비틀림으로 굽힘을 위한 원형 막대 계산. 공간(복잡한) 굽힘

굽힘 및 비틀림 작용하에 원형 막대를 계산하는 경우(그림 34.3), 두 경우 모두 최대 응력 값이 표면에서 발생하기 때문에 수직 및 전단 응력을 고려해야 합니다. 계산은 강도 이론에 따라 수행되어 복잡한 응력 상태를 똑같이 위험한 단순한 상태로 대체해야 합니다.

단면의 최대 비틀림 응력

단면의 최대 굽힘 응력

강도이론 중 하나에 따르면 보의 재질에 따라 위험구간의 등가응력을 계산하고 보의 재질에 대한 허용굽힘응력을 이용하여 보의 강도시험을 한다.

원형 빔의 경우 단면 계수 모멘트는 다음과 같습니다.

세 번째 강도 이론, 최대 전단 응력 이론에 따라 계산할 때 등가 응력은 다음 공식으로 계산됩니다.

이론은 플라스틱 재료에 적용할 수 있습니다.

성형 에너지 이론에 따라 계산할 때 등가 응력은 다음 공식으로 계산됩니다.

이론은 연성 및 취성 재료에 적용할 수 있습니다.

최대 전단 응력 이론:

에 따라 계산할 때 등가 전압 형태 변화의 에너지 이론:

등가 모멘트는 어디에 있습니까?

강도 조건

문제 해결의 예

실시예 1주어진 응력 상태(그림 34.4)에 대해 최대 전단 응력 가설을 사용하여 σ T \u003d 360 N / mm 2인 경우 안전 계수를 계산합니다.

1. 어떤 지점에서 스트레스 상태가 어떻게 특징지어지며 어떻게 묘사됩니까?

2. 주요 사이트와 전압은 무엇입니까?

3. 스트레스 상태의 유형을 나열하십시오.

4. 어떤 점에서 변형된 상태의 특징은 무엇입니까?

5. 어떤 경우에 연성 및 취성 재료에서 한계 응력 상태가 발생합니까?

6. 등가 전압은 얼마입니까?

7. 강점 이론의 목적을 설명하십시오.

8. 최대 전단 응력 이론 및 변형 에너지 이론에 따라 계산에서 등가 응력 계산 공식을 작성하십시오. 사용 방법을 설명합니다.

강의 35

주제 2.7. 기본 변형의 조합으로 원형 단면의 막대 계산

가장 큰 접선 응력과 변형 에너지의 가설에 따른 등가 응력 공식을 알고 있습니다.

기본 변형의 조합으로 강도에 대한 원형 단면의 빔을 계산할 수 있습니다.

등가 응력 계산 공식

최대 전단응력 가설에 따른 등가응력

변형 에너지 가설에 따른 등가 응력

굽힘과 비틀림의 결합 작용 하에서의 강도 조건

어디 엠 EQ등가의 순간이다.

최대 전단응력 가설에 따른 등가모멘트

형상변화 에너지 가설에 따른 등가모멘트

샤프트 계산의 특징

대부분의 샤프트는 굽힘 및 비틀림 변형의 조합을 경험합니다. 샤프트는 일반적으로 원형 또는 환형 단면이 있는 직선 막대입니다. 샤프트를 계산할 때 횡력의 작용으로 인한 전단 응력은 중요하지 않기 때문에 고려되지 않습니다.

위험한 단면에 대한 계산이 수행됩니다. 샤프트의 공간 하중 하에서 힘 작용의 독립성 가설이 사용되며 굽힘 모멘트는 두 개의 서로 수직인 평면에서 고려되며 전체 굽힘 모멘트는 기하학적 합에 의해 결정됩니다.

문제 해결의 예

실시예 1원형 빔의 위험한 단면에서 내부 힘 요인이 발생합니다(그림 35.1). Mx; 나의; 엠즈 .

엑스그리고 나의- 평면의 굽힘 모멘트 어그리고 zOx각기; 므즈- 토크. [ σ ] = 120MPa. 초기 데이터: 엑스= 0.9kN·m; 마이 = 0.8kN·m; Mz = 2.2kN*m; 디= 60mm

결정

축에 대한 굽힘 모멘트의 작용에 대한 수직 응력 다이어그램을 작성합니다. 오그리고 OU및 비틀림으로 인한 전단 응력 다이어그램(그림 35.2).

최대 전단 응력은 표면에서 발생합니다. 순간의 최대 수직 응력 엑스지점에서 발생 하지만,순간의 최대 수직 응력 나의그 시점에 에.수직 응력은 서로 수직인 평면의 굽힘 모멘트가 기하학적으로 합산되기 때문에 합산됩니다.

총 굽힘 모멘트:

최대 전단 응력 이론에 따라 등가 모멘트를 계산합니다.

강도 조건:

단면 계수: W oce in oe \u003d 0.1 60 3 \u003d 21600mm 3.

강도 확인:

내구성이 보장됩니다.

실시예 2강도 조건에서 필요한 샤프트 직경을 계산합니다. 두 개의 바퀴가 샤프트에 장착됩니다. 바퀴에 작용하는 두 개의 원주방향 힘이 있습니다. F t 1 = 1.2kN; 에프티 2= 2kN 및 수직면에서 2개의 반경 방향 힘 Fr 1= 0.43kN; Fr2 = 0.72kN(그림 35.3). 바퀴 직경은 각각 동일합니다 d1= 0.1m; d2= 0.06m

샤프트 재질에 대해 수락 [ σ ] = 50MPa

계산은 최대 전단 응력의 가설에 따라 수행됩니다. 샤프트와 바퀴의 무게는 무시하십시오.

결정

지침.우리는 힘 작용의 독립 원칙을 사용하고 수직 및 수평면에서 샤프트의 설계 계획을 작성합니다. 수평면과 수직면에서 지지대의 반응을 별도로 결정합니다. 굽힘 모멘트 다이어그램을 작성합니다(그림 35.4). 원주 방향 힘의 작용으로 샤프트가 비틀립니다. 샤프트에 작용하는 토크를 결정하십시오.

샤프트의 계산 방식을 만들어 봅시다 (그림 35.4).

1. 샤프트 토크:

2. 수평(pl. H)과 수직(pl. V)의 두 평면에서 굽힘을 고려합니다.

수평면에서 지지대의 반응을 결정합니다.

와 함께그리고 에:

수직면에서 지지대의 반응을 결정합니다.

점에서 굽힘 모멘트 결정 C와 B:

점에서의 총 굽힘 모멘트 C와 B:

그 시점에 에최대 굽힘 모멘트, 토크도 여기에 작용합니다.

샤프트 직경의 계산은 가장 많이 하중을 받는 단면에 따라 수행됩니다.

3. 한 점에서의 등가 모멘트 에세 번째 강도 이론에 따르면

4. 강도 조건에서 단면이 원형인 샤프트의 지름을 결정합니다.

결과 값을 반올림합니다. 디= 36mm

메모.샤프트 직경을 선택할 때 표준 직경 범위를 사용하십시오(부록 2).

5. c \u003d 0.8에서 환형 단면이 있는 샤프트의 필요한 치수를 결정합니다. 여기서 d는 샤프트의 외경입니다.

환형 샤프트의 직경은 다음 공식에 의해 결정될 수 있습니다.

수용하다 d= 42mm

부하가 경미합니다. d BH = 0.8d = 0.8 42 = 33.6mm.

값으로 반올림 dBH= 33mm

6. 두 경우 모두 샤프트의 단면적에 따른 금속 비용을 비교해 보겠습니다.

솔리드 샤프트의 단면적

중공 샤프트의 단면적

솔리드 샤프트의 단면적은 환형 샤프트의 단면적의 거의 두 배입니다.

실시예 3. 샤프트 단면의 치수를 결정하십시오 (그림 2.70, ㅏ)제어 드라이브. 페달을 당기는 힘 P3, 메커니즘에 의해 전달되는 힘 P 1, R 2, R 4. 샤프트 재질 - 항복 강도 σ t = 240 N/mm 2 의 StZ 강, 필수 안전 계수 [ N] = 2.5. 계산은 형태 변화의 에너지 가설에 따라 수행됩니다.

결정

힘을 가져온 후 샤프트의 균형을 고려하십시오. R 1, R 2, R 3, R 4축의 점으로.

전달력 R 1점으로 자신과 평행 에게그리고 이자형, 힘의 모멘트와 같은 모멘트를 가진 힘 쌍을 추가해야 합니다. R 1포인트에 상대적 에게그리고 이자형,즉.

이러한 힘(모멘트) 쌍은 일반적으로 그림 1에 나와 있습니다. 2.70 , ㄴ화살표가 있는 아치형 선의 형태로. 마찬가지로 힘을 전달할 때 R 2, R 3, R 4포인트로 K, E, L, N순간과 함께 몇 가지 힘을 추가해야 합니다.

그림에 표시된 샤프트의 베어링. 2.70, 축 방향으로의 이동을 방지하는 공간 힌지 지지대로 간주되어야 합니다. 엑스그리고 ~에(선택한 좌표계는 그림 2.70에 나와 있습니다. 비).

그림 1에 표시된 계산 방식을 사용하여 2.70 ~에, 우리는 평형 방정식을 구성합니다.

따라서 지원 반응 온 더그리고 HB올바르게 정의되었습니다.

토크 플롯 므즈및 굽힘 모멘트 나의그림에 나와 있습니다. 2.70 G. L 지점의 왼쪽 섹션은 위험합니다.

강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.

모양 변화 에너지의 가설에 따른 등가 모멘트는 어디에 있습니까?

필요한 샤프트 외경

우리는 d \u003d 45mm를 수락 한 다음 d 0 \u003d 0.8 * 45 \u003d 36mm를 수락합니다.

실시예 4샤프트가 동력을 전달하는 경우 평기어의 중간 샤프트(그림 2.71)의 강도를 확인하십시오. N= 속도에서 12.2kW 피= 355rpm. 샤프트는 항복 강도가 있는 St5 강철로 만들어집니다. σ t \u003d 280 N / mm 2. 필수 안전계수 [ N] = 4. 계산할 때 가장 높은 전단응력 가설을 적용합니다.

지침.지구 노력 R 1그리고 R 2수평면에 놓여 있고 기어의 원에 대한 접선을 따라 향합니다. 반경 방향 힘 T1그리고 T 2수직 평면에 놓여 있으며 다음과 같이 해당 원주 방향의 힘으로 표현됩니다. 티 = 0,364아르 자형.

결정

무화과에. 2.71, ㅏ샤프트의 개략도가 표시됩니다. 그림에서. 2.71, b는 샤프트와 기어링에서 발생하는 힘의 다이어그램을 보여줍니다.

샤프트가 전달하는 모멘트 결정:

확실히, m = m 1 = m 2(균일한 회전으로 샤프트에 적용된 비틀림 모멘트는 크기가 같고 방향이 반대입니다).

기어에 작용하는 힘을 결정하십시오.

지구 노력:

반경 방향 힘:

샤프트의 균형을 고려하십시오 AB, 미리 가져오는 힘 R 1그리고 R 2샤프트의 축에 있는 점으로.

전달력 R 1점에 대해 자신과 평행 엘, 힘의 모멘트와 같은 모멘트로 몇 가지 힘을 추가해야합니다 R 1점을 기준으로 엘, 즉.

이 한 쌍의 힘(모멘트)은 일반적으로 그림 1에 나와 있습니다. 2.71, ~에화살표가 있는 아치형 선의 형태로. 마찬가지로 힘을 전달할 때 R 2바로 그거죠 에게순간적으로 몇 가지 힘을 부착 (추가)해야합니다

그림에 표시된 샤프트의 베어링. 2.71, ㅏ, 축 방향으로 선형 이동을 방지하는 공간 힌지 지지대로 간주되어야 합니다. 엑스그리고 ~에(선택한 좌표계는 그림 2.71에 나와 있습니다. 비).

그림 1에 표시된 계산 방식을 사용하여 2.71, G, 수직 평면에서 샤프트에 대한 평형 방정식을 작성합니다.

테스트 방정식을 만들어 보겠습니다.

따라서 수직면의 지지 반응이 올바르게 결정됩니다.

수평면에서 샤프트의 균형을 고려하십시오.

테스트 방정식을 만들어 보겠습니다.

따라서 수평면에서 지지 반응이 올바르게 결정됩니다.

토크 플롯 므즈및 굽힘 모멘트 엑스그리고 나의그림에 나와 있습니다. 2.71, 디.

위험한 구간 에게(그림 2.71 참조, G,디). 최대 전단응력 가설에 따른 등가모멘트

샤프트의 위험 지점에 대한 최대 전단 응력의 가설에 따른 등가 응력

안전 요인

훨씬 더 [ N] = 4이므로 샤프트의 강도가 보장됩니다.

샤프트의 강도를 계산할 때 시간에 따른 응력의 변화를 고려하지 않았기 때문에 중요한 안전계수를 얻었습니다.

실시예 5보의 단면 치수를 결정하십시오 (그림 2.72, ㅏ).보 재료는 인장 및 압축 σ o, 2p = σ tr = 850 N/mm 2, σ 0.2 c = σ Tc = 965 N/mm 2에서 조건부 항복 강도를 갖는 강철 30XGS입니다. 안전 요인 [ N] = 1,6.

결정

바는 인장(압축)과 비틀림의 결합된 작용에 작용합니다. 이러한 하중 하에서 두 가지 내부 힘 요인이 단면에서 발생합니다: 세로 방향 힘과 토크.

세로 방향 힘의 플롯 N및 토크 므즈그림에 나와 있습니다. 2.72, b, c.이 경우 그림에 따라 위험한 부분의 위치를 결정하십시오. N그리고 므즈빔 단면의 치수가 다르기 때문에 불가능합니다. 위험한 부분의 위치를 결정하기 위해 빔의 길이를 따라 수직 및 최대 전단 응력의 플롯을 그려야 합니다.

공식에 따르면

우리는 빔 단면의 수직 응력을 계산하고 다이어그램 o를 작성합니다 (그림 2.72, G).

공식에 따르면

우리는 빔의 단면에서 최대 전단 응력을 계산하고 다이어그램 t를 플롯합니다. 최대(쌀* 2.72, 이자형).

아마도 위험한 것은 단면의 단면의 등고선입니다. AB그리고 CD(그림 2.72 참조, ㅏ).

무화과에. 2.72, 이자형플롯이 표시됩니다 σ 그리고 τ 단면 횡단면용 AB.

이 경우(둥근 단면 빔은 인장-압축 및 비틀림의 결합 작용에 대해 작동함) 단면 윤곽의 모든 지점이 동등하게 위험하다는 것을 기억하십시오.

무화과에. 2.72, 잘

무화과에. 2.72, 시간단면의 단면에 대해 플롯 a 및 t가 표시됩니다. CD.

무화과에. 2.72, 그리고위험 지점에서 초기 패드의 응력이 표시됩니다.

사이트의 위험한 지점에서 주요 스트레스 CD:

Mohr의 강도 가설에 따르면 고려 중인 단면의 위험 지점에 대한 등가 응력은 다음과 같습니다.

단면 AB 단면의 윤곽점이 위험한 것으로 판명되었습니다.

강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.

예 2.76.허용되는 힘 값 결정 아르 자형로드 강도 조건에서 태양(그림 2.73) 막대 재료는 인장 강도 σ vr = 150 N / mm 2 및 압축 강도 σ sun = 450 N / mm 2를 갖는 주철입니다. 필수 안전계수 [ N] = 5.

지침. 부서진 목재 알파벳수평면에 위치하며 막대 AB에 수직 해.힘 R, 2R, 8R수직면에 누워; 힘 0.5R, 1.6R- 막대에 수평 및 수직 태양;힘 10R, 16R막대의 축과 일치 태양; 모멘트가 m = 25Pd인 한 쌍의 힘은 막대의 축에 수직인 수직면에 위치합니다. 해.

결정

힘을내자 아르 자형그리고 단면 B의 무게 중심에 0.5P.

자신과 평행한 힘 P를 점 B에 전달하려면 힘의 모멘트와 같은 모멘트를 가진 한 쌍의 힘을 추가해야 합니다. 아르 자형점을 기준으로 에, 즉 모멘트 m 1 = 10인 쌍 PD

힘 0.5R작용선을 따라 점 B로 이동합니다.

로드에 작용하는 하중 태양,그림에 나와 있습니다. 2.74 ㅏ.

막대에 대한 내부 힘 계수의 다이어그램을 작성합니다. 해.횡단면에서 로드의 지정된 하중 하에서 그 중 6개가 발생합니다. 길이 방향 힘 N, 횡력 Qx그리고 퀴,토크 mz굽힘 모멘트 MX그리고 무.

플롯 N, Mz, Mx, 뮤그림에 나와 있습니다. 2.74 비(다이어그램의 세로 좌표는 아르 자형그리고 디).

플롯 퀴그리고 Qx횡력에 해당하는 전단 응력이 작기 때문에 구축하지 않습니다.

고려중인 예에서는 위험구간의 위치가 명확하지 않으나 K구간이 위험할 것으로 추정된다(구간 끝 나) 및 S.

점 L에서의 주응력:

Mohr의 강도 가설에 따르면 점 L에 대한 등가 응력은

그림에 별도로 표시된 섹션 C에서 굽힘 모멘트 Mi의 크기와 작용 평면을 결정합시다. 2.74 디. 같은 그림은 다이어그램 σ I, σ N , τ 섹션 C에 대해

점에서 초기 사이트의 응력 시간(그림 2.74, 이자형)

한 지점에서 주요 스트레스 시간:

Mohr의 강도 가설에 따르면 한 점에 대한 등가 응력은 시간

점 E에서 초기 사이트의 응력(그림 2.74, g):

점 E에서의 주요 응력:

Mohr의 강도 가설에 따르면 점 E에 대한 등가 응력은

위험한 지점 엘무엇을 위해

강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.

질문 및 작업 제어

1. 굽힘과 비틀림의 결합 작용에 따라 샤프트 단면에 어떤 응력 상태가 발생합니까?

2. 샤프트를 계산하기 위한 강도 조건을 작성하십시오.

3. 최대전단응력가설과 변형에너지가설을 계산할 때 등가모멘트를 구하는 공식을 쓰시오.

4. 축을 계산할 때 위험구간은 어떻게 선택합니까?

단면의 최대 비틀림 응력

단면의 최대 굽힘 응력

강도이론 중 하나에 따르면 보의 재질에 따라 위험구간의 등가응력을 계산하고 보의 재질에 대한 허용굽힘응력을 이용하여 보의 강도시험을 한다.

원형 빔의 경우 단면 계수 모멘트는 다음과 같습니다.

세 번째 강도 이론, 최대 전단 응력 이론에 따라 계산할 때 등가 응력은 다음 공식으로 계산됩니다.

이론은 플라스틱 재료에 적용할 수 있습니다.

성형 에너지 이론에 따라 계산할 때 등가 응력은 다음 공식으로 계산됩니다.

이론은 연성 및 취성 재료에 적용할 수 있습니다.

최대 전단 응력 이론:

에 따라 계산할 때 등가 전압 형태 변화의 에너지 이론:

등가 모멘트는 어디에 있습니까?

강도 조건

문제 해결의 예

실시예 1주어진 응력 상태(그림 34.4)에 대해 최대 전단 응력 가설을 사용하여 σ T \u003d 360 N / mm 2인 경우 안전 계수를 계산합니다.

질문 및 작업 제어

1. 어떤 지점에서 스트레스 상태가 어떻게 특징지어지며 어떻게 묘사됩니까?

2. 주요 사이트와 전압은 무엇입니까?

3. 스트레스 상태의 유형을 나열하십시오.

4. 어떤 점에서 변형된 상태의 특징은 무엇입니까?

5. 어떤 경우에 연성 및 취성 재료에서 한계 응력 상태가 발생합니까?

6. 등가 전압은 얼마입니까?

7. 강점 이론의 목적을 설명하십시오.

8. 최대 전단 응력 이론 및 변형 에너지 이론에 따라 계산에서 등가 응력 계산 공식을 작성하십시오. 사용 방법을 설명합니다.

강의 35

주제 2.7. 기본 변형의 조합으로 원형 단면의 막대 계산

가장 큰 접선 응력과 변형 에너지의 가설에 따른 등가 응력 공식을 알고 있습니다.

기본 변형의 조합으로 강도에 대한 원형 단면의 빔을 계산할 수 있습니다.

이론의 간략한 정보

단면에서 여러 내부 힘 계수가 동시에 0이 아닌 경우 빔은 복잡한 저항 조건에 있습니다.

다음과 같은 복잡한 하중의 경우가 가장 실용적입니다.

1. 비스듬한 굽힘.

2. 횡방향일 때 인장 또는 압축으로 굽힘
단면에서 길이 방향 힘과 굽힘 모멘트는 다음과 같이 발생합니다.
예를 들어 빔의 편심 압축이 있습니다.

3. 교황의 존재를 특징으로하는 비틀림으로 구부리기
굽힘(또는 두 개의 굽힘) 및 비틀림의 강 단면
순간.

비스듬한 굽힘.

비스듬한 굽힘은 단면의 총 굽힘 모멘트의 작용 평면이 관성의 주축과 일치하지 않는 빔 굽힘의 경우입니다. 비스듬한 굽힘은 두 개의 주요 평면 zoy 및 zox에서 빔의 동시 굽힘으로 가장 편리하게 간주됩니다. 여기서 z축은 빔의 축이고 x 및 y축은 단면의 주요 중심축입니다.

힘 P가 가해지는 직사각형 단면의 캔틸레버 빔을 고려하십시오(그림 1).

단면의 주 중심축을 따라 힘 P를 확장하면 다음을 얻습니다.

R y \u003d R cos φ, R x \u003d R sin φ

보의 현재 단면에서 굽힘 모멘트가 발생합니다.

M x \u003d - P y z \u003d - P z cos φ,

M y \u003d P x z \u003d P z sin φ.

굽힘 모멘트 M x 의 부호는 직접 굽힘의 경우와 같은 방식으로 결정됩니다. x 좌표의 양수 값을 가진 점에서 이 모멘트가 인장 응력을 유발하는 경우 모멘트 M y는 양수로 간주됩니다. 그런데 모멘트 M y 의 부호는 굽힘 모멘트 M x 의 부호의 정의와 유추하여 단면을 정신적으로 회전시켜 x축이 y축의 원래 방향과 일치하도록 하면 성립하기 쉽습니다 .

빔 단면의 임의 지점에서의 응력은 평평한 굽힘의 경우 응력을 결정하는 공식을 사용하여 결정할 수 있습니다. 힘 작용의 독립성 원리에 따라 각 굽힘 모멘트에 의해 발생하는 응력을 요약합니다.

(1)

굽힘 모멘트의 값(부호 포함)과 응력이 계산되는 지점의 좌표가 이 식에 대입됩니다.

단면의 위험 지점을 결정하려면 0 또는 중립선의 위치(응력 σ = 0인 단면 점의 궤적)를 결정해야 합니다. 최대 응력은 0선에서 가장 먼 지점에서 발생합니다.

0선 방정식은 =0에서 방정식 (1)에서 얻습니다.

제로 라인이 단면의 무게 중심을 통과하는 경우.

일반적으로 보 단면(Q x ≠ 0 및 Q y ≠ 0에서)에서 발생하는 전단 응력은 무시할 수 있습니다. 그것들을 결정할 필요가있는 경우 총 전단 응력 τ x 및 τ y의 구성 요소는 D.Ya.Zhuravsky 공식에 따라 먼저 계산 된 다음 후자가 기하학적으로 요약됩니다.

빔의 강도를 평가하려면 위험한 부분의 최대 수직 응력을 결정해야 합니다. 응력상태는 최대하중점에서 단축이므로 허용응력법에 의한 계산에서 강도조건은 다음과 같은 형태를 취한다.

플라스틱 재료의 경우

취성재료용

n은 안전 계수입니다.

한계 상태 방법에 따라 계산을 수행하면 강도 조건의 형식은 다음과 같습니다.

여기서 R은 설계 저항,

m은 작업 조건 계수입니다.

보 재료가 인장과 압축에 다르게 저항하는 경우 최대 인장 및 최대 압축 응력을 모두 결정하고 다음 비율에서 보의 강도에 대한 결론을 내려야 합니다.

여기서 R p 와 R c 는 각각 인장과 압축에서 재료의 설계 저항입니다.

빔 편향을 결정하려면 먼저 x 및 y 축 방향으로 주 평면에서 단면의 변위를 찾는 것이 편리합니다.

이러한 변위 ƒ x 및 ƒ y의 계산은 빔의 구부러진 축에 대한 보편적 방정식을 작성하거나 에너지 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다.

총 처짐은 기하학적 합계로 찾을 수 있습니다.

보의 강성 조건은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 - 빔의 허용 편향입니다.

편심 압축

이 경우 보를 압축하는 힘 P는 보의 축과 평행하게 가해지며 단면의 무게중심과 일치하지 않는 지점에 가해진다. X p 와 Y p 를 주 중심축을 기준으로 측정한 힘 P의 적용점 좌표라고 합시다(그림 2).

작용하는 하중으로 인해 단면에 다음과 같은 내부 힘 계수가 나타납니다. N= -P, Mx= -Py p , My=-Px p

굽힘 모멘트의 표시는 음수입니다. 후자는 1/4에 속하는 지점에서 압축을 유발하기 때문입니다. 단면의 임의 지점에서의 응력은 다음 식에 의해 결정됩니다.

(9)

N, Mx 및 My의 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

(10)

Yx= F, Yy= F(여기서 i x 및 i y는 관성의 주요 반지름임)이므로 마지막 표현식은 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

(11)

제로 라인 방정식은 =0으로 설정하여 얻습니다.

1+ (12)

세그먼트의 좌표축에서 0선에 의해 잘려지는 와 는 다음과 같이 표현됩니다.

종속성(13)을 사용하면 섹션(그림 3)에서 제로 라인의 위치를 쉽게 찾을 수 있으며, 그 후 이 라인에서 가장 멀리 떨어진 지점이 결정되며, 이는 최대 응력이 발생하기 때문에 위험합니다.

단면 지점의 응력 상태는 단축이므로 보의 강도 조건은 이전에 고려한 보의 비스듬한 굽힘의 경우와 유사합니다(식(5), (6)).

재료가 인장에 약하게 저항하는 막대의 편심 압축으로 단면에 인장 응력이 나타나는 것을 방지하는 것이 바람직합니다. 단면에서 0선이 단면 외부를 통과하거나 극단적인 경우 닿으면 동일한 부호의 응력이 발생합니다.

이 조건은 단면의 코어라고 하는 영역 내부에 압축력이 가해지면 충족됩니다. 단면의 코어는 단면의 무게 중심을 덮는 영역이며 이 영역 내부에 가해지는 세로 방향 힘이 막대의 모든 지점에서 동일한 부호의 응력을 유발한다는 사실이 특징입니다.

단면의 핵심을 구성하기 위해서는 0선의 위치를 어느 곳과도 교차하지 않고 단면에 닿도록 설정하고 힘 P가 가해지는 대응점을 찾아야 합니다. 섹션에서 우리는 그에 해당하는 극 세트를 얻습니다. 그 궤적은 핵심 섹션의 윤곽(윤곽)을 제공합니다.

예를 들어 그림 1에 표시된 섹션을 보자. 주 중심축 x 및 y가 있는 4개.

단면의 핵심을 구성하기 위해 5개의 접선을 제공합니다. 그 중 4개는 측면 AB, DE, EF 및 FA와 일치하고 다섯 번째는 점 B와 D를 연결합니다. 절단에서 측정하거나 계산하여 표시된 접선 I-I, . . . ., 5-5 축 x, y 및 의존성 (13)에 따라 이러한 값을 대입하면 5 개의 극 1, 2 .... 5에 대한 좌표 x p, y p를 결정하며, 이는 5개의 위치에 해당합니다. 제로 라인. 접선 I-I는 점 A를 중심으로 회전하여 위치 2-2로 이동할 수 있는 반면 극 I는 직선으로 이동해야 하며 접선의 회전 결과 점 2로 이동해야 합니다. 따라서 I-I와 2-2 사이의 접선은 직접 1-2에 위치합니다. 유사하게, 단면 코어의 다른 측면도 직사각형임을 증명할 수 있습니다. 섹션의 핵심은 다각형이며, 그 구성을 위해 극 1, 2, ... 5를 직선으로 연결하기에 충분합니다.

둥근 막대의 비틀림으로 굽힘.

보의 단면에서 비틀림으로 구부릴 때 일반적으로 5개의 내부 힘 계수는 0이 아닙니다: M x, M y, M k, Q x 및 Q y. 그러나 대부분의 경우 단면이 얇은 벽이 아닌 경우 전단력 Q x 및 Q y의 영향을 무시할 수 있습니다.

단면의 수직 응력은 결과 굽힘 모멘트의 크기에서 결정할 수 있습니다.

왜냐하면 중립 축은 모멘트 M u 의 작용 공동에 수직입니다.

무화과에. 5는 굽힘 모멘트 M x 와 M y 를 벡터로 보여줍니다(M x 와 M y 방향은 양수로 선택됩니다. 즉, 단면의 첫 번째 사분면의 지점에서 응력이 인장되도록 선택됨).

벡터 M x 와 M y 의 방향은 관찰자가 벡터의 끝에서 볼 때 시계 반대 방향으로 향하도록 선택됩니다. 이 경우 중립선은 결과 모멘트 M u의 벡터 방향과 일치하고 단면 A와 B의 하중이 가장 많이 가해지는 점은 이 모멘트의 작용 평면에 있습니다.

굽힘은 보의 단면에서 굽힘 모멘트가 발생하는 하중 유형으로 이해됩니다. 단면의 굽힘 모멘트가 유일한 힘 계수인 경우 굽힘을 순수라고 합니다. 굽힘 모멘트와 함께 횡력도 빔의 단면에서 발생하는 경우 굽힘을 횡방향이라고 합니다.

굽힘 모멘트와 횡력이 빔의 주 평면 중 하나에 있다고 가정합니다(이 평면이 ZOY라고 가정함). 이러한 굽힘을 플랫이라고 합니다.

아래에서 고려되는 모든 경우에 보의 평평한 가로 굽힘이 발생합니다.

보의 강도 또는 강성을 계산하려면 해당 단면에서 발생하는 내부 힘 계수를 알아야 합니다. 이를 위해 횡력(epure Q) 및 굽힘 모멘트(M)의 다이어그램이 작성됩니다.

구부릴 때 보의 직선 축이 구부러지고 중립 축이 단면의 무게 중심을 통과합니다. 명확성을 위해 굽힘 모멘트의 횡력 다이어그램을 구성할 때 이에 대한 기호 규칙을 설정합니다. 빔 요소가 아래쪽으로 볼록하게 구부러지면 굽힘 모멘트가 양수로 간주된다고 가정합니다. 압축된 섬유가 맨 위에 있는 방식으로.

모멘트가 돌출부가 있는 빔을 위쪽으로 구부리면 이 모멘트는 음수로 간주됩니다.

플로팅시 굽힘 모멘트의 양수 값은 평소와 같이 압축 섬유에 대한 플로팅에 해당하는 Y 축 방향으로 플롯됩니다.

따라서 굽힘 모멘트 다이어그램의 기호 규칙은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 모멘트의 세로 좌표는 보 레이어의 측면에서 플롯됩니다.

단면의 굽힘 모멘트는 단면의 한쪽(임의)에 위치한 모든 힘의 이 단면에 대한 모멘트의 합과 같습니다.

횡력(Q)을 결정하기 위해 기호 규칙을 설정합니다. 외력이 빔의 차단 부분을 시계 방향으로 회전시키는 경향이 있는 경우 횡력은 양수로 간주됩니다. 그려진 단면에 해당하는 축 점을 기준으로 한 화살표입니다.

빔의 임의 단면에서 횡력(Q)은 잘린 부분에 적용된 외력의 y축에 대한 투영의 합과 수치적으로 동일합니다.

굽힘 모멘트의 횡력을 표시하는 몇 가지 예를 고려하십시오. 모든 힘은 빔의 축에 수직이므로 반작용의 수평 성분은 0입니다. 빔의 변형된 축과 힘은 주 평면 ZOY에 있습니다.

빔 길이는 왼쪽 끝으로 조여지고 집중된 힘 F와 모멘트 m=2F로 하중을 받습니다.

우리는 횡력 Q와 굽힘 모멘트 M의 다이어그램을 구성합니다.

우리의 경우 오른쪽에 있는 빔에 구속조건이 부과되지 않았습니다. 따라서 지지 반력을 결정하지 않기 위해서는 보의 오른쪽 절단 부분의 평형을 고려하는 것이 좋습니다. 주어진 빔에는 두 개의 하중 영역이 있습니다. 외력이 가해지는 단면의 경계. 1 섹션 - NE, 2 - VA.

섹션 1에서 임의의 섹션을 수행하고 길이 Z 1의 오른쪽 절단 부분의 평형을 고려합니다.

평형 조건에서 다음과 같습니다.

Q=F; M 출력 = -fz 1 ()

전단력은 양수이므로 외력 F는 잘린 부분을 시계 방향으로 회전시키는 경향이 있습니다. 굽힘 모멘트는 음수로 간주됩니다. 볼록한 부분이 위쪽으로 보이는 빔의 고려된 부분을 구부립니다.

평형 방정식을 컴파일 할 때 섹션의 위치를 정신적으로 수정합니다. 방정식 ()에서 단면 I의 횡력은 Z 1에 의존하지 않고 일정한 값입니다. 양의 힘 Q=F는 빔에 수직인 빔의 중심선에서 확대됩니다.

굽힘 모멘트는 Z 1 에 따라 다릅니다.

Z 1 \u003d O M from \u003d O at Z 1 \u003d M from \u003d

결과 값()은 따로 설정됩니다. 의 다이어그램 M은 압축된 섬유를 기반으로 합니다.

두 번째 부분으로 넘어 갑시다.

빔의 자유 오른쪽 끝에서 임의의 거리 Z 2 에서 단면 II를 절단하고 길이 Z 2의 절단 부분의 평형을 고려합니다. 평형 조건에 따른 전단력 및 굽힘 모멘트의 변화는 다음 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

Q=FM from = - FZ 2 +2F

횡력의 크기와 부호는 변경되지 않았습니다.

굽힘 모멘트의 크기는 Z 2 에 따라 다릅니다.

Z 2 = M에서 =, Z 2에서 =

굽힘 모멘트는 섹션 II의 시작과 끝에서 모두 양의 값으로 판명되었습니다. 섹션 II에서 빔은 아래쪽으로 돌출되어 구부러집니다.

빔의 중심선 위로 모멘트의 크기를 스케일에 따로 설정합니다(즉, 다이어그램은 압축된 섬유에 구축됨). 가장 큰 굽힘 모멘트는 외부 모멘트 m이 가해지는 단면에서 발생하며 절대값은 다음과 같습니다.

Q가 일정하게 유지되는 빔의 길이에 걸쳐 굽힘 모멘트 M이 선형으로 변경되고 플롯에서 비스듬한 직선으로 표시됩니다. 다이어그램 Q 및 M에서 외부 횡력이 가해지는 섹션에서 다이어그램 Q는 이 힘의 값만큼 점프하고 다이어그램 M은 꼬임을 알 수 있습니다. 외부 굽힘 모멘트가 가해지는 구간에서 미즈다이어그램은 이 모멘트 값만큼 점프한다. 이것은 Q 플롯에 반영되지 않습니다. 다이어그램 M에서 우리는 그것을 볼 수 있습니다.

최대 M 아웃 =

따라서 위험한 섹션은 소위 왼쪽에 매우 가깝습니다.

그림 13, a에 표시된 보에 대해 횡력 및 굽힘 모멘트의 다이어그램을 구성합니다. 빔의 길이는 강도가 q(KN/cm)인 균일하게 분포된 하중으로 하중을 받습니다.

지지대 A(고정 경첩)에서는 수직 반력 R a(수평 반력은 0임)가 발생하고 지지대 B(가동 경첩)에서는 수직 반력 R v가 발생합니다.

지지대 A와 B에 대한 모멘트 방정식을 작성하여 지지대의 수직 반력을 결정합시다.

반응 정의의 정확성을 확인합시다.

저것들. 지원 반응이 올바르게 정의되었습니다.

주어진 빔에는 두 개의 하중 섹션이 있습니다. 섹션 I - AC.

섹션 II - NE.

첫 번째 섹션 a에서 현재 섹션 Z 1에서 차단 부분의 평형 조건에서 우리는

보의 한 단면에 대한 굽힘 모멘트 방정식:

반응 Ra의 모멘트는 단면 1에서 빔을 굽히고 아래쪽으로 볼록하므로 반응 Ra의 굽힘 모멘트는 더하기 기호가 있는 방정식에 도입됩니다. 하중 qZ 1은 볼록한 빔을 위쪽으로 구부리므로 그 순간이 마이너스 기호가 있는 방정식에 도입됩니다. 굽힘 모멘트는 사각 포물선의 법칙에 따라 변합니다.

따라서 극값이 있는지 여부를 알아낼 필요가 있습니다. 횡력 Q와 굽힘 모멘트 사이에는 차등 의존성이 있습니다.

아시다시피, 이 함수는 도함수가 0인 극한값을 가집니다. 따라서 Z1의 어떤 값에서 굽힘 모멘트가 극단이 될지 결정하려면 횡력의 방정식을 0으로 동일시할 필요가 있습니다.

이 섹션에서 횡력은 플러스에서 마이너스로 부호를 변경하기 때문에 이 섹션의 굽힘 모멘트는 최대가 됩니다. Q가 마이너스에서 플러스로 부호를 변경하면 이 섹션의 굽힘 모멘트가 최소화됩니다.

따라서 굽힘 모멘트는

최대입니다.

따라서 우리는 세 점에 포물선을 만듭니다.

Z 1 \u003d 0일 때 \u003d 0에서 M

지지대 B에서 거리 Z 2에서 두 번째 섹션을 자릅니다. 보의 오른쪽 절단 부분의 평형 조건에서 다음을 얻습니다.

Q=const일 때,

굽힘 모멘트는 다음과 같습니다.

에, 에, 즉 남에서

선형적으로 변경됩니다.

스팬이 2이고 길이가 있는 왼쪽 콘솔이 있는 두 개의 지지대에 있는 빔은 그림 14, a와 같이 하중을 받습니다. 여기서 q(Kn / cm)는 선형 하중입니다. 지지대 A는 회전식으로 고정되고 지지대 B는 이동식 롤러입니다. 플롯 Q와 M을 작성하십시오.

문제의 해결은 지지대의 반응을 결정하는 것으로 시작해야 합니다. Z축에 대한 모든 힘의 투영 합이 0이라는 조건에서 지지대 A에 대한 반작용의 수평 성분은 0입니다.

확인하기 위해 방정식을 사용합니다.

평형 방정식이 충족되므로 반응이 올바르게 계산됩니다. 우리는 내부 힘 요인의 정의로 돌아갑니다. 주어진 빔에는 세 가지 하중 영역이 있습니다.

1 섹션 - SA,
두 번째 섹션 - 광고,
3 섹션 - DV.

보의 왼쪽 끝에서 Z 1 거리에서 1 섹션을 자릅니다.

Z 1 \u003d 0 Q \u003d 0 M FROM \u003d 0에서

Z 1 \u003d Q \u003d -q M IZ \u003d에서

따라서 횡력 다이어그램에서 경사 직선이 얻어지고 굽힘 모멘트 다이어그램에서 정점이 보의 왼쪽 끝에 위치한 포물선이 얻어집니다.

섹션 II(a Z 2 2a)에서 내부 힘 계수를 결정하기 위해 길이 Z 2 를 갖는 빔의 왼쪽 절단 부분의 균형을 고려합니다. 평형 조건에서 우리는 다음을 얻습니다.

이 영역의 횡력은 일정합니다.

섹션 III()

다이어그램에서 가장 큰 굽힘 모멘트가 힘 F 아래의 단면에서 발생하고 같음을 알 수 있습니다. 이 섹션이 가장 위험합니다.

다이어그램 M에서 이 섹션에 적용된 외부 모멘트와 동일한 지지대 B의 점프가 있습니다.

위에서 구성한 다이어그램을 고려하면 굽힘 모멘트 다이어그램과 횡력 다이어그램 사이에 일정한 규칙적인 연결을 확인하는 것이 어렵지 않습니다. 증명해 봅시다.

빔의 길이에 따른 횡력의 미분은 하중 강도의 계수와 같습니다.

더 높은 차수의 작은 값을 버리면 다음을 얻습니다.

저것들. 횡력은 빔의 길이에 따른 굽힘 모멘트의 미분입니다.

얻은 차등 의존성을 고려하여 일반적인 결론을 내릴 수 있습니다. 빔이 강도 q=const의 균일하게 분포된 하중으로 하중을 받는다면 분명히 함수 Q는 선형이고 M from - 2차입니다.

빔에 집중된 힘이나 모멘트가 가해지면 적용 지점 사이의 간격에서 강도 q=0입니다. 따라서 Q=const이고 M from은 Z의 선형 함수입니다. 집중된 힘이 가해지는 지점에서 다이어그램 Q는 외부 힘의 값만큼 점프하고 다이어그램 M from에서 해당 중단이 발생합니다. (도함수의 갭).

외부 굽힘 모멘트가 적용된 위치에는 적용된 모멘트와 크기가 동일한 모멘트 다이어그램의 간격이 있습니다.

Q>0이면 M이 성장하고 Q이면<0, то М из убывает.

차동 종속성은 Q 및 M을 플롯하기 위해 컴파일된 방정식을 확인하고 이러한 다이어그램의 형식을 명확하게 하는 데 사용됩니다.

굽힘 모멘트는 포물선의 법칙에 따라 변하며, 포물선의 볼록성은 항상 외부 하중을 향합니다.

소개.

굽힘은 외력이나 온도의 영향으로 변형 가능한 물체(바, 빔, 슬래브, 쉘 등)의 축 또는 중간 표면의 곡률(곡률 변화)을 특징으로 하는 변형 유형입니다. 굽힘은 보의 단면에서 굽힘 모멘트의 발생과 연관됩니다. 빔 섹션의 6가지 내부 힘 계수 중 하나만 0이 아닌 경우 굽힘을 순수라고 합니다.

굽힘 모멘트 외에도 횡력이 빔의 단면에 작용하는 경우 굽힘을 횡방향이라고 합니다.

엔지니어링 실습에서 굽힘의 특별한 경우도 고려됩니다 - 세로 I. ( 쌀. 하나, c) 길이 방향 압축력의 작용으로 막대가 좌굴되는 것을 특징으로 합니다. 막대의 축을 따라 지시되고 막대에 수직인 힘의 동시 작용은 종횡방향 굽힘을 유발합니다( 쌀. 하나, G).

쌀. 1. 빔의 굽힘: a - 순수: b - 가로; 에서 - 세로; g - 세로 - 가로.

구부러진 막대를 빔이라고 합니다. 빔의 축이 변형 후 평평한 선으로 유지되는 경우 굽힘을 플랫이라고 합니다. 보의 곡선 축의 평면을 굽힘 평면이라고합니다. 하중력의 작용 평면을 힘 평면이라고 합니다. 힘 평면이 단면의 주요 관성 평면 중 하나와 일치하면 굽힘을 직선이라고합니다. (그렇지 않으면 비스듬한 굽힘이 있습니다). 단면의 주 관성 평면은 단면의 주 축 중 하나와 빔의 세로 축에 의해 형성된 평면입니다. 평평한 직선 굽힘에서 굽힘 평면과 힘 평면은 일치합니다.

빔의 비틀림 및 굽힘 문제(Saint-Venant 문제)는 실제적으로 매우 중요합니다. Navier에 의해 확립된 굽힘 이론의 적용은 구조 역학의 광범위한 분과를 구성하며 보, 교량, 기계 요소와 같은 구조의 다양한 부분의 치수를 계산하고 강도를 확인하는 기초 역할을 하기 때문에 매우 실용적으로 중요합니다. , 등.

탄성 이론의 기본 방정식과 문제

§ 1. 기본 방정식

먼저, 일반적으로 탄성체의 정역학이라고 불리는 탄성 이론 섹션의 내용을 형성하는 탄성체의 평형 문제에 대한 기본 방정식의 일반적인 요약을 제공합니다.

몸체의 변형된 상태는 스트레인 필드 텐서 또는 변위 필드에 의해 완전히 결정됩니다. 스트레인 텐서의 구성 요소 차동 Cauchy 종속성에 의한 변위와 관련이 있습니다.

(1)

스트레인 텐서의 구성 요소는 Saint-Venant 차동 종속성을 충족해야 합니다.

이것은 식 (1)의 적분성을 위한 필요충분조건이다.

신체의 스트레스 상태는 스트레스 필드 텐서에 의해 결정됩니다. 대칭 텐서의 6가지 독립 구성요소 () 세 가지 미분 평형 방정식을 충족해야 합니다.

응력 텐서 구성 요소 그리고배수량 Hooke의 법칙의 6가지 방정식과 관련이 있습니다.

어떤 경우에는 Hooke의 법칙의 방정식을 공식의 형태로 사용해야 합니다.

, (5)

식 (1)-(5)는 탄성 이론에서 정적 문제의 기본 방정식입니다. 때로는 방정식 (1)과 (2)를 기하 방정식이라고합니다. 방정식 ( 3) - 정적 방정식 및 방정식 (4) 또는 (5) - 물리적 방정식. 선형 탄성체의 내부 체적점에서 상태를 결정하는 기본 방정식에는 표면에 조건을 추가해야 하며 이러한 조건을 경계 조건이라고 합니다. 그들은 주어진 외부 표면력에 의해 결정됩니다. 또는 주어진 움직임 신체 표면 포인트. 첫 번째 경우 경계 조건은 등식으로 표현됩니다.

벡터의 구성 요소는 어디에 있습니까 티 표면 강도, 단위 벡터의 구성 요소입니다. 피, 표면에 대한 외부 법선을 따라 향함 고려중인 시점에서.

두 번째 경우 경계 조건은 등식으로 표현됩니다.

어디 표면에 정의된 함수입니다.

한 부분에 있을 때 경계 조건도 혼합될 수 있습니다. 외부 표면력은 신체 표면에 주어집니다. 그리고 반대편에 신체 표면의 변위는 다음과 같습니다.

다른 종류의 경계 조건도 가능합니다. 예를 들어, 신체 표면의 특정 부분에서 변위 벡터의 일부 구성 요소만 지정되고 또한 표면 힘 벡터의 모든 구성 요소도 지정되지 않습니다.

§ 2. 탄성체의 정역학의 주요 문제

경계 조건의 유형에 따라 탄성 이론의 기본 정적 문제는 세 가지 유형으로 구분됩니다.

첫 번째 유형의 주요 문제는 응력장 텐서의 구성 요소를 결정하는 것입니다. 지역 내부 , 몸체가 차지하는 영역, 영역 내부 점의 변위 벡터 구성 요소 및 표면 점 주어진 질량 힘에 따른 몸체 그리고 표면력

원하는 9개의 함수는 기본 방정식 (3)과 (4)와 경계 조건 (6)을 만족해야 합니다.

두 번째 유형의 주요 임무는 변위를 결정하는 것입니다 영역 내부의 점 및 응력장 텐서 구성요소 주어진 질량 힘에 따라 그리고 신체의 표면에 주어진 변위에 따라.

기능을 찾고 있습니다 그리고 기본 방정식 (3), (4)와 경계 조건 (7)을 만족해야 합니다.

경계 조건(7)은 정의된 기능의 연속성에 대한 요구 사항을 반영합니다. 국경에 본체, 즉 내부 포인트 표면의 어떤 지점으로 향하는 경향이 있으며, 기능 표면의 주어진 지점에서 주어진 값으로 경향이 있어야 합니다.

세 번째 유형 또는 혼합된 문제의 주요 문제는 신체 표면의 한 부분에 가해지는 표면력이 주어진다는 것입니다. 신체 표면의 다른 부분에 대한 주어진 변위에 따라 그리고 일반적으로 말해서 주어진 신체 힘에 따라 응력 및 변위 텐서의 구성 요소를 결정하는 데 필요합니다. , 혼합 경계 조건(8)에서 기본 방정식(3)과 (4)를 만족합니다.

이 문제의 해결책을 얻으면 특히 결합력을 결정할 수 있습니다. , 이것은 이 표면에서 주어진 변위를 실현하기 위해 표면의 점에 적용되어야 하며 표면 점의 변위를 계산하는 것도 가능합니다 . 교과 과정 >> 산업, 생산

길이별 재목, 그 다음에 빔변형. 흉한 모습 재목... 나무, 폴리머 등이 동시에 수반됩니다. 굽히다 재목 2개의 지지대에서 휴식 중... 굽히다편향 화살표가 특징입니다. 이 경우 오목부의 압축응력은 재목 ...