Pravilo za odpiranje oklepajev pri množenju. Odpiranje oklepaja: pravila in primeri (7. razred)

V tej lekciji se boste naučili, kako pretvoriti izraz, ki vsebuje oklepaje, v izraz, ki ne vsebuje oklepajev. Naučili se boste odpreti oklepaje, pred katerim sta znak plus in minus. Spomnili se bomo, kako odpreti oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. Obravnavani primeri bodo omogočili povezovanje novega in predhodno preučenega gradiva v eno celoto.

Tema: Reševanje enačb

Lekcija: Razširitev oklepajev

Kako odpreti oklepaje, pred katerim je znak "+". Uporaba asociativnega zakona seštevanja.

Če morate številki dodati vsoto dveh številk, lahko temu številu dodate prvi člen in nato drugega.

Levo od znaka enakosti je izraz z oklepaji, desno pa izraz brez oklepaja. To pomeni, da so se pri prehodu z leve strani enakosti na desno stran odprli oklepaji.

Razmislite o primerih.

Primer 1

Z razširitvijo oklepajev smo spremenili vrstni red operacij. Štetje je postalo bolj priročno.

Primer 2

Primer 3

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Formulirajmo pravilo:

Komentar.

Če je prvi člen v oklepaju nepodpisan, mora biti napisan z znakom plus.

Lahko sledite zgledu po korakih. Najprej dodajte 445 k 889. To miselno dejanje je mogoče izvesti, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in poglejmo, da bo spremenjen vrstni red operacij močno poenostavil izračune.

Če sledite navedenemu vrstnemu redu dejanj, morate od 512 najprej odšteti 345, nato pa rezultatu dodati 1345. Z razširitvijo oklepajev bomo spremenili vrstni red dejanj in močno poenostavili izračune.

Ilustrativni primer in pravilo.

Razmislite o primeru: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da dodate 2 in 5, nato pa vzamete dobljeno število z nasprotnim predznakom. Dobimo -7.

Po drugi strani pa je enak rezultat mogoče dobiti s seštevanjem nasprotnih številk.

Formulirajmo pravilo:

Primer 1

Primer 2

Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov.

Primer 3

Komentar. Znaki so obrnjeni le pred izrazi.

Za odpiranje oklepajev se moramo v tem primeru spomniti na distribucijsko lastnost.

Najprej pomnožite prvi oklepaj z 2, drugi pa s 3.

Pred prvim oklepajem je znak »+«, kar pomeni, da morajo znaki ostati nespremenjeni. Pred drugim je znak "-", zato je treba vse znake obrniti

Bibliografija

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.
Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za predmet matematike 5-6 razred - ZSH MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Sogovornik učbenik za 5.-6. razrede Srednja šola. Knjižnica učitelja matematike. - Razsvetljenje, 1989.

Spletni matematični testi ().
Prenesete lahko tiste, ki so navedeni v točki 1.2. knjige ().

Domača naloga

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (glej povezavo 1.2)
Domača naloga: št. 1254, št. 1255, št. 1256 (b, d)
Druge naloge: št. 1258(c), št. 1248

povzetek drugih predstavitev

"Graf funkcij 7. razred" -). 1. Sestavi graf funkcije po točkah: 2. (. Primeri, ki vodijo do pojma funkcije. Množimo monome: Funkcijski graf funkcije. 7. ocena. Predstavi izraze kot monom standardni pogled: Graf funkcije. odvisna spremenljivka. Neodvisna spremenljivka.

"Polinom v algebri" - Kaj se imenuje redukcija podobnih izrazov? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3ax - 6ax + 9a2x. Odgovori na vprašanja: 17a4 + 8a5 + 3a - a3. Pouk algebre v 7. razredu. ustno delo. 1. Izberite polinome, zapisane v standardni obliki: 12а2b - 18ab2 - 30ab3. učitelj matematike, MOU "Srednja šola št. 2" Tokareva Yu.I. Pojasni, kako spraviti polinom v standardno obliko.

“Polinomi 7. razreda” - 1. 6. Kot rezultat množenja polinoma s polinomom dobimo polinom. 9. Dobesedni množitelj monoma, zapisanega v standardni obliki, se imenuje koeficient monoma. 4. Kot rezultat množenja polinoma z monomom dobimo monom. 5. 5. Algebraična vsota več monomov se imenuje polinom. - + + - + + - + +. 3. Ustno delo. 2.

"Zmanjšanje algebrskih ulomkov" - 3. Glavno lastnost ulomka lahko zapišemo takole: , kjer je b? 0, m? 0. 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Lekcija algebre v 7. razredu "Algebraični ulomki. 1. Izraz oblike se imenuje algebraični ulomek. "Potovanje v svet algebraične ulomke". Potovanje v svet algebraičnih ulomkov. 2. V algebraičnem ulomku sta števec in imenovalec algebraični izrazi. "Potovanje v svet algebraičnih ulomkov." Zmanjšanje ulomkov ”Učitelj srednje šole Stepninskaya Zhusupova A.B. Dosežki za velike ljudi še nikoli niso bili lahki!

