Lösning av typiska uppgifter. Omfattningen av funktioner i tentamensuppgifter Hur man söker efter en uppsättning funktionsvärden

Funktionen är modellen. Låt oss definiera X som en uppsättning värden av en oberoende variabel // oberoende betyder någon.

En funktion är en regel genom vilken man för varje värde på den oberoende variabeln från mängden X kan hitta det enda värdet på den beroende variabeln. // dvs. för varje x finns ett y.

Det följer av definitionen att det finns två begrepp - en oberoende variabel (som vi betecknar med x och den kan ta vilket värde som helst) och en beroende variabel (som vi betecknar med y eller f (x) och den beräknas från funktionen när vi ersätter x).

TILL EXEMPEL y=5+x

1. Oberoende är x, så vi tar vilket värde som helst, låt x = 3

2. och nu beräknar vi y, så y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y är beroende av x, för det x vi ersätter får vi ett sådant y)

Vi säger att variabeln y är funktionellt beroende av variabeln x och denna betecknas så här: y = f (x).

TILL EXEMPEL.

1.y=1/x. (kallas hyperbol)

2. y=x^2. (kallas parabel)

3.y=3x+7. (kallas rak linje)

4. y \u003d √ x. (kallas grenen av parabeln)

Den oberoende variabeln (som vi betecknar med x) kallas för funktionens argument.

Funktionsomfång

Uppsättningen av alla värden som ett funktionsargument tar kallas funktionens domän och betecknas med D(f) eller D(y).

Betrakta D(y) för 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) och (0;+∞) //hela uppsättningen reella tal utom noll.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / alla de många reella talen

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / alla de många reella talen

4. D (y) \u003d. Hitta det största och minsta värdet av funktionen på detta segment.

Derivatet är positivt för alla x från intervall (-1; 1) , det vill säga bågfunktionen ökar över hela definitionsdomänen. Därför tar det det minsta värdet på x=-1, och den största på x=1.

Vi har räckvidden för arcsine-funktionen .

Hitta uppsättningen funktionsvärden på segmentet .

Beslut.

Hitta det största och minsta värdet av funktionen på det givna segmentet.

Låt oss bestämma extremumpunkterna som hör till segmentet :

Många uppgifter leder oss till att söka efter en uppsättning funktionsvärden på ett visst segment eller på hela definitionsdomänen. Sådana uppgifter inkluderar olika utvärderingar av uttryck, lösningen av ojämlikheter.

I den här artikeln kommer vi att definiera intervallet för en funktion, överväga metoder för att hitta den och analysera i detalj lösningen av exempel från enkla till mer komplexa. Allt material kommer att förses med grafiska illustrationer för tydlighetens skull. Så den här artikeln är ett detaljerat svar på frågan om hur man hittar räckvidden för en funktion.

Definition.

Uppsättningen värden för funktionen y = f(x) på intervallet X kallas uppsättningen av alla värden för funktionen som den tar när den itererar över alla.

Definition.

Området för funktionen y = f(x) kallas uppsättningen av alla värden för funktionen som den tar när den itererar över alla x från definitionsdomänen.

Funktionens omfång betecknas som E(f) .

Omfånget för en funktion och uppsättningen av värden för en funktion är inte samma sak. Dessa begrepp kommer att betraktas som ekvivalenta om intervallet X när man hittar värdeuppsättningen för funktionen y = f(x) sammanfaller med funktionens domän.

Blanda inte heller ihop intervallet för funktionen med variabeln x för uttrycket på höger sida av ekvationen y=f(x) . Arean av tillåtna värden för variabeln x för uttrycket f(x) är området för definitionen av funktionen y=f(x) .

Figuren visar några exempel.

Funktionsgrafer visas med tjocka blå linjer, tunna röda linjer är asymptoter, röda punkter och linjer på Oy-axeln visar intervallet för motsvarande funktion.

Som du kan se erhålls funktionens omfång genom att projicera grafen för funktionen på y-axeln. Det kan vara ett enstaka tal (första fallet), en uppsättning tal (andra fallet), ett segment (tredje fallet), ett intervall (fjärde fallet), en öppen stråle (femte fallet), en union (sjätte fallet), etc. .

Så vad behöver du göra för att hitta räckvidden för funktionen.

Låt oss börja med det enklaste fallet: vi kommer att visa hur man bestämmer uppsättningen värden för en kontinuerlig funktion y = f(x) på intervallet.

Det är känt att en funktion som är kontinuerlig på ett segment når sina maximala och lägsta värden på det. Således kommer uppsättningen av värden för den ursprungliga funktionen på segmentet att vara segmentet . Därför är vår uppgift reducerad till att hitta de största och minsta värdena för funktionen på intervallet.

Låt oss till exempel hitta intervallet för arcsine-funktionen.

Exempel.

Ange intervallet för funktionen y = arcsinx .

Beslut.

Definitionsdomänen för arcsine är segmentet [-1; ett] . Hitta det största och minsta värdet av funktionen på detta segment.

Derivatan är positiv för alla x från intervallet (-1; 1), det vill säga bågfunktionen ökar över hela definitionsdomänen. Därför tar det det minsta värdet vid x = -1, och det största vid x = 1.

Vi har räckvidden för arcsine-funktionen .

Exempel.

Hitta uppsättningen funktionsvärden på segmentet.

Beslut.

