Hur man löser grafen för funktionen y kx b. Grundläggande egenskaper hos funktioner

Betrakta funktionen y=k/y. Grafen för denna funktion är en linje, som kallas hyperbel i matematik. Den allmänna bilden av hyperbeln visas i figuren nedan. (Grafen visar en funktion y är lika med k dividerat med x, där k är lika med ett.)

Det kan ses att grafen består av två delar. Dessa delar kallas grenar av hyperbeln. Det är också värt att notera att varje gren av hyperbeln kommer närmare och närmare koordinataxlarna i en av riktningarna. Koordinataxlarna i detta fall kallas asymptoter.

I allmänhet kallas alla räta linjer som grafen för en funktion oändligt närmar sig, men inte når, asymptoter. En hyperbel, som en parabel, har symmetriaxlar. För hyperbeln som visas i figuren ovan är detta den räta linjen y=x.

Låt oss nu ta itu med två allmänna fall av hyperboler. Grafen för funktionen y = k/x, för k ≠ 0, kommer att vara en hyperbel, vars grenar är placerade antingen i den första och tredje koordinatvinkeln, för k>0, eller i den andra och fjärde koordinatvinkeln, för k<0.

Huvudegenskaper för funktionen y = k/x, för k>0

Graf för funktionen y = k/x, för k>0

5. y>0 för x>0; y6. Funktionen minskar både på intervallet (-∞;0) och på intervallet (0;+∞).

10. Funktionens omfång är två öppna intervall (-∞;0) och (0;+∞).

Huvudegenskaperna för funktionen y = k/x, för k<0

Graf för funktionen y = k/x, för k<0

1. Punkten (0;0) är hyperbelns symmetricentrum.

2. Koordinataxlar - asymptoter för en hyperbel.

4. Funktionens omfattning är alla x, utom x=0.

5. y>0 för x0.

6. Funktionen ökar både på intervallet (-∞;0) och på intervallet (0;+∞).

7. Funktionen är inte begränsad underifrån eller ovanifrån.

8. Funktionen har varken de största eller de minsta värdena.

9. Funktionen är kontinuerlig på intervallet (-∞;0) och på intervallet (0;+∞). Har ett mellanrum vid punkten x=0.

Uppgifter om egenskaperna och graferna för en kvadratisk funktion, som praxis visar, orsakar allvarliga svårigheter. Detta är ganska konstigt, eftersom den kvadratiska funktionen godkänns i 8:e klass, och sedan "utpressas" hela första kvartalet i 9:e klass av parabelns egenskaper och dess grafer byggs för olika parametrar.

Detta beror på det faktum att de tvingar eleverna att bygga paraboler, de praktiskt taget inte ägnar tid åt att "läsa" grafer, det vill säga att de inte tränar på att förstå informationen från bilden. Tydligen antas det att efter att ha byggt två dussin grafer kommer en smart student själv att upptäcka och formulera förhållandet mellan koefficienterna i formeln och grafens utseende. I praktiken fungerar inte detta. För en sådan generalisering krävs seriös erfarenhet av matematisk miniforskning, vilket de flesta niondeklassare förstås inte har. Under tiden föreslår de i GIA att man ska bestämma tecknen på koefficienterna exakt enligt schemat.

Vi kommer inte att kräva det omöjliga från skolbarn och helt enkelt erbjuda en av algoritmerna för att lösa sådana problem.

Alltså en funktion av formen y=ax2+bx+c kallas kvadratisk, dess graf är en parabel. Som namnet antyder är huvudkomponenten yxa 2. Det är a bör inte vara lika med noll, de återstående koefficienterna ( b och Med) kan vara lika med noll.

Låt oss se hur tecknen på dess koefficienter påverkar utseendet på parabeln.

Det enklaste beroendet för koefficienten a. De flesta skolbarn svarar självsäkert: "om a> 0, då är parabelns grenar riktade uppåt, och om a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

I detta fall a = 0,5

Och nu för a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I detta fall a = - 0,5

Inverkan av koefficient Med också lätt att följa. Föreställ dig att vi vill hitta värdet på en funktion vid en punkt X= 0. Ersätt noll i formeln:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Det visar sig att y = c. Det är Medär ordinatan för skärningspunkten för parabeln med y-axeln. Som regel är denna punkt lätt att hitta på grafen. Och avgöra om den ligger över noll eller under. Det är Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y=x2+4x+3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Följaktligen, om Med= 0, då kommer parabeln nödvändigtvis att passera genom origo:

y=x2+4x

Svårare med parametern b. Den punkt vid vilken vi kommer att finna det beror inte bara på b men också från a. Detta är toppen av parabeln. Dess abskissa (axelkoordinat X) hittas av formeln x i \u003d - b / (2a). På det här sättet, b = - 2ax in. Det vill säga, vi agerar enligt följande: på grafen hittar vi toppen av parabeln, bestämmer tecknet på dess abskiss, det vill säga vi tittar till höger om noll ( x in> 0) eller till vänster ( x in < 0) она лежит.

Detta är dock inte allt. Vi måste också vara uppmärksamma på tecknet för koefficienten a. Det vill säga att se vart parabelns grenar är riktade. Och först efter det, enligt formeln b = - 2ax in bestämma tecken b.

Tänk på ett exempel:

Grenar som pekar uppåt a> 0, parabeln korsar axeln på under noll betyder Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Så b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Med < 0.

Lär dig att ta derivator av funktioner. Derivatan karakteriserar förändringshastigheten för en funktion vid en viss punkt som ligger på grafen för denna funktion. I det här fallet kan grafen vara antingen en rak linje eller en krökt linje. Det vill säga, derivatan karakteriserar förändringshastigheten för funktionen vid en viss tidpunkt. Kom ihåg de allmänna reglerna för vilka derivat tas, och fortsätt först sedan till nästa steg.

• Läs artikeln.
• Hur man tar de enklaste derivatorna, till exempel derivatan av en exponentiell ekvation, beskrivs. Beräkningarna som presenteras i de följande stegen kommer att baseras på de metoder som beskrivs där.

Lär dig att skilja på problem där lutningen behöver beräknas i termer av derivatan av en funktion. I uppgifter föreslås det inte alltid att man ska hitta lutningen eller derivatan av en funktion. Till exempel kan du bli ombedd att hitta förändringshastigheten för en funktion i punkt A(x, y). Du kan också bli ombedd att hitta lutningen på tangenten vid punkten A(x, y). I båda fallen är det nödvändigt att ta derivatan av funktionen.

Ta derivatan av den givna funktionen. Du behöver inte bygga en graf här - du behöver bara funktionens ekvation. I vårt exempel, ta derivatan av funktionen . Ta derivatet enligt metoderna som beskrivs i artikeln som nämns ovan:

• Derivat:

Byt ut koordinaterna för punkten som du fått med den hittade derivatan för att beräkna lutningen. Funktionens derivata är lika med lutningen vid en viss punkt. Med andra ord, f "(x) är lutningen för funktionen vid vilken punkt som helst (x, f (x)). I vårt exempel:

• Hitta lutningen på funktionen f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) vid punkt A(4,2).
• Funktionsderivata:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Ersätt värdet på x-koordinaten för den givna punkten:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Hitta lutningen:
• Funktionens lutning f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) vid punkt A(4,2) är 22.

Kontrollera om möjligt ditt svar på en graf. Tänk på att lutningsfaktorn inte kan beräknas vid varje punkt. Differentialkalkyl tar hänsyn till komplexa funktioner och komplexa grafer, där lutningen inte kan beräknas vid varje punkt, och i vissa fall ligger punkterna inte alls på graferna. Använd om möjligt en grafräknare för att kontrollera att lutningen på den funktion som du har fått är korrekt. Annars, rita en tangent till grafen vid den givna punkten och fundera på om värdet på lutningen du hittade motsvarar det du ser på grafen.

• Tangenten kommer att ha samma lutning som funktionsgrafen vid en viss punkt. För att rita en tangent vid en given punkt, flytta höger/vänster på x-axeln (i vårt exempel, 22 värden till höger), och sedan upp en på y-axeln. Markera punkten och anslut den sedan till den punkt du har gett. I vårt exempel kopplar du ihop punkterna med koordinaterna (4,2) och (26,3).

Linjär funktionsdefinition

Låt oss introducera definitionen av en linjär funktion

Definition

En funktion av formen $y=kx+b$, där $k$ är icke-noll, kallas en linjär funktion.

Grafen för en linjär funktion är en rät linje. Talet $k$ kallas linjens lutning.

För $b=0$ kallas den linjära funktionen för den direkta proportionalitetsfunktionen $y=kx$.

Tänk på figur 1.

Ris. 1. Den geometriska betydelsen av den räta linjens lutning

Tänk på triangel ABC. Vi ser att $BC=kx_0+b$. Hitta skärningspunkten för linjen $y=kx+b$ med axeln $Ox$:

\ \

Så $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Låt oss hitta förhållandet mellan dessa sidor:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Å andra sidan, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Följande slutsats kan alltså dras:

Slutsats

Geometrisk betydelse för koefficienten $k$. Lutningen på den räta linjen $k$ är lika med tangenten för lutningen på denna räta linje till axeln $Ox$.

Studie av den linjära funktionen $f\left(x\right)=kx+b$ och dess graf

Tänk först på funktionen $f\left(x\right)=kx+b$, där $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Därför ökar denna funktion över hela definitionsdomänen. Det finns inga extrema punkter.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (fig. 2).

Ris. 2. Grafer för funktionen $y=kx+b$, för $k > 0$.

Betrakta nu funktionen $f\left(x\right)=kx$, där $k

1. Omfattningen är alla siffror.
2. Omfattningen är alla siffror.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funktionen är varken jämn eller udda.
4. För $x=0,f\left(0\right)=b$. För $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Skärningspunkter med koordinataxlar: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ och $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Funktionen har därför inga böjningspunkter.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (fig. 3).