Vidutinio statmens apibrėžimas. Keturi nuostabūs trikampio taškai

Vidurinis statmenas (mediana statmena arba tarpininkas) yra tiesė, statmena nurodytai atkarpai ir einanti per jos vidurio tašką.

Savybės

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ kur apatinis indeksas rodo kraštinę, į kurią nubrėžtas statmuo, $S$ yra trikampio plotas, taip pat daroma prielaida, kad kraštinės yra susijusios su nelygybėmis $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ ir $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Kitaip tariant, trikampio atveju mažiausias statmenas bisektorius reiškia vidurinį segmentą.

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Vidurinis statmenas"

Pastabos

Ištrauka, apibūdinanti statmeną pusiausvyrą

Kutuzovas, sustojęs kramtyti, nustebęs žiūrėjo į Volzogeną, tarsi nesuprasdamas, kas jam sakoma. Wolzogenas, pastebėjęs des alten Herrn, [senojo džentelmeno (vokiečių)] susijaudinimą, šypsodamasis pasakė:
- Aš nemaniau, kad turiu teisę slėpti nuo jūsų viešpatystės to, ką mačiau... Kariuomenė visiškai sutrikusi...
- Ar matei? Ar matėte? .. - suraukęs kaktą sušuko Kutuzovas, greitai atsistojo ir žengė į Wolzogeną. „Kaip tu drįsti... kaip tu drįsti...“ – sušuko jis, grėsmingais gestais drebėdamas rankomis ir užspringdamas. - Kaip drįsti, mano brangusis pone, man tai pasakyti. Tu nieko nežinai. Pasakykite generolui Barclay iš manęs, kad jo informacija yra neteisinga ir kad tikroji mūšio eiga man, vyriausiajam vadui, žinoma geriau nei jam.
Wolzogenas norėjo kažką paprieštarauti, bet Kutuzovas jį pertraukė.
- Priešas atmušamas kairėje, o įveikiamas dešiniajame flange. Jei blogai matėte, gerbiamasis pone, neleiskite sau sakyti to, ko nežinote. Prašome eiti pas generolą Barclay ir perteikti jam mano būtiną ketinimą rytoj pulti priešą “, - griežtai pasakė Kutuzovas. Visi tylėjo ir girdėjosi vienas sunkus iškvėpusio generolo alsavimas. – Visur atmušta, už ką dėkoju Dievui ir mūsų narsiai kariuomenei. Priešas nugalėtas, o rytoj mes jį išvarysime iš šventos rusų žemės, – tarė Kutuzovas, kirsdamas save; ir staiga apsipylė ašaromis. Volzogenas, gūžtelėdamas pečiais ir sukdamas lūpas, tyliai pasitraukė į šalį, stebėdamasis uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [apie šią senojo džentelmeno tironiją. (vokiečių kalba)]
„Taip, čia jis, mano herojau“, – tarė Kutuzovas apkūniam, dailiam juodaplaukiui generolui, tuo metu įžengusiam į piliakalnį. Tai buvo Raevskis, kuris visą dieną praleido pagrindiniame Borodino lauko taške.
Raevskis pranešė, kad kariuomenė yra tvirtai savo vietose ir prancūzai nebedrįso pulti. Jo išklausęs Kutuzovas prancūziškai pasakė:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensioner? [Taigi jūs nemanote, kaip ir kiti, kad turėtume trauktis?]

Instrukcija

Nubrėžkite liniją per apskritimų susikirtimo taškus. Jūs gavote statmeną duotosios atkarpos pusiausvyrą.

Dabar duokite mums tašką ir liniją. Iš šio taško reikia nubrėžti statmeną.Įdėkite adatą į tašką. Nubrėžkite spindulio apskritimą (spindulys turi būti nuo taško iki tiesės, kad apskritimas galėtų kirsti tiesę dviejuose taškuose). Dabar tiesėje turite du taškus. Šie taškai sukuria liniją. Pagal aukščiau aptartą algoritmą sukonstruokite statmeną atkarpai, galai yra gauti taškai. Statmenas turi eiti per pradinį tašką.

Tiesių linijų tiesimas yra techninio brėžinio pagrindas. Dabar tai vis dažniau daroma pasitelkus grafinius redaktorius, kurie dizaineriui suteikia puikių galimybių. Tačiau kai kurie konstravimo principai išlieka tokie patys kaip ir klasikiniame piešime – naudojant pieštuką ir liniuotę.

Jums reikės

• - popierius;
• - pieštukas;
• - liniuotė;
• - kompiuteris su AutoCAD programine įranga.

Instrukcija

Pradėkite nuo klasikinės konstrukcijos. Nustatykite plokštumą, kurioje brėžsite liniją. Tegul tai yra popieriaus lapo plokštuma. Atsižvelgdami į problemos sąlygas, sutvarkykite . Jie gali būti savavališki, bet gali būti, kad yra pateikta koordinačių sistema. Savavališki taškai dedami ten, kur jums labiausiai patinka. Pažymėkite juos A ir B. Sujunkite juos liniuote. Pagal aksiomą visada galima nubrėžti tiesią liniją per du taškus ir tik vieną.

Nubraižykite koordinačių sistemą. Tegu jums suteikiami taškai A (x1; y1). Norint juos pasiekti, reikia išilgai x ašies atidėti reikiamą skaičių ir per pažymėtą tašką nubrėžti tiesią liniją, lygiagrečią y ašiai. Tada išilgai atitinkamos ašies nubraižykite reikšmę, lygią y1. Nubrėžkite statmeną nuo pažymėto taško, kol jis susikerta su. Jų susikirtimo vieta bus taškas A. Taip pat raskite tašką B, kurio koordinates galima pažymėti kaip (x2; y2). Sujunkite abu taškus.

Programoje AutoCAD tiesią liniją galima nutiesti keliais . Funkcija „pagal“ paprastai nustatoma pagal numatytuosius nustatymus. Viršutiniame meniu raskite skirtuką „Pagrindinis“. Priešais save pamatysite piešimo skydelį. Raskite mygtuką su tiesia linija ir spustelėkite jį.

AutoCAD taip pat leidžia nustatyti abiejų koordinates. Surinkite apačioje komandinė eilutė(_xline). Paspausk Enter. Įveskite pirmojo taško koordinates ir paspauskite enter. Taip pat apibrėžkite antrąjį tašką. Jį taip pat galima nurodyti spustelėjus pelės žymeklį norimą tašką ekranas.

„AutoCAD“ tiesiąją liniją galite nubrėžti ne tik dviem taškais, bet ir pasvirimo kampu. Kontekstiniame meniu Piešti pasirinkite tiesią liniją, tada parinktį Kampas. Pradinį tašką galima nustatyti spustelėjus pelę arba naudojant , kaip ir ankstesniame metode. Tada nustatykite kampo dydį ir paspauskite Enter. Pagal numatytuosius nustatymus linija bus išdėstyta norimu kampu horizontalės atžvilgiu.

Susiję vaizdo įrašai

Sudėtingame brėžinyje (diagramoje) statmenumą tiesioginis ir lėktuvas nustatomos pagrindinėmis nuostatomis: jeigu viena pusė stačiu kampu lygiagrečiai lėktuvas projekcijos, tada į šią plokštumą be iškraipymų projektuojamas stačias kampas; jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms lėktuvas, jis yra statmenas lėktuvas.

Jums reikės

• Pieštukas, liniuotė, matuoklis, trikampis.

Instrukcija

Pavyzdys: per tašką M nubrėžkite statmeną į lėktuvas Norėdami nubrėžti statmeną lėktuvas, čia yra dvi susikertančios linijos lėktuvas, ir nubrėžkite jiems statmeną liniją. Priekinė ir horizontalioji pasirenkamos kaip šios dvi susikertančios linijos. lėktuvas.

Priekinė f(f₁f₂) yra tiesi linija lėktuvas ir lygiagrečiai priekyje lėktuvas projekcijos П₂. Taigi f₂ yra jo natūrali reikšmė, o f₁ visada lygiagreti x12. Iš taško A2 nubrėžkite h₂ lygiagrečiai x12 ir gaukite tašką 12 ant B2C2.

Naudojant ryšio taško 1₁ ant В₁С₁ projekcijos liniją. Sujunkite su A₁ – tai h₁ – natūralus horizontalės dydis. Iš taško B₁ nubrėžkite f1‖x12, iš A1C₁ gaukite tašką 21. Raskite tašką 2₂ ant A₂C2 naudodami projekcijos jungties liniją. Sujunkite su tašku B₂ – tai bus f₂ – visas priekinės dalies dydis.

Sudarytos statmenos projekcijų natūralios horizontalės h₁ ir frontalai f₂ lėktuvas. Iš taško M₂ nubrėžkite jo priekinę projekciją a₂ 90 kampu

Trikampyje yra vadinamieji keturi svarbūs taškai: medianų susikirtimo taškas. Bisektorių susikirtimo taškas, aukščių susikirtimo taškas ir statmenų bisektorių susikirtimo taškas. Panagrinėkime kiekvieną iš jų.

Trikampio medianų susikirtimo taškas

1 teorema

Ant trikampio medianų sankirtos: trikampio medianos susikerta viename taške ir padalija susikirtimo tašką santykiu $2:1$, pradedant nuo viršūnės.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra jo mediana. Kadangi medianos dalija puses per pusę. Apsvarstykite vidurinę liniją $A_1B_1$ (1 pav.).

1 pav. Trikampio medianos

Pagal 1 teoremą $AB||A_1B_1$ ir $AB=2A_1B_1$, taigi $\kampas ABB_1=\kampas BB_1A_1,\ \kampas BAA_1=\kampas AA_1B_1$. Taigi trikampiai $ABM$ ir $A_1B_1M$ pirmajame yra panašūs panašumo trikampiai. Tada

Panašiai įrodyta, kad

Teorema įrodyta.

Trikampio pusiausvyros susikirtimo taškas

2 teorema

Ant trikampio pusiausvyros sankirtos: trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $AM,\BP,\CK$ yra jo pusiausvyros. Tegul taškas $O$ yra pusiausvyros $AM\ ir\ BP$ susikirtimo taškas. Iš šio taško braižykite statmenai trikampio kraštinėms (2 pav.).

2 pav. Trikampio pusiausvyros

3 teorema

Kiekvienas neišplėsto kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių.

Pagal 3 teoremą turime: $OX=OZ,\OX=OY$. Taigi $OY=OZ$. Vadinasi, taškas $O$ yra vienodu atstumu nuo kampo $ACB$ kraštinių ir todėl yra ant jo pusiaukampio $CK$.

Teorema įrodyta.

Trikampio statmenų bisektorių susikirtimo taškas

4 teorema

Trikampio kraštinių statmenosios pusės susikerta viename taške.

Įrodymas.

Tegu duotas trikampis $ABC$, $n,\ m,\ p$ jo statmenos pusiausvyros. Tegul taškas $O$ yra statmenų pusiaukampių $n\ ir\ m$ susikirtimo taškas (3 pav.).

3 pav. Trikampio statmenos pusiausvyros

Įrodymui mums reikia šios teoremos.

5 teorema

Kiekvienas atkarpai statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo nurodytos atkarpos galų.

Pagal 3 teoremą turime: $OB=OC,\OB=OA$. Taigi $OA=OC$. Tai reiškia, kad taškas $O$ yra vienodu atstumu nuo atkarpos $AC$ galų ir todėl yra ant jo statmenos pusės $p$.

Teorema įrodyta.

Trikampio aukščių susikirtimo taškas

6 teorema

Trikampio aukščiai arba jų plėtiniai susikerta viename taške.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kur $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra jo aukštis. Nubrėžkite liniją per kiekvieną trikampio viršūnę, lygiagrečią viršūnei priešinga puse. Gauname naują trikampį $A_2B_2C_2$ (4 pav.).

4 pav. Trikampio aukščiai

Kadangi $AC_2BC$ ir $B_2ABC$ yra lygiagretainiai, turintys bendrą kraštinę, tai $AC_2=AB_2$, tai yra, taškas $A$ yra kraštinės $C_2B_2$ vidurio taškas. Panašiai gauname, kad taškas $B$ yra kraštinės $C_2A_2$ vidurio taškas, o taškas $C$ yra kraštinės $A_2B_2$ vidurio taškas. Iš konstrukcijos turime $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Vadinasi, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yra trikampio $A_2B_2C_2$ statmenos pusiausvyros. Tada pagal 4 teoremą turime, kad aukščiai $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ susikerta viename taške.