Hem > Lantbruk

Exponentiering, regler, exempel. Examen och dess egenskaper

Viktiga anteckningar!
1. Om du ser abracadabra istället för formler, rensa cachen. Hur du gör det i din webbläsare står här:
2. Innan du börjar läsa artikeln, var uppmärksam på vår navigator för den mest användbara resursen för

Varför behövs examina? Var behöver du dem? Varför behöver du lägga tid på att studera dem?

För att lära dig allt om examina, vad de är till för, hur du använder dina kunskaper i vardagen, läs den här artikeln.

Och, naturligtvis, kommer att känna till examina för dig närmare att framgångsrikt klara OGE eller Unified State Examination och komma in på universitetet du drömmer om.

Kom igen kom igen!)

FÖRSTA NIVÅN

Exponentiering är samma matematiska operation som addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu kommer jag att förklara allt på mänskligt språk med mycket enkla exempel. Var uppmärksam. Exempel är elementära, men förklarar viktiga saker.

Låt oss börja med addition.

Det finns inget att förklara här. Du vet redan allt: vi är åtta stycken. Varje har två flaskor cola. Hur mycket cola? Det stämmer - 16 flaskor.

Nu multiplikation.

Samma exempel med cola kan skrivas på ett annat sätt: . Matematiker är listiga och lata människor. De märker först några mönster och kommer sedan på ett sätt att "räkna" dem snabbare. I vårt fall märkte de att var och en av de åtta personerna hade samma antal flaskor cola och kom på en teknik som kallas multiplikation. Håller med, det anses vara lättare och snabbare än.


Så för att räkna snabbare, enklare och utan fel behöver du bara komma ihåg multiplikationstabell. Självklart kan du göra allt långsammare, hårdare och med misstag! Men…

Här är multiplikationstabellen. Upprepa.

Och en till, snyggare:

Och vilka andra knepiga räknetrick kom lata matematiker på? Rätt - höja ett nummer till en makt.

Att höja ett nummer till en makt

Om du behöver multiplicera ett tal med sig själv fem gånger, så säger matematiker att du måste höja detta tal till femte potensen. Till exempel, . Matematiker kommer ihåg att två till femte potensen är. Och de löser sådana problem i deras sinne - snabbare, enklare och utan fel.

För att göra detta behöver du bara kom ihåg vad som är markerat i färg i tabellen över siffror. Tro mig, det kommer att göra ditt liv mycket lättare.

Förresten, varför kallas andra graden fyrkant siffror och den tredje kub? Vad betyder det? En mycket bra fråga. Nu kommer du att ha både rutor och kuber.

Verklighetens exempel #1

Låt oss börja med en kvadrat eller andra potensen av ett tal.

Föreställ dig en kvadratisk pool som mäter meter för meter. Poolen är på din bakgård. Det är varmt och jag vill verkligen bada. Men ... en pool utan botten! Det är nödvändigt att täcka botten av poolen med kakel. Hur många brickor behöver du? För att bestämma detta måste du känna till området på botten av poolen.

Du kan helt enkelt räkna genom att peta med fingret att bassängens botten består av kuber meter för meter. Om dina brickor är meter för meter behöver du bitar. Det är lätt... Men var såg du en sådan bricka? Kakelplattan blir snarare cm för cm Och då plågas du av att "räkna med fingret". Då måste du multiplicera. Så på ena sidan av botten av poolen kommer vi att passa kakel (bitar) och på den andra också kakel. Multiplicera med får du brickor ().

Har du märkt att vi multiplicerade samma siffra med sig själv för att bestämma arean av poolens botten? Vad betyder det? Eftersom samma tal multipliceras kan vi använda exponentieringstekniken. (Naturligtvis, när du bara har två tal behöver du fortfarande multiplicera dem eller höja dem till en potens. Men om du har många av dem är det mycket lättare att höja till en potens och det finns också färre fel i beräkningarna. För provet är detta mycket viktigt).
Så, trettio till andra graden kommer att vara (). Eller så kan man säga att trettio kvadrat blir det. Med andra ord kan andra potensen av ett tal alltid representeras som en kvadrat. Och vice versa, om du ser en kvadrat är det ALLTID andra potensen av något tal. En kvadrat är en bild av andra potensen av ett tal.

Verklighetens exempel #2

Här är en uppgift för dig, räkna hur många rutor som finns på schackbrädet med kvadraten av talet ... På ena sidan av cellerna och på den andra också. För att räkna deras antal måste du multiplicera åtta med åtta, eller ... om du märker att ett schackbräde är en kvadrat med en sida, då kan du ruta åtta. Skaffa celler. () Så?

Verklighetens exempel #3

Nu kuben eller tredje potensen av ett tal. Samma pool. Men nu måste du ta reda på hur mycket vatten som måste hällas i den här poolen. Du måste beräkna volymen. (Volymer och vätskor, förresten, mäts i kubikmeter. Oväntat, eller hur?) Rita en bassäng: en botten en meter stor och en meter djup och försök räkna ut hur många kuber som mäter en meter gånger en meter som kommer in i din slå samman.

Det är bara att peka med fingret och räkna! Ett, två, tre, fyra...tjugotvå, tjugotre... Hur mycket blev det? Har du inte gått vilse? Är det svårt att räkna med fingret? Så att! Ta ett exempel från matematiker. De är lata, så de märkte att för att beräkna poolens volym måste du multiplicera dess längd, bredd och höjd med varandra. I vårt fall kommer poolens volym att vara lika med kuber ... Lättare, eller hur?

Föreställ dig nu hur lata och listiga matematiker är om de gör det för enkelt. Reducerade allt till en åtgärd. De märkte att längden, bredden och höjden är lika och att samma tal multipliceras med sig själv ... Och vad betyder detta? Det innebär att du kan använda examen. Så det du en gång räknade med ett finger, gör de i en åtgärd: tre i en kub är lika. Det är skrivet så här:

Endast kvar memorera tabellen över grader. Såvida du inte är lika lat och listig som matematiker. Gillar du att jobba hårt och göra misstag kan du fortsätta räkna med fingret.

Nåväl, för att äntligen övertyga dig om att graderna uppfanns av loafers och listiga människor för att lösa sina livsproblem, och inte för att skapa problem för dig, kommer här ytterligare ett par exempel från livet.

Verklighetens exempel #4

Du har en miljon rubel. I början av varje år tjänar du ytterligare en miljon för varje miljon. Det vill säga att var och en av dina miljoner i början av varje år fördubblas. Hur mycket pengar kommer du att ha om år? Sitter du nu och "räknar med fingret" så är du en väldigt hårt arbetande person och .. dum. Men troligtvis kommer du att ge ett svar inom ett par sekunder, för du är smart! Så, under det första året - två gånger två ... under det andra året - vad hände, med två till, under det tredje året ... Sluta! Du märkte att talet multipliceras med sig själv en gång. Så två till femte potensen är en miljon! Föreställ dig nu att du har en tävling och den som räknar snabbare får dessa miljoner... Är det värt att komma ihåg siffrornas grader, vad tycker du?

Verklighetens exempel #5

Du har en miljon. I början av varje år tjänar du två till för varje miljon. Det är väl bra? Varje miljon tredubblas. Hur mycket pengar har du på ett år? Låt oss räkna. Det första året - multiplicera med, sedan resultatet med ett annat ... Det är redan tråkigt, för du har redan förstått allt: tre multipliceras med sig själv gånger. Så den fjärde makten är en miljon. Du behöver bara komma ihåg att tre till fjärde potens är eller.

Nu vet du att genom att höja ett nummer till en makt, kommer du att göra ditt liv mycket lättare. Låt oss ta en närmare titt på vad du kan göra med examina och vad du behöver veta om dem.

Termer och begrepp ... för att inte bli förvirrad

Så låt oss först definiera begreppen. Vad tror du, vad är exponent? Det är väldigt enkelt - det här är talet som är "överst" av talets makt. Inte vetenskapligt, men tydligt och lätt att komma ihåg ...

Tja, samtidigt, vad en sådan examensbas? Ännu enklare är numret som är längst ner, vid basen.

Här är en bild för att vara säker.

Tja, i allmänna termer, för att generalisera och komma ihåg bättre ... En examen med en bas "" och en indikator "" läses som "i examen" och skrivs enligt följande:

Potens för ett tal med en naturlig exponent

Du har förmodligen redan gissat: eftersom exponenten är ett naturligt tal. Ja, men vad är det naturligt nummer? Elementärt! Naturliga tal är de som används vid räkning när man listar objekt: ett, två, tre ... När vi räknar objekt säger vi inte: "minus fem", "minus sex", "minus sju". Vi säger inte heller "en tredjedel" eller "noll komma fem tiondelar". Dessa är inte naturliga tal. Vad tror du att dessa siffror är?

Siffror som "minus fem", "minus sex", "minus sju" syftar på heltal. I allmänhet inkluderar heltal alla naturliga tal, tal motsatta naturliga tal (det vill säga tagna med ett minustecken) och ett tal. Noll är lätt att förstå - det är när det inte finns något. Och vad betyder negativa ("minus") tal? Men de uppfanns främst för att indikera skulder: om du har ett saldo på din telefon i rubel betyder det att du är skyldig operatören rubel.

Alla bråk är rationella tal. Hur kom de till, tror du? Väldigt enkelt. För flera tusen år sedan upptäckte våra förfäder att de inte hade tillräckligt med naturliga tal för att mäta längd, vikt, area osv. Och de kom på rationella nummer… Intressant, eller hur?

Det finns också irrationella tal. Vilka är dessa siffror? Kort sagt, en oändlig decimalbråkdel. Om du till exempel delar en cirkels omkrets med dess diameter får du ett irrationellt tal.

Sammanfattning:

Låt oss definiera begreppet grad, vars exponent är ett naturligt tal (det vill säga heltal och positivt).

  1. Varje tal i första potens är lika med sig själv:
  2. Att kvadrera ett tal är att multiplicera det med sig självt:
  3. Att kuba ett tal är att multiplicera det med sig självt tre gånger:

Definition. Att höja ett tal till en naturlig potens är att multiplicera talet med sig självt:
.

Examensegenskaper

Var kom dessa egenskaper ifrån? Jag ska visa dig nu.

Låt oss se vad som är och ?

A-priory:

Hur många multiplikatorer finns det totalt?

Det är väldigt enkelt: vi lade till faktorer till faktorerna, och resultatet är faktorer.

Men per definition är detta graden av ett tal med en exponent, det vill säga: , som krävdes för att bevisas.

Exempel: Förenkla uttrycket.

Beslut:

Exempel: Förenkla uttrycket.

Beslut: Det är viktigt att notera att i vår regel nödvändigtvis måste vara samma anledning!
Därför kombinerar vi graderna med basen, men förblir en separat faktor:

endast för produkter av krafter!

Du ska under inga omständigheter skriva det.

2. det vill säga -te potensen av ett tal

Precis som med den tidigare egenskapen, låt oss vända oss till definitionen av graden:

Det visar sig att uttrycket multipliceras med sig själv en gång, det vill säga enligt definitionen är detta talets: e potens:

I själva verket kan detta kallas "att sätta indikatorn i parentes". Men du kan aldrig göra det här totalt:

Låt oss komma ihåg formlerna för förkortad multiplikation: hur många gånger ville vi skriva?

Men det är inte sant, egentligen.

Grad med negativ bas

Hittills har vi bara diskuterat vad exponenten ska vara.

Men vad ska ligga till grund?

I grader från naturlig indikator grunden kan vara vilket nummer som helst. Vi kan faktiskt multiplicera vilket tal som helst med varandra, oavsett om de är positiva, negativa eller jämna.

Låt oss fundera på vilka tecken ("" eller "") som kommer att ha grader av positiva och negativa tal?

Kommer siffran till exempel att vara positiv eller negativ? MEN? ? Med den första är allt klart: oavsett hur många positiva tal vi multiplicerar med varandra kommer resultatet att bli positivt.

Men de negativa är lite mer intressanta. När allt kommer omkring kommer vi ihåg en enkel regel från 6:e klass: "ett minus gånger ett minus ger ett plus." Det vill säga eller. Men multiplicerar vi med så visar det sig.

Bestäm själv vilket tecken följande uttryck kommer att ha:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Klarade du dig?

Här är svaren: I de första fyra exemplen hoppas jag att allt är klart? Vi tittar helt enkelt på basen och exponenten och tillämpar lämplig regel.

I exempel 5) är allt inte heller så skrämmande som det verkar: det spelar ingen roll vad basen är lika med - graden är jämn, vilket betyder att resultatet alltid kommer att vara positivt.

Tja, förutom när basen är noll. Basen är väl inte densamma? Uppenbarligen inte, eftersom (eftersom).

Exempel 6) är inte längre så enkelt!

6 övningsexempel

Analys av lösningen 6 exempel

hela vi namnger de naturliga talen, deras motsatser (det vill säga taget med tecknet "") och talet.

positivt heltal, och det skiljer sig inte från naturligt, då ser allt ut precis som i föregående avsnitt.

Låt oss nu titta på nya fall. Låt oss börja med en indikator lika med.

Varje tal till nollpotensen är lika med ett:

Som alltid frågar vi oss själva: varför är det så?

Tänk på lite kraft med en bas. Ta till exempel och multiplicera med:

Så vi multiplicerade talet med och fick samma som det var -. Vilket tal ska multipliceras med så att inget förändras? Det stämmer, på. Betyder att.

Vi kan göra detsamma med ett godtyckligt tal:

Låt oss upprepa regeln:

Varje tal till nollpotensen är lika med ett.

Men det finns undantag från många regler. Och här finns det också - det här är ett tal (som bas).

Å ena sidan måste det vara lika med vilken grad som helst - hur mycket du än multiplicerar noll med sig själv får du ändå noll, det är tydligt. Men å andra sidan, som vilket tal som helst till nollgraden, måste det vara lika. Så vad är sanningen i detta? Matematiker bestämde sig för att inte engagera sig och vägrade att höja noll till nollpotentialen. Det vill säga, nu kan vi inte bara dividera med noll, utan också höja det till nollpotentialen.

Låt oss gå längre. Förutom naturliga tal och tal inkluderar heltal negativa tal. För att förstå vad en negativ grad är, låt oss göra samma sak som förra gången: vi multiplicerar ett normalt tal med samma i en negativ grad:

Härifrån är det redan lätt att uttrycka det önskade:

Nu utökar vi den resulterande regeln till en godtycklig grad:

Så låt oss formulera regeln:

Ett tal till en negativ potens är inversen av samma tal till en positiv potens. Men samtidigt bas kan inte vara null:(eftersom det är omöjligt att dela).

Låt oss sammanfatta:

Uppgifter för oberoende lösning:

Tja, som vanligt, exempel på en oberoende lösning:

Analys av uppgifter för oberoende lösning:

Jag vet, jag vet, siffrorna är skrämmande, men på tentan måste du vara redo för vad som helst! Lös dessa exempel eller analysera deras lösning om du inte kunde lösa det så lär du dig hur du enkelt hanterar dem i tentamen!

Låt oss fortsätta att utöka utbudet av nummer "lämpliga" som exponent.

Överväg nu rationella nummer. Vilka tal kallas rationella?

Svar: allt som kan representeras som en bråkdel, där och är dessutom heltal.

För att förstå vad som är "fraktionell grad" Låt oss överväga en bråkdel:

Låt oss höja båda sidor av ekvationen till en potens:

Kom nu ihåg regeln "grad till grad":

Vilket nummer måste höjas till en makt för att få?

Denna formulering är definitionen av roten till den e graden.

Låt mig påminna dig: roten av den e potensen av ett tal () är ett tal som, när det höjs till en potens, är lika.

Det vill säga roten till den e graden är den omvända operationen av exponentiering: .

Det visar sig att. Uppenbarligen kan detta specialfall utökas: .

Lägg nu till täljaren: vad är det? Svaret är lätt att få med makt-till-makt-regeln:

Men kan basen vara vilket tal som helst? När allt kommer omkring kan roten inte extraheras från alla nummer.

Ingen!

Kom ihåg regeln: alla tal som höjs till en jämn potens är ett positivt tal. Det vill säga, det är omöjligt att extrahera rötter av jämn grad från negativa tal!

Och det betyder att sådana tal inte kan höjas till en bråkpotens med en jämn nämnare, det vill säga uttrycket är inte vettigt.

Hur är det med uttrycket?

Men här uppstår ett problem.

Talet kan representeras som andra, reducerade bråk, till exempel, eller.

Och det visar sig att det finns, men inte existerar, och det är bara två olika poster med samma antal.

Eller ett annat exempel: en gång, sedan kan du skriva ner det. Men så fort vi skriver indikatorn på ett annat sätt får vi problem igen: (det vill säga vi fick ett helt annat resultat!).

För att undvika sådana paradoxer, överväg endast positiv basexponent med bråkdelsexponent.

Så om:

  • - naturligt nummer;
  • är ett heltal;

Exempel:

Potenser med en rationell exponent är mycket användbara för att transformera uttryck med rötter, till exempel:

5 övningsexempel

Analys av 5 exempel för träning

Nåväl, nu - det svåraste. Nu ska vi analysera grad med en irrationell exponent.

Alla regler och egenskaper för grader här är exakt desamma som för grader med en rationell exponent, med undantag för

I själva verket, per definition, är irrationella tal tal som inte kan representeras som ett bråk, där och är heltal (det vill säga irrationella tal är alla reella tal utom rationella).

När vi studerade examina med en naturlig, heltal och rationell indikator, skapade vi varje gång en viss "bild", "analogi" eller beskrivning i mer bekanta termer.

Till exempel är en naturlig exponent ett tal multiplicerat med sig själv flera gånger;

...noll effekt- det här är så att säga ett tal multiplicerat med sig själv en gång, det vill säga att det ännu inte har börjat multipliceras, vilket betyder att talet i sig inte ens har dykt upp ännu - därför är resultatet bara en viss "förberedelse av ett nummer”, nämligen ett nummer;

...negativ heltalsexponent- det är som om en viss "omvänd process" har ägt rum, det vill säga att talet inte multiplicerades med sig självt, utan dividerades.

Förresten, vetenskapen använder ofta en grad med en komplex exponent, det vill säga en exponent är inte ens ett reellt tal.

Men i skolan tänker vi inte på sådana svårigheter, du kommer att ha möjlighet att förstå dessa nya koncept på institutet.

