Vem vet hela talet pi. Beräknar värdet av pi

Förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter är detsamma för alla cirklar. Detta förhållande betecknas vanligtvis med den grekiska bokstaven ("pi" - den första bokstaven i det grekiska ordet , vilket betydde "cirkel").

Arkimedes, i sitt arbete "Measurement of a Circle", beräknade förhållandet mellan omkretsen och diametern (talet) och fann att det var mellan 3 10/71 och 3 1/7.

Länge användes siffran 22/7 som ett ungefärligt värde, även om man redan på 400-talet i Kina hittade ungefärligen 355/113 = 3,1415929... som återupptäcktes i Europa först på 1500-talet.

I det antika Indien ansågs det lika med = 3,1622….

Den franske matematikern F. Viète beräknade 1579 med 9 siffror.

Den holländska matematikern Ludolf Van Zeijlen publicerade 1596 resultatet av sitt tioåriga arbete - talet beräknat med 32 siffror.

Men alla dessa förtydliganden av numrets betydelse utfördes med metoder som indikerade av Archimedes: cirkeln ersattes av en polygon med ett ökande antal sidor. Omkretsen av den inskrivna polygonen var mindre än cirkelns omkrets, och omkretsen av den omskrivna polygonen var större. Men samtidigt förblev det oklart om talet var rationellt, det vill säga förhållandet mellan två heltal, eller irrationellt.

Först 1767 gjorde den tyske matematikern I.G. Lambert bevisade att siffran är irrationell.

Och mer än hundra år senare, 1882, bevisade en annan tysk matematiker, F. Lindemann, sin transcendens, vilket innebar omöjligheten att konstruera en kvadrat lika stor som en given cirkel med hjälp av en kompass och en linjal.

Det enklaste måttet

Rita en cirkel med diameter på tjock kartong d(=15 cm), skär ut den resulterande cirkeln och linda en tunn tråd runt den. Mäter längden l(=46,5 cm) ett helt varv av tråden, dela l per diameterlängd d cirklar. Den resulterande kvoten blir ett ungefärligt värde på talet, dvs. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Denna ganska grova metod ger, under normala förhållanden, ett ungefärligt värde på talet exakt till 1.

Mätning genom vägning

Rita en fyrkant på en bit kartong. Låt oss skriva en cirkel i den. Låt oss skära ut en kvadrat. Låt oss bestämma massan av en kartongruta med hjälp av skolvågar. Låt oss skära en cirkel ur kvadraten. Låt oss väga honom också. Att känna till torgets massor m kv. (=10 g) och cirkeln inskriven i den m cr (=7,8 g) låt oss använda formlerna

där p och h– densitet respektive tjocklek av kartong, S– arean av figuren. Låt oss överväga jämlikheterna:

Naturligtvis beror det ungefärliga värdet i detta fall på vägningsnoggrannheten. Om kartongsiffrorna som vägs är ganska stora, är det även på vanliga vågar möjligt att erhålla sådana massvärden som säkerställer approximationen av antalet med en noggrannhet på 0,1.

Summera områdena av rektanglar inskrivna i en halvcirkel

Bild 1

Låt A (a; 0), B (b; 0). Låt oss beskriva halvcirkeln på AB som en diameter. Dela segmentet AB i n lika delar med punkter x 1, x 2, ..., x n-1 och återställ vinkelräta från dem till skärningen med halvcirkeln. Längden på varje sådan vinkelrät är värdet på funktionen f(x)=. Från figur 1 är det tydligt att arean S av en halvcirkel kan beräknas med hjälp av formeln

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

I vårat fall b=1, a=-1. Sedan = 2 S.

Ju fler delningspunkter det finns på segment AB, desto mer exakta blir värdena. För att underlätta monotont datorarbete kommer en dator att hjälpa, för vilket program 1, kompilerat i BASIC, ges nedan.

Program 1

REM "Pi-beräkning"
REM "Rektangelmetod"
INPUT "Ange antalet rektanglar", n
dx = 1/n
FÖR i = 0 TILL n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
NÄSTA i
p = 4 * dx * a
SKRIV UT "Värdet på pi är", sid
SLUTET

Programmet skrevs och startade med olika parametervärden n. De resulterande talvärdena skrivs i tabellen:

Monte Carlo metoden

Detta är faktiskt en statistisk testmetod. Det har fått sitt exotiska namn från staden Monte Carlo i Monaco, känd för sina spelhus. Faktum är att metoden kräver användning av slumptal, och en av de enklaste enheterna som genererar slumptal är en roulette. Däremot kan du få slumpmässiga siffror med...regn.

