Ով գիտի ամբողջ pi թիվը: pi-ի արժեքի հաշվարկ

Շրջանակի շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը բոլոր շրջանների համար նույնն է: Այս հարաբերակցությունը սովորաբար նշվում է հունարեն տառով («pi» - հունարեն բառի սկզբնական տառը , որը նշանակում էր «շրջանակ»):

Արքիմեդն իր «Շրջանակի չափումը» աշխատության մեջ հաշվարկեց շրջագծի և տրամագծի (թվի) հարաբերությունը և գտավ, որ այն գտնվում է 3 10/71 և 3 1/7 միջակայքում։

Երկար ժամանակ որպես մոտավոր արժեք օգտագործվում էր 22/7 թիվը, չնայած արդեն 5-րդ դարում Չինաստանում գտնվել է 355/113 = 3,1415929... մոտավորությունը, որը վերագտնվել է Եվրոպայում միայն 16-րդ դարում։

Հին Հնդկաստանում այն ​​համարվում էր հավասար = 3,1622…

Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ֆ.Վիետը 9 թվանշանով հաշվարկել է 1579թ.

Հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ Վան Զեյլենը 1596 թվականին հրապարակել է իր տասնամյա աշխատանքի արդյունքը՝ 32 թվանշաններով հաշվարկված թիվը։

Բայց թվի նշանակության այս բոլոր պարզաբանումները կատարվել են Արքիմեդի կողմից մատնանշված մեթոդների կիրառմամբ. շրջանագիծը փոխարինվել է բազմանկյունով՝ աճող կողմերի թվով: Ներգրված բազմանկյան պարագիծը փոքր էր շրջանագծի շրջագծից, իսկ շրջագծված բազմանկյան պարագիծը ավելի մեծ էր։ Բայց միևնույն ժամանակ անհասկանալի մնաց՝ թիվը ռացիոնալ է, այսինքն՝ երկու ամբողջ թվերի հարաբերակցություն, թե իռացիոնալ։

Միայն 1767 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Ի.Գ. Լամբերտն ապացուցեց, որ թիվը իռացիոնալ է։

Եվ ավելի քան հարյուր տարի անց՝ 1882 թվականին, մեկ այլ գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆ.Լինդեմանը ապացուցեց դրա գերազանցությունը, ինչը նշանակում էր կողմնացույցի և քանոնի միջոցով տվյալ շրջանագծին հավասար քառակուսի կառուցելու անհնարինությունը։

Ամենապարզ չափումը

Հաստ ստվարաթղթի վրա գծեք տրամագծով շրջան դ(=15 սմ), կտրեք ստացված շրջանակը և բարակ թելով փաթաթեք դրա շուրջը։ Երկարության չափում լ(=46,5 սմ)թելի մեկ ամբողջական պտույտ, բաժանել լ տրամագծով երկարությամբ դ շրջանակներ. Ստացված գործակիցը կլինի թվի մոտավոր արժեքը, այսինքն. = լ/ դ= 46,5 սմ / 15 սմ = 3,1. Այս բավականին կոպիտ մեթոդը նորմալ պայմաններում տալիս է 1-ի ճշգրիտ թվի մոտավոր արժեքը:

Չափում կշռման միջոցով

Ստվարաթղթի վրա քառակուսի նկարեք: Եկեք դրա մեջ շրջան գրենք։ Եկեք կտրենք քառակուսի: Դպրոցական կշեռքներով որոշենք ստվարաթղթե քառակուսու զանգվածը: Եկեք քառակուսիից շրջան կտրենք։ Եկեք նրան էլ կշռենք։ Ճանաչելով հրապարակի զանգվածներին մ քառ. (=10 գ)և դրա մեջ մակագրված շրջանը մ կր (=7,8 գ)եկեք օգտագործենք բանաձևերը

որտեղ p և հ- ստվարաթղթի խտությունը և հաստությունը, համապատասխանաբար, Ս- գործչի տարածքը. Դիտարկենք հավասարությունները.

Բնականաբար, այս դեպքում մոտավոր արժեքը կախված է կշռման ճշգրտությունից։ Եթե ​​կշռվող ստվարաթղթե թվերը բավականին մեծ են, ապա նույնիսկ սովորական կշեռքների վրա կարելի է ձեռք բերել այնպիսի զանգվածային արժեքներ, որոնք կապահովեն թվի մոտարկումը 0,1 ճշգրտությամբ։

Կիսաշրջանով մակագրված ուղղանկյունների մակերեսների ամփոփում

Նկար 1

Թող A (a; 0), B (b; 0): Եկեք նկարագրենք AB-ի կիսաշրջանը որպես տրամագիծ: AB հատվածը բաժանեք n հավասար մասերի x 1, x 2, ..., x n-1 կետերով և դրանցից վերականգնեք ուղղահայացները մինչև կիսաշրջանի հետ հատումը: Յուրաքանչյուր նման ուղղահայաց երկարությունը f(x)= ֆունկցիայի արժեքն է։ Նկար 1-ից պարզ է դառնում, որ կիսաշրջանի S մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

Մեր դեպքում b=1, a=-1. Հետո = 2 Ս.

Որքան շատ լինեն բաժանման կետերը AB հատվածում, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինեն արժեքները: Միապաղաղ հաշվողական աշխատանքը հեշտացնելու համար կօգնի համակարգիչը, որի համար BASIC-ում կազմված 1 ծրագիրը տրված է ստորև։

Ծրագիր 1

REM «Pi հաշվարկ»
REM «Ուղղանկյունի մեթոդ»
INPUT «Մուտքագրեք ուղղանկյունների թիվը», n
dx = 1 / n
ՀԱՄԱՐ i = 0-ից n - 1
f = SQR (1 - x^2)
x = x + dx
a = a + f
ՀԱՋՈՐԴ i
p = 4 * dx * a
PRINT «Pi-ի արժեքը» է, էջ
ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է տարբեր պարամետրերի արժեքներով n. Ստացված թվերի արժեքները գրված են աղյուսակում.

Մոնտե Կառլոյի մեթոդ

Սա իրականում վիճակագրական փորձարկման մեթոդ է: Այն իր էկզոտիկ անվանումը ստացել է Մոնակոյի Իշխանության Մոնտե Կառլո քաղաքից, որը հայտնի է իր խաղատներով։ Բանն այն է, որ մեթոդը պահանջում է պատահական թվերի օգտագործում, իսկ պատահական թվեր գեներացնող ամենապարզ սարքերից մեկը ռուլետկան է։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք պատահական թվեր ստանալ՝ օգտագործելով...անձրևը:

Փորձի համար պատրաստենք ստվարաթուղթ, վրան քառակուսի գծենք և քառակուսի շրջան գրենք քառակուսու մեջ։ Եթե ​​նման նկարը որոշ ժամանակ պահվի անձրեւի տակ, ապա դրա մակերեսին կմնան կաթիլների հետքերը։ Եկեք հաշվենք քառակուսի և քառորդ շրջանի ներսում գծերի քանակը: Ակնհայտ է, որ դրանց հարաբերակցությունը մոտավորապես հավասար կլինի այս թվերի տարածքների հարաբերակցությանը, քանի որ նույն հավանականությամբ կաթիլները կնվազեն գծագրի տարբեր վայրերում: Թող N քր- շրջանի մեջ կաթիլների քանակը, N քառ.կաթիլների թիվը քառակուսի է, ապա

4 N cr / N քառ.

Նկար 2

Անձրևը կարելի է փոխարինել պատահական թվերի աղյուսակով, որը կազմվում է հատուկ ծրագրի միջոցով համակարգչի միջոցով։ Եկեք երկու պատահական թիվ վերագրենք կաթիլների յուրաքանչյուր հետքին՝ բնութագրելով դրա դիրքը առանցքների երկայնքով Օ՜Եվ OU. Պատահական թվերը կարելի է ընտրել աղյուսակից ցանկացած հերթականությամբ, օրինակ՝ անընդմեջ: Թողեք աղյուսակի առաջին քառանիշ թիվը 3265 . Դրանից դուք կարող եք պատրաստել զույգ թվեր, որոնցից յուրաքանչյուրը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր. x=0.32, y=0.65. Այս թվերը մենք կհամարենք անկման կոորդինատներ, այսինքն՝ անկումը կարծես թե հասել է կետին (0.32; 0.65): Մենք նույնն ենք անում բոլոր ընտրված պատահական թվերի հետ: Եթե ​​պարզվի, որ այդ կետի համար (x;y)Եթե ​​անհավասարությունը պահպանվում է, ապա այն գտնվում է շրջանագծից դուրս: Եթե x + y = 1, ապա կետը գտնվում է շրջանագծի ներսում:

Արժեքը հաշվարկելու համար մենք կրկին օգտագործում ենք բանաձևը (1): Այս մեթոդի օգտագործմամբ հաշվարկի սխալը սովորաբար համաչափ է, որտեղ D-ն հաստատուն է, իսկ N-ը՝ թեստերի քանակը: Մեր դեպքում N = N քառ. Այս բանաձևից պարզ է. սխալը 10 անգամ նվազեցնելու համար (այլ կերպ ասած՝ պատասխանում մեկ այլ ճիշտ տասնորդական տեղ ստանալու համար), պետք է 100 անգամ ավելացնել N-ը, այսինքն՝ աշխատանքի ծավալը։ Հասկանալի է, որ Մոնտե Կառլոյի մեթոդի կիրառումը հնարավոր է դարձել միայն համակարգիչների շնորհիվ։ Ծրագիր 2-ն իրականացնում է նկարագրված մեթոդը համակարգչի վրա:

Ծրագիր 2

REM «Pi հաշվարկ»
REM «Մոնտե Կառլոյի մեթոդ»
INPUT «Մուտքագրեք կաթիլների քանակը», n
մ = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT (t\100)
y = t - x * 100
ԵԹԵ x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
ՀԱՋՈՐԴ i
p=4*m/n

ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է n պարամետրի տարբեր արժեքներով: Ստացված թվերի արժեքները գրված են աղյուսակում.

n
n

Ընկնող ասեղի մեթոդ

Վերցնենք սովորական կարի ասեղ և թղթի թերթիկ։ Թերթի վրա մի քանի զուգահեռ գծեր ենք գծելու, որպեսզի նրանց միջև հեռավորությունները հավասար լինեն և գերազանցեն ասեղի երկարությունը։ Նկարը պետք է բավականաչափ մեծ լինի, որպեսզի պատահաբար նետված ասեղը չընկնի իր սահմաններից դուրս: Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. Ա- գծերի միջև հեռավորությունը, լ- ասեղի երկարությունը.

Նկար 3

Նկարի վրա պատահականորեն նետված ասեղի դիրքը (տե՛ս նկ. 3) որոշվում է X հեռավորությամբ նրա մեջտեղից մինչև մոտակա ուղիղ գիծը և j անկյան տակ, որը ասեղն անում է ասեղի մեջտեղից դեպի իջած ուղղահայացով: մոտակա ուղիղ գիծ (տես նկ. 4): Պարզ է, որ

Նկար 4

Նկ. 5 եկեք գրաֆիկորեն ներկայացնենք ֆունկցիան y=0.5cos. Բոլոր հնարավոր ասեղների տեղադրությունները բնութագրվում են կոորդինատներով կետերով (; y), որը գտնվում է ABCD հատվածում: AED-ի ստվերային տարածքը այն կետերն են, որոնք համապատասխանում են այն դեպքին, երբ ասեղը հատում է ուղիղ գիծը: Իրադարձության հավանականությունը ա- «ասեղը հատել է ուղիղ գիծը» - հաշվարկվում է բանաձևով.

Նկար 5

Հավանականություն p(a)կարելի է մոտավորապես որոշել ասեղը բազմիցս նետելով: Թող ասեղը նետվի նկարի վրա գմեկ անգամ և էջքանի որ այն ընկել է ուղիղ գծերից մեկն անցնելիս, այնուհետև բավական մեծ գմենք ունենք p(a) = p/c. Այստեղից = 2 լ վ / ա կ.

Մեկնաբանություն. Ներկայացված մեթոդը վիճակագրական փորձարկման մեթոդի տատանումն է: Այն հետաքրքիր է դիդակտիկ տեսանկյունից, քանի որ օգնում է համատեղել պարզ փորձը բավականին բարդ մաթեմատիկական մոդելի ստեղծման հետ։

Հաշվարկ՝ օգտագործելով Թեյլորի շարքը

Անդրադառնանք կամայական ֆունկցիայի դիտարկմանը f(x).Եկեք ենթադրենք, որ դա նրա համար է կետում x 0կան բոլոր պատվերների ածանցյալները մինչև nներառյալ։ Այնուհետև ֆունկցիայի համար f(x)մենք կարող ենք գրել Թեյլորի շարքը.

Այս շարքի օգտագործմամբ հաշվարկներն ավելի ճշգրիտ կլինեն, որքան շատ անդամներ ներգրավվեն: Լավագույնն, իհարկե, այս մեթոդն իրականացնել համակարգչում, որի համար կարող եք օգտագործել 3-րդ ծրագիրը:

Ծրագիր 3

REM «Pi հաշվարկ»
REM «Թեյլորի սերիայի ընդլայնում»
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * դ
a = a + f
ՀԱՋՈՐԴ i
p = 4 * ա
PRINT «pi-ի արժեքը հավասար է»; էջ
ՎԵՐՋ

Ծրագիրը մուտքագրվել և գործարկվել է n պարամետրի տարբեր արժեքների համար: Ստացված թվերի արժեքները գրված են աղյուսակում.

Թվի իմաստը հիշելու համար կան շատ պարզ մնեմոնիկ կանոններ.

Մաթեմատիկայի սիրահարներն ամբողջ աշխարհում ամեն տարի մարտի 14-ին ուտում են մի կտոր կարկանդակ, ի վերջո, դա Pi-ի օրն է՝ ամենահայտնի իռացիոնալ թիվը: Այս ամսաթիվն ուղղակիորեն կապված է այն թվի հետ, որի առաջին նիշերն են 3.14: Pi-ը շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունն է: Քանի որ դա իռացիոնալ է, անհնար է այն գրել որպես կոտորակ: Սա անսահման երկար թիվ է։ Այն հայտնաբերվել է հազարավոր տարիներ առաջ և այդ ժամանակից ի վեր մշտապես ուսումնասիրվել է, բայց արդյոք Պին դեռևս գաղտնիքներ ունի: Հնագույն ծագումից մինչև անորոշ ապագա, ահա ամենահետաքրքիր փաստերը Պիի մասին:

Անգիր անելով Պի

Տասնորդական թվեր մտապահելու ռեկորդը պատկանում է հնդիկ Ռաջվիր Մեենային, ով կարողացել է հիշել 70000 թվանշան՝ նա ռեկորդ է սահմանել 2015 թվականի մարտի 21-ին։ Նախկինում ռեկորդակիրը չինացի Չաո Լուն էր, ով կարողացել է հիշել 67890 նիշ՝ այս ռեկորդը սահմանվել է 2005 թվականին։ Ոչ պաշտոնական ռեկորդակիրը Ակիրա Հարագուչին է, ով 2005 թվականին իրեն տեսագրել է 100000 թվանշան կրկնող տեսանյութ և վերջերս հրապարակել է մի տեսանյութ, որտեղ կարողանում է հիշել 117000 թվանշան։ Ռեկորդը պաշտոնական կդառնար միայն այն դեպքում, եթե այս տեսահոլովակը ձայնագրվեր Գինեսի ռեկորդների գրքի ներկայացուցչի ներկայությամբ, և առանց հաստատման այն մնա միայն տպավորիչ փաստ, բայց ձեռքբերում չհամարվի։ Մաթեմատիկայի սիրահարները սիրում են անգիր անել Pi թիվը: Շատ մարդիկ օգտագործում են տարբեր մնեմոնիկ տեխնիկա, օրինակ՝ պոեզիա, որտեղ յուրաքանչյուր բառի տառերի թիվը համապատասխանում է Pi-ի թվանշաններին: Յուրաքանչյուր լեզու ունի նմանատիպ արտահայտությունների իր տարբերակները, որոնք օգնում են ձեզ հիշել ինչպես առաջին մի քանի թվերը, այնպես էլ ամբողջ հարյուրը:

Գոյություն ունի Pi լեզու

Գրականությամբ կրքոտ մաթեմատիկոսները հորինել են մի բարբառ, որտեղ բոլոր բառերում տառերի թիվը համապատասխանում է Pi-ի թվանշաններին ճշգրիտ հերթականությամբ։ Գրող Մայք Քիթը նույնիսկ գիրք է գրել՝ Not a Wake, որն ամբողջությամբ գրված է Pi-ով: Նման ստեղծագործության սիրահարներն իրենց աշխատանքները գրում են տառերի քանակին և թվերի նշանակությանը լիովին համապատասխան: Սա գործնական կիրառություն չունի, բայց բավականին տարածված ու հայտնի երեւույթ է խանդավառ գիտնականների շրջանակներում։

Էքսպոնենցիալ աճ

Pi-ն անսահման թիվ է, ուստի, ըստ սահմանման, մարդիկ երբեք չեն կարողանա հաստատել այս թվի ճշգրիտ թվանշանները: Այնուամենայնիվ, տասնորդական վայրերի թիվը մեծապես աճել է Pi-ի առաջին օգտագործման պահից: Բաբելոնացիները նույնպես օգտագործում էին այն, բայց նրանց համար բավարար էր երեք ամբողջական և մեկ ութերորդ մասը։ Չինացիներն ու Հին Կտակարանը ստեղծողները լիովին սահմանափակվել են երեքով. 1665 թվականին սըր Իսահակ Նյուտոնը հաշվարկել էր Pi-ի 16 թվանշանները։ 1719 թվականին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Թոմ Ֆանտե դե Լագնին հաշվարկել էր 127 թվանշան։ Համակարգիչների հայտնվելը արմատապես բարելավել է մարդու գիտելիքները Pi-ի մասին: 1949-1967 թվականներին մարդուն հայտնի թվանշանների թիվը 2037-ից հասել է 500000-ի: Ոչ վաղ անցյալում շվեյցարացի գիտնական Փիթեր Թրուբը կարողացավ հաշվարկել Pi-ի 2,24 տրիլիոն նիշ: Այն տեւեց 105 օր։ Իհարկե, սա սահմանը չէ։ Հավանական է, որ տեխնոլոգիայի զարգացման հետ մեկտեղ հնարավոր կլինի նույնիսկ ավելի ճշգրիտ ցուցանիշ հաստատել. քանի որ Pi-ն անսահման է, ճշգրտության սահմանափակում պարզապես չկա, և միայն համակարգչային տեխնոլոգիայի տեխնիկական հատկանիշները կարող են սահմանափակել այն:

Pi-ի ձեռքով հաշվարկ

Եթե ​​ցանկանում եք ինքներդ գտնել համարը, կարող եք օգտագործել հնաոճ տեխնիկան՝ ձեզ հարկավոր կլինի քանոն, բանկա և մի թել, կամ կարող եք օգտագործել անկյունաչափ և մատիտ: Պահածոյի օգտագործման բացասական կողմն այն է, որ այն պետք է լինի կլոր, և ճշգրտությունը կորոշվի նրանով, թե որքան լավ է մարդը կարող պարանը փաթաթել դրա շուրջը: Դուք կարող եք շրջանագիծ նկարել անկյունաչափով, բայց դա նաև հմտություն և ճշգրտություն է պահանջում, քանի որ անհավասար շրջանագիծը կարող է լրջորեն խեղաթյուրել ձեր չափումները: Ավելի ճշգրիտ մեթոդը ներառում է երկրաչափության օգտագործումը: Շրջանակը բաժանեք շատ հատվածների, ինչպես պիցցաը կտորների, ապա հաշվարկեք ուղիղ գծի երկարությունը, որը յուրաքանչյուր հատվածը կվերածի հավասարաչափ եռանկյունու: Կողմերի գումարը կտա մոտավոր Pi թիվը: Որքան շատ հատվածներ օգտագործեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի թիվը: Իհարկե, ձեր հաշվարկներում դուք չեք կարողանա մոտենալ համակարգչի արդյունքներին, սակայն այս պարզ փորձերը թույլ են տալիս ավելի մանրամասն հասկանալ, թե որն է Pi թիվը և ինչպես է այն օգտագործվում մաթեմատիկայի մեջ:

Պիի հայտնաբերումը

Հին բաբելոնացիները Pi թվի գոյության մասին գիտեին արդեն չորս հազար տարի առաջ։ Բաբելոնյան տախտակները Pi-ն հաշվարկում են 3,125, իսկ եգիպտական ​​մաթեմատիկական պապիրուսը ցույց է տալիս 3,1605 թիվը։ Աստվածաշնչում Pi-ն տրված է հնացած կանգունների երկարությամբ, իսկ հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդը օգտագործել է Պյութագորասի թեորեմը՝ երկրաչափական հարաբերություն եռանկյան կողմերի երկարության և շրջանակների ներսում և դրսում գտնվող պատկերների մակերեսի միջև։ նկարագրել Պի. Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ Pi-ն ամենահին մաթեմատիկական հասկացություններից մեկն է, թեև այս թվի ճշգրիտ անվանումը հայտնվել է համեմատաբար վերջերս:

Նոր հայացք Pi

Նույնիսկ մինչ Pi թիվը կսկսեր փոխկապակցվել շրջանակների հետ, մաթեմատիկոսներն արդեն ունեին այս թիվը նույնիսկ անվանելու բազմաթիվ եղանակներ: Օրինակ՝ հնագույն մաթեմատիկայի դասագրքերում կարելի է գտնել լատիներեն արտահայտություն, որը կարելի է մոտավորապես թարգմանել որպես «այն մեծություն, որը ցույց է տալիս երկարությունը, երբ տրամագիծը բազմապատկվում է դրանով»։ Իռացիոնալ թիվը հայտնի դարձավ, երբ շվեյցարացի գիտնական Լեոնհարդ Էյլերը օգտագործեց այն եռանկյունաչափության իր աշխատության մեջ 1737 թվականին։ Այնուամենայնիվ, Պիի համար հունարեն խորհրդանիշը դեռևս չէր օգտագործվում. դա տեղի է ունեցել միայն ավելի քիչ հայտնի մաթեմատիկոս Ուիլյամ Ջոնսի գրքում: Նա այն օգտագործել է արդեն 1706 թվականին, բայց երկար ժամանակ աննկատ մնաց։ Ժամանակի ընթացքում գիտնականներն ընդունեցին այս անվանումը, և այժմ այն ​​անվան ամենահայտնի տարբերակն է, թեև նախկինում այն ​​կոչվում էր նաև Լյուդոլֆի համար։

Արդյո՞ք Pi-ը նորմալ թիվ է:

Pi-ն հաստատ տարօրինակ թիվ է, բայց որքանո՞վ է այն հետևում նորմալ մաթեմատիկական օրենքներին: Գիտնականներն արդեն լուծել են այս իռացիոնալ թվի հետ կապված բազմաթիվ հարցեր, սակայն որոշ առեղծվածներ դեռևս մնում են: Օրինակ, հայտնի չէ, թե որքան հաճախ են օգտագործվում բոլոր թվերը. 0-ից 9 թվերը պետք է օգտագործվեն հավասար համամասնությամբ: Այնուամենայնիվ, վիճակագրությունը կարելի է հետևել առաջին տրիլիոն թվերից, սակայն թվի անսահման լինելու պատճառով անհնար է որևէ բան հաստատապես ապացուցել։ Կան այլ խնդիրներ, որոնք դեռևս խուսափում են գիտնականներից: Հնարավոր է, որ գիտության հետագա զարգացումը օգնի լույս սփռել դրանց վրա, սակայն այս պահին այն դուրս է մնում մարդկային բանականության շրջանակներից։

Pi-ն աստվածային է հնչում

Գիտնականները չեն կարողանում պատասխանել Pi թվի վերաբերյալ որոշ հարցերի, սակայն ամեն տարի ավելի ու ավելի լավ են հասկանում դրա էությունը։ Արդեն տասնութերորդ դարում ապացուցվեց այս թվի իռացիոնալությունը։ Բացի այդ, ապացուցված է, որ թիվը տրանսցենդենտալ է: Սա նշանակում է, որ չկա որևէ հատուկ բանաձև, որը թույլ է տալիս հաշվարկել Pi-ը՝ օգտագործելով ռացիոնալ թվեր։

Դժգոհություն Pi թվից

Շատ մաթեմատիկոսներ պարզապես սիրահարված են Պիին, բայց կան նաև այնպիսիք, ովքեր կարծում են, որ այդ թվերն առանձնապես նշանակալից չեն։ Բացի այդ, նրանք պնդում են, որ Tau-ն, որը երկու անգամ մեծ է Pi-ից, ավելի հարմար է օգտագործել որպես իռացիոնալ թիվ։ Տաուն ցույց է տալիս շրջագծի և շառավիղի փոխհարաբերությունը, որը, ոմանց կարծիքով, ավելի տրամաբանական հաշվարկման մեթոդ է: Այնուամենայնիվ, անհնար է միանշանակորեն որևէ բան որոշել այս հարցում, և մեկը և մյուսը միշտ կունենան համախոհներ, երկու մեթոդներն էլ կյանքի իրավունք ունեն, ուստի սա պարզապես հետաքրքիր փաստ է, և ոչ թե պատճառ մտածելու, որ չպետք է. օգտագործեք Pi թիվը:

Շատ դարեր և նույնիսկ տարօրինակ կերպով հազարամյակներ մարդիկ հասկացել են մաթեմատիկական հաստատունի կարևորությունն ու արժեքը գիտության համար, որը հավասար է շրջանագծի շրջագծի և դրա տրամագծի հարաբերությանը: Pi թիվը դեռևս անհայտ է, բայց մեր պատմության լավագույն մաթեմատիկոսները դրանով են զբաղվել: Նրանցից շատերը ցանկանում էին դա արտահայտել որպես ռացիոնալ թիվ։

1. Հետազոտողները և Pi թվի իսկական երկրպագուները ակումբ են կազմակերպել, որին միանալու համար պետք է անգիր իմանալ դրա նշանների բավականին մեծ թիվը։

2. 1988 թվականից սկսած նշվում է «Pi Day»-ը, որը նշվում է մարտի 14-ին։ Նրա պատկերով աղցաններ, տորթեր, թխվածքաբլիթներ, խմորեղեն են պատրաստում։

3. Pi համարն արդեն երաժշտություն է դրված, և այն բավականին լավ է հնչում։ Նրան նույնիսկ հուշարձան են կանգնեցրել Ամերիկայի Սիեթլ քաղաքում՝ քաղաքի Արվեստի թանգարանի դիմաց։

Այդ հեռավոր ժամանակ նրանք փորձեցին հաշվարկել Pi թիվը՝ օգտագործելով երկրաչափությունը։ Այն փաստը, որ այս թիվը հաստատուն է տարբեր շրջանակների համար, հայտնի է եղել Հին Եգիպտոսի, Բաբելոնի, Հնդկաստանի և Հին Հունաստանի երկրաչափերի կողմից, ովքեր իրենց աշխատություններում նշել են, որ այն երեքից մի փոքր ավելի է:

Ջայնիզմի (հին հնդկական կրոն, որն առաջացել է մ.թ.ա. 6-րդ դարում) սուրբ գրքերից մեկում նշվում է, որ այն ժամանակ Պի թիվը համարվում էր հավասար տասի քառակուսի արմատին, որն ի վերջո տալիս է 3.162... ։

Հին հույն մաթեմատիկոսները շրջանագիծը չափում էին հատված կառուցելով, սակայն շրջանագիծը չափելու համար նրանք պետք է կառուցեին հավասար քառակուսի, այսինքն՝ դրան հավասար մակերեսով պատկեր։

Երբ տասնորդական կոտորակները դեռ հայտնի չէին, մեծ Արքիմեդը 99,9% ճշգրտությամբ գտավ Pi-ի արժեքը: Նա հայտնաբերեց մի մեթոդ, որը հիմք դարձավ հետագա բազմաթիվ հաշվարկների համար՝ շրջանագծի մեջ մակագրելով կանոնավոր բազմանկյունները և նկարագրելով այն դրա շուրջը։ Արդյունքում Արքիմեդը հաշվարկեց Pi-ի արժեքը որպես 22 / 7 ≈ 3,142857142857143 հարաբերակցություն:

Չինաստանում մաթեմատիկոս և պալատական ​​աստղագետ Ցու Չոնչժին մ.թ.ա. 5-րդ դարում։ ե. նշանակեց ավելի ճշգրիտ արժեք Pi-ի համար՝ այն հաշվարկելով յոթ տասնորդական թվերով և որոշեց դրա արժեքը 3, 1415926 և 3.1415927 թվերի միջև: Այս թվային շարքը շարունակելու համար գիտնականներից պահանջվել է ավելի քան 900 տարի:

Միջին դարեր

Հայտնի հնդիկ գիտնական Մադավան, ով ապրել է 14-15-րդ դարերի վերջում և դարձել Կերալայի աստղագիտության և մաթեմատիկայի դպրոցի հիմնադիրը, պատմության մեջ առաջին անգամ սկսել է աշխատել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների շարքերի ընդլայնման վրա: Ճիշտ է, նրա գործերից միայն երկուսն են պահպանվել, իսկ մյուսներին հայտնի են միայն նրա ուսանողների հղումներն ու մեջբերումները։ «Մահաջյանայանա» գիտական ​​տրակտատում, որը վերագրվում է Մադհավային, նշվում է, որ Pi թիվը 3,14159265359 է։ Իսկ «Սադրաթնամալա» տրակտատում էլ ավելի ճշգրիտ տասնորդական թվերով տրված է թիվ՝ 3,14159265358979324։ Տրված թվերում վերջին թվանշանները չեն համապատասխանում ճիշտ արժեքին։

15-րդ դարում Սամարղանդի մաթեմատիկոս և աստղագետ Ալ-Կաշին հաշվարկել է Pi թիվը տասնվեց տասնորդական թվերով։ Նրա արդյունքը համարվում էր ամենաճշգրիտը հաջորդ 250 տարիների ընթացքում։

Անգլիացի մաթեմատիկոս Վ. Ջոնսոնն առաջիններից էր, ով շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը նշեց π տառով։ Pi-ն հունարեն «περιφέρεια» բառի առաջին տառն է՝ շրջան։ Բայց այս անվանումը կարողացավ դառնալ ընդհանուր ընդունված միայն այն բանից հետո, երբ այն օգտագործվեց 1736 թվականին առավել հայտնի գիտնական Լ. Էյլերի կողմից:

Եզրակացություն

Ժամանակակից գիտնականները շարունակում են աշխատել Pi-ի արժեքների հետագա հաշվարկների վրա: Դրա համար արդեն օգտագործվում են սուպերհամակարգիչներ: 2011 թվականին Շիգերու Կոնդոյի գիտնականը, համագործակցելով ամերիկացի ուսանող Ալեքսանդր Յիի հետ, ճիշտ հաշվարկել է 10 տրիլիոն թվանշանների հաջորդականությունը։ Բայց դեռ պարզ չէ, թե ով է հայտնաբերել Pi թիվը, ով առաջինը մտածել է այս խնդրի մասին և կատարել այս իսկապես առեղծվածային թվի առաջին հաշվարկները։

Վերջերս Habré-ում, մի հոդվածում նրանք նշեցին «Ի՞նչ կլիներ աշխարհի հետ, եթե Pi թիվը հավասար 4-ի» հարցը: Որոշեցի մի փոքր մտածել այս թեմայի շուրջ՝ օգտագործելով մաթեմատիկայի համապատասխան ոլորտների որոշ (թեկուզ ոչ ամենածավալուն) գիտելիքները։ Եթե ​​որևէ մեկին հետաքրքրում է, խնդրում եմ, տեսեք կատվին:

Նման աշխարհ պատկերացնելու համար հարկավոր է մաթեմատիկորեն գիտակցել շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի այլ հարաբերակցությամբ տարածություն: Սա այն է, ինչ ես փորձեցի անել:

Փորձ թիվ 1.

Անմիջապես ասենք, որ ես կդիտարկեմ միայն երկչափ տարածությունները: Ինչո՞ւ։ Որովհետև շրջանագիծը, ըստ էության, սահմանվում է երկչափ տարածության մեջ (եթե դիտարկենք n>2 չափը, ապա (n-1)-չափ շրջանակի չափի հարաբերությունը նրա շառավղին նույնիսկ հաստատուն չի լինի) .
Այսպիսով, սկզբից ես փորձեցի գոնե ինչ-որ տարածություն գտնել, որտեղ Pi-ն հավասար չէ 3,1415-ի... Դա անելու համար վերցրեցի մետրային տարածություն մետրիկով, որտեղ երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է առավելագույնին: կոորդինատների տարբերության մոդուլների շարքում (այսինքն, Չեբիշևի հեռավորությունը):

Ի՞նչ ձև կունենա միավորի շրջանագիծն այս տարածության մեջ: Վերցնենք (0,0) կոորդինատներով կետը որպես այս շրջանագծի կենտրոն։ Այնուհետև կետերի բազմությունը, հեռավորությունը (տվյալ չափման իմաստով), որից մինչև կենտրոն 1 է, կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ 4 հատված է՝ 2-րդ կողմով և կենտրոնը զրոյի վրա կազմելով քառակուսի։

Այո, որոշ չափումների մեջ դա շրջան է:

Եկեք այստեղ հաշվարկենք Pi-ն: Շառավիղը հավասար է 1-ի, այնուհետև տրամագիծը, համապատասխանաբար, հավասար է 2-ի: Դուք կարող եք նաև համարել տրամագծի սահմանումը որպես ամենամեծ հեռավորություն երկու կետերի միջև, բայց նույնիսկ այդ դեպքում այն ​​հավասար է 2-ի: Մնում է գտնել տրամագծի երկարությունը: մեր «շրջանակը» այս չափման մեջ: Սա բոլոր չորս հատվածների երկարությունների գումարն է, որոնք այս մետրում ունեն առավելագույն երկարություն max(0,2)=2: Սա նշանակում է, որ շրջագիծը 4*2=8 է: Դե, ուրեմն Pi-ն այստեղ հավասար է 8/2=4: Տեղի է ունեցել! Բայց պե՞տք է շատ ուրախանանք։ Այս արդյունքը գործնականում անօգուտ է, քանի որ խնդրո առարկա տարածությունը բացարձակապես վերացական է, անկյուններն ու շրջադարձերը նույնիսկ դրանում սահմանված չեն։ Պատկերացնու՞մ եք մի աշխարհ, որտեղ պտույտը իրականում սահմանված չէ, և որտեղ շրջանագիծը քառակուսի է: Փորձեցի, անկեղծ ասած, բայց երևակայությունը չհերիքեց։

Շառավիղը 1 է, բայց այս «շրջանակի» երկարությունը գտնելու որոշ դժվարություններ կան։ Ինտերնետում որոշ փնտրտուքներից հետո ես եկա այն եզրակացության, որ կեղծ-էվկլիդեսյան տարածության մեջ «Pi» հասկացությունն ընդհանրապես չի կարող սահմանվել, ինչը, իհարկե, վատ է:

Եթե ​​մեկնաբանություններում ինչ-որ մեկն ինձ ասի, թե ինչպես կարելի է պաշտոնապես հաշվարկել կորի երկարությունը կեղծ-էվկլիդյան տարածության մեջ, ես շատ ուրախ կլինեմ, քանի որ դիֆերենցիալ երկրաչափության, տոպոլոգիայի (ինչպես նաև ջանասիրաբար Գուգլի) իմ գիտելիքները բավարար չէին դրա համար:

Եզրակացություններ.

Չգիտեմ՝ կարելի՞ է նման կարճաժամկետ ուսումնասիրություններից հետո եզրակացությունների մասին գրել, բայց ինչ-որ բան կարելի է ասել։ Նախ, երբ փորձեցի պատկերացնել տարածությունը pi-ի այլ թվով, հասկացա, որ չափազանց վերացական կլիներ իրական աշխարհի մոդել լինելը: Երկրորդ, երբ փորձեք ավելի հաջող մոդել ստեղծել (նման է մեր իրական աշխարհին), ապա պարզվում է, որ Pi թիվը կմնա անփոփոխ։ Եթե ​​հաշվի առնենք բացասական քառակուսի հեռավորության հնարավորությունը (ինչը սովորական մարդու համար ուղղակի անհեթեթ է), ապա Pi-ն ընդհանրապես չի սահմանվի: Այս ամենը հուշում է, որ միգուցե Պի այլ թվով աշխարհ ընդհանրապես գոյություն ունենալ չի՞ կարող: Իզուր չէ, որ Տիեզերքն այնպիսին է, ինչպիսին կա։ Կամ գուցե սա իրական է, բայց սրա համար սովորական մաթեմատիկան, ֆիզիկան և մարդկային երևակայությունը բավարար չեն։ Ինչ ես կարծում?

ԹարմացնելԵս հաստատ իմացա. Կեղծէվկլիդեսյան տարածության կորի երկարությունը կարող է որոշվել միայն նրա էվկլիդեսյան որոշ ենթատարածությունների վրա։ Այսինքն, մասնավորապես, N3 փորձով ստացված «շրջագծի» համար «երկարություն» հասկացություն ընդհանրապես սահմանված չէ։ Համապատասխանաբար, Pi-ն այնտեղ նույնպես չի կարող հաշվարկվել։

Ինչի է հավասար Pi-ն:մենք գիտենք ու հիշում ենք դպրոցից: Այն հավասար է 3,1415926-ի և այլն... Բավական է, որ հասարակ մարդն իմանա, որ այս թիվը ստացվում է շրջանագծի շրջագիծը տրամագծի վրա բաժանելով։ Բայց շատերը գիտեն, որ Pi թիվը հայտնվում է ոչ միայն մաթեմատիկայի և երկրաչափության, այլև ֆիզիկայի անսպասելի ոլորտներում: Դե, եթե խորանաք այս թվի բնույթի մանրամասների մեջ, թվերի անվերջ շարքի մեջ շատ զարմանալի բաներ կնկատեք։ Հնարավո՞ր է, որ Պին թաքցնում է տիեզերքի ամենախոր գաղտնիքները:

Անսահման թիվ

Pi թիվը ինքնին հայտնվում է մեր աշխարհում որպես շրջանագծի երկարություն, որի տրամագիծը հավասար է մեկի: Բայց, չնայած այն հանգամանքին, որ Pi-ին հավասար հատվածը բավականին վերջավոր է, Pi թիվը սկսվում է որպես 3.1415926 և գնում է դեպի անվերջություն այն թվերի շարքերում, որոնք երբեք չեն կրկնվում: Առաջին զարմանալի փաստն այն է, որ այս թիվը, որն օգտագործվում է երկրաչափության մեջ, չի կարող արտահայտվել որպես ամբողջ թվերի կոտորակ: Այլ կերպ ասած, դուք չեք կարող դա գրել որպես երկու թվերի հարաբերակցություն a/b: Բացի այդ, Pi թիվը տրանսցենդենտալ է: Սա նշանակում է, որ չկա ամբողջ թվային գործակիցներով հավասարում (բազմանդամ), որի լուծումը կլինի Pi թիվը։

Այն, որ Pi թիվը տրանսցենդենտալ է, ապացուցվել է 1882 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Հենց այս ապացույցը դարձավ այն հարցի պատասխանը, թե հնարավո՞ր է կողմնացույցի և քանոնի միջոցով գծել քառակուսի, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին։ Այս խնդիրը հայտնի է որպես քառակուսի շրջանագծի որոնում, որը հնագույն ժամանակներից անհանգստացրել է մարդկությանը։ Թվում էր, թե այս խնդիրը պարզ լուծում ուներ և պատրաստվում էր լուծել։ Բայց հենց Pi թվի անհասկանալի հատկությունն էր, որ ցույց տվեց, որ շրջանագծի քառակուսիացման խնդրի լուծում չկա։

Առնվազն չորսուկես հազարամյակ մարդկությունը փորձում է ձեռք բերել ավելի ճշգրիտ արժեք Պիի համար: Օրինակ, Աստվածաշնչում Թագավորների երրորդ գրքում (7:23) Pi թիվը ընդունված է 3:

Ուշագրավ ճշգրտության Pi արժեքը կարելի է գտնել Գիզայի բուրգերում. բուրգերի պարագծի և բարձրության հարաբերակցությունը 22/7 է: Այս կոտորակը տալիս է Pi-ի մոտավոր արժեքը, որը հավասար է 3,142-ի... Եթե, իհարկե, եգիպտացիները պատահաբար չեն սահմանել այս հարաբերակցությունը։ Նույն արժեքն արդեն ստացվել է մեծ Արքիմեդի կողմից Ք.ա 3-րդ դարում Pi թվի հաշվարկի առնչությամբ։

Ահմեսի պապիրուսում՝ հին եգիպտական ​​մաթեմատիկայի դասագրքում, որը թվագրվում է մ.թ.ա. 1650 թվականին, Pi-ն հաշվարկվում է որպես 3,160493827:

Հին հնդկական տեքստերում մոտ մ.թ.ա 9-րդ դարում ամենաճշգրիտ արժեքը արտահայտվել է 339/108 թվով, որը հավասար է 3,1388...

Արքիմեդից հետո գրեթե երկու հազար տարի մարդիկ փորձում էին ուղիներ գտնել Pi-ն հաշվարկելու համար: Նրանց թվում կային ինչպես հայտնի, այնպես էլ անհայտ մաթեմատիկոսներ։ Օրինակ՝ հռոմեացի ճարտարապետ Մարկուս Վիտրուվիուս Պոլլիոն, եգիպտացի աստղագետ Կլավդիոս Պտղոմեոսը, չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուին, հնդիկ իմաստուն Արյաբհատան, միջնադարյան մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզայից, հայտնի որպես Ֆիբոնաչի, արաբ գիտնական Ալ-Խվարիզմի, որի անունից է բառը։ Հայտնվեց «ալգորիթմը». Նրանք բոլորը և շատ այլ մարդիկ փնտրում էին Pi-ի հաշվարկման ամենաճշգրիտ մեթոդները, բայց մինչև 15-րդ դարը հաշվարկների բարդության պատճառով նրանք երբեք չեն ստացել 10 տասնորդականից ավելի:

Ի վերջո, 1400 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս Մադավան Սանգամագրամից հաշվարկեց Pi-ն 13 թվանշանների ճշգրտությամբ (չնայած վերջին երկուսում նա դեռ սխալվում էր):

Նշանների քանակը

17-րդ դարում Լայբնիցը և Նյուտոնը հայտնաբերեցին անվերջ փոքր մեծությունների վերլուծությունը, որը հնարավորություն տվեց ավելի առաջադեմ հաշվարկել Pi-ն՝ ուժային շարքերի և ինտեգրալների միջոցով։ Ինքը՝ Նյուտոնը, հաշվարկել է 16 տասնորդական նիշ, բայց դա չի նշել իր գրքերում, դա հայտնի է դարձել նրա մահից հետո: Նյուտոնը պնդում էր, որ նա հաշվարկել է Pi-ին զուտ ձանձրույթից դրդված:

Մոտավորապես նույն ժամանակ, այլ քիչ հայտնի մաթեմատիկոսներ նույնպես հանդես եկան և առաջարկեցին Pi թիվը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջոցով հաշվարկելու նոր բանաձևեր։

Օրինակ՝ աստղագիտության ուսուցիչ Ջոն Մաչինի կողմից 1706թ.-ին Փի-ն հաշվարկելու համար օգտագործված բանաձևը՝ PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239): Օգտագործելով վերլուծական մեթոդներ՝ Մաչինը այս բանաձևից դուրս բերեց Pi թիվը մինչև հարյուր տասնորդական:

Ի դեպ, նույն 1706 թվականին Pi թիվը հունարեն տառի տեսքով ստացավ պաշտոնական նշանակում. Ուիլյամ Ջոնսն այն օգտագործեց մաթեմատիկայի իր աշխատանքում ՝ վերցնելով հունարեն «ծայրամաս» բառի առաջին տառը, որը նշանակում է «շրջանակ»: »: Մեծն Լեոնհարդ Էյլերը, ծնված 1707 թվականին, հանրահռչակեց այս անվանումը, որն այժմ հայտնի է ցանկացած դպրոցականի համար:

Մինչ համակարգիչների դարաշրջանը, մաթեմատիկոսները կենտրոնանում էին հնարավորինս շատ նշաններ հաշվարկելու վրա: Այս առումով երբեմն զավեշտալի բաներ էին առաջանում։ Սիրողական մաթեմատիկոս Վ. Շենքսը 1875 թվականին հաշվարկել է Pi-ի 707 նիշ։ Այս յոթ հարյուր նշանները հավերժացել են 1937 թվականին Փարիզի բացահայտումների պալատի պատին: Սակայն ինը տարի անց ուշադիր մաթեմատիկոսները պարզեցին, որ միայն առաջին 527 նիշերն են ճիշտ հաշվարկված։ Թանգարանը ստիպված է եղել զգալի ծախսեր կատարել սխալը շտկելու համար. այժմ բոլոր թվերը ճիշտ են։

Երբ հայտնվեցին համակարգիչները, Pi-ի թվանշանների թիվը սկսեց հաշվարկվել բոլորովին աներևակայելի կարգերով։

Առաջին էլեկտրոնային համակարգիչներից մեկը՝ ENIAC-ը, որը ստեղծվել է 1946 թվականին, ուներ հսկայական չափսեր և այնքան ջերմություն էր առաջացնում, որ սենյակը տաքանում էր մինչև 50 աստիճան Ցելսիուս, հաշվարկվում էր Pi-ի առաջին 2037 թվանշանները: Այս հաշվարկը մեքենայից խլեց 70 ժամ:

Քանի որ համակարգիչները բարելավվում էին, Pi-ի մասին մեր գիտելիքներն ավելի ու ավելի էին գնում դեպի անսահմանություն: 1958 թվականին հաշվարկվել է թվի 10 հազար նիշ։ 1987 թվականին ճապոնացիները հաշվարկել են 10,013,395 նիշ։ 2011 թվականին ճապոնացի հետազոտող Շիգերու Հոնդոն գերազանցել է 10 տրիլիոն նիշի շեմը։

Էլ որտե՞ղ կարող եք հանդիպել Պիին:

Այսպիսով, հաճախ Pi թվի մասին մեր գիտելիքները մնում են դպրոցական մակարդակում, և մենք հաստատ գիտենք, որ այս թիվը անփոխարինելի է հիմնականում երկրաչափության մեջ։

Բացի շրջանագծի երկարության և մակերեսի բանաձևերից, Pi թիվը օգտագործվում է էլիպսների, գնդերի, կոնների, գլանների, էլիպսոիդների և այլնի բանաձևերում. որոշ տեղերում բանաձևերը պարզ են և հեշտ հիշվող, բայց մյուսներում դրանք պարունակում են շատ բարդ ինտեգրալներ։

Այնուհետև մաթեմատիկական բանաձևերում կարող ենք հանդիպել Pi թիվը, որտեղ առաջին հայացքից երկրաչափությունը չի երևում։ Օրինակ՝ 1/(1-x^2)-ի անորոշ ինտեգրալը հավասար է Pi-ին։

Pi-ն հաճախ օգտագործվում է սերիաների վերլուծության մեջ: Օրինակ, ահա մի պարզ շարք, որը համընկնում է Pi-ին.

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Սերիաներից Pi-ն ամենաանսպասելիորեն հայտնվում է հայտնի Riemann zeta ֆունկցիայում։ Անհնար է դրա մասին հակիրճ խոսել, միայն ասենք, որ մի օր Pi թիվը կօգնի գտնել պարզ թվերի հաշվարկման բանաձև:

Եվ բացարձակապես զարմանալի է. Pi-ն հայտնվում է մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ «արքայական» բանաձևերից երկուսում՝ Ստիրլինգի բանաձևում (որն օգնում է գտնել գործոնային և գամմա ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը) և Էյլերի բանաձևում (որը միացնում է հինգ մաթեմատիկական հաստատուն):

Այնուամենայնիվ, հավանականությունների տեսության մաթեմատիկոսներին սպասվում էր ամենաանսպասելի հայտնագործությունը։ Այնտեղ է նաև Pi թիվը։

Օրինակ, երկու թվերի համեմատաբար պարզ լինելու հավանականությունը 6/PI^2 է։

Պին հայտնվում է 18-րդ դարում ձևակերպված Բուֆոնի ասեղ նետելու խնդրի մեջ. որքա՞ն է հավանականությունը, որ գծված թղթի վրա նետված ասեղը հատի տողերից մեկը։ Եթե ​​ասեղի երկարությունը L է, իսկ գծերի միջև հեռավորությունը՝ L, և r > L, ապա մենք կարող ենք մոտավորապես հաշվարկել Pi-ի արժեքը՝ օգտագործելով 2L/rPI հավանականության բանաձևը: Պարզապես պատկերացրեք՝ մենք կարող ենք Pi-ն ստանալ պատահական իրադարձություններից: Եվ ի դեպ, Pi-ն առկա է հավանականության նորմալ բաշխման մեջ, հայտնվում է հայտնի Գաուսի կորի հավասարման մեջ։ Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ Pi-ն ավելի հիմնարար է, քան պարզապես շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը:

Պիին կարող ենք հանդիպել նաև ֆիզիկայում։ Պին հայտնվում է Կուլոնի օրենքում, որը նկարագրում է երկու լիցքերի փոխազդեցության ուժը, Կեպլերի երրորդ օրենքում, որը ցույց է տալիս Արեգակի շուրջ մոլորակի պտույտի ժամանակաշրջանը և նույնիսկ հայտնվում է ջրածնի ատոմի էլեկտրոնային ուղեծրերի դասավորության մեջ։ Եվ ամենաանհավանականն այն է, որ Pi թիվը թաքնված է Հայզենբերգի անորոշության սկզբունքի` քվանտային ֆիզիկայի հիմնարար օրենքի բանաձևում:

Պիի գաղտնիքները

Կառլ Սագանի «Կոնտակտ» վեպում, որի վրա հիմնված է համանուն ֆիլմը, այլմոլորակայինները հերոսուհուն ասում են, որ Պիի նշանների մեջ կա Աստծո գաղտնի ուղերձը։ Որոշակի դիրքից թվի թվերը դադարում են պատահական լինել և ներկայացնում են մի ծածկագիր, որում գրված են Տիեզերքի բոլոր գաղտնիքները:

Այս վեպն իրականում արտացոլում էր մի առեղծված, որը զբաղեցրել է ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսների միտքը. Արդյո՞ք Pi-ն նորմալ թիվ է, որի թվանշանները ցրված են հավասար հաճախականությամբ, թե՞ այս թվի հետ ինչ-որ բան այն չէ: Եվ չնայած գիտնականները հակված են առաջին տարբերակին (բայց չեն կարող դա ապացուցել), Pi թիվը շատ խորհրդավոր է թվում։ Մի ճապոնացի մի անգամ հաշվարկել է, թե քանի անգամ են 0-ից 9 թվերը հայտնվում Pi-ի առաջին տրիլիոն թվանշաններում: Եվ ես տեսա, որ 2, 4 և 8 թվերն ավելի տարածված էին, քան մյուսները։ Սա կարող է լինել այն ակնարկներից մեկը, որ Pi-ն ամբողջովին նորմալ չէ, և դրա թվերն իսկապես պատահական չեն:

Եկեք հիշենք այն ամենը, ինչ կարդում ենք վերևում և հարցնենք ինքներս մեզ՝ ի՞նչ այլ իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ թիվ է այդքան հաճախ հանդիպում իրական աշխարհում:

Եվ սպասվում են ավելի շատ տարօրինակություններ: Օրինակ, Pi-ի առաջին քսան նիշերի գումարը 20 է, իսկ առաջին 144 թվանշանների գումարը հավասար է «գազանի թվին» 666:

Ամերիկյան «Կասկածյալ» հեռուստասերիալի գլխավոր հերոս, պրոֆեսոր Ֆինչը ուսանողներին ասել է, որ Pi թվի անսահմանության պատճառով նրանում կարելի է գտնել թվերի ցանկացած համակցություն՝ սկսած ձեր ծննդյան ամսաթվի թվերից մինչև ավելի բարդ թվեր։ . Օրինակ, 762 դիրքում կա վեց ինը հաջորդականություն: Այս դիրքը կոչվում է Ֆեյնմանի կետ հայտնի ֆիզիկոսի անունով, ով նկատել է այս հետաքրքիր համադրությունը։

Մենք նաև գիտենք, որ Pi թիվը պարունակում է 0123456789 հաջորդականությունը, սակայն այն գտնվում է 17,387,594,880-րդ թվանշանի վրա։

Այս ամենը նշանակում է, որ Pi թվի անսահմանության մեջ կարելի է գտնել ոչ միայն թվերի հետաքրքիր համակցություններ, այլ նաև «Պատերազմի և խաղաղության» կոդավորված տեքստը, Աստվածաշունչը և նույնիսկ Տիեզերքի Գլխավոր Գաղտնիքը, եթե այդպիսիք կա:

Ի դեպ, Աստվածաշնչի մասին. Մաթեմատիկայի հայտնի հանրահայտարար Մարտին Գարդները 1966թ.-ին հայտարարեց, որ Pi-ի միլիոներորդ թվանշանը (այդ ժամանակ դեռ անհայտ) կլինի 5 թիվը: Նա իր հաշվարկները բացատրեց նրանով, որ Աստվածաշնչի անգլերեն տարբերակում 3-րդ. գիրք, 14-րդ գլուխ, 16 հատված (3-14-16) յոթերորդ բառը պարունակում է հինգ տառ. Միլիոներորդ ցուցանիշը հասել է ութ տարի անց: Դա թիվ հինգն էր։

Սրանից հետո արժե՞ պնդել, որ Pi թիվը պատահական է։