"Odpiranje oklepajev" - Odpiranje oklepajev. c. matematika. a. 7. razred. b. S = a b + a c.

"Koordinate ravnine" - Pravokotno mrežo so uporabljali tudi renesančni umetniki. Vsebina Kratka opomba II. Pri igranju šaha se uporablja tudi koordinatna metoda. Zaključek V. Literatura VI. Os y je ordinata y. Descartesov cilj je bil opisati naravo v smislu matematični zakoni. S pomočjo koordinatne mreže piloti in mornarji določijo lokacijo predmetov. Pravokotni koordinatni sistem. Kratka opomba. Aplikacija Zbirka nalog. Igrišče je bilo določeno z dvema koordinatama - črko in številko. Uvod Relevantnost teme.

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, v številskem izrazu \(5 3+7\) se najprej izračuna množenje, nato pa seštevek: \(5 3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) se najprej izračuna seštevanje v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
Rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Razširite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
Rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\) ter pet pred oklepajem. To pomeni, da se vsak član oklepaja pomnoži z \ (5 \) - na to vas spomnim znak množenja med številko in oklepajem v matematiki ni napisan za zmanjšanje velikosti zapisov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
Rešitev : Kot v prejšnjem primeru se oklepaji \(-3x\) in \(5\) pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Še vedno je treba razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
Rešitev : Imamo izdelek oklepajev in ga je mogoče takoj odpreti z zgornjo formulo. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi nosilec - vsak njegov člen se pomnoži z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite izdelke nosilca za faktor, kot je opisano zgoraj:
- najprej prvi ...

Nato drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in prinesemo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba podrobno slikati, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učite odpirati oklepaje – pišite podrobno, manj bo možnosti, da boste naredili napako.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav se vam ni treba spomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, to: \(c(a-b)=ca-cb\) . zakaj? Ker če nadomestimo eno namesto c, dobimo pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo z minusom ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če namesto c zamenjate z drugim oklepajem, lahko dobite zadnje pravilo.

oklepaju v oklepaju

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi v druge oklepaje. Tukaj je primer takšne naloge: poenostaviti izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Če želite biti uspešni pri teh nalogah, morate:
- natančno razumeti ugnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je, ko odprete enega od oklepajev ne dotikajte se preostalega izraza, samo prepišem tako kot je.
Vzemimo za primer zgornjo nalogo.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Razširite oklepaje in podajte podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Rešitev :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		To je trojno gnezdenje oklepajev. Začnemo z najbolj notranjim (označeno z zeleno). Pred oklepajem je plus, zato ga preprosto odstranimo.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Zdaj morate odpreti drugi nosilec, vmesni. Pred tem pa bomo izraz poenostavili tako, da bomo podobne izraze prikazali v tem drugem oklepaju.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Zdaj odpremo drugi oklepaj (označen z modro). Pred oklepajem je množitelj – tako se vsak člen v oklepaju pomnoži z njim.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		In odprite zadnji oklepaj. Pred oklepajem minus - torej so vsi znaki obrnjeni.

Odpiranje oklepaja je osnovna veščina v matematiki. Brez te spretnosti je nemogoče imeti oceno nad tri v 8. in 9. razredu. Zato priporočam dobro razumevanje te teme.

A + (b + c) lahko zapišemo brez oklepajev: a + (b + c) \u003d a + b + c. Ta operacija se imenuje razširitev oklepajev.

Primer 1 Odprimo oklepaje v izrazu a + (- b + c).

Rešitev. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.

Če je pred oklepaji znak »+«, lahko oklepaje in ta znak »+« izpustite, pri čemer ohranite znake izrazov v oklepajih. Če je prvi člen v oklepaju napisan brez znaka, ga je treba zapisati z znakom »+«.

Primer 2 Poiščimo vrednost izraza -2,87+ (2,87-7,639).

Rešitev.Če odpremo oklepaje, dobimo - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.

Če želite najti vrednost izraza - (- 9 + 5), morate dodati številke-9 in 5 in poiščite število nasprotno prejetemu znesku: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Enako vrednost lahko dobite na drugačen način: najprej zapišite števila nasproti tem izrazom (tj. spremenite njihove predznake) in nato dodajte: 9 + (- 5) = 4. Tako je - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

Če želite zapisati vsoto nasprotno vsoti več členov, je treba spremeniti predznake teh členov.

Torej - (a + b) \u003d - a - b.

Primer 3 Poiščite vrednost izraza 16 - (10 -18 + 12).

Rešitev. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Če želite odpreti oklepaje, pred katerim je znak »-«, morate ta znak zamenjati s »+«, predznake vseh izrazov v oklepajih spremeniti v nasprotne in nato odpreti oklepaje.

Primer 4 Poiščimo vrednost izraza 9,36-(9,36 - 5,48).

Rešitev. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Odpiranje oklepaja in uporaba komutativnih in asociativnih lastnosti dodatki olajšati izračune.

Primer 5 Poiščite vrednost izraza (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Rešitev. Najprej odpremo oklepaje, nato pa ločeno poiščemo vsoto vseh pozitivnih in ločeno vsoto vseh negativnih števil ter na koncu dodamo rezultate:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Primer 6 Poiščite vrednost izraza

Rešitev. Najprej vsak izraz predstavimo kot vsoto njihovih celih in ulomnih delov, nato odpremo oklepaje, nato dodamo celoto in ločeno frakcijski dele in na koncu povzamem rezultate:

Kako odprete oklepaje, pred katerim je znak "+"? Kako lahko najdete vrednost izraza, ki je nasproten vsoti več številk? Kako odpreti oklepaje, pred katerim je znak "-"?

1218. Razširite oklepaje:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Poiščite vrednost izraza:

1220. Razširite oklepaje:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Razširite oklepaje in poiščite vrednost izraza:

1222. Poenostavite izraz:

1223. Napiši znesek dva izraza in ga poenostavi:

a) - 4 - m in m + 6,4; d) a + b in p - b
b) 1,1+a in -26-a; e) - m + n in -k - n;
c) a + 13 in -13 + b; e)m - n in n - m.

1224. Napiši razliko dveh izrazov in jo poenostavi:

1226. Za rešitev problema uporabite enačbo:

a) Na eni polici je 42 knjig, na drugi pa 34. Z druge police so odstranili več knjig, s prve pa jih je ostalo na drugi. Nato je na prvi polici ostalo 12 knjig. Koliko knjig je bilo vzetih z druge police?

b) V prvem razredu je 42 učencev, v drugem 3 učenci manj kot v tretjem. Koliko učencev je v tretjem razredu, če je v teh treh razredih 125 učencev?

1227. Poiščite vrednost izraza:

1228. Ustno izračunaj:

1229. Najdi najvišja vrednost izrazi:

1230. Vnesite 4 zaporedna cela števila, če:

a) manjši od njih je enak -12; c) manjši od njih je enak n;
b) večja od njih je enaka -18; d) večji od njih je enak k.

Vsebina lekcije povzetek lekcije podpora okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samopreverjanje delavnice, treningi, primeri, naloge domača naloga razprava vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetke in večpredstavnost fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripovske prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki povzetkičlanki čipi za radovedne varalice učbeniki osnovni in dodatni slovarček izrazov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodabljanje fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti v lekciji zamenjava zastarelo znanje z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za eno leto smernice razpravni programi Integrirane lekcije

Med različnimi izrazi, ki jih obravnava algebra, zavzemajo vsote monomov pomembno mesto. Tukaj so primeri takšnih izrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Vsota monomov se imenuje polinom. Izrazi v polinomu se imenujejo člani polinoma. Mononomi se imenujejo tudi polinomi, pri čemer monom obravnavamo kot polinom, sestavljen iz enega člana.

Na primer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
je mogoče poenostaviti.

Vse izraze predstavljamo kot monome standardne oblike:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

V nastalem polinomu damo podobne izraze:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom, katerega vsi člani so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

Zadaj polinomska stopnja standardna oblika prevzame največja pooblastila svojih članov. Torej ima binom \(12a^2b - 7b \) tretjo stopnjo, trinom \(2b^2 -7b + 6 \) pa drugo.

Običajno so izrazi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu njenih eksponentov. Na primer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Vsoto več polinomov je mogoče pretvoriti (poenostaviti) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člane polinoma razdeliti v skupine, pri čemer vsako skupino zapremo v oklepaje. Ker so oklepaji nasprotni oklepajem, jih je enostavno formulirati pravila odpiranja oklepajev:

Če je pred oklepaji postavljen znak +, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi predznaki.

Če je pred oklepaji postavljen znak "-", so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi znaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko pretvorimo (poenostavimo) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Zmnožek monoma in polinoma je identično enak vsoti produktov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno formuliran kot pravilo.

Če želite monom pomnožiti s polinomom, je treba ta monom pomnožiti z vsakim od členov polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Zmnožek polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je produkt dveh polinomov identično enak vsoti produkta vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno uporabite naslednje pravilo.

Če želite polinom pomnožiti s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Skrajšane formule za množenje. Vsota, razlika in kvadrati razlike

Nekatere izraze v algebraičnih transformacijah je treba obravnavati pogosteje kot druge. Morda so najpogostejši izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) in \(a^2 - b^2 \), to je kvadrat vsote, kvadrat razlike in kvadrat razlike. Opazili ste, da se imena navedenih izrazov zdijo nepopolna, zato na primer \((a + b)^2 \) seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Vendar kvadrat vsote a in b ni tako pogost, praviloma namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) je enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste se že srečali s takšno nalogo pri množenju polinomov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Nastale identitete si je koristno zapomniti in uporabiti brez vmesnih izračunov. Pri tem pomagajo kratke besedne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat vsote je enak vsoti kvadratov in dvojnega produkta.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je vsota kvadratov brez podvojitve produkta.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo v transformacijah zamenjavo njihovih levih delov z desnimi in obratno – desnih delov z levimi. Najtežje je v tem primeru videti ustrezne izraze in razumeti, kaj sta spremenljivki a in b v njih zamenjana. Oglejmo si nekaj primerov uporabe skrajšanih formul za množenje.