För experimentet, låt oss förbereda en bit kartong, rita en kvadrat på den och skriva in en fjärdedel av en cirkel i kvadraten. Om en sådan ritning hålls i regnet under en tid, kommer spår av droppar att finnas kvar på ytan. Låt oss räkna antalet spår inuti kvadraten och innanför kvartscirkeln. Uppenbarligen kommer deras förhållande att vara ungefär lika med förhållandet mellan områdena i dessa figurer, eftersom droppar kommer att falla på olika platser i ritningen med lika stor sannolikhet. Låta N cr– antal droppar i en cirkel, N kvmär antalet droppar i kvadrat, alltså

4 N cr / N sq.

figur 2

Regn kan ersättas med en tabell med slumptal, som sammanställs med hjälp av en dator med ett speciellt program. Låt oss tilldela två slumpmässiga nummer till varje spår av en droppe, som karakteriserar dess position längs axlarna Åh Och OU. Slumptal kan väljas från tabellen i valfri ordning, till exempel i en rad. Låt det första fyrsiffriga numret i tabellen 3265 . Från den kan du förbereda ett par nummer, som vart och ett är större än noll och mindre än ett: x=0,32, y=0,65. Vi kommer att betrakta dessa siffror som koordinaterna för fallet, det vill säga fallet verkar ha träffat punkten (0,32; 0,65). Vi gör samma sak med alla valda slumptal. Om det visar sig att för poängen (x;y) Om ojämlikheten håller, så ligger den utanför cirkeln. Om x + y = 1, då ligger punkten innanför cirkeln.

För att beräkna värdet använder vi återigen formel (1). Beräkningsfelet med denna metod är vanligtvis proportionellt mot , där D är en konstant och N är antalet tester. I vårt fall N = N sq. Från denna formel är det tydligt: ​​för att minska felet med 10 gånger (med andra ord, för att få en annan korrekt decimal i svaret), måste du öka N, det vill säga mängden arbete, med 100 gånger. Det är tydligt att användningen av Monte Carlo-metoden endast möjliggjordes tack vare datorer. Program 2 implementerar den beskrivna metoden på en dator.

Program 2

REM "Pi-beräkning"
REM "Monte Carlo Method"
INPUT "Ange antal droppar", n
m = 0
FÖR i = 1 TILL n
t = INT(RND(1) * 10 000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
OM x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
NÄSTA i
p=4*m/n

SLUTET

Programmet skrevs och lanserades med olika värden på parametern n. De resulterande talvärdena skrivs i tabellen:

n
n

Tappa nål metod

Låt oss ta en vanlig synål och ett pappersark. Vi kommer att rita flera parallella linjer på arket så att avstånden mellan dem är lika och överstiger nålens längd. Ritningen måste vara tillräckligt stor så att en av misstag slungad nål inte faller utanför dess gränser. Låt oss presentera följande notation: A- avstånd mellan linjer, l– nållängd.

Figur 3

Placeringen av en nål som slumpmässigt kastas på ritningen (se fig. 3) bestäms av avståndet X från dess mitt till närmaste räta linje och vinkeln j som nålen gör med vinkelrät sänkt från mitten av nålen till närmaste räta linje (se fig. 4). Det är klart det

Figur 4

I fig. 5 låt oss grafiskt representera funktionen y=0,5cos. Alla möjliga nålplatser kännetecknas av punkter med koordinater (; y ), som finns på avsnitt ABCD. Det skuggade området på AED:n är de punkter som motsvarar fallet där nålen skär en rak linje. Sannolikhet för händelse a– ”nålen har korsat en rät linje” – beräknas med formeln:

Bild 5

Sannolikhet p(a) kan ungefär bestämmas genom att upprepade gånger kasta nålen. Låt nålen kastas på ritningen c en gång och sid eftersom den föll när den korsade en av de raka linjerna, då med en tillräckligt stor c vi har p(a) = p/c. Härifrån = 2 l s/a k.

Kommentar. Den presenterade metoden är en variant av den statistiska testmetoden. Det är intressant ur en didaktisk synvinkel, eftersom det hjälper till att kombinera enkel erfarenhet med skapandet av en ganska komplex matematisk modell.

Beräkning med Taylor-serien

Låt oss övergå till övervägandet av en godtycklig funktion f(x). Låt oss anta det för henne vid det här laget x 0 det finns derivator av alla beställningar upp till n th inklusive. Sedan för funktionen f(x) vi kan skriva Taylor-serien:

Beräkningar med denna serie blir mer exakta ju fler medlemmar i serien är inblandade. Det är naturligtvis bäst att implementera denna metod på en dator, för vilken du kan använda program 3.

