Formule za iskanje površine paralelograma abcd. Območje paralelograma

4. naloga.

Ena od diagonal paralelograma dolžine 4√6 tvori z osnovo kot 60°, druga diagonala pa z isto osnovo kot 45°. Poiščite drugo diagonalo.

Odločitev.

1. AO = 2√6.

2. Uporabite sinusni izrek za trikotnik AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

5. naloga.

Za paralelogram s stranicama 5√2 in 7√2 je manjši kot med diagonaloma enak manjšemu kotu paralelograma. Poiščite vsoto dolžin diagonal.

Odločitev.

Naj bosta d 1, d 2 diagonali paralelograma, kot med diagonaloma in manjšim kotom paralelograma pa φ.

1. Preštejmo dve različni
načinov svojega območja.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobimo enakost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f oz.

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Z uporabo razmerja med stranicami in diagonalami paralelograma zapišemo enakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Naredimo sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Drugo enačbo sistema pomnožite z 2 in jo dodajte prvi.

Dobimo (d 1 + d 2) 2 = 576. Zato je Id 1 + d 2 I = 24.

Ker sta d 1, d 2 dolžini diagonal paralelograma, potem je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

6. naloga.

Stranici paralelograma sta 4 in 6. Ostri kot med diagonaloma je 45 o. Poiščite površino paralelograma.

Odločitev.

1. Iz trikotnika AOB s pomočjo kosinusnega izreka zapišemo razmerje med stranico paralelograma in diagonalama.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Podobno zapišemo relacijo za trikotnik AOD.

To upoštevamo<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobimo enačbo d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Imamo sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Če odštejemo prvo od druge enačbe, dobimo 2d 1 d 2 √2 = 80 oz.

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC BD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Opomba: V tem in prejšnjem problemu sistema ni treba v celoti rešiti, saj predvidevamo, da v tem problemu potrebujemo zmnožek diagonal za izračun površine.

Odgovor: 10.

7. naloga.

Površina paralelograma je 96, njegovi strani pa 8 in 15. Poiščite kvadrat manjše diagonale.

Odločitev.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Naredimo zamenjavo v formuli.

Dobimo 96 = 8 15 sin VAD. Zato je sin VAD = 4/5.

2. Poiščite cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Glede na pogoj naloge poiščemo dolžino manjše diagonale. Diagonala BD bo manjša, če je kot BAD oster. Potem je cos BAD = 3/5.

3. Iz trikotnika ABD s pomočjo kosinusnega izreka najdemo kvadrat diagonale BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odgovor: 145.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti geometrijski problem?
Če želite dobiti pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.

Tako kot v evklidski geometriji sta točka in črta glavna elementa teorije ravnin, zato je paralelogram ena ključnih figur konveksnih štirikotnikov. Iz njega, kot niti iz kroglice, tečejo koncepti "pravokotnik", "kvadrat", "romb" in druge geometrijske količine.

V stiku z

Definicija paralelograma

konveksni štirikotnik, sestavljen iz segmentov, katerih vsak par je vzporeden, je v geometriji znan kot paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram, je štirikotnik ABCD. Stranice imenujemo osnove (AB, BC, CD in AD), navpičnica, potegnjena iz katerega koli oglišča na nasprotno stran tega oglišča, se imenuje višina (BE in BF), premici AC in BD sta diagonali.

Pozor! Kvadrat, romb in pravokotnik so posebni primeri paralelograma.

Strani in koti: značilnosti razmerja

Ključne lastnosti na splošno vnaprej določeno s samo oznako, so dokazani z izrekom. Te značilnosti so naslednje:

1. Strani, ki so nasproti, so v parih enake.
2. Koti, ki so si nasproti, so v parih enaki.

Dokaz: razmislite o ∆ABC in ∆ADC, ki ju dobimo z deljenjem štirikotnika ABCD z premico AC. ∠BCA=∠CAD in ∠BAC=∠ACD, saj jim je AC skupen (navpični koti za BC||AD in AB||CD). Iz tega sledi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij za enakost trikotnikov).

Segmenta AB in BC v ∆ABC v paru ustrezata premici CD in AD v ∆ADC, kar pomeni, da sta enaka: AB = CD, BC = AD. Tako ∠B ustreza ∠D in sta enaka. Ker sta ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ki sta tudi v parih enaka, potem je ∠A = ∠C. Lastnina je dokazana.

Značilnosti diagonal figure

Glavna značilnost te paralelogramske premice: presečna točka jih prepolovi.

Dokaz: naj bo m. E presečišče diagonal AC in BD figure ABCD. Sestavljajo dva sorazmerna trikotnika - ∆ABE in ∆CDE.

AB=CD, saj sta nasproti. Glede na vrstice in sekante sta ∠ABE = ∠CDE in ∠BAE = ∠DCE.

Glede na drugi znak enakosti je ∆ABE = ∆CDE. To pomeni, da sta elementa ∆ABE in ∆CDE: AE = CE, BE = DE, poleg tega pa sta sorazmerna dela AC in BD. Lastnina je dokazana.

Značilnosti sosednjih vogalov

Na sosednjih straneh je vsota kotov 180°, saj ležita na isti strani vzporednice in sekante. Za štirikotnik ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Lastnosti simetrale:

1. , spuščeni na eno stran, so pravokotni;
2. nasprotna oglišča imajo vzporedne simetrale;
3. trikotnik, ki ga dobimo z risanjem simetrale, bo enakokraki.

Določanje značilnosti paralelograma z izrekom

Značilnosti te slike izhajajo iz njenega glavnega izreka, ki se glasi: štirikotnik se šteje za paralelogram v primeru, da se njene diagonale sekajo in jih ta točka razdeli na enake segmente.

Dokaz: Naj se premici AC in BD štirikotnika ABCD sekata v t. E. Ker je ∠AED = ∠BEC in AE+CE=AC BE+DE=BD, potem je ∆AED = ∆BEC (po prvem znaku enakosti trikotnikov). Se pravi, ∠EAD = ∠ECB. So tudi notranji prečni koti sekante AC za premici AD in BC. Torej, po definiciji vzporednosti - AD || pr. Izpeljana je tudi podobna lastnost vrstic BC in CD. Izrek je dokazan.

Izračunavanje površine figure

Območje te figure najdemo na več načinov eden najpreprostejših: pomnoževanje višine in osnove, na katero je narisana.

Dokaz: Nariši pravokotnici BE in CF iz oglišč B in C. ∆ABE in ∆DCF sta enaki, ker sta AB = CD in BE = CF. ABCD je enak pravokotniku EBCF, saj so sestavljeni tudi iz sorazmernih številk: S ABE in S EBCD ter S DCF in S EBCD. Iz tega sledi, da je površina te geometrijske figure enaka površini pravokotnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Za določitev splošne formule za površino paralelograma označimo višino kot hb, in stran b. oz.:

Drugi načini za iskanje območja

Izračuni površine skozi stranice paralelograma in kota, ki ga tvorijo, je druga znana metoda.

,

Spr-ma - območje;

a in b sta njeni strani

α - kot med segmentoma a in b.

Ta metoda praktično temelji na prvi, vendar v primeru, da ni znana. vedno odreže pravokoten trikotnik, katerega parametre najdemo s trigonometričnimi identitetami, t.j. Če spremenimo razmerje, dobimo . V enačbi prve metode višino nadomestimo s tem produktom in dobimo dokaz o veljavnosti te formule.

Skozi diagonale paralelograma in kota, ki jih ustvarijo, ko se križajo, lahko najdete tudi območje.

Dokaz: AC in BD, ki se sekata, tvorita štiri trikotnike: ABE, BEC, CDE in AED. Njihova vsota je enaka površini tega štirikotnika.

Območje vsakega od teh ∆ je mogoče najti iz izraza , kjer je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Ker se v izračunih uporablja ena sama vrednost sinusa. tj. Ker AE+CE=AC= d 1 in BE+DE=BD= d 2 , se formula površine zmanjša na:

.

Uporaba v vektorski algebri

Značilnosti sestavnih delov tega štirikotnika so našle uporabo v vektorski algebri, in sicer: seštevanje dveh vektorjev. Pravilo paralelograma to pravi če so podani vektorjiinneso kolinearni, potem bo njihova vsota enaka diagonali te figure, katere osnove ustrezajo tem vektorjem.

Dokaz: iz poljubno izbranega začetka – tj. - gradimo vektorje in . Nato zgradimo paralelogram OASV, kjer sta odseka OA in OB strani. Tako OS leži na vektorju ali vsoti.

Formule za izračun parametrov paralelograma

Identitete so podane pod naslednjimi pogoji:

1. a in b, α - stranice in kot med njima;
2. d 1 in d 2 , γ - diagonali in na točki njunega presečišča;
3. h a in h b - višine, spuščene na strani a in b;

Parameter	Formula
Iskanje strani
vzdolž diagonal in kosinusa kota med njimi
diagonalno in vstran
skozi višino in nasprotno točko
Iskanje dolžine diagonal
na straneh in velikost vrha med njimi

Geometrijsko območje- številčna značilnost geometrijske figure, ki prikazuje velikost te figure (del površine, omejen z zaprto konturo te figure). Velikost območja je izražena s številom kvadratnih enot, ki jih vsebuje.

Formule površine trikotnika

1. Formula površine trikotnika za stran in višino
   Območje trikotnika enaka polovici zmnožka dolžine stranice trikotnika in dolžine višine, potegnjene na to stran
   
2. Formula za površino trikotnika s tremi stranicami in polmerom opisanega kroga
   
3. Formula za površino trikotnika s tremi stranicami in polmerom vpisanega kroga
   Območje trikotnika je enak zmnožku polovice trikotnika in polmera vpisane kroge.
   
kjer je S površina trikotnika,
- dolžine stranic trikotnika,
- višina trikotnika,
- kot med stranicami in,
- polmer vpisanega kroga,
R - polmer opisanega kroga,

Formule kvadratnih površin

1. Formula za površino kvadrata glede na dolžino stranice
   kvadratna površina je enak kvadratu njegove stranične dolžine.
2. Formula za površino kvadrata glede na dolžino diagonale
   kvadratna površina enaka polovici kvadrata dolžine njegove diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

kjer je S površina kvadrata,
je dolžina stranice kvadrata,
je dolžina diagonale kvadrata.

Formula površine pravokotnika

Območje pravokotnika je enak zmnožku dolžin njegovih dveh sosednjih stranic

kjer je S površina pravokotnika,
so dolžine stranic pravokotnika.

Formule za površino paralelograma

1. Formula območja paralelograma za dolžino in višino stranic
   Območje paralelograma
2. Formula za površino paralelograma z dvema stranicama in kotom med njima
   Območje paralelograma je enak zmnožku dolžin njegovih stranic, pomnoženega s sinusom kota med njima.
   

   a b sinα

kjer je S površina paralelograma,
so dolžine stranic paralelograma,
je višina paralelograma,
je kot med stranicama paralelograma.

Formule za površino romba

1. Formula površine romba glede na dolžino in višino stranice
   Območje rombov je enak zmnožku dolžine njegove stranice in dolžine višine, spuščene na to stran.
2. Formula za površino romba glede na dolžino stranice in kota
   Območje rombov je enak zmnožku kvadrata dolžine njegove stranice in sinusa kota med stranicama romba.
3. Formula za površino romba iz dolžin njegovih diagonal
   Območje rombov je enak polovici zmnožka dolžin njegovih diagonal.
kjer je S površina romba,
- dolžina stranice romba,
- dolžina višine romba,
- kot med stranicama romba,
1, 2 - dolžine diagonal.

Formule za območje trapeza

1. Heronova formula za trapez

   kjer je S površina trapeza,
   - dolžina osnov trapeza,
   - dolžina stranic trapeza,
   

Paralelogram je štirikotna figura, katere nasprotni strani sta parno vzporedni in parno enaki. Tudi njegova nasprotna kota sta enaka, presečišče diagonal paralelograma pa jih deli na polovico, hkrati pa je središče simetrije figure. Posebni primeri paralelograma so geometrijske oblike, kot so kvadrat, pravokotnik in romb. Območje paralelograma je mogoče najti na različne načine, odvisno od tega, katere začetne podatke spremlja formulacija problema.

1. V najpreprostejšem primeru je površina paralelograma opredeljena kot produkt njegove osnove in višine.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   kjer je S površina paralelograma;
   a - osnova;
   h je višina, potegnjena na dano bazo.

   To formulo je zelo enostavno razumeti in si jo zapomniti, če pogledate naslednjo sliko.

   

   Kot lahko vidite iz te slike, če odrežemo namišljen trikotnik levo od paralelograma in ga pritrdimo na desno, potem kot rezultat dobimo pravokotnik. In kot veste, se površina pravokotnika pomnoži tako, da se njegova dolžina pomnoži z višino. Samo v primeru paralelograma bo dolžina osnova, višina pravokotnika pa višina paralelograma, spuščenega na to stran.

2. Območje paralelograma lahko najdemo tudi tako, da pomnožimo dolžine dveh sosednjih baz in sinus kota med njima:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   kjer sta AD, AB sosednji osnovi, ki tvorita presečišče in kot a med seboj;
   α je kot med osnovama AD in AB.

   

3. Tudi površino paralelograma lahko najdemo tako, da na polovico delimo produkt dolžin diagonal paralelograma s sinusom kota med njima.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   kjer sta AC, BD diagonali paralelograma;
   β je kot med diagonalama.

   

4. Obstaja tudi formula za iskanje površine paralelograma glede na polmer vanj vpisanega kroga. Zapisano je takole:

Video tečaj "Dobijte A" vključuje vse teme, potrebne za uspešno opravljanje izpita iz matematike za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 Profila USE pri matematiki. Primerno tudi za opravljanje osnovne USE pri matematiki. Če želite izpit opraviti z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razrede, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za reševanje 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne morejo niti stotočkovni študent niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so bile vse relevantne naloge 1. dela nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj vsebuje 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana iz nič, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Težave z besedilom in teorija verjetnosti. Preprosti in si lahko zapomni algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčno gradivo, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabiranja. Vizualna razlaga kompleksnih konceptov. algebra. Korenine, potenci in logaritmi, funkcija in izpeljanka. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.