Definizione della perpendicolare media. Quattro meravigliosi punti del triangolo

Medio perpendicolare (perpendicolare mediana o mediatrice) è una retta perpendicolare al segmento dato e passante per il suo punto medio.

Proprietà

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

dove il pedice indica il lato verso il quale è disegnata la perpendicolare,

S

è l'area del triangolo e si presume anche che i lati siano correlati da disuguaglianze

a \geqslant b \geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

In altre parole, per un triangolo, la perpendicolare mediana più piccola si riferisce al segmento centrale.

Scrivi una recensione sull'articolo "Perpendicolare media"

Appunti

Un estratto che caratterizza la bisettrice perpendicolare

Kutuzov, fermandosi a masticare, fissò Wolzogen sorpreso, come se non capisse ciò che gli veniva detto. Wolzogen, notando l'eccitazione di des alten Herrn, [il vecchio gentiluomo (tedesco)], disse con un sorriso:
- Non mi sono ritenuto autorizzato a nascondere a Vostra Grazia ciò che ho visto... Le truppe sono in completo disordine...
- Hai visto? Hai visto?.. - urlò Kutuzov accigliato, alzandosi velocemente e avanzando su Wolzogen. “Come fai... come osi...!” gridò, facendo gesti minacciosi con mani tremanti e soffocamento. - Come osi, mio caro signore, dirmi questo. Non sai niente. Dì al generale Barclay da parte mia che le sue informazioni non sono corrette e che il vero corso della battaglia è noto a me, comandante in capo, meglio di lui.
Wolzogen voleva obiettare qualcosa, ma Kutuzov lo interruppe.
- Il nemico viene respinto a sinistra e sconfitto sul fianco destro. Se non hai visto bene, caro signore, non permetterti di dire ciò che non sai. Per favore, vai dal generale Barclay e comunicagli la mia indispensabile intenzione di attaccare il nemico domani ", disse severamente Kutuzov. Tutti tacevano, e si sentiva un respiro pesante del vecchio generale senza fiato. - Respinto ovunque, per questo ringrazio Dio e il nostro coraggioso esercito. Il nemico è sconfitto e domani lo cacceremo dalla sacra terra russa, - disse Kutuzov, segnandosi; e improvvisamente scoppiò in lacrime. Wolzogen, alzando le spalle e storcendo le labbra, si fece silenziosamente da parte, meravigliandosi di uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [su questa tirannia del vecchio gentiluomo. (Tedesco)]
"Sì, eccolo qui, mio eroe", disse Kutuzov al generale grassoccio e bello dai capelli neri, che in quel momento stava entrando nel tumulo. Era Raevsky, che aveva trascorso l'intera giornata nel punto principale del campo di Borodino.
Raevsky riferì che le truppe erano saldamente al loro posto e che i francesi non osavano più attaccare. Dopo averlo ascoltato, Kutuzov ha detto in francese:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensionati? [Quindi non pensi, come gli altri, che dovremmo ritirarci?]

Istruzione

Disegna una linea attraverso i punti di intersezione dei cerchi. Hai ricevuto la bisettrice perpendicolare al segmento dato.

Ora ci diamo un punto e una retta. È necessario tracciare una perpendicolare da questo punto a Posizionare l'ago nel punto. Disegna un cerchio di raggio (il raggio deve essere compreso tra un punto e una linea in modo che il cerchio possa intersecare la linea in due punti). Ora hai due punti sulla linea. Questi punti creano una linea. Costruisci una bisettrice perpendicolare al segmento, le estremità sono i punti ottenuti, secondo l'algoritmo discusso sopra. La perpendicolare deve passare per il punto di partenza.

Costruire linee rette è la base del disegno tecnico. Ora questo viene fatto sempre più con l'aiuto di editor grafici, che offrono al designer grandi opportunità. Tuttavia, alcuni principi di costruzione rimangono gli stessi del disegno classico, usando una matita e un righello.

Avrai bisogno

- carta;
- matita;
- righello;
- computer con software AutoCAD.

Istruzione

Inizia con una build classica. Determina il piano in cui disegnerai la linea. Sia questo il piano di un foglio di carta. A seconda delle condizioni del problema, organizzare . Possono essere arbitrari, ma è possibile che venga fornito un sistema di coordinate. I punti arbitrari mettono dove ti piace di più. Etichettali A e B. Usa un righello per collegarli. Secondo l'assioma, è sempre possibile tracciare una retta passante per due punti e uno solo.

Disegna un sistema di coordinate. Ti diano i punti A (x1; y1). Per realizzarli, è necessario mettere da parte il numero richiesto lungo l'asse x e tracciare una linea retta parallela all'asse y attraverso il punto segnato. Quindi traccia un valore uguale a y1 lungo l'asse corrispondente. Disegna una perpendicolare dal punto segnato fino a quando non si interseca con. Il luogo della loro intersezione sarà il punto A. Allo stesso modo, trova il punto B, le cui coordinate possono essere indicate come (x2; y2). Collega entrambi i punti.

In AutoCAD, una linea retta può essere costruita con diversi file . La funzione "by" è generalmente impostata per impostazione predefinita. Trova la scheda "Home" nel menu in alto. Vedrai il pannello Disegno di fronte a te. Trova il pulsante con la linea retta e fai clic su di esso.

AutoCAD consente inoltre di impostare le coordinate di entrambi. Componi in basso riga di comando(_xlinea). Premere Invio. Immettere le coordinate del primo punto e premere anche invio. Definire il secondo punto allo stesso modo. Può anche essere specificato con un clic del mouse posizionando il cursore all'interno punto desiderato schermo.

In AutoCAD, puoi costruire una linea retta non solo in base a due punti, ma anche in base all'angolo di inclinazione. Dal menu contestuale Disegna, seleziona una linea retta e poi l'opzione Angolo. Il punto di partenza può essere impostato con un clic del mouse o con , come nel metodo precedente. Quindi imposta la dimensione dell'angolo e premi invio. Per impostazione predefinita, la linea sarà posizionata all'angolo desiderato rispetto all'orizzontale.

Video collegati

Su un disegno complesso (diagramma) perpendicolarità diretto e aereo determinato dalle disposizioni principali: se una parte angolo retto parallelo aereo proiezioni, quindi un angolo retto viene proiettato su questo piano senza distorsioni; se una retta è perpendicolare a due rette intersecanti aereo, è perpendicolare a questo aereo.

Avrai bisogno

Matita, righello, goniometro, triangolo.

Istruzione

Esempio: per il punto M tracciare una perpendicolare a aereo Per disegnare una perpendicolare a aereo, ci sono due linee intersecanti che giacciono in questo aereo, e costruisci una linea perpendicolare ad essi. Il frontale e l'orizzontale sono scelti come queste due linee che si intersecano. aereo.

Il frontale f(f₁f₂) è una retta giacente aereo e parallela al fronte aereo proiezioni П₂. Quindi f₂ è il suo valore naturale, e f₁ è sempre parallelo a x₁₂. Dal punto A₂ traccia h₂ parallela a x₁₂ e ottieni il punto 1₂ su B₂C₂.

Con l'aiuto di una linea di proiezione del punto di comunicazione 1₁ su В₁С₁. Connetti con A₁ - questa è h₁ - la dimensione naturale dell'orizzontale. Dal punto B₁ disegna f₁‖x₁₂, su A₁C₁ ottieni il punto 2₁. Trova il punto 2₂ su A₂C₂ usando la linea di connessione della proiezione. Connettiti con il punto B₂ - questo sarà f₂ - l'intera dimensione del fronte.

Orizzontali naturali costruiti h₁ e frontali f₂ di sporgenze della perpendicolare a aereo. Dal punto M₂, traccia la sua proiezione frontale a₂ con un angolo di 90

Ci sono i cosiddetti quattro punti notevoli in un triangolo: il punto di intersezione delle mediane. Il punto di intersezione delle bisettrici, il punto di intersezione delle altezze e il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari. Consideriamo ciascuno di essi.

Punto di intersezione delle mediane di un triangolo

Teorema 1

Sull'intersezione delle mediane di un triangolo: Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e dividono il punto di intersezione in un rapporto di $2:1$ partendo dal vertice.

Prova.

Si consideri il triangolo $ABC$, dove $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ è la sua mediana. Poiché le mediane dividono i lati a metà. Considera la linea mediana $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figura 1. Mediane di un triangolo

Per il Teorema 1, $AB||A_1B_1$ e $AB=2A_1B_1$, quindi $\angolo ABB_1=\angolo BB_1A_1,\ \angolo BAA_1=\angolo AA_1B_1$. Quindi i triangoli $ABM$ e $A_1B_1M$ sono simili nel primo somiglianza triangoli. Quindi

Allo stesso modo, è dimostrato che

Il teorema è stato dimostrato.

Punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo

Teorema 2

Sull'intersezione delle bisettrici di un triangolo: Le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto.

Prova.

Si consideri il triangolo $ABC$, dove $AM,\ BP,\ CK$ sono le sue bisettrici. Sia il punto $O$ il punto di intersezione delle bisettrici $AM\ e\ BP$. Disegna da questo punto perpendicolare ai lati del triangolo (Fig. 2).

Figura 2. Bisettrici di un triangolo

Teorema 3

Ogni punto della bisettrice di un angolo non espanso è equidistante dai suoi lati.

Per il Teorema 3, abbiamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Quindi $OY=OZ$. Quindi il punto $O$ è equidistante dai lati dell'angolo $ACB$ e giace quindi sulla sua bisettrice $CK$.

Il teorema è stato dimostrato.

Punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari di un triangolo

Teorema 4

Le bisettrici perpendicolari dei lati di un triangolo si intersecano in un punto.

Prova.

Sia dato un triangolo $ABC$, $n,\ m,\ p$ le sue bisettrici perpendicolari. Sia il punto $O$ il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari $n\ e\ m$ (Fig. 3).

Figura 3. Bisettrici perpendicolari di un triangolo

Per la dimostrazione abbiamo bisogno del seguente teorema.

Teorema 5

Ogni punto della bisettrice perpendicolare a un segmento è equidistante dalle estremità del segmento dato.

Per il Teorema 3, abbiamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Quindi $OA=OC$. Ciò significa che il punto $O$ è equidistante dalle estremità del segmento $AC$ e, quindi, giace sulla sua bisettrice perpendicolare $p$.

Il teorema è stato dimostrato.

Il punto di intersezione delle altitudini del triangolo

Teorema 6

Le altezze di un triangolo o le loro estensioni si intersecano in un punto.

Prova.

Considera il triangolo $ABC$, dove $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ è la sua altezza. Disegna una linea attraverso ciascun vertice del triangolo parallela al lato opposto al vertice. Otteniamo un nuovo triangolo $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figura 4. Altezze di un triangolo

Poiché $AC_2BC$ e $B_2ABC$ sono parallelogrammi con un lato comune, allora $AC_2=AB_2$, cioè il punto $A$ è il punto medio del lato $C_2B_2$. Allo stesso modo, otteniamo che il punto $B$ è il punto medio del lato $C_2A_2$ e il punto $C$ è il punto medio del lato $A_2B_2$. Dalla costruzione abbiamo che $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Quindi $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sono le bisettrici perpendicolari del triangolo $A_2B_2C_2$. Quindi, per il Teorema 4, abbiamo che le altezze $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ si intersecano in un punto.