Program 3

REM "Pi-beräkning"
REM "Taylor-seriens expansion"
INPUT n
a = 1
FÖR i = 1 TILL n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
NÄSTA i
p = 4 * a
PRINT "värdet av pi är lika med"; sid
SLUTET

Programmet skrevs och kördes med olika värden på parametern n. De resulterande talvärdena skrivs i tabellen:

Det finns mycket enkla mnemoniska regler för att komma ihåg betydelsen av ett nummer:

Matematikentusiaster runt om i världen äter en bit paj varje år den fjortonde mars – det är trots allt dagen för Pi, det mest kända irrationella talet. Detta datum är direkt relaterat till numret vars första siffror är 3,14. Pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Eftersom det är irrationellt är det omöjligt att skriva det som ett bråk. Detta är en oändligt lång siffra. Den upptäcktes för tusentals år sedan och har ständigt studerats sedan dess, men har Pi fortfarande några hemligheter? Från forntida ursprung till en osäker framtid, här är några av de mest intressanta fakta om Pi.

Att memorera Pi

Rekordet för att memorera decimaltal tillhör Rajvir Meena från Indien, som lyckades komma ihåg 70 000 siffror – han satte rekordet den 21 mars 2015. Tidigare var rekordhållaren Chao Lu från Kina, som lyckades komma ihåg 67 890 siffror - detta rekord sattes 2005. Den inofficiella rekordhållaren är Akira Haraguchi, som spelade in sig själv på video som upprepade 100 000 siffror 2005 och nyligen publicerade en video där han lyckas komma ihåg 117 000 siffror. Rekordet skulle bli officiellt endast om den här videon spelades in i närvaro av en representant för Guinness Book of Records, och utan bekräftelse förblir det bara ett imponerande faktum, men anses inte vara en prestation. Matematikentusiaster älskar att memorera talet Pi. Många använder olika mnemoniska tekniker, till exempel poesi, där antalet bokstäver i varje ord matchar siffrorna i Pi. Varje språk har sina egna versioner av liknande fraser som hjälper dig att komma ihåg både de första siffrorna och hela hundra.

Det finns ett Pi-språk

Matematiker, passionerade för litteratur, uppfann en dialekt där antalet bokstäver i alla ord motsvarar siffrorna i Pi i exakt ordning. Författaren Mike Keith skrev till och med en bok, Not a Wake, som är helt skriven i Pi. Entusiaster av sådan kreativitet skriver sina verk i full överensstämmelse med antalet bokstäver och betydelsen av siffror. Detta har ingen praktisk tillämpning, men är ett ganska vanligt och välkänt fenomen i kretsar av entusiastiska forskare.

Exponentiell tillväxt

Pi är ett oändligt tal, så per definition kommer människor aldrig att kunna fastställa de exakta siffrorna i detta nummer. Antalet decimaler har dock ökat kraftigt sedan Pi först användes. Babylonierna använde det också, men en bråkdel av tre hela och en åttondel räckte för dem. Kineserna och skaparna av Gamla testamentet var helt begränsade till tre. År 1665 hade Sir Isaac Newton beräknat de 16 siffrorna i Pi. År 1719 hade den franske matematikern Tom Fante de Lagny beräknat 127 siffror. Tillkomsten av datorer har radikalt förbättrat mänsklig kunskap om Pi. Från 1949 till 1967 höjde antalet siffror som människan känner till från 2 037 till 500 000. För inte så länge sedan kunde Peter Trueb, en vetenskapsman från Schweiz, beräkna 2,24 biljoner siffror av Pi! Det tog 105 dagar. Detta är naturligtvis inte gränsen. Det är troligt att med teknikens utveckling kommer det att vara möjligt att fastställa en ännu mer exakt siffra - eftersom Pi är oändlig finns det helt enkelt ingen gräns för noggrannheten, och endast de tekniska egenskaperna hos datorteknik kan begränsa den.

Beräknar Pi för hand

Om du vill hitta numret själv kan du använda den gammaldags tekniken - du behöver en linjal, en burk och lite snöre, eller så kan du använda en gradskiva och en penna. Nackdelen med att använda en burk är att den måste vara rund och noggrannheten avgörs av hur väl en person kan linda repet runt den. Du kan rita en cirkel med en gradskiva, men detta kräver också skicklighet och precision, eftersom en ojämn cirkel allvarligt kan förvränga dina mätningar. En mer exakt metod innebär att man använder geometri. Dela cirkeln i många segment, som en pizza i skivor, och beräkna sedan längden på en rät linje som skulle göra varje segment till en likbent triangel. Summan av sidorna ger det ungefärliga talet Pi. Ju fler segment du använder, desto mer exakt blir siffran. Naturligtvis kommer du inte i dina beräkningar att kunna komma i närheten av resultaten från en dator, men dessa enkla experiment låter dig förstå mer i detalj vad talet Pi är och hur det används i matematik.