Hitta det största och minsta värdet av funktionen på det givna segmentet.

Låt oss definiera extremumpunkterna som hör till segmentet:

Vi beräknar värdena för den ursprungliga funktionen i ändarna av segmentet och vid punkter :

Därför är uppsättningen av värden för funktionen på segmentet segmentet .

Nu ska vi visa hur man hittar uppsättningen värden för en kontinuerlig funktion y = f(x) i intervallen (a; b), .

Först bestämmer vi extremumpunkterna, funktionens extrema, intervallen för ökning och minskning av funktionen på ett givet intervall. Därefter beräknar vi i ändarna av intervallet och (eller) gränserna vid oändligheten (det vill säga vi studerar funktionens beteende vid intervallets gränser eller i oändligheten). Denna information är tillräcklig för att hitta uppsättningen funktionsvärden på sådana intervall.

Exempel.

Bestäm uppsättningen av funktionsvärden på intervallet (-2; 2) .

Beslut.

Låt oss hitta extremumpunkterna för funktionen som faller på intervallet (-2; 2):

Punkt x = 0 är maxpunkten, eftersom derivatan ändrar tecken från plus till minus när den passerar den, och grafen för funktionen går från ökande till minskande.

är motsvarande maximum för funktionen.

Låt oss ta reda på hur funktionen fungerar när x tenderar till -2 till höger och när x tenderar till 2 till vänster, det vill säga vi hittar ensidiga gränser:

Vad vi fick: när argumentet ändras från -2 till noll, ökar funktionsvärdena från minus oändlighet till minus en fjärdedel (maximum för funktionen vid x = 0 ), när argumentet ändras från noll till 2, funktionen värden minskar till minus oändlighet. Således är uppsättningen av funktionsvärden på intervallet (-2; 2) .

Exempel.

Ange uppsättningen värden för tangentfunktionen y = tgx på intervallet.

Beslut.

Derivatan av tangentfunktionen på intervallet är positiv , vilket indikerar en ökning av funktionen. Vi studerar funktionens beteende på intervallets gränser:

Således, när argumentet ändras från till, ökar funktionens värden från minus oändlighet till plus oändlighet, det vill säga uppsättningen tangentvärden i detta intervall är mängden av alla reella tal.

Exempel.

Hitta intervallet för den naturliga logaritmfunktionen y = lnx .

Beslut.

Den naturliga logaritmfunktionen är definierad för positiva värden av argumentet . På detta intervall är derivatan positiv , indikerar detta en ökning av funktionen på den. Låt oss hitta den ensidiga gränsen för funktionen eftersom argumentet tenderar till noll från höger, och gränsen som x tenderar till plus oändlighet:

Vi ser att när x ändras från noll till plus oändlighet ökar funktionens värden från minus oändlighet till plus oändlighet. Därför är området för den naturliga logaritmfunktionen hela uppsättningen av reella tal.

Exempel.

Beslut.

Denna funktion är definierad för alla reella x-värden. Låt oss bestämma extremumpunkterna, såväl som intervallen för ökning och minskning av funktionen.

Därför minskar funktionen vid , ökar vid , x = 0 är maxpunkten, motsvarande maximum för funktionen.

Låt oss titta på funktionens beteende vid oändlighet:

Således, i oändligheten, närmar sig funktionens värden asymptotiskt noll.

Vi fann att när argumentet ändras från minus oändlighet till noll (maximipunkt), ökar funktionsvärdena från noll till nio (upp till maximivärdet för funktionen), och när x ändras från noll till plus oändligt, funktionsvärdena minska från nio till noll.

Titta på den schematiska ritningen.

Nu syns det tydligt att räckvidden för funktionen är .

Att hitta uppsättningen värden för funktionen y = f(x) på intervaller kräver liknande studier. Vi kommer nu inte att gå närmare in på dessa fall. Vi kommer att se dem i exemplen nedan.

Låt domänen för funktionen y = f(x) vara föreningen av flera intervall. När man hittar intervallet för en sådan funktion, bestäms uppsättningarna av värden för varje intervall och deras förening tas.

Exempel.

Hitta räckvidden för funktionen.

Beslut.

Nämnaren för vår funktion ska inte gå till noll, det vill säga .

Låt oss först hitta uppsättningen av värden för funktionen på den öppna strålen.

Funktionsderivata är negativ på detta intervall, det vill säga funktionen minskar på det.

Vi fann att eftersom argumentet tenderar till minus oändlighet, närmar sig funktionens värden asymptotiskt enhet. När x ändras från minus oändlighet till två, minskar funktionens värden från ett till minus oändligt, det vill säga på det betraktade intervallet antar funktionen en uppsättning värden. Vi inkluderar inte enhet, eftersom funktionens värden inte når den, utan bara asymptotiskt tenderar till den vid minus oändlighet.

Vi agerar på samma sätt för en öppen stråle.

Funktionen minskar också på detta intervall.

Uppsättningen av funktionsvärden på detta intervall är uppsättningen.

Således är det önskade intervallet av funktionsvärden föreningen av uppsättningarna och .

Grafisk illustration.

Separat bör vi uppehålla oss vid periodiska funktioner. Utbudet av periodiska funktioner sammanfaller med uppsättningen värden på intervallet som motsvarar perioden för denna funktion.

Exempel.

Hitta intervallet för sinusfunktionen y = sinx.

Beslut.

Denna funktion är periodisk med en period på två pi. Låt oss ta ett segment och definiera uppsättningen värden på det.

Segmentet innehåller två extrema punkter och .

Vi beräknar funktionens värden vid dessa punkter och på segmentets gränser, välj de minsta och största värdena:

Därav, .

Exempel.

Hitta räckvidden för en funktion .

Beslut.

Vi vet att området för arccosine är segmentet från noll till pi, det vill säga, eller i ett annat inlägg. Fungera kan erhållas från arccosx genom att skifta och sträcka sig längs x-axeln. Sådana transformationer påverkar inte intervallet, därför . Fungera kommer från sträcker sig tre gånger längs Oy-axeln, dvs. . Och det sista steget av transformationer är en förskjutning med fyra enheter ner längs y-axeln. Detta leder oss till en dubbel ojämlikhet

Således är det önskade värdeintervallet .

Låt oss ge en lösning på ett annat exempel, men utan förklaringar (de krävs inte, eftersom de är helt lika).

Exempel.

Definiera funktionsområde .

Beslut.

Vi skriver den ursprungliga funktionen i formuläret . Exponentialfunktionens intervall är intervallet. Dvs. Sedan

Därav, .

För att fullborda bilden bör vi prata om att hitta omfånget för en funktion som inte är kontinuerlig på definitionsdomänen. I det här fallet är definitionsdomänen uppdelad av brytpunkter i intervall, och vi hittar värdeuppsättningarna på var och en av dem. Genom att kombinera de erhållna uppsättningarna av värden får vi intervallet av värden för den ursprungliga funktionen. Vi rekommenderar att komma ihåg 3 till vänster, funktionens värden tenderar att vara minus ett, och när x tenderar till 3 till höger, tenderar funktionens värden till plus oändlighet.

Således är definitionsdomänen för funktionen uppdelad i tre intervall.

På intervallet har vi funktionen . Sedan dess

Således är uppsättningen av värden för den ursprungliga funktionen på intervallet [-6;2] .

På halvintervallet har vi en konstant funktion y = -1 . Det vill säga uppsättningen av värden för den ursprungliga funktionen på intervallet består av ett enda element .

Funktionen är definierad för alla giltiga värden i argumentet. Ta reda på intervallen för ökning och minskning av funktionen.

Derivatan försvinner vid x=-1 och x=3 . Vi markerar dessa punkter på den reella axeln och bestämmer tecknen för derivatan på de erhållna intervallen.

Funktionen minskar med , ökar med [-1; 3], x=-1 minpunkt, x=3 maxpunkt.

Vi beräknar motsvarande minimi- och maximifunktioner:

Låt oss kontrollera funktionens beteende vid oändlighet:

Den andra gränsen beräknades från .

Låt oss göra en schematisk ritning.

När argumentet ändras från minus oändlighet till -1, minskar funktionsvärdena från plus oändligt till -2e, när argumentet ändras från -1 till 3, ökar funktionsvärdena från -2e till , när argumentet ändras från 3 till plus oändlighet, funktionsvärdena minskar från till noll, men de når inte noll.

Ofta, inom ramen för att lösa problem, måste vi leta efter en uppsättning värden för en funktion på definitionsdomänen eller på ett segment. Detta bör till exempel göras vid lösning av olika typer av ojämlikheter, värdering av uttryck m.m.

Som en del av det här materialet kommer vi att berätta vad räckvidden för en funktion är, ge de huvudsakliga metoderna för att beräkna den och analysera problem av varierande grad av komplexitet. För tydlighetens skull illustreras enskilda positioner med grafer. Efter att ha läst den här artikeln kommer du att ha en omfattande förståelse för omfattningen av en funktion.

Låt oss börja med grundläggande definitioner.

Definition 1

Uppsättningen av värden för funktionen y = f (x) på något intervall x är uppsättningen av alla värden som denna funktion tar när den itererar över alla värden x ∈ X .

Definition 2

Området för en funktion y = f (x) är mängden av alla dess värden som den kan ta när den itererar över värden x från intervallet x ∈ (f) .

Omfånget för någon funktion betecknas vanligtvis med E (f) .

Observera att konceptet med uppsättningen av värden för en funktion inte alltid är identisk med området för dess värden. Dessa begrepp kommer endast att vara ekvivalenta om intervallet för x-värden när man hittar värdeuppsättningen sammanfaller med funktionens domän.

Det är också viktigt att skilja mellan intervallet och intervallet för variabeln x för uttrycket på höger sida y = f (x) . Arean av acceptabla värden x för uttrycket f (x) kommer att vara definitionsområdet för denna funktion.

Nedan är en illustration som visar några exempel. Blå linjer är grafer över funktioner, röda är asymptoter, röda punkter och linjer på y-axeln är intervallen för funktionen.

Uppenbarligen kan funktionens omfång erhållas genom att projicera grafen för funktionen på axeln O y . Samtidigt kan det vara antingen ett enda nummer eller en uppsättning tal, ett segment, ett intervall, en öppen stråle, en förening av numeriska intervall, etc.

Tänk på de viktigaste sätten att hitta räckvidden för en funktion.

Låt oss börja med att definiera uppsättningen värden för en kontinuerlig funktion y = f (x) på ett visst segment, betecknat [ a ; b] . Vi vet att en funktion som är kontinuerlig på ett visst intervall når sitt minimum och maximum på det, det vill säga maximum m a x x ∈ a ; b f (x) och det minsta värdet m i n x ∈ a ; bf(x). Så vi får ett segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , som kommer att innehålla uppsättningarna av värden för den ursprungliga funktionen. Sedan behöver vi bara hitta de specificerade minimum- och maxpoängen på detta segment.

Låt oss ta ett problem där det är nödvändigt att bestämma intervallet för värden för bågen.

Exempel 1

Tillstånd: hitta intervallet y = a r c sin x .

Beslut

I det allmänna fallet är definitionsdomänen för arcsine belägen på intervallet [-1; ett ] . Vi måste bestämma det största och minsta värdet av den angivna funktionen på den.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Vi vet att derivatan av funktionen kommer att vara positiv för alla x-värden som finns i intervallet [-1; 1 ], det vill säga genom hela definitionsdomänen, kommer bågfunktionen att öka. Det betyder att det kommer att ta det minsta värdet när x är lika med - 1, och det största - när x är lika med 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Således kommer området för bågfunktionen att vara lika med E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Svar: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Exempel 2

Tillstånd: beräkna intervallet y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 på det givna segmentet [ 1 ; 4 ] .

Beslut

Allt vi behöver göra är att beräkna det största och minsta värdet av funktionen i det givna intervallet.

För att bestämma extremumpunkterna är det nödvändigt att utföra följande beräkningar:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 och l och 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Låt oss nu hitta värdena för den givna funktionen i ändarna av segmentet och punkterna x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 år (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Detta innebär att uppsättningen av funktionsvärden kommer att bestämmas av segmentet 117 - 165 33 512; 32 .

Svar: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Låt oss gå vidare till att hitta uppsättningen värden för en kontinuerlig funktion y = f (x) i intervallen (a ; b) , och a ; + ∞ , - ∞ ; b, -∞; +∞ .

Låt oss börja med att bestämma de största och minsta punkterna, samt intervallen för ökning och minskning i ett givet intervall. Efter det kommer vi att behöva beräkna ensidiga gränser i slutet av intervallet och/eller gränser i oändlighet. Med andra ord måste vi bestämma funktionens beteende under givna förhållanden. För detta har vi all nödvändig information.

Exempel 3

Tillstånd: beräkna intervallet för funktionen y = 1 x 2 - 4 på intervallet (- 2 ; 2) .

Beslut

Bestäm det största och minsta värdet på funktionen på ett givet intervall

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Vi fick maxvärdet lika med 0, eftersom det är vid denna punkt som funktionens tecken ändras och grafen börjar minska. Se illustration:

Det vill säga, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 kommer att vara det maximala värdet för funktionen.

Låt oss nu definiera beteendet för funktionen för ett x som tenderar till - 2 på höger sida och + 2 på vänster sida. Med andra ord hittar vi ensidiga gränser:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Vi fick att funktionsvärdena kommer att öka från minus oändlighet till -1 4 när argumentet ändras från -2 till 0 . Och när argumentet ändras från 0 till 2 minskar funktionens värden mot minus oändlighet. Därför kommer uppsättningen av värden för den givna funktionen på intervallet vi behöver vara (- ∞ ; - 1 4 ] .

Svar: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exempel 4

Tillstånd: indikera uppsättningen värden y = t g x på det givna intervallet - π 2 ; π 2 .

Beslut

Vi vet att, i allmänhet, derivatan av tangenten i - π 2; π 2 kommer att vara positiv, det vill säga funktionen ökar. Låt oss nu definiera hur funktionen beter sig inom de givna gränserna:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Vi har fått en ökning av funktionens värden från minus oändlighet till plus oändlighet när argumentet ändras från - π 2 till π 2, och vi kan säga att mängden lösningar för denna funktion kommer att vara mängden av alla reella tal.

Svar: - ∞ ; + ∞ .

Exempel 5

Tillstånd: bestäm vad som är intervallet för den naturliga logaritmfunktionen y = ln x .

Beslut

Vi vet att denna funktion är definierad för positiva värden av argumentet D (y) = 0 ; +∞ . Derivatan på det givna intervallet kommer att vara positiv: y " = ln x " = 1 x . Det betyder att funktionen ökar på den. Därefter måste vi definiera en ensidig gräns för fallet när argumentet går till 0 (på höger sida) och när x går till oändlighet:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Vi har funnit att värdena för funktionen kommer att öka från minus oändlighet till plus oändlighet när x-värden ändras från noll till plus oändlighet. Detta betyder att mängden av alla reella tal är intervallet för den naturliga logaritmfunktionen.

Svar: mängden av alla reella tal är intervallet för den naturliga logaritmfunktionen.

Exempel 6

Tillstånd: bestäm vad som är intervallet för funktionen y = 9 x 2 + 1 .

Beslut

Denna funktion är definierad förutsatt att x är ett reellt tal. Låt oss beräkna de största och minsta värdena för funktionen, såväl som intervallen för dess ökning och minskning:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Som ett resultat har vi bestämt att denna funktion kommer att minska om x ≥ 0; öka om x ≤ 0 ; den har en maximal punkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 när variabeln är 0 .

Låt oss se hur funktionen beter sig i oändligheten:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Det kan ses från posten att funktionens värden i detta fall asymptotiskt kommer att närma sig 0.