DÄR VI ÄR SÄKRA ATT DU GÅR! (om du lär dig hur man löser sådana exempel :))

Till exempel:

Bestäm själv:

Analys av lösningar:

1. Låt oss börja med den redan vanliga regeln för att höja en grad till en grad:

AVANCERAD NIVÅ

Definition av examen

Graden är ett uttryck för formen: , där:

  • — examensbas;
  • - exponent.

Grad med naturlig exponent (n = 1, 2, 3,...)

Att höja ett tal till den naturliga potensen n innebär att multiplicera talet med sig självt gånger:

Effekt med heltalsexponent (0, ±1, ±2,...)

Om exponenten är positivt heltal siffra:

erektion till noll effekt:

Uttrycket är obestämt, eftersom, å ena sidan, i vilken grad som helst är detta, och å andra sidan, vilket tal som helst till den e graden är detta.

Om exponenten är heltal negativt siffra:

(eftersom det är omöjligt att dela).

En gång till om nollor: uttrycket är inte definierat i fallet. Om då.

Exempel:

Examen med rationell exponent

  • - naturligt nummer;
  • är ett heltal;

Exempel:

Examensegenskaper

För att göra det lättare att lösa problem, låt oss försöka förstå: var kom dessa egenskaper ifrån? Låt oss bevisa dem.

Låt oss se: vad är och?

A-priory:

Så, på höger sida av detta uttryck, erhålls följande produkt:

Men per definition är detta en potens av ett tal med en exponent, det vill säga:

Q.E.D.

Exempel : Förenkla uttrycket.

Beslut : .

Exempel : Förenkla uttrycket.

Beslut : Det är viktigt att notera att i vår regel nödvändigtvis måste vara på samma grund. Därför kombinerar vi graderna med basen, men förblir en separat faktor:

En annan viktig anmärkning: denna regel - endast för produkter av makt!

Jag ska under inga omständigheter skriva det.

Precis som med den tidigare egenskapen, låt oss vända oss till definitionen av graden:

Låt oss ordna om det så här:

Det visar sig att uttrycket multipliceras med sig själv en gång, det vill säga enligt definitionen är detta talets -th potens:

I själva verket kan detta kallas "att sätta indikatorn i parentes". Men du kan aldrig göra detta totalt:!

Låt oss komma ihåg formlerna för förkortad multiplikation: hur många gånger ville vi skriva? Men det är inte sant, egentligen.

Kraft med negativ bas.

Fram till denna punkt har vi bara diskuterat vad som borde vara indikator grad. Men vad ska ligga till grund? I grader från naturlig indikator grunden kan vara vilket nummer som helst .

Vi kan faktiskt multiplicera vilket tal som helst med varandra, oavsett om de är positiva, negativa eller jämna. Låt oss fundera på vilka tecken ("" eller "") som kommer att ha grader av positiva och negativa tal?

Kommer siffran till exempel att vara positiv eller negativ? MEN? ?

Med den första är allt klart: oavsett hur många positiva tal vi multiplicerar med varandra kommer resultatet att bli positivt.

Men de negativa är lite mer intressanta. När allt kommer omkring kommer vi ihåg en enkel regel från 6:e klass: "ett minus gånger ett minus ger ett plus." Det vill säga eller. Men om vi multiplicerar med (), får vi -.

Och så vidare i oändlighet: med varje efterföljande multiplikation kommer tecknet att ändras. Du kan formulera dessa enkla regler:

  1. även grad, - antal positiv.
  2. Negativt tal höjts till udda grad, - antal negativ.
  3. Ett positivt tal till valfri potens är ett positivt tal.
  4. Noll till valfri potens är lika med noll.

Bestäm själv vilket tecken följande uttryck kommer att ha:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Klarade du dig? Här är svaren:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de första fyra exemplen hoppas jag att allt är klart? Vi tittar helt enkelt på basen och exponenten och tillämpar lämplig regel.

I exempel 5) är allt inte heller så skrämmande som det verkar: det spelar ingen roll vad basen är lika med - graden är jämn, vilket betyder att resultatet alltid kommer att vara positivt. Tja, förutom när basen är noll. Basen är väl inte densamma? Uppenbarligen inte, eftersom (eftersom).

Exempel 6) är inte längre så enkelt. Här måste du ta reda på vilket som är mindre: eller? Om du kommer ihåg det blir det tydligt att, vilket betyder att basen är mindre än noll. Det vill säga vi tillämpar regel 2: resultatet blir negativt.

Och återigen använder vi definitionen av grad:

Allt är som vanligt - vi skriver ner definitionen av grader och delar upp dem i varandra, delar upp dem i par och får:

Innan vi analyserar den sista regeln, låt oss lösa några exempel.

Beräkna värdena för uttryck:

Lösningar :

Låt oss gå tillbaka till exemplet:

Och återigen formeln:

Så nu den sista regeln:

Hur ska vi bevisa det? Naturligtvis, som vanligt: ​​låt oss utöka begreppet grad och förenkla:

Nåväl, låt oss nu öppna parenteserna. Hur många bokstäver blir det? gånger med multiplikatorer - hur ser det ut? Detta är inget annat än definitionen av en operation multiplikation: totalt visade det sig finnas multiplikatorer. Det vill säga, det är per definition en potens av ett tal med en exponent:

Exempel:

Grad med irrationell exponent

Utöver information om examina för medelnivån kommer vi att analysera graden med en irrationell indikator. Alla regler och egenskaper för grader här är exakt desamma som för en grad med en rationell exponent, med undantag - trots allt, per definition är irrationella tal tal som inte kan representeras som ett bråk, där och är heltal (det vill säga irrationella tal är alla reella tal utom rationella).

När vi studerade examina med en naturlig, heltal och rationell indikator, skapade vi varje gång en viss "bild", "analogi" eller beskrivning i mer bekanta termer. Till exempel är en naturlig exponent ett tal multiplicerat med sig själv flera gånger; ett tal till nollgraden är så att säga ett tal multiplicerat med sig själv en gång, det vill säga att det ännu inte har börjat multipliceras, vilket betyder att själva talet inte ens har dykt upp ännu - därför är resultatet bara en viss "beredning av ett nummer", nämligen ett nummer; en grad med ett negativt heltal - det är som om en viss "omvänd process" har inträffat, det vill säga att talet inte multiplicerades med sig självt utan dividerades.

Det är extremt svårt att föreställa sig en grad med en irrationell exponent (precis som det är svårt att föreställa sig ett 4-dimensionellt utrymme). Snarare är det ett rent matematiskt objekt som matematiker har skapat för att utvidga begreppet grad till hela talrymden.

Förresten, vetenskapen använder ofta en grad med en komplex exponent, det vill säga en exponent är inte ens ett reellt tal. Men i skolan tänker vi inte på sådana svårigheter, du kommer att ha möjlighet att förstå dessa nya koncept på institutet.

Så vad gör vi om vi ser en irrationell exponent? Vi gör vårt bästa för att bli av med det! :)

Till exempel:

Bestäm själv:

1) 2) 3)

Svar:

AVSNITT SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMEL

Grad kallas ett uttryck av formen: , där:

Grad med heltalsexponent

grad, vars exponent är ett naturligt tal (d.v.s. heltal och positivt).

Examen med rationell exponent

grad, vars indikator är negativa tal och bråktal.

Grad med irrationell exponent

exponent vars exponent är ett oändligt decimaltal eller rot.

Examensegenskaper

Funktioner av grader.

  • Negativt tal höjts till även grad, - antal positiv.
  • Negativt tal höjts till udda grad, - antal negativ.
  • Ett positivt tal till valfri potens är ett positivt tal.
  • Noll är lika med vilken makt som helst.
  • Alla tal till nollpotensen är lika.

NU HAR DU ETT ORD...

Hur gillar du artikeln? Låt mig veta i kommentarerna nedan om du gillade det eller inte.

Berätta om din erfarenhet av kraftegenskaperna.

Kanske har du frågor. Eller förslag.

Skriv i kommentarerna.

Och lycka till med dina tentor!

Nåväl, ämnet är över. Om du läser de här raderna är du väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du har läst till slutet, då är du i 5%!

Nu det viktigaste.

Du har listat ut teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det är ... det är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrikt godkänt av provet, för antagning till institutet på budgeten och, VIKTIGAST, för livet.

Jag kommer inte att övertyga dig om någonting, jag ska bara säga en sak ...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att mycket fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på provet och i slutändan ... lyckligare?

FYLL DIN HAND, LÖS PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

På tentamen blir du inte tillfrågad teori.

Du kommer behöva lösa problem i tid.

Och om du inte har löst dem (MÅS!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte göra det i tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa många gånger för att säkert vinna.

Hitta en samling var du vill nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (ej nödvändigt) och vi rekommenderar dem verkligen.

För att få en hand med hjälp av våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på YouClever-läroboken som du just nu läser.

På vilket sätt? Det finns två alternativ:

  1. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i den här artikeln -
  2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i handledningen - Köp en lärobok - 499 rubel

Ja, vi har 99 sådana artiklar i läroboken och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under sajtens hela livslängd.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte med teori.

"Förstå" och "Jag vet hur man löser" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös!

När talet multiplicerar sig själv till mig själv, arbete kallad grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller andra potens av 2
2.2.2 = 8, kub eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjärde graden.

Dessutom, 10,10 = 100, andra potensen är 10.
10.10.10 = 1000, tredje graden.
10.10.10.10 = 10000 fjärde graden.

Och a.a = aa, andra potensen av a
a.a.a = aaa, tredje potensen av a
a.a.a.a = aaaa, fjärde potens av a

Det ursprungliga numret kallas rot grader av det numret, eftersom det är talet från vilket graderna skapades.

Det är dock inte särskilt bekvämt, särskilt när det gäller höga krafter, att skriva ner alla faktorer som utgör krafterna. Därför används en förkortad notationsmetod. Gradens rot skrivs bara en gång, och till höger och lite högre bredvid den, men i lite mindre typsnitt skrivs det hur många gånger roten fungerar som en faktor. Denna siffra eller bokstav kallas exponent eller grad tal. Så en 2:a är lika med a.a eller aa, eftersom roten av a måste multipliceras med sig själv två gånger för att få styrkan av aa. Dessutom betyder en 3 aaa, det vill säga här upprepas a tre gånger som en multiplikator.

Exponenten för den första potensen är 1, men den skrivs vanligtvis inte ner. Så en 1 skrivs som en.

Du ska inte blanda ihop examina med koefficienter. Koefficienten visar hur ofta värdet tas som del hela. Exponenten anger hur ofta värdet tas som faktor i arbetet.
Så, 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Den exponentiella notationen har den speciella fördelen att den tillåter oss att uttrycka okänd grad. För detta ändamål skrivs exponenten istället för ett tal brev. I processen att lösa problemet kan vi få ett värde som, som vi vet, är vissa grad av en annan storleksordning. Men än så länge vet vi inte om det är en kvadrat, en kub eller en annan högre grad. Så, i uttrycket a x betyder exponenten att detta uttryck har vissa grad, även om det inte är definierat vilken grad. Så b m och d n höjs till potenserna m och n. När exponenten hittas, siffra ersatt ett brev. Så, om m=3, då är b m = b 3 ; men om m = 5 så är b m =b 5 .

Metoden att skriva värden med exponenter är också en stor fördel vid användning uttryck. Således är (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vill säga trinomialets kub (a + b + d) . Men om vi skriver det här uttrycket efter cubed kommer det att se ut
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Om vi ​​tar en serie potenser vars exponenter ökar eller minskar med 1, finner vi att produkten ökar med vanlig faktor eller minskas med gemensam divisor, och denna faktor eller divisor är det ursprungliga talet som höjs till en potens.

Så, i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indikatorer, om de räknas från höger till vänster, är 1, 2, 3, 4, 5; och skillnaden mellan deras värden är 1. Om vi ​​börjar till höger multiplicera på a kommer vi att framgångsrikt få flera värden.

Så a.a = a 2 , den andra termen. Och en 3 .a = en 4:a
a 2 .a = a 3 , tredje termen. a 4 .a = a 5 .

Om vi ​​börjar vänster dela med sig på en,
vi får en 5:a = a 4 och en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men en sådan uppdelningsprocess kan fortsättas och vi får en ny värdegrund.

Så, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Hela raden kommer att vara: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Här värden till höger från enheten är omvänd värden till vänster om en. Därför kan dessa grader kallas omvända potenser a. Man kan också säga att makterna till vänster är det omvända till makterna till höger.

Så, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Och 1:(1/a 3) = a 3 .

Samma inspelningsplan kan tillämpas på polynom. Så för a + b får vi en uppsättning,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

För enkelhetens skull används en annan form av att skriva omvända potenser.

Enligt denna form är 1/a eller 1/a 1 = a -1 . Och 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Och för att göra exponenterna till en komplett serie med 1 som den totala skillnaden, betraktas a/a eller 1 som sådana som inte har någon grad och skrivs som en 0 .

Sedan, med hänsyn till de direkta och omvända makterna
istället för aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skriva en 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Eller a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Och en serie av endast separata examina kommer att ha formen:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Gradens rot kan uttryckas med mer än en bokstav.

Således är aa.aa eller (aa) 2 andra potensen av aa.
Och aa.aa.aa eller (aa) 3 är den tredje potensen av aa.

Alla grader av talet 1 är desamma: 1.1 eller 1.1.1. blir lika med 1.

Exponentiering är att hitta värdet av ett tal genom att multiplicera det talet med sig självt. Exponentieringsregel:

Multiplicera värdet med sig självt så många gånger som anges i talets potens.

Denna regel är gemensam för alla exempel som kan uppstå i exponentieringsprocessen. Men det kommer att vara korrekt att förklara hur det gäller i vissa fall.

Om bara en term höjs till en potens, så multipliceras den med sig själv så många gånger som exponenten indikerar.

Den fjärde potensen a är en 4:a eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjätte potensen av y är y 6 eller yyyyyy.
Den n:te potensen av x är x n eller xxx..... n gånger upprepas.

Om det är nödvändigt att höja ett uttryck av flera termer till en makt, principen att graden av produkten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktorer upphöjda till en potens.

Så (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Därför, när vi hittar graden av en produkt, kan vi antingen arbeta på hela produkten på en gång, eller så kan vi arbeta på varje faktor separat och sedan multiplicera deras värden med grader.

Exempel 1. Den fjärde potensen av dhy är (dhy) 4 , eller d 4 h 4 y 4 .

Exempel 2. Den tredje potensen av 4b är (4b) 3 , eller 4 3 b 3 , eller 64b 3 .

Exempel 3. Den n:te potensen av 6ad är (6ad) n eller 6 n a n d n .

Exempel 4. Den tredje potensen av 3m.2y är (3m.2y) 3 eller 27m 3 .8y 3 .

Graden av ett binomial, som består av termer förbundna med + och -, beräknas genom att multiplicera dess termer. Ja,

(a + b) 1 = a + b, den första potensen.
(a + b) 1 = a2 + 2ab + b2, andra potens (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje graden.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjärde graden.

Ruta a - b, det finns en 2 - 2ab + b 2 .

Kvadraten a + b + h är a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Övning 1. Hitta kuben a + 2d + 3

Övning 2. Hitta fjärde potensen b + 2.

Övning 3. Hitta femte potensen av x + 1.

Övning 4. Hitta den sjätte graden 1 - b.

Summa kvadrater belopp och skillnad binomialer är så vanliga i algebra att det är nödvändigt att känna till dem mycket väl.

Om vi ​​multiplicerar a + h med sig själv, eller a - h med sig själv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 också, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Detta visar att i varje fall är den första och sista termen kvadraterna av a och h, och mellantermen är två gånger produkten av a och h. Därför kan kvadraten på summan och skillnaden mellan binomialen hittas med hjälp av följande regel.

Kvadraten på ett binomial, som båda är positiva, är lika med kvadraten på den första termen + två gånger produkten av båda termerna, + kvadraten på den sista termen.

Fyrkant skillnad binomial är lika med kvadraten på den första termen minus två gånger produkten av båda termerna plus kvadraten på den andra termen.

Exempel 1. Ruta 2a + b, det finns 4a 2 + 4ab + b 2 .

Exempel 2. Kvadraten ab + cd är a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Exempel 3. Kvadraten 3d - h är 9d 2 + 6dh + h 2 .

Exempel 4. Kvadraten a - 1 är en 2 - 2a + 1.

För en metod för att hitta högre potenser hos binomialer, se följande avsnitt.

I många fall är det effektivt att skriva grad ingen multiplikation.

Så kvadraten a + b är (a + b) 2 .
Den n:te potensen bc + 8 + x är (bc + 8 + x) n

I sådana fall täcker fästena Allt medlemmar under examen.

Men om roten till graden består av flera multiplikatorer, kan parentesen täcka hela uttrycket, eller kan tillämpas separat på faktorer, beroende på bekvämlighet.

Således är kvadraten (a + b)(c + d) antingen [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2 .

För det första av dessa uttryck är resultatet kvadraten av produkten av två faktorer och för det andra produkten av deras kvadrater. Men de är lika med varandra.

Kuben a.(b + d), är 3 , eller a 3 .(b + d) 3 .

Det är också nödvändigt att ta hänsyn till skylten framför de inblandade medlemmarna. Det är mycket viktigt att komma ihåg att när roten till en kraft är positiv, är alla dess positiva krafter också positiva. Men när roten är negativ, värden från udda potenser är negativa, medan värdena även grader är positiva.

Den andra potensen (- a) är +a 2
Den tredje graden (-a) är -a 3
Den fjärde potensen (-a) är +a 4
Den femte potensen (-a) är -a 5

Därav någon udda exponenten har samma tecken som talet. Men även graden är positiv, oavsett om talet har ett negativt eller positivt tecken.
Så, +a.+a = +a 2
OCH -a.-a = +a 2

Ett värde som redan höjts till en potens höjs till en potens igen genom att multiplicera exponenterna.

Den tredje potensen av en 2 är a 2,3 = a 6 .

För a 2 = aa; kub aa är aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; vilket är sjätte potensen av a, men tredje potensen av a 2 .

Den fjärde potensen a 3 b 2 är a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potensen av 4a 2 x är 64a 6 x 3 .

Femte potensen av (a + b) 2 är (a + b) 10 .

N:te potens av en 3:a är en 3n

Den n:te potensen av (x - y) m är (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regeln gäller lika för negativ grader.

Exempel 1. Den tredje potensen av a -2 är a -3,3 =a -6 .

För a -2 = 1/aa, och tredje potensen av detta
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjärde potensen a 2 b -3 är a 8 b -12 eller en 8 / b 12 .

Fyrkanten b 3 x -1 är b 6 x -2 .

Den n:te potensen ax -m är x -mn eller 1/x .

Här måste dock komma ihåg att om ett tecken tidigare grad är "-", då bör den ändras till "+" närhelst graden är ett jämnt tal.

Exempel 1. Kvadraten -a 3 är +a 6 . Kvadraten på -a 3 är -a 3 .-a 3 , vilket enligt multiplikationstecknets regler är +a 6 .

2. Men kuben -a 3 är -a 9 . För -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N:te potensen av -a 3 är en 3n .

Här kan resultatet bli positivt eller negativt beroende på om n är jämnt eller udda.

Om en fraktion höjs till en potens, täljaren och nämnaren höjs till potensen.

Kvadraten a/b är a 2 /b 2 . Enligt regeln för multiplikation av bråk,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Andra, tredje och n:te potenserna av 1/a är 1/a 2 , 1/a 3 och 1/a n .

Exempel binomialer där en av termerna är en bråkdel.

1. Hitta kvadraten x + 1/2 och x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadraten a + 2/3 är a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kvadraten x - b/m är x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Tidigare visades det fraktionskoefficient kan flyttas från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren. Genom att använda schemat för att skriva inversa potenser kan det ses att någon multiplikator kan också flyttas om gradens tecken ändras.

Så i bråket ax -2 /y kan vi flytta x från täljaren till nämnaren.
Sedan ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I bråket a/by 3 kan vi flytta y från nämnaren till täljaren.
Sedan a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3/b.

På samma sätt kan vi flytta en faktor som har en positiv exponent till täljaren, eller en faktor med negativ exponent till nämnaren.

Så, axe 3 / b = a / bx -3 . För x 3 är inversen x -3 , vilket är x 3 = 1/x -3 .

Därför kan nämnaren för vilket bråk som helst tas bort helt, eller så kan täljaren reduceras till ett utan att ändra innebörden av uttrycket.

Så, a/b = 1/ba -1 eller ab -1 .

Exponentiering är en operation som är nära relaterad till multiplikation, denna operation är resultatet av multipel multiplikation av ett tal i sig själv. Låt oss representera formeln: a1 * a2 * ... * an = an.

Till exempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

I allmänhet används exponentiering ofta i olika formler inom matematik och fysik. Denna funktion har ett mer vetenskapligt syfte än de fyra grundläggande: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Att höja ett nummer till en makt

Att höja ett nummer till en makt är inte en svår operation. Det är relaterat till multiplikation som förhållandet mellan multiplikation och addition. Spela in en - en kort post av det n:te antalet siffror "a" multiplicerat med varandra.

Överväg exponentiering på de enklaste exemplen, gå vidare till komplexa.

Till exempel, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Fyra i kvadrat (till andra potensen) är lika med sexton. Om du inte förstår multiplikationen 4 * 4, läs då vår artikel om multiplikation.

Låt oss titta på ett annat exempel: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Fem kuber (till tredje potens) är lika med hundra tjugofem.

Ett annat exempel: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nio tärningar är lika med sjuhundratjugonio.

Exponentieringsformler

För att korrekt höja till en potens måste du komma ihåg och känna till formlerna nedan. Det finns inget utöver det naturliga i detta, det viktigaste är att förstå essensen och då kommer de inte bara att komma ihåg, utan också verka lätta.

Att höja en monomial till en makt

Vad är en monomial? Detta är produkten av siffror och variabler i valfri kvantitet. Till exempel är två en monomial. Och den här artikeln handlar om att höja sådana monomer till en makt.

Med hjälp av exponentieringsformler kommer det inte att vara svårt att beräkna exponentieringen av en monomial till en potens.

Till exempel, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Om du höjer en monomial till en potens, så höjs varje komponent i monomialen till en potens.

När man höjer en variabel som redan har en grad till en potens multipliceras graderna. Till exempel, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Att höja sig till en negativ makt

En negativ exponent är den reciproka av ett tal. Vad är ett ömsesidigt? För vilket nummer X som helst är den reciproka 1/X. Det är X-1=1/X. Detta är kärnan i den negativa graden.

Tänk på exemplet (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Varför är det så? Eftersom det finns ett minus i graden överför vi helt enkelt detta uttryck till nämnaren och höjer det sedan till tredje potens. Precis rätt?

Höjning till en bråkdel makt

Låt oss börja med ett specifikt exempel. 43/2. Vad betyder makt 3/2? 3 - täljare, betyder att höja ett tal (i detta fall 4) till en kub. Talet 2 är nämnaren, detta är extraheringen av den andra roten av talet (i detta fall 4).

Då får vi kvadratroten ur 43 = 2^3 = 8 . Svar: 8.

Så, nämnaren för en bråkdelgrad kan vara antingen 3 eller 4, och i oändlighet vilket tal som helst, och detta tal bestämmer graden av kvadratroten extraherad från ett givet tal. Naturligtvis kan nämnaren inte vara noll.

Att höja en rot till en makt

Om roten höjs till en makt lika med rotens kraft, så är svaret det radikala uttrycket. Till exempel, (√x)2 = x. Och så i alla fall av likhet mellan graden av roten och graden av att höja roten.

Om (√x)^4. Sedan (√x)^4=x^2. För att kontrollera lösningen översätter vi uttrycket till ett uttryck med bråkgrad. Eftersom roten är kvadratisk är nämnaren 2. Och om roten höjs till fjärde potens så är täljaren 4. Vi får 4/2=2. Svar: x = 2.

I vilket fall som helst är det bästa alternativet att helt enkelt konvertera uttrycket till en bråkdelsexponent. Om bråket inte reduceras, kommer ett sådant svar att bli, förutsatt att roten av det givna talet inte allokeras.

Exponentiering av ett komplext tal

Vad är ett komplext tal? Ett komplext tal är ett uttryck som har formeln a + b * i; a, b är reella tal. i är talet som i kvadrat ger talet -1.

