피타고라스 정리는 직접적입니다. 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법
창의성의 잠재력은 일반적으로 인문학에 기인하며 자연 과학 분석, 실용적인 접근 방식 및 공식과 숫자의 건조한 언어를 남깁니다. 수학은 인문계열 과목으로 분류할 수 없습니다. 그러나 "모든 과학의 여왕"에서 창의성이 없으면 멀리 가지 못할 것입니다. 사람들은 오랫동안 이것에 대해 알고 있었습니다. 예를 들어, 피타고라스 시대부터.
불행히도 학교 교과서는 일반적으로 수학에서 정리, 공리 및 공식을 암기하는 것이 중요하다는 점을 설명하지 않습니다. 기본 원리를 이해하고 느끼는 것이 중요합니다. 동시에 진부한 표현과 기본적인 진리에서 마음을 해방시키십시오. 그러한 조건에서만 모든 위대한 발견이 탄생합니다.
그러한 발견에는 오늘날 우리가 피타고라스 정리로 알고 있는 것이 포함됩니다. 그것의 도움으로 우리는 수학이 할 수 있을 뿐만 아니라 재미있어야 한다는 것을 보여주려고 노력할 것입니다. 그리고 이 모험은 두꺼운 안경을 쓴 괴짜뿐만 아니라 강한 정신력과 강한 정신력을 가진 모든 사람에게 적합합니다.
문제의 역사에서
엄밀히 말하면 이 정리를 "피타고라스 정리"라고 부르지만 피타고라스 자신이 발견한 것은 아닙니다. 직각 삼각형과 그 특별한 속성은 오래 전에 연구되었습니다. 이 문제에 대해 두 가지 극적인 관점이 있습니다. 한 버전에 따르면, 피타고라스는 정리의 완전한 증거를 처음으로 발견했습니다. 다른 사람에 따르면, 증명은 피타고라스의 저자에 속하지 않습니다.
오늘은 더 이상 누가 옳고 그른지 확인할 수 없습니다. 피타고라스의 증명이 존재했다면 살아남지 못했다는 것만 알려져 있습니다. 그러나 유클리드의 원소의 유명한 증명이 피타고라스에 속할 수 있다는 제안이 있으며 유클리드가 기록했을 뿐입니다.
직각 삼각형에 관한 문제는 파라오 아메넴헤트 1세 시대의 이집트 자료, 함무라비 왕 시대의 바빌론 점토판, 고대 인도 논문 술바경, 고대 중국 저작 Zhou에서 발견되는 것으로 알려져 있습니다. -비수안진.
보시다시피, 피타고라스 정리는 고대부터 수학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 오늘날 존재하는 약 367개의 다양한 증거가 확인 역할을 합니다. 이 점에서 다른 어떤 정리도 그것과 경쟁할 수 없습니다. 주목할만한 증거 저자로는 Leonardo da Vinci와 미국의 20대 대통령 James Garfield가 있습니다. 이 모든 것은 수학에서 이 정리의 극도의 중요성을 말해줍니다. 기하학의 대부분의 정리는 이것에서 파생되거나 어떤 식으로든 그것과 연결됩니다.
피타고라스 정리의 증명
학교 교과서는 대부분 대수적 증명을 제공합니다. 그러나 정리의 본질은 기하학에 있으므로 우선 이 과학을 기반으로 한 유명한 정리의 증명을 살펴보겠습니다.
증거 1
직각 삼각형에 대한 피타고라스 정리의 가장 간단한 증명을 위해 이상적인 조건을 설정해야 합니다. 삼각형이 직각일 뿐만 아니라 이등변도 되게 하십시오. 고대 수학자들이 원래 고려했던 삼각형이라고 믿을만한 이유가 있습니다.
성명 "직각 삼각형의 빗변 위에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."다음 그림으로 설명할 수 있습니다.
이등변 삼각형 ABC를 보세요. 빗변 AC에서 원래 ABC와 동일한 4개의 삼각형으로 구성된 정사각형을 만들 수 있습니다. 그리고 다리 AB와 BC에는 두 개의 유사한 삼각형이 포함 된 정사각형에 세워졌습니다.
그건 그렇고,이 그림은 피타고라스 정리에 전념 한 수많은 일화와 만화의 기초를 형성했습니다. 아마도 가장 유명한 것은 "피타고라스식 바지는 모든 방향에서 평등하다":
증거 2
이 방법은 대수학과 기하학을 결합하고 수학자 Bhaskari의 고대 인도 증명의 변형으로 볼 수 있습니다.
변이 있는 직각 삼각형 만들기 a, b 및 c(그림 1). 그런 다음 두 다리의 길이의 합과 같은 변을 가진 두 개의 정사각형을 만드십시오. (a+b). 각 사각형에서 그림 2와 3과 같이 구성합니다.
첫 번째 사각형에서 그림 1과 같은 삼각형을 4개 만듭니다. 결과적으로 두 개의 사각형이 생성됩니다. 하나는 변이 a이고 두 번째는 변이 비.
두 번째 정사각형에서는 4개의 유사한 삼각형이 빗변과 같은 변을 가진 정사각형을 형성합니다. 씨.
그림 2에서 구성한 정사각형의 면적의 합은 그림 3에서 변 c로 구성한 정사각형의 면적과 같습니다. 이것은 그림 1에서 사각형의 면적을 계산하여 쉽게 확인할 수 있습니다. 2 공식에 따라. 그리고 그림 3의 내접 정사각형의 면적. 한 변이 있는 큰 정사각형의 면적에서 정사각형에 내접하는 4개의 동일한 직각 삼각형의 면적을 빼 (a+b).
이 모든 것을 정리하면 다음과 같습니다. a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. 대괄호를 확장하고 필요한 모든 대수 계산을 수행하고 a 2 + b 2 = a 2 + b 2. 동시에, 그림 3에 새겨진 영역. 제곱은 전통적인 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다. S=c2. 저것들. a2+b2=c2피타고라스 정리를 증명했습니다.
증거 3
바로 그 동일한 고대 인도 증거가 12세기 논문 "지식의 왕관"("Siddhanta Shiromani")에 기술되어 있으며, 주요 논거로서 저자는 수학적 재능과 학생 관찰 능력에 대한 호소를 사용합니다. 추종자 : "보세요!".
그러나 우리는 이 증명을 더 자세히 분석할 것입니다:
사각형 안에 그림과 같이 직각 삼각형 4개를 만드세요. 빗변이기도 한 큰 정사각형의 변은 다음과 같이 표시됩니다. ~와 함께. 삼각형의 다리를 부르자 ㅏ그리고 비. 그림에 따르면 내부 사각형의 측면은 (a-b).
제곱 면적 공식 사용 S=c2외부 사각형의 면적을 계산합니다. 동시에 내부 정사각형의 면적과 4개의 직각 삼각형의 면적을 모두 더하여 동일한 값을 계산합니다. (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
두 옵션을 모두 사용하여 정사각형의 면적을 계산하여 동일한 결과를 얻을 수 있는지 확인할 수 있습니다. 그리고 그것은 당신에게 그것을 기록할 권리를 줍니다 c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. 솔루션의 결과로 피타고라스 정리의 공식을 얻을 수 있습니다. c2=a2+b2. 정리가 증명되었습니다.
증거 4
이 흥미로운 고대 중국 증거는 "신부 의자"라고 불립니다. 모든 구성에서 비롯된 의자와 같은 모양 때문입니다.
두 번째 증명에서 그림 3에서 이미 본 그림을 사용합니다. 그리고 측면 c가 있는 내부 정사각형은 위에 주어진 고대 인도 증명에서와 같은 방식으로 구성됩니다.
그림 1의 그림에서 두 개의 녹색 직각 삼각형을 마음속으로 잘라내어 변 c가 있는 정사각형의 반대쪽으로 옮기고 라일락 삼각형의 빗변에 빗변을 붙이면 “신부 의자”(그림 2). 명확성을 위해 종이 정사각형과 삼각형으로도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. "신부 의자"가 두 개의 사각형으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다. 비그리고 옆으로 큰 ㅏ.
이러한 구조를 통해 고대 중국 수학자와 우리는 다음과 같은 결론에 도달했습니다. c2=a2+b2.
증거 5
이것은 기하학을 기반으로 하는 피타고라스 정리에 대한 솔루션을 찾는 또 다른 방법입니다. 가필드 방식이라고 합니다.
직각 삼각형 만들기 알파벳. 우리는 그것을 증명할 필요가 있습니다 BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
이렇게하려면 다리를 계속하십시오. 교류세그먼트를 구축 CD, 이는 다리와 같습니다. AB. 하부 수직 기원 후선분 ED. 세그먼트 ED그리고 교류같다. 점들을 이으세요 이자형그리고 에, 만큼 잘 이자형그리고 와 함께아래 그림과 같은 그림을 얻으십시오.
타워를 증명하기 위해 우리는 이미 테스트한 방법에 다시 의존합니다. 결과 그림의 면적을 두 가지 방법으로 찾고 표현을 서로 동일시합니다.
다각형의 면적 찾기 침대그것을 형성하는 세 삼각형의 면적을 추가하여 수행할 수 있습니다. 그리고 그 중 하나 ERU, 는 직사각형일 뿐만 아니라 이등변이기도 합니다. 그것도 잊지 말자 AB=CD, AC=ED그리고 BC=CE- 이렇게 하면 녹음을 단순화하고 과부하를 방지할 수 있습니다. 그래서, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
동시에 분명한 것은 침대사다리꼴이다. 따라서 다음 공식을 사용하여 면적을 계산합니다. SABED=(DE+AB)*1/2AD. 우리의 계산을 위해 세그먼트를 나타내는 것이 더 편리하고 명확합니다. 기원 후세그먼트의 합으로 교류그리고 CD.
그 사이에 등호를 넣어 그림의 면적을 계산하는 두 가지 방법을 모두 작성해 보겠습니다. AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). 우리는 이미 알고 있고 위에서 설명한 세그먼트의 동등성을 사용하여 표기법의 오른쪽을 단순화합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. 이제 대괄호를 열고 평등을 변환합니다. AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. 모든 변환을 마치면 필요한 것을 정확히 얻습니다. BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. 우리는 정리를 증명했습니다.
물론 이 증거 목록은 완전하지 않습니다. 피타고라스 정리는 벡터, 복소수, 미분 방정식, 스테레오메트리 등을 사용하여 증명할 수도 있습니다. 그리고 물리학자도 예를 들어 그림에 표시된 것과 유사한 사각형 및 삼각형 부피에 액체를 부으면 됩니다. 액체를 부음으로써 결과적으로 면적과 정리 자체의 평등을 증명할 수 있습니다.
피타고라스식 삼중항에 대한 몇 마디
이 문제는 학교 커리큘럼에서 거의 또는 전혀 연구되지 않습니다. 한편, 그것은 매우 흥미롭고 기하학에서 매우 중요합니다. 피타고라스식 트리플은 많은 수학적 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 그들에 대한 아이디어는 추가 교육에서 당신에게 유용 할 수 있습니다.
그렇다면 피타고라스식 삼중항은 무엇일까요? 3으로 모은 이른바 자연수, 2의 제곱의 합은 3의 제곱과 같습니다.
피타고라스식 트리플은 다음과 같을 수 있습니다.
- 원시(세 숫자 모두 상대적으로 소수임);
- 비원시(삼중의 각 수에 같은 수를 곱하면 기본이 아닌 새로운 삼중을 얻음).
우리 시대 이전에도 고대 이집트인들은 피타고라스식 세 쌍의 수에 대한 열광에 매료되었습니다. 작업에서 그들은 3.4 및 5 단위의 변이 있는 직각 삼각형을 고려했습니다. 그건 그렇고, 변이 피타고라스 트리플의 숫자와 같은 삼각형은 기본적으로 직사각형입니다.
피타고라스 삼중의 예: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) 등
정리의 실제 적용
피타고라스 정리는 수학뿐만 아니라 건축과 건축, 천문학, 심지어 문학에도 적용됩니다.
첫째, 구성에 대해: 피타고라스 정리는 다양한 수준의 복잡성 문제에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 로마네스크 창을 보십시오.
창의 너비를 다음과 같이 표시합시다. 비, 큰 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 아르 자형를 통해 표현하고 b: R=b/2. 더 작은 반원의 반지름은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. b: r=b/4. 이 문제에서 우리는 창의 내부 원의 반지름에 관심이 있습니다. 피).
피타고라스 정리는 계산에 유용합니다. 아르 자형. 이를 위해 그림에서 점선으로 표시된 직각 삼각형을 사용합니다. 삼각형의 빗변은 두 개의 반지름으로 구성됩니다. b/4+p. 한쪽 다리는 반지름 b/4, 또 다른 b/2-p. 피타고라스 정리를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. 다음으로 괄호를 열고 다음을 얻습니다. b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. 이 표현을 다음과 같이 바꿔보자. bp/2=b 2 /4-bp. 그런 다음 모든 용어를 다음으로 나눕니다. 비, 우리는 비슷한 것을 얻을 3/2*p=b/4. 그리고 결국 우리는 그것을 발견합니다. p=b/6- 이것이 우리에게 필요한 것입니다.
정리를 사용하여 박공 지붕의 서까래 길이를 계산할 수 있습니다. 신호가 특정 정착지에 도달하는 데 필요한 모바일 타워의 높이를 결정합니다. 그리고 도시 광장에 크리스마스 트리를 꾸준히 설치하십시오. 보시다시피, 이 정리는 교과서 페이지에만 있는 것이 아니라 실생활에서도 종종 유용합니다.
문학에 관한 한, 피타고라스 정리는 고대부터 작가들에게 영감을 주어 오늘날에도 계속되고 있습니다. 예를 들어, 19세기 독일 작가 Adelbert von Chamisso는 그녀에게서 영감을 받아 다음과 같은 소네트를 썼습니다.
진실의 빛은 곧 사라지지 않을 것이며,
그러나 빛을 발한 후에는 소멸되지 않을 것입니다.
그리고 수천 년 전처럼,
의심과 분쟁을 일으키지 않습니다.
눈에 닿을 때가 가장 현명하다
진리의 빛이여, 신들에게 감사하십시오.
그리고 백 마리의 황소가 칼에 찔리고 거짓말을 했습니다.
행운의 피타고라스의 답례품.
그 이후로 황소는 필사적으로 포효했습니다.
영원히 황소 부족을 깨우다
여기에 언급된 이벤트.
그들은 때가 됐다고 생각한다
그리고 다시 그들은 희생될 것이다
몇 가지 훌륭한 정리.
(Viktor Toporov 번역)
그리고 20세기에 소련 작가 Yevgeny Veltistov는 그의 책 "The Adventures of Electronics"에서 피타고라스 정리의 증명에 대해 전체 장을 할애했습니다. 그리고 피타고라스 정리가 단일 세계의 기본 법칙이자 종교가 된다면 존재할 수 있는 2차원 세계에 대한 이야기의 절반 챕터. 그 안에 사는 것이 훨씬 쉬울 것이지만 훨씬 더 지루합니다. 예를 들어 "둥근"과 "푹신한"이라는 단어의 의미를 이해하는 사람은 아무도 없습니다.
그리고 "전자공학의 모험(The Adventures of Electronics)"이라는 책에서 저자는 수학 교사인 타라타라(Taratara)의 입을 통해 다음과 같이 말했습니다. 피타고라스 정리를 생성하는 것은 이 창의적인 생각의 비행입니다. 다양한 증거가 있는 것은 헛된 것이 아닙니다. 평소의 것을 넘어 익숙한 것을 새로운 시각으로 바라보는 데 도움이 됩니다.
결론
이 글은 "기하학 7-9"(L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko)와 "기하학 7-11" 교과서에 나오는 피타고라스 정리의 증명 뿐만 아니라 수학의 학교 교과과정을 뛰어넘어 학습할 수 있도록 작성되었습니다. "(A.V. Pogorelov)뿐만 아니라 유명한 정리를 증명하는 다른 흥미로운 방법도 있습니다. 또한 피타고라스 정리가 일상 생활에 어떻게 적용될 수 있는지에 대한 예를 참조하십시오.
첫째, 이 정보를 사용하면 수학 수업에서 더 높은 점수를 받을 수 있습니다. 추가 출처에서 주제에 대한 정보는 항상 높이 평가됩니다.
두 번째로, 우리는 수학이 얼마나 흥미로운지 느낄 수 있도록 돕고 싶었습니다. 특정한 예를 통해 그 안에 항상 창의성을 위한 자리가 있음을 확신합니다. 우리는 피타고라스 정리와 이 기사가 수학 및 기타 과학에서 자신의 연구와 흥미로운 발견에 영감을 주기를 바랍니다.
기사에 제시된 증거가 흥미롭다면 의견에 알려주십시오. 이 정보가 공부에 도움이 되었습니까? 피타고라스 정리와 이 기사에 대해 어떻게 생각하는지 알려주십시오. 이 모든 것에 대해 기꺼이 논의하겠습니다.
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집
피타고라스 정리를 증명하는 방법.
G. 글레이저,
모스크바 러시아 교육 아카데미 학자
피타고라스 정리와 그것을 증명하는 방법
직각 삼각형의 빗변에 만들어진 정사각형의 면적은 다리에 지어진 정사각형의 면적의 합과 같습니다 ...
이것은 피타고라스 정리라고 불리는 고대의 가장 유명한 기하학적 정리 중 하나입니다. 평면 측정을 공부한 거의 모든 사람에게 여전히 알려져 있습니다. 외계 문명에 지구에 지능적인 생명체가 존재한다는 사실을 알리고 싶다면 피타고라스학파 인물의 이미지를 우주로 보내야 하는 것 같습니다. 생각하는 존재가 이 정보를 받아들일 수 있다면 복잡한 신호 해독 없이 지구에 상당히 발달된 문명이 있음을 이해할 수 있을 것이라고 생각합니다.
유명한 그리스 철학자이자 수학자 Samos의 Pythagoras는 정리의 이름을 따서 약 2500 년 전에 살았습니다. 우리에게 내려온 피타고라스에 대한 전기 정보는 단편적이고 신뢰할 수 없습니다. 많은 전설이 그의 이름과 관련이 있습니다. 피타고라스는 동방 국가를 많이 여행하고 이집트와 바빌론을 방문했다는 것이 진정으로 알려져 있습니다. 남부 이탈리아의 그리스 식민지 중 하나에서 그는 고대 그리스의 과학 및 정치 생활에서 중요한 역할을 한 유명한 "피타고라스 학파"를 설립했습니다. 잘 알려진 기하학적 정리를 증명한 사람은 피타고라스입니다. 유명한 수학자(Proclus, Plutarch 등)에 의해 퍼진 전설에 기초하여, 오랫동안 이 정리는 피타고라스 이전에는 알려지지 않았으므로 이름 - 피타고라스 정리.
그러나 이 정리가 피타고라스보다 수년 전에 알려졌음에는 의심의 여지가 없습니다. 그래서 피타고라스보다 1500년 전에 고대 이집트인들은 변이 3, 4, 5인 삼각형이 직사각형이라는 것을 알았고 이 속성(즉, 피타고라스의 역정리)을 사용하여 토지 플롯 및 건물 구조를 계획할 때 직각을 구성했습니다. 그리고 오늘날에도 시골의 건축업자와 목수는 오두막의 기초를 놓고 세부 사항을 만들고이 삼각형을 그려서 직각을 얻습니다. 수천 년 전에 이집트, 바빌론, 중국, 그리고 아마도 멕시코에서 장엄한 성전을 건축할 때도 똑같은 일이 일어났습니다. 피타고라스보다 약 600년 앞서 우리에게 내려온 중국의 가장 오래된 수학과 천문학 저작인 Zhou-bi에는 직각 삼각형과 관련된 다른 제안 중 피타고라스 정리도 포함되어 있습니다. 더 일찍이 정리는 힌두교인들에게 알려졌습니다. 따라서 피타고라스는 직각 삼각형의이 속성을 발견하지 못했고 아마도 그것을 처음으로 일반화하고 증명하여 실습 분야에서 과학 분야로 옮겼을 것입니다. 우리는 그가 어떻게했는지 모릅니다. 일부 수학 역사가들은 그럼에도 불구하고 피타고라스의 증명이 근본적인 것이 아니라 이등변 삼각형에서 시작하는 여러 특정 유형의 삼각형에 대한 이 속성의 확인, 검증일 뿐이라고 가정합니다. 하나.
와 함께 
고대부터 수학자들은 피타고라스 정리의 증명과 증명에 대한 아이디어를 점점 더 많이 찾았습니다. 150개 이상의 그러한 증명(다소 엄격하고 다소 시각적인)이 알려져 있지만 그 수를 늘리고자 하는 열망은 보존되었습니다. 나는 피타고라스 정리의 증명에 대한 독립적인 "발견"이 현대 학생들에게 유용할 것이라고 생각합니다.
그러한 탐색의 방향을 제시할 수 있는 증거의 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.
피타고라스의 증명
"직각 삼각형의 빗변 위에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."정리의 가장 간단한 증명은 이등변 삼각형의 가장 간단한 경우에서 얻습니다. 아마도 정리는 그와 함께 시작되었습니다. 실제로, 정리가 참인지 확인하려면 이등변 삼각형의 타일링을 보는 것으로 충분합니다. 예를 들어, DABC의 경우: 빗변 위에 지어진 사각형 호주, 4개의 초기 삼각형과 2개의 다리에 만들어진 사각형이 포함됩니다. 정리가 증명되었습니다.
등가 도형의 개념을 사용하여 증명합니다.
동시에 우리는 주어진 직각 삼각형의 빗변에 만들어진 사각형이 다리에 만들어진 사각형과 같은 도형으로 "구성"되었다는 증거를 고려할 수 있습니다. 우리는 또한 수치 용어의 순열이 사용되고 많은 새로운 아이디어가 고려되는 그러한 증명을 고려할 수 있습니다.
무화과에. 2는 두 개의 동일한 정사각형을 보여줍니다. 각 정사각형의 변의 길이는 + b입니다. 각 정사각형은 정사각형과 직각삼각형으로 구성된 부분으로 나뉩니다. 정사각형 영역에서 다리 a, b가 있는 직각 삼각형의 4배 영역을 빼면 동일한 영역, 즉 c 2 \u003d a 2 + b 2가 유지됩니다. 그러나 이 추론이 속하는 고대 힌두교도들은 대개 그것을 기록하지 않고 그림과 함께 "보세요!"라는 한 단어만 사용했습니다. 피타고라스가 동일한 증거를 제시했을 가능성이 큽니다.
추가 증거.
이 증명은 다리에 만들어진 사각형을 그림으로 분해하는 것을 기반으로 하며, 여기서 빗변에 만들어진 사각형을 추가할 수 있습니다.
여기: ABC는 직각 C인 직각 삼각형입니다. CMN; CKMN; 포||MN; EF||MN.
다리와 빗변에 만들어진 사각형을 분할하여 얻은 삼각형의 쌍으로 같음을 스스로 증명하십시오.
이 분할을 사용하여 정리를 증명하십시오.
al-Nairiziya의 증명에 기초하여, 쌍으로 같은 숫자로 정사각형을 또 다른 분해가 이루어졌습니다(그림 5, 여기에서 ABC는 직각 C를 갖는 직각 삼각형입니다).
"날이 있는 바퀴"라고 하는 정사각형을 동일한 부분으로 분해하는 방법에 의한 또 다른 증명이 그림에 나와 있습니다. 6. 여기에서 ABC는 직각 C를 갖는 직각 삼각형입니다. O - 큰 다리에 지어진 사각형의 중심; 점 O를 지나는 점선은 빗변에 수직이거나 평행합니다.
이 정사각형 분해는 쌍으로 된 등가 사변형이 평행 이동에 의해 서로 매핑될 수 있다는 점에서 흥미롭습니다. 피타고라스 정리의 다른 많은 증명은 제곱을 그림으로 분해하여 제공할 수 있습니다.
확장 방법에 의한 증명.
이 방법의 요점은 다리에 만든 정사각형과 빗변에 만든 정사각형에 동일한 도형을 붙여서 동일한 도형을 얻는 것입니다.
피타고라스 정리의 유효성은 육각형 AEDFPB 및 ACBNMQ의 동일한 크기에서 비롯됩니다. 여기서 CEP, 라인 EP는 육각형 AEDFPB를 두 개의 동일한 면적 사각형으로 나누고, 라인 CM은 육각형 ACBNMQ를 두 개의 동일한 면적 사각형으로 나눕니다. 중심 A를 중심으로 한 평면의 90° 회전은 사변형 AEPB를 사변형 ACMQ에 매핑합니다.
무화과에. 8 피타고라스 그림은 직사각형으로 완성되며, 그 측면은 다리에 만들어진 사각형의 해당 측면과 평행합니다. 이 직사각형을 삼각형과 직사각형으로 나누겠습니다. 먼저 결과 직사각형에서 모든 다각형 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9를 빼서 빗변 위에 만들어진 정사각형을 남깁니다. 그런 다음 동일한 직사각형에서 직사각형 5, 6, 7과 음영 처리된 직사각형을 빼면 다리에 정사각형이 만들어집니다. |
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이제 첫 번째 경우에서 뺀 숫자의 크기가 두 번째 경우에서 뺀 숫자와 크기가 같다는 것을 증명해 봅시다.
KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;
LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;
AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;
따라서 c 2 = a 2 + b 2 입니다.
OCLP=ACLF=ACED=b2; 
CBML = CBNQ = a 2 ;
OBMP = ABMF = c 2 ;
OBMP = OCLP + CBML;
c 2 = a 2 + b 2 .
대수적 증명 방법.
쌀. 12는 위대한 인도 수학자 Bhaskari(Lilavati, X의 유명한 저자)의 증명을 보여줍니다. |
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현대 프레젠테이션에서 피타고라스에 속하는 그러한 증명 중 하나를 제시해 보겠습니다. |
2세기). 그림에는 LOOK이라는 단어만 포함되어 있었습니다. 대수적 방법에 의한 피타고라스 정리의 증명 중에서 유사도를 이용한 증명이 1위(아마도 가장 오래된 것)를 차지한다.시간 
그리고 무화과. 13 ABC - 직사각형, C - 직각, CMAB, b 1 - 빗변의 다리 b 투영, a 1 - 빗변의 다리 a 투영, h - 빗변에 그려진 삼각형의 높이.
ABC가 ACM과 유사하다는 사실로부터
b 2 \u003d cb 1; (하나)
ABC가 BCM과 유사하다는 사실로부터
a 2 = 약 1 . (2)
항으로 등식 (1)과 (2)를 더하면 a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 가 됩니다.
피타고라스가 실제로 그러한 증명을 제시했다면, 그는 현대 수학 역사가들이 일반적으로 유클리드에 기인한 여러 가지 중요한 기하학적 정리에 대해서도 잘 알고 있었습니다.
Möllmann의 증명(그림 14). |
한편으로이 직각 삼각형의 면적은 다른 한편으로 동일합니다. 여기서 p는 삼각형의 반둘레이고, r은 그 안에 새겨진 원의 반지름입니다 
우리는 다음을 가지고 있습니다:따라서 c 2 =a 2 +b 2 가 됩니다.
두 번째로 
이러한 식을 동일시하면 피타고라스 정리를 얻습니다.
복합법
삼각형의 평등
c 2 = a 2 + b 2 . (삼)
관계식 (3)과 (4)를 비교하면 다음을 얻습니다.
c 1 2 = c 2 또는 c 1 = c.
따라서 주어진 삼각형과 구성된 삼각형은 3개의 상응하는 동일한 변을 갖기 때문에 동일합니다. 각 C1이 직각이므로 이 삼각형의 각 C도 직각입니다.
고대 인도 증거.
고대 인도의 수학자들은 피타고라스 정리를 증명하려면 고대 중국 그림의 내부를 사용하는 것으로 충분하다는 것을 알아차렸습니다. 20세기의 가장 큰 인도 수학자가 야자잎에 쓴 논문 "Siddhanta Shiromani"("지식의 왕관")에서. Bha-skara는 그림을 배치했습니다(그림 4).
인디언 증거의 특징 l "보세요!"라는 단어. 보시다시피 직각 삼각형은 빗변이 바깥쪽으로 향하고 정사각형이 여기에 쌓여 있습니다. ~와 함께 2 브라이드 로 체어(Bride-lo Chair)로 바뀌었다. ~와 함께 2 -비 2 . 피타고라스 정리의 특별한 경우(예: 면적이 두 배 큰 정사각형의 구성 그림 4이 광장의 면적)은 고대 인도 논문 "Sulva"에서 발견됩니다.
그들은 직각 삼각형과 다리에 만들어진 정사각형, 즉 16개의 동일한 이등변 직각 삼각형으로 구성된 도형을 해결하여 정사각형에 맞습니다. 백합이야 고대 수학의 진주인 피타고라스 정리에 숨겨진 부의 작은 부분.
고대 중국의 증거.
고대 중국의 수학 논문은 2세기 판에 우리에게 내려왔습니다. 기원전. 사실은 기원전 213년입니다. 중국의 시황제는 옛 전통을 없애고자 모든 고서를 불태우라고 명령했다. PC에서. 기원전. 종이는 중국에서 발명되었고 동시에 고서의 재건이 시작되었습니다. 이 증명의 열쇠는 찾기 어렵지 않습니다. 실제로, 고대 중국 그림에는 카테터, b 및 빗변이 있는 4개의 동일한 직각 삼각형이 있습니다. ~와 함께쌓인 G)외부 윤곽이 그림 2를 형성하도록 측면이 있는 정사각형 a + b,내부는 빗변 위에 세워진 측면 c가 있는 정사각형입니다(그림 2, b). 변이 c인 정사각형을 잘라내고 나머지 4개의 음영 삼각형을 두 개의 직사각형에 배치하면(그림 2, 에),결과적인 공백은 한편으로 다음과 같습니다. 와 함께 2 , 그리고 다른쪽에 - ~와 함께 2 +b 2 , 저것들. c 2 \u003d 2 + b 2. 정리가 증명되었습니다. 이러한 증거로 빗변의 사각형 내부 구조는 고대 중국 그림에서 볼 수 있습니다(그림 2, a)는 사용되지 않습니다. 분명히 고대 중국 수학자들은 다른 증거를 가지고 있었습니다. 정확히는 측면이 있는 정사각형이라면 ~와 함께두 개의 음영 삼각형(그림 2, 비)빗변을 잘라 다른 두 빗변에 붙입니다(그림 2, G),그것을 찾는 것은 쉽다
"신부의 의자"라고도 하는 결과 그림은 측면이 있는 두 개의 정사각형으로 구성됩니다. ㅏ그리고 비,저것들. 씨 2 == ㅏ 2 +b 2 .
시간 
그림 3은 논문 "Zhou-bi ..."의 그림을 재현합니다. 여기에서 피타고라스 정리는 다리 3, 4 및 빗변 5 단위가 있는 이집트 삼각형에 대해 고려됩니다. 빗변의 정사각형은 25개의 세포를 포함하고, 큰 다리에 새겨진 정사각형은 16개의 세포를 포함합니다. 나머지 부분에는 9개의 셀이 포함되어 있음이 분명합니다. 이것은 작은 다리의 사각형이 될 것입니다.
샤포발로바 L.A. (역 Egorlykskaya, MBOU ESOSH No. 11)
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이번 학년도에 나는 고대부터 알려진 흥미로운 정리에 대해 알게 되었습니다.
"직각 삼각형의 빗변에 만든 정사각형은 다리에 만든 정사각형의 합과 같습니다."
일반적으로이 진술의 발견은 고대 그리스 철학자이자 수학자 피타고라스 (기원전 6 세기)에 기인합니다. 그러나 고대 필사본에 대한 연구에 따르면 이 진술은 피타고라스가 탄생하기 오래 전에 알려져 있었습니다.
이 경우 왜 피타고라스라는 이름과 관련이 있는지 궁금했습니다.
주제의 관련성: 피타고라스 정리는 매우 중요합니다. 모든 단계에서 문자 그대로 기하학에 사용됩니다. 나는 피타고라스의 작품이 여전히 관련이 있다고 믿습니다. 우리가 어디를 보든 현대 생활의 다양한 분야에 구현된 그의 위대한 아이디어의 열매를 볼 수 있기 때문입니다.
내 연구의 목적은 피타고라스가 누구인지, 그리고 그가 이 정리와 어떤 관련이 있는지 알아내는 것이었습니다.
정리의 역사를 연구하면서 나는 다음을 찾기로 결정했습니다.
이 정리의 다른 증거가 있습니까?
사람들의 삶에서 이 정리의 의미는 무엇입니까?
피타고라스는 수학의 발전에서 어떤 역할을 했습니까?
피타고라스의 전기에서
사모스의 피타고라스는 위대한 그리스 과학자입니다. 그 명성은 피타고라스 정리의 이름과 관련이 있습니다. 지금 우리는 이 정리가 피타고라스보다 1200년 앞서 고대 바빌론에서 알려졌고, 그보다 2000년 앞선 이집트에서 변이 3, 4, 5인 직각 삼각형이 알려졌음을 이미 알고 있지만, 우리는 여전히 이것을 고대 바빌론의 이름으로 부릅니다. 과학자.
피타고라스의 삶에 대해 확실하게 알려진 것은 거의 없지만 그의 이름과 관련이 있습니다. 많은 수의전설.
피타고라스는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났다.
피타고라스는 잘 생긴 외모에 긴 수염과 머리에 황금 왕관을 쓰고 있었습니다. 피타고라스는 이름이 아니라 그리스의 신탁처럼 항상 정확하고 설득력 있게 말을 해서 철학자가 받은 별명이다. (피타고라스 - "설득력 있는 연설").
기원전 550년, 피타고라스는 결단을 내리고 이집트로 간다. 그래서 피타고라스 앞에 미지의 나라와 미지의 문화가 펼쳐진다. 이 나라에서 많은 놀라움과 놀라움을 선사한 피타고라스는 이집트인들의 삶을 관찰한 후 사제 계급이 보호하는 지식에 이르는 길이 종교를 통해 있다는 것을 깨달았습니다.
이집트에서 11년 동안 공부한 후 피타고라스는 고국으로 가 그곳에서 바빌론 포로로 끌려갑니다. 그곳에서 그는 이집트보다 더 발전된 바빌론 과학에 대해 알게 됩니다. 바빌론 사람들은 선형, 2차 및 일부 유형의 3차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 포로 생활에서 탈출한 그는 고국을 지배하는 폭력과 폭정의 분위기 때문에 조국에 오래 머물 수 없었습니다. 그는 크로톤(이탈리아 북부의 그리스 식민지)으로 이주하기로 결정했습니다.
피타고라스의 생애에서 가장 영광스러운 시기는 크로톤에서 시작됩니다. 그곳에서 그는 종교적 윤리적 형제애나 비밀 수도원 같은 것을 설립했으며, 그 회원들은 이른바 피타고라스식 생활 방식을 이끌어야 했습니다.
피타고라스와 피타고라스 학파
아펜니노 반도의 남쪽에 있는 그리스 식민지에서 조직된 피타고라스는 나중에 피타고라스 연합이라고 부를 수도 있는 수도원과 같은 종교적 윤리적 형제애입니다. 노동 조합의 구성원은 특정 원칙을 고수해야했습니다. 첫째, 아름답고 영광스러운 것을 위해 노력하고, 두 번째로 유용하고, 셋째로 높은 즐거움을 위해 노력해야합니다.
피타고라스가 그의 제자들에게 물려준 도덕적, 윤리적 규칙 체계는 고대, 중세, 르네상스 시대에 매우 유행했던 피타고라스 학파의 "황금 구절"의 일종의 도덕 규범으로 편집되었습니다.
피타고라스식 연구 시스템은 세 부분으로 구성되어 있습니다.
숫자에 대한 가르침 - 산수,
인물에 대한 가르침 - 기하학,
우주의 구조에 대한 가르침 - 천문학.
피타고라스가 세운 교육 시스템은 수세기 동안 지속되었습니다.
피타고라스 학파는 기하학에 과학의 성격을 부여하는 데 많은 기여를 했습니다. 피타고라스식 방법의 주요 특징은 기하학과 산술의 조합이었습니다.
피타고라스는 비율과 진행, 그리고 아마도 수치의 유사성에 대해 많은 것을 다루었습니다. 그가 문제를 해결한 것으로 인정받았기 때문입니다. 두 개의 수치가 주어졌다."
피타고라스와 그의 학생들은 다각형, 친수, 완전수의 개념을 소개하고 그 속성을 연구했습니다. 계산의 관행으로서 산술은 피타고라스에게 관심이 없었고 그는 자랑스럽게 "산술을 상인의 이익보다 우선시한다"고 선언했습니다.
피타고라스 연합의 구성원은 그리스의 많은 도시에 거주했습니다.
피타고라스 학파는 또한 여성을 사회로 받아들였습니다. 연합은 20년 이상 번성했고, 그 후 회원들에 대한 박해가 시작되었고 많은 학생들이 살해당했습니다.
피타고라스 자신의 죽음에 대한 다양한 전설이 있었습니다. 그러나 피타고라스와 그의 제자들의 가르침은 계속해서 살아 남았습니다.
피타고라스 정리 생성의 역사에서
현재 이 정리는 피타고라스에 의해 발견되지 않은 것으로 알려져 있습니다. 그러나 어떤 사람들은 피타고라스가 처음으로 완전한 증거를 제시했다고 믿고 다른 사람들은 그의 장점을 부인합니다. 일부는 유클리드가 그의 Elements의 첫 번째 책에서 제공한 증명을 피타고라스에 귀속시킵니다. 반면에 Proclus는 Elements의 증명이 Euclid 자신 때문이라고 주장합니다. 우리가 볼 수 있듯이 수학의 역사에는 피타고라스의 삶과 그의 수학적 활동에 대한 신뢰할 수 있는 구체적인 데이터가 거의 없습니다.
고대 중국의 피타고라스 정리에 대한 역사적 검토를 시작하겠습니다. 여기서 츄페이의 수학책이 특히 눈길을 끈다. 이 에세이는 변이 3, 4, 5인 피타고라스 삼각형에 대해 다음과 같이 말합니다.
"직각을 구성 요소로 분해하면 밑변이 3이고 높이가 4일 때 변의 끝을 연결하는 선이 5가 됩니다."
그들의 건설 방법을 재현하는 것은 매우 쉽습니다. 12m 길이의 밧줄을 3m 거리에서 색깔 있는 스트립을 따라 묶습니다. 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝에서 4m. 3~4m 길이의 변 사이에 직각이 포함됩니다.
힌두교도의 기하학은 숭배와 밀접하게 연결되어 있었습니다. 빗변 제곱 정리는 기원전 8세기경 인도에서 이미 알려졌을 가능성이 매우 높습니다. 순전히 의례적인 처방과 함께 기하학적으로 신학적인 성격을 지닌 작품들이 있다. 기원전 4세기 또는 5세기로 거슬러 올라가는 이 글에서 우리는 변이 15, 36, 39인 삼각형을 사용하여 직각의 구성을 만납니다.
중세 시대에 피타고라스의 정리는 가능한 한 최대가 아니더라도 최소한 좋은 수학적 지식의 한계를 정의했습니다. 예를 들어 지금은 가끔 학생들이 교수나 남자의 가운을 입은 모자로 바뀌는 피타고라스 정리의 특징적인 그림은 그 당시 수학의 상징으로 자주 사용되었습니다.
결론적으로, 우리는 그리스어, 라틴어 및 독일어에서 번역된 피타고라스 정리의 다양한 공식을 제시합니다.
유클리드의 정리는 다음과 같습니다.
"직각 삼각형에서 직각에 걸친 변의 제곱은 직각을 둘러싼 변의 제곱과 같습니다."
보시다시피, 다른 국가와 다른 언어에는 친숙한 정리의 공식화 버전이 다릅니다. 서로 다른 시간과 다른 언어로 생성된 이 패턴은 하나의 수학적 패턴의 본질을 반영하며, 그 증명에도 여러 옵션이 있습니다.
피타고라스 정리를 증명하는 5가지 방법
고대 중국 증거
고대 중국 그림에서 다리 a, b, 빗변 c가 있는 4개의 동일한 직각 삼각형을 쌓아서 외부 윤곽은 변 a + b가 있는 정사각형을 형성하고 내부 윤곽은 변 c와 함께 정사각형을 형성합니다. 빗변
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
J. Gardfield의 증명(1882)
두 개의 동일한 직각 삼각형을 배열하여 그 중 하나의 다리가 다른 다리의 연속이 되도록 합시다.
고려중인 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱으로 발견됩니다
반면에 사다리꼴의 면적은 결과 삼각형의 면적의 합과 같습니다.
이러한 표현식을 동일시하면 다음을 얻습니다.
증명은 간단하다
이 증명은 이등변 삼각형의 가장 단순한 경우에서 얻을 수 있습니다.
아마도 정리는 그와 함께 시작되었습니다.
실제로, 정리가 참인지 확인하려면 이등변 삼각형의 타일링을 보는 것으로 충분합니다.
예를 들어 삼각형 ABC의 경우 빗변 AC에 만들어진 사각형에는 4개의 초기 삼각형이 포함되고 다리에 만들어진 사각형에는 2개가 포함됩니다. 정리가 증명되었습니다.
고대 힌두교의 증거
측면(a + b)이 있는 정사각형은 그림과 같이 여러 부분으로 나눌 수 있습니다. 12. a, 또는 그림과 같이. 12b. 두 그림에서 파트 1, 2, 3, 4가 동일한 것이 분명합니다. 그리고 같음(면적)에서 같음을 빼면 같음은 그대로 유지됩니다. c2 = a2 + b2.
유클리드의 증명
2000년 동안 가장 흔한 것은 유클리드가 발명한 피타고라스 정리의 증명이었습니다. 그의 유명한 책 "Beginnings"에 나와 있습니다.
유클리드는 직각의 꼭짓점에서 빗변까지 높이 BH를 낮추고 그 확장이 빗변에 완성 된 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나누는 것을 증명했으며 그 면적은 다리에 만들어진 해당 정사각형의 면적과 같습니다.
이 정리의 증명에 사용된 그림은 농담으로 "피타고라스 바지"라고 불립니다. 오랫동안 그는 수학 과학의 상징 중 하나로 여겨졌습니다.
피타고라스 정리의 적용
피타고라스 정리의 의미는 기하학의 대부분의 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 파생될 수 있고 많은 문제가 풀릴 수 있다는 사실에 있습니다. 또한 피타고라스 정리와 그 역정리의 실질적인 의미는 선분 자체를 측정하지 않고 선분의 길이를 찾는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 말하자면 이것은 직선에서 평면으로, 평면에서 체적 공간으로 그리고 그 너머로의 길을 열어줍니다. 이러한 이유로 피타고라스 정리는 더 많은 차원을 발견하고 이러한 차원에서 기술을 창조하고자 하는 인류에게 매우 중요합니다.
결론
피타고라스 정리는 너무 유명해서 들어보지 않은 사람은 상상하기 어렵습니다. 피타고라스 정리를 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다는 것을 배웠습니다. 나는 인터넷에 있는 정보를 포함하여 많은 역사적, 수학적 출처를 연구했고 피타고라스 정리가 그 역사뿐만 아니라 생명과 과학에서 중요한 위치를 차지하기 때문에 흥미롭다는 것을 깨달았습니다. 이것은 내가 이 논문에서 제시한 이 정리의 텍스트와 그 증명 방법에 대한 다양한 해석에 의해 입증됩니다.
따라서 피타고라스 정리는 기하학의 주요 정리 중 하나이며 가장 중요한 정리라고 할 수 있습니다. 그것의 중요성은 기하학의 대부분의 정리가 그것으로부터 또는 그것의 도움으로 추론될 수 있다는 사실에 있습니다. 피타고라스의 정리는 그 자체로는 전혀 명백하지 않다는 점에서도 주목할 만합니다. 예를 들어, 이등변 삼각형의 속성은 도면에서 직접 볼 수 있습니다. 그러나 직각 삼각형을 아무리 살펴봐도 변 사이에 간단한 관계가 있다는 것을 결코 볼 수 없습니다. c2 = a2 + b2. 따라서 이를 증명하기 위해 시각화가 자주 사용됩니다. 피타고라스의 장점은 그가 이 정리에 대한 완전한 과학적 증거를 제시했다는 것입니다. 이 정리에 의해 우연히 기억이 보존되지 않는 과학자 자신의 성격이 흥미롭습니다. 피타고라스는 음악과 숫자, 선과 정의, 지식과 건강한 생활 방식의 조화에 중점을 둔 훌륭한 연사이자 교사이자 교육자이며 그의 학교 조직자입니다. 그는 먼 후손인 우리에게 좋은 본보기가 될 것입니다.
서지 링크
투마노바 S.V. 피타고라스 정리를 증명하는 여러 가지 방법 // 과학에서 시작하십시오. - 2016. - 2호. - P. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44(액세스 날짜: 2019년 2월 21일).
학교 교과과정에서 공부하는 피타고라스 정리의 역사에 관심이 있는 사람이라면 1940년에 이 겉보기에 단순해 보이는 정리에 대한 370개의 증명을 담은 책이 출판된 것과 같은 사실도 궁금할 것이다. 그러나 그것은 다른 시대의 많은 수학자들과 철학자들의 마음을 사로잡았습니다. 기네스북에는 증명이 가능한 최대 개수의 정리로 기록되어 있다.
피타고라스 정리의 역사
피타고라스의 이름과 관련하여 이 정리는 위대한 철학자가 태어나기 오래 전에 알려졌습니다. 따라서 이집트에서는 구조물을 건설하는 동안 5천 년 전에 직각 삼각형의 변의 비율이 고려되었습니다. 바빌로니아 문헌에는 피타고라스가 탄생하기 1200년 전에 직각 삼각형의 변의 비율이 동일하다고 언급되어 있습니다.
그 이야기가 말하는 이유는 무엇입니까? 피타고라스 정리의 출현은 그에게 속합니다. 답은 하나뿐입니다. 그는 삼각형의 변의 비율을 증명했습니다. 그는 경험에 의해 확립된 종횡비와 빗변을 단순히 사용하는 사람들이 수세기 전에 하지 않은 일을 했습니다.
피타고라스의 삶에서
미래의 위대한 과학자, 수학자, 철학자는 기원전 570년 사모스 섬에서 태어났습니다. 역사적 문서에는 보석 조각가였던 피타고라스의 아버지에 대한 정보가 남아 있지만 그의 어머니에 대한 정보는 없습니다. 그들은 태어난 소년에 대해 어린 시절부터 음악과 시에 대한 열정을 보인 뛰어난 아이였다고 말했습니다. 역사가들은 헤르모다만트와 시로스의 페레키데스를 젊은 피타고라스의 교사들에게 돌립니다. 첫 번째는 소년을 뮤즈의 세계로 소개했고, 두 번째는 철학자이자 이탈리아 철학 학교의 창시자로서 젊은이의 시선을 로고스로 안내했습니다.
22세(기원전 548년)에 피타고라스는 이집트인의 언어와 종교를 연구하기 위해 나우크라티스로 갔다. 또한 그의 길은 멤피스에 있었는데, 제사장들 덕분에 독창적인 테스트를 거친 이집트 기하학을 이해했으며, 아마도 호기심 많은 청년이 피타고라스 정리를 증명하도록 자극했을 것입니다. 역사는 나중에 이 이름을 정리로 돌릴 것입니다.
바빌론 왕에게 포로로 잡혀감
헬라스로 돌아가는 길에 피타고라스는 바빌론 왕에게 붙잡힙니다. 그러나 포로 생활은 초보 수학자의 호기심 많은 마음에 도움이 되었기 때문에 배울 것이 많았습니다. 실제로 그 당시 바빌론의 수학은 이집트보다 더 발달했습니다. 그는 12년 동안 수학, 기하학, 마술을 공부했습니다. 그리고 아마도 삼각형의 변의 비율의 증명과 정리 발견의 역사에 관련된 것은 바빌론 기하학이었을 것입니다. 피타고라스는 이에 대한 충분한 지식과 시간을 갖고 있었습니다. 그러나 이것이 바벨론에서 일어났다는 사실에 대한 문서적 확인이나 반박은 없다.
기원전 530년 피타고라스는 포로 상태에서 고향으로 도망쳐 반노예의 신분으로 폭군 폴리크라테스의 궁정에서 생활합니다. 그런 삶은 피타고라스에게 어울리지 않아 사모스 동굴로 은퇴한 다음, 당시 그리스 식민지인 크로톤이 있던 이탈리아 남부로 간다.
비밀 수도원 주문
이 식민지를 기반으로 피타고라스는 종교적인 결합과 동시에 과학적인 사회인 비밀 수도원을 조직했습니다. 이 사회에는 특별한 생활 방식의 준수에 대해 언급한 헌장이 있었습니다.
피타고라스는 신을 이해하기 위해서는 대수와 기하학과 같은 과학을 알고 천문학을 알고 음악을 이해해야 한다고 주장했습니다. 연구 작업은 숫자와 철학의 신비한 측면에 대한 지식으로 축소되었습니다. 그 당시에 피타고라스가 설파한 원칙은 현재에도 모방하는 것이 타당하다는 점에 유의해야 합니다.
피타고라스의 제자들에 의해 이루어진 많은 발견은 그에게 기인했습니다. 그럼에도 불구하고 요컨대, 그 당시의 고대 역사가와 전기 작가가 피타고라스 정리를 만든 역사는이 철학자, 사상가 및 수학자의 이름과 직접 관련이 있습니다.
피타고라스의 가르침
아마도 역사가들은 다리와 빗변이 있는 속담 삼각형이 우리 삶의 모든 현상을 인코딩했다는 위대한 그리스인의 진술에서 영감을 받았을 것입니다. 그리고 이 삼각형은 발생하는 모든 문제를 해결하는 "핵심"입니다. 위대한 철학자는 삼각형을 봐야 문제의 3분의 2가 해결되었다고 가정할 수 있다고 말했습니다.
피타고라스는 자신의 가르침에 대해 메모하지 않고 비밀로 유지하면서 구두로만 제자들에게만 말했습니다. 불행히도 가장 위대한 철학자의 가르침은 오늘날까지 살아남지 못했습니다. 일부는 유출됐지만 지금까지 알려진 내용 중 어느 정도가 사실이고 어느 정도가 거짓인지는 분간할 수 없다. 피타고라스 정리의 역사에도 불구하고 모든 것이 확실한 것은 아닙니다. 수학의 역사가들은 피타고라스의 저자를 의심하며, 그들의 의견으로는 이 정리가 그의 출생보다 수세기 전에 사용되었다고 생각합니다.
피타고라스의 정리
이상하게 보일지 모르지만 피타고라스 자신이 정리를 증명한 역사적 사실은 아카이브나 다른 출처에 없습니다. 현대판에서는 유클리드 자신의 것이라고 믿어집니다.
기원전 2300년경 이집트인이 쓴 베를린 박물관에 보관된 파피루스를 발견한 가장 위대한 수학 역사가인 모리츠 칸토어(Moritz Kantor)의 증거가 있습니다. 이자형. 평등, 읽기: 3² + 4² = 5².
피타고라스 정리의 역사에서 간단히
번역에서 유클리드 "시작"의 정리 공식화는 현대 해석과 동일하게 들립니다. 읽는 데 새로운 것은 없습니다. 직각 반대편의 제곱은 직각에 인접한 변의 제곱의 합과 같습니다. 인도와 중국의 고대 문명이 이 정리를 사용했다는 사실은 주비수안진(Zhou Bi Suan Jin) 논문에서 확인됩니다. 여기에는 종횡비를 3:4:5로 설명하는 이집트 삼각형에 대한 정보가 포함되어 있습니다.
덜 흥미로운 것은 Baskhara의 힌두 기하학 그림과 일치하는 설명과 그림으로 피타고라스 삼각형을 언급하는 또 다른 중국 수학 책 "Chu-pei"입니다. 삼각형 자체에 대해 책에서는 직각을 구성 요소로 분해할 수 있다면 밑변이 3이고 높이가 4인 경우 변의 끝을 연결하는 선이 5와 같을 것이라고 말합니다.
기원전 7-5세기경으로 거슬러 올라가는 인도의 논문 "설바경(Sulva Sutra)". e., 이집트 삼각형을 사용하여 직각의 구성에 대해 알려줍니다.
정리의 증명
중세 시대에 학생들은 정리를 증명하는 것이 너무 어렵다고 생각했습니다. 약한 학생은 증명의 의미를 이해하지 않고 마음으로 정리를 배웠습니다. 이와 관련하여 피타고라스 정리가 당나귀를위한 다리와 같이 극복 할 수없는 장애물이었기 때문에 "당나귀"라는 별명을 얻었습니다. 중세 시대에 학생들은 이 정리를 주제로 재미있는 구절을 생각해 냈습니다.
가장 쉬운 방법으로 피타고라스 정리를 증명하려면 증명에서 면적 개념을 사용하지 않고 측면을 측정해야 합니다. 직각 반대편의 길이는 c이고 그에 인접한 a와 b는 결과적으로 방정식을 얻습니다. a 2 + b 2 \u003d c 2. 이 명제는 위에서 언급한 바와 같이 직각 삼각형의 변의 길이를 측정함으로써 검증됩니다.
삼각형의 변에 만들어진 직사각형의 면적을 고려하여 정리의 증명을 시작하면 전체 그림의 면적을 결정할 수 있습니다. 한 변(a + b)이 있는 정사각형의 면적과 같고, 반면에 네 삼각형의 면적과 내부 정사각형의 면적의 합과 같습니다.
(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;
a 2 + 2ab + b 2 ;
c 2 = a 2 + b 2 , 이것은 증명되어야 했습니다.
피타고라스 정리의 실질적인 의미는 세그먼트를 측정하지 않고 세그먼트의 길이를 찾는 데 사용할 수 있다는 것입니다. 구조물을 건설하는 동안 거리, 지지대 및 보의 배치가 계산되고 무게 중심이 결정됩니다. 피타고라스 정리는 모든 현대 기술에도 적용됩니다. 그들은 높이, 길이, 너비, 시간, 냄새 및 맛의 일반적인 3가지 값 외에도 3D-6D 차원에서 영화를 만들 때 정리를 잊지 않았습니다. 맛과 냄새가 정리와 어떻게 관련되어 있습니까? 모든 것이 매우 간단합니다. 영화를 상영할 때 강당에서 지시할 위치와 냄새와 맛을 계산해야 합니다.
시작일 뿐입니다. 새로운 기술을 발견하고 창조할 수 있는 무한한 범위가 호기심 많은 사람들을 기다리고 있습니다.
100% 확신할 수 있는 한 가지는 빗변의 제곱이 무엇인지 물으면 모든 성인이 대담하게 "다리의 제곱의 합"이라고 대답할 것입니다. 이 정리는 교육받은 모든 사람의 마음에 확고하게 심어 져 있지만 누군가에게 증명해달라고 요청하면 충분합니다. 그러면 어려움이 발생할 수 있습니다. 따라서 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 기억하고 고려합시다.
전기에 대한 간략한 개요
피타고라스 정리는 거의 모든 사람에게 친숙하지만 어떤 이유로 그것을 만든 사람의 전기는 그다지 인기가 없습니다. 수정하겠습니다. 따라서 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 연구하기 전에 그의 성격에 대해 간략히 알 필요가 있습니다.
피타고라스-오늘날부터 철학자, 수학자, 사상가는 그의 전기를이 위대한 사람을 기념하여 발전한 전설과 구별하기가 매우 어렵습니다. 그러나 추종자들의 글에 따르면 사모스의 피타고라스는 사모스 섬에서 태어났다. 그의 아버지는 평범한 석공이었지만 그의 어머니는 귀족 가문 출신이었다.
전설에 따르면, 피타고라스의 탄생은 소년의 이름을 딴 피티아라는 여성이 예언했다고 합니다. 그녀의 예언에 따르면, 태어난 소년은 인류에게 많은 유익과 선을 가져다 줄 것이었습니다. 그가 실제로 한 일입니다.
정리의 탄생
어린 시절 피타고라스는 이집트의 유명한 현자들을 만나기 위해 이집트로 이주했습니다. 그들을 만난 후 그는 이집트 철학, 수학 및 의학의 모든 위대한 업적을 배웠습니다.
아마도 피타고라스가 피라미드의 웅장함과 아름다움에 영감을 받아 위대한 이론을 만든 곳은 이집트였을 것입니다. 이것은 독자들에게 충격을 줄 수 있지만 현대 역사가들은 피타고라스가 그의 이론을 증명하지 않았다고 믿습니다. 그러나 그는 나중에 필요한 모든 수학적 계산을 완료한 추종자들에게만 지식을 전수했습니다.
그렇지만 오늘날에는 이 정리를 증명하는 기술이 한 가지가 아니라 한 번에 여러 가지가 알려져 있습니다. 오늘날 우리는 고대 그리스인들이 정확히 어떻게 계산을 했는지 추측할 수 있을 뿐이므로 여기에서 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 고려할 것입니다.
피타고라스의 정리
계산을 시작하기 전에 증명할 이론을 파악해야 합니다. 피타고라스 정리는 다음과 같이 들립니다. "각 중 하나가 90o인 삼각형에서 다리의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다."
피타고라스 정리를 증명하는 방법은 총 15가지가 있습니다. 이것은 상당히 많은 수이므로 가장 인기있는 것에주의를 기울이십시오.
방법 1
먼저 우리가 가진 것을 정의합시다. 이 데이터는 피타고라스 정리를 증명하는 다른 방법에도 적용되므로 사용 가능한 모든 표기법을 즉시 기억해야 합니다.
다리, b, 빗변이 c인 직각 삼각형이 주어졌다고 가정합니다. 첫 번째 증명 방법은 직각 삼각형에서 정사각형을 그려야 한다는 사실에 기반합니다.
이렇게 하려면 다리 길이 a에 다리 길이와 같은 선분을 그리고 그 반대로도 그려야 합니다. 따라서 정사각형의 두 개의 동일한면이 나와야합니다. 두 개의 평행선을 그리는 것만 남아 사각형이 준비되었습니다.
결과 그림 안에 원래 삼각형의 빗변과 같은면이있는 다른 사각형을 그려야합니다. 이렇게 하려면 정점 ac와 sv에서 c와 동일한 두 개의 평행 세그먼트를 그려야 합니다. 따라서 우리는 정사각형의 세 변을 얻습니다. 그 중 하나는 원래 직각 삼각형의 빗변입니다. 네 번째 세그먼트를 그리는 것만 남아 있습니다.
결과 그림을 기반으로 외부 사각형의 면적은 (a + b) 2라는 결론을 내릴 수 있습니다. 그림 내부를 보면 내부 정사각형 외에 4개의 직각 삼각형이 있음을 알 수 있습니다. 각각의 면적은 0.5 av입니다.
따라서 면적은 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2입니다.
따라서 (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
따라서 2 \u003d a 2 + in 2
정리가 증명되었습니다.
방법 2: 유사한 삼각형
피타고라스 정리의 증명을 위한 이 공식은 유사한 삼각형에 대한 기하학 섹션의 설명을 기반으로 파생되었습니다. 직각 삼각형의 다리는 빗변과 90 ° 각도의 꼭짓점에서 나오는 빗변 세그먼트에 비례하는 평균이라고 말합니다.
초기 데이터는 그대로 유지되므로 바로 증명부터 시작하겠습니다. 변 AB에 수직인 선분 CD를 그립니다. 위의 진술에 따라 삼각형의 다리는 동일합니다.
AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.
피타고라스 정리를 증명하는 방법에 대한 질문에 답하려면 두 부등식을 모두 제곱하여 증명해야 합니다.
AC 2 \u003d AB * 지옥 및 SV 2 \u003d AB * DV
이제 결과 부등식을 추가해야 합니다.
AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), 여기서 AD + DV \u003d AB
다음과 같이 밝혀졌습니다.
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
따라서:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
피타고라스 정리의 증명과 이를 푸는 다양한 방법은 이 문제에 대한 다양한 접근이 필요합니다. 그러나 이 옵션은 가장 간단한 옵션 중 하나입니다.
다른 계산 방법
피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법에 대한 설명은 스스로 연습을 시작할 때까지 아무 말도 하지 않을 수 있습니다. 많은 방법에는 수학적 계산뿐만 아니라 원래 삼각형에서 새로운 그림의 구성도 포함됩니다.
이 경우 항공기 다리에서 또 다른 직각 삼각형 VSD를 완성해야합니다. 따라서 이제 공통 다리 BC를 가진 두 개의 삼각형이 있습니다.
유사한 도형의 면적이 유사한 선형 치수의 제곱과 같은 비율을 갖는다는 것을 알면 다음과 같습니다.
S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2
S avs * (2에서 2까지) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)
2에서 2로 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + in 2
이 옵션은 8등급에 대한 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법에서 거의 적합하지 않으므로 다음 기술을 사용할 수 있습니다.
피타고라스 정리를 증명하는 가장 쉬운 방법. 리뷰
역사가들은 이 방법이 고대 그리스에서 정리를 증명하는 데 처음 사용되었다고 믿습니다. 절대적으로 계산이 필요하지 않기 때문에 가장 간단합니다. 그림을 올바르게 그리면 a 2 + b 2 \u003d c 2라는 진술의 증거가 명확하게 보입니다.
이 방법의 조건은 이전 방법과 약간 다릅니다. 정리를 증명하기 위해 직각 삼각형 ABC가 이등변이라고 가정합니다.
빗변 AC를 정사각형의 한 변으로 취하고 세 변을 그립니다. 또한 결과 사각형에 두 개의 대각선을 그릴 필요가 있습니다. 그래서 그 안에는 4개의 이등변 삼각형이 있습니다.
다리 AB와 CB에도 정사각형을 그리고 각각에 하나의 대각선을 그려야합니다. 정점 A에서 첫 번째 선을 그리고 C에서 두 번째 선을 그립니다.
이제 결과 그림을주의 깊게 봐야합니다. 빗변 AC에는 원래 삼각형과 동일한 삼각형이 4개 있고 다리에 2개가 있기 때문에 이것은 이 정리의 진실성을 나타냅니다.
그건 그렇고, 피타고라스 정리를 증명하는이 방법 덕분에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 평등합니다"라는 유명한 문구가 탄생했습니다.
J. 가필드의 증거
제임스 가필드(James Garfield)는 미국의 20대 대통령입니다. 미국의 통치자로서 역사에 흔적을 남겼을 뿐만 아니라 독학으로도 재능이 있었습니다.
경력 초기에 그는 민속 학교의 일반 교사 였지만 곧 고등 교육 기관 중 하나의 이사가되었습니다. 자기 계발에 대한 열망과 피타고라스 정리의 증명에 대한 새로운 이론을 제시할 수 있었습니다. 정리와 그 해의 예는 다음과 같다.
먼저 종이에 두 개의 직각 삼각형을 그려서 그 중 하나의 다리가 두 번째 다리의 연속이 되도록 해야 합니다. 이 삼각형의 꼭짓점은 사다리꼴로 끝나도록 연결되어야 합니다.
아시다시피, 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱과 같습니다.
S=a+b/2 * (a+b)
결과 사다리꼴을 세 개의 삼각형으로 구성된 그림으로 간주하면 그 면적은 다음과 같이 찾을 수 있습니다.
S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2
이제 두 개의 원래 표현식을 동일화해야 합니다.
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2
c 2 \u003d a 2 + in 2
피타고라스 정리와 그것을 증명하는 방법에 대해 한 권 이상의 교과서가 쓰여질 수 있습니다. 그러나 이 지식을 실천할 수 없을 때 그것이 의미가 있습니까?
피타고라스 정리의 실제 적용
불행히도, 현대 학교 커리큘럼은 기하학적 문제에서만 이 정리의 사용을 제공합니다. 졸업생들은 자신의 지식과 기술을 실제로 어떻게 적용할 수 있는지 모른 채 곧 학교를 떠날 것입니다.
사실, 당신의 피타고라스 정리를 사용하십시오. 일상 생활누구나 할 수 있습니다. 그리고 전문적인 활동뿐만 아니라 평범한 가사일에서도. 피타고라스 정리와 증명 방법이 매우 필요할 수 있는 몇 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
정리와 천문학의 연결
별과 삼각형이 종이에 어떻게 연결될 수 있는지 보일 것입니다. 사실 천문학은 피타고라스 정리가 널리 사용되는 과학 분야입니다.
예를 들어, 공간에서 광선의 움직임을 고려하십시오. 우리는 빛이 같은 속도로 양방향으로 움직인다는 것을 알고 있습니다. 우리는 광선이 움직이는 궤적을 AB라고 부릅니다. 엘. 그리고 빛이 A 지점에서 B 지점으로 이동하는 데 걸리는 시간의 절반을 티. 그리고 빔의 속도 - 씨. 다음과 같이 밝혀졌습니다. c*t=l
예를 들어 속도 v로 움직이는 스페이스 라이너와 같은 다른 평면에서 바로 이 빔을 본 다음 이러한 물체를 관찰하면 속도가 변경됩니다. 이 경우 정지된 요소도 반대 방향으로 속도 v로 이동합니다.
만화 라이너가 오른쪽으로 항해하고 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 광선이 돌진하는 지점 A와 B가 왼쪽으로 이동합니다. 또한 빔이 점 A에서 점 B로 이동할 때 점 A는 이동할 시간이 있으므로 빛은 이미 새로운 점 C에 도달합니다. 점 A가 이동한 거리의 절반을 찾으려면 다음을 곱해야 합니다. 빔의 이동 시간의 절반만큼 라이너의 속도(t ").
그리고 이 시간 동안 빛의 광선이 얼마나 멀리 이동할 수 있는지 알아보려면 새로운 너도밤나무의 경로의 절반을 지정하고 다음 식을 얻어야 합니다.
공간 라이너뿐만 아니라 빛 C와 B의 점이 이등변 삼각형의 꼭짓점이라고 상상하면 점 A에서 라이너까지의 선분은 그것을 두 개의 직각 삼각형으로 나눕니다. 따라서 피타고라스 정리 덕분에 광선이 이동할 수 있는 거리를 찾을 수 있습니다.
물론 이 예는 가장 성공적이지는 않습니다. 운이 좋게도 실제로 시도해 볼 수 있는 사람은 소수에 불과하기 때문입니다. 따라서 우리는 이 정리의 보다 일상적인 적용을 고려합니다.
모바일 신호 전송 범위
스마트폰 없이는 더 이상 현대 생활을 상상할 수 없습니다. 하지만 이동통신으로 가입자를 연결할 수 없다면 얼마나 쓸모가 있을까요?!
이동 통신의 품질은 이동 통신사의 안테나가 위치한 높이에 직접적으로 의존합니다. 이동식 타워에서 전화가 신호를 수신할 수 있는 거리를 계산하려면 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.
200km 반경 내에서 신호를 전달할 수 있도록 고정 타워의 대략적인 높이를 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.
AB(타워 높이) = x;
BC(신호 전송 반경) = 200km;
OS(지구 반경) = 6380km;
OB=OA+ABOB=r+x
피타고라스 정리를 적용하면 타워의 최소 높이는 2.3km가 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.
일상생활에서의 피타고라스 정리
이상하게도 피타고라스 정리는 예를 들어 벽장 높이를 결정하는 것과 같은 일상적인 문제에서도 유용할 수 있습니다. 언뜻보기에는 줄자로 간단히 측정 할 수 있기 때문에 복잡한 계산을 사용할 필요가 없습니다. 그러나 많은 사람들이 모든 측정이 더 정확하게 수행된 경우 조립 과정에서 특정 문제가 발생하는 이유에 놀라고 있습니다.
사실 옷장은 수평 위치에 조립 된 다음에만 상승하여 벽에 설치됩니다. 따라서 구조를 들어 올리는 과정에서 캐비닛의 측벽은 공간의 높이와 대각선을 따라 자유롭게 통과해야합니다.
깊이가 800mm인 옷장이 있다고 가정합니다. 바닥에서 천장까지의 거리 - 2600mm. 숙련 된 가구 제작자는 캐비닛 높이가 방 높이보다 126mm 낮아야한다고 말합니다. 그런데 왜 정확히 126mm입니까? 예를 들어 보겠습니다.
캐비닛의 이상적인 치수로 피타고라스 정리의 작동을 확인합시다.
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - 모든 것이 수렴합니다.
캐비닛의 높이가 2474mm가 아니라 2505mm라고 가정해 보겠습니다. 그 다음에:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629mm.
따라서 이 캐비닛은 이 방에 설치하기에 적합하지 않습니다. 수직으로 들어올릴 경우 본체가 파손될 수 있으므로
아마도 다른 과학자들이 피타고라스 정리를 증명하는 다양한 방법을 고려한 결과 그것이 사실 이상이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 이제 일상 생활에서 받은 정보를 사용할 수 있으며 모든 계산이 유용할 뿐만 아니라 정확할 것임을 완전히 확신할 수 있습니다.
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