Vi börjar med det enklaste fallet, den så kallade rena böjningen.

Ren böjning är ett specialfall av böjning, där tvärkraften i balksektionerna är noll. Ren böjning kan endast ske när balkens egenvikt är så liten att dess inverkan kan försummas. För balkar på två stöd, exempel på laster som orsakar nät

böj, visad i fig. 88. På sektioner av dessa balkar, där Q \u003d 0 och därför M \u003d const; det finns en ren böj.

Krafterna i varje sektion av balken med ren böjning reduceras till ett par krafter, vars verkningsplan passerar genom balkens axel, och momentet är konstant.

Spänningar kan bestämmas utifrån följande överväganden.

1. De tangentiella komponenterna av krafterna på de elementära områdena i balkens tvärsnitt kan inte reduceras till ett par krafter, vars verkningsplan är vinkelrät mot sektionens plan. Härav följer att böjkraften i sektionen är resultatet av verkan på elementära områden

endast normala krafter, och därför, med ren böjning, reduceras spänningarna endast till normala.

2. För att insatser på elementära plattformar ska reduceras till endast ett par krafter måste det finnas både positiva och negativa bland dem. Därför måste både spända och komprimerade balkfibrer finnas.

3. På grund av det faktum att krafterna i olika sektioner är desamma, är spänningarna på motsvarande punkter i sektionerna desamma.

Betrakta alla element nära ytan (fig. 89, a). Eftersom inga krafter appliceras längs dess undersida, som sammanfaller med balkens yta, finns det heller inga påfrestningar på den. Därför finns det inga spänningar på elementets ovansida, eftersom elementet annars inte skulle vara i jämvikt. Med tanke på elementet intill det i höjdled (fig. 89, b), kommer vi till

Samma slutsats etc. Av detta följer att det inte finns några spänningar längs de horisontella ytorna av något element. Med tanke på elementen som utgör det horisontella lagret, med början med elementet nära balkens yta (fig. 90), kommer vi till slutsatsen att det inte finns några spänningar längs de vertikala sidoytorna av något element. Således måste spänningstillståndet för något element (fig. 91, a), och i fiberns gräns, representeras som visas i fig. 91b, dvs det kan vara antingen axiell spänning eller axiell kompression.

4. På grund av symmetrin i appliceringen av yttre krafter bör sektionen längs mitten av balklängden efter deformation förbli platt och vinkelrät mot balkaxeln (Fig. 92, a). Av samma anledning förblir även sektioner i fjärdedelar av balklängden plana och vinkelräta mot balkaxeln (fig. 92, b), om endast de yttersta sektionerna av balken förblir plana och vinkelräta mot balkaxeln under deformation. En liknande slutsats gäller också för sektioner i åttondelar av balkens längd (fig. 92, c), etc. Därför, om de yttersta delarna av balken förblir plana under böjning, så förblir den för varje sektion

det är rättvist att säga att efter deformation förblir den platt och vinkelrät mot den krökta balkens axel. Men i det här fallet är det uppenbart att förändringen i förlängningen av strålens fibrer längs dess höjd bör ske inte bara kontinuerligt utan också monotont. Om vi ​​kallar ett skikt en uppsättning fibrer med samma förlängningar, så följer det av det som har sagts att balkens sträckta och komprimerade fibrer bör placeras på motsatta sidor av lagret där fiberförlängningarna är lika med noll. Vi kommer att kalla fibrer vars förlängningar är lika med noll, neutrala; ett skikt bestående av neutrala fibrer - ett neutralt skikt; skärningslinjen för det neutrala lagret med planet för strålens tvärsnitt - den neutrala linjen för denna sektion. Sedan, baserat på de tidigare övervägandena, kan det hävdas att med en ren böjning av balken i var och en av dess sektioner finns det en neutral linje som delar denna sektion i två delar (zoner): zonen av sträckta fibrer (spänd zon) och zonen av komprimerade fibrer (komprimerad zon). Följaktligen bör normala dragspänningar verka vid punkterna för den sträckta zonen av tvärsnittet, tryckspänningar vid punkterna för den komprimerade zonen, och vid punkterna för den neutrala linjen är spänningarna lika med noll.

Således, med en ren böjning av en balk med konstant tvärsnitt:

1) endast normala spänningar verkar i sektionerna;

2) hela sektionen kan delas upp i två delar (zoner) - sträckt och komprimerad; gränsen för zonerna är sektionens neutrala linje, vid vars punkter normalspänningarna är lika med noll;

3) alla längsgående element i balken (i gränsen, vilken fiber som helst) utsätts för axiell spänning eller kompression, så att intilliggande fibrer inte interagerar med varandra;

4) om de yttersta sektionerna av balken under deformation förblir plana och vinkelräta mot axeln, förblir alla dess tvärsnitt plana och vinkelräta mot den krökta balkens axel.

Spänningstillstånd för en balk i ren böjning

Betrakta ett element av en balk som är föremål för ren böjning, avslutande mätt mellan sektionerna m-m och n-n, som är åtskilda från varandra på ett oändligt litet avstånd dx (fig. 93). På grund av bestämmelsen (4) i föregående stycke kommer sektionerna m-m och n-n, som var parallella före deformation, efter böjning, förblir plana, att bilda en vinkel dQ och skära längs en rät linje som går genom punkt C, som är centrum av krökningsneutral fiber NN. Sedan kommer den del av AB-fibern som är innesluten mellan dem, belägen på ett avstånd z från den neutrala fibern (den positiva riktningen av z-axeln tas mot balkens konvexitet under böjning), att förvandlas till en båge A "B" efter deformation. Ett segment av den neutrala fibern O1O2, som förvandlas till en O1O2-båge, kommer inte att ändra sin längd, medan AB-fibern kommer att få en förlängning:

före deformation

efter deformation

där p är krökningsradien för den neutrala fibern.

Därför är den absoluta förlängningen av segmentet AB

och förlängning

Eftersom fibern AB enligt position (3) utsätts för axiell spänning, då med elastisk deformation

Av detta kan man se att normalspänningarna längs balkens höjd är fördelade enligt en linjär lag (fig. 94). Eftersom den lika kraften av alla ansträngningar på alla elementära sektioner av sektionen måste vara lika med noll, alltså

varifrån, genom att ersätta värdet från (5.8), finner vi

Men den sista integralen är ett statiskt moment kring Oy-axeln, som är vinkelrät mot böjkrafternas verkningsplan.

På grund av att den är lika med noll måste denna axel passera genom sektionens tyngdpunkt O. Sålunda är balksektionens neutrala linje en rät linje yy, vinkelrät mot böjkrafternas verkningsplan. Det kallas strålens neutralaxel. Sedan av (5.8) följer att spänningarna vid punkter som ligger på samma avstånd från neutralaxeln är desamma.

Fallet med ren böjning, där böjningskrafterna verkar i endast ett plan, vilket endast orsakar böjning i det planet, är en plan ren böjning. Om det namngivna planet passerar genom Oz-axeln, måste momentet för elementära ansträngningar i förhållande till denna axel vara lika med noll, dvs.

Genom att här ersätta värdet på σ från (5.8), finner vi

Integralen på den vänstra sidan av denna likhet är, som bekant, det centrifugala tröghetsmomentet för sektionen kring y- och z-axlarna, så att

De axlar med avseende på vilka sektionens centrifugaltröghetsmoment är lika med noll kallas för denna sektions huvudtröghetsaxlar. Om de dessutom passerar genom sektionens tyngdpunkt, kan de kallas sektionens huvudsakliga centrala tröghetsaxlar. Sålunda, med en platt ren böjning, är riktningen för aktionsplanet för böjkrafterna och sektionens neutrala axel de viktigaste centrala tröghetsaxlarna för den senare. Med andra ord, för att erhålla en platt ren böjning av en balk, kan en belastning inte appliceras på den godtyckligt: ​​den måste reduceras till krafter som verkar i ett plan som passerar genom en av huvudtröghetsaxlarna för balksektionerna; i detta fall kommer den andra huvudtröghetsaxeln att vara sektionens neutrala axel.

Som bekant, i fallet med en sektion som är symmetrisk kring vilken axel som helst, är symmetriaxeln en av dess huvudsakliga centrala tröghetsaxlar. Följaktligen kommer vi i detta speciella fall säkerligen att erhålla en ren böjning genom att applicera lämpliga analaster i ett plan som passerar genom balkens längdaxel och dess sektions symmetriaxel. Den räta linjen, vinkelrät mot symmetriaxeln och som går genom sektionens tyngdpunkt, är den neutrala axeln för denna sektion.

Efter att ha fastställt positionen för den neutrala axeln är det inte svårt att hitta storleken på spänningen vid någon punkt i sektionen. Faktum är att eftersom summan av momenten av elementära krafter i förhållande till den neutrala axeln yy måste vara lika med böjmomentet, då

varifrån, genom att ersätta värdet på σ från (5.8), finner vi

Eftersom integralen är tröghetsmoment för sektionen om y-axeln, alltså

och från uttryck (5.8) får vi

Produkten EI Y kallas balkens böjstyvhet.

De största drag- och tryckspänningarna i absolut värde verkar vid de punkter i sektionen för vilka absolutvärdet av z är störst, d.v.s. i de punkter som ligger längst bort från den neutrala axeln. Med beteckningarna, Fig. 95 har

Värdet på Jy / h1 kallas sektionens motståndsmoment mot sträckning och betecknas med Wyr; på liknande sätt kallas Jy/h2 sektionens motståndsmoment mot kompression

och beteckna Wyc, så

och därför

Om den neutrala axeln är sektionens symmetriaxel, då h1 = h2 = h/2 och följaktligen Wyp = Wyc, så det finns inget behov av att skilja mellan dem, och de använder samma beteckning:

kallar W y helt enkelt sektionsmodulen. Därför, i fallet med en sektion som är symmetrisk kring den neutrala axeln,

Alla ovanstående slutsatser erhålls på grundval av antagandet att balkens tvärsnitt, när de är böjda, förblir plana och normala mot dess axel (hypotesen om plana sektioner). Som visas är detta antagande endast giltigt om de yttersta (änd-) sektionerna av balken förblir plana under böjning. Däremot följer av hypotesen om platta sektioner att elementära krafter i sådana sektioner bör fördelas enligt en linjär lag. Därför, för giltigheten av den erhållna teorin om platt ren böjning, är det nödvändigt att böjmomenten vid ändarna av balken appliceras i form av elementära krafter fördelade över sektionens höjd enligt en linjär lag (Fig. 96), vilket sammanfaller med lagen om spänningsfördelning över sektionsbalkarnas höjd. Men baserat på Saint-Venant-principen kan det hävdas att en förändring i metoden för applicering av böjmoment i ändarna av balken kommer att orsaka endast lokala deformationer, vars inverkan kommer att påverka endast på ett visst avstånd från dessa slutar (ungefär lika med höjden på sektionen). De sektioner som ligger i resten av balkens längd kommer att förbli plana. Följaktligen är den angivna teorin om platt ren böjning, med vilken metod som helst för att applicera böjmoment, endast giltig inom den mellersta delen av balkens längd, belägen på avstånd från dess ändar ungefär lika med höjden på sektionen. Av detta är det tydligt att denna teori uppenbarligen inte är tillämplig om sektionens höjd överstiger halva längden eller spännvidden av balken.

Platt tvärböjning av balkar. Inre böjkrafter. Inre krafters differentiella beroenden. Regler för kontroll av diagram över inre krafter vid böjning. Normal- och skjuvspänningar vid böjning. Hållfasthetsberäkning för normal- och skjuvspänningar.

10. ENKLA TYPER AV MOTSTÅND. PLAT BÖJNING

10.1. Allmänna begrepp och definitioner

Böjning är en typ av belastning där stången belastas med moment i plan som passerar genom stångens längdaxel.

En stång som fungerar i böjning kallas en balk (eller stång). I framtiden kommer vi att överväga raka balkar, vars tvärsnitt har minst en symmetriaxel.

I materialresistans är böjningen platt, snett och komplex.

Flat böjning är en böjning där alla krafter som böjer balken ligger i ett av balkens symmetriplan (i ett av huvudplanen).

Balkens huvudtröghetsplan är de plan som passerar genom tvärsnittens huvudaxlar och balkens geometriska axel (x-axeln).

En sned böj är en böj där lasterna verkar i ett plan som inte sammanfaller med huvudtröghetsplanen.

Komplex böjning är en böjning där laster verkar i olika (godtyckliga) plan.

10.2. Bestämning av inre böjkrafter

Låt oss överväga två karakteristiska fall av böjning: i det första fallet böjs den fribärande balken av ett koncentrerat moment M o ; i den andra, av den koncentrerade kraften F.

Genom att använda metoden för mentala sektioner och sammanställa jämviktsekvationerna för strålens avskurna delar, bestämmer vi de inre krafterna i båda fallen:

Resten av jämviktsekvationerna är uppenbarligen identiskt lika med noll.

Sålunda, i det allmänna fallet med platt böjning i balksektionen, av sex inre krafter, uppstår två - böjningsmoment M z och skjuvkraft Q y (eller vid böjning kring en annan huvudaxel - böjmoment M y och skjuvkraft Q z ).

I det här fallet, i enlighet med de två övervägda belastningsfallen, kan platt böjning delas in i ren och tvärgående.

Ren böjning är en platt böjning, där endast en av sex inre krafter uppstår i stavens sektioner - ett böjmoment (se det första fallet).

tvärgående böj- böjning, i vilken förutom det inre böjmomentet även en tvärkraft uppstår i stavens sektioner (se det andra fallet).

Strängt taget hör bara ren böjning till de enkla typerna av motstånd; tvärgående böjning hänvisas villkorligt till enkla typer av motstånd, eftersom i de flesta fall (för tillräckligt långa balkar) verkan av en tvärkraft kan försummas i hållfasthetsberäkningar.

När vi bestämmer interna krafter kommer vi att följa följande teckenregel:

1) tvärkraften Qy anses vara positiv om den tenderar att rotera balkelementet medurs;

2) böjningsmoment M z anses positivt om, när balkelementet böjs, de övre fibrerna i elementet komprimeras och de nedre fibrerna sträcks (paraplyregel).

Sålunda kommer lösningen av problemet med att bestämma de inre krafterna under böjning att byggas enligt följande plan: 1) i det första skedet, med hänsyn till strukturens jämviktsförhållanden som helhet, bestämmer vi, om nödvändigt, de okända reaktionerna av stöden (observera att för en fribärande balk kan reaktioner i inbäddningen finnas och inte hittas om vi betraktar balken från den fria änden); 2) i det andra steget väljer vi de karakteristiska sektionerna av balken, och tar som gränserna för sektionerna punkterna för applicering av krafter, punkter för förändring av balkens form eller dimensioner, fästpunkter för balken; 3) i det tredje steget bestämmer vi de inre krafterna i balksektionerna, med hänsyn till jämviktsförhållandena för balkelementen i var och en av sektionerna.

10.3. Differentiella beroenden i böjning

Låt oss fastställa några relationer mellan inre krafter och externa böjningsbelastningar, såväl som de karakteristiska egenskaperna hos Q- och M-diagram, vars kunskap kommer att underlätta konstruktionen av diagram och låter dig kontrollera deras korrekthet. För att underlätta notationen kommer vi att beteckna: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Låt oss allokera ett litet element dx i en sektion av en balk med en godtycklig belastning på en plats där det inte finns några koncentrerade krafter och moment. Eftersom hela balken är i jämvikt, kommer elementet dx också att vara i jämvikt under inverkan av tvärkrafter som appliceras på det, böjmoment och extern belastning. Eftersom Q och M generellt förändras längs strålens axel, kommer det i sektionerna av elementet dx att finnas tvärkrafter Q och Q + dQ , såväl som böjmoment M och M + dM . Från jämviktstillståndet för det valda elementet får vi

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Från den andra ekvationen, om man försummar termen q dx (dx /2) som en infinitesimal kvantitet av andra ordningen, finner vi

Relationer (10.1), (10.2) och (10.3) kallas differentiella beroenden av D. I. Zhuravsky vid böjning.

Analys av ovanstående differentiella beroenden vid böjning gör att vi kan fastställa några funktioner (regler) för att konstruera diagram över böjmoment och skjuvkrafter:

a - i områden där det inte finns någon fördelad last q, är diagram Q begränsade till räta linjer parallella med basen, och diagram M - sneda räta linjer;

b - i områden där en fördelad last q appliceras på balken, begränsas Q-diagram av lutande räta linjer och M-diagram begränsas av kvadratiska paraboler. Samtidigt, om vi bygger diagrammet M "på en sträckt fiber", då konvexiteten för pa-

arbetet kommer att riktas i aktionsriktningen q, och extremumet kommer att placeras i den sektion där plotten Q skär baslinjen;

c - i sektioner där en koncentrerad kraft appliceras på balken, på Q-diagrammet kommer det att finnas hopp med värdet och i riktningen för denna kraft, och på M-diagrammet finns det kinks, spetsen riktad i riktning mot denna tvinga; d - i sektioner där ett koncentrerat moment appliceras på balken på tomten

det kommer inte att ske några förändringar i re Q, och på diagrammet M kommer det att finnas hopp med värdet av detta ögonblick; e - i områden där Q > 0, ögonblicket M ökar, och i områden där Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normala spänningar vid ren böjning av en rak balk

Låt oss betrakta fallet med en ren plan böjning av en balk och härleda en formel för att bestämma normalspänningarna för detta fall. Observera att i elasticitetsteorin är det möjligt att erhålla ett exakt beroende för normala spänningar i ren böjning, men om detta problem löses med metoderna för motstånd av material, är det nödvändigt att införa några antaganden.

Det finns tre sådana hypoteser för böjning:

a – platt sektionshypotes (Bernoullis hypotes)

- plana sektioner före deformation förblir plana efter deformation, men roterar endast i förhållande till en viss linje, som kallas balksektionens neutrala axel. I detta fall kommer strålens fibrer, som ligger på ena sidan av den neutrala axeln, att sträckas och på den andra komprimeras; fibrer som ligger på den neutrala axeln ändrar inte sin längd;

b - hypotesen om konstansen hos normala spänningar

nii - spänningar som verkar på samma avstånd y från den neutrala axeln är konstanta över strålens bredd;

c – hypotes om frånvaron av sidotryck –

grå längsgående fibrer trycker inte på varandra.

En böj är en typ av deformation där balkens längdaxel är böjd. Raka balkar som arbetar med böjning kallas balkar. En rak böj är en böj där de yttre krafterna som verkar på balken ligger i samma plan (kraftplan) som passerar genom balkens längdaxel och tvärsnittets huvudtröghetsaxel.

Böjen kallas ren, om endast ett böjmoment inträffar i något tvärsnitt av balken.

Böjning, där ett böjmoment och en tvärkraft samtidigt verkar i balkens tvärsnitt, kallas tvärgående. Skärningslinjen mellan kraftplanet och tvärsnittsplanet kallas kraftlinje.

Interna kraftfaktorer vid balkböjning.

Vid en platt tvärböjning i balksektionerna uppstår två inre kraftfaktorer: tvärkraften Q och böjmomentet M. Sektionsmetoden används för att bestämma dem (se föreläsning 1). Tvärkraften Q i balksektionen är lika med den algebraiska summan av projektionerna på snittplanet av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av den aktuella sektionen.

Teckenregel för skjuvkrafter Q:

Böjmomentet M i balksektionen är lika med den algebraiska summan av momenten kring tyngdpunkten för denna sektion av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av den aktuella sektionen.

Teckenregel för böjmoment M:

Zhuravskys differentiella beroenden.

Mellan intensiteten q för den fördelade lasten, uttrycken för tvärkraften Q och böjmomentet M, fastställs differentiella beroenden:

Baserat på dessa beroenden kan följande allmänna mönster av diagram av tvärkrafter Q och böjmoment M urskiljas:

Egenskaper hos diagram över inre kraftfaktorer vid böjning.

1. På den sektion av balken där det inte finns någon fördelad belastning presenteras plotten Q rak linje , parallellt med basen av diagrammet, och diagrammet M är en lutande rät linje (fig. a).

2. I avsnittet där den koncentrerade kraften appliceras ska det finnas på Q-diagrammet hoppa , lika med värdet av denna kraft, och på diagrammet M - brytpunkt (Fig. a).

3. I avsnittet där ett koncentrerat moment appliceras ändras inte värdet på Q, och diagrammet M har hoppa , lika med värdet av detta moment, (fig. 26, b).

4. I sektionen av strålen med en fördelad intensitetsbelastning q ändras diagrammet Q enligt en linjär lag, och diagrammet M - enligt en parabolisk, och parabelns konvexitet är riktad mot den fördelade lastens riktning (Fig. c, d).

5. Om Q inom diagrammets karakteristiska sektion skär diagrammets bas, så har böjmomentet i sektionen där Q = 0 ett extremvärde M max eller M min (fig. d).

Normala böjspänningar.

Bestäms av formeln:

Momentet för motståndet för sektionen mot böjning är värdet:

Farligt avsnitt vid böjning kallas tvärsnittet av balken, i vilken den maximala normala spänningen uppstår.

Tangentialspänningar vid direkt böjning.

Bestämt av Zhuravskys formel för skjuvspänningar vid direkt balkböjning:

där S ots - statiskt moment för det tvärgående området av det avskurna lagret av längsgående fibrer i förhållande till den neutrala linjen.

Böjhållfasthetsberäkningar.

1. På verifieringsberäkning den maximala konstruktionsspänningen bestäms, vilken jämförs med den tillåtna spänningen:

2. På konstruktionsberäkning valet av balksektionen görs från tillståndet:

3. Vid bestämning av den tillåtna belastningen bestäms det tillåtna böjningsmomentet från tillståndet:

Böjningsrörelser.

Under verkan av en böjningsbelastning böjs balkens axel. I det här fallet finns det en sträckning av fibrerna på den konvexa och kompressionen - på de konkava delarna av balken. Dessutom finns det en vertikal rörelse av tvärsnittens tyngdpunkter och deras rotation i förhållande till den neutrala axeln. För att karakterisera böjningsdeformationen används följande begrepp:

Strålavböjning Y- förskjutning av tyngdpunkten för balkens tvärsnitt i riktning vinkelrät mot dess axel.

Avböjningen anses vara positiv om tyngdpunkten rör sig uppåt. Mängden avböjning varierar längs balkens längd, dvs. y=y(z)

Sektionens rotationsvinkel- vinkeln θ med vilken varje sektion roteras i förhållande till dess ursprungliga position. Rotationsvinkeln anses vara positiv när sektionen roteras moturs. Värdet på rotationsvinkeln varierar längs strålens längd, vilket är en funktion av θ = θ (z).

Det vanligaste sättet att bestämma förskjutningar är metoden mora och Vereshchagins regel.

Mohr-metoden.

Förfarandet för att bestämma förskjutningar enligt Mohr-metoden:

1. Ett "hjälpsystem" byggs och belastas med en enda last vid den punkt där förskjutningen ska bestämmas. Om en linjär förskjutning bestäms, appliceras en enhetskraft i dess riktning, vid bestämning av vinkelförskjutningar appliceras ett enhetsmoment.

2. För varje sektion av systemet registreras uttrycken av böjmomenten Mf från den applicerade lasten och M 1 - från en enda last.

3. Mohr-integraler beräknas och summeras över alla sektioner av systemet, vilket resulterar i den önskade förskjutningen:

4. Om den beräknade förskjutningen har ett positivt tecken betyder detta att dess riktning sammanfaller med enhetskraftens riktning. Det negativa tecknet indikerar att den faktiska förskjutningen är motsatt riktningen för enhetskraften.

Vereshchagins regel.

För fallet när diagrammet över böjmoment från en given last har en godtycklig, och från en enda last - en rätlinjig kontur, är det bekvämt att använda den grafisk-analytiska metoden, eller Vereshchagins regel.

där A f är arean av diagrammet över böjmomentet Mf från en given last; y c är ordinatan för diagrammet från en enda last under tyngdpunkten för diagrammet M f ; EI x - balksektionens styvhet. Beräkningar enligt denna formel görs av sektioner, på vilka det rätlinjiga diagrammet måste vara utan brott. Värdet (A f *y c) anses positivt om båda diagrammen är placerade på samma sida av balken, negativt om de är placerade på motsatta sidor. Ett positivt resultat av multiplikation av diagram betyder att rörelseriktningen sammanfaller med riktningen för en enhetskraft (eller moment). Ett komplext diagram M f måste delas upp i enkla figurer (den så kallade "rena skiktningen" används), för var och en av dem är det lätt att bestämma tyngdpunktens ordinata. I det här fallet multipliceras arean för varje figur med ordinatan under dess tyngdpunkt.

böja kallas stavens deformation, åtföljd av en förändring i krökningen av dess axel. En stav som böjs kallas stråle.

Beroende på metoderna för att applicera belastningen och metoderna för att fixera stången kan olika typer av böjning förekomma.

Om endast ett böjmoment uppstår under inverkan av en belastning i stångens tvärsnitt, kallas böjningen rena.

Om i tvärsnitt, tillsammans med böjmoment, också tvärkrafter uppstår, kallas böjning tvärgående.

Om de yttre krafterna ligger i ett plan som går genom en av huvudaxlarna i stångens tvärsnitt kallas böjningen enkel eller platt. I detta fall ligger lasten och den deformerbara axeln i samma plan (fig. 1).

Ris. ett

För att balken ska kunna ta lasten i planet måste den fixeras med hjälp av stöd: gångjärns-rörlig, gångjärnsfixerad, inbäddning.

Strålen måste vara geometriskt oföränderlig, medan minsta antal anslutningar är 3. Ett exempel på ett geometriskt variabelt system visas i Fig. 2a. Ett exempel på geometriskt oföränderliga system är fig. 2b, c.

a B C)

Reaktioner uppstår i bärarna, vilka bestäms av statikens jämviktsförhållanden. Reaktionerna i stöden är yttre belastningar.

Inre böjkrafter

En stång belastad med krafter vinkelrät mot balkens längdaxel upplever en platt böj (fig. 3). Det finns två inre krafter i tvärsnitten: skjuvkraft Q y och böjmoment Mz.

Inre krafter bestäms av snittmetoden. På distans x från punkten MEN med ett plan vinkelrätt mot X-axeln skärs stången i två sektioner. En av balkens delar kasseras. Samverkan mellan balkdelarna ersätts av inre krafter: böjmoment Mz och tvärkraft Q y(Fig. 4).

Inhemska insatser Mz och Q y in i tvärsnittet bestäms från jämviktsförhållandena.

En jämviktsekvation upprättas för delen FRÅN:

∑y = R A - P 1 - Q y \u003d 0.

Sedan Q y = R A – P1.

Slutsats. Tvärkraften i varje sektion av balken är lika med den algebraiska summan av alla yttre krafter som ligger på ena sidan av den ritade sektionen. Tvärkraften anses vara positiv om den roterar stången medurs runt snittpunkten.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – Mz = 0

Sedan Mz = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. Definition av reaktioner R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = RA ∙ e – P ∙ a = 0

2. Rita på den första delen 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = RA =; M z \u003d R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Ritning på den andra sektionen 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; Mz = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 Mz(0) = 0 x 2 = bMz(b) =

När man bygger Mz positiva koordinater kommer att plottas mot de sträckta fibrerna.

Kollar tomter

1. På tomten Q y diskontinuiteter kan bara finnas på platser där yttre krafter appliceras, och storleken på hoppet måste motsvara deras storlek.

+ = = P

2. På tomten Mz diskontinuiteter uppstår vid tillämpningspunkterna för koncentrerade moment och storleken på hoppet är lika med deras storlek.

Differentiella beroenden mellanM, Fochq

Mellan böjmomentet, tvärkraften och intensiteten hos den fördelade lasten etableras följande beroenden:

q = , Q y =

där q är intensiteten av den fördelade belastningen,

Kontrollera hållfastheten hos balkar vid böjning

För att bedöma stångens hållfasthet vid böjning och välja balksektionen används hållfasthetsförhållandena för normala spänningar.

Böjmomentet är det resulterande momentet av normala inre krafter fördelade över sektionen.

s = × y,

där s är normalspänningen vid vilken punkt som helst av tvärsnittet,

yär avståndet från sektionens tyngdpunkt till punkten,

Mz- böjmoment som verkar i sektionen,

Jzär stavens axiella tröghetsmoment.

För att säkerställa hållfastheten beräknas de maximala spänningarna som uppstår vid de punkter i sektionen som är längst bort från tyngdpunkten y = ymax

s max = × ymax,

= Wz och s max = .

Då har hållfasthetsvillkoret för normala spänningar formen:

s max = ≤ [s],

där [s] är den tillåtna dragspänningen.

En uppgift. Bygg diagram Q och M för en statiskt obestämd stråle. Vi beräknar balkarna enligt formeln:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Stråle en gångär statiskt obestämd, vilket betyder ett av reaktioner är "extra" okänd. För det "extra" okända kommer vi att ta reaktionen från supporten PÅ — R B.

En statiskt bestämd stråle, som erhålls från den givna genom att ta bort den "extra" anslutningen kallas huvudsystemet (b).

Nu ska detta system presenteras likvärdig given. För att göra detta, ladda huvudsystemet given belastning och vid punkten PÅ tillämpa "extra" reaktion R B(ris. i).

Men för likvärdighet detta inte tillräckligt, eftersom i en sådan stråle spetsen PÅ kanske flytta vertikalt, och i en given stråle (Fig. a ) detta kan inte hända. Därför lägger vi till skick, Vad avböjning t. PÅ i huvudsystemet måste vara lika med 0. Avböjning t. PÅ består av avböjning från den verkande lasten Δ F och från avböjning från den "extra" reaktionen Δ R.

Sedan komponerar vi förskjutningskompatibilitetsvillkor:

Δ F + Δ R=0 (1)

Nu återstår att räkna ut dessa rörelser (avböjningar).

Läser in grundläggande systemet given belastning(ris .G) och bygga lastdiagramM F (ris. d ).

PÅ t. PÅ applicera och bygga ep. (ris. igelkott ).

Med Simpson-formeln definierar vi lastavböjning.

Låt oss nu definiera avböjning från verkan av "extra" reaktion R B , för detta laddar vi huvudsystemet R B (ris. h ) och rita upp ögonblicken från dess handling HERR (ris. och ).

Komponera och bestäm ekvation (1):

Låt oss bygga ep. F och M (ris. till mig ).

Bygga ett diagram F.

Låt oss bygga en tomt M metod karakteristiska punkter. Vi arrangerar punkter på strålen - det här är punkterna i början och slutet av strålen ( D,A ), koncentrerat ögonblick ( B ), och notera också som en karakteristisk punkt mitten av en jämnt fördelad last ( K ) är en ytterligare punkt för att konstruera en parabolisk kurva.

Bestäm böjmoment vid punkter. Regel för tecken centimeter. - .

Ögonblicket in PÅ kommer att definieras enligt följande. Låt oss först definiera:

Punkt Till låt oss ta in mitten område med jämnt fördelad last.

Bygga ett diagram M . Komplott AB – parabolisk kurva(regeln för "paraply"), tomt BD – rak sned linje.

För en balk, bestäm stödreaktionerna och rita böjmomentdiagram ( M) och skjuvkrafter ( F).

1. Vi utser stödjer brev MEN och PÅ och styra stödreaktionerna R A och R B .

Sammanställning jämviktsekvationer.

Undersökning

Skriv ner värdena R A och R B på beräkningsschema.

2. Ritning tvärkrafter metod sektioner. Vi placerar sektionerna på karaktäristiska områden(mellan byten). Enligt dimensionsgängan - 4 sektioner, 4 sektioner.

sek. 1-1 flytta vänster.

Sektionen går genom sektionen med jämnt fördelad last, notera storleken z 1 till vänster om avsnittet före början av avsnittet. Tomtlängd 2 m. Regel för tecken för F - centimeter.

Vi bygger på det funna värdet diagramF.

sek. 2-2 flytta höger.

Sektionen går igen genom området med en jämnt fördelad belastning, notera storleken z 2 till höger om avsnittet till början av avsnittet. Tomtlängd 6 m.

Bygga ett diagram F.

sek. 3-3 flytta höger.

sek. 4-4 flytta till höger.

Vi bygger diagramF.

3. Konstruktion diagram M metod karakteristiska punkter.

karakteristisk punkt- en punkt, någon märkbar på strålen. Det här är prickarna MEN, PÅ, FRÅN, D , liksom poängen Till , vart i F=0 och böjmomentet har ett extremum. Också i mitten konsolen sätta en extra punkt E, eftersom i detta område under en jämnt fördelad belastning diagrammet M beskrivs krokig linje, och den byggs åtminstone enl 3 poäng.

Så, punkterna är placerade, vi fortsätter att bestämma värdena i dem böjmoment. Teckenregel - se..

Tomter NA, AD – parabolisk kurva(paraplyregeln för mekaniska specialiteter eller "segelregeln" för konstruktion), avsnitt DC, SW – raka lutande linjer.

Ögonblick vid en punkt D bör fastställas både vänster och höger från punkten D . Själva ögonblicket i dessa uttryck Utesluten. Vid punkten D vi får två värden från skillnad med beloppet m – hoppa till dess storlek.

Nu måste vi bestämma ögonblicket vid punkten Till (F=0). Men först definierar vi punktposition Till , betecknar avståndet från det till början av avsnittet med det okända X .

T. Till tillhör andra karakteristiskt område, skjuvkraftsekvationen(se ovan)

Men tvärkraften i t. Till är lika med 0 , a z 2 är lika med okänd X .

Vi får ekvationen:

Vet nu X, bestämma ögonblicket vid en punkt Till på höger sida.

Bygga ett diagram M . Konstruktionen är genomförbar för mekanisk specialiteter, skjuta upp positiva värden upp från nollraden och med hjälp av "paraply"-regeln.

För ett givet schema för en fribärande balk krävs det att diagrammen över tvärkraften Q och böjningsmomentet M ritas, utför en designberäkning genom att välja en cirkulär sektion.

Material - trä, designbeständighet hos materialet R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Det finns två sätt att bygga diagram i en fribärande balk med styv avslutning - det vanliga, efter att ha bestämt stödreaktionerna tidigare, och utan att bestämma stödreaktionerna, om vi tar hänsyn till sektionerna, går från den fria änden av balken och kasserar vänster del med uppsägningen. Låt oss bygga diagram vanlig sätt.

1. Definiera stödreaktioner.

Jämnt fördelad belastning q ersätt den villkorliga kraften Q=q 0,84=6,72 kN

I en stel inbäddning finns det tre stödreaktioner - vertikal, horisontell och moment, i vårt fall är den horisontella reaktionen 0.

Låt oss hitta vertikal stödreaktion R A och referensmoment M A från jämviktsekvationerna.

I de två första sektionerna till höger finns ingen tvärkraft. I början av en sektion med jämnt fördelad last (höger) Q=0, i ryggen - storleken på reaktionen R.A.
3. För att bygga kommer vi att komponera uttryck för deras definition på sektioner. Vi plottar momentdiagrammet på fibrerna, d.v.s. långt ner.

(handlingen av enstaka ögonblick har redan byggts tidigare)

Vi löser ekvation (1), reducerar med EI

Statisk obestämdhet avslöjad, hittas värdet av den "extra" reaktionen. Du kan börja rita Q- och M-diagram för en statiskt obestämd stråle... Vi skissar det givna strålschemat och anger reaktionsvärdet Rb. I denna stråle kan reaktionerna i avslutningen inte fastställas om du går till höger.

Byggnad tomter Q för en statiskt obestämd stråle

Handling Q.

Plotter M

Vi definierar M vid punkten av extremum - vid punkten Till. Låt oss först definiera dess position. Vi betecknar avståndet till det som okänt " X". Sedan

Vi planerar M.

Bestämning av skjuvspänningar i en I-sektion. Tänk på avsnittet Jag strålar. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

För att bestämma skjuvspänningen används den formel, där Q är tvärkraften i snittet, S x 0 är det statiska momentet för den del av tvärsnittet som ligger på ena sidan av skiktet där skjuvspänningar bestäms, I x är tröghetsmomentet för hela tvärsnittet sektion, b är sektionens bredd på den plats där skjuvspänningen bestäms

Beräkna maximal skjuvspänning:

Låt oss beräkna det statiska momentet för översta hyllan:

Låt oss nu räkna skjuvspänningar:

Vi bygger skjuvspänningsdiagram:

Design och verifieringsberäkningar. För en balk med inbyggda diagram av inre krafter, välj en sektion i form av två kanaler från hållfasthetsförhållandet i form av normala spänningar. Kontrollera strålstyrkan med hjälp av skjuvhållfasthetsvillkoret och energihållfasthetskriteriet. Given:

Låt oss visa en balk med konstruerade tomterna Q och M

Enligt diagrammet över böjmoment är det farliga avsnitt C, vart i M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Styrkekondition för normala påfrestningar ty denna balk har formen σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Det är nödvändigt att välja en sektion från två kanaler.

Bestäm det beräknade värdet som krävs axiell sektionsmodul:

För en sektion i form av två kanaler, enligt acceptera två kanaler №20a, tröghetsmomentet för varje kanal I x =1670cm 4, då axiellt motståndsmoment för hela sektionen:

Överspänning (underspänning) vid farliga punkter räknar vi enligt formeln: Då får vi underspänning:

Låt oss nu kontrollera strålens styrka, baserat på hållfasthetsförhållanden för skjuvspänningar. Enligt diagram över skjuvkrafter farligär avsnitt i avsnitt BC och avsnitt D. Som framgår av diagrammet, Q max \u003d 48,9 kN.

Hållfasthetsvillkor för skjuvspänningar ser ut som:

För kanal nr 20 a: statiskt areamoment S x 1 \u003d 95,9 cm 3, tröghetsmoment för sektion I x 1 \u003d 1670 cm 4, väggtjocklek d 1 \u003d 5,2 mm, genomsnittlig hylltjocklek t 1 \u003d 9,7 mm , kanalhöjd h 1 \u003d 20 cm, hyllbredd b 1 \u003d 8 cm.

För tvärgående sektioner av två kanaler:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Bestämma värdet maximal skjuvspänning:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Som sett, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

Följaktligen, styrkevillkoret är uppfyllt.

Vi kontrollerar strålens styrka enligt energikriteriet.

Av hänsyn diagram Q och M följer det avsnitt C är farligt, i vilken M C = M max = 48,3 kNm och Q C = Q max = 48,9 kN.

Låt oss spendera analys av spänningstillståndet vid punkterna i avsnitt С

Låt oss definiera normal- och skjuvspänningar på flera nivåer (markerade på sektionsdiagrammet)

Nivå 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normal och tangent Spänning:

Main Spänning:

Nivå 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Huvudbelastningar:

Nivå 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudbelastningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 4-4: y 4-4 =0.

(i mitten är normalspänningarna lika med noll, tangentiella spänningar är maximala, de hittades i hållfasthetstestet för tangentiella spänningar)

Huvudbelastningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 5-5:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudbelastningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 6-6:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudbelastningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 7-7:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudbelastningar:

Extrema skjuvspänningar:

Enligt utförda beräkningar spänningsdiagram σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max och τ min presenteras i fig.

Analys dessa diagram visar, som är i tvärsnittet av balken farliga poäng är på nivå 3-3 (eller 5-5), i vilken:

Använder sig av energikriterium för styrka, vi får

Av en jämförelse av ekvivalenta och tillåtna spänningar följer att även hållfasthetsvillkoret är uppfyllt

(135,3 MPa<150 МПа).

Den kontinuerliga balken belastas i alla spann. Bygg diagram Q och M för en kontinuerlig stråle.

1. Definiera grad av statisk osäkerhet strålar enligt formeln:

n= Sop -3= 5-3 =2, var Sop - antalet okända reaktioner, 3 - antalet statiska ekvationer. För att lösa denna stråle krävs det ytterligare två ekvationer.

2. Beteckna tal stöder med noll i ordning ( 0,1,2,3 )

3. Beteckna span nummer från den första i ordning ( v 1, v 2, v 3)

4. Varje span anses som enkel stråle och bygg diagram för varje enkel stråle Q och M. Vad gäller enkel stråle, kommer vi att beteckna med index "0", som hänvisar till kontinuerlig stråle, kommer vi att beteckna utan detta index. Sålunda är tvärkraften och böjmomentet för en enkel stråle.