För att sammanfatta: när argumentet ändras från minus oändlighet till noll, ökar värdena för funktionen från 0 till 9 . När argumentvärdena går från 0 till plus oändlighet, kommer motsvarande funktionsvärden att minska från 9 till 0 . Vi har avbildat detta i figuren:

Den visar att intervallet för funktionen kommer att vara intervallet E (y) = (0 ; 9 ]

Svar: E (y) = (0; 9]

Om vi ​​behöver bestämma uppsättningen värden för funktionen y = f (x) på intervallen [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞), (- ∞ ; b ] , då kommer vi att behöva utföra exakt samma studier. Vi kommer inte att analysera dessa fall ännu: vi kommer att möta dem senare i problem .

Men vad händer om domänen för en viss funktion är föreningen av flera intervall? Sedan måste vi beräkna uppsättningarna värden på vart och ett av dessa intervall och kombinera dem.

Exempel 7

Tillstånd: bestäm vad som kommer att vara intervallet för y = x x - 2 .

Beslut

Eftersom nämnaren för funktionen inte ska omvandlas till 0 , då D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Låt oss börja med att definiera uppsättningen funktionsvärden på det första segmentet - ∞ ; 2, som är en öppen balk. Vi vet att funktionen på den kommer att minska, det vill säga derivatan av denna funktion kommer att vara negativ.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Sedan, i de fall där argumentet ändras mot minus oändlighet, kommer funktionens värden asymptotiskt närma sig 1 . Om värdena på x ändras från minus oändlighet till 2, kommer värdena att minska från 1 till minus oändlighet, dvs. funktionen på detta segment tar värden från intervallet - ∞ ; ett . Vi utesluter enhet från vårt resonemang, eftersom funktionens värden inte når den, utan bara närmar sig den asymptotiskt.

För öppen balk 2 ; + ∞ vi utför exakt samma åtgärder. Funktionen på den minskar också:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Värdena för funktionen på detta segment bestäms av uppsättningen 1 ; +∞ . Detta betyder att intervallet av värden för funktionen som anges i det villkor vi behöver kommer att vara föreningen av uppsättningar - ∞; 1 och 1; +∞ .

Svar: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Detta kan ses på diagrammet:

Ett specialfall är periodiska funktioner. Deras värdeområde sammanfaller med uppsättningen värden på intervallet som motsvarar perioden för denna funktion.

Exempel 8

Tillstånd: bestäm intervallet för sinus y = sin x .

Beslut

Sinus hänvisar till en periodisk funktion, och dess period är 2 pi. Vi tar ett segment 0 ; 2 π och se vad uppsättningen av värden på den kommer att vara.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Inom 0 ; 2 π kommer funktionen att ha extrempunkterna π 2 och x = 3 π 2 . Låt oss beräkna vad funktionens värden kommer att vara lika med i dem, såväl som på segmentets gränser, varefter vi väljer det största och minsta värdet.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 \u003d 1

Svar: E (sinx) = -1; ett .

Om du behöver känna till olika funktioner som exponentiell, exponentiell, logaritmisk, trigonometrisk, invers trigonometrisk, rekommenderar vi att du läser artikeln om grundläggande elementära funktioner igen. Teorin vi presenterar här tillåter oss att testa de värden som anges där. Det är önskvärt att lära sig dem, eftersom de ofta krävs för att lösa problem. Om du känner till intervallen för huvudfunktionerna, kan du enkelt hitta intervallen av funktioner som erhålls från elementära med hjälp av en geometrisk transformation.

Exempel 9

Tillstånd: bestäm intervallet y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Beslut

Vi vet att segmentet från 0 till pi är intervallet för den inversa cosinus. Med andra ord, E (a r c cos x) = 0 ; π eller 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Vi kan få funktionen a r c cos x 3 + 5 π 7 från bågcosinus genom att förskjuta och sträcka den längs O x-axeln, men sådana transformationer ger oss ingenting. Följaktligen är 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funktionen 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 kan erhållas från den inversa cosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 genom att sträcka sig längs y-axeln, d.v.s. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Den slutliga transformationen är en förskjutning längs O y-axeln med 4 värden. Som ett resultat får vi en dubbel ojämlikhet:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 bågar x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Vi fick att intervallet vi behöver är lika med E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Svar: E(y) = -4; 3 pi - 4 .

Låt oss skriva ytterligare ett exempel utan förklaringar, eftersom den är helt lik den föregående.

Exempel 10

Tillstånd: beräkna vad som kommer att vara intervallet för funktionen y = 2 2 x - 1 + 3 .

Beslut

Låt oss skriva om funktionen som ges i villkoret som y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 . För en potensfunktion y = x - 1 2 kommer intervallet att definieras på intervallet 0 ; + ∞ , dvs. x - 1 2 > 0 . I detta fall:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Så E (y) = 3 ; +∞ .

Svar: E(y) = 3; +∞ .

Låt oss nu titta på hur man hittar räckvidden för en funktion som inte är kontinuerlig. För att göra detta måste vi dela upp hela området i intervall och hitta värden på var och en av dem och sedan kombinera det vi har. För att bättre förstå detta rekommenderar vi att du granskar huvudtyperna av funktionsbrytpunkter.

Exempel 11

Tillstånd: givet en funktion y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Beräkna dess räckvidd.

Beslut

Denna funktion är definierad för alla x-värden. Låt oss analysera det för kontinuitet med värdena för argumentet lika med - 3 och 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Vi har en oåterkallelig diskontinuitet av det första slaget med värdet av argumentet - 3 . När du närmar dig det tenderar funktionens värden till - 2 sin 3 2 - 4 , och eftersom x tenderar till - 3 på höger sida kommer värdena att tendera till - 1 .

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Vi har en oavlägsen diskontinuitet av det andra slaget vid punkt 3 . När funktionen strävar efter det, närmar sig dess värden - 1, medan den tenderar till samma punkt till höger - till minus oändlighet.

Detta innebär att hela definitionsdomänen för denna funktion är uppdelad i 3 intervall (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

På den första av dem fick vi funktionen y \u003d 2 sin x 2 - 4. Eftersom - 1 ≤ sin x ≤ 1 , får vi:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Detta betyder att på detta intervall (-∞; -3] är uppsättningen av värden för funktionen [-6; 2].

På halvintervallet (- 3 ; 3 ] får vi en konstant funktion y = - 1. Följaktligen kommer hela uppsättningen av dess värden i detta fall att reduceras till ett tal - 1 .

På det andra intervallet 3 ; + ∞ vi har en funktion y = 1 x - 3 . Den minskar eftersom y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Därför är uppsättningen värden för den ursprungliga funktionen för x > 3 mängden 0 ; +∞ . Låt oss nu kombinera resultaten: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Svar: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Lösningen visas i grafen:

Exempel 12

Villkor: det finns en funktion y = x 2 - 3 e x . Bestäm uppsättningen av dess värden.

Beslut

Det definieras för alla argumentvärden som är reella tal. Låt oss bestämma med vilka intervaller denna funktion kommer att öka och i vilka den kommer att minska:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Vi vet att derivatan blir 0 om x = - 1 och x = 3 . Vi placerar dessa två punkter på axeln och tar reda på vilka tecken derivatan kommer att ha på de resulterande intervallen.

Funktionen kommer att minska med (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) och öka med [ - 1 ; 3]. Minsta poäng kommer att vara - 1 , maximum - 3 .

Låt oss nu hitta motsvarande funktionsvärden:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Låt oss titta på funktionens beteende vid oändlighet:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

För att beräkna den andra gränsen användes L'Hopitals regel. Låt oss rita vår lösning på en graf.

Den visar att funktionens värden kommer att minska från plus oändlighet till -2 e när argumentet ändras från minus oändligt till -1. Om den ändras från 3 till plus oändlighet, kommer värdena att minska från 6 e - 3 till 0, men 0 kommer inte att nås.

Således är E(y) = [-2e; +∞).

Svar: E(y) = [-2e; +∞)

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Konceptet med en funktion och allt som är kopplat till den är traditionellt komplext, inte helt förstått. En speciell stötesten i studiet av funktionen och förberedelserna för examen är definitionsdomänen och intervallet av värden (förändringar) av funktionen.
Ofta ser eleverna inte skillnaden mellan domänen för en funktion och domänen för dess värden.
Och om eleverna lyckas bemästra uppgifterna att hitta definitionsdomänen för en funktion, så orsakar uppgifterna att hitta en uppsättning värden för en funktion dem stora svårigheter.
Syftet med denna artikel: bekantskap med metoderna för att hitta värdena för en funktion.
Som ett resultat av övervägande av detta ämne studerades teoretiskt material, metoder för att lösa problem för att hitta uppsättningar av funktionsvärden övervägdes, didaktiskt material valdes ut för självständigt arbete av studenter.
Den här artikeln kan användas av en lärare när de förbereder studenter för slut- och antagningsprov, när de studerar ämnet "Omfattningen av en funktion" i valfria klasser i valbara kurser i matematik.

I. Fastställande av funktionens omfattning.

Arean (mängden) av värden E(y) för funktionen y = f(x) är mängden av sådana tal y 0 , för var och en av vilka det finns ett sådant nummer x 0 att: f(x 0) = y 0 .

Låt oss komma ihåg intervallen för de viktigaste elementära funktionerna.

Överväg ett bord.

Fungera	Många värden
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = båge x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arktan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Observera också att intervallet för ett polynom med jämn grad är intervallet , där n är det största värdet av detta polynom.

II. Funktionsegenskaper som används för att hitta intervallet för en funktion

För att framgångsrikt hitta uppsättningen av värden för en funktion måste man ha god kunskap om egenskaperna hos de grundläggande elementära funktionerna, särskilt deras definitionsområden, värdeintervall och monotonitetens natur. Låt oss presentera egenskaperna hos kontinuerliga, monotona differentierbara funktioner, som oftast används för att hitta uppsättningen av värden för funktioner.

Egenskaper 2 och 3 används vanligtvis tillsammans med egenskapen hos en elementär funktion att vara kontinuerlig i sin domän. I det här fallet uppnås den enklaste och kortaste lösningen på problemet med att hitta uppsättningen av värden för en funktion på basis av egenskap 1, om det är möjligt att bestämma funktionens monotonitet med enkla metoder. Lösningen av problemet förenklas ytterligare om funktionen dessutom är jämn eller udda, periodisk etc. Sålunda, när man löser problem med att hitta uppsättningar av funktionsvärden, bör följande egenskaper hos funktionen kontrolleras och användas vid behov:

• kontinuitet;
• monoton;
• differentierbarhet;
• jämnt, udda, periodiskt osv.

Enkla uppgifter för att hitta en uppsättning funktionsvärden är mestadels orienterade:

a) användningen av de enklaste uppskattningarna och begränsningarna: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, etc.);

b) för att välja en hel kvadrat: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) för transformation av trigonometriska uttryck: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) att använda monotoniteten för funktionen x 1/3 + 2 x-1 ökar med R.

III. Fundera över sätt att hitta funktionerna.

a) sekventiell upptäckt av värden för komplexa funktionsargument;
b) Bedömningsmetod.
c) att använda egenskaperna för kontinuitet och monotonitet för en funktion;
d) användning av ett derivat;
e) användningen av funktionens största och minsta värden;
f) grafisk metod.
g) metod för parameterintroduktion;
h) invers funktionsmetod.

Vi kommer att avslöja kärnan i dessa metoder på specifika exempel.

Exempel 1: Hitta intervallet E(y) funktioner y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Låt oss lösa detta exempel genom att sekventiellt hitta värdena för komplexa funktionsargument. Efter att ha valt hela kvadraten under logaritmen transformerar vi funktionen

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

Och hitta sekventiellt värdeuppsättningarna för dess komplexa argument:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5) – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Beteckna t= 5 – (3 x +1) 2 , där -∞≤ t≤4. Således reduceras problemet till att hitta uppsättningen värden för funktionen y = log 0,5 t på strålen (-∞;4) . Eftersom funktionen y = log 0,5 t endast definieras vid, sammanfaller dess uppsättning värden på strålen (-∞;4) med uppsättningen funktionsvärden på intervallet (0;4), vilket är skärningspunkten mellan strålen (-∞;4) med definitionsdomänen (0;+∞) för den logaritmiska funktionen. På intervallet (0;4) är denna funktion kontinuerlig och minskande. På t> 0, tenderar det att +∞, och när t = 4 tar värdet -2, alltså E(y) =(-2, +∞).

Exempel 2: Hitta intervallet för en funktion

y = cos7x + 5cosx

Vi kommer att lösa detta exempel med metoden för uppskattningar, vars essens är att uppskatta den kontinuerliga funktionen underifrån och uppifrån och att bevisa att funktionen når uppskattningarnas nedre och övre gränser. I det här fallet bestäms sammanträffandet av uppsättningen av värden för funktionen med intervallet från den nedre gränsen för uppskattningen till den övre av funktionens kontinuitet och frånvaron av andra värden för den.

Från ojämlikheterna -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 får vi uppskattningen -6≤y?6. För x = p och x = 0 tar funktionen värdena -6 och 6, d.v.s. når de nedre och övre gränserna. Som en linjär kombination av kontinuerliga funktioner cos7x och cosx är funktionen y kontinuerlig längs hela talaxeln, därför, genom egenskapen för en kontinuerlig funktion, tar den alla värden från -6 till och med 6, och endast dem, eftersom , på grund av ojämlikheterna -6≤y?6, andra värden hon är omöjlig. Därav, E(y)= [-6;6].

Exempel 3: Hitta intervallet E(f) funktioner f(x)= cos2x + 2cosx.

Med hjälp av dubbelvinkelkosinusformeln transformerar vi funktionen f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 och beteckna t= cosx. Sedan f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Sedan E(cosx) =

[-1;1], sedan intervallet för funktionen f(x) sammanfaller med uppsättningen värden för funktionen g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 på segmentet [-1; 1], som vi hittar med en grafisk metod. Efter att ha ritat funktionen y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 på intervallet [-1; 1], finner vi E(f) = [-1,5; 3].

Notera - många problem med en parameter reduceras till att hitta uppsättningen av värden för en funktion, främst relaterade till lösbarheten och antalet lösningar av ekvationen och olikheter. Till exempel ekvationen f(x)= a är lösbart om och endast om

aE(f) Likaså ekvationen f(x)= a har minst en rot placerad på något intervall X, eller har ingen rot på detta intervall om och endast om a tillhör eller inte hör till funktionens värdeuppsättning f(x) på intervallet X. Vi studerar också med hjälp av funktionens värdeuppsättning och ojämlikheterna f(x)≠ en, f(x)> a etc. Särskilt, f(x)≠ och för alla tillåtna värden på x, om en E(f)

Exempel 4. För vilka värden av parametern a, har ekvationen (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) en enda rot på segmentet [-4;-1].

Låt oss skriva ekvationen i formen (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Den sista ekvationen har minst en rot på segmentet [-4;-1] om och bara om a hör till funktionens värdeuppsättning f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) på ​​segmentet [-4;-1]. Låt oss hitta denna uppsättning med hjälp av egenskapen kontinuitet och monotoni hos funktionen.

