวิดีโอ (รวมถึงในแสงอัลตราไวโอเลต) เพื่อให้คุณได้เห็นภาพว่าคุณจะได้อะไรในที่สุด

คุณต้องทำอะไรเพื่อสั่งประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณ? ตอบ ในการสั่งซื้อเอกสาร (ใบรับรอง อนุปริญญา ใบรับรองการศึกษา ฯลฯ) คุณต้องกรอกแบบฟอร์มการสั่งซื้อออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราหรือให้อีเมลของคุณ เพื่อที่เราจะส่งแบบฟอร์มแบบสอบถามซึ่งคุณต้องกรอกและส่ง กลับมาหาเรา
หากคุณไม่ทราบว่าต้องระบุอะไรในช่องใดๆ ของแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ/แบบสอบถาม ให้เว้นว่างไว้ ดังนั้นเราจะชี้แจงข้อมูลที่ขาดหายไปทั้งหมดทางโทรศัพท์

บทวิจารณ์ล่าสุด

อเล็กซี่:

ฉันจำเป็นต้องได้รับประกาศนียบัตรเพื่อจะได้งานเป็นผู้จัดการ และที่สำคัญที่สุด ฉันมีทั้งประสบการณ์และทักษะ แต่ไม่มีเอกสารที่ทำไม่ได้ ฉันจะได้งานทำทุกที่ เมื่ออยู่บนไซต์ของคุณ ฉันยังตัดสินใจซื้อประกาศนียบัตร ประกาศนียบัตรเสร็จใน 2 วัน! ตอนนี้มีงานที่ไม่คาดฝันมาก่อนแล้ว!! ขอขอบคุณ!

สูตรสำหรับผลรวมและความแตกต่างของไซน์และโคไซน์สำหรับมุมสองมุม α และ β ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากผลรวมของมุมที่ระบุไปยังผลคูณของมุม α + β 2 และ α - β 2 ได้ เราทราบทันทีว่าคุณไม่ควรสับสนสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์กับสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของผลรวมและส่วนต่าง ด้านล่างเราแสดงรายการสูตรเหล่านี้ ให้ที่มาและแสดงตัวอย่างการใช้งานสำหรับปัญหาเฉพาะ

Yandex.RTB R-A-339285-1

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ลองเขียนว่าสูตรผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์เป็นอย่างไร

สูตรผลรวมและผลต่างของไซน์

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2

สูตรผลรวมและผลต่างของโคไซน์

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 บาป α + β 2 β - α 2

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ใดๆ มุม α + β 2 และ α - β 2 ถูกเรียกตามลำดับ ผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมอัลฟาและเบตา เราให้สูตรสำหรับแต่ละสูตร

คำจำกัดความของสูตรผลรวมและผลต่างสำหรับไซน์และโคไซน์

ผลรวมของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลบวกครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่ง

ผลต่างของไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้และโคไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่ง

ผลรวมของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของโคไซน์ของผลบวกครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้

ความแตกต่างของโคไซน์ของสองมุมเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลบวกครึ่งหนึ่งและโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

เพื่อให้ได้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะใช้สูตรการบวก เรานำเสนอไว้ด้านล่าง

บาป (α + β) = บาป α cos β + cos α บาป β บาป (α - β) = บาป α cos β - cos α บาป β cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β cos ( α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

เรายังแสดงมุมต่างๆ ด้วยตนเองเป็นผลรวมของผลรวมครึ่งและผลต่างครึ่งหนึ่ง

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

เราดำเนินการโดยตรงไปยังที่มาของสูตรผลรวมและผลต่างสำหรับบาปและคอส

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ในผลรวมของบาป α + บาป β เราแทนที่ α และ β ด้วยนิพจน์สำหรับมุมเหล่านี้ที่ให้ไว้ด้านบน รับ

บาป α + บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2

ตอนนี้เราใช้สูตรบวกกับนิพจน์แรก และสูตรไซน์ของความแตกต่างของมุมกับนิพจน์ที่สอง (ดูสูตรด้านบน)

บาป α + β 2 + α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 + บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2

บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 + บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2

ขั้นตอนในการได้มาซึ่งสูตรที่เหลือนั้นคล้ายคลึงกัน

ที่มาของสูตรความแตกต่างของไซน์

บาป α - บาป β = บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 บาป α + β 2 + α - β 2 - บาป α + β 2 - α - β 2 = บาป α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 บาป α - β 2 - บาป α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2

ที่มาของสูตรสำหรับผลรวมของโคไซน์

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

ที่มาของสูตรผลต่างโคไซน์

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - บาป α + β 2 บาป α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + บาป α + β 2 บาป α - β 2 = = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

ในการเริ่มต้น เราจะตรวจสอบสูตรหนึ่งโดยแทนที่ค่ามุมเฉพาะลงในสูตรนั้น ให้ α = π 2 , β = π 6 . ลองคำนวณค่าของผลรวมของไซน์ของมุมเหล่านี้กัน ขั้นแรก ให้ใช้ตารางค่าพื้นฐานกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้วใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์

ตัวอย่างที่ 1 การตรวจสอบสูตรสำหรับผลรวมของไซน์ของสองมุม

α \u003d π 2, β \u003d π 6 บาป π 2 + บาป π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 บาป π 2 + บาป π 6 \u003d 2 บาป π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 บาป π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

ให้เราพิจารณากรณีที่ค่าของมุมแตกต่างจากค่าพื้นฐานที่แสดงในตาราง ให้ α = 165°, β = 75° ให้เราคำนวณค่าความแตกต่างระหว่างไซน์ของมุมเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 2 การใช้สูตรผลต่างไซน์

α = 165 ° , β = 75 ° บาป α - บาป β = บาป 165 ° - บาป 75 ° บาป 165 - บาป 75 = 2 บาป 165 ° - บาป 75 ° 2 cos 165 ° + บาป 75 ° 2 = = 2 บาป 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

การใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถเปลี่ยนจากผลรวมหรือผลต่างไปยังผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์ สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหา สมการตรีโกณมิติและเมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

โคไซน์ของผลรวมและผลต่างของมุมสองมุม

ในส่วนนี้จะมีการพิสูจน์สองสูตรต่อไปนี้:

cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β (2)

โคไซน์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองมุม เท่ากับผลคูณของโคไซน์ของมุมเหล่านี้ ลบ (บวก) ผลคูณของไซน์ของมุมเหล่านี้

จะสะดวกกว่าสำหรับเราที่จะเริ่มต้นด้วยการพิสูจน์สูตร (2) เพื่อความง่าย เรามาสมมุติกันก่อนว่า มุม α และ β เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) แต่ละมุมเหล่านี้ไม่เป็นลบและน้อยกว่า 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

ให้ส่วนบวกของแกน 0x เป็นด้านเริ่มต้นร่วมของมุม α และ β .

ให้เราแทนด้านท้ายของมุมเหล่านี้เป็น 0A และ 0B ตามลำดับ มุมชัดๆ α - β ถือได้ว่าเป็นมุมที่จำเป็นต้องหมุนลำแสง 0B รอบจุด 0 ทวนเข็มนาฬิกา เพื่อให้ทิศทางสอดคล้องกับทิศทางของลำแสง 0A

บนรังสี 0A และ 0B เราทำเครื่องหมายจุด M และ N ซึ่งอยู่ห่างจากจุดกำเนิดของพิกัด 0 เท่ากับ 1 ดังนั้น 0M = 0N = 1

ในระบบพิกัด x0y จุด M มีพิกัด ( cosα, ซินα) และจุด N - พิกัด ( cos β , บาป β). ดังนั้นกำลังสองของระยะห่างระหว่างพวกมันคือ:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + บาป 2 α - 2sin α บาป β + บาป 2 β = .

ในการคำนวณเราใช้เอกลักษณ์

บาป 2 φ + cos 2 φ = 1.

ตอนนี้ให้พิจารณาระบบพิกัดอื่น B0C ซึ่งได้มาจากการหมุนแกน 0x และ 0y รอบจุด 0 ทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม β .

ในระบบพิกัดนี้ จุด M มีพิกัด (cos ( α - β ), บาป ( α - β )) และจุดคือพิกัด N (1,0) ดังนั้นกำลังสองของระยะห่างระหว่างพวกมันคือ:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ บาป 2 (α - β) \u003d 2

แต่ระยะห่างระหว่างจุด M และ N ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เราพิจารณาจุดเหล่านี้ ดังนั้น

ง 1 2 = ง 2 2

2 (1 - cos α cos β - บาป α บาป β) = 2 .

นี่คือที่มาของสูตร (2)

ตอนนี้เราควรจำข้อ จำกัด สองข้อที่เรากำหนดไว้เพื่อความง่ายในการนำเสนอที่มุม α และ β .

ข้อกำหนดที่แต่ละมุม α และ β ไม่เป็นลบ ไม่สำคัญจริงๆ ท้ายที่สุด มุมที่เป็นทวีคูณของ 2n ก็สามารถบวกเข้ากับมุมเหล่านี้ได้ ซึ่งจะไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของสูตร (2) แต่อย่างใด ในทำนองเดียวกัน จากแต่ละมุมที่กำหนด คุณสามารถลบมุมที่เป็นทวีคูณของ 2π. ดังนั้นจึงถือได้ว่า 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

เงื่อนไข α > β . แท้จริงแล้วถ้า α < β , แล้ว β >α ; ดังนั้นโดยคำนึงถึงความสม่ำเสมอของฟังก์ชัน cos X , เราได้รับ:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + บาป β บาป α,

ซึ่งตรงกับสูตร (2) เป็นหลัก ดังนั้นสูตร

cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

จริงทุกมุม α และ β . โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยการแทนที่ β บน - β และกำหนดให้ฟังก์ชัน cosX เท่ากัน และฟังก์ชัน บาปX แปลก เราได้รับ:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + บาป α บาป (-β) =

\u003d cos α cos β - บาป α บาป β

ซึ่งพิสูจน์สูตร (1)

ดังนั้นสูตร (1) และ (2) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =