Totul despre inegalitățile logaritmice. Analizarea exemplelor

Inegalități logaritmice

În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu ecuațiile logaritmice și acum știm ce sunt acestea și cum să le rezolvăm. Și lecția de astăzi va fi dedicată studiului inegalităților logaritmice. Care sunt aceste inegalități și care este diferența dintre rezolvarea unei ecuații logaritmice și a inegalităților?

Inegalitățile logaritmice sunt inegalitățile care au o variabilă sub semnul logaritmului sau la baza acestuia.

Sau, se mai poate spune că o inegalitate logaritmică este o astfel de inegalitate în care valoarea sa necunoscută, ca în ecuația logaritmică, va fi sub semnul logaritmului.

Cele mai simple inegalități logaritmice arată astfel:

unde f(x) și g(x) sunt niște expresii care depind de x.

Să ne uităm la asta folosind următorul exemplu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rezolvarea inegalităților logaritmice

Înainte de a rezolva inegalitățile logaritmice, este de remarcat faptul că atunci când sunt rezolvate, ele sunt similare cu inegalitățile exponențiale, și anume:

În primul rând, când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să comparăm și baza logaritmului cu una;

În al doilea rând, atunci când rezolvăm o inegalitate logaritmică folosind o modificare a variabilelor, trebuie să rezolvăm inegalitățile în raport cu modificarea până când obținem cea mai simplă inegalitate.

Dar noi am considerat momentele similare ale rezolvării inegalităților logaritmice. Acum să ne uităm la o diferență destul de semnificativă. Tu și cu mine știm că funcția logaritmică are un domeniu limitat de definiție, prin urmare, atunci când treceți de la logaritmi la expresii care sunt sub semnul logaritmului, trebuie să luați în considerare intervalul de valori admisibile (ODV) .

Adică, trebuie avut în vedere că atunci când rezolvăm o ecuație logaritmică, putem găsi mai întâi rădăcinile ecuației și apoi verificăm această soluție. Dar rezolvarea inegalității logaritmice nu va funcționa în acest fel, deoarece trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, va fi necesar să se noteze ODZ a inegalității.

În plus, merită să ne amintim că teoria inegalităților constă din numere reale, care sunt numere pozitive și negative, precum și din numărul 0.

De exemplu, când numărul „a” este pozitiv, atunci trebuie utilizată următoarea notație: a > 0. În acest caz, atât suma, cât și produsul acestor numere vor fi, de asemenea, pozitive.

Principiul de bază al rezolvării unei inegalități este înlocuirea acesteia cu o inegalitate mai simplă, dar principalul lucru este ca aceasta să fie echivalentă cu cea dată. În plus, am obținut și o inegalitate și am înlocuit-o din nou cu una care are o formă mai simplă și așa mai departe.

Rezolvând inegalitățile cu o variabilă, trebuie să găsiți toate soluțiile acesteia. Dacă două inegalități au aceeași variabilă x, atunci astfel de inegalități sunt echivalente, cu condiția ca soluțiile lor să fie aceleași.

Când efectuați sarcini pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, este necesar să ne amintim că atunci când a > 1, atunci funcția logaritmică crește și când 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Modalități de rezolvare a inegalităților logaritmice

Acum să ne uităm la câteva dintre metodele care au loc la rezolvarea inegalităților logaritmice. Pentru o mai bună înțelegere și asimilare, vom încerca să le înțelegem folosind exemple concrete.

Știm că cea mai simplă inegalitate logaritmică are următoarea formă:

În această inegalitate, V - este unul dintre semnele de inegalitate precum:<,>, ≤ sau ≥.

Când baza acestui logaritm este mai mare decât unu (a>1), făcând tranziția de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, atunci în această versiune semnul inegalității este păstrat, iar inegalitatea va arăta astfel:

care este echivalent cu următorul sistem:

În cazul în care baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât unu (0

Acesta este echivalent cu acest sistem:

Să ne uităm la mai multe exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități logaritmice prezentate în imaginea de mai jos:

Rezolvarea exemplelor

Exercițiu. Să încercăm să rezolvăm această inegalitate:

Decizia zonei de valori admisibile.

Acum să încercăm să-i înmulțim partea dreaptă cu:

Să vedem ce putem face:

Acum, să trecem la transformarea expresiilor sublogaritmice. Deoarece baza logaritmului este 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Și de aici rezultă că intervalul pe care l-am obținut aparține în întregime ODZ și este o soluție la o astfel de inegalitate.

Iată răspunsul pe care l-am primit:

Ce este necesar pentru a rezolva inegalitățile logaritmice?

Acum să încercăm să analizăm de ce avem nevoie pentru a rezolva cu succes inegalitățile logaritmice?

În primul rând, concentrează-ți toată atenția și încearcă să nu faci greșeli atunci când efectuați transformările care sunt date în această inegalitate. De asemenea, trebuie amintit că atunci când se rezolvă astfel de inegalități, este necesar să se prevină extinderea și îngustarea inegalității ODZ, care poate duce la pierderea sau achiziționarea de soluții străine.

În al doilea rând, atunci când rezolvați inegalitățile logaritmice, trebuie să învățați să gândiți logic și să înțelegeți diferența dintre concepte precum un sistem de inegalități și un set de inegalități, astfel încât să puteți selecta cu ușurință soluții la o inegalitate, în timp ce vă ghidați de DHS.

În al treilea rând, pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, fiecare dintre voi trebuie să cunoască perfect toate proprietățile funcțiilor elementare și să înțeleagă clar sensul acestora. Astfel de funcții includ nu numai logaritmice, ci și raționale, de putere, trigonometrice etc., într-un cuvânt, toate cele pe care le-ați studiat în timpul algebrei școlare.

După cum puteți vedea, după ce ați studiat subiectul inegalităților logaritmice, nu este nimic dificil în rezolvarea acestor inegalități, cu condiția să fiți atent și perseverent în atingerea obiectivelor. Pentru a evita orice probleme în rezolvarea inegalităților, trebuie să te antrenezi cât mai mult posibil, rezolvând diverse sarcini și, în același timp, să memorezi principalele modalități de rezolvare a unor astfel de inegalități și sistemele acestora. Cu soluții nereușite la inegalitățile logaritmice, ar trebui să vă analizați cu atenție greșelile, astfel încât să nu vă mai întoarceți la ele în viitor.

Teme pentru acasă

Pentru o mai bună asimilare a temei și consolidarea materialului tratat, rezolvați următoarele inegalități:

O inegalitate se numește logaritmică dacă conține o funcție logaritmică.

Metodele de rezolvare a inegalităților logaritmice nu diferă cu excepția a două lucruri.

În primul rând, când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, rezultă urmați semnul inegalității rezultate. Se supune următoarei reguli.

Dacă baza funcției logaritmice este mai mare de $1$, atunci când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, semnul de inegalitate se păstrează, iar dacă este mai mic de $1$, atunci se inversează.

În al doilea rând, soluția oricărei inegalități este un interval și, prin urmare, la sfârșitul soluției inegalității funcțiilor sublogaritmice, este necesar să se compună un sistem de două inegalități: prima inegalitate a acestui sistem va fi inegalitatea de funcții sublogaritmice, iar al doilea va fi intervalul domeniului de definire a funcțiilor logaritmice incluse în inegalitatea logaritmică.