På segmentet [-4;-1] är funktionen y = xІ + 4 kontinuerlig, minskande och positiv, därför är funktionen g(x) = 1/(x 2 + 4) är kontinuerlig och ökar på detta intervall, eftersom när man dividerar med en positiv funktion ändras arten av monotoniteten hos funktionen till det motsatta. Fungera h(x) =(x + 5) 1/2 är kontinuerlig och ökar i sin domän D(h) =[-5;+∞) och i synnerhet på intervallet [-4;-1], där det också är positivt. Sedan funktionen f(x)=g(x) h(x), som en produkt av två kontinuerliga, ökande och positiva funktioner, är också kontinuerlig och ökar på segmentet [-4;-1], därför är dess uppsättning värden på [-4;-1] segmentet [ f(-4); f(-1)] = . Därför har ekvationen en lösning på intervallet [-4;-1], och den enda (genom egenskapen av en kontinuerlig monoton funktion), för 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Kommentar. Lösbarhet av ekvationen f(x) = a på något intervall motsvarar X att tillhöra parameterns värden a uppsättning funktionsvärden f(x) på X. Därför uppsättningen av värden för funktionen f(x) på intervallet sammanfaller X med uppsättningen parametervärden a, för vilken ekvationen f(x) = a har minst en rot på intervallet X. I synnerhet värdeintervallet E(f) funktioner f(x) matchar uppsättningen av parametervärden a, för vilken ekvationen f(x) = a har minst en rot.

Exempel 5: Hitta intervallet E(f) funktioner

Låt oss lösa exemplet genom att införa en parameter, enligt vilken E(f) matchar uppsättningen av parametervärden a, för vilken ekvationen

har minst en rot.

När a=2 är ekvationen linjär - 4x - 5 = 0 med en koefficient som inte är noll vid okänd x, därför har den en lösning. För a≠2 är ekvationen kvadratisk, så den är lösbar om och endast om den är diskriminant

Eftersom punkten a = 2 hör till segmentet

sedan önskad uppsättning parametervärden en, därav intervallet av värden E(f) kommer att vara hela segmentet.

Som en direkt utveckling av metoden för att introducera en parameter när man hittar en uppsättning värden för en funktion, kan vi överväga metoden för den inversa funktionen, för att hitta vilken det är nödvändigt att lösa ekvationen för x f(x)=y, med tanke på y som en parameter. Om denna ekvation har en unik lösning x=g(y), sedan intervallet E(f) originalfunktion f(x) sammanfaller med definitionsdomänen D(g) invers funktion g(y). Om ekvationen f(x)=y har flera lösningar x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) etc., då E(f)är lika med föreningen av funktionsdefinitionernas omfång g 1 (y), g 2 (y) etc.

Exempel 6: Hitta intervallet E(y) funktioner y = 5 2/(1-3x).

Från ekvationen

hitta den inversa funktionen x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) och dess domän D(x):

Eftersom ekvationen för x har en unik lösning, alltså

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Om domänen för en funktion består av flera intervall eller funktionen på olika intervall ges av olika formler, måste du för att hitta funktionens domän hitta funktionens värdeuppsättningar för varje intervall och ta deras union.

Exempel 7: Hitta intervall f(x) och f(f(x)), var

f(x) på strålen (-∞;1], där den sammanfaller med uttrycket 4 x + 9 4 -x + 3. Beteckna t = 4 x. Sedan f(x) = t + 9/t + 3, där 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) på strålen (-∞;1] sammanfaller med uppsättningen av värden för funktionen g(t) = t + 9/t + 3, på intervallet (0;4], som vi hittar med derivatan g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. På intervallet (0;4] derivatan g'(t) definieras och försvinner där kl t=3. Vid 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) minskar, och i intervallet (3;4) ökar det, förblir kontinuerligt över hela intervallet (0;4), så g (3)= 9 - det minsta värdet för denna funktion på intervallet (0; 4], medan dess största värde inte finns, så när t→0 rätt funktion g(t)→+∞. Sedan, genom egenskapen för en kontinuerlig funktion, uppsättningen av värden för funktionen g(t) på intervallet (0;4], och därav värdeuppsättningen f(x) på (-∞;-1], kommer det att finnas en stråle .

Nu, genom att kombinera intervallen - uppsättningarna av funktionsvärden f(f(x)), beteckna t = f(x). Sedan f(f(x)) = med), var t fungera med)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 och det tar återigen alla värden från 5 till 9 inklusive, dvs. räckvidd E(fІ) = E(f(f(x))) =.

På liknande sätt betecknar z = f(f(x)), kan du hitta sortimentet E(f3) funktioner f(f(f(x))) = f(z), där 5 ≤ z ≤ 9, etc. Se till att E(f 3) = .

Den mest universella metoden för att hitta uppsättningen av funktionsvärden är att använda de största och minsta värdena av funktionen i ett givet intervall.

Exempel 8. För vilka värden på parametern R ojämlikhet 8 x - p ≠ 2x+1 – 2x gäller för alla -1 ≤ x< 2.

Betecknar t = 2 x, skriver vi ojämlikheten som p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Som t = 2 xär en ständigt ökande funktion på R, sedan för -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R skiljer sig från funktionsvärden f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t vid 0,5 ≤ t< 4.

Låt oss först hitta uppsättningen av värden för funktionen med) på intervallet där den har en derivata överallt f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Därav, med)är differentierbar och därför kontinuerlig på segmentet . Från ekvationen f'(t) = 0 hitta de kritiska punkterna för funktionen t=1/3, t=1, varav den första inte tillhör segmentet och den andra tillhör den. Som f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, då, med egenskapen för en differentierbar funktion, är 0 det minsta och 36 är det största värdet på funktionen med) på segmentet. Sedan med), som en kontinuerlig funktion, tar på segmentet alla värden från 0 till 36 inklusive, och värdet 36 tar endast när t=4, alltså för 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }