Pitagoro teorema yra tiesioginė. Įvairūs Pitagoro teoremos įrodymo būdai

Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniams mokslams, paliekant prigimtinę mokslinę analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių bei skaičių kalbą. Matematikos negalima priskirti prie humanitarinių mokslų dalykų. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karalienėje“ toli nenueisite – žmonės apie tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.

Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.

Tokie atradimai apima tą, kurį šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turi būti smagu. Ir kad šis nuotykis tinka ne tik storžieviams akiniams, bet visiems, kurie tvirti protu ir tvirti dvasia.

Iš problemos istorijos

Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tyrinėtos dar gerokai prieš jį. Šiuo klausimu yra du poliariniai požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.

Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Tik žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra prielaidų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.

Šiandien taip pat žinoma, kad problemų dėl stačiakampio trikampio randama Egipto šaltiniuose nuo faraono Amenemheto I laikų, Babilono molio lentelėse iš karaliaus Hamurabio valdymo laikų, senovės Indijos traktate Sulva Sutra ir senovės kinų veikale Zhou. -bi suan jin.

Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Apytiksliai 367 įvairūs šiandien egzistuojantys įrodymai yra patvirtinimas. Jokia kita teorema šiuo atžvilgiu negali su ja konkuruoti. Įžymūs įrodymų autoriai yra Leonardo da Vinci ir 20-asis JAV prezidentas Jamesas Garfieldas. Visa tai byloja apie itin didelę šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba vienaip ar kitaip su ja susijusios.

Pitagoro teoremos įrodymai

Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl visų pirma panagrinėkime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.

1 įrodymas

Paprasčiausiam Pitagoro teoremos stačiakampiam trikampiui įrodyti reikia nustatyti idealias sąlygas: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad būtent tokį trikampį iš pradžių laikė senovės matematikai.

pareiškimas "Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzos, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai" galima iliustruoti tokiu piešiniu:

Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O ant kojelių AB ir BC pastatyta ant kvadrato, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.

Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Galbūt garsiausias yra "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":

2 įrodymas

Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti vertinamas kaip senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantas.

Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada pastatykite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.

Pirmajame kvadrate pastatykite keturis tokius pat trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle. Rezultate gaunami du kvadratai: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.

Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą, kurio kraštinė lygi hipotenuzei c.

Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su kraštine c 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotus Fig. 2 pagal formulę. O įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle. Iš didelio kvadrato su kraštine ploto atėmus keturių lygių stačiakampių trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus (a+b).

Atsižvelgdami į visa tai, turime: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Išskleiskite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite tai a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Tuo pačiu metu plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c2. Tie. a2+b2=c2 Jūs įrodėte Pitagoro teoremą.

3 įrodymas

Tas pats senovės Indijos įrodymas aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“), o kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į matematinius gabumus ir mokinių stebėjimo galias bei sekėjų: "Žiūrėk!".

Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:

Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiakampius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymima didžiojo kvadrato, kuris kartu yra ir hipotenuzė, pusė iš. Pavadinkime trikampio kojas bet Ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).

Naudokite kvadrato ploto formulę S=c2 išorinio kvadrato plotui apskaičiuoti. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir visų keturių stačiųjų trikampių plotus: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Galite naudoti abi parinktis kvadrato plotui apskaičiuoti, kad įsitikintumėte, jog jie duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c2=a2+b2. Teorema įrodyta.

4 įrodymas

Šis keistas senovės kinų įrodymas vadinamas „Nuotakos kėde“ dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:

Jis naudoja piešinį, kurį jau matėme 3 paveiksle antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.

Jei mintyse nupjausite du žalius stačiakampius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelsite juos į priešingas kvadrato, kurio kraštinė yra c, kraštines ir pritvirtinsite įdubas prie alyvinės spalvos trikampių, gausite figūrą, vadinamą "nuotakos". kėdė“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Pamatysite, kad „nuotakos kėdę“ sudaro du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.

Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir mums po jų prieiti prie tokios išvados c2=a2+b2.

5 įrodymas

Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą, pagrįstą geometrija. Jis vadinamas Garfieldo metodu.

Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukurti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Apatinis statmenas REKLAMA skyrius ED. Segmentai ED Ir AC yra lygūs. sujungti taškus E Ir IN, taip pat E Ir NUO ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:

Norėdami įrodyti bokštą, vėl pasitelkiame jau išbandytą metodą: gautos figūros plotą randame dviem būdais ir išraiškas prilyginame viena kitai.

Raskite daugiakampio plotą LOVA galima atlikti sudėjus trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Nepamirškime ir to AB = CD, AC=ED Ir BC=CE- tai leis mums supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Kartu akivaizdu, kad LOVA yra trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip atkarpų suma AC Ir CD.

Užrašykime abu figūros ploto skaičiavimo būdus, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mes naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę, kad supaprastintume dešinę žymėjimo pusę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. O dabar atveriame skliaustus ir transformuojame lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Baigę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.

Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometriją ir panašiai. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pilant skystį, galima įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.

Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus

Šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas mokyklos programoje. Tuo tarpu tai labai įdomu ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų idėja gali būti naudinga jums tolimesniam mokymuisi.

Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Vadinamieji natūralūs skaičiai, surinkti trimis, kurių dviejų kvadratų suma yra lygi trečiajam skaičiui kvadratu.

Pitagoro trigubai gali būti:

• primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
• neprimityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).

Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trynukų skaičiaus manija: užduotyse jie laikė stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3,4 ir 5 vienetų. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.

Pitagoro trigubų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.

Praktinis teoremos taikymas

Pitagoro teorema pritaikoma ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.

Pirma, apie konstrukciją: Pitagoro teorema joje plačiai taikoma sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:

Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).

Pitagoro teorema tiesiog praverčia skaičiuojant R. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja yra spindulys b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes suskirstome visus terminus į b, duodame gauti panašius 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.

Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnių ilgį. Nustatykite, kokio aukščio reikia mobiliojo bokšto, kad signalas pasiektų tam tikrą gyvenvietę. Ir net stabiliai įrengia eglutę miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.

Kalbant apie literatūrą, Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai šiandien. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo jos įkvėptas parašyti sonetą:

Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir kaip prieš tūkstančius metų,
Nekels abejonių ir ginčų.

Išmintingiausias, kai paliečia akį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas bulių, nudurtų, guli -
Laimingojo Pitagoro grąžinimo dovana.

Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sužadino bulių gentį
čia paminėtas įvykis.

Jie mano, kad jau laikas
Ir vėl jie bus paaukoti
Puiki teorema.

(vertė Viktoras Toporovas)

O dvidešimtajame amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistov savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių skyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir pusė istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio dėsniu ir net religija. Jame gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, niekas ten nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkuotas“ reikšmės.

O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataros lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Būtent šis kūrybinis minties polėkis sukuria Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairiausių įrodymų. Tai padeda peržengti įprastas ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.

Išvada

Šis straipsnis buvo sukurtas tam, kad galėtumėte pažvelgti ne tik į mokyklinę matematikos programą ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7 -11“. “ (AV Pogorelovas), bet ir kiti smalsūs būdai įrodyti garsiąją teoremą. Taip pat pamatykite pavyzdžius, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.

Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.

Antra, norėjome padėti jums pajusti, kokia įdomi yra matematika. Įsitikinti konkrečiais pavyzdžiais, kad jame visada yra vietos kūrybai. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jus atlikti savo tyrimus ir įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų srityse.

Pasakykite mums komentaruose, jei straipsnyje pateikti įrodymai jums pasirodė įdomūs. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Praneškite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

namai

Pitagoro teoremos įrodymo būdai.

G. Glaseris,
Rusijos švietimo akademijos akademikas, Maskva

Apie Pitagoro teoremą ir kaip ją įrodyti

Kvadrato, pastatyto ant stačiojo trikampio hipotenuzos, plotas lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, plotų sumai...

Tai viena garsiausių senovės geometrinių teoremų, vadinama Pitagoro teorema. Ją iki šiol žino beveik kiekvienas, kada nors studijavęs planimetriją. Man atrodo, kad jei norime nežemiškoms civilizacijoms pranešti apie protingos gyvybės Žemėje egzistavimą, tuomet į kosmosą turėtume nusiųsti Pitagoro figūros atvaizdą. Manau, kad jei mąstančios būtybės gali priimti šią informaciją, jos be sudėtingo signalo dekodavimo supras, kad Žemėje yra pakankamai išsivysčiusi civilizacija.

Žymus graikų filosofas ir matematikas Pitagoras iš Samoso, kurio vardu pavadinta teorema, gyveno maždaug prieš 2,5 tūkst. Biografinė informacija apie Pitagorą, kurią pasiekėme, yra fragmentiška ir toli gražu nepatikima. Su jo vardu siejama daugybė legendų. Autentiškai žinoma, kad Pitagoras daug keliavo po Rytų šalis, lankėsi Egipte, Babilone. Vienoje iš pietų Italijos graikų kolonijų jis įkūrė garsiąją „Pitagoro mokyklą“, suvaidinusią svarbų vaidmenį moksliniame ir politiniame senovės Graikijos gyvenime. Tai Pitagoras, kuris įrodė gerai žinomą geometrinę teoremą. Remiantis garsių matematikų (Proklo, Plutarcho ir kt.) skleidžiamomis legendomis, ilgą laiką buvo manoma, kad iki Pitagoro ši teorema nebuvo žinoma, iš čia ir kilo pavadinimas – Pitagoro teorema.

Tačiau neabejotina, kad ši teorema buvo žinoma daug metų anksčiau nei Pitagoras. Taigi, 1500 metų prieš Pitagorą, senovės egiptiečiai žinojo, kad trikampis su 3, 4 ir 5 kraštinėmis yra stačiakampis, ir pasinaudojo šia savybe (ty atvirkštine Pitagoro teorema) statydami stačius kampus planuodami žemės sklypus ir statydami pastatus. Ir ir šiandien kaimo statybininkai ir staliai, klodami trobelės pamatus, gamindami jos detales, piešia šį trikampį, kad gautų stačią kampą. Tas pats buvo padaryta prieš tūkstančius metų statant nuostabias šventyklas Egipte, Babilone, Kinijoje ir tikriausiai Meksikoje. Seniausiame Kinijos matematiniame ir astronominiame darbe, kuris atėjo iki mūsų, Zhou-bi, parašytame maždaug 600 metų prieš Pitagorą, be kitų pasiūlymų, susijusių su stačiu trikampiu, Pitagoro teorema taip pat yra. Dar anksčiau ši teorema buvo žinoma induistams. Taigi Pitagoras šios stačiakampio trikampio savybės neatrado, bene pirmasis ją apibendrino ir įrodė, perkeldamas iš praktikos į mokslo sritį. Mes nežinome, kaip jis tai padarė. Kai kurie matematikos istorikai daro prielaidą, kad vis dėlto Pitagoro įrodymas nebuvo esminis, o tik patvirtinimas, šios savybės patikrinimas daugelyje konkrečių trikampių tipų, pradedant lygiašoniu stačiakampiu trikampiu, o tai akivaizdžiai išplaukia iš Fig. vienas.

NUO Nuo seniausių laikų matematikai randa vis daugiau Pitagoro teoremos įrodymų, vis daugiau idėjų jos įrodymams. Tokių įrodymų – daugiau ar mažiau griežtų, daugiau ar mažiau vaizdinių – žinoma daugiau nei pusantro šimto, tačiau noras jų skaičių didinti išsaugotas. Manau, kad nepriklausomas Pitagoro teoremos įrodymų „atradimas“ pravers šiuolaikiniams moksleiviams.

Panagrinėkime keletą įrodymų, galinčių pasiūlyti tokių paieškų kryptį, pavyzdžių.

Pitagoro įrodymas

"Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai." Paprasčiausias teoremos įrodymas gaunamas paprasčiausiu lygiašonio stačiojo trikampio atveju. Ko gero, teorema prasidėjo nuo jo. Iš tiesų, tereikia pažvelgti į lygiašonių stačiakampių trikampių plyteles, kad pamatytumėte, ar teorema yra teisinga. Pavyzdžiui, DABC: kvadratas, pastatytas ant hipotenuzės AU, yra 4 pradiniai trikampiai ir kvadratai, pastatyti ant kojų dviem. Teorema įrodyta.

Įrodymai, pagrįsti vienodo figūrų ploto sąvokos vartojimu.

Tuo pačiu galime svarstyti įrodymus, kuriuose kvadratas, pastatytas ant duoto stačiakampio trikampio hipotenuzės, yra „sudarytas“ iš tų pačių figūrų, kaip ir kvadratai, pastatyti ant kojų. Galime svarstyti ir tokius įrodymus, kuriuose naudojama figūrų terminų permutacija ir atsižvelgiama į daugybę naujų idėjų.

Ant pav. 2 pavaizduoti du vienodi kvadratai. Kiekvieno kvadrato kraštinių ilgis yra a + b. Kiekvienas kvadratas yra padalintas į dalis, sudarytas iš kvadratų ir stačiųjų trikampių. Akivaizdu, kad jei iš kvadrato ploto atimame stačiakampio trikampio su kojomis a, b keturgubą plotą, tada lieka lygūs plotai, t.y. c 2 \u003d a 2 + b 2. Tačiau senovės induistai, kuriems priklauso šis samprotavimas, dažniausiai jo neužsirašydavo, o palydėdavo piešinį tik vienu žodžiu: „žiūrėk! Visai įmanoma, kad Pitagoras pateikė tą patį įrodymą.

papildomi įrodymai.

Šie įrodymai paremti ant kojų pastatytų kvadratų išskaidymu į figūras, iš kurių galima pridėti ant hipotenuzos pastatytą kvadratą.

Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Įrodykite savo trikampių porinę lygybę, gautą padalijus kvadratus, pastatytus ant kojų ir hipotenuzės.

Įrodykite teoremą naudodami šią skaidinį.

 Remiantis al-Nairizijos įrodymu, buvo atliktas dar vienas kvadratų išskaidymas į porines lygias figūras (5 pav., čia ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C).

 Kitas įrodymas kvadratų skaidymo į lygias dalis metodu, vadinamas "ratu su ašmenimis", parodytas fig. 6. Čia: ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C; O - kvadrato, pastatyto ant didelės kojos, centras; punktyrinės linijos, einančios per tašką O, yra statmenos arba lygiagrečios hipotenusei.

 Šis kvadratų išskaidymas įdomus tuo, kad lygiagrečiojo vertimo būdu jo poromis lygūs keturkampiai gali būti susieti vienas su kitu. Daugelį kitų Pitagoro teoremos įrodymų galima pasiūlyti naudojant kvadratų skaidymą į figūras.

Įrodymai išplėtimo metodu.

Šio metodo esmė yra ta, kad ant kojelių pastatytų kvadratų ir ant hipotenuzės pastatyto kvadrato pritvirtinamos lygios figūros taip, kad gaunamos vienodos figūros.

Pitagoro teoremos galiojimas išplaukia iš vienodo šešiakampių AEDFPB ir ACBNMQ dydžio. Čia CEP linija EP padalija šešiakampį AEDFPB į du vienodo ploto keturkampius, linija CM padalija šešiakampį ACBNMQ į du vienodo ploto keturkampius; plokštumos pasukimas 90° aplink centrą A priskiria keturkampį AEPB į keturkampį ACMQ.

Ant pav. 8 Pitagoro figūra užbaigiama iki stačiakampio, kurio kraštinės lygiagrečios su atitinkamomis ant kojų pastatytų kvadratų kraštinėmis. Suskaidykime šį stačiakampį į trikampius ir stačiakampius. Pirmiausia iš gauto stačiakampio atimame visus daugiakampius 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, palikdami ant hipotenuzos pastatytą kvadratą. Tada iš to paties stačiakampio atimame stačiakampius 5, 6, 7 ir nuspalvintus stačiakampius, gauname kvadratus, pastatytus ant kojų.

Dabar įrodykime, kad pirmuoju atveju atimti skaičiai yra lygūs antruoju atveju atimtiems skaičiams.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2;

taigi c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c 2;

OBMP = OCLP + CBML;

c 2 = a 2 + b 2 .

Algebrinis įrodinėjimo būdas.

	Ryžiai. 12 iliustruoja didžiojo indų matematiko Bhaskari (žymaus Lilavati, X autoriaus II amžiuje). Piešinį lydėjo tik vienas žodis: PAŽIŪRĖK! Tarp Pitagoro teoremos įrodymų algebriniu metodu pirmąją vietą (galbūt seniausią) užima panašumą naudojantys įrodymai.
	Šiuolaikiniame pristatyme pateiksime vieną iš tokių Pitagorui priklausančių įrodymų.

H ir pav. 13 ABC - stačiakampis, C - stačiakampis, CMAB, b 1 - kojos b projekcija ant hipotenuzės, a 1 - kojos a projekcija ant hipotenuzės, h - trikampio, nubrėžto į hipotenuzą, aukštis.

Iš to, kad ABC yra panašus į ACM, išplaukia

b 2 \u003d cb 1; (vienas)

iš to, kad ABC yra panašus į BCM, išplaukia

a 2 = maždaug 1. (2)

Sudėjus (1) ir (2) lygybes po dėmens, gauname a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Jei Pitagoras tikrai pasiūlė tokį įrodymą, jis taip pat buvo susipažinęs su daugybe svarbių geometrinių teoremų, kurias šiuolaikiniai matematikos istorikai paprastai priskiria Euklidui.

Möllmanno įrodymas (14 pav.). Šio stačiojo trikampio plotas, viena vertus, yra lygus, kita vertus, kur p yra trikampio pusperimetras, r yra į jį įrašyto apskritimo spindulys Mes turime:

iš kur išplaukia, kad c 2 =a 2 +b 2 .

antrajame

Sulyginę šias išraiškas, gauname Pitagoro teoremą.

Kombinuotas metodas

Trikampių lygybė

c 2 = a 2 + b 2 . (3)

Palyginę (3) ir (4) ryšius, gauname, kad

c 1 2 = c 2 arba c 1 = c.

Taigi trikampiai - pateikti ir sudaryti - yra lygūs, nes turi tris atitinkamai lygias kraštines. Kampas C 1 yra tiesus, taigi ir šio trikampio kampas C yra teisingas.

Senovės Indijos įrodymai.

Senovės Indijos matematikai pastebėjo, kad Pitagoro teoremai įrodyti pakanka panaudoti senovės kinų piešinio vidų. Didžiausio XX a. Indijos matematiko ant palmių lapų parašytame traktate „Siddhanta Shiromani“ („Žinių karūna“). Bha-skara padėjo piešinį (4 pav.)

būdingas Indijos įrodymams l žodis "žiūrėk!". Kaip matote, čia sukrauti stačiakampiai trikampiai, kurių hipotenuza į išorę ir kvadratas iš 2 persikėlė į "nuotakos-lo" kėdę iš 2 -b 2 . Atkreipkite dėmesį, kad ypatingi Pitagoro teoremos atvejai (pavyzdžiui, kvadrato, kurio plotas yra dvigubai didesnis, konstrukcija pav.4šios aikštės plotas) yra senovės Indijos traktate „Sulva“

Jie išsprendė stačiakampį trikampį ir kvadratus, pastatytus ant jo kojų, arba, kitaip tariant, figūras, sudarytas iš 16 vienodų lygiašonių stačiakampių trikampių ir todėl telpa į kvadratą. Tai lelija. nedidelė dalis turtų, slypinčių senovės matematikos perle – Pitagoro teoremoje.

Senovės Kinijos įrodymai.

Senovės Kinijos matematiniai traktatai atėjo pas mus II amžiuje. pr. Kr. Faktas yra tas, kad 213 m.pr.Kr. Kinijos imperatorius Shi Huang-di, siekdamas panaikinti senąsias tradicijas, įsakė sudeginti visas senovines knygas. P c. pr. Kr. popierius buvo išrastas Kinijoje ir tuo pat metu prasidėjo senovinių knygų rekonstrukcija. Raktą į šį įrodymą nesunku rasti. Iš tiesų, senovės kinų piešinyje yra keturi vienodi stačiakampiai trikampiai su kateteriais a, b ir hipotenuse iš sukrauti G) kad jų išorinis kontūras sudarytų 2 pav. kvadratą su kraštinėmis a + b, o vidinis – kvadratas su kraštine c, pastatytas ant hipotenuzos (2 pav., b). Jei išpjaunamas kvadratas su c kraštine, o likę 4 nuspalvinti trikampiai dedami į du stačiakampius (2 pav., į), aišku, kad gauta tuštuma, viena vertus, yra lygi NUO 2 , o kita vertus - iš 2 +b 2 , tie. c 2 \u003d  2 + b 2. Teorema įrodyta. Atkreipkite dėmesį, kad su tokiu įrodymu kvadrato viduje ant hipotenuzos esančios konstrukcijos, kurias matome senovės kinų brėžinyje (2 pav., a), nenaudojamos. Matyt, senovės kinų matematikai turėjo kitokį įrodymą. Būtent, jei kvadrate su šonine iš du nuspalvinti trikampiai (2 pav., b) nupjaukite ir pritvirtinkite hipotenusas prie kitų dviejų hipotenų (2 pav., G), nesunku tai rasti

Gauta figūra, kartais vadinama „nuotakos kėde“, susideda iš dviejų kvadratų su šonais bet Ir b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

H 3 paveiksle pavaizduotas brėžinys iš traktato „Džou-bi ...“. Čia Pitagoro teorema nagrinėjama Egipto trikampiui, kurio kojos 3, 4 ir hipotenuzė 5 vienetai. Kvadrate ant hipotenuzės yra 25 ląstelės, o kvadrate, įrašytame ant didesnės kojos, yra 16. Akivaizdu, kad likusioje dalyje yra 9 ląstelės. Tai bus kvadratas ant mažesnės kojos.

1

Shapovalova L.A. (stotis Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)

1. Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje VII - VIII kl., vadovas mokytojams, - M: Ugdymas, 1982 m.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Už matematikos vadovėlio puslapių“ Vadovėlis 5-6 klasių mokiniams. – M.: Švietimas, 1989 m.

3. Zenkevičius I.G. „Matematikos pamokos estetika“. – M.: Švietimas, 1981 m.

4. Litzmanas V. Pitagoro teorema. - M., 1960 m.

5. Vološinovas A.V. "Pitagoras". - M., 1993 m.

6. Pičurinas L.F. „Anapus algebros vadovėlio puslapių“. - M., 1990 m.

7. Zemliakovas A.N. „Geometrija 10 klasėje“. - M., 1986 m.

8. Laikraštis "Matematika" 1996/17.

9. Laikraštis "Matematika" 3/1997.

10. Antonovas N.P., Vygodskis M.Ya., Nikitinas V.V., Sankinas A.I. „Pradinės matematikos uždavinių rinkinys“. - M., 1963 m.

11. Dorofejevas G.V., Potapovas M.K., Rozovas N.Kh. „Matematikos vadovas“. - M., 1973 m.

12. Ščetnikovas A.I. "Pitagoro doktrina apie skaičių ir dydį". - Novosibirskas, 1997 m.

13. „Realieji skaičiai. Neracionalios išraiškos» 8 klasė. Tomsko universiteto leidykla. – Tomskas, 1997 m.

14. Atanasyanas M.S. „Geometrija“ 7-9 kl. – M.: Švietimas, 1991 m.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Šiais mokslo metais susipažinau su įdomia, kaip paaiškėjo, nuo senų senovės žinoma, teorema:

"Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzės, yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, sumai."

Paprastai šio teiginio atradimas priskiriamas senovės graikų filosofui ir matematikui Pitagorui (VI a. pr. Kr.). Tačiau senovinių rankraščių tyrimas parodė, kad šis teiginys buvo žinomas dar ilgai prieš Pitagoro gimimą.

Pagalvojau, kodėl šiuo atveju jis siejamas su Pitagoro vardu.

Temos aktualumas: Pitagoro teorema turi didelę reikšmę: geometrijoje ji naudojama pažodžiui kiekviename žingsnyje. Tikiu, kad Pitagoro kūryba tebėra aktuali, nes kur bežvelgtume, visur matome jo puikių idėjų vaisius, įkūnytus įvairiose šiuolaikinio gyvenimo šakose.

Mano tyrimo tikslas buvo: išsiaiškinti, kas buvo Pitagoras ir koks jo ryšys su šia teorema.

Studijuodamas teoremos istoriją nusprendžiau išsiaiškinti:

Ar yra kitų šios teoremos įrodymų?

Kokia šios teoremos reikšmė žmonių gyvenimui?

Kokį vaidmenį Pitagoras atliko matematikos raidoje?

Iš Pitagoro biografijos

Pitagoras iš Samoso yra puikus graikų mokslininkas. Jos šlovė siejama su Pitagoro teoremos pavadinimu. Nors dabar jau žinome, kad ši teorema buvo žinoma senovės Babilone 1200 metų prieš Pitagorą, o Egipte 2000 metų prieš jį buvo žinomas stačiakampis trikampis su 3, 4, 5 kraštinėmis, vis dar vadiname ją šio senovės vardu. mokslininkas.

Beveik nieko patikimai nežinoma apie Pitagoro gyvenimą, tačiau tai siejama su jo vardu didelis skaičius legendos.

Pitagoras gimė 570 m. pr. Kr. Samos saloje.

Pitagoras buvo gražios išvaizdos, nešiojo ilgą barzdą ir auksinę diademą ant galvos. Pitagoras yra ne vardas, o slapyvardis, kurį filosofas gavo už tai, kad visada kalbėjo teisingai ir įtikinamai, kaip graikų orakulas. (Pitagoras – „įtikinama kalba“).

550 m. pr. Kr. Pitagoras priima sprendimą ir išvyksta į Egiptą. Taigi prieš Pitagorą atsiveria nežinoma šalis ir nežinoma kultūra. Pitagoras šioje šalyje labai nustebino ir nustebino, o kiek egiptiečių gyvenimo stebėjimų, Pitagoras suprato, kad kelias į pažinimą, saugomas kunigų kastos, eina per religiją.

Po vienuolikos studijų metų Egipte Pitagoras išvyksta į tėvynę, kur pakeliui patenka į Babilono nelaisvę. Ten jis susipažįsta su Babilonijos mokslu, kuris buvo labiau išvystytas nei egiptietiškas. Babiloniečiai mokėjo spręsti tiesines, kvadratines ir kai kurių tipų kubines lygtis. Pabėgęs iš nelaisvės, jis negalėjo ilgai išbūti tėvynėje dėl ten tvyrančios smurto ir tironijos atmosferos. Jis nusprendė persikelti į Krotoną (graikų koloniją šiaurės Italijoje).

Būtent Krotone prasideda šlovingiausias Pitagoro gyvenimo laikotarpis. Ten jis įkūrė kažką panašaus į religinę-etinę broliją ar slaptą vienuolišką ordiną, kurios nariai buvo įpareigoti vadovautis vadinamuoju pitagorietišku gyvenimo būdu.

Pitagoras ir pitagoriečiai

Pitagoras Graikijos kolonijoje Apeninų pusiasalio pietuose suorganizavo religinę ir etinę broliją, pavyzdžiui, vienuolijų ordiną, kuri vėliau bus pavadinta Pitagoro sąjunga. Sąjungos nariai turėjo laikytis tam tikrų principų: pirma, siekti to, kas gražu ir šlovinga, antra, būti naudingais, trečia – siekti didelio malonumo.

Moralės ir etikos taisyklių sistema, kurią Pitagoras paliko savo mokiniams, buvo sudaryta į savotišką pitagoriečių moralinį kodeksą „Aukso eilėraščiai“, kurie buvo labai populiarūs Antikos, Viduramžių ir Renesanso epochoje.

Pitagoro studijų sistemą sudarė trys skyriai:

Pamokos apie skaičius – aritmetika,

Pamokos apie figūras – geometrija,

Pamokymai apie visatos sandarą – astronomiją.

Pitagoro sukurta švietimo sistema gyvavo daugelį amžių.

Pitagoro mokykla daug padarė, kad geometrijai būtų suteiktas mokslo pobūdis. Pagrindinis Pitagoro metodo bruožas buvo geometrijos derinimas su aritmetika.

Pitagoras daug nagrinėjo proporcijas ir progresijas bei, ko gero, figūrų panašumą, nes jam priskiriamas uždavinio sprendimas: „Remiantis pateikti du skaičiai“.

Pitagoras ir jo mokiniai pristatė daugiakampių, draugiškų, tobulų skaičių sampratą ir tyrinėjo jų savybes. Aritmetika, kaip skaičiavimo praktika, Pitagoro nedomino, ir jis išdidžiai pareiškė, kad „aritmetiką iškelia aukščiau už pirklio interesus“.

Pitagoro sąjungos nariai buvo daugelio Graikijos miestų gyventojai.

Pitagoriečiai taip pat priėmė moteris į savo visuomenę. Sąjunga klestėjo daugiau nei dvidešimt metų, tada prasidėjo jos narių persekiojimas, daugelis studentų žuvo.

Apie paties Pitagoro mirtį sklandė daug įvairių legendų. Tačiau Pitagoro ir jo mokinių mokymai gyvavo ir toliau.

Iš Pitagoro teoremos sukūrimo istorijos

Šiuo metu žinoma, kad šios teoremos neatrado Pitagoras. Tačiau kai kurie mano, kad Pitagoras pirmasis pateikė visapusišką įrodymą, o kiti neigia jo nuopelnus. Kai kas priskiria Pitagorui įrodymą, kurį Euklidas pateikia pirmoje savo elementų knygoje. Kita vertus, Proklas teigia, kad įrodymas elementuose yra paties Euklido dėka. Kaip matome, matematikos istorija beveik neturi patikimų konkrečių duomenų apie Pitagoro gyvenimą ir jo matematinę veiklą.

Istorinę Pitagoro teoremos apžvalgą pradėkime nuo senovės Kinijos. Čia matematinė Chu-pei knyga patraukia ypatingą dėmesį. Šiame rašinyje apie Pitagoro trikampį su 3, 4 ir 5 kraštinėmis rašoma taip:

"Jei stačiakampis yra padalintas į jo sudedamąsias dalis, tada linija, jungianti jo kraštų galus, bus 5, kai pagrindas yra 3, o aukštis - 4."

Labai lengva atkartoti jų konstravimo būdą. Paimkite 12 m ilgio virvę ir pririškite prie jos spalvota juostele 3 m atstumu. iš vieno galo ir 4 metrai nuo kito. Status kampas bus uždarytas tarp 3 ir 4 metrų ilgio kraštų.

Induistų geometrija buvo glaudžiai susijusi su kultu. Labai tikėtina, kad hipotenuzės kvadrato teorema Indijoje buvo žinoma jau maždaug VIII amžiuje prieš Kristų. Greta grynai ritualinių nurodymų yra ir geometriškai teologinio pobūdžio kūrinių. Šiuose raštuose, datuojamuose IV ar V amžiuje prieš Kristų, mes susiduriame su stačiojo kampo konstravimu, naudojant trikampį, kurio kraštinės yra 15, 36, 39.

Viduramžiais Pitagoro teorema apibrėžė jei ne didžiausių įmanomų, tai bent jau gerų matematinių žinių ribą. Būdingas Pitagoro teoremos piešinys, kurį dabar moksleiviai kartais paverčia, pavyzdžiui, profesoriaus ar vyro chalatu apsirengusiu cilindru, tais laikais dažnai buvo naudojamas kaip matematikos simbolis.

Pabaigoje pateikiame įvairias Pitagoro teoremos formuluotes, išverstas iš graikų, lotynų ir vokiečių kalbų.

Euklido teorema skamba (pažodinis vertimas):

"Stačiame trikampyje kraštinės, apimančios stačią kampą, kvadratas yra lygus kvadratams tose pusėse, kurios apima stačią kampą."

Kaip matote, įvairiose šalyse ir skirtingomis kalbomis yra skirtingos žinomos teoremos formulavimo versijos. Skirtingu laiku ir skirtingomis kalbomis sukurti jie atspindi vieno matematinio modelio esmę, kurio įrodymas taip pat turi keletą galimybių.

Penki būdai įrodyti Pitagoro teoremą

senovės kinų įrodymai

Senovės kinų piešinyje keturi vienodi stačiakampiai trikampiai su kojomis a, b ir hipotenuze c yra sukrauti taip, kad jų išorinis kontūras sudarytų kvadratą, kurio kraštinė a + b, o vidinis – kvadratą su kraštine c, pastatytą ant hipotenuzė

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfieldo įrodymas (1882)

Išdėliokime du vienodus stačiakampius trikampius taip, kad vieno iš jų kojelė būtų kito tęsinys.

Nagrinėjamos trapecijos plotas randamas kaip pusės pagrindų sumos ir aukščio sandauga

Kita vertus, trapecijos plotas yra lygus gautų trikampių plotų sumai:

Sulyginę šias išraiškas, gauname:

Įrodymas paprastas

Šis įrodymas gaunamas paprasčiausiu lygiašonio stačiojo trikampio atveju.

Ko gero, teorema prasidėjo nuo jo.

Iš tiesų, tereikia pažvelgti į lygiašonių stačiakampių trikampių plyteles, kad pamatytumėte, ar teorema yra teisinga.

Pavyzdžiui, trikampiui ABC: kvadrate, pastatytame ant hipotenuzės AC, yra 4 pradiniai trikampiai, o kvadratuose, pastatytuose ant kojų, yra du. Teorema įrodyta.

Senovės induistų įrodymas

Kvadratas su kraštine (a + b) gali būti padalintas į dalis, kaip parodyta pav. 12. a, arba kaip pav. 12b. Akivaizdu, kad abiejuose paveiksluose 1, 2, 3, 4 dalys yra vienodos. O jei iš lygiųjų (plotų) atimti lygūs, tai liks lygūs, t.y. c2 = a2 + b2.

Euklido įrodymas

Du tūkstantmečius labiausiai paplitęs buvo Pitagoro teoremos, kurią išrado Euklidas, įrodymas. Jis įtrauktas į garsiąją jo knygą „Pradžia“.

Euklidas nuleido aukštį BH nuo stačiojo kampo viršūnės iki hipotenuzės ir įrodė, kad jo tęsinys padalija ant hipotenuzos užpildytą kvadratą į du stačiakampius, kurių plotai lygūs atitinkamų kvadratų, pastatytų ant kojų, plotams.

Šios teoremos įrodyme panaudotas piešinys juokais vadinamas „Pitagoro kelnėmis“. Ilgą laiką jis buvo laikomas vienu iš matematinio mokslo simbolių.

Pitagoro teoremos taikymas

Pitagoro teoremos reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų ir išspręsti daugybę problemų. Be to, Pitagoro teoremos ir jos atvirkštinės teoremos praktinė reikšmė yra ta, kad pagal juos galima rasti atkarpų ilgius nematuojant pačių atkarpų. Tai tarsi atveria kelią iš tiesios linijos į plokštumą, iš plokštumos į tūrinę erdvę ir toliau. Būtent dėl ​​šios priežasties Pitagoro teorema yra tokia svarbi žmonijai, kuri siekia atrasti daugiau dimensijų ir sukurti šių dimensijų technologijas.

Išvada

Pitagoro teorema yra tokia garsi, kad sunku įsivaizduoti žmogų, kuris apie tai negirdėjo. Sužinojau, kad yra keletas būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Išstudijavau daugybę istorinių ir matematinių šaltinių, įskaitant informaciją internete, ir supratau, kad Pitagoro teorema įdomi ne tik savo istorija, bet ir tuo, kad ji užima svarbią vietą gyvenime ir moksle. Tai liudija įvairios mano šiame darbe pateiktos šios teoremos teksto interpretacijos ir jos įrodinėjimo būdai.

Taigi, Pitagoro teorema yra viena pagrindinių ir, galima sakyti, svarbiausių geometrijos teoremų. Jo reikšmė slypi tame, kad iš jos arba jos pagalba galima išvesti daugumą geometrijos teoremų. Pitagoro teorema nuostabi ir tuo, kad pati savaime ji nėra visiškai akivaizdi. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio savybes galima pamatyti tiesiai brėžinyje. Bet kad ir kiek žiūrėtumėte į stačiakampį trikampį, niekada nepastebėsite, kad tarp jo kraštinių yra paprastas ryšys: c2 = a2 + b2. Todėl tam įrodyti dažnai pasitelkiama vizualizacija. Pitagoro nuopelnas buvo tas, kad jis pateikė išsamų šios teoremos mokslinį įrodymą. Įdomi pati mokslininko asmenybė, kurios atminimą neatsitiktinai išsaugo ši teorema. Pitagoras – nuostabus kalbėtojas, mokytojas ir auklėtojas, savo mokyklos organizatorius, orientuotas į muzikos ir skaičių harmoniją, gėrį ir teisingumą, žinias ir sveiką gyvenimo būdą. Jis gali būti pavyzdys mums, tolimiems palikuonims.

Bibliografinė nuoroda

Tumanova S.V. KELI BŪDAI ĮRODYTI PITAGORO TEOREMĄ // Pradėkite nuo mokslo. - 2016. - Nr. 2. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (prisijungimo data: 2019-02-21).

Besidomintiems Pitagoro teoremos istorija, kuri nagrinėjama mokyklos programoje, bus įdomus ir toks faktas, kaip 1940 m. išleista knyga su trimis šimtais septyniasdešimt šios iš pažiūros paprastos teoremos įrodymų. Tačiau tai suintrigavo daugelio skirtingų epochų matematikų ir filosofų mintis. Gineso rekordų knygoje tai įrašyta kaip teorema su didžiausiu įrodymų skaičiumi.

Pitagoro teoremos istorija

Su Pitagoro vardu siejama teorema buvo žinoma dar gerokai iki didžiojo filosofo gimimo. Taigi Egipte statant konstrukcijas prieš penkis tūkstančius metų buvo atsižvelgta į stačiakampio trikampio kraštinių santykį. Babiloniečių tekstuose toks pat stačiojo trikampio kraštinių santykis minimas likus 1200 metų iki Pitagoro gimimo.

Kyla klausimas, kodėl tada pasakojime sakoma – Pitagoro teoremos atsiradimas priklauso jam? Atsakymas gali būti tik vienas – jis įrodė trikampio kraštinių santykį. Jis padarė tai, ko prieš šimtmečius nepadarė tie, kurie paprasčiausiai naudojo kraštinių santykį ir hipotenuzą, nustatytą patirtimi.

Iš Pitagoro gyvenimo

Būsimasis didis mokslininkas, matematikas, filosofas gimė Samos saloje 570 m.pr.Kr. Istoriniuose dokumentuose buvo išsaugota informacija apie Pitagoro tėvą, kuris buvo brangakmenių drožėjas, tačiau apie jo motiną informacijos nėra. Apie gimusį berniuką jie sakė, kad jis buvo puikus vaikas, nuo vaikystės rodė aistrą muzikai ir poezijai. Istorikai Hermodamantą ir Ferekidą iš Siro priskiria jauno Pitagoro mokytojams. Pirmasis berniuką įvedė į Mūzų pasaulį, o antrasis, būdamas filosofas ir italų filosofijos mokyklos įkūrėjas, nukreipė jaunuolio žvilgsnį į logotipus.

Būdamas 22 metų (548 m. pr. Kr.) Pitagoras išvyko į Nakratis studijuoti egiptiečių kalbos ir religijos. Be to, jo kelias buvo Memfyje, kur, dėka kunigų, išlaikiusių išradingus išbandymus, jis suprato Egipto geometriją, kuri, ko gero, paskatino smalsų jaunuolį įrodyti Pitagoro teoremą. Istorija vėliau šį pavadinimą priskirs teoremai.

Pagrobtas Babilono karaliaus

Pakeliui namo į Hellą Pitagorą paima Babilono karalius. Tačiau buvimas nelaisvėje buvo naudingas pradedančiojo matematiko smalsiam protui, jis turėjo daug ko išmokti. Iš tiesų tais metais matematika Babilone buvo labiau išvystyta nei Egipte. Jis praleido dvylika metų studijuodamas matematiką, geometriją ir magiją. Ir galbūt būtent Babilono geometrija buvo įtraukta į trikampio kraštinių santykio įrodymą ir teoremos atradimo istoriją. Pitagoras tam turėjo pakankamai žinių ir laiko. Tačiau tai, kad tai atsitiko Babilone, nėra jokio dokumentinio patvirtinimo ar paneigimo.

530 m.pr.Kr Pitagoras bėga iš nelaisvės į tėvynę, kur gyvena tirono Polikrato dvare pusiau vergo statusu. Toks gyvenimas Pitagorui netinka, ir jis pasitraukia į Samoso urvus, o paskui išvyksta į Italijos pietus, kur tuo metu buvo Graikijos kolonija Krotonas.

Slaptas vienuolijos ordinas

Šios kolonijos pagrindu Pitagoras suorganizavo slaptą vienuolijų ordiną, kuri buvo religinė sąjunga ir kartu mokslinė draugija. Ši draugija turėjo savo chartiją, kurioje buvo kalbama apie ypatingo gyvenimo būdo laikymąsi.

Pitagoras teigė, kad norint suprasti Dievą, žmogus turi išmanyti tokius mokslus kaip algebra ir geometrija, išmanyti astronomiją ir suprasti muziką. Mokslinis darbas buvo susiaurintas iki mistinės skaičių pusės ir filosofijos pažinimo. Pažymėtina, kad tuo metu Pitagoro skelbti principai šiuo metu turi prasmę imituojant.

Daugelis Pitagoro mokinių atradimų buvo priskirti jam. Nepaisant to, trumpai tariant, to meto senovės istorikų ir biografų Pitagoro teoremos sukūrimo istorija yra tiesiogiai susijusi su šio filosofo, mąstytojo ir matematiko vardu.

Pitagoro mokymas

Galbūt istorikus įkvėpė didžiojo graiko teiginys, kad patarlės trikampis su kojomis ir hipotenuze užkodavo visus mūsų gyvenimo reiškinius. Ir šis trikampis yra „raktas“ į visų kylančių problemų sprendimą. Didysis filosofas sakė, kad reikia pamatyti trikampį, tada galime manyti, kad problema išspręsta dviem trečdaliais.

Apie savo mokymą Pitagoras savo mokiniams pasakojo tik žodžiu, neužsirašinėdamas, slapstydamas. Deja, didžiausio filosofo mokymai neišliko iki šių dienų. Dalis jos nutekėjo, tačiau neįmanoma pasakyti, kiek tame, kas tapo žinoma, yra tiesos, o kiek melo. Net ir Pitagoro teoremos istorijoje ne viskas aišku. Matematikos istorikai abejoja Pitagoro autoryste, jų nuomone, teorema buvo naudojama daugelį šimtmečių iki jo gimimo.

Pitagoro teorema

Gali pasirodyti keista, tačiau istorinių faktų apie paties Pitagoro teoremos įrodymą nėra – nei archyvuose, nei kituose šaltiniuose. Šiuolaikinėje versijoje manoma, kad jis priklauso ne kam kitam, o pačiam Euklidui.

Yra įrodymų, kad vienas didžiausių matematikos istorikų Moritzas Kantoras atrado Berlyno muziejuje saugomą papirusą, kurį egiptiečiai parašė apie 2300 m. pr. Kr. e. lygybė, kuri yra tokia: 3² + 4² = 5².

Trumpai iš Pitagoro teoremos istorijos

Euklido „pradžios“ teoremos formuluotė vertime skamba taip pat, kaip ir šiuolaikinėje interpretacijoje. Jo skaityme nėra nieko naujo: stačiajam kampui priešingos kraštinės kvadratas yra lygus stačiajam kampui besiribojančių kraštinių kvadratų sumai. Tai, kad senovės Indijos ir Kinijos civilizacijos naudojo teoremą, patvirtina traktatas Zhou Bi Suan Jin. Jame yra informacijos apie Egipto trikampį, kurio kraštinių santykis yra 3:4:5.

Ne mažiau įdomi ir kita kinų matematinė knyga „Chu-pei“, kurioje taip pat minimas Pitagoro trikampis su paaiškinimu ir piešiniais, kurie sutampa su induizmo Bascharos geometrijos brėžiniais. Apie patį trikampį knygoje rašoma, kad jei statųjį kampą galima išskaidyti į jo sudedamąsias dalis, tai linija, jungianti kraštinių galus, bus lygi penkioms, jei pagrindas yra trys, o aukštis - keturi.

Indų traktatas „Sulva Sutra“, datuojamas maždaug VII-V a.pr.Kr. e., pasakoja apie stačiojo kampo konstravimą naudojant Egipto trikampį.

Teoremos įrodymas

Viduramžiais mokiniai manė, kad teoremos įrodyti per sunku. Silpni studentai teoremas išmoko mintinai, nesuprasdami įrodymo prasmės. Šiuo atžvilgiu jie gavo slapyvardį „asiliukai“, nes Pitagoro teorema jiems buvo neįveikiama kliūtis, kaip tiltas asilui. Viduramžiais mokiniai sugalvojo žaismingą eilėraštį šios teoremos tema.

Norėdami lengviausiu būdu įrodyti Pitagoro teoremą, tiesiog išmatuokite jos puses, nenaudodami įrodyme plotų sąvokos. Kraštinės, esančios priešingos stačiajam kampui, ilgis yra c, o šalia jos esančios a ir b, todėl gauname lygtį: a 2 + b 2 \u003d c 2. Šis teiginys, kaip minėta aukščiau, patikrinamas išmatuojant stačiojo trikampio kraštinių ilgius.

Jei pradėsime teoremos įrodymą atsižvelgdami į trikampio šonuose pastatytų stačiakampių plotą, galime nustatyti visos figūros plotą. Jis bus lygus kvadrato, kurio kraštinė yra (a + b), plotui ir, kita vertus, keturių trikampių ir vidinio kvadrato plotų sumai.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , kurį reikėjo įrodyti.

Praktinė Pitagoro teoremos reikšmė yra ta, kad ją galima naudoti atkarpų ilgiams rasti jų nematuojant. Statant konstrukcijas skaičiuojami atstumai, atramų ir sijų išdėstymas, nustatomi svorio centrai. Pitagoro teorema taip pat taikoma visose šiuolaikinėse technologijose. Kurdami 3D-6D matmenų filmus, jie nepamiršo teoremos, kur, be įprastų 3 reikšmių, atsižvelgiama į aukštį, ilgį, plotį, laiką, kvapą ir skonį. Klausiate, kaip skoniai ir kvapai susiję su teorema? Viskas labai paprasta – rodant filmą reikia skaičiuoti, kur ir kokius kvapus bei skonius režisuoti žiūrovų salėje.

Tai tik pradžia. Smalsių protų laukia neribotos galimybės atrasti ir kurti naujas technologijas.

Vienu galite būti tikri šimtu procentų, kad paklaustas, koks yra hipotenuzės kvadratas, bet kuris suaugęs žmogus drąsiai atsakys: „Kojų kvadratų suma“. Ši teorema yra tvirtai įsišaknijusi kiekvieno išsilavinusio žmogaus galvoje, tačiau užtenka tik paprašyti, kad kas nors tai įrodytų, ir tada gali kilti sunkumų. Todėl prisiminkime ir apsvarstykime įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus.

Trumpa biografijos apžvalga

Pitagoro teorema yra žinoma beveik visiems, tačiau kažkodėl ją sukūrusio asmens biografija nėra tokia populiari. Mes tai sutvarkysime. Todėl prieš studijuodami įvairius Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus, turite trumpai susipažinti su jo asmenybe.

Pitagoras - filosofas, matematikas, mąstytojas nuo šiandien labai sunku atskirti jo biografiją nuo legendų, susiformavusių šio puikaus žmogaus atminimui. Tačiau, kaip matyti iš jo pasekėjų raštų, Pitagoras iš Samos gimė Samos saloje. Jo tėvas buvo paprastas akmenų kalėjas, o mama kilusi iš kilmingos šeimos.

Pasak legendos, Pitagoro gimimą išpranašavo moteris, vardu Pythia, kurios garbei berniukas buvo pavadintas. Pasak jos, gimęs berniukas turėjo atnešti daug naudos ir gero žmonijai. Ką jis iš tikrųjų padarė.

Teoremos gimimas

Jaunystėje Pitagoras persikėlė į Egiptą, kad susitiktų su garsiaisiais Egipto išminčiais. Po susitikimo su jais jis buvo priimtas studijuoti, kur išmoko visus didžiuosius Egipto filosofijos, matematikos ir medicinos pasiekimus.

Tikriausiai būtent Egipte Pitagoras buvo įkvėptas piramidžių didybės ir grožio ir sukūrė savo puikią teoriją. Tai gali šokiruoti skaitytojus, tačiau šiuolaikiniai istorikai mano, kad Pitagoras neįrodė savo teorijos. Tačiau savo žinias jis perdavė tik savo pasekėjams, kurie vėliau atliko visus reikiamus matematinius skaičiavimus.

Kad ir kaip būtų, šiandien žinoma ne viena šios teoremos įrodinėjimo technika, o kelios iš karto. Šiandien galime tik spėlioti, kaip tiksliai skaičiavo senovės graikai, todėl čia apsvarstysime įvairius Pitagoro teoremos įrodymo būdus.

Pitagoro teorema

Prieš pradėdami bet kokius skaičiavimus, turite išsiaiškinti, kurią teoriją įrodyti. Pitagoro teorema skamba taip: „Trikampyje, kurio vienas iš kampų yra 90 o, kojelių kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui“.

Iš viso yra 15 skirtingų būdų įrodyti Pitagoro teoremą. Tai gana didelis skaičius, todėl atkreipkime dėmesį į populiariausius iš jų.

Pirmasis metodas

Pirmiausia išsiaiškinkime, ką turime. Šie duomenys bus taikomi ir kitiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdams, todėl turėtumėte nedelsdami prisiminti visą turimą žymėjimą.

Tarkime, kad pateiktas stačiakampis trikampis, kurio kojos a, b ir hipotenuzė lygi c. Pirmasis įrodinėjimo būdas pagrįstas tuo, kad kvadratas turi būti nubrėžtas iš stačiakampio trikampio.

Norėdami tai padaryti, turite nubrėžti atkarpą, lygią kojai, į kojos ilgį a ir atvirkščiai. Taigi turėtų pasirodyti dvi lygios kvadrato pusės. Belieka tik nubrėžti dvi lygiagrečias linijas, ir kvadratas yra paruoštas.

Gautos figūros viduje reikia nupiešti kitą kvadratą, kurio kraštinė lygi pradinio trikampio hipotenusei. Norėdami tai padaryti, iš viršūnių ac ir sv reikia nubrėžti du lygiagrečius segmentus, lygius c. Taigi gauname tris kvadrato kraštines, iš kurių viena yra pradinio stačiakampio trikampio hipotenuzė. Belieka tik nubrėžti ketvirtą segmentą.

Remdamiesi gautu paveikslu, galime daryti išvadą, kad išorinio kvadrato plotas yra (a + b) 2. Jei pažvelgsite į figūros vidų, pamatysite, kad, be vidinio kvadrato, joje yra keturi stačiakampiai trikampiai. Kiekvieno plotas yra 0,5 av.

Todėl plotas yra: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2 av + s 2

Taigi (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Ir todėl su 2 \u003d a 2 + in 2

Teorema įrodyta.

Antras būdas: panašūs trikampiai

Ši Pitagoro teoremos įrodymo formulė buvo gauta remiantis teiginiu iš geometrijos atkarpos apie panašius trikampius. Jame sakoma, kad stačiojo trikampio kojelė yra vidurkis, proporcingas jo hipotenusei ir hipotenuzės atkarpai, kylančiai iš 90 o kampo viršūnės.

Pradiniai duomenys išlieka tie patys, todėl iš karto pradėkime nuo įrodymo. Nubrėžkime atkarpą CD, statmeną kraštinei AB. Remiantis aukščiau pateiktu teiginiu, trikampių kojos yra lygios:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Norint atsakyti į klausimą, kaip įrodyti Pitagoro teoremą, reikia įrodyti abi nelygybes kvadratu.

AC 2 \u003d AB * HELL ir SV 2 \u003d AB * DV

Dabar turime pridėti gautas nelygybes.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kur AD + DV \u003d AB

Pasirodo, kad:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Ir todėl:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pitagoro teoremos įrodymas ir įvairūs jos sprendimo būdai reikalauja įvairiapusiško požiūrio į šią problemą. Tačiau ši parinktis yra viena iš paprasčiausių.

Kitas skaičiavimo būdas

Įvairių Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdų aprašymas gali nieko nepasakyti, kol nepradėsite praktikuoti savarankiškai. Daugelis metodų apima ne tik matematinius skaičiavimus, bet ir naujų figūrų konstravimą iš pradinio trikampio.

Tokiu atveju reikia užbaigti dar vieną stačiakampį trikampį VSD iš orlaivio kojos. Taigi dabar yra du trikampiai su bendra kojele BC.

Žinodami, kad panašių figūrų plotai turi santykį su jų panašių tiesinių matmenų kvadratais, tada:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (nuo 2 iki 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

nuo 2 iki 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Kadangi ši parinktis vargu ar tinka įvairiems Pitagoro teoremos įrodinėjimo 8 klasei metodams, galite naudoti šią techniką.

Lengviausias būdas įrodyti Pitagoro teoremą. Atsiliepimai

Istorikai mano, kad šis metodas pirmą kartą buvo panaudotas teoremai įrodyti senovės Graikijoje. Tai paprasčiausias, nes nereikia atlikti jokių skaičiavimų. Jei piešiate paveikslėlį teisingai, bus aiškiai matomas teiginio, kad 2 + 2 \u003d c 2, įrodymas.

Šio metodo sąlygos šiek tiek skirsis nuo ankstesnio. Norėdami įrodyti teoremą, tarkime, kad stačiakampis trikampis ABC yra lygiašonis.

Kvadrato kraštinę imame hipotenuzą AC ir nubrėžiame tris jos kraštines. Be to, gautame kvadrate būtina nubrėžti dvi įstrižas linijas. Taigi, kad jo viduje gautumėte keturis lygiašonius trikampius.

Prie kojelių AB ir CB taip pat reikia nubrėžti kvadratą ir kiekvienoje iš jų nubrėžti po vieną įstrižainę liniją. Pirmąją liniją brėžiame iš viršūnės A, antrąją - iš C.

Dabar reikia atidžiai pažvelgti į gautą paveikslėlį. Kadangi hipotenuzėje AC yra keturi trikampiai, lygūs pradiniam, ir du ant kojų, tai rodo šios teoremos teisingumą.

Beje, šio Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdo dėka gimė garsioji frazė: „Pitagoro kelnės lygios visomis kryptimis“.

J. Garfieldo įrodymas

Jamesas Garfieldas yra 20-asis Jungtinių Amerikos Valstijų prezidentas. Jis ne tik paliko pėdsaką istorijoje kaip JAV valdovas, bet ir buvo gabus savamokslis.

Karjeros pradžioje buvo eilinis liaudies mokyklos mokytojas, bet netrukus tapo vienos iš aukštųjų mokyklų direktoriumi. Savęs tobulėjimo troškimas ir leido jam pasiūlyti naują Pitagoro teoremos įrodymo teoriją. Teorema ir jos sprendimo pavyzdys yra tokie.

Pirmiausia ant popieriaus lapo reikia nupiešti du stačiakampius trikampius, kad vieno iš jų kojelė būtų antrojo tęsinys. Šių trikampių viršūnės turi būti sujungtos, kad baigtųsi trapecija.

Kaip žinote, trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.

S=a+b/2 * (a+b)

Jei gautą trapeciją laikysime figūra, susidedančia iš trijų trikampių, tada jos plotą galima rasti taip:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Dabar turime suvienodinti dvi pradines išraiškas

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Apie Pitagoro teoremą ir kaip ją įrodyti galima parašyti ne vieną vadovėlio tomą. Bet ar tai prasminga, kai šių žinių negalima pritaikyti praktiškai?

Praktinis Pitagoro teoremos taikymas

Deja, šiuolaikinės mokyklos programos numato šią teoremą naudoti tik geometriniuose uždaviniuose. Netrukus abiturientai paliks mokyklos sienas nežinodami, kaip savo žinias ir įgūdžius galės pritaikyti praktiškai.

Tiesą sakant, naudokite Pitagoro teoremą Kasdienybė visi gali. Ir ne tik profesinėje veikloje, bet ir eiliniuose buities darbuose. Panagrinėkime kelis atvejus, kai Pitagoro teorema ir jos įrodinėjimo metodai gali būti itin reikalingi.

Teoremos ir astronomijos ryšys

Atrodytų, kaip ant popieriaus galima sujungti žvaigždes ir trikampius. Tiesą sakant, astronomija yra mokslo sritis, kurioje plačiai naudojama Pitagoro teorema.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šviesos pluošto judėjimą erdvėje. Žinome, kad šviesa sklinda į abi puses tuo pačiu greičiu. Vadiname trajektoriją AB, kuria juda šviesos spindulys l. Ir pusę laiko, per kurį šviesa patenka iš taško A į tašką B, skambinkime t. Ir spindulio greitis - c. Pasirodo, kad: c*t=l

Jei pažvelgsite į tą patį spindulį iš kitos plokštumos, pavyzdžiui, iš erdvės lainerio, kuris juda greičiu v, tada tokiu kūnų stebėjimu jų greitis pasikeis. Tokiu atveju net stacionarūs elementai judės greičiu v priešinga kryptimi.

Tarkime, komiškas laineris plaukia į dešinę. Tada taškai A ir B, tarp kurių veržiasi spindulys, pasislinks į kairę. Be to, kai spindulys juda iš taško A į tašką B, taškas A turi laiko judėti ir atitinkamai šviesa jau pateks į naują tašką C. Norėdami rasti pusę atstumo, kurį taškas A pasislinko, turite padauginti įdėklo greitis per pusę spindulio judėjimo trukmės (t").

Ir norint sužinoti, kiek per šį laiką gali nukeliauti šviesos spindulys, reikia nurodyti pusę naujojo buko kelio ir gauti tokią išraišką:

Jei įsivaizduosime, kad šviesos taškai C ir B, taip pat erdvės linijinė linija yra lygiašonio trikampio viršūnės, tai atkarpa nuo taško A iki linijinės linijos ją padalins į du stačiuosius trikampius. Todėl Pitagoro teoremos dėka galite rasti atstumą, kurį galėtų nukeliauti šviesos spindulys.

Šis pavyzdys, žinoma, nėra pats sėkmingiausias, nes tik nedaugeliui gali pasisekti jį išbandyti praktiškai. Todėl svarstome kasdieniškesnius šios teoremos pritaikymus.

Mobiliojo signalo perdavimo diapazonas

Šiuolaikinis gyvenimas nebeįsivaizduojamas be išmaniųjų telefonų. Bet kiek jie būtų naudingi, jei negalėtų prijungti abonentų mobiliuoju ryšiu?!

Mobiliojo ryšio kokybė tiesiogiai priklauso nuo to, kokiame aukštyje yra mobiliojo ryšio operatoriaus antena. Norėdami apskaičiuoti, kokiu atstumu nuo mobiliojo ryšio bokšto telefonas gali priimti signalą, galite pritaikyti Pitagoro teoremą.

Tarkime, reikia rasti apytikslį nejudančio bokšto aukštį, kad jis galėtų skleisti signalą 200 kilometrų spinduliu.

AB (bokšto aukštis) = x;

BC (signalo perdavimo spindulys) = 200 km;

OS (gaublio spindulys) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Taikydami Pitagoro teoremą, išsiaiškiname, kad mažiausias bokšto aukštis turi būti 2,3 kilometro.

Pitagoro teorema kasdieniame gyvenime

Kaip bebūtų keista, Pitagoro teorema gali būti naudinga net kasdieniuose reikaluose, pavyzdžiui, nustatant spintos aukštį. Iš pirmo žvilgsnio nereikia naudoti tokių sudėtingų skaičiavimų, nes galite tiesiog atlikti matavimus naudojant matavimo juostą. Tačiau daugelis stebisi, kodėl surinkimo proceso metu kyla tam tikrų problemų, jei visi matavimai buvo atlikti daugiau nei tiksliai.

Faktas yra tas, kad drabužių spinta surenkama horizontalioje padėtyje ir tik tada pakyla ir montuojama prie sienos. Todėl spintelės šoninė sienelė pakeliant konstrukciją turi laisvai praeiti tiek išilgai kambario aukščio, tiek įstrižai.

Tarkime, kad yra 800 mm gylio spinta. Atstumas nuo grindų iki lubų - 2600 mm. Patyręs baldininkas pasakys, kad spintelės aukštis turi būti 126 mm mažesnis už patalpos aukštį. Bet kodėl būtent 126 mm? Pažiūrėkime į pavyzdį.

Turėdami idealius spintelės matmenis, patikrinkime Pitagoro teoremos veikimą:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - viskas susilieja.

Tarkime, spintelės aukštis ne 2474 mm, o 2505 mm. Tada:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Todėl ši spinta netinka montuoti šioje patalpoje. Kadangi pakėlus jį į vertikalią padėtį, gali būti pažeistas jo kūnas.

Galbūt, skirtingų mokslininkų įvertinę skirtingus Pitagoro teoremos įrodinėjimo būdus, galime daryti išvadą, kad tai daugiau nei tiesa. Dabar gautą informaciją galite panaudoti kasdieniame gyvenime ir būti visiškai tikri, kad visi skaičiavimai bus ne tik naudingi, bet ir teisingi.