Upptäckten av Pi

De gamla babylonierna visste om existensen av talet Pi redan för fyra tusen år sedan. Babyloniska tavlor beräknar Pi som 3,125, och en egyptisk matematisk papyrus visar talet 3,1605. I Bibeln anges Pi i den föråldrade längden av alnar, och den grekiske matematikern Archimedes använde Pythagoras sats, ett geometriskt förhållande mellan längden på sidorna av en triangel och arean av figurerna inom och utanför cirklarna, för att beskriva Pi. Således kan vi med tillförsikt säga att Pi är ett av de äldsta matematiska begreppen, även om det exakta namnet på detta nummer dök upp relativt nyligen.

Ny titt på Pi

Redan innan talet Pi började korreleras med cirklar, hade matematiker redan många sätt att ens namnge detta tal. Till exempel, i forntida matematikläroböcker kan man hitta en fras på latin som grovt kan översättas till "den kvantitet som visar längden när diametern multipliceras med den." Det irrationella talet blev känt när den schweiziska vetenskapsmannen Leonhard Euler använde det i sitt arbete med trigonometri 1737. Den grekiska symbolen för Pi användes dock fortfarande inte - detta hände bara i en bok av en mindre känd matematiker, William Jones. Han använde den redan 1706, men den gick länge obemärkt förbi. Med tiden antog forskare detta namn, och nu är det den mest kända versionen av namnet, även om det tidigare också kallades Ludolf-numret.

Är Pi ett normalt tal?

Pi är definitivt ett konstigt tal, men hur mycket följer det normala matematiska lagar? Forskare har redan löst många frågor relaterade till detta irrationella nummer, men några mysterier kvarstår. Det är till exempel inte känt hur ofta alla siffror används - siffrorna 0 till 9 ska användas i lika stora proportioner. Statistik kan dock spåras från de första biljonerna siffror, men på grund av att antalet är oändligt är det omöjligt att bevisa något säkert. Det finns andra problem som fortfarande undviker forskarna. Det är möjligt att ytterligare utveckling av vetenskapen kommer att bidra till att kasta ljus över dem, men för närvarande ligger det utanför räckvidden för mänsklig intelligens.

Pi låter gudomlig

Forskare kan inte svara på vissa frågor om talet Pi, men varje år förstår de dess väsen bättre och bättre. Redan på sjuttonhundratalet bevisades irrationaliteten i detta nummer. Dessutom har antalet visat sig vara transcendentalt. Det betyder att det inte finns någon specifik formel som gör att du kan beräkna Pi med hjälp av rationella tal.

Missnöje med siffran Pi

Många matematiker är helt enkelt förälskade i Pi, men det finns också de som tror att dessa siffror inte är särskilt signifikanta. Dessutom hävdar de att Tau, som är dubbelt så stor som Pi, är bekvämare att använda som ett irrationellt tal. Tau visar sambandet mellan omkrets och radie, vilket vissa menar representerar en mer logisk beräkningsmetod. Det är dock omöjligt att entydigt bestämma någonting i denna fråga, och det ena och det andra antalet kommer alltid att ha supportrar, båda metoderna har rätt till liv, så detta är bara ett intressant faktum och inte en anledning att tro att du inte borde använd talet Pi.

I många århundraden och till och med, konstigt nog, årtusenden, har människor förstått vikten och värdet för vetenskapen av en matematisk konstant som är lika med förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. talet Pi är fortfarande okänt, men de bästa matematikerna genom vår historia har varit involverade i det. De flesta av dem ville uttrycka det som ett rationellt tal.

1. Forskare och sanna fans av numret Pi har organiserat en klubb för att gå med som du behöver kunna utantill ett ganska stort antal av dess tecken.

2. Sedan 1988 har "Pi Day" firats, som infaller den 14 mars. De förbereder sallader, kakor, kakor och bakverk med hans bild.

3. Nummret Pi har redan satts till musik, och det låter ganska bra. Ett monument restes till och med för honom i Seattle, Amerika, framför stadens konstmuseum.

På den avlägsna tiden försökte de beräkna talet Pi med hjälp av geometri. Det faktum att detta nummer är konstant för en mängd olika cirklar var känt av geometrar i det antika Egypten, Babylon, Indien och antikens Grekland, som i sina verk uppgav att det bara var lite mer än tre.

I en av jainismens heliga böcker (en gammal indisk religion som uppstod på 600-talet f.Kr.) nämns att då ansågs talet Pi vara lika med kvadratroten ur tio, vilket i slutändan ger 3,162... .

Forntida grekiska matematiker mätte en cirkel genom att konstruera ett segment, men för att mäta en cirkel var de tvungna att konstruera en lika stor kvadrat, det vill säga en figur lika stor som den.

När decimalbråken ännu inte var kända, fann den store Arkimedes värdet av Pi med en noggrannhet på 99,9%. Han upptäckte en metod som blev grunden för många efterföljande beräkningar, att skriva in regelbundna polygoner i en cirkel och beskriva den runt den. Som ett resultat beräknade Archimedes värdet av Pi som förhållandet 22/7 ≈ 3,142857142857143.

I Kina, matematiker och hovastronom, Zu Chongzhi på 500-talet f.Kr. e. angav ett mer exakt värde för Pi, beräknade det med sju decimaler och bestämde dess värde mellan siffrorna 3, 1415926 och 3,1415927. Det tog forskare mer än 900 år att fortsätta denna digitala serie.

Medeltiden

Den berömda indiske vetenskapsmannen Madhava, som levde vid 1300-talets början till 1400-talet och blev grundaren av Keralas skola för astronomi och matematik, började för första gången i historien att arbeta med utbyggnaden av trigonometriska funktioner till serier. Det är sant att endast två av hans verk har överlevt, och endast referenser och citat från hans elever är kända för andra. Den vetenskapliga avhandlingen "Mahajyanayana", som tillskrivs Madhava, säger att talet Pi är 3,14159265359. Och i avhandlingen "Sadratnamala" anges ett nummer med ännu mer exakta decimaler: 3,14159265358979324. I de angivna siffrorna motsvarar de sista siffrorna inte det korrekta värdet.

På 1400-talet beräknade Samarkand-matematikern och astronomen Al-Kashi talet Pi med sexton decimaler. Hans resultat ansågs vara det mest exakta under de kommande 250 åren.

W. Johnson, en matematiker från England, var en av de första som betecknade förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter med bokstaven π. Pi är den första bokstaven i det grekiska ordet "περιφέρεια" - cirkel. Men denna beteckning lyckades bli allmänt accepterad först efter att den användes 1736 av den mer kända vetenskapsmannen L. Euler.

Slutsats

Moderna forskare fortsätter att arbeta med ytterligare beräkningar av värdena på Pi. Superdatorer används redan för detta. År 2011 beräknade en vetenskapsman från Shigeru Kondo, som samarbetade med en amerikansk student Alexander Yi, en sekvens på 10 biljoner siffror korrekt. Men det är fortfarande oklart vem som upptäckte talet Pi, som först tänkte på detta problem och gjorde de första beräkningarna av detta verkligen mystiska tal.

Nyligen på Habré, i en artikel, nämnde de frågan "Vad skulle hända med världen om talet Pi var lika med 4?" Jag bestämde mig för att fundera lite över detta ämne, med hjälp av en del (om än inte den mest omfattande) kunskapen inom relevanta matematikområden. Om någon är intresserad, se katt.

För att föreställa dig en sådan värld måste du matematiskt realisera ett utrymme med ett annat förhållande mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Det här är vad jag försökte göra.

Försök nr 1.

Låt oss genast säga att jag bara kommer att överväga tvådimensionella utrymmen. Varför? Eftersom cirkeln i själva verket definieras i tvådimensionellt utrymme (om vi betraktar dimensionen n>2, så kommer förhållandet mellan måttet på den (n-1)-dimensionella cirkeln och dess radie inte ens vara en konstant) .
Så till att börja med försökte jag komma på åtminstone ett utrymme där Pi inte är lika med 3,1415... För att göra detta tog jag ett metriskt utrymme med ett mått där avståndet mellan två punkter är lika med det maximala bland modulerna för koordinatskillnaden (dvs Chebyshev-avståndet).

Vilken form kommer enhetscirkeln att ha i detta utrymme? Låt oss ta punkten med koordinater (0,0) som centrum för denna cirkel. Då är uppsättningen punkter, avståndet (i betydelsen av ett givet mått) från vilket till mitten är 1, 4 segment parallella med koordinataxlarna, som bildar en kvadrat med sida 2 och centrum vid noll.

Ja, i någon metrik är det en cirkel!

Låt oss beräkna Pi här. Radien är lika med 1, då är diametern alltså lika med 2. Du kan också betrakta definitionen av diameter som det största avståndet mellan två punkter, men ändå är det lika med 2. Det återstår att hitta längden på vår "cirkel" i detta mått. Detta är summan av längderna av alla fyra segmenten, som i detta mått har längden max(0,2)=2. Det betyder att omkretsen är 4*2=8. Tja, då är Pi här lika med 8/2=4. Hände! Men ska vi vara väldigt glada? Detta resultat är praktiskt taget värdelöst, eftersom utrymmet i fråga är absolut abstrakt, vinklar och svängar är inte ens definierade i det. Kan du föreställa dig en värld där rotationen faktiskt inte är definierad, och där cirkeln är en kvadrat? Jag försökte, ärligt talat, men jag hade inte tillräckligt med fantasi.

Radien är 1, men det finns vissa svårigheter att hitta längden på denna "cirkel". Efter lite sökning på Internet kom jag till slutsatsen att i det pseudo-euklidiska rymden kan ett sådant begrepp som "Pi" inte definieras alls, vilket verkligen är dåligt.

Om någon i kommentarerna berättar för mig hur man formellt beräknar längden på en kurva i pseudo-euklidiskt rymd, blir jag väldigt glad, eftersom min kunskap om differentialgeometri, topologi (liksom flitig Googling) inte räckte till för detta.

Slutsatser:

Jag vet inte om det är möjligt att skriva om slutsatserna efter sådana korttidsstudier, men något kan sägas. Först, när jag försökte föreställa mig rymden med ett annat antal pi, insåg jag att det skulle vara för abstrakt för att vara en modell av den verkliga världen. För det andra, när om du försöker komma på en mer framgångsrik modell (liknande vår verkliga värld), visar det sig att talet Pi kommer att förbli oförändrat. Om vi ​​tar för givet möjligheten till ett negativt kvadratiskt avstånd (vilket för en vanlig person helt enkelt är absurt), så kommer Pi inte att definieras alls! Allt detta tyder på att en värld med ett annat nummer Pi kanske inte kunde existera alls? Det är inte för inte som universum är precis som det är. Eller så är det kanske på riktigt, men vanlig matematik, fysik och mänsklig fantasi räcker inte för detta. Vad tror du?

Uppd. Jag fick reda på det. Längden på en kurva i ett pseudo-euklidiskt utrymme kan endast bestämmas på några av dess euklidiska underrum. Det vill säga, i synnerhet för "omkretsen" som erhölls i försök N3, är ett sådant begrepp som "längd" inte alls definierat. Följaktligen kan Pi inte heller beräknas där.

Vad är Pi lika med? vi känner och minns från skolan. Det är lika med 3,1415926 och så vidare... Det räcker för en vanlig person att veta att detta tal erhålls genom att dividera en cirkels omkrets med dess diameter. Men många vet att talet Pi dyker upp i oväntade områden, inte bara inom matematik och geometri, utan också inom fysik. Tja, om du fördjupar dig i detaljerna om detta nummers karaktär kommer du att märka många överraskande saker bland den oändliga serien av nummer. Är det möjligt att Pi döljer universums djupaste hemligheter?

Oändligt antal

Själva talet Pi visas i vår värld som längden på en cirkel vars diameter är lika med en. Men trots att segmentet lika med Pi är ganska ändligt, börjar talet Pi som 3,1415926 och går till oändligheten i rader med tal som aldrig upprepas. Det första överraskande faktumet är att detta tal, som används i geometri, inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal. Du kan med andra ord inte skriva det som förhållandet mellan två tal a/b. Dessutom är talet Pi transcendentalt. Det betyder att det inte finns någon ekvation (polynom) med heltalskoefficienter vars lösning skulle vara talet Pi.

Att talet Pi är transcendentalt bevisades 1882 av den tyske matematikern von Lindemann. Det var detta bevis som blev svaret på frågan om det är möjligt, med hjälp av en kompass och en linjal, att rita en kvadrat vars area är lika med arean av en given cirkel. Detta problem är känt som sökandet efter att kvadrera en cirkel, vilket har oroat mänskligheten sedan urminnes tider. Det verkade som att detta problem hade en enkel lösning och var på väg att lösas. Men det var just den obegripliga egenskapen hos talet Pi som visade att det inte fanns någon lösning på problemet med att kvadrera cirkeln.

I minst fyra och ett halvt årtusende har mänskligheten försökt få ett allt mer exakt värde för Pi. Till exempel, i Bibeln i Tredje kungaboken (7:23), antas talet Pi vara 3.

Pi-värdet med anmärkningsvärd noggrannhet kan hittas i Giza-pyramiderna: förhållandet mellan pyramidernas omkrets och höjd är 22/7. Denna bråkdel ger ett ungefärligt värde på Pi lika med 3,142... Om inte, naturligtvis, egyptierna satte detta förhållande av misstag. Samma värde erhölls redan i förhållande till beräkningen av talet Pi på 300-talet f.Kr. av den store Arkimedes.

I Papyrus of Ahmes, en forntida egyptisk matematiklärobok som går tillbaka till 1650 f.Kr., beräknas Pi som 3,160493827.

I forntida indiska texter runt 900-talet f.Kr. uttrycktes det mest exakta värdet med siffran 339/108, vilket var lika med 3,1388...

I nästan två tusen år efter Arkimedes försökte människor hitta sätt att beräkna Pi. Bland dem fanns både kända och okända matematiker. Till exempel den romerske arkitekten Marcus Vitruvius Pollio, den egyptiske astronomen Claudius Ptolemaios, den kinesiske matematikern Liu Hui, den indiske vismannen Aryabhata, den medeltida matematikern Leonardo av Pisa, känd som Fibonacci, den arabiska vetenskapsmannen Al-Khwarizmi, från vars namn ordet ordet "algoritm" dök upp. Alla och många andra letade efter de mest exakta metoderna för att beräkna Pi, men fram till 1400-talet fick de aldrig mer än 10 decimaler på grund av beräkningarnas komplexitet.

Slutligen, år 1400, beräknade den indiske matematikern Madhava från Sangamagram Pi med en noggrannhet på 13 siffror (även om han fortfarande hade fel i de två sista).

Antal skyltar

På 1600-talet upptäckte Leibniz och Newton analysen av infinitesimala storheter, vilket gjorde det möjligt att beräkna Pi mer progressivt – genom potensserier och integraler. Newton räknade själv med 16 decimaler, men nämnde det inte i sina böcker – detta blev känt efter hans död. Newton hävdade att han beräknade Pi rent av tristess.

Ungefär samtidigt kom även andra mindre kända matematiker fram och föreslog nya formler för att beräkna talet Pi genom trigonometriska funktioner.

Till exempel är detta formeln som användes för att beräkna Pi av astronomiläraren John Machin 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Med hjälp av analytiska metoder härledde Machin talet Pi till hundra decimaler från denna formel.

Förresten, samma 1706 fick numret Pi en officiell beteckning i form av en grekisk bokstav: William Jones använde den i sitt arbete med matematik och tog den första bokstaven i det grekiska ordet "periferi", som betyder "cirkel". .” Den store Leonhard Euler, född 1707, populariserade denna beteckning, nu känd för alla skolbarn.

Före datorernas era fokuserade matematiker på att beräkna så många tecken som möjligt. I detta avseende uppstod ibland roliga saker. Amatörmatematikern W. Shanks beräknade 707 siffror i Pi 1875. Dessa sjuhundra skyltar förevigades på väggen i Palais des Discoverys i Paris 1937. Men nio år senare upptäckte observanta matematiker att endast de första 527 tecknen var korrekt beräknade. Museet fick dra på sig betydande utgifter för att rätta till felet – nu stämmer alla siffror.

När datorer dök upp började antalet siffror i Pi beräknas i helt ofattbara ordningsföljder.

En av de första elektroniska datorerna, ENIAC, skapad 1946, var enorm i storlek och genererade så mycket värme att rummet värmdes upp till 50 grader Celsius, beräknade de första 2037 siffrorna i Pi. Denna beräkning tog maskinen 70 timmar.

Allt eftersom datorerna förbättrades, flyttade vår kunskap om Pi längre och längre in i det oändliga. År 1958 beräknades 10 tusen siffror av antalet. 1987 beräknade japanerna 10 013 395 tecken. År 2011 överskred den japanska forskaren Shigeru Hondo 10 biljoner tecken.

Var annars kan du träffa Pi?

Så, ofta finns vår kunskap om talet Pi kvar på skolnivå, och vi vet med säkerhet att detta nummer är oersättligt främst i geometri.

Förutom formler för längden och arean av en cirkel, används talet Pi i formler för ellipser, sfärer, koner, cylindrar, ellipsoider och så vidare: på vissa ställen är formlerna enkla och lätta att komma ihåg, men i andra innehåller de mycket komplexa integraler.

Då kan vi möta talet Pi i matematiska formler, där geometrin vid första anblicken inte är synlig. Till exempel är den obestämda integralen av 1/(1-x^2) lika med Pi.

Pi används ofta i serieanalys. Till exempel, här är en enkel serie som konvergerar till Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Bland serierna dyker Pi mest oväntat upp i den berömda Riemann zeta-funktionen. Det är omöjligt att prata om det i ett nötskal, låt oss bara säga att en dag kommer talet Pi att hjälpa till att hitta en formel för att beräkna primtal.

Och helt överraskande: Pi förekommer i två av matematikens vackraste "kungliga" formler - Stirlings formel (som hjälper till att hitta det ungefärliga värdet av faktorial- och gammafunktionen) och Eulers formel (som förbinder så många som fem matematiska konstanter).

Men den mest oväntade upptäckten väntade matematiker inom sannolikhetsteorin. Siffran Pi finns också där.

Till exempel är sannolikheten att två tal kommer att vara relativt primtal 6/PI^2.

Pi förekommer i Buffons nålkastningsproblem, formulerat på 1700-talet: vad är sannolikheten att en nål som kastas på ett fodrat papper kommer att korsa en av linjerna. Om nålens längd är L, och avståndet mellan linjerna är L, och r > L, så kan vi ungefär beräkna värdet av Pi med hjälp av sannolikhetsformeln 2L/rPI. Föreställ dig bara - vi kan få Pi från slumpmässiga händelser. Och förresten, Pi är närvarande i den normala sannolikhetsfördelningen, visas i ekvationen för den berömda Gaussiska kurvan. Betyder detta att Pi är ännu mer fundamental än bara förhållandet mellan omkrets och diameter?

Vi kan också möta Pi i fysiken. Pi förekommer i Coulombs lag, som beskriver kraften i växelverkan mellan två laddningar, i Keplers tredje lag, som visar rotationsperioden för en planet runt solen, och uppträder till och med i arrangemanget av väteatomens elektronorbitaler. Och det som återigen är mest otroligt är att talet Pi är gömt i formeln för Heisenbergs osäkerhetsprincip - kvantfysikens grundläggande lag.

Pis hemligheter

I Carl Sagans roman Kontakt, som filmen med samma namn bygger på, berättar utomjordingar för hjältinnan att bland Pi:s tecken finns ett hemligt budskap från Gud. Från en viss position upphör siffrorna i numret att vara slumpmässiga och representerar en kod där alla universums hemligheter är skrivna.

Den här romanen återspeglade faktiskt ett mysterium som har sysselsatt matematiker över hela världen: är Pi ett normalt tal där siffrorna är utspridda med lika frekvens, eller är det något fel med det här talet? Och även om forskare är benägna till det första alternativet (men inte kan bevisa det), ser numret Pi väldigt mystiskt ut. En japansk man beräknade en gång hur många gånger siffrorna 0 till 9 förekommer i de första biljonerna siffrorna i Pi. Och jag såg att siffrorna 2, 4 och 8 var vanligare än de andra. Detta kan vara ett av tipsen om att Pi inte är helt normalt, och att siffrorna i den verkligen inte är slumpmässiga.

Låt oss komma ihåg allt vi läst ovan och fråga oss själva, vilket annat irrationellt och transcendentalt tal finns så ofta i den verkliga världen?

Och det finns fler konstigheter på gång. Till exempel är summan av de första tjugo siffrorna i Pi 20, och summan av de första 144 siffrorna är lika med "ondjurets antal" 666.

Huvudpersonen i den amerikanska tv-serien "Suspect", professor Finch, sa till eleverna att på grund av talet Pis oändlighet kan alla kombinationer av tal hittas i den, allt från siffrorna på ditt födelsedatum till mer komplexa tal . Till exempel, vid position 762 finns en sekvens av sex nior. Denna position kallas Feynman-punkten efter den berömda fysikern som lade märke till denna intressanta kombination.

Vi vet också att numret Pi innehåller sekvensen 0123456789, men det finns på den 17 387 594 880:e siffran.

Allt detta betyder att man i oändligheten av talet Pi kan hitta inte bara intressanta kombinationer av siffror, utan också den kodade texten "Krig och fred", Bibeln och till och med universums huvudhemlighet, om en sådan finns.

Förresten, om Bibeln. Matematikens berömda popularisator, Martin Gardner, konstaterade 1966 att den miljonte siffran i Pi (vid den tiden fortfarande okänd) skulle vara siffran 5. Han förklarade sina beräkningar med det faktum att i den engelska versionen av Bibeln, i den 3:e bok, 14:e kapitel, 16 vers (3-14-16) det sjunde ordet innehåller fem bokstäver. Miljonsiffran nåddes åtta år senare. Det var nummer fem.

Är det värt att efter detta hävda att talet Pi är slumpmässigt?