파이 태도. 과학에서 시작

전 세계의 수학자들은 매년 3월 14일에 케이크 한 조각을 먹습니다. 결국 이날은 가장 유명한 무리수인 파이의 날입니다. 이 날짜는 첫 번째 숫자가 3.14인 숫자와 직접 관련이 있습니다. Pi는 원의 둘레에 대한 지름의 비율입니다. 비합리적이므로 분수로 쓰는 것은 불가능합니다. 이것은 무한히 긴 숫자입니다. 그것은 수천 년 전에 발견되었고 그 이후로 끊임없이 연구되어 왔지만 Pi에는 어떤 비밀이 남아 있습니까? 고대 기원에서 불확실한 미래에 이르기까지 파이에 대한 가장 흥미로운 사실이 있습니다.

파이 암기

소수점 이하 숫자를 기억하는 기록은 2015년 3월 21일에 70,000자리를 암기한 인도의 Rajveer Meena에 속합니다. 그 전에 기록 보유자는 중국의 Chao Lu로 67,890자리를 외웠습니다. 이 기록은 2005년에 세워졌습니다. 비공식 기록 보유자는 하라구치 아키라(Akira Haraguchi)로, 2005년에 100,000자리 반복을 비디오로 녹화했으며 최근에 117,000자리를 기억하는 비디오를 게시했습니다. 공식 기록은 이 비디오가 기네스북의 대표자 앞에서 녹화된 경우에만 가능하며 확인 없이는 인상적인 사실로 남아 있을 뿐 성과로 간주되지는 않습니다. 수학 애호가는 숫자 Pi를 외우는 것을 좋아합니다. 많은 사람들은 각 단어의 글자 수가 파이와 같은 시와 같은 다양한 니모닉 기술을 사용합니다. 각 언어에는 이러한 구문의 고유한 변형이 있으므로 처음 몇 자리와 전체 100자리를 모두 기억하는 데 도움이 됩니다.

파이 언어가 있습니다

문학에 매료된 수학자들은 모든 단어의 문자 수가 정확한 순서대로 Pi의 숫자에 해당하는 방언을 발명했습니다. 작가 Mike Keith는 Pi 언어로 완전히 쓰여진 Not a Wake라는 책을 쓰기까지 했습니다. 그러한 창의성을 좋아하는 사람들은 글자의 수와 숫자의 의미에 따라 작품을 씁니다. 이것은 실제 적용되지는 않지만 열성적인 과학자들 사이에서 상당히 일반적이고 잘 알려진 현상입니다.

기하 급수적 성장

Pi는 무한한 숫자이므로 정의에 따라 사람들은 이 숫자의 정확한 숫자를 결코 알아낼 수 없습니다. 그러나 Pi를 처음 사용한 이후 소수점 이하 자릿수는 크게 증가했습니다. 바빌론 사람들도 그것을 사용했지만, 그들에게는 3분의 1과 8분의 1이면 충분했습니다. 중국인과 구약성경의 창시자들은 완전히 세 가지로 제한되었다. 1665년까지 아이작 뉴턴 경은 파이의 16자리 숫자를 계산했습니다. 1719년까지 프랑스 수학자 Tom Fante de Lagny는 127자리를 계산했습니다. 컴퓨터의 출현은 Pi에 대한 인간의 지식을 근본적으로 향상시켰습니다. 1949년에서 1967년 사이에 인간이 알고 있는 자릿수는 2037년에서 500,000개로 급증했고 얼마 전 스위스의 과학자 Peter Trueb는 2조 2400억 자릿수 파이! 105일이 걸렸다. 물론 이것이 한계는 아닙니다. 기술의 발전으로 훨씬 더 정확한 수치를 설정하는 것이 가능할 것입니다. Pi는 무한하기 때문에 정확도에는 제한이 없으며 컴퓨터 기술의 기술적 특징만이 이를 제한할 수 있습니다.

손으로 파이 계산하기

숫자를 직접 찾으려면 구식 기술을 사용할 수 있습니다. 눈금자, 항아리 및 끈이 필요하고 각도기와 연필을 사용할 수도 있습니다. 항아리를 사용하는 경우의 단점은 항아리가 둥글어야 하고 사람이 항아리를 얼마나 잘 감쌀 수 있는지에 따라 정확도가 결정된다는 것입니다. 각도기로 원을 그리는 것이 가능하지만 고르지 않은 원이 측정을 심각하게 왜곡할 수 있으므로 이 또한 기술과 정확성이 필요합니다. 보다 정확한 방법은 기하학을 사용하는 것입니다. 원을 피자 조각처럼 여러 부분으로 나눈 다음 각 부분을 이등변 삼각형으로 바꾸는 직선의 길이를 계산합니다. 변의 합은 대략적인 파이 수를 제공합니다. 더 많은 세그먼트를 사용할수록 숫자가 더 정확해집니다. 물론 계산에서 컴퓨터의 결과에 근접할 수는 없지만 이러한 간단한 실험을 통해 Pi가 일반적으로 무엇이며 수학에서 어떻게 사용되는지 더 자세히 이해할 수 있습니다.

파이의 발견

고대 바빌로니아인들은 이미 4천 년 전에 파이라는 숫자의 존재를 알고 있었습니다. 바빌론의 서판은 파이를 3.125로 계산하고 이집트의 수학 파피루스에는 3.1605라는 숫자가 포함되어 있습니다. 성경에서 Pi는 구식 길이(큐빗)로 제공되며 그리스 수학자 아르키메데스는 피타고라스 정리를 사용하여 삼각형의 변의 길이와 면적의 기하학적 비율인 Pi를 설명합니다. 원 안과 밖 인물. 따라서 Pi는 이 숫자의 정확한 이름이 비교적 최근에 나타났지만 가장 오래된 수학적 개념 중 하나라고 말하는 것이 안전합니다.

파이에 대한 새로운 해석

파이가 원과 관련되기 전에도 수학자들은 이미 이 숫자에 이름을 붙일 수 있는 방법이 많았습니다. 예를 들어 고대 수학 교과서에서 라틴어로 된 문구를 찾을 수 있습니다. 이는 대략적으로 "지름에 길이를 곱했을 때 길이를 나타내는 양"으로 번역될 수 있습니다. 무리수는 1737년 스위스 과학자 레온하르트 오일러가 삼각법에 관한 연구에서 사용했을 때 유명해졌습니다. 그러나 파이에 대한 그리스 기호는 여전히 사용되지 않았습니다. 이는 덜 알려진 수학자 William Jones의 책에서만 발생했습니다. 그는 1706년에 그것을 사용했지만 오랫동안 무시되었습니다. 시간이 지남에 따라 과학자들은이 이름을 채택했으며 이제는 Ludolf 번호라고도 불렸지만 지금은 가장 유명한 버전입니다.

파이가 정상인가요?

숫자 파이는 확실히 이상하지만 정상적인 수학 법칙을 어떻게 따릅니까? 과학자들은 이미 이 무리수와 관련된 많은 질문을 해결했지만 몇 가지 미스터리가 남아 있습니다. 예를 들어, 모든 숫자가 얼마나 자주 사용되는지는 알려져 있지 않습니다. 0에서 9까지의 숫자는 동일한 비율로 사용해야 합니다. 그러나 통계는 처음 1조 자릿수까지 추적할 수 있지만 그 수가 무한하기 때문에 어떤 것도 확실히 증명할 수 없습니다. 과학자들이 아직 해결하지 못한 다른 문제가 있습니다. 과학의 추가 발전이 그들을 밝히는 데 도움이 될 수 있지만 현재로서는 이것은 인간 지능의 한계를 넘어선 상태입니다.

파이는 신성한 소리를 낸다.

과학자들은 Pi에 대한 몇 가지 질문에 답할 수 없지만 매년 그 본질을 더 잘 이해합니다. 이미 18세기에 이 숫자의 비합리성이 입증되었습니다. 게다가 그 숫자는 초월적이라는 것이 증명되었다. 이것은 유리수를 사용하여 파이를 계산할 수 있는 명확한 공식이 없다는 것을 의미합니다.

파이에 대한 불만

많은 수학자들이 단순히 Pi를 사랑하지만 이 숫자가 특별한 의미가 없다고 믿는 사람들이 있습니다. 또한 파이의 2배인 타우라는 숫자가 불합리한 숫자로 사용하기 더 편리하다고 주장한다. Tau는 원주와 반지름 사이의 관계를 보여주며, 일부에 따르면 이는 보다 논리적인 계산 방법을 나타냅니다. 그러나이 문제에서 무엇이든 명확하게 결정하는 것은 불가능하며 하나와 다른 숫자에는 항상 지지자가 있고 두 방법 모두 생명에 대한 권리가 있으므로 이것은 흥미로운 사실 ​​일 뿐이며 당신이하지 않아야한다고 생각할 이유는 아닙니다. 숫자 Pi를 사용합니다.

숫자 파이는 무엇입니까?우리는 학교에서 알고 기억합니다. 3.1415926 등등... 이 숫자는 원의 둘레를 지름으로 나눈 값이라는 사실만 알면 충분하다. 그러나 많은 사람들은 Pi가 수학과 기하학뿐만 아니라 물리학에서도 의외의 영역에 나타난다는 것을 알고 있습니다. 글쎄요, 이 숫자의 특성을 자세히 들여다보면 끝없이 이어지는 숫자들 사이에서 많은 놀라움을 볼 수 있습니다. Pi가 우주의 가장 깊은 비밀을 숨길 수 있습니까?

무한수

숫자 Pi 자체는 지름이 1인 원의 길이로 우리 세계에서 발생합니다. 그러나 Pi와 같은 세그먼트가 매우 유한하다는 사실에도 불구하고 Pi는 3.1415926과 같이 시작하여 절대 반복되지 않는 숫자 행에서 무한대로 진행됩니다. 첫 번째 놀라운 사실은 기하학에서 사용되는 이 숫자는 정수의 분수로 표현할 수 없다는 것입니다. 즉, 두 숫자 a/b의 비율로 쓸 수 없습니다. 또한 Pi는 초월적입니다. 이것은 정수 계수가 있는 방정식(다항식)이 없다는 것을 의미하며, 그 해는 Pi가 됩니다.

파이가 초월적이라는 사실은 1882년 독일 수학자 폰 린데만(von Lindemann)에 의해 증명되었습니다. 주어진 원의 면적과 같은 면적의 나침반과 직선자로 사각형을 그릴 수 있는지 여부에 대한 질문에 답한 것은이 증거였습니다. 이 문제는 고대부터 인류를 괴롭혀온 원의 제곱에 대한 탐색으로 알려져 있습니다. 이 문제는 간단한 해결책이 있고 곧 밝혀질 것 같았습니다. 그러나 원을 제곱하는 문제에는 답이 없다는 것을 보여준 것은 이해할 수 없는 파이의 속성이었습니다.

적어도 4500년 동안 인류는 점점 더 정확한 파이 값을 얻으려고 노력해 왔습니다. 예를 들어, 성경 열왕기상(7:23)에서 파이는 3과 같습니다.

Pi의 값은 정확성이 매우 뛰어나 기자의 피라미드에서 찾을 수 있습니다. 피라미드의 둘레와 높이의 비율은 22/7입니다. 이 분수는 3.142와 같은 대략적인 Pi 값을 제공합니다 ... 물론 이집트인이 우연히 그러한 비율을 설정하지 않는 한. Pi의 계산과 관련하여 이미 동일한 값이 기원전 III 세기에 위대한 아르키메데스에 의해 수신되었습니다.

기원전 1650년으로 거슬러 올라가는 고대 이집트 수학 교과서인 아메스 파피루스에서 파이는 3.160493827로 계산됩니다.

기원전 9세기경의 고대 인도 문헌에서 가장 정확한 값은 3.1388에 해당하는 339/108이라는 숫자로 표현되었습니다.

아르키메데스 이후 거의 2000년 동안 사람들은 파이를 계산하는 방법을 찾기 위해 노력해 왔습니다. 그들 중에는 유명하고 알려지지 않은 수학자들도 있었습니다. 예를 들어, 로마 건축가 Mark Vitruvius Pollio, 이집트 천문학자 Claudius Ptolemy, 중국 수학자 Liu Hui, 인도 현자 Ariabhata, 피보나치로 알려진 중세 수학자 Leonardo of Pisa, 아랍 과학자 Al-Khwarizmi의 이름에서 따온 것입니다. "알고리즘"이 나타났습니다. 그들 모두와 다른 많은 사람들은 Pi를 계산하는 가장 정확한 방법을 찾고 있었지만 15세기까지 계산의 복잡성으로 인해 소수점 이하 10자리 이상을 받지 못했습니다.

마침내 1400년에 Sangamagram의 인도 수학자 Madhava는 Pi를 최대 13자리의 정확도로 계산했습니다(하지만 마지막 두 자리에서는 여전히 실수를 범했지만).

표지판의 수

17세기에 라이프니츠(Leibniz)와 뉴턴(Newton)은 극소량의 분석을 발견하여 멱급수와 적분을 통해 파이를 보다 점진적으로 계산할 수 있게 되었습니다. Newton 자신은 소수점 이하 16자리를 계산했지만 그의 책에서 이것을 언급하지 않았습니다. 이것은 그의 사후에 알려졌습니다. 뉴턴은 지루해서 파이를 계산했을 뿐이라고 주장했습니다.

거의 동시에 덜 알려진 다른 수학자들도 삼각 함수를 통해 파이 수를 계산하는 새로운 공식을 제안했습니다.

예를 들어, 다음은 1706년 천문학 교사인 John Machin이 Pi를 계산하는 데 사용된 공식입니다. PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). 분석 방법을 사용하여 Machin은 이 공식에서 소수 100자리의 숫자 Pi를 파생했습니다.

그건 그렇고, 같은 1706 년에 Pi라는 숫자는 그리스 문자 형태의 공식 지정을 받았습니다. William Jones는 수학에 대한 그의 작업에서 사용했으며 그리스 단어 "periphery"의 첫 글자를 사용했습니다. "원". 1707년에 태어난 위대한 Leonhard Euler는 이 명칭을 대중화시켰으며, 이는 현재 모든 학생에게 알려져 있습니다.

컴퓨터 시대 이전에 수학자들은 가능한 한 많은 기호를 계산하는 데 관심을 가졌습니다. 이와 관련하여 때때로 궁금증이 생겼습니다. 아마추어 수학자 W. Shanks는 1875년에 파이의 707자리 숫자를 계산했습니다. 이 700개의 표지판은 1937년 파리의 팔레 데 디스커버리(Palais des Discoveries) 벽에 불후의 명성을 얻었습니다. 그러나 9년 후 관찰력 있는 수학자들은 처음 527개 문자만 올바르게 계산되었음을 발견했습니다. 박물관은 실수를 바로잡기 위해 상당한 비용을 지출해야 했습니다. 이제 모든 수치가 정확합니다.

컴퓨터가 등장했을 때 Pi의 자릿수는 완전히 상상할 수없는 순서로 계산되기 시작했습니다.

1946년에 만들어진 최초의 전자 컴퓨터 중 하나인 ENIAC은 방이 섭씨 50도까지 따뜻해질 정도로 방이 거대하고 열을 발생시켜 파이의 첫 2037자리를 계산했습니다. 이 계산에는 70시간이 걸렸다.

컴퓨터가 향상됨에 따라 파이에 대한 우리의 지식은 점점 더 무한해졌습니다. 1958년에는 10,000자리 숫자가 계산되었습니다. 1987년에 일본인은 10,013,395자를 계산했습니다. 2011년 일본 연구원 혼도 시게루가 10조를 돌파했습니다.

Pi는 어디에서 찾을 수 있습니까?

따라서 종종 Pi 숫자에 대한 우리의 지식은 학교 수준으로 유지되며 이 숫자는 기하학에서 처음에 필수 불가결하다는 것을 확실히 알고 있습니다.

원의 길이와 면적에 대한 공식 외에도 타원, 구, 원뿔, 원통, 타원체 등의 공식에 숫자 Pi가 사용됩니다. 공식이 간단하고 기억하기 쉬운 곳이 있으며, 어딘가에 매우 복잡한 적분을 포함합니다.

그러면 우리는 수학 공식에서 숫자 Pi를 만날 수 있습니다. 처음에는 기하학이 보이지 않습니다. 예를 들어, 1/(1-x^2)의 무한 적분은 Pi입니다.

Pi는 계열 분석에 자주 사용됩니다. 예를 들어, 다음은 파이로 수렴하는 간단한 시리즈입니다.

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = 파이/4

급수 중에서 파이는 잘 알려진 리만 제타 함수에서 가장 예기치 않게 나타납니다. 간단히 말해서 그것에 대해 말할 수는 없으며 언젠가 Pi가 소수 계산 공식을 찾는 데 도움이 될 것이라고 말할 것입니다.

그리고 그것은 절대적으로 놀랍습니다. Pi는 수학의 가장 아름다운 "왕실" 공식 중 두 가지인 스털링 공식(팩토리얼과 감마 함수의 근사값을 찾는 데 도움이 됨)과 오일러 공식(다음과 같은 많은 관련이 있음)에 나타납니다. 5개의 수학 상수).

그러나 확률 이론에서 가장 예상치 못한 발견이 수학자들을 기다리고 있었습니다. 파이도 있습니다.

예를 들어, 두 숫자가 상대적으로 소수일 확률은 6/PI^2입니다.

파이는 Buffon의 18세기 바늘 던지기 문제에 나타납니다. 패턴이 있는 종이 위에 바늘을 던졌을 때 바늘이 선 중 하나를 넘을 확률은 얼마입니까? 바늘의 길이가 L이고 선 사이의 거리가 L이고 r > L이면 확률 공식 2L/rPI를 사용하여 Pi 값을 대략적으로 계산할 수 있습니다. 상상해보십시오. 무작위 이벤트에서 Pi를 얻을 수 있습니다. 그리고 Pi는 정규 확률 분포에 존재하며 유명한 가우스 곡선의 방정식에 나타납니다. 이것은 파이가 원의 둘레에 대한 지름의 비율보다 훨씬 더 근본적이라는 것을 의미합니까?

물리학에서도 파이를 만날 수 있습니다. Pi는 두 전하 사이의 상호작용력을 설명하는 쿨롱의 법칙, 태양 주위의 행성의 공전 주기를 나타내는 케플러의 제3법칙에 나타나며, 수소 원자의 전자 궤도 배열에서도 나타난다. 그리고 또 가장 놀라운 것은 양자물리학의 기본 법칙인 하이젠베르크의 불확정성 원리의 공식에 파이 숫자가 숨겨져 있다는 점이다.

파이의 비밀

동명의 영화를 원작으로 한 칼 세이건의 소설 '컨택트'에서 외계인은 주인공에게 파이의 징조 가운데 신의 비밀 메시지가 있다고 말한다. 특정 위치에서 숫자의 숫자는 무작위가 아니며 우주의 모든 비밀이 기록되는 코드를 나타냅니다.

이 소설은 실제로 전 세계 수학자들의 마음을 사로잡는 수수께끼를 반영했습니다. 숫자 Pi는 숫자가 같은 빈도로 흩어져 있는 정상적인 숫자입니까, 아니면 이 숫자에 문제가 있는 것입니까? 과학자들이 첫 번째 옵션을 선호하지만(증명할 수는 없음) Pi는 매우 신비로워 보입니다. 일본 남자는 파이의 첫 100000000000 자릿수에 0에서 9까지의 숫자가 몇 번 나오는지 계산했습니다. 그리고 나는 숫자 2, 4, 8이 나머지보다 더 흔한 것을 보았습니다. 이것은 Pi가 아주 정상적이지 않고 숫자가 실제로 무작위가 아니라는 힌트 중 하나일 수 있습니다.

위에서 읽은 모든 것을 기억하고 현실 세계에서 어떤 다른 비합리적이고 초월적인 숫자가 일반적입니까?

그리고 다른 기이한 것들이 준비되어 있습니다. 예를 들어 Pi의 처음 20자리 숫자의 합은 20이고 처음 144자리 숫자의 합은 "짐승의 수" 666과 같습니다.

미국 TV 시리즈 The Suspect의 주인공인 Finch 교수는 학생들에게 파이의 무한대 때문에 파이에서 생년월일부터 더 복잡한 숫자까지 모든 숫자 조합이 발생할 수 있다고 말했습니다. 예를 들어, 762번째 위치에는 6개의 9개의 시퀀스가 ​​있습니다. 이 위치는 이 흥미로운 조합을 발견한 유명한 물리학자의 이름을 따서 Feynman 포인트라고 합니다.

우리는 또한 Pi가 시퀀스 0123456789를 포함하지만 17,387,594,880번째 자리에 있다는 것을 알고 있습니다.

이 모든 것은 Pi의 무한대에서 흥미로운 숫자 조합뿐만 아니라 "전쟁과 평화"의 인코딩된 텍스트, 성경 및 우주의 주요 비밀(있는 경우)도 찾을 수 있음을 의미합니다.

그건 그렇고, 성경에 대해. 1966년 수학의 유명한 대중화론자인 Martin Gardner는 Pi의 백만 번째 기호(당시에는 아직 알려지지 않음)가 숫자 5가 될 것이라고 말했습니다. 그는 자신의 계산을 영어 버전의 성경에서 다음과 같이 설명했습니다. 3권, 14장, 16 -m 절(3-14-16) 일곱 번째 단어는 다섯 글자를 포함합니다. 백만이라는 숫자는 8년 후에 받았습니다. 다섯 번째였습니다.

그 후에 pi가 무작위라고 주장할 가치가 있습니까?

Pi의 기원에 대한 이야기는 생각해 본 적이 없습니다. 나는 라이프니츠와 뉴턴에 관한 아주 흥미로운 사실을 읽었습니다. Newton은 소수점 이하 16자리를 계산했지만 그의 책에서는 말하지 않았습니다. 좋은 글 감사합니다.

회신하다

한 번 나는 마술에 관한 포럼에서 숫자 PI가 마술적 의미일 뿐만 아니라 의식적인 의미도 있다는 것을 읽었습니다. 많은 의식이 이 숫자와 관련이 있으며 이 숫자가 발견된 고대부터 마술사가 사용했습니다.

회신하다

파이의 처음 20자리의 합은 20...이거 심각한가요? 바이너리 시스템에서, 맞습니까?

회신하다

1. 회신하다

   1. 100은 처음 20자리의 합이 아니라 소수점 이하 20자리입니다.

      회신하다

1. 지름 = 1, 둘레 = 파이, 따라서 원이 닫히지 않습니다!

   회신하다

숫자 피 - 원의 둘레에 대한 지름의 비율 - 값은 일정하며 원의 크기에 의존하지 않습니다. 이 관계를 표현하는 숫자는 일반적으로 그리스 문자 241("perijereia"-원, 주변)으로 표시됩니다. 이 지정은 1736년을 언급한 Leonhard Euler의 작업 이후 일반화되었지만 1706년 William Jones(1675-1749년)에 의해 처음 사용되었습니다. 무리수와 마찬가지로 무한 비주기적 소수로 표현됩니다.

피= 3.141592653589793238462643… 원과 둥근 물체와 관련된 실용적인 계산의 필요성으로 인해 우리는 고대에 이미 유리수를 사용하여 241개의 근사치를 찾아야 했습니다. 둘레가 지름의 정확히 3배라는 정보는 고대 메소포타미아의 설형 문자판에서 발견됩니다. 같은 숫자 값 피성경의 본문에도 있습니다. "그가 주조한 놋쇠로 바다를 만들되 끝이 십 규빗이요 완전히 둥글고 높이가 다섯 규빗이요 또 줄로 삼십 규빗을 쌌더라"(왕상 7:23) . 고대 중국인들도 마찬가지였습니다. 그러나 이미 기원전 2 천년. 고대 이집트인은 지름 원의 면적 공식에서 얻은 숫자 241에 더 정확한 값을 사용했습니다. 디:

Rhind 파피루스의 50번째 문제의 이 규칙은 값 4(8/9) 2 » 3.1605에 해당합니다. 1858년에 발견된 Rhinda Papyrus는 최초의 소유자의 이름을 따서 명명되었으며 BC 1650년경에 서기관 Ahmes에 의해 복사되었으며 원본의 저자는 알려지지 않았으며 19세기 후반에 작성되었다는 것만 확인됨 세기. 기원전. 이집트인이 공식 자체를 얻은 방법은 문맥에서 명확하지 않습니다. 기원전 1800년에서 1600년 사이에 어떤 학생이 복사한 이른바 모스크바 파피루스에서. 기원전 1900년경의 오래된 문헌에서 "구멍이 4½"인 바구니의 표면을 계산하는 것과 관련된 또 다른 흥미로운 문제가 있습니다. 바구니의 모양이 무엇인지는 알려져 있지 않지만 모든 연구원들은 여기에서 숫자에 대해 동의합니다. 피동일한 근사값 4(8/9) 2가 취해집니다.

고대 과학자들이 어떻게 이런 결과를 얻었는지 이해하려면 그 당시의 지식과 계산 방법만을 사용하여 문제를 해결하려고 노력해야 합니다. 이것이 바로 고대 문헌의 연구자들이 하는 일이지만 그들이 찾아낸 해결책이 반드시 "동일한 것"은 아닙니다. 매우 자주 하나의 작업에 여러 솔루션이 제공되며 모든 사람이 취향에 따라 선택할 수 있지만 아무도 고대에 사용되었다고 말할 수는 없습니다. 원의 면적과 관련하여 수학 역사에 관한 수많은 책의 저자인 A.E. Raik의 가설은 그럴듯해 보입니다: 지름의 원의 면적 디주변에 설명 된 사각형의 면적과 비교되며, 그로부터 측면이있는 작은 사각형이 차례로 제거됩니다 (그림 1). 우리의 표기법에서 계산은 다음과 같습니다. 첫 번째 근사에서 원의 면적 에스한 변이 있는 정사각형의 면적의 차이와 같습니다. 디그리고 4개의 작은 정사각형의 총 면적 하지만파티와 함께 디:

이 가설은 모스크바 파피루스의 문제 중 하나에서 유사한 계산에 의해 뒷받침됩니다.

6세기부터 c. 기원전. 수학은 고대 그리스에서 빠르게 발전했습니다. 원의 둘레가 지름에 비례한다는 것을 엄밀히 증명한 것은 고대 그리스의 기하학자들이었습니다. 엘 = 2피 아르 자형; 아르 자형는 원의 반지름이고, 내가 -길이)이고 원의 면적은 둘레와 반지름의 곱의 절반입니다.

에스 = ½ 엘 아르 자형 = 피 아르 자형 2 .

이 증거는 Cnidus와 Archimedes의 Eudoxus에 기인합니다.

3세기에 기원전. 글을 쓰는 아르키메데스 원 측정에 대해원에 새겨진 정다각형의 둘레를 계산하고 그 주위에 설명했습니다(그림 2) - 6각에서 96각까지. 따라서 그는 숫자가 피 3 10/71과 3 1/7 사이에 있습니다. 3.14084< 피 < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (피» 3.14166)는 삼각법의 창시자인 유명한 천문학자인 Claudius Ptolemy(2세기)에 의해 발견되었지만 사용되지는 않았습니다.

인도인과 아랍인은 그렇게 믿었습니다. 피= . 이 값은 인도 수학자 Brahmagupta(598 - ca. 660)도 제공합니다. 중국에서는 3세기 과학자. 아르키메데스의 근사치보다 나쁜 값 3 7/50을 사용했지만 5세기 후반에 사용했습니다. Zu Chun Zhi(c. 430 - c. 501) 피약 355/113( 피» 3.1415927). 그것은 유럽인들에게 알려지지 않은 채 남아 있었고 1585년에야 네덜란드 수학자 Adrian Antonis에 의해 다시 발견되었습니다. 이 근사치는 소수점 7자리에서만 오류를 제공합니다.

보다 정확한 근사값 검색 피더 계속했다. 예를 들어, al-Kashi(15세기 전반기) 원에 관한 논문(1427) 소수점 이하 17자리 계산 피. 유럽에서도 같은 의미가 1597년에 발견되었습니다. 이를 위해 그는 일반 800 335 168-gon의 측면을 계산해야 했습니다. 네덜란드 과학자 Ludolf Van Zeilen(1540-1610)은 32개의 정확한 소수점 이하 자릿수를 발견했으며(1615년 사후에 출판됨) 이 근사치를 Ludolf 수라고 합니다.

숫자 피기하학적 문제를 풀 때만 나타나는 것이 아닙니다. F. Vieta(1540-1603) 시대부터 단순한 법칙에 따라 컴파일된 일부 산술 수열의 극한을 검색한 결과 동일한 수 피. 이러한 이유로 숫자를 결정할 때 피거의 모든 유명한 수학자들이 참여했습니다: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. V. Leibniz, L. Euler. 그들은 무한 곱, 급수의 합, 무한 분수의 형태로 241에 대한 다양한 표현을 받았습니다.

예를 들어, 1593년 F. Viet(1540-1603)은 다음 공식을 도출했습니다.

1658년 영국인 William Brounker(1620-1684)는 숫자의 표현을 발견했습니다. 피무한 연속 분수로

그러나 그가 이 결과에 어떻게 도달했는지는 알려져 있지 않습니다.

1665년에 John Wallis(1616-1703)는 다음을 증명했습니다.

이 공식은 그의 이름을 따왔습니다. 숫자 241의 실제적인 결정에는 거의 사용되지 않지만 다양한 이론적 추론에 유용합니다. 그것은 무한한 일의 첫 번째 예 중 하나로 과학의 역사에 들어 왔습니다.

Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716)는 1673년에 다음 공식을 확립했습니다.

숫자 표현 피/4는 시리즈의 합입니다. 그러나 이 계열은 매우 천천히 수렴합니다. 계산하려면 피 10자리까지 정확하다면, 아이작 뉴턴이 보여준 것처럼 50억 개의 숫자의 합을 찾고 이에 대해 약 천 년의 지속적인 작업을 해야 할 필요가 있을 것입니다.

1706년 런던의 수학자 John Machin(1680-1751)이 공식을 적용하여

표현을 얻었다

이것은 여전히 ​​​​대략적인 계산에 가장 적합한 것으로 간주됩니다. 피. 동일한 소수점 이하 자릿수 10자리를 찾는 데 몇 시간만 수동으로 계산하면 됩니다. John Machin 자신이 계산한 피 100개의 올바른 문자로

arctg에 동일한 행 사용 엑스및 공식

숫자 값 피소수점 이하 십만 자리의 정확도로 컴퓨터에서 수신됩니다. 이러한 계산은 난수 및 의사 난수 개념과 관련하여 중요합니다. 지정된 문자 수의 정렬된 집합의 통계 처리 피랜덤 시퀀스의 많은 기능을 가지고 있음을 보여줍니다.

숫자를 기억하는 재미있는 방법이 있습니다. 피 3.14보다 더 정확하게. 예를 들어, 다음 4열을 배웠다면 소수점 이하 일곱 자리의 이름을 쉽게 지정할 수 있습니다. 피:

당신은 시도해야합니다

모든 것을 있는 그대로 기억하십시오.

셋, 열네, 열다섯

아흔둘과 여섯.

(S.보브로프 매직 바이콘)

다음 구의 각 단어에 있는 문자 수를 세는 것도 숫자 값을 제공합니다. 피:

"내가 서클에 대해 무엇을 알고 있습니까?" ( 피» 3.1416). 이 속담은 Ya.I. Perelman이 제안한 것입니다.

“그래서 Pi라는 번호를 알고 있습니다. - 잘했어요!" ( 피» 3.1415927).

"숫자 뒤에 알려진 숫자, 행운을 알아차리는 방법을 배우고 알아라"( 피» 3.14159265359).

모스크바 학교 중 한 곳의 교사는 "나는 이것을 알고 완벽하게 기억합니다."라는 문구를 제시했고 그의 학생은 "많은 징후가 나에게 불필요합니다. 헛되이"라는 재미있는 말을 이어갔습니다. 이 커플렛을 사용하면 12자리를 정의할 수 있습니다.

숫자의 101자리는 이렇게 생겼습니다. 피반올림 없이

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

요즘은 컴퓨터의 도움으로 숫자의 가치가 피수백만 개의 정확한 숫자로 계산되지만 이러한 정밀도는 계산에 필요하지 않습니다. 그러나 숫자의 분석적 결정의 가능성 ,

마지막 공식에서 분자는 모든 소수를 포함하고 분모는 1만큼 다르며 형식이 4 인 경우 분모는 분자보다 큽니다. N+ 1, 그렇지 않으면 더 적습니다.

비록 16세기 말 이후로, 즉. 유리수와 무리수라는 개념이 형성된 이후로 많은 과학자들은 다음과 같이 확신했습니다. 피- 숫자는 비합리적이지만 오일러가 발견한 지수 함수와 삼각 함수 간의 관계를 기반으로 1766년 독일 수학자 요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert)(1728-1777)가 이를 엄격하게 증명했습니다. 숫자 피분자와 분모가 아무리 크더라도 간단한 분수로 나타낼 수 없습니다.

1882년 뮌헨 대학의 교수인 Carl Louis Ferdinand Lindemann(1852-1939)은 프랑스 수학자 C. Hermite가 얻은 결과를 사용하여 다음을 증명했습니다. 피- 초월수, 즉 그것은 대수 방정식의 근이 아닙니다. n x n + n- 1 x n– 1 + ... + 에이 1 엑스 + 에이 0 = 정수 계수가 있는 0. 이 증명은 원의 제곱이라는 가장 오래된 수학적 문제의 역사에 종지부를 찍었습니다. 수천 년 동안 이 문제는 수학자들의 노력에 굴복하지 않았고 "원의 제곱"이라는 표현은 풀 수 없는 문제와 동의어가 되었습니다. 그리고 모든 것은 숫자의 초월적 성격에 있음이 밝혀졌습니다. 피.

이 발견을 기념하여 뮌헨 대학교 수학 강당 앞 홀에 Lindemann의 흉상이 세워졌습니다. 그의 이름 아래 받침대에는 같은 면적의 정사각형이 교차하는 원이 있으며 그 안에 문자가 새겨져 있습니다. 피.

마리나 페도소바

소개

이 기사에는 수학 공식이 포함되어 있으므로 올바른 표시를 보려면 사이트로 이동하여 읽으십시오.숫자 \(\pi \)는 풍부한 역사를 가지고 있습니다. 이 상수는 원의 둘레에 대한 지름의 비율을 나타냅니다.

과학에서 숫자 \(\pi \)는 원이 있는 계산에 사용됩니다. 탄산음료 한 캔부터 위성 궤도까지. 그리고 원뿐만이 아닙니다. 실제로 곡선 연구에서 숫자 \(\pi \)는 주기 및 진동 시스템을 이해하는 데 도움이 됩니다. 예를 들어, 전자파와 심지어 음악.

1706년 영국 과학자 William Jones(1675-1749)의 "A New Introduction to Mathematics"라는 책에서 그리스 알파벳 \(\pi\)의 문자가 숫자 3.141592를 나타내는 데 처음으로 사용되었습니다. .. 이 명칭은 그리스 단어 περιϕερεια - 원, 주변부 및 περιμετρoς - 둘레의 첫 글자에서 유래합니다. 일반적으로 인정되는 명칭은 1737년 Leonhard Euler의 작업 이후에 이루어졌습니다.

기하학적 기간

원의 길이에 대한 지름의 비율의 불변성은 오랫동안 주목되어 왔습니다. 메소포타미아의 주민들은 숫자 \(\pi \)의 대략적인 근사치를 사용했습니다. 고대 문제에서 다음과 같이 계산에 \(\pi ≈ 3 \) 값을 사용합니다.

\(\pi \)에 대한 보다 정확한 값은 고대 이집트인에 의해 사용되었습니다. 런던과 뉴욕에는 고대 이집트 파피루스의 두 부분이 보관되어 있는데, 이를 "린다 파피루스"라고 합니다. 파피루스는 기원전 2000-1700년 사이에 서기관 Armes에 의해 편집되었습니다. BC Armes는 그의 파피루스에 반지름이 \(r\)인 원의 면적은 한 변이 \(\frac(8)(9) \)인 정사각형의 면적과 같다고 썼습니다 원의 지름에서 \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), 즉 \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). 따라서 \(\pi = 3,16\)입니다.

고대 그리스 수학자 아르키메데스(기원전 287-212년)는 먼저 과학적 근거로 원을 측정하는 작업을 시작했습니다. 그는 점수를 얻었다 \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

이 방법은 매우 간단하지만 삼각 함수 테이블이 없으면 루트 추출이 필요합니다. 또한 \(\pi \)에 대한 근사값은 매우 느리게 수렴됩니다. 각 반복에서 오류는 4배만 감소합니다.

분석 기간

그럼에도 불구하고 17세기 중반까지 유럽 과학자들의 모든 시도는 다각형의 변을 늘리는 것으로 축소되었습니다. 예를 들어, 네덜란드 수학자 Ludolf van Zeilen(1540-1610)은 소수점 이하 20자리의 정확도로 숫자 \(\pi \)의 근사값을 계산했습니다.

그것을 알아내는 데 10년이 걸렸다. 아르키메데스의 방법에 따라 내접다각형과 내접다각형의 변의 수를 두 배로 하여 20으로 \(\pi \)를 계산하기 위해 \(60 \cdot 2^(29) \) - 제곱을 생각해 냈습니다. 소수 자릿수.

그가 죽은 후 그의 필사본에서 15자리의 정확한 숫자 \(\pi \)가 발견되었습니다. 루돌프는 자신이 발견한 표지판이 자신의 묘비에 새겨져 있다고 유언했습니다. 그를 기리기 위해 숫자 \(\pi \)는 때때로 "루돌프 수" 또는 "루돌프 상수"라고 불렸습니다.

아르키메데스와 다른 방법을 최초로 도입한 사람은 프랑수아 비엣(François Viet, 1540-1603)이다. 그는 지름이 1인 원의 면적이 다음과 같다는 결과를 얻었습니다.

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) ) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt (\frac(1)(2) \cdots )))) \]

반면에 면적은 \(\frac(\pi)(4) \)입니다. 식을 대입하고 단순화하면 근사값 \(\frac(\pi)(2) \)를 계산하기 위해 다음과 같은 무한 곱 공식을 얻을 수 있습니다.

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

결과 공식은 숫자 \(\pi \)에 대한 첫 번째 정확한 분석 표현식입니다. 이 공식 외에도 Viet은 아르키메데스의 방법을 사용하여 내접 및 외접 다각형의 도움을 받아 6각형으로 시작하여 \(2^(16) \cdot 6 \)면이 있는 다각형으로 끝납니다. 9개의 올바른 기호가 있는 숫자 \(\pi \)의 근사치.

영국 수학자 William Brounker(1620-1684)는 연속 분수를 사용하여 \(\frac(\pi)(4)\)를 다음과 같이 계산했습니다.

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

숫자 \(\frac(4)(\pi) \)의 근사를 계산하는 이 방법은 최소한 작은 근사를 얻기 위해 많은 계산을 필요로 합니다.

대체 결과로 얻은 값은 숫자 \(\pi \)보다 크거나 작으며 매번 실제 값에 가까워 지지만 값 3.141592를 얻으려면 꽤 큰 계산이 필요합니다.

1706년의 또 다른 영국 수학자 John Machin(1686-1751)은 1673년 라이프니츠가 도출한 공식을 사용하여 소수점 이하 100자리의 수 \(\pi \)를 계산하고 다음과 같이 적용했습니다.

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

급수는 빠르게 수렴하며 매우 정확하게 숫자 \(\pi \)를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 이 유형의 공식은 컴퓨터 시대에 여러 기록을 세우는 데 사용되었습니다.

17세기에 가변 크기의 수학 기간이 시작되면서 \(\pi \) 계산의 새로운 단계가 시작되었습니다. 1673년 독일의 수학자 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)는 수 \(\pi \)의 확장을 발견했으며 일반적으로 다음과 같은 무한 급수로 쓸 수 있습니다.

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (11) + \cdots) \]

급수는 x = 1을 \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) - \cdots\)

Leonhard Euler는 수 \(\pi \)를 계산할 때 arctg x에 대한 급수 사용에 대한 그의 작업에서 라이프니츠의 아이디어를 발전시켰습니다. 1738년에 작성된 논문 "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi"(대략적인 숫자로 원의 제곱을 표현하는 다양한 방법)에서는 라이프니츠 공식을 사용하여 계산을 개선하는 방법에 대해 설명합니다.

오일러는 인수가 0이 되는 경향이 있으면 아크 탄젠트 급수가 더 빨리 수렴할 것이라고 씁니다. \(x = 1\)의 경우 급수의 수렴이 매우 느립니다. 최대 100자리의 정확도로 계산하려면 급수의 \(10^(50)\) 항을 추가해야 합니다. 인수 값을 줄이면 계산 속도를 높일 수 있습니다. \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\)를 취하면 시리즈

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 - \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

오일러에 따르면 이 급수에서 210개의 항을 취하면 100개의 정확한 숫자가 나옵니다. 결과 계열은 무리수 \(\sqrt(3)\)의 충분히 정확한 값을 알아야 하기 때문에 불편합니다. 또한 그의 계산에서 오일러는 아크 탄젠트를 더 작은 인수의 아크 탄젠트 합으로 확장하는 방법을 사용했습니다.

\[여기서 x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

오일러가 그의 공책에서 사용한 모든 계산 공식과는 거리가 멀다. 출판된 작품과 노트북에서 그는 아크 탄젠트를 계산하기 위해 3가지 다른 시리즈를 고려했으며 주어진 정확도로 근사값 \(\pi \)을 얻는 데 필요한 합산 가능한 항의 수에 대해 많은 설명을 했습니다.

이후 몇 년 동안 숫자 \(\pi \) 값의 개선이 점점 더 빨라졌습니다. 예를 들어, 1794년에 George Vega(1754-1802)는 이미 140개의 징후를 식별했으며 그 중 136개만 정확한 것으로 판명되었습니다.

계산 기간

20세기는 숫자 \(\pi\) 계산에서 완전히 새로운 단계로 표시되었습니다. 인도 수학자 Srinivasa Ramanujan(1887-1920)은 \(\pi\)에 대한 많은 새로운 공식을 발견했습니다. 1910년에 그는 Taylor 급수에서 아크 탄젠트의 전개를 통해 \(\pi \)를 계산하는 공식을 얻었습니다.

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100이면 숫자 \(\pi \)의 600자릿수 정확도가 달성됩니다.

컴퓨터의 출현으로 더 짧은 시간에 얻은 값의 정확도를 크게 높일 수 있었습니다. 1949년 John von Neumann(1903-1957)이 이끄는 과학자 그룹은 ENIAC를 사용하여 단 70시간 만에 \(\pi \)의 소수점 이하 2037자리를 얻었습니다. 1987년 David와 Gregory Chudnovsky는 계산 \(\pi \)에서 여러 레코드를 설정할 수 있는 공식을 얻었습니다.

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

시리즈의 각 구성원은 14자리를 제공합니다. 1989년에는 소수점 1,011,196,691자리가 수신되었습니다. 이 공식은 개인용 컴퓨터에서 \(\pi \)를 계산하는 데 적합합니다. 현재 형제는 뉴욕 대학교 폴리테크닉 인스티튜트(Polytechnic Institute of New York University) 교수입니다.

최근의 중요한 발전은 1997년 Simon Pluff가 공식을 발견한 것입니다. 이전 숫자를 계산하지 않고 숫자 \(\pi \)의 16진수를 추출할 수 있습니다. 공식은 공식이 처음 출판된 기사의 저자를 기리기 위해 "Bailey-Borwain-Pluff 공식"이라고 합니다. 다음과 같습니다.

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006년 Simon은 PSLQ를 사용하여 \(\pi \) 계산을 위한 몇 가지 멋진 공식을 제시했습니다. 예를 들어,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) - 1) - \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

여기서 \(q = e^(\pi)\). 2009년 일본 과학자들은 T2K Tsukuba 시스템 슈퍼컴퓨터를 사용하여 소수점 이하 2,576,980,377,524자리의 숫자 \(\pi \)를 얻었습니다. 계산에는 73시간 36분이 걸렸다. 이 컴퓨터에는 초당 95조 작업의 성능을 제공하는 640개의 4코어 AMD Opteron 프로세서가 장착되어 있습니다.

\(\pi \) 계산의 다음 업적은 2009년 말 Fedora 10을 실행하는 개인용 컴퓨터에서 숫자 \(\pi \)의 소수점 이하 자릿수 2,699,999,990,000를 계산하여 기록을 세운 프랑스 프로그래머 Fabrice Bellard에 있습니다. 이는 지난 14년 동안 슈퍼컴퓨터를 사용하지 않은 최초의 세계 기록입니다. 고성능을 위해 Fabrice는 Chudnovsky 형제의 공식을 사용했습니다. 총 131일(계산 103일, 검증 13일)이 소요됐다. Bellar의 업적은 그러한 계산을 위해 슈퍼컴퓨터가 필요하지 않다는 것을 보여주었습니다.

불과 6개월 후 François의 기록은 엔지니어 Alexander Yi와 가수 Kondo에 의해 깨졌습니다. 소수점 이하 5조 자릿수 \(\pi \)의 기록을 세우기 위해 개인용 컴퓨터도 사용되었지만 더 인상적인 특성은 3.33GHz의 Intel Xeon X5680 프로세서 2개, RAM 96GB, 디스크 메모리 38TB 및 운영 체제입니다. 시스템 Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. 계산을 위해 Alexander와 Singer는 Chudnovsky 형제의 공식을 사용했습니다. 계산 과정은 90일이 걸렸고 22TB의 디스크 공간이 필요했습니다. 2011년에는 \(\pi \)의 소수점 이하 자릿수 10조를 계산하여 또 다른 기록을 세웠습니다. 계산은 이전 기록을 세웠던 동일한 컴퓨터에서 이루어졌으며 총 371일이 걸렸습니다. 2013년 말 Alexander와 Singeru는 12조 1000억 자리 숫자 \(\pi \)를 계산하는 데 94일이 걸렸습니다. 이러한 성능 향상은 소프트웨어 성능을 최적화하고 프로세서 코어 수를 늘리며 소프트웨어 내결함성을 크게 개선함으로써 달성됩니다.

현재 기록은 이 알렉산더와 곤도 싱게루의 것으로 소수점 이하 12조 1000억 자리이다.

이에 우리는 고대에 사용된 수의 계산 방법, 분석적 방법을 살펴보았고, 컴퓨터에서 수를 계산하는 현대의 방법과 기록도 살펴보았다.

출처 목록

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8. 알렉스 이. 숫자의 세계. 액세스 모드: numberworld.org

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말하다

2017년 1월 13일

***

Lada Priora의 바퀴, 결혼 반지와 고양이 접시 사이의 공통점은 무엇입니까? 물론 당신은 아름다움과 스타일을 말할 것이지만 나는 감히 당신과 논쟁합니다. 파이!이것은 특히 어머니의 반지, 아버지가 좋아하는 자동차의 바퀴, 심지어 내가 사랑하는 고양이 Murzik의 접시까지 포함하여 모든 원, 원 및 원형을 통합하는 숫자입니다. 저는 가장 인기 있는 물리 및 수학 상수 순위에서 Pi가 의심할 여지 없이 첫 번째 줄을 차지할 것이라고 확신합니다. 그러나 그 뒤에 무엇이 있습니까? 수학자들의 끔찍한 저주가 아닐까요? 이 문제를 이해하려고 노력합시다.

숫자 "Pi"는 무엇이며 어디에서 왔습니까?

현대 숫자 표기법 π (파이) 1706년 영국 수학자 존슨 덕분에 등장했습니다. 이것은 그리스어 단어의 첫 글자입니다. περιφέρεια (주변 또는 원주). 오랫동안 수학을 경험한 사람들과 과거에는 Pi라는 숫자가 원의 둘레에 대한 지름의 비율이라는 것을 기억합니다. 값은 상수입니다. 즉, 반지름에 관계없이 모든 원에 대해 일정합니다. 사람들은 고대부터 이것에 대해 알고 있었습니다. 따라서 고대 이집트에서 Pi는 256/81 비율과 동일하게 취해졌으며 Vedic 텍스트에서는 339/108 값이 제공되는 반면 Archimedes는 비율 22/7을 제안했습니다. 그러나 숫자 pi를 표현하는 이러한 방법이나 다른 많은 방법은 정확한 결과를 제공하지 못했습니다.

Pi라는 숫자는 각각 초월적이고 비합리적이라는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 단순한 분수로 나타낼 수 없음을 의미합니다. 십진수로 표현하면 소수점 이하 자릿수는 주기적으로 반복되지 않고 무한대로 돌진합니다. 이 모든 것이 무엇을 의미합니까? 매우 간단합니다. 좋아하는 여자의 전화번호를 알고 싶습니까? Pi의 소수점 이하 자릿수에서 확실히 찾을 수 있습니다.

전화는 여기에서 볼 수 있습니다 ↓

파이 번호는 최대 10000자입니다.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

찾지 못하셨나요? 그럼 봐.

일반적으로 전화번호뿐만 아니라 숫자를 사용하여 인코딩된 모든 정보가 될 수 있습니다. 예를 들어 Alexander Sergeevich Pushkin의 모든 작품을 디지털 형식으로 표현하면 그가 태어나기도 전에 쓰기 전에도 Pi라는 숫자로 저장되었습니다. 원칙적으로 그들은 여전히 ​​거기에 저장됩니다. 그건 그렇고, 수학자들의 저주 π 수학자뿐만 아니라 존재합니다. 한 마디로 Pi는 내일, 모레, 1년 또는 2년 후에 당신의 밝은 머리를 방문할 생각까지 모든 것을 가지고 있습니다. 믿기 ​​힘든 일이지만, 믿는 척 해도 그곳에서 정보를 얻어 해독하기는 더욱 어려울 것이다. 그래서 이 숫자들에 깊이 빠져들기 보다는 마음에 드는 여자에게 다가가 전화번호를 물어보는 것이 더 쉬울까요?.. 하지만 쉬운 방법을 찾지 못하거나 Pi가 무엇인지에 관심이 있는 사람들을 위해, 여러 가지 계산 방법을 제공합니다. 건강을 믿으십시오.

파이의 가치는 무엇입니까? 계산 방법:

1. 실험 방법.파이가 원의 둘레에 대한 지름의 비율인 경우 신비한 상수를 찾는 첫 번째이자 가장 확실한 방법은 모든 측정을 수동으로 수행하고 공식 π=l/d를 사용하여 파이를 계산하는 것입니다. 여기서 l은 원의 둘레이고 d는 지름입니다. 모든 것이 매우 간단합니다. 원주를 결정하기 위해 실, 지름을 찾기 위한 눈금자, 그리고 실제로 실 자체의 길이를 찾는 데 필요한 실, 열로 나누는 데 문제가 있는 경우 계산기로 무장하기만 하면 됩니다. . 스튜 냄비나 오이 한 병은 측정된 샘플로 작용할 수 있습니다. 중요하지 않습니까? 밑면이 원이 되도록.

고려한 계산 방법은 가장 간단하지만 불행히도 결과 Pi 수의 정확도에 영향을 미치는 두 가지 중요한 단점이 있습니다. 첫째, 측정 도구의 오류(우리의 경우 실이 있는 눈금자), 둘째, 측정하는 원이 올바른 모양을 가질 것이라는 보장이 없습니다. 따라서 수학이 정확한 측정을 할 필요가 없는 π를 계산하는 다른 많은 방법을 제공했다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

2. 라이프니츠 시리즈.파이 수를 소수 자릿수까지 정확하게 계산할 수 있는 몇 가지 무한 급수가 있습니다. 가장 간단한 급수 중 하나는 라이프니츠 급수입니다. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
간단합니다. 분자에 4가 있는 분수(맨 위에 있는 숫자)와 분모에 있는 홀수 시퀀스에서 하나의 숫자(아래에 있는 숫자)를 가져와서 서로를 순차적으로 더하고 뺍니다. 숫자 Pi를 얻습니다. 간단한 작업을 더 많이 반복하거나 반복할수록 결과가 더 정확해집니다. 간단하지만 효과적이지는 않습니다. 그런데 Pi의 정확한 값을 소수점 이하 10자리까지 얻으려면 500,000번의 반복이 필요합니다. 즉, 불행한 4를 500,000번 나누어야 하고, 여기에 더해 500,000번 얻은 결과를 빼서 더해야 합니다. 시도하고 싶습니까?

3. 닐라칸타 시리즈.다음에는 라이프니츠를 만지작거릴 시간이 없습니까? 대안이 있습니다. Nilakanta 시리즈는 조금 더 복잡하지만 원하는 결과를 더 빨리 얻을 수 있습니다. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ...위의 시리즈의 초기 단편을 주의 깊게 살펴보면 모든 것이 명확해지고 주석은 불필요하다고 생각합니다. 이것에 대해 우리는 더 나아갑니다.

4. 몬테카를로 방식파이를 계산하는 다소 흥미로운 방법은 몬테카를로 방법입니다. 그는 모나코 왕국에서 같은 이름의 도시를 기리기 위해 얻은 그런 사치스러운 이름. 그리고 그 이유는 무작위입니다. 아니요, 그것은 우연히 명명된 것이 아닙니다. 단지 방법이 난수를 기반으로 한다는 것뿐이며, 몬테카를로 카지노 룰렛에 속하는 숫자보다 더 무작위가 어디 있겠습니까? 파이 계산은 50년대에 수소 폭탄 계산에 사용되었기 때문에 이 방법의 유일한 적용은 아닙니다. 그러나 방심하지 맙시다.

한 변이 다음과 같은 정사각형을 취합시다. 2r, 그리고 그 안에 반지름을 가진 원을 새기십시오. 아르 자형. 이제 정사각형에 무작위로 점을 넣으면 확률은 피한 점이 원에 맞는다는 것은 원과 정사각형의 면적의 비율입니다. P \u003d S cr / S q \u003d 2πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

이제 여기에서 숫자 Pi를 표현합니다. π=4P. 실험 데이터를 얻고 확률 P를 원의 적중 비율로 찾는 것만 남아 있습니다. N cr광장을 치다 N제곱. 일반적으로 계산 공식은 다음과 같습니다. π=4N cr / N 제곱

이 방법을 구현하려면 카지노에 갈 필요가 없으며 어느 정도 괜찮은 프로그래밍 언어를 사용하면 충분합니다. 글쎄, 결과의 정확도는 각각 설정된 포인트의 수에 따라 다를수록 더 정확합니다. 행운을 빕니다 😉

타우 번호 (결론 대신).

수학과 거리가 먼 사람들은 대부분 모를 것입니다. 그러나 숫자 Pi에는 그보다 두 배나 큰 형제가 있습니다. 이 숫자는 Tau(τ)이고 Pi가 지름에 대한 둘레의 비율이면 Tau는 반지름에 대한 길이의 비율입니다. 그리고 오늘날 일부 수학자들은 Pi를 버리고 Tau로 바꾸라는 제안이 있습니다. 이것이 여러면에서 더 편리하기 때문입니다. 그러나 지금까지는 이것은 제안일 뿐이며 Lev Davidovich Landau는 다음과 같이 말했습니다. "기존 이론의 지지자가 죽을 때 새로운 이론이 지배하기 시작합니다."