Tänk på ett exempel. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Anmäl dig till kursen "Få snabbare mentalräkning, INTE huvudräkning" för att lära dig hur du snabbt och korrekt adderar, subtraherar, multiplicerar, dividerar, kvadrattal och till och med slår rötter. På 30 dagar kommer du att lära dig hur du använder enkla knep för att förenkla aritmetiska operationer. Varje lektion innehåller nya tekniker, tydliga exempel och användbara uppgifter.

Exponentiering online

Med hjälp av vår kalkylator kan du beräkna exponentieringen av ett tal till en potens:

Exponentieringsbetyg 7

Att höja sig till en makt börjar passera skolbarn först i sjunde klass.

Exponentiering är en operation som är nära relaterad till multiplikation, denna operation är resultatet av multipel multiplikation av ett tal i sig själv. Låt oss representera formeln: a1 * a2 * … * an=an .

Till exempel, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exempel på lösningar:

Exponentieringspresentation

Presentation om exponentiering, designad för sjundeklassare. Presentationen kan förtydliga några obegripliga punkter, men det kommer förmodligen inte att finnas sådana punkter tack vare vår artikel.

Resultat

Vi har bara övervägt toppen av isberget, för att förstå matematiken bättre - anmäl dig till vår kurs: Påskynda mentalräkning - INTE huvudräkning.

Från kursen kommer du inte bara att lära dig dussintals knep för förenklad och snabb multiplikation, addition, multiplikation, division, räkna ut procentsatser, utan också arbeta fram dem i specialuppgifter och pedagogiska spel! Mental räkning kräver också mycket uppmärksamhet och koncentration, som aktivt tränas i att lösa intressanta problem.


I fortsättningen på samtalet om graden av ett tal är det logiskt att syssla med att hitta gradens värde. Denna process har fått ett namn exponentiering. I den här artikeln kommer vi bara att studera hur exponentiering utförs, medan vi kommer att beröra alla möjliga exponenter - naturliga, heltals, rationella och irrationella. Och av tradition kommer vi att i detalj överväga lösningarna på exempel på att höja siffror i olika grader.

Sidnavigering.

Vad betyder "exponentiering"?

Låt oss börja med att förklara vad som kallas exponentiering. Här är den relevanta definitionen.

Definition.

Exponentieringär att hitta värdet av potensen av ett tal.

Att hitta värdet av potensen av a med exponenten r och höja talet a till potensen av r är alltså samma sak. Till exempel, om uppgiften är "beräkna värdet av potensen (0,5) 5", kan den omformuleras enligt följande: "Höj talet 0,5 till potensen 5".

Nu kan du gå direkt till reglerna för exponentiering.

Att höja ett nummer till en naturlig kraft

I praktiken tillämpas oftast jämställdhet utifrån i formen . Det vill säga, när man höjer talet a till en bråkpotens m/n, extraheras först roten av n:te graden från talet a, varefter resultatet höjs till en heltalspotts m.

Överväg lösningar på exempel på att höja till en bråkdel.

Exempel.

Beräkna värdet på graden.

Beslut.

Vi visar två lösningar.

Första sättet. Per definition av grad med en bråkdelsexponent. Vi beräknar värdet på graden under rotens tecken, varefter vi extraherar kubroten: .

Det andra sättet. Genom definition av en grad med bråkexponent och på basis av egenskaperna hos rötterna är likheterna sanna . Extrahera nu roten Slutligen höjer vi till en heltalspotens .

Uppenbarligen sammanfaller de erhållna resultaten av att höja till en bråkdel.

Svar:

Observera att bråkexponenten kan skrivas som ett decimalbråk eller ett blandat tal, i dessa fall ska det ersättas med motsvarande ordinarie bråktal, och sedan ska exponentiering utföras.

Exempel.

Beräkna (44,89) 2,5 .

Beslut.

Vi skriver exponenten i form av en vanlig bråkdel (om nödvändigt, se artikeln): . Nu utför vi höjning till en bråkdel:

Svar:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Det bör också sägas att höjning av tal till rationella potenser är en ganska mödosam process (särskilt när täljaren och nämnaren för bråkexponenten är ganska stora tal), som vanligtvis utförs med hjälp av datorteknik.

Som avslutning av detta stycke kommer vi att uppehålla oss vid konstruktionen av talet noll till en bråkpotens. Vi gav följande betydelse till bråkgraden noll i formen: för vi har , medan noll till effekten m/n inte är definierad. Så, noll till en positiv bråkpotens är noll, till exempel, . Och noll i en negativ bråkpotens är inte vettigt, till exempel är uttrycken och 0 -4,3 inte vettiga.

Att höja sig till en irrationell makt

Ibland blir det nödvändigt att ta reda på värdet på graden av ett tal med en irrationell exponent. I det här fallet räcker det av praktiska skäl oftast att få fram examensvärdet upp till ett visst tecken. Vi noterar direkt att detta värde i praktiken beräknas med hjälp av elektronisk datorteknik, eftersom manuell höjning till en irrationell effekt kräver ett stort antal besvärliga beräkningar. Men inte desto mindre kommer vi att i allmänna termer beskriva essensen av handlingarna.

För att få ett ungefärligt värde på exponenten av a med en irrationell exponent tas en viss decimalapproximation av exponenten, och värdet på exponenten beräknas. Detta värde är det ungefärliga värdet av graden av talet a med en irrationell exponent. Ju mer exakt decimal approximationen av talet tas initialt, desto mer exakt blir gradvärdet i slutändan.

Som ett exempel, låt oss beräkna det ungefärliga värdet av potensen 2 1,174367... . Låt oss ta följande decimalapproximation av en irrationell indikator: . Nu höjer vi 2 till en rationell makt på 1,17 (vi beskrev kärnan i denna process i föregående stycke), vi får 2 1,17 ≈ 2,250116. Således, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Om vi ​​tar en mer exakt decimal approximation av en irrationell exponent, till exempel, , får vi ett mer exakt värde på den ursprungliga graden: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik Zh lärobok för 5 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 7 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lärobok för 8 celler. läroanstalter.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: en lärobok för 9 celler. läroanstalter.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra och början av analys: En lärobok för årskurserna 10-11 av allmänna utbildningsinstitutioner.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor).

Vi rekommenderar också

Läser in...Läser in...