Spridning av en slumpvariabel. Hur man gör upp en distributionslag för en slumpvariabel exempel Hitta variansen enligt distributionslagen

Som bekant, slumpvariabel kallas en variabel som kan anta vissa värden beroende på fallet. Slumpvariabler betecknas med stora bokstäver i det latinska alfabetet (X, Y, Z), och deras värden betecknas med motsvarande gemener (x, y, z). Slumpvariabler delas in i diskontinuerliga (diskreta) och kontinuerliga.

Diskret slumpvariabel är en slumpvariabel som endast tar en ändlig eller oändlig (räknebar) uppsättning värden med vissa sannolikheter som inte är noll.

Fördelningslagen för en diskret stokastisk variabel är en funktion som kopplar samman värdena för en slumpvariabel med deras motsvarande sannolikheter. Fördelningslagen kan preciseras på något av följande sätt.

1 . Fördelningslagen kan ges av tabellen:

där λ>0, k = 0, 1, 2, … .

i) via fördelningsfunktion F(x) , som bestämmer för varje värde x sannolikheten att den slumpmässiga variabeln X tar ett värde mindre än x, dvs. F(x) = P(X< x).

Egenskaper för funktionen F(x)

3 . Fördelningslagen kan sättas grafiskt – fördelningspolygon (polygon) (se uppgift 3).

Observera att för att lösa vissa problem är det inte nödvändigt att känna till distributionslagen. I vissa fall räcker det med att känna till ett eller flera siffror som speglar distributionslagens viktigaste drag. Det kan vara ett tal som har betydelsen av "genomsnittsvärdet" för en slumpmässig variabel, eller ett tal som visar medelstorleken på en slumpvariabels avvikelse från dess medelvärde. Tal av detta slag kallas numeriska egenskaper hos en slumpvariabel.

Grundläggande numeriska egenskaper för en diskret slumpvariabel :

• Matematisk förväntan (medelvärde) för en diskret slumpvariabel M(X)=Σ x i pi.
  För binomialfördelning M(X)=np, för Poissonfördelning M(X)=λ
• Dispersion diskret slumpvariabel D(X)=M2 eller D(X) = M(X 2) − 2. Skillnaden X–M(X) kallas för en slumpvariabels avvikelse från dess matematiska förväntan.
  För binomialfördelning D(X)=npq, för Poissonfördelning D(X)=λ
• Standardavvikelse (standardavvikelse) σ(X)=√D(X).

Exempel på att lösa problem i ämnet "Lagen för distribution av en diskret stokastisk variabel"

Uppgift 1.

1000 lotter har utfärdats: 5 av dem vinner 500 rubel, 10 - 100 rubel, 20 - 50 rubel, 50 - 10 rubel. Bestäm lagen för sannolikhetsfördelningen för den slumpmässiga variabeln X - vinster per lott.

Beslut. Beroende på problemets tillstånd är följande värden för den slumpmässiga variabeln X möjliga: 0, 10, 50, 100 och 500.

Antalet lotter utan vinst är 1000 - (5+10+20+50) = 915, sedan P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

På samma sätt hittar vi alla andra sannolikheter: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Vi presenterar den resulterande lagen i form av en tabell:

Hitta den matematiska förväntan på X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Uppgift 3.

Enheten består av tre oberoende verksamma element. Sannolikheten för misslyckande för varje element i ett experiment är 0,1. Rita upp en distributionslag för antalet misslyckade element i ett experiment, bygg en fördelningspolygon. Hitta fördelningsfunktionen F(x) och rita den. Hitta den matematiska förväntan, varians och standardavvikelse för en diskret slumpvariabel.

Beslut. 1. Diskret slumpvariabel X=(antal misslyckade element i ett experiment) har följande möjliga värden: x 1 =0 (ingen av elementen i enheten misslyckades), x 2 =1 (ett element misslyckades), x 3 =2 ( två element misslyckades ) och x 4 \u003d 3 (tre element misslyckades).

Fel i element är oberoende av varandra, sannolikheten för att varje element misslyckas är lika med varandra, därför är det tillämpligt Bernoullis formel . Med tanke på att, genom villkor, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, bestämmer vi sannolikheterna för värdena:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Kontrollera: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Således har den önskade binomialfördelningslagen X formen:

På abskissaxeln plottar vi de möjliga värdena x i, och på ordinataaxeln, motsvarande sannolikheter pi. Låt oss konstruera punkterna M1 (0; 0,729), M2 (1; 0,243), M3 (2; 0,027), M4 (3; 0,001). Genom att förbinda dessa punkter med linjesegment får vi den önskade fördelningspolygonen.

3. Hitta fördelningsfunktionen F(x) = P(X

För x ≤ 0 har vi F(x) = P(X<0) = 0;
för 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
för 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
för 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
för x > 3 blir det F(x) = 1, eftersom händelsen är säker.

Graf över funktionen F(x)

4. För binomialfördelningen X:
- matematisk förväntan М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardavvikelse σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Exempel på problemlösning i ämnet "Slumpvariabler".

Uppgift 1 . Det finns 100 lotter utgivna i lotteriet. En vinst på 50 USD spelades. och tio vinster på $10 vardera. Hitta fördelningens lag för värdet X - kostnaden för en eventuell vinst.

Beslut. Möjliga värden för X: x 1 = 0; x 2 = 10 och x 3 = 50. Eftersom det finns 89 "tomma" biljetter, då sid 1 = 0,89, sannolikheten att vinna är 10 c.u. (10 biljetter) – sid 2 = 0,10 och för en vinst på 50 c.u. – sid 3 = 0,01. Således:

	0,89	0,10	0,01

Lätt att kontrollera: .

Uppgift 2. Sannolikheten att köparen har satt sig in i annonsen av produkten i förväg är 0,6 (p = 0,6). Selektiv kvalitetskontroll av reklam genomförs genom att köparen röstar före den första som har studerat annonsen i förväg. Gör en serie fördelning av antalet intervjuade köpare.

Beslut. Enligt problemets tillstånd p = 0,6. Från: q=1 -p = 0,4. Genom att ersätta dessa värden får vi: och konstruera en distributionsserie:

pi		0,24

Uppgift 3. En dator består av tre självständigt fungerande element: en systemenhet, en bildskärm och ett tangentbord. Med en enda kraftig ökning av spänningen är sannolikheten för fel på varje element 0,1. Baserat på Bernoulli-fördelningen, utarbeta distributionslagen för antalet felaktiga element under en strömstörning i nätverket.

Beslut. Överväga Bernoulli distribution(eller binomial): sannolikheten att i n tester, kommer händelse A att visas exakt k en gång: , eller:

	q n					sid n

PÅ låt oss gå tillbaka till uppgiften.

Möjliga värden på X (antal misslyckanden):

x 0 =0 - inget av elementen misslyckades;

x 1 =1 - fel på ett element;

x 2 =2 - fel på två element;

x 3 =3 - fel på alla element.

Eftersom, genom villkor, p = 0,1, då q = 1 – p = 0,9. Genom att använda Bernoulli-formeln får vi

, ,

, .

Kontrollen: .

Därför är den önskade distributionslagen:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Uppgift 4. Producerade 5000 rundor. Sannolikheten att en patron är defekt . Vad är sannolikheten att det blir exakt 3 defekta patroner i hela partiet?

Beslut. Tillämplig Poissonfördelning: denna fördelning används för att bestämma sannolikheten att, givet en mycket stor

antal försök (massförsök), i var och en av vilka sannolikheten för händelse A är mycket liten, händelse A kommer att inträffa k gånger: , var .

Här n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Vi hittar sedan den önskade sannolikheten: .

Uppgift 5. När man skjuter före första träffen med sannolikhet att träffa p = 0,6 vid avfyring måste vi hitta sannolikheten för att träffen kommer att inträffa under det tredje skottet.

Beslut. Låt oss tillämpa den geometriska fördelningen: låt oberoende försök göras, i var och en av vilka händelsen A har en sannolikhet att inträffa p (och icke-förekomst q = 1 - p). Försök avslutas så snart händelse A inträffar.

Under sådana förhållanden bestäms sannolikheten för att händelse A inträffar på det k:te testet av formeln: . Här är p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Därför, .

Uppgift 6. Låt fördelningen av en slumpvariabel X ges:

Hitta den matematiska förväntningen.

Beslut. .

Observera att den probabilistiska betydelsen av den matematiska förväntan är medelvärdet av en slumpvariabel.

Uppgift 7. Hitta variansen för en slumpvariabel X med följande distributionslag:

Beslut. Här .

Lagen för fördelningen av kvadraten av X 2 :

X 2

Erforderlig avvikelse: .

Dispersion kännetecknar graden av avvikelse (spridning) för en slumpvariabel från dess matematiska förväntan.

Uppgift 8. Låt den slumpmässiga variabeln ges av fördelningen:

			10m

Hitta dess numeriska egenskaper.

Lösning: m, m 2 ,

M 2 , m.

Om en slumpvariabel X kan man säga antingen - dess matematiska förväntan är 6,4 m med en varians på 13,04 m 2 , eller - dess matematiska förväntan är 6,4 m med en avvikelse på m. Den andra formuleringen är uppenbarligen tydligare.

Uppgift 9. Slumpmässigt värde X ges av distributionsfunktionen:
.

Hitta sannolikheten att, som ett resultat av testet, värdet X kommer att anta ett värde som ingår i intervallet .

Beslut. Sannolikheten att X tar ett värde från ett givet intervall är lika med inkrementet av integralfunktionen i detta intervall, dvs. . I vårt fall och därför

.

Uppgift 10. Diskret slumpvariabel X ges av distributionslagen:

Hitta distributionsfunktion F(x ) och bygg dess graf.

Beslut. Sedan distributionsfunktionen

för , då

vid ;

vid ;

vid ;

vid ;

Relevant diagram:

Uppgift 11. Kontinuerlig slumpvariabel X ges av differentialfördelningsfunktionen: .

Hitta sannolikheten att träffa X till intervall

Beslut. Observera att detta är ett specialfall av den exponentiella distributionslagen.

Låt oss använda formeln: .

Uppgift 12. Hitta de numeriska egenskaperna för en diskret slumpvariabel X som ges av distributionslagen:

	–5
	X 2 : x2 . , var är Laplace-funktionen. Värdena för denna funktion hittas med hjälp av en tabell. I vårat fall: . Enligt tabellen finner vi:, därför:

Serviceuppdrag. Online-kalkylatorn används för att bygga en tabell över fördelningen av en slumpvariabel X - antalet utförda experiment och beräkna alla egenskaper i serien: matematisk förväntan, varians och standardavvikelse. Betänkandet med beslutet är upprättat i Word-format. Exempel #1. Tre mynt kastas. Sannolikheten för att ett vapen faller ut i en rulle är 0,5. Gör en fördelningslag för en slumpvariabel X - antalet fallna vapen.
Beslut.
Sannolikheten att inget vapen föll ut: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Sannolikheten att tre vapen föll ut: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Fördelningslagen för en slumpvariabel X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Kontrollera: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Exempel #2. Sannolikheten att träffa målet av en skytt med ett skott för den första skytten är 0,8, för den andra skytten - 0,85. Skytterna avlossade ett skott mot målet. Om du antar att träffa målet för enskilda skyttar som oberoende händelser, hitta sannolikheten för händelse A - exakt en träff på målet.
Beslut.
Tänk på händelse A - en träff på målet. De möjliga förekomsterna av denna händelse är följande:

1. Första skytten träff, andra skytten missad: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Den första skytten missade, den andra skytten träffade målet: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
3. Den första och andra skytten träffar målet oberoende av varandra: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Då kommer sannolikheten för händelsen A - exakt en träff på målet, att vara lika med: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Definition.Dispersion (spridning) Diskret slumpvariabel kallas den matematiska förväntan av den slumpmässiga variabelns kvadratiska avvikelse från dess matematiska förväntan:

Exempel. För exemplet ovan hittar vi

Den matematiska förväntan av en slumpvariabel är:

Möjliga värden för den kvadratiska avvikelsen:

; ;

Dispersionen är:

Men i praktiken är denna metod för att beräkna variansen obekväm, eftersom leder till besvärliga beräkningar för ett stort antal värden av en slumpvariabel. Därför används en annan metod.

Variansberäkning

Sats. Variansen är lika med skillnaden mellan den matematiska förväntan på kvadraten av den slumpmässiga variabeln X och kvadraten på dess matematiska förväntan:

Bevis. Med hänsyn till det faktum att den matematiska förväntan och kvadraten på den matematiska förväntan är konstanta värden, kan vi skriva:

Låt oss tillämpa denna formel på exemplet ovan:

X
x2
sid	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Dispersionsegenskaper

1) Spridningen av ett konstant värde är noll:

2) Konstantfaktorn kan tas ut ur spridningstecknet genom att kvadrera det:

.

3) Variansen av summan av två oberoende slumpvariabler är lika med summan av varianserna för dessa variabler:

4) Variansen av skillnaden mellan två oberoende slumpvariabler är lika med summan av varianserna för dessa variabler:

Giltigheten av denna jämlikhet följer av egenskap 2.

Sats. Variansen av antalet förekomster av händelse A i n oberoende försök, i var och en av vilka sannolikheten att händelsen inträffar är konstant, är lika med produkten av antalet försök med sannolikheten för att händelsen inträffar och sannolikheten för händelsen inte förekommer i varje försök:

Exempel. Fabriken producerar 96 % av produkterna av första klass och 4 % av produkterna av andra klass. 1000 föremål väljs ut slumpmässigt. Låt vara X- Antalet produkter av första klass i detta prov. Hitta distributionslagen, matematisk förväntan och varians för en slumpvariabel.

Därmed kan distributionslagen anses binomial.

Exempel. Hitta variansen för en diskret slumpvariabel X– antal händelser av händelsen MEN i två oberoende försök, om sannolikheten för att denna händelse inträffar i varje försök är lika och det är känt att

Därför att slumpmässigt värde X fördelade enligt binomiallagen, alltså

Exempel. Oberoende tester utförs med samma sannolikhet att händelsen inträffar MEN i varje test. Hitta sannolikheten för att en händelse inträffar MEN om variansen av antalet händelser av händelsen i tre oberoende försök är 0,63.

Enligt dispersionsformeln för den binomala lagen får vi:

;

Exempel. En enhet som består av fyra oberoende verksamma enheter testas. Sannolikheterna för fel på var och en av enheterna är lika ; ; . Hitta den matematiska förväntningen och variansen för antalet misslyckade enheter.

Om vi ​​tar antalet misslyckade enheter som en slumpmässig variabel ser vi att denna slumpmässiga variabel kan anta värdena 0, 1, 2, 3 eller 4.

För att upprätta en distributionslag för denna stokastiska variabel är det nödvändigt att bestämma motsvarande sannolikheter. Låt oss acceptera.

1) Inte en enda enhet misslyckades:

2) En av enheterna misslyckades.