Paralelogramirajte vse formule in lastnosti. Raziskovalni projekt "Paralelogram in njegove lastnosti"

Koncept paralelograma

Opredelitev 1

Paralelogram je štirikotnik, v katerem sta nasprotni strani vzporedni med seboj (slika 1).

Slika 1.

Paralelogram ima dve glavni lastnosti. Poglejmo jih brez dokazov.

Lastnost 1: Nasprotni strani in koti paralelograma so med seboj enaki.

Lastnost 2: V paralelogramu narisane diagonale so prepolovljene s presečiščem.

Značilnosti paralelograma

Razmislite o treh značilnostih paralelograma in jih predstavite v obliki izrekov.

Izrek 1

Če sta dve strani štirikotnika enaki in tudi vzporedni, bo ta štirikotnik paralelogram.

Dokaz.

Naj imamo štirikotnik $ABCD$. V katerem $AB||CD$ in $AB=CD$ Narišemo vanj diagonalo $AC$ (slika 2).

Slika 2.

Razmislite o vzporedni premici $AB$ in $CD$ ter njuni sekanti $AC$. Potem

\[\angle CAB=\angle DCA\]

kot navzkrižni vogali.

Po kriteriju $I$ za enakost trikotnikov,

saj je $AC$ njihova skupna stran, $AB=CD$ pa po predpostavki. Pomeni

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmislite o premici $AD$ in $CB$ ter njuni sekanti $AC$; z zadnjo enakostjo križno ležečih kotov dobimo, da je $AD||CB$.) Zato je po definiciji $1$ ta štirikotnik je paralelogram.

Izrek je dokazan.

2. izrek

Če sta nasprotni strani štirikotnika enaki, je to paralelogram.

Dokaz.

Naj imamo štirikotnik $ABCD$. V katerem je $AD=BC$ in $AB=CD$. Vanj narišemo diagonalo $AC$ (slika 3).

Slika 3

Ker je $AD=BC$, $AB=CD$ in $AC$ skupna stran, potem s testom enakosti trikotnika $III$,

\[\trikotnik DAC=\trikotnik ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Razmislite o premici $AD$ in $CB$ ter njuni sekanti $AC$, z zadnjo enakostjo križno ležečih kotov dobimo, da je $AD||CB$. Zato je po definiciji $1$ ta štirikotnik paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Razmislite o premici $AB$ in $CD$ ter njuni sekanti $AC$, z zadnjo enakostjo križno ležečih kotov dobimo, da je $AB||CD$. Zato je po definiciji 1 ta štirikotnik paralelogram.

Izrek je dokazan.

3. izrek

Če v štirikotniku narisane diagonale razdelimo na dva enaka dela s presečiščem, potem je ta štirikotnik paralelogram.

Dokaz.

Naj imamo štirikotnik $ABCD$. Vanj narišemo diagonali $AC$ in $BD$. Naj se sekata v točki $O$ (slika 4).

Slika 4

Ker sta po pogoju $BO=OD,\ AO=OC$ in koti $\angle COB=\angle DOA$ navpični, potem s testom enakosti trikotnika $I$,

\[\trikotnik BOC=\trikotnik AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Razmislite o premici $BC$ in $AD$ ter njuni sekanti $BD$, z zadnjo enakostjo križno ležečih kotov dobimo, da $BC||AD$. Tudi $BC=AD$. Zato je po izreku $1$ ta štirikotnik paralelogram.

1. Definicija paralelograma.

Če sekamo par vzporednih premic z drugim parom vzporednih premic, dobimo štirikotnik, katerega nasprotni strani sta parno vzporedni.

V štirikotniku ABDC in EFNM (slika 224) BD || AC in AB || CD;

EF || MN in EM || F.N.

Štirikotnik, katerega nasprotni strani sta parno vzporedni, se imenuje paralelogram.

2. Lastnosti paralelograma.

Izrek. Diagonala paralelograma ga deli na dva dela enak trikotnik.

Naj obstaja paralelogram ABDC (slika 225), v katerem je AB || CD in AC || BD.

Treba je dokazati, da ga diagonala deli na dva enaka trikotnika.

Narišimo diagonalo CB v paralelogramu ABDC. Dokažimo, da je $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

SV stran je skupna tem trikotnikom; ∠ABC = ∠BCD, kot notranji križno ležeči koti z vzporednima AB in CD ter sekantom CB; ∠ACB = ∠CBD, enako kot notranji križno ležeči koti z vzporednima AC in BD ter sekantom CB.

Zato $\Delta$CAB = $\Delta$СDВ.

Na enak način lahko dokažemo, da diagonala AD deli paralelogram na dva enaka trikotnika ACD in ABD.

posledice:

1 . Nasprotna kota paralelograma sta enaka.

∠A = ∠D, to izhaja iz enakosti trikotnikov CAB in CDB.

Podobno je ∠C = ∠B.

2. Nasprotni strani paralelograma sta enaki.

AB \u003d CD in AC \u003d BD, saj sta to strani enakih trikotnikov in ležita nasproti enakih kotov.

2. izrek. Diagonali paralelograma so na presečišču prepolovljeni.

Naj bosta BC in AD diagonali paralelograma ABDC (slika 226). Dokažimo, da je AO = OD in CO = OB.

Če želite to narediti, primerjajmo nekaj par nasprotnih trikotnikov, na primer $\Delta$AOB in $\Delta$COD.

V teh trikotnikih AB = CD, kot nasprotni strani paralelograma;

∠1 = ∠2, kot notranji koti, ki ležijo navzkrižno na vzporednici AB in CD ter sekanti AD;

∠3 = ∠4 iz istega razloga, saj je AB || CD in CB sta njuna sekansa.

Iz tega sledi, da je $\Delta$AOB = $\Delta$COD. In v enakih trikotnikih sta nasprotni enaki koti enaki strani. Zato sta AO = OD in CO = OB.

3. izrek. Vsota kotov, ki mejijo na eno stran paralelograma, je enaka 180°.

Nariši diagonalo AC v paralelogramu ABCD in dobi dva trikotnika ABC in ADC.

Trikotniki so skladni, ker je ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (križno ležeči koti pri vzporednicah), stran AC pa je skupna.
Enakost $\Delta$ABC = $\Delta$ADC pomeni, da je AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Vsota kotov, ki mejijo na eno stran, na primer kota A in D, je enaka 180 ° kot enostranska z vzporednimi črtami.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta parno vzporedni. Naslednja slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stran AB vzporedno s stranico CD in stran BC vzporedno s stranico AD.

Kot ste morda uganili, je paralelogram konveksen štirikotnik. Razmislite o osnovnih lastnostih paralelograma.

Lastnosti paralelograma

1. V paralelogramu nasprotnih vogalov in nasprotni strani sta enaki. Dokažimo to lastnost – upoštevajmo paralelogram, prikazan na naslednji sliki.

Diagonala BD ga razdeli na dva enaka trikotnika: ABD in CBD. Po strani BD in dveh sosednjih kotih sta enaka, saj sta kota, ki ležita na sekanti BD, vzporedni premici BC in AD ter AB in CD. Zato je AB = CD in
BC=AD. In iz enakosti kotov 1, 2, 3 in 4 sledi, da je kot A = kot1 + kot3 = kot2 + kot4 = kot C.

2. Diagonali paralelograma prepolovimo s presečiščem. Naj bo točka O presečišče diagonal AC in BD paralelograma ABCD.

Potem sta trikotnik AOB in trikotnik COD enaka drug drugemu, vzdolž stranice in dveh kotov, ki sta ji sosednja. (AB=CD, ker sta nasprotni strani paralelograma. In kot1 = kot2 in kot3 = kot4 kot križno ležeča kota na presečišču premici AB in CD s sekanti AC in BD.) Iz tega sledi, da je AO = OC in OB = OD, kar in je bilo treba dokazati.

Vse glavne lastnosti so prikazane na naslednjih treh slikah.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta parno vzporedni. Ta definicija že zadostuje, saj iz nje izhajajo preostale lastnosti paralelograma in so dokazane v obliki izrekov.

Glavne lastnosti paralelograma so:

paralelogram je konveksen štirikotnik;
paralelogram ima nasprotne strani enake v parih;
paralelogram ima nasprotna kota, ki sta v parih enaka;
diagonale paralelograma so prepolovljene s točko presečišča.

Paralelogram - konveksni štirikotnik

Najprej dokažimo izrek, da paralelogram je konveksen štirikotnik. Mnogokotnik je konveksen, če je katera koli njegova stran razširjena na ravno črto, bodo vse druge strani mnogokotnika na isti strani te ravne črte.

Naj je podan paralelogram ABCD, pri katerem je AB nasprotna stran za CD, BC pa nasprotna stran za AD. Potem iz definicije paralelograma sledi, da je AB || CD, BC || AD.

Vzporedni segmenti nimajo skupnih točk, se ne sekajo. To pomeni, da CD leži na eni strani AB. Ker odsek BC povezuje točko B segmenta AB s točko C odseka CD, odsek AD pa povezuje drugi točki AB in CD, ležita tudi odseka BC in AD na isti strani premice AB, kjer leži CD. Tako vse tri strani - CD, BC, AD - ležijo na isti strani AB.

Podobno je dokazano, da glede na druge strani paralelograma ostale tri stranice ležijo na isti strani.

Nasprotne strani in koti so enaki

Ena od lastnosti paralelograma je ta v paralelogramu sta nasprotni strani in nasprotni koti enaki. Na primer, če je podan paralelogram ABCD, potem ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ta izrek je dokazan na naslednji način.

Paralelogram je štirikotnik. Torej ima dve diagonali. Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ga vsak od njih razdeli na dva trikotnika. Razmislite o trikotniku ABC in ADC v paralelogramu ABCD, ki ga dobimo z risanjem diagonale AC.

Ti trikotniki imajo eno skupno stran - AC. Kot BCA je enak kotu CAD, prav tako navpičnici z vzporednima BC in AD. Enaka sta tudi kota BAC in ACD, prav tako navpična kota, ko sta AB in CD vzporedna. Zato je ∆ABC = ∆ADC nad dvema kotoma in stranico med njima.

V teh trikotnikih stran AB ustreza strani CD, stran BC pa AD. Zato je AB = CD in BC = AD.

Kot B ustreza kotu D, to je ∠B = ∠D. Kot A paralelograma je vsota dveh kotov - ∠BAC in ∠CAD. Kot C enak je sestavljen iz ∠BCA in ∠ACD. Ker sta pari kotov med seboj enaki, potem je ∠A = ∠C.

Tako je dokazano, da sta v paralelogramu nasprotni strani in koti enaki.

Diagonale prepolovite

Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ima dve diagonali in se sekata. Naj je podan paralelogram ABCD, njegovi diagonali AC in BD se sekata v točki E. Razmislimo o trikotniku ABE in CDE, ki ga tvorita.

Ti trikotniki imata strani AB in CD enaki kot nasprotni strani paralelograma. Kot ABE je enak kotu CDE, saj ležita čez vzporedni premici AB in CD. Iz istega razloga je ∠BAE = ∠DCE. Zato je ∆ABE = ∆CDE nad dvema kotoma in stranico med njima.

Opazite lahko tudi, da sta kota AEB in CED navpična in zato tudi enaka drug drugemu.

Ker sta trikotnika ABE in CDE enaka drug drugemu, so enaki tudi vsi njuni ustrezni elementi. Stran AE prvega trikotnika ustreza strani CE drugega, torej AE = CE. Podobno je BE = DE. Vsak par enakih segmentov sestavlja diagonalo paralelograma. Tako je dokazano, da diagonale paralelograma so prepolovljene s točko presečišča.

V današnji lekciji bomo ponovili glavne lastnosti paralelograma, nato pa bomo pozorni na premislek o prvih dveh značilnostih paralelograma in ju dokazali. Med dokazovanjem se spomnimo uporabe znakov enakosti trikotnikov, ki smo jo preučevali lani in ponovili v prvi lekciji. Na koncu bo podan primer uporabe preučenih značilnosti paralelograma.

Tema: štirikotniki

Lekcija: Znaki paralelograma

Začnimo s tem, da se spomnimo definicije paralelograma.

Opredelitev. Paralelogram- štirikotnik, v katerem sta vsaki dve nasprotni strani vzporedni (glej sliko 1).

riž. 1. Paralelogram

Spomnimo se osnovne lastnosti paralelograma:

Da bi lahko uporabljali vse te lastnosti, je treba biti prepričan, da je številka o kateri pod vprašajem, je paralelogram. Če želite to narediti, morate poznati dejstva, kot so znaki paralelograma. Danes bomo obravnavali prva dva od njih.

Izrek. Prva značilnost paralelograma.Če sta v štirikotniku dve nasprotni strani enaki in vzporedni, potem je ta štirikotnik paralelogram. .

riž. 2. Prvi znak paralelograma

Dokaz. V štirikotniku narišemo diagonalo (glej sliko 2), razdelila jo je na dva trikotnika. Zapišimo, kaj vemo o teh trikotnikih:

glede na prvi znak enakosti trikotnikov.

Iz enakosti teh trikotnikov sledi, da na podlagi vzporednosti premic na presečišču njihove sekante. imamo tole:

Dokazano.

Izrek. Drugi znak paralelograma.Če sta v štirikotniku vsaki dve nasprotni strani enaki, potem je ta štirikotnik paralelogram. .

riž. 3. Drugi znak paralelograma

Dokaz. V štirikotniku narišemo diagonalo (glej sliko 3), ki jo razdeli na dva trikotnika. Zapišimo, kaj vemo o teh trikotnikih na podlagi formulacije izreka:

po tretjem kriteriju za enakost trikotnikov.