Rozwiązanie typowych zadań. Zakres funkcji w zadaniach egzaminacyjnych Jak szukać zbioru wartości funkcji

Funkcją jest model. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej // niezależny oznacza dowolny.

Funkcja to reguła, według której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć jedyną wartość zmiennej zależnej. // tj. na każdy x przypada jeden y.

Z definicji wynika, że ​​istnieją dwa pojęcia - zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjąć dowolną wartość) oraz zmienną zależną (którą oznaczamy przez y lub f(x) i jest wyliczana z funkcji, gdy podstawiamy x).

NA PRZYKŁAD y=5+x

1. Niezależność to x, więc przyjmujemy dowolną wartość, niech x = 3

2. a teraz obliczamy y, więc y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y jest zależne od x, bo jakie x podstawiamy, otrzymujemy takie y)

Mówimy, że zmienna y jest funkcjonalnie zależna od zmiennej x i oznaczamy to w następujący sposób: y = f (x).

NA PRZYKŁAD.

1.y=1/x. (zwane hiperbolą)

2. y=x^2. (tzw. parabola)

3.y=3x+7. (zwana linią prostą)

4. y \u003d √ x. (tzw. gałąź paraboli)

Zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x) nazywana jest argumentem funkcji.

Zakres funkcji

Zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez argument funkcji nazywany jest domeną funkcji i jest oznaczony przez D(f) lub D(y).

Rozważ D(y) dla 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cały zestaw liczb rzeczywistych oprócz zera.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczne liczby rzeczywiste

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste

4. D (y) \u003d. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w tym segmencie.

Pochodna jest dodatnia dla wszystkich x z przedziału (-1; 1) , to znaczy funkcja arcus sinus rośnie w całej dziedzinie definicji. Dlatego przyjmuje najmniejszą wartość w x=-1, a największy at x=1.

Otrzymaliśmy zakres funkcji arcsine .

Znajdź zbiór wartości funkcji na segmencie .

Rozwiązanie.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w danym segmencie.

Wyznaczmy punkty ekstremalne należące do odcinka :

Wiele zadań prowadzi nas do poszukiwania zbioru wartości funkcji na określonym segmencie lub na całej domenie definicji. Takie zadania obejmują różne oceny wyrażeń, rozwiązywanie nierówności.

W tym artykule zdefiniujemy zakres funkcji, rozważymy metody jej znajdowania i szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie przykładów od prostych do bardziej złożonych. Wszystkie materiały będą opatrzone ilustracjami graficznymi dla przejrzystości. Ten artykuł jest więc szczegółową odpowiedzią na pytanie, jak znaleźć zakres funkcji.

Definicja.

Zbiór wartości funkcji y = f(x) na przedziale X nazwany zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po all .

Definicja.

Zakres funkcji y = f(x) nazywa się zbiorem wszystkich wartości funkcji, które przyjmuje podczas iteracji po wszystkich x z dziedziny definicji.

Zakres funkcji jest oznaczony jako E(f) .

Zakres funkcji i zbiór wartości funkcji to nie to samo. Koncepcje te będą uważane za równoważne, jeśli przedział X przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji y = f(x) pokrywa się z dziedziną funkcji.

Nie pomyl również zakresu funkcji ze zmienną x dla wyrażenia po prawej stronie równania y=f(x) . Obszar dopuszczalnych wartości zmiennej x dla wyrażenia f(x) to obszar definicji funkcji y=f(x) .

Rysunek przedstawia kilka przykładów.

Wykresy funkcji są przedstawione pogrubionymi niebieskimi liniami, cienkie czerwone linie to asymptoty, czerwone kropki i linie na osi Oy pokazują zakres odpowiedniej funkcji.

Jak widać, zasięg funkcji uzyskuje się rzutując wykres funkcji na oś y. Może to być pojedyncza liczba (pierwszy przypadek), zbiór liczb (drugi przypadek), segment (trzeci przypadek), odstęp (czwarty przypadek), otwarty promień (piąty przypadek), suma (szósty przypadek) itp. .

Więc co musisz zrobić, aby znaleźć zakres funkcji.

Zacznijmy od najprostszego przypadku: pokażemy, jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) na przedziale .

Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku osiąga na nim swoje wartości maksymalne i minimalne. Zatem zbiór wartości pierwotnej funkcji na segmencie będzie segmentem . Dlatego nasze zadanie sprowadza się do znalezienia największych i najmniejszych wartości funkcji na przedziale .

Na przykład znajdźmy zakres funkcji arcsine.

Przykład.

Określ zakres funkcji y = arcsinx .

Rozwiązanie.

Dziedziną definicji arcus sinus jest odcinek [-1; jeden] . Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w tym segmencie.

Pochodna jest dodatnia dla wszystkich x z przedziału (-1; 1) , to znaczy funkcja arcus sinus rośnie w całej dziedzinie definicji. Dlatego przyjmuje najmniejszą wartość przy x = -1, a największą przy x = 1.

Otrzymaliśmy zakres funkcji arcsine .

Przykład.

Znajdź zbiór wartości funkcji na segmencie.

Rozwiązanie.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w danym segmencie.

Zdefiniujmy ekstrema należące do segmentu:

Obliczamy wartości pierwotnej funkcji na końcach odcinka i w punktach :

Dlatego zbiorem wartości funkcji na segmencie jest segment .

Teraz pokażemy, jak znaleźć zbiór wartości funkcji ciągłej y = f(x) w przedziałach (a; b) , .

Najpierw wyznaczamy punkty ekstremów, ekstrema funkcji, przedziały wzrostu i spadku funkcji na danym przedziale. Następnie obliczamy na końcach przedziału i (lub) granice w nieskończoności (to znaczy badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału lub w nieskończoności). Ta informacja wystarczy, aby znaleźć zbiór wartości funkcji na takich interwałach.

Przykład.

Określ zestaw wartości funkcji w przedziale (-2; 2) .

Rozwiązanie.

Znajdźmy ekstrema funkcji przypadające na przedział (-2; 2) :

Kropka x = 0 jest punktem maksymalnym, ponieważ pochodna zmienia znak z plusa na minus podczas przechodzenia przez nią, a wykres funkcji przechodzi od rosnącego do malejącego.

jest odpowiednim maksimum funkcji.

Dowiedzmy się, jak zachowuje się funkcja, gdy x ma tendencję do -2 po prawej stronie, a x ma tendencję do 2 po lewej stronie, czyli znajdujemy granice jednostronne:

Co otrzymaliśmy: gdy argument zmienia się z -2 na zero, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do minus jednej czwartej (maksimum funkcji przy x = 0 ), gdy argument zmienia się od zera do 2, funkcja wartości spadają do minus nieskończoności. Zatem zbiór wartości funkcji w przedziale (-2; 2) to .

Przykład.

Określ zbiór wartości funkcji stycznej y = tgx na przedziale .

Rozwiązanie.

Pochodna funkcji stycznej na przedziale jest dodatnia , co wskazuje na zwiększenie funkcji. Badamy zachowanie funkcji na granicach przedziału:

Tak więc, gdy argument zmienia się z na, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności, czyli zbiór wartości stycznych w tym przedziale jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład.

Znajdź zakres funkcji logarytmu naturalnego y = lnx .

Rozwiązanie.

Funkcja logarytmu naturalnego jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu . Na tym przedziale pochodna jest dodatnia , oznacza to wzrost funkcji na nim. Znajdźmy jednostronną granicę funkcji, gdy argument ma tendencję do zera od prawej strony, oraz granicę, gdy x ma tendencję do plus nieskończoność:

Widzimy, że gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji rosną od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Dlatego zakres funkcji logarytmu naturalnego to cały zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład.

Rozwiązanie.

Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych wartości x. Wyznaczmy punkty ekstremów oraz przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Dlatego funkcja maleje o , wzrasta o , x = 0 jest punktem maksymalnym, odpowiadające maksimum funkcji.

Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności:

Zatem w nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do zera.

Odkryliśmy, że gdy argument zmienia się od minus nieskończoności do zera (punkt maksymalny), wartości funkcji wzrastają od zera do dziewięciu (aż do maksimum funkcji), a gdy x zmienia się od zera do plus nieskończoności, wartości funkcji zmniejszają się od dziewięciu do zera.

Spójrz na schematyczny rysunek.

Teraz widać wyraźnie, że zakres funkcji to .

Znalezienie zbioru wartości funkcji y = f(x) na przedziałach wymaga podobnych badań. Nie będziemy teraz szczegółowo omawiać tych przypadków. Zobaczymy je na poniższych przykładach.

Niech dziedziną funkcji y = f(x) będzie suma kilku przedziałów. Podczas znajdowania zakresu takiej funkcji określa się zestawy wartości na każdym przedziale i przyjmuje się ich sumę.

Przykład.

Znajdź zakres funkcji .

Rozwiązanie.

Mianownik naszej funkcji nie powinien iść do zera, czyli .

Najpierw znajdźmy zbiór wartości funkcji na otwartym promieniu.

Pochodna funkcji jest ujemna na tym przedziale, to znaczy funkcja maleje na nim.

Odkryliśmy, że ponieważ argument ma tendencję do minus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do jedności. Gdy x zmienia się z minus nieskończoności na dwa, wartości funkcji zmniejszają się od jednego do minus nieskończoności, czyli w rozważanym przedziale funkcja przyjmuje zestaw wartości. Nie uwzględniamy jedności, ponieważ wartości funkcji nie osiągają jej, a jedynie asymptotycznie dążą do niej w minus nieskończoności.

Podobnie postępujemy z otwartą belką.

Funkcja zmniejsza się również w tym przedziale.

Zbiór wartości funkcji na tym przedziale to zbiór .

Zatem pożądanym zakresem wartości funkcji jest suma zbiorów i .

Graficzna ilustracja.

Osobno powinniśmy zastanowić się nad funkcjami okresowymi. Zakres funkcji okresowych pokrywa się ze zbiorem wartości na przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji.

Przykład.

Znajdź zakres funkcji sinus y = sinx .

Rozwiązanie.

Ta funkcja jest okresowa z okresem dwóch pi. Weźmy segment i zdefiniujmy na nim zbiór wartości.

Segment zawiera dwa skrajne punkty i .

Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i na granicach segmentu, wybieramy najmniejsze i największe wartości:

W konsekwencji, .

Przykład.

Znajdź zakres funkcji .

Rozwiązanie.

Wiemy, że zakres arcus cosinus to odcinek od zera do pi, czyli lub w innym poście. Funkcjonować można uzyskać z arccosx, przesuwając i rozciągając wzdłuż osi x. Takie przekształcenia nie wpływają na zasięg, dlatego . Funkcjonować pochodzi z rozciąganie się trzykrotnie wzdłuż osi Oy, czyli . A ostatni etap transformacji to przesunięcie o cztery jednostki w dół wzdłuż osi y. To prowadzi nas do podwójnej nierówności

Zatem pożądany zakres wartości to .

Podajmy rozwiązanie innego przykładu, ale bez wyjaśnień (nie są one wymagane, ponieważ są całkowicie podobne).

Przykład.

Zdefiniuj zakres funkcji .

Rozwiązanie.

Pierwotną funkcję zapisujemy w postaci . Zakres funkcji wykładniczej to przedział . Tj, . Następnie

W konsekwencji, .

Aby dopełnić obraz, powinniśmy mówić o znalezieniu zakresu funkcji, która nie jest ciągła w dziedzinie definicji. W tym przypadku dziedzina definicji jest podzielona punktami załamania na przedziały, a na każdym z nich znajdujemy zbiory wartości. Łącząc otrzymane zbiory wartości otrzymujemy zakres wartości pierwotnej funkcji. Zalecamy zapamiętanie 3 po lewej stronie, wartości funkcji mają tendencję do minus jeden, a gdy x ma tendencję do 3 po prawej, wartości funkcji mają tendencję do plus nieskończoność.

Tak więc dziedzina definicji funkcji podzielona jest na trzy przedziały.

W przedziale mamy funkcję . Od tego czasu

Zatem zbiór wartości pierwotnej funkcji w przedziale to [-6;2] .

Na półprzedziału mamy stałą funkcję y = -1 . Oznacza to, że zbiór wartości pierwotnej funkcji na interwale składa się z jednego elementu.

Funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich poprawnych wartości argumentu. Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Pochodna znika przy x=-1 i x=3. Punkty te zaznaczamy na osi rzeczywistej i wyznaczamy znaki pochodnej na otrzymanych przedziałach.

Funkcja zmniejsza się o , wzrasta o [-1; 3] , x=-1 punkt minimalny, x=3 punkt maksymalny.

Obliczamy odpowiednie funkcje minimalne i maksymalne:

Sprawdźmy zachowanie funkcji w nieskończoności:

Drugi limit obliczono od .

Zróbmy schematyczny rysunek.

Gdy argument zmienia się z minus nieskończoności na -1, wartości funkcji spadają z plus do nieskończoności do -2e , gdy argument zmienia się z -1 na 3, wartości funkcji rosną z -2e do , gdy zmienia się argument z 3 do plus nieskończoność, wartości funkcji maleją od do zera, ale nie osiągają zera.

Często w ramach rozwiązywania problemów musimy szukać zbioru wartości funkcji na obszarze definicji lub na segmencie. Na przykład należy to zrobić przy rozwiązywaniu różnych rodzajów nierówności, ocenianiu wyrażeń itp.

W ramach tego materiału opowiemy, jaki jest zakres funkcji, podamy główne metody jej obliczania oraz przeanalizujemy problemy o różnym stopniu złożoności. Dla jasności poszczególne pozycje zilustrowano wykresami. Po przeczytaniu tego artykułu będziesz miał pełne zrozumienie zakresu funkcji.

Zacznijmy od podstawowych definicji.

Definicja 1

Zbiór wartości funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest zbiorem wszystkich wartości, które ta funkcja przyjmuje podczas iteracji po wszystkich wartościach x ∈ X .

Definicja 2

Zakres funkcji y = f (x) to zbiór wszystkich jej wartości, które może przyjąć podczas iteracji po wartościach x z zakresu x ∈ (f) .

Zakres jakiejś funkcji jest zwykle oznaczany przez E (f) .

Należy pamiętać, że pojęcie zbioru wartości funkcji nie zawsze jest tożsame z obszarem jej wartości. Pojęcia te będą równoważne tylko wtedy, gdy zakres wartości x przy znajdowaniu zbioru wartości pokrywa się z dziedziną funkcji.

Ważne jest również rozróżnienie między zakresem a zakresem zmiennej x dla wyrażenia po prawej stronie y = f (x) . Obszar dopuszczalnych wartości x dla wyrażenia f(x) będzie obszarem definicji tej funkcji.

Poniżej znajduje się ilustracja przedstawiająca kilka przykładów. Niebieskie linie to wykresy funkcji, czerwone to asymptoty, czerwone kropki i linie na osi y to zakresy funkcji.

Oczywiście zasięg funkcji można uzyskać rzutując wykres funkcji na oś O y . Co więcej, może to być pojedyncza liczba lub zestaw liczb, odcinek, przedział, otwarty promień, suma przedziałów liczbowych itp.

Rozważ główne sposoby znajdowania zakresu funkcji.

Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) na pewnym odcinku, oznaczonym [ a ; b] . Wiemy, że funkcja, która jest ciągła na pewnym przedziale, osiąga na nim swoje minimum i maksimum, czyli maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) i najmniejszą wartość m i n x ∈ a ; bf(x) . Zatem otrzymujemy odcinek m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , który będzie zawierał zbiory wartości pierwotnej funkcji. Następnie wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć określone minimalne i maksymalne punkty na tym odcinku.

Zajmijmy się problemem, w którym konieczne jest określenie zakresu wartości łuku.

Przykład 1

Stan: schorzenie: znajdź zakres y = a r c sin x .

Rozwiązanie

W ogólnym przypadku dziedzina definicji arcus sinus leży na przedziale [ - 1 ; jeden ] . Musimy określić na nim największą i najmniejszą wartość określonej funkcji.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

Wiemy, że pochodna funkcji będzie dodatnia dla wszystkich wartości x znajdujących się w przedziale [-1; 1 ] , czyli w całej dziedzinie definicji funkcja arcus sinus będzie wzrastać. Oznacza to, że przyjmie najmniejszą wartość, gdy x jest równe - 1, a największą - gdy x jest równe 1.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 ma x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Zatem zakres funkcji arcus sinus będzie równy E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Odpowiedź: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2

Przykład 2

Stan: schorzenie: obliczyć zakres y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na zadanym przedziale [1 ; 4 ] .

Rozwiązanie

Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale.

Do wyznaczenia punktów ekstremów konieczne jest wykonanie następujących obliczeń:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l oraz 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Teraz znajdźmy wartości danej funkcji na końcach odcinka i punktach x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Oznacza to, że zbiór wartości funkcji będzie określony przez segment 117 - 165 33 512 ; 32 .

Odpowiedź: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Przejdźmy do znalezienia zbioru wartości funkcji ciągłej y = f (x) w przedziałach (a ; b) i a ; + , - ; b , -∞ ; +∞ .

Zacznijmy od wyznaczenia punktów największych i najmniejszych oraz przedziałów wzrostu i spadku w danym przedziale. Następnie będziemy musieli obliczyć jednostronne limity na końcach przedziału i/lub limity w nieskończoności. Innymi słowy, musimy określić zachowanie funkcji w danych warunkach. Do tego mamy wszystkie niezbędne dane.

Przykład 3

Stan: schorzenie: obliczyć zakres funkcji y = 1 x 2 - 4 w przedziale (-2 ; 2 ) .

Rozwiązanie

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji na danym przedziale

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Otrzymaliśmy wartość maksymalną równą 0, ponieważ w tym momencie zmienia się znak funkcji i wykres zaczyna się zmniejszać. Zobacz ilustrację:

Oznacza to, że y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 będzie maksymalną wartością funkcji.

Teraz zdefiniujmy zachowanie funkcji dla x, który ma tendencję do -2 po prawej stronie i +2 po lewej stronie. Innymi słowy, znajdujemy jednostronne ograniczenia:

brak x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = brak x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ ogranicz x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = ogranicz x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Otrzymaliśmy, że wartości funkcji wzrosną od minus nieskończoności do -1 4, gdy argument zmieni się z -2 na 0. A gdy argument zmienia się z 0 na 2 , wartości funkcji zmniejszają się w kierunku minus nieskończoności. Dlatego zbiór wartości danej funkcji na wymaganym przez nas przedziale będzie (- ∞ ; - 1 4 ] .

Odpowiedź: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Przykład 4

Stan: schorzenie: wskazać zbiór wartości y = t g x na podanym przedziale - π 2 ; π 2 .

Rozwiązanie

Wiemy, że w ogólności pochodna tangensa w - π 2; π 2 będzie dodatnie, to znaczy funkcja wzrośnie. Teraz zdefiniujmy, jak funkcja zachowuje się w podanych granicach:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Uzyskaliśmy wzrost wartości funkcji od minus nieskończoności do plus nieskończoności przy zmianie argumentu z - π 2 na π 2 i możemy powiedzieć, że zbiór rozwiązań tej funkcji będzie zbiorem wszystkich rzeczywistych liczby.

Odpowiedź: - ∞ ; + ∞ .

Przykład 5

Stan: schorzenie: określić, jaki jest zakres funkcji logarytmu naturalnego y = ln x .

Rozwiązanie

Wiemy, że funkcja ta jest zdefiniowana dla dodatnich wartości argumentu D (y) = 0 ; +∞ . Pochodna na podanym przedziale będzie dodatnia: y " = ln x " = 1 x . Oznacza to, że funkcja się na nim zwiększa. Następnie musimy zdefiniować jednostronną granicę dla przypadku, gdy argument dochodzi do 0 (po prawej stronie) i gdy x zmierza do nieskończoności:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Odkryliśmy, że wartości funkcji będą rosły od minus nieskończoności do plus nieskończoności, gdy wartości x zmieniają się od zera do plus nieskończoności. Oznacza to, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zakresem funkcji logarytmu naturalnego.

Odpowiedź: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest zakresem funkcji logarytmu naturalnego.

Przykład 6

Stan: schorzenie: określić, jaki jest zakres funkcji y = 9 x 2 + 1 .

Rozwiązanie

Ta funkcja jest zdefiniowana pod warunkiem, że x jest liczbą rzeczywistą. Obliczmy największe i najmniejsze wartości funkcji, a także przedziały jej wzrostu i spadku:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

W rezultacie ustaliliśmy, że funkcja ta zmniejszy się, jeśli x ≥ 0; zwiększyć, jeśli x ≤ 0 ; ma maksymalny punkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9, gdy zmienna wynosi 0 .

Zobaczmy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Z zapisu widać, że wartości funkcji w tym przypadku asymptotycznie zbliżają się do 0.

Podsumowując: gdy argument zmienia się z minus nieskończoności na zero, to wartości funkcji wzrastają od 0 do 9 . Gdy wartości argumentów przejdą od 0 do plus nieskończoność, odpowiednie wartości funkcji zmniejszą się od 9 do 0 . Przedstawiliśmy to na rysunku:

Wynika z niego, że zakresem funkcji będzie przedział E (y) = (0 ; 9 ]

Odpowiedź: E (y) = (0 ; 9 ]

Jeśli musimy określić zbiór wartości funkcji y = f (x) na przedziałach [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞ ) , (- ∞ ; b ] , wtedy będziemy musieli przeprowadzić dokładnie te same badania. Nie będziemy jeszcze analizować tych przypadków: spotkamy je później w problemach .

Ale co, jeśli dziedziną pewnej funkcji jest suma kilku przedziałów? Następnie musimy obliczyć zestawy wartości na każdym z tych przedziałów i połączyć je.

Przykład 7

Stan: schorzenie: określ, jaki będzie zakres y = x x - 2 .

Rozwiązanie

Ponieważ mianownik funkcji nie powinien być zamieniany na 0 , to D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Zacznijmy od zdefiniowania zbioru wartości funkcji na pierwszym segmencie - ∞ ; 2, który jest otwartą belką. Wiemy, że funkcja na nim zmniejszy się, czyli pochodna tej funkcji będzie ujemna.

lim x → 2 - 0 xx - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ xx - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Wtedy, w przypadkach, gdy argument zmienia się w kierunku minus nieskończoności, wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do 1 . Jeśli wartości x zmienią się z minus nieskończoności na 2, to wartości zmniejszą się od 1 do minus nieskończoności, czyli funkcja na tym segmencie przyjmie wartości z przedziału - ∞ ; jeden . Z naszego rozumowania wykluczamy jedność, ponieważ wartości funkcji do niej nie docierają, a jedynie zbliżają się do niej asymptotycznie.

Dla belki otwartej 2 ; + ∞ wykonujemy dokładnie te same czynności. Funkcja na nim również maleje:

lim x → 2 + 0 xx - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ xx - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Wartości funkcji na tym segmencie są określone przez zbiór 1 ; +∞ . Oznacza to, że zakresem wartości funkcji określonej w warunku, którego potrzebujemy, będzie suma zbiorów - ∞; 1 i 1; +∞ .

Odpowiedź: E (y) = - ; 1 1 ; +∞ .

Widać to na wykresie:

Szczególnym przypadkiem są funkcje okresowe. Ich obszar wartości pokrywa się ze zbiorem wartości na przedziale odpowiadającym okresowi tej funkcji.

Przykład 8

Stan: schorzenie: określić zakres sinusa y = sin x .

Rozwiązanie

Sinus odnosi się do funkcji okresowej, a jej okres wynosi 2 pi. Bierzemy segment 0 ; 2 π i zobacz, jaki będzie na nim zestaw wartości.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

W ciągu 0; 2 π funkcja będzie miała skrajne punkty π 2 i x = 3 π 2 . Obliczmy, jakie będą w nich wartości funkcji, a także na granicach segmentu, po czym wybieramy największą i najmniejszą wartość.

y (0) = grzech 0 = 0 y π 2 = grzech π 2 = 1 y 3 π 2 = grzech 3 π 2 = - 1 y (2 π) = grzech (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d grzech π 2 \u003d 1

Odpowiedź: E (sinx) = - 1 ; jeden .

Jeśli chcesz poznać zakresy funkcji, takich jak wykładnicza, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczna, odwrotna trygonometryczna, zalecamy ponowne przeczytanie artykułu o podstawowych funkcjach elementarnych. Przedstawiona przez nas teoria pozwala nam przetestować podane tam wartości. Pożądane jest ich poznanie, ponieważ często są one wymagane w rozwiązywaniu problemów. Jeśli znasz zakresy funkcji głównych, możesz łatwo znaleźć zakresy funkcji, które uzyskuje się z funkcji elementarnych za pomocą przekształcenia geometrycznego.

Przykład 9

Stan: schorzenie: określić zakres y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Rozwiązanie

Wiemy, że odcinek od 0 do pi jest zakresem odwrotnego cosinusa. Innymi słowy, E(ar c cos x) = 0 ; π lub 0 ≤ arc cos x ≤ π . Możemy uzyskać funkcję a r c cos x 3 + 5 π 7 z łuku cosinusa przesuwając go i rozciągając wzdłuż osi O x, ale takie przekształcenia nic nam nie dadzą. Stąd 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkcję 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 można otrzymać z odwrotności cosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 przez rozciągnięcie wzdłuż osi y, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Ostateczna transformacja to przesunięcie wzdłuż osi O y o 4 wartości. W efekcie otrzymujemy podwójną nierówność:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Otrzymaliśmy, że potrzebny nam zakres będzie równy E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Odpowiedź: E(y) = -4; 3 pi - 4 .

Napiszmy jeszcze jeden przykład bez wyjaśnień, bo jest całkowicie podobny do poprzedniego.

Przykład 10

Stan: schorzenie: obliczyć jaki będzie zakres funkcji y = 2 2 x - 1 + 3 .

Rozwiązanie

Zapiszmy funkcję podaną w warunku jako y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Dla funkcji potęgowej y = x - 1 2 zakres zostanie określony w przedziale 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . W tym przypadku:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Zatem E(y) = 3 ; +∞ .

Odpowiedź: E(y) = 3; +∞ .

Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć zakres funkcji, która nie jest ciągła. Aby to zrobić, musimy podzielić cały obszar na interwały i znaleźć zbiory wartości na każdym z nich, a następnie połączyć to, co mamy. Aby lepiej to zrozumieć, radzimy przejrzeć główne typy punktów przerwania funkcji.

Przykład 11

Stan: schorzenie: przy danej funkcji y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Oblicz jego zasięg.

Rozwiązanie

Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x. Przeanalizujmy to pod kątem ciągłości z wartościami argumentu równymi - 3 i 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Mamy nieodwracalną nieciągłość pierwszego rodzaju z wartością argumentu-3. Gdy się do tego zbliżysz, wartości funkcji mają tendencję do -2 sin 3 2 - 4, a ponieważ x ma tendencję do -3 po prawej stronie, wartości mają tendencję do -1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

W punkcie 3 mamy nieusuwalną nieciągłość drugiego rodzaju. Kiedy funkcja do tego dąży, jej wartości zbliżają się do - 1, podczas gdy zmierzają do tego samego punktu po prawej - do minus nieskończoności.

Oznacza to, że cała dziedzina definicji tej funkcji jest podzielona na 3 przedziały (-∞ ; - 3 ] , ( - 3 ; 3] , (3 ; + ∞) ).

Na pierwszym z nich otrzymaliśmy funkcję y \u003d 2 sin x 2 - 4. Ponieważ - 1 ≤ sin x ≤ 1 , otrzymujemy:

1 ≤ grzech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Oznacza to, że na tym przedziale (-∞ ; - 3] zbiór wartości funkcji wynosi [ - 6 ; 2 ] .

Na półprzedziału (- 3 ; 3] otrzymujemy stałą funkcję y = - 1 . W konsekwencji cały zbiór jej wartości w tym przypadku zostanie zredukowany do jednej liczby - 1 .

W drugim przedziale 3 ; + ∞ mamy funkcję y = 1 x - 3 . Maleje, ponieważ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Stąd zbiór wartości pierwotnej funkcji dla x > 3 jest zbiorem 0 ; +∞ . Teraz połączmy wyniki: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Odpowiedź: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Rozwiązanie pokazano na wykresie:

Przykład 12

Warunek: istnieje funkcja y = x 2 - 3 e x . Określ zbiór jego wartości.

Rozwiązanie

Jest definiowany dla wszystkich wartości argumentów, które są liczbami rzeczywistymi. Określmy, w jakich przedziałach ta funkcja będzie się zwiększać, a w jakich będzie zmniejszać:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Wiemy, że pochodna wyniesie 0, jeśli x = - 1 i x = 3 . Umieszczamy te dwa punkty na osi i dowiadujemy się, jakie znaki będzie miała pochodna na otrzymanych przedziałach.

Funkcja zmniejszy się o (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i wzrośnie o [ - 1 ; 3]. Minimalny punkt to -1 , maksymalny -3 .

Teraz znajdźmy odpowiednie wartości funkcji:

r (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e r (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Przyjrzyjmy się zachowaniu funkcji w nieskończoności:

lim x → - ∞ x 2 - 3 ex = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 ex = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = brak x → + ∞ x 2 - 3 "ex" = brak x → + ∞ 2 xex = + ∞ + ∞ = = brak x → + ∞ 2 x "(ex)" = 2 brak x → + ∞ 1 ex = 2 1 + ∞ = + 0

Do obliczenia drugiego limitu posłużono się regułą L'Hopitala. Narysujmy nasze rozwiązanie na wykresie.

Pokazuje, że wartości funkcji zmniejszą się od plus nieskończoności do -2 e, gdy argument zmieni się z minus nieskończoności na -1. Jeśli zmieni się z 3 na plus nieskończoność, to wartości spadną z 6 e - 3 do 0, ale 0 nie zostanie osiągnięte.

Zatem E(y) = [-2 e; +∞) .

Odpowiedź: E(y) = [-2 e; +∞)

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Pojęcie funkcji i wszystkiego, co z nią związane, jest tradycyjnie złożone, nie do końca zrozumiałe. Szczególną przeszkodą w badaniu funkcji i przygotowaniu do egzaminu jest dziedzina definicji i zakresu wartości (zmian) funkcji.
Często studenci nie dostrzegają różnicy między dziedziną funkcji a dziedziną jej wartości.
A jeśli uczniom uda się opanować zadania polegające na znalezieniu dziedziny definicji funkcji, to zadania polegające na znalezieniu zbioru wartości funkcji sprawiają im znaczne trudności.
Cel artykułu: zapoznanie się z metodami znajdowania wartości funkcji.
W wyniku rozważenia tego tematu przestudiowano materiał teoretyczny, rozważono metody rozwiązywania problemów znajdowania zbiorów wartości funkcji, wybrano materiał dydaktyczny do samodzielnej pracy studentów.
Artykuł ten może być wykorzystany przez nauczyciela przygotowującego uczniów do egzaminów maturalnych i wstępnych, podczas studiowania tematu „Zakres funkcji” na zajęciach fakultatywnych z przedmiotów fakultatywnych z matematyki.

I. Ustalenie zakresu funkcji.

Obszar (zbiór) wartości E(y) funkcji y = f(x) to zbiór takich liczb y 0 , dla których jest taka liczba x 0, że: f(x 0) = y 0 .

Przypomnijmy zakresy głównych funkcji elementarnych.

Rozważ stół.

Funkcjonować	Wiele wartości
y = kx + b	E(y) = (-∞;+∞)
y=x2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1;1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcus sin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = łuki x	E(y) =
y = arctan x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Należy również zauważyć, że zakresem dowolnego wielomianu parzystego stopnia jest przedział , gdzie n jest największą wartością tego wielomianu.

II. Właściwości funkcji używane do znajdowania zakresu funkcji

Aby z powodzeniem znaleźć zbiór wartości funkcji, należy dobrze znać własności podstawowych funkcji elementarnych, w szczególności ich dziedziny definicji, zakresy wartości oraz naturę monotoniczności. Przedstawmy własności ciągłych, monotonicznych funkcji różniczkowalnych, które są najczęściej wykorzystywane do znajdowania zbioru wartości funkcji.

Właściwości 2 i 3 są zwykle używane razem z właściwością funkcji elementarnej, aby była ciągła w swojej dziedzinie. W tym przypadku najprostsze i najkrótsze rozwiązanie problemu znalezienia zbioru wartości funkcji uzyskuje się na podstawie właściwości 1, jeśli za pomocą prostych metod można określić monotoniczność funkcji. Rozwiązanie problemu jest jeszcze bardziej uproszczone, jeśli funkcja jest dodatkowo parzysta lub nieparzysta, okresowa itp. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów znajdowania zbiorów wartości funkcji należy sprawdzić i wykorzystać w razie potrzeby następujące właściwości funkcji:

• ciągłość;
• monotonia;
• zróżnicowanie;
• parzyste, nieparzyste, okresowe itp.

Proste zadania do znalezienia zestawu wartości funkcji są w większości zorientowane:

a) zastosowanie najprostszych szacunków i ograniczeń: (2 x > 0, -1 ≤ sinx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1 itd.);

b) aby wybrać pełny kwadrat: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;

c) dla transformacji wyrażeń trygonometrycznych: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

d) wykorzystując monotoniczność funkcji x 1/3 + 2 x-1 zwiększa się o R.

III. Rozważ sposoby znajdowania zakresów funkcji.

a) sekwencyjne znajdowanie wartości złożonych argumentów funkcji;
b) metoda oceny;
c) wykorzystanie własności ciągłości i monotoniczności funkcji;
d) użycie instrumentu pochodnego;
e) użycie największych i najmniejszych wartości funkcji;
f) metoda graficzna;
g) sposób wprowadzania parametrów;
h) metoda funkcji odwrotnej.

Istotę tych metod ujawnimy na konkretnych przykładach.

Przykład 1: Znajdź zakres E(y) funkcje y = log 0,5 (4 - 2 3 x - 9 x).

Rozwiążmy ten przykład, kolejno znajdując wartości argumentów funkcji złożonych. Po wybraniu pełnego kwadratu pod logarytm przekształcamy funkcję

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

I kolejno znajdź zestawy wartości jego złożonych argumentów:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Oznaczać T= 5 – (3 x +1) 2 , gdzie -∞≤ t≤4. Zatem problem sprowadza się do znalezienia zbioru wartości funkcji y = log 0,5 t na promieniu (-∞;4) . Ponieważ funkcja y = log 0,5 t jest zdefiniowana dopiero o, to jej zbiór wartości na promieniu (-∞;4) pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji na przedziale (0;4), który jest przecięcie promienia (-∞;4) z dziedziną definicji (0;+∞) funkcji logarytmicznej. Na przedziale (0;4) funkcja ta jest ciągła i malejąca. Na T> 0, ma tendencję do +∞, a kiedy t = 4 przyjmuje wartość -2, więc E(y) =(-2, +∞).

Przykład 2: Znajdź zakres funkcji

y = cos7x + 5cosx

Przykład ten rozwiążemy metodą oszacowań, której istotą jest oszacowanie funkcji ciągłej od dołu i od góry oraz wykazanie, że funkcja osiąga dolne i górne granice oszacowań. W tym przypadku zbieżność zbioru wartości funkcji z przedziałem od dolnej granicy oszacowania do górnej jest określona przez ciągłość funkcji i brak dla niej innych wartości.

Z nierówności -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 otrzymujemy oszacowanie -6≤y?6. Dla x = p i x = 0 funkcja przyjmuje wartości -6 i 6, czyli osiąga dolną i górną granicę. Jako liniowa kombinacja funkcji ciągłych cos7x i cosx, funkcja y jest ciągła wzdłuż całej osi liczbowej, dlatego z właściwości funkcji ciągłej przyjmuje wszystkie wartości od -6 do 6 włącznie i tylko je, ponieważ , ze względu na nierówności -6≤y?6, inne wartości jest niemożliwe. W konsekwencji, E(y)= [-6;6].

Przykład 3: Znajdź zakres E(f) Funkcje f(x)= cos2x + 2cosx.

Używając wzoru cosinusa podwójnego kąta, przekształcamy funkcję f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 i oznaczać T= cosx. Następnie f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Od E(cosx) =

[-1;1], to zakres funkcji f(x) pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji g (T)\u003d 2t 2 + 2t - 1 na segmencie [-1; 1], który znajdziemy metodą graficzną. Po wykreśleniu funkcji y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0,5) 2 - 1,5 na przedziale [-1; 1] otrzymujemy E(f) = [-1,5; 3].

Uwaga – wiele problemów z parametrem sprowadza się do znalezienia zbioru wartości funkcji, głównie związanych z rozwiązalnością i liczbą rozwiązań równania oraz nierównościami. Na przykład równanie f(x)= a jest rozwiązalne wtedy i tylko wtedy, gdy

aE(f) Podobnie równanie f(x)= a ma co najmniej jeden pierwiastek znajdujący się na jakimś przedziale X lub nie ma pierwiastka z tego przedziału wtedy i tylko wtedy, gdy a należy lub nie należy do zbioru wartości funkcji f(x) na przedziale X. Badamy również zbiór wartości funkcji i nierówności f(x)≠ ale, f(x)> itd. W szczególności, f(x)≠ i dla wszystkich dopuszczalnych wartości x, jeśli E(f)

Przykład 4. Dla jakich wartości parametru a równanie (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) ma pojedynczy pierwiastek na segmencie [-4;-1].

Zapiszmy równanie w postaci (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Ostatnie równanie ma co najmniej jeden pierwiastek na odcinku [-4;-1] wtedy i tylko wtedy, gdy a należy do zbioru wartości funkcji f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) na segmencie [-4;-1]. Znajdźmy ten zbiór korzystając z własności ciągłości i monotoniczności funkcji.

Na odcinku [-4;-1] funkcja y = xІ + 4 jest ciągła, malejąca i dodatnia, stąd funkcja g(x) = 1/(x 2 + 4) jest ciągła i rośnie na tym przedziale, ponieważ przy dzieleniu przez funkcję dodatnią charakter monotoniczności funkcji zmienia się na przeciwny. Funkcjonować h(x) =(x + 5) 1/2 jest ciągła i rośnie w swojej dziedzinie D(h) =[-5;+∞), a w szczególności na przedziale [-4;-1], gdzie również jest dodatnia. Następnie funkcja f(x)=g(x) h(x), jako iloczyn dwóch funkcji ciągłej, rosnącej i dodatniej, jest również ciągły i rośnie na odcinku [-4;-1], zatem jego zbiorem wartości na [-4;-1] jest odcinek [ f(-4); f(-1)] = . Dlatego równanie ma rozwiązanie na przedziale [-4;-1] i jedyne (według własności ciągłej funkcji monotonicznej), dla 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Komentarz. Rozwiązywanie równania f(x) = a w pewnym przedziale X jest równoważne przynależności wartości parametru ale zestaw wartości funkcji f(x) na X. Dlatego zbiór wartości funkcji f(x) na przedziale X pokrywa się ze zbiorem wartości parametrów ale, dla którego równanie f(x) = a ma co najmniej jeden pierwiastek na przedziale X. W szczególności zakres wartości E(f) Funkcje f(x) pasuje do zestawu wartości parametrów ale, dla którego równanie f(x) = a ma co najmniej jeden korzeń.

Przykład 5: Znajdź zakres E(f) Funkcje

Rozwiążmy przykład wprowadzając parametr, zgodnie z którym E(f) pasuje do zestawu wartości parametrów ale, dla którego równanie

ma co najmniej jeden korzeń.

Gdy a=2, równanie jest liniowe - 4x - 5 = 0 z niezerowym współczynnikiem przy nieznanym x, dlatego ma rozwiązanie. Dla a≠2 równanie jest kwadratowe, więc można je rozwiązać wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik

Ponieważ punkt a = 2 należy do odcinka

następnie żądany zestaw wartości parametrów ale, stąd zakres wartości E(f) będzie cały segment.

Jako bezpośrednie rozwinięcie metody wprowadzania parametru przy znajdowaniu zbioru wartości funkcji, możemy rozważyć metodę funkcji odwrotnej, aby znaleźć, którą należy rozwiązać równanie dla x f(x)=y, biorąc pod uwagę y jako parametr. Jeśli to równanie ma unikalne rozwiązanie x=g(y), to zakres E(f) oryginalna funkcja f(x) pokrywa się z dziedziną definicji D(g) funkcja odwrotna g(y). Jeśli równanie f(x)=y ma wiele rozwiązań x = g 1 (y), x \u003d g 2 (y) itd., to E(f) jest równe sumie zakresów definicji funkcji g 1 (t), g 2 (t) itp.

Przykład 6: Znajdź zakres E(y) funkcje y = 5 2/(1-3x).

Z równania

znajdź funkcję odwrotną x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) i jej dziedzinę D(x):

Ponieważ równanie na x ma jednoznaczne rozwiązanie, to

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Jeśli dziedzina funkcji składa się z kilku przedziałów lub funkcja na różnych przedziałach jest podana przez różne formuły, to aby znaleźć dziedzinę funkcji, należy znaleźć zbiory wartości funkcji na każdym przedziale i wziąć ich unia.

Przykład 7: Znajdź zakresy f(x) I f(f(x)), gdzie

f(x) na promieniu (-∞;1], gdzie pokrywa się z wyrażeniem 4 x + 9 4 -x + 3. Oznacz t = 4x. Następnie f(x) = t + 9/t + 3, gdzie 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) na promieniu (-∞;1] pokrywa się ze zbiorem wartości funkcji g(t) = t + 9/t + 3, na przedziale (0;4], który znajdujemy za pomocą pochodnej g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. Na przedziale (0;4] pochodna g'(t) jest zdefiniowany i znika tam w t=3. O 0<T<3 она отрицательна, а при 3<T<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) maleje, a w przedziale (3;4) rośnie, pozostając ciągłą na całym przedziale (0;4), czyli g (3)= 9 - najmniejsza wartość tej funkcji w przedziale (0; 4], podczas gdy jej największa wartość nie istnieje, więc gdy t→0 właściwa funkcja g(t)→+∞. Następnie, przez właściwość funkcji ciągłej, zbiór wartości funkcji g(t) na przedziale (0;4], a więc zbiorze wartości f(x) na (-∞;-1] pojawi się promień .

Teraz, łącząc przedziały - zbiory wartości funkcji f(f(x)), oznacza t = f(x). Następnie f(f(x)) = f(t), gdzie T funkcjonować f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 i ponownie przyjmuje wszystkie wartości od 5 do 9 włącznie, czyli zakres E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Podobnie, oznaczający z = f(f(x)), możesz znaleźć zakres E(f3) Funkcje f(f(f(x))) = f(z), gdzie 5 ≤ z ≤ 9 itd. Upewnić się, że E(f3) = .

Najbardziej uniwersalną metodą znalezienia zbioru wartości funkcji jest użycie największych i najmniejszych wartości funkcji w danym przedziale.

Przykład 8. Dla jakich wartości parametru? r nierówność 8 x - p 2x+1 – 2x obowiązuje dla wszystkich -1 ≤ x< 2.

Oznaczanie t = 2x, zapisujemy nierówność jako p ≠ t 3 - 2t 2 + t. Dlatego t = 2x to funkcja stale rosnąca włączona R, wtedy dla -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда r różni się od wartości funkcji f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t przy 0,5 ≤ t< 4.

Najpierw znajdźmy zbiór wartości funkcji f(t) na przedziale, gdzie ma pochodną wszędzie f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. W konsekwencji, f(t) jest różniczkowalna, a zatem ciągła na odcinku . Z równania f'(t) = 0 znajdź krytyczne punkty funkcji t=1/3, t=1, z których pierwszy nie należy do segmentu , a drugi należy do niego. Dlatego f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, wtedy, z właściwości funkcji różniczkowalnej, 0 jest najmniejszą wartością, a 36 największą wartością funkcji f(t) na segmencie. Następnie f(t), jako funkcja ciągła przyjmuje na segmencie wszystkie wartości od 0 do 36 włącznie, a wartość 36 przyjmuje tylko wtedy, gdy t=4, więc dla